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重难突破06 乘法公式的几何背景及应用
重难突破
一、单选题
1．（2022春·浙江杭州·七年级阶段练习）有若干张面积分别为a2、b2、ab的正方形和长方形纸片，小明从中抽取了1张面积为b2的正方形纸片，6张面积为ab的长方形纸片．若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为a2的正方形纸片（）
A．4张 B．8张 C．9张 D．10张
2．（2023春·山东济南·七年级统考期末）如图分割的正方形，拼接成长方形的方案中，可以验证（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023春·七年级课时练习）如图，两个正方形的边长分别为a，b，如果，，则阴影部分的面积为（　　）
A．2.5 B．2 C．3.5 D．1
4．（2023春·江苏苏州·七年级统考期中）某小区有一正方形草坪如图所示，小区物业现对该草坪进行改造，将该正方形草坪边方向的长度增加3米，边方向的长度减少3米，则改造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积相比( )
A．增加6平方米 B．增加9平方米 C．减少9平方米 D．保持不变
5．（2022春·山东淄博·六年级统考期中）如图是同四个完全相同的长方形拼成的一个大正方形，通过此图可以验证成立的等式是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，M是AG的中点，B是AG上一点．分别以AB、BG为边，作正方形ABCD和正方形BGFE，连接MD和MF．设AB＝a，BG＝b，且a＋b＝10，ab＝8，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．46 B．59 C．64 D．81
7．（2022春·浙江杭州·九年级期末）如图，是由四个形状大小都相同的矩形拼成的一个正方形，已知矩形的两边长分别为a和b，则中间空白部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）如图为某正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧都为正方形，主卧与客卧的边长差为2米，则主卧与客卧面积之和比其余面积（阴影部分）多（ ）平方米
A．12米 B．10米 C．8米 D．4米
9．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，矩形ABCD的周长是10cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2，那么矩形ABCD的面积是（　　）
A．3cm2 B．4cm2 C．5cm2 D．6cm2
10．（2022春·七年级课时练习）如图可以用来解释：(2a)2=4a2，则图可以用来解释（ ）
A．(a+b)2=a2+2ab+b2 B．(a-b)2=a2-2ab+b2
C．(a+b)(a-b)=a2-b2 D．(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2
11．（2022春·山东青岛·七年级统考期中）将两个边分别为和的正方形拼在一起，、、三点在同一直线上，连接、，若两正方形的边长满足，，则阴影部分的面积为（ ）
A．95 B．85 C．90 D．100
12．（2023春·安徽宿州·七年级安徽省泗县中学校联考阶段练习）有2张边长为的正方形纸片，4张边长分别为，（）的矩形纸片，5张边长为的正方形纸片，从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为（ ）
A． B． C． D．
13．（2022秋·河南新乡·八年级统考学业考试）若用等式表示下图中图形面积的运算，则可列式（ ）
A． B．
C． D．
14．（2023春·浙江绍兴·八年级校联考期中）我国古代数学家研究过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程x2+5x﹣14＝0，即x（x+5）＝14为例说明，《方图注》中记载的方法是：构造图（如图）中大正方形的面积是（x+x+5）2，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52，因此x＝2．则在下面构图中，能正确说明方程x2﹣3x﹣10＝0的构图是（ ）

A． B． C． D．
15．（2023春·七年级课时练习）如图，由4个全等的小长方形与一个小正方形密铺成一个大的正方形图案，该图案的面积为100，里面的小正方形的面积为16，若小长方形的长为a，宽为b，则下列关系式中：①；②；③；④，正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
16．（2023春·陕西西安·七年级校联考期末）有3张边长为的正方形纸片，5张边长为的正方形纸片，4张边长为和的长方形纸片，从中取出若干张（每种至少取一张）．拼成一个正方形（无缝隙不重叠），则拼成的正方形边长最长为（ ）
A． B． C． D．
17．（2023春·湖南益阳·七年级校考期中）四张长为a，宽为b（a>b）的长方形纸片按如图所示的方式拼成一个边长为a＋b的正方形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
18．（2022春·七年级单元测试）如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（ ）

A．
B．
C．
D．
19．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图所示、有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片有1张，长为a，宽为b的矩形卡片有4张，边长为b的正方形卡片有4张，用这9张卡片刚好供成一个大正方形，则这个大正方形的边长为（　　）
A．a+2b B．2a+2b C．2a+b D．a+b
20．（2022·河北邯郸·校考三模）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片各4块（边长如图，）．嘉嘉准备从中挑选一些纸片紧密拼接成一个正方形，下列无法实现的方案是（ ）
A．2块甲、1块乙、4块丙 B．1块甲、4块乙、4块丙
C．4块甲、1块乙、4块丙 D．1块甲、1块乙、2块丙
二、填空题
21．（2023春·四川成都·七年级统考期末）如图，在长方形中，，，点，是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为平方单位，则图中阴影部分的面积和为 平方单位．
22．（2023春·七年级单元测试）如图是用四张相同的长方形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个 关于a、b的恒等式 .
23．（2023·广东江门·校考三模）一个底面是正方形的长方体，高为6，底面正方形边长为10．如果它的高不变，底面正方形边长增加，那么它的体积增加 ．
24．（2022春·七年级单元测试）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，得到四块形状和大小完全相同的小长方形，然后按图（2）所示拼成一个大正方形，则中间空白部分的面积是 ．（用含a，b的式子表示）
25．（2022春·甘肃兰州·七年级校考期中）如图，点P是线段AB上的一点，且AB＝10，分别以AP、BP为边作正方形，设AP＝x，这两个正方形的面积之和S，则S关于x的关系式为 ．
26．（2022春·江苏苏州·七年级昆山市第二中学校考期中）如图，长方形的面积为5，且长比宽多3，以该长方形中相邻的两边为边长向外作两个正方形（如图所示），则这两个正方形（阴影部分）的面积之和为 ．
27．（2022秋·上海青浦·七年级校考期中）如图（1），是一个长为，宽为的矩形，用剪刀沿矩形的两条对称轴剪开，把它分成四个全等的小矩形，然后按图（2）拼成一个新的正方形，则中间空白部分的面积为 ．
28．（2022秋·北京·八年级统考期末）如图，根据图形，写出一个正方形的面积的表达式 ．（一个即可）
29．（2022秋·内蒙古通辽·八年级校考期末）如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形（ab）,将剩下的阴影部分沿图中的虚线剪开，拼接后得到图2，这种变化可以用含字母a，b的等式表示为 ．
30．（2022·七年级单元测试）一个正方形的边长是，则它的面积是 .
31．（2023春·浙江杭州·七年级校联考期中）有两个正方形，，将，并列放置后构造新的长方形得到图甲，将，并列放置后构造新的正方形得到图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形的面积为 ．

32．（2022春·河北保定·七年级统考期末）如图是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀剪成四个一样的小长方形拼成一个正方形，则正方形中空白的面积为 ．
33．（2022秋·河南许昌·八年级校考期中）有若干个大小形状完全相同的小长方形现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为34；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为100（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为 ．
34．（2022春·山东烟台·八年级统考期末）如图，两个正方形Ⅰ，Ⅱ和两个矩形Ⅲ，Ⅳ拼成一个大正方形，已知正方形Ⅰ，Ⅱ的面积分别为6和3，那么大正方形的面积是 ．
35．（2022春·江苏泰州·七年级统考期中）如图，用图1中2张B型纸片（长为a、宽为b的长方形）按图2所示的方法放置于1张A型纸片（边长为α的正方形）上，已知B型纸片的面积是7，阴影部分的面积是8，则B型纸片的周长是 ．
三、解答题
36．（2023春·浙江·七年级专题练习）阅读思考：
定义：把一个式子或一个式子的部分改写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种解题方法叫配方法．
用途：配方法是初中数学一种很重要的变形技巧，是初中数学很重要的一种思想方法，应用很广泛，应用它可以简捷地处理一些解方程、因式分解、化简二次根式、证明恒等式、求代数式的最值问题．
方法：下面用拼图的方法来体会配方的过程．
例如：将代数式（即）写成的形式（其中h、k为常数），配方的过程中，可以看成将一个长是、宽是x的矩形割补成一个正方形．
所以，
（1）模仿：用拼图的方法将式子写成的形式（其中h、k为常数）．
（2）总结：在配方过程中，代数式需要先加上_____，再减去这个数或者代数式；
（3）应用：①__________；
②已知，求的值．
37．（2023秋·河北廊坊·八年级统考期末）数学活动课上张老师用图中的1张边长为的正方形纸片，1张边长为的正方形纸片和2张宽、长分别为，的长方形纸片，拼成了如图②所示的大正方形．观察图形解答下列问题．
(1)由图①和图②可以得到的因式分解等式为______（用含，的代数式表示）；
(2)小高用这种纸片拼出一个面积为的大长方形，求需要，，三种纸片各多少张？
(3)如图③，已知是线段上的动点，分别以，为边在的两侧作正方形和正方形．若，且两个正方形面积之和，利用（1）中得到的结论求图中阴影部分的面积．
38．（2023春·山东泰安·六年级校考阶段练习）从边长为的正方形中减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 ；
（2）运用你从（1）写出的等式，完成下列各题：
①已知：，，求的值；
②计算：．
39．（2023春·浙江·七年级期中）若满足，求的值，
设，，则，，
所以．
（1）若满足，求的值；
（2）如图，已知正方形的边长为，，分别为，上的点，且，，长方形的面积是28，分别以，为边做正方形，求阴影部分面积．
40．（2023春·江苏无锡·七年级校考期中）知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．
例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题：
直接应用：（1）若，，直接写出的值 　 ；
类比应用：（2）填空：①若，则　　；
②若，则　　；
知识迁移：（3）两块完全一样的直角三角形（）如图2所示放置，其中C，B，D在一直线上，连接，，若，，求四边形的面积S．

41．（2023春·安徽池州·七年级统考期中）完全平方公式：，适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，，求的值．
解：因为，
所以，即．又因为，所以．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若，，求的值；
(2)如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．

42．（2023春·山东枣庄·七年级校考阶段练习）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）
(1)观察图2请你写出、、之间的等量关系是______；
(2)根据（1）中的结论，若，，则______；
(3)拓展应用：若，求的值．
43．（2022春·河北邢台·七年级统考期末）有两张完全相同的边长为m正方形纸片，先将其中的一张按图1所示分成两个边长分别为6和n的正方形和两个长方形，再将边长为n的正方形与另一张边长为m的正方形纸片按图2所示方式拼接成一个大的正方形，若阴影部分的面积为32；
(1)______；
(2)求的值；
(3)拓展，将3个边长为m和2个边长为n的正方形，按图3所示拼接并构成一个大正方形，求阴影部分的面积．
44．（2022春·山东烟台·六年级统考期末）数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学，同学们，下面我们就用数形结合思想来解决下面问题吧！
(1)将图①甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你根据两个图形的面积关系得到的数学公式是___．
(2)将图②甲中阴影部分的一个小长方形变换到图乙位置，你根据两个图形的面积关系写出一个等式：( )= ．
(3)若把（2）中你写出的等式当做公式用，计算：．
(4)③甲是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图③乙那样拼成一个正方形，则图③乙中间空余的部分的面积是_________．
(5)观察图③乙，请你写出三个代数式，，之间的等量关系是_________．根据（5）中等量关系解决如下问题：若，，求的值．
45．（2022春·河北保定·七年级统考期中）乘法公式的探究及应用．
（1）如图 1，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）；
（2）如图 2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是 ，长是 ，面积是 （写成多项式乘法的形式）
（3）比较图 1，图 2 的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （用式子表达）
（4）应用所得的公式计算：（1﹣ ）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）
46．（2022秋·江苏泰州·七年级校考期中）将若干个同样大小的小长方形纸片拼成如图形状的大长方形小长方形纸片长为a，宽为，请你仔细观察图形，解答下列问题：
（1）a和b之间的关系满足_____________________．
（2）图中阴影部分的面积与大长方形面积的比值是___________．
（3）请你仔细观察图中的一个阴影部分，根据它面积的不同表示方法，请你写出，与三个代数式之间的等量关系_________________________
应用：根据探索中的等量关系，解决如下问题：求的值
47．（2022秋·江苏泰州·七年级江苏省黄桥中学校考期中）在下列横线上用含有，的代数式表示相应图形的面积．
（1）①________；②__________；③__________；④_________________．
（2）通过拼图，你发现前三个图形的面积与第四个图形面积之间有什么关系？请用数学式子表示：________________________________________.
（3）利用（2）的结论计算1972+2×197×3+32的值．( 注意不利用以上结论不得分)
48．（2023春·湖南怀化·七年级校联考期末）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪开拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分面积可表示为：，图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：．

【拓展探究】图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪开平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形．
（1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积：
方法1： ，方法2： ，可得到一个关于、、的等量关系式是 ；
（2）若，，则 ；
【知识迁移】
（3）如图5，正方形和正方形的边长分别为，，若，，是的中点，则图中的阴影部分面积的和．
49．（2022春·七年级单元测试）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形如图1，然后将剩余部分拼成一个长方形如图2．

(1)上述操作能验证的等式是____；请选择正确的一个
A、 B、 C、
(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知，，求的值．
②计算：
50．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期中）如图，一块直径为a+b的圆形钢板，从中挖去直径分别为a与b的两个圆，若a+b＝4，a2+b2＝10，求剩下的钢板的面积．
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重难突破06 乘法公式的几何背景及应用
重难突破
一、单选题
1．（2022春·浙江杭州·七年级阶段练习）有若干张面积分别为a2、b2、ab的正方形和长方形纸片，小明从中抽取了1张面积为b2的正方形纸片，6张面积为ab的长方形纸片．若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为a2的正方形纸片（）
A．4张 B．8张 C．9张 D．10张
【答案】C
【详解】试题分析：设还需要抽取面积为a2的正方形纸片k张，由题意知拼成大正方形的面积为b2+6ab+ka2，又因b2+6ab+ka2是完全平方式，即可得k=9，即还需面积为a2的正方形纸片9张．故答案选C．
考点：完全平方公式的几何背景．
2．（2023春·山东济南·七年级统考期末）如图分割的正方形，拼接成长方形的方案中，可以验证（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】对图形中阴影部分的面积进行计算即可得到相关的等式．
【详解】解：如图所示，
右边阴影部分面积为：，
左边阴影部分面积为：，
由阴影部分面积相等可得：，
故选A．
【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景．分别表示出图形阴影部分的面积是解题的关键．
3．（2023春·七年级课时练习）如图，两个正方形的边长分别为a，b，如果，，则阴影部分的面积为（　　）
A．2.5 B．2 C．3.5 D．1
【答案】C
【分析】由图可知阴影部分的面积等于两个正方形面积之和减去和的面积，列代数式，利用完全平方公式进行变形，将，整体代入即可求解．
【详解】解：观察图形可知：
，
把，代入可得：
．
故选C．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是掌握，能够根据面积关系列出代数式．
4．（2023春·江苏苏州·七年级统考期中）某小区有一正方形草坪如图所示，小区物业现对该草坪进行改造，将该正方形草坪边方向的长度增加3米，边方向的长度减少3米，则改造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积相比( )
A．增加6平方米 B．增加9平方米 C．减少9平方米 D．保持不变
【答案】C
【分析】根据改建前后形状和面积的变化列出式子，比较解答即可．
【详解】解：设原正方形草坪的边长为a 米．则面积为平方米，
改建后的草坪的长为，宽为，因此面积为平方米，
因此造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积差为平方米，
即造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积减少平方米，
故选：C．
【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，掌握改建前后形状和面积的变化是正确解答的前提．
5．（2022春·山东淄博·六年级统考期中）如图是同四个完全相同的长方形拼成的一个大正方形，通过此图可以验证成立的等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据图形用两种方法计算阴影部分的面积即可得出等式．
【详解】解：大正方形的边长为(a+b)，中间小正方形的边长为(a-b)，
∴阴影部分的面积表示为：；
阴影部分的面积为四个长方形的面积为：4ab，
两种计算阴影部分的面积相同，
∴，
故选：A．
【点睛】题目主要考查完全平方公式在图形面积中的运用，理解图形中阴影部分的计算方法是解题关键．
6．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，M是AG的中点，B是AG上一点．分别以AB、BG为边，作正方形ABCD和正方形BGFE，连接MD和MF．设AB＝a，BG＝b，且a＋b＝10，ab＝8，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．46 B．59 C．64 D．81
【答案】B
【分析】根据题意知，阴影部分的面积等于两个正方形的面积减去两个三角形的面积，由给出的条件即可求出阴影部分的面积．
【详解】解：∵AB＝a，BG＝b，
∴正方形ABCD的面积S1= a2，正方形BGFE的面积S2=b2，
∵点M是AG的中点，
∴，
∴，
，
∴S阴影，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查完全平方公式的转化，解题的关键是正确表示出阴影部分的面积．
7．（2022春·浙江杭州·九年级期末）如图，是由四个形状大小都相同的矩形拼成的一个正方形，已知矩形的两边长分别为a和b，则中间空白部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由题意得到正方形的边长为a+b，再根据空白部分的面积等于正方形的面积减去四个矩形的面积和列出代数式，利用完全平方式化简计算即可解答．
【详解】解：由题意知，正方形的边长为a+b，
∴正方形的面积为（a+b）2，四个矩形的面积和为4ab，
∴中间空白部分面积为（a+b）2﹣4ab=a2+2ab+b2﹣4ab= a2﹣2ab+b2，
故选：C．
【点睛】本题考查列代数式、完全平方公式、整式的混合运算，理解题意，正确列出代数式是解答的关键．
8．（2022春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）如图为某正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧都为正方形，主卧与客卧的边长差为2米，则主卧与客卧面积之和比其余面积（阴影部分）多（ ）平方米
A．12米 B．10米 C．8米 D．4米
【答案】D
【分析】设主卧的边长为a米，客卧边长为b米根据题意可列主卧与客卧面积之和和比其余面积（阴影部分）多（a2＋b2） [（a＋b）2 （a2＋b2）]，化简得到（a-b）2，代入a b＝2，即可求解．
【详解】解：设主卧的边长为a米，客卧边长为b米
根据题意主卧与客卧面积之和比其余面积（阴影部分）多（a2＋b2） [（a＋b）2 （a2＋b2）]=（a-b）2＝22=4
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，关键是利用完全平方公式解决问题．
9．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，矩形ABCD的周长是10cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2，那么矩形ABCD的面积是（　　）
A．3cm2 B．4cm2 C．5cm2 D．6cm2
【答案】B
【分析】设AB＝x，AD＝y，根据题意列出方程x2+y2＝17，2（x+y）＝10，利用完全平方公式即可求出xy的值．
【详解】解：设AB＝x，AD＝y，
∵正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2
∴x2+y2＝17，
∵矩形ABCD的周长是10cm
∴2（x+y）＝10，
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，
∴25＝17+2xy，
∴xy＝4，
∴矩形ABCD的面积为：xy＝4cm2，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形面积、矩形面积和完全平方公式，恰当的设未知数，建立方程，设而不求，只求xy的值是解题关键．
10．（2022春·七年级课时练习）如图可以用来解释：(2a)2=4a2，则图可以用来解释（ ）
A．(a+b)2=a2+2ab+b2 B．(a-b)2=a2-2ab+b2
C．(a+b)(a-b)=a2-b2 D．(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2
【答案】A
【分析】图2大的正方形的边长为（a+b），被分成四部分：边长分别为a、b的两个正方形，长a宽b的两个长方形；利用四个部分的面积等于大正方形的面积列式即可．
【详解】图2的面积为：（a+b）2，还可以表示为：a2+2ab+b2，
所以，此等式是（a+b）2=a2+2ab+b2．
故选A．
【点睛】本题考查对完全平方公式几何意义的理解，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．
11．（2022春·山东青岛·七年级统考期中）将两个边分别为和的正方形拼在一起，、、三点在同一直线上，连接、，若两正方形的边长满足，，则阴影部分的面积为（ ）
A．95 B．85 C．90 D．100
【答案】A
【分析】利用两个正方形面积之和减去两个空白三角形，从而得到阴影部分面积，再根据已知条件求解即可．
【详解】∵a+b=15，ab=35
∴= -2 ab=155
∴令阴影部分面积为S
S=-a（a-b）-
=(+ ab)
=95
故选A．
【点睛】此题考查了完全平方公式的几何背景，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．（2023春·安徽宿州·七年级安徽省泗县中学校联考阶段练习）有2张边长为的正方形纸片，4张边长分别为，（）的矩形纸片，5张边长为的正方形纸片，从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】要使正方形的面积最大，要用边长为的正方形个数最多，且能组合成完全平方公式，由，即可求解．
【详解】解：2张边长为a的正方形纸片的面积是，
4张边长分别为a、b ()的矩形纸片的面积是，
5张边长为b的正方形纸片的面积是，
因为要使正方形的面积最大，
所以要用边长为的正方形个数最多，且能组合成完全平方公式，
所以，
所以拼成的正方形的边长最长可以为，
故选：D．
【点睛】本题主要考查完全平方公式的应用，掌握正方形的面积与完全平方公式之间的关系是解题的关键．
13．（2022秋·河南新乡·八年级统考学业考试）若用等式表示下图中图形面积的运算，则可列式（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用面积公式将图中图形面积表示出来即可得.
【详解】由正方形和长方形的面积公式得：
整理得：
故选：B.
【点睛】本题考查了完全平方差公式在几何图形中的应用，理解图形面积的运算是解题关键.
14．（2023春·浙江绍兴·八年级校联考期中）我国古代数学家研究过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程x2+5x﹣14＝0，即x（x+5）＝14为例说明，《方图注》中记载的方法是：构造图（如图）中大正方形的面积是（x+x+5）2，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52，因此x＝2．则在下面构图中，能正确说明方程x2﹣3x﹣10＝0的构图是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，画出方程x2﹣3x﹣10＝0，即x（x﹣3）＝10的拼图过程，由面积之间的关系可得出答案．
【详解】解：方程x2﹣3x﹣10＝0，即x（x﹣3）＝10的拼图如图所示；

中间小正方形的边长为x﹣（x﹣3）＝3，其面积为9，
大正方形的面积：（x+x﹣3）2＝4x（x﹣3）+9＝4×10+9＝49，其边长为7，
因此，D选项所表示的图形符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解决问题的关键．
15．（2023春·七年级课时练习）如图，由4个全等的小长方形与一个小正方形密铺成一个大的正方形图案，该图案的面积为100，里面的小正方形的面积为16，若小长方形的长为a，宽为b，则下列关系式中：①；②；③；④，正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】能够根据大正方形和小正方形的面积分别求得正方形的边长，再根据其边长分别列方程，根据4个矩形的面积和等于两个正方形的面积差列方程．
【详解】①大正方形的边长为a+b，面积为100
故①正确
②小正方形的边长为a-b，面积为16
故②正确
③
故③错
④
故④正确
故选C
【点睛】此题考查了平方差公式、完全平方公式及数形结合的应用，关键是能够结合图形和图形的面积公式正确分析，对每一项进行分析计算，进而得出结果．
16．（2023春·陕西西安·七年级校联考期末）有3张边长为的正方形纸片，5张边长为的正方形纸片，4张边长为和的长方形纸片，从中取出若干张（每种至少取一张）．拼成一个正方形（无缝隙不重叠），则拼成的正方形边长最长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先分别算一下各种正方形纸片的面积之和，结合，根据完全平方公式，可得答案．
【详解】解：3张边长为a的正方形纸片的面积是，
4张边长分别为a，b的长方形纸片的面积是，
5张边长为b的正方形纸片的面积是，
∵，
∴拼成的正方形的边长最长可以为．
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，本题属于基础题型，难度不大．
17．（2023春·湖南益阳·七年级校考期中）四张长为a，宽为b（a>b）的长方形纸片按如图所示的方式拼成一个边长为a＋b的正方形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据阴影部分的面积等于大正方形面积减空白部分面积列代数式整理计算即可．
【详解】解：由图知，阴影部分的面积
整理得阴影部分的面积=2ab-b2，
故选：B．
【点睛】本题主要考查完全平方公式的几何背景，根据阴影部分的面积等于大正方形面积减空白部分面积列代数式是解题的关键．
18．（2022春·七年级单元测试）如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分别计算出甲、乙两图中阴影部分的面积，根据面积相等，即可解答．
【详解】解：甲图中阴影部分的面积为：，
图乙中阴影部分的面积为：，
所以，
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是分别计算出甲、乙两图中阴影部分的面积．
19．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图所示、有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片有1张，长为a，宽为b的矩形卡片有4张，边长为b的正方形卡片有4张，用这9张卡片刚好供成一个大正方形，则这个大正方形的边长为（　　）
A．a+2b B．2a+2b C．2a+b D．a+b
【答案】A
【分析】可以得出拼成的正方形的面积为a2+4ab+4b2，将a2+4ab+4b2写成（a+2b）2的形式，即可得出正方形的边长．
【详解】解：这9张卡片拼成一个正方形的面积为a2+4ab+4b2，
∵a2+4ab+4b2＝（a+2b）2，
∴这个正方形的边长为（a+2b），
故选：A．
【点睛】考查完全平方公式的几何意义，把面积写成完全平方式的形式是得出正确答案的关键．
20．（2022·河北邯郸·校考三模）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片各4块（边长如图，）．嘉嘉准备从中挑选一些纸片紧密拼接成一个正方形，下列无法实现的方案是（ ）
A．2块甲、1块乙、4块丙 B．1块甲、4块乙、4块丙
C．4块甲、1块乙、4块丙 D．1块甲、1块乙、2块丙
【答案】A
【分析】根据拼接前后面积相等，分别表示出每个选项的面积和，观察能否写出完全平方式即可得
【详解】解．A、无法配方，故A无法实现，符合题意；
B、，故B可以实现，不符合题意；
C、，故C可以实现，不符合题意；
D、， 故D可以实现，不符合题意；
故选：A．
【点睛】考查因式分解的应用、完全平方公式、图形拼接前后的面积不变性，考查逻辑推理和数学运算．
二、填空题
21．（2023春·四川成都·七年级统考期末）如图，在长方形中，，，点，是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为平方单位，则图中阴影部分的面积和为 平方单位．
【答案】
【分析】设设，，则根据题意可得，，，故，，再由，即可求出阴影部分的面积．
【详解】解：设，，
由题意得，，，
即，，
∵长方形的面积为平方单位，
∴，
又∵，
∴
，
∴阴影部分的面积和为平方单位，
故答案为．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，根据题意列式和掌握完全平方公式是解题的关键．
22．（2023春·七年级单元测试）如图是用四张相同的长方形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个 关于a、b的恒等式 .
【答案】（a-b）2=（a+b）2-4ab．
【分析】空白部分为一个正方形，找到边长，表示出面积；也可用大正方形的面积减去4个矩形的面积表示，然后让这两个面积相等即可．
【详解】解：空白部分为正方形，边长为：，面积为：．
空白部分也可以用大正方形的面积减去4个矩形的面积表示：．
．
故答案为．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何意义，用不同的方法表示相应的面积是解题的关键．
23．（2023·广东江门·校考三模）一个底面是正方形的长方体，高为6，底面正方形边长为10．如果它的高不变，底面正方形边长增加，那么它的体积增加 ．
【答案】
【分析】根据完全平方公式的几何背景计算方法进行计算即可得出答案．
【详解】解：高为6，底面正方形边长为10长方体的体积为，102×6=600，
高不变，底面正方形边长增加a后长方体的体积为，，
则它的体积增加．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景计算方法进行求解是解决本题的关键．
24．（2022春·七年级单元测试）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，得到四块形状和大小完全相同的小长方形，然后按图（2）所示拼成一个大正方形，则中间空白部分的面积是 ．（用含a，b的式子表示）
【答案】（a﹣b）2．
【分析】由图（1）得出小长方形的长与宽分别为a，b，然后根据图（2）中大正方形的面积减去四个小长方形的面积表示出中空部分面积即可．
【详解】解：中间空白部分的面积是：
（a+b）2﹣4ab
＝a2+2ab+b2﹣4ab
＝a2﹣2ab+b2
＝（a﹣b）2，
故答案为：（a﹣b）2．
【点睛】本题考查了列代数式、完全平方公式的运算，能正确列出代数式是解决问题的前提，熟练掌握完全平方公式是解决问题的关键．
25．（2022春·甘肃兰州·七年级校考期中）如图，点P是线段AB上的一点，且AB＝10，分别以AP、BP为边作正方形，设AP＝x，这两个正方形的面积之和S，则S关于x的关系式为 ．
【答案】
【分析】根据AP=x，再表示出BP的长度，利用正方形面积公式求出S的表达式，然后运用完全平方公式、合并同类项即可求出结果．
【详解】解：∵AP=x，
∴PB=AB-AP=10-x，
∴．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查正方形的面积公式、整式的混合运算法则、完全平方公式，解题的关键是要熟练掌握正方形的面积公式、完全平方公式．
26．（2022春·江苏苏州·七年级昆山市第二中学校考期中）如图，长方形的面积为5，且长比宽多3，以该长方形中相邻的两边为边长向外作两个正方形（如图所示），则这两个正方形（阴影部分）的面积之和为 ．
【答案】19
【分析】由于AD-AB=3，AD AB=5，利用完全平方公式求出AD2+AB2，结论可得．
【详解】解：∵长AD比宽AB多3，
∴AD-AB=3．
∵长方形ABCD的面积为5，
∴AD AB=5．
∵（AD-AB）2=AD2-2AD AB+AB2，
∴AD2+AB2=（AD-AB）2+2AD AB=9+10=19．
∴S阴影＝AD2+AB2=19．
故答案为：19．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，对完全平方公式适当变形是解题的关键．
27．（2022秋·上海青浦·七年级校考期中）如图（1），是一个长为，宽为的矩形，用剪刀沿矩形的两条对称轴剪开，把它分成四个全等的小矩形，然后按图（2）拼成一个新的正方形，则中间空白部分的面积为 ．
【答案】
【分析】先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积正方形的面积矩形的面积即可得出答案．
【详解】解：由题意可得，正方形的边长为，
故正方形的面积为，
又原矩形的面积为，
中间空的部分的面积．
故答案为：．
【点睛】此题考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是求出正方形的边长．
28．（2022秋·北京·八年级统考期末）如图，根据图形，写出一个正方形的面积的表达式 ．（一个即可）
【答案】答案不唯一
【分析】从图形可得正方形的边长为，易得面积表达式；或者将四小部分的面积相加即可.
【详解】解：①从图形可得正方形的边长为，所以其面积为；
②其面积也可表示为.
其它正确的表示也可以.
故答案为：答案不唯一
【点睛】本题考查了完全平方公式的面积表示，正确从图形获取信息是解题的关键.
29．（2022秋·内蒙古通辽·八年级校考期末）如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形（ab）,将剩下的阴影部分沿图中的虚线剪开，拼接后得到图2，这种变化可以用含字母a，b的等式表示为 ．
【答案】
【详解】图(1)中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为a2 b2；
图(2)中阴影部分为梯形，其上底为2b，下底为2a，高为（a-b）则其面积为(a+b)(a b)，
∵前后两个图形中阴影部分的面积，
∴.
故答案为.
30．（2022·七年级单元测试）一个正方形的边长是，则它的面积是 .
【答案】
【分析】根据正方形的面积公式和完全平方公式计算即可
【详解】解：正方形的面积=
故答案为：
【点睛】本题主要考查了正方形的面积公式和完全平方公式，熟练掌握相关的知识是解题的关键
31．（2023春·浙江杭州·七年级校联考期中）有两个正方形，，将，并列放置后构造新的长方形得到图甲，将，并列放置后构造新的正方形得到图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形的面积为 ．

【答案】
【分析】设的边长为，的边长为，根据图甲和图乙中阴影部分的面积分别为10和32，列出代数式来求解．
【详解】解：设的边长为，的边长为，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，
正方形的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，表示出阴影部分的面积是解题的关键．
32．（2022春·河北保定·七年级统考期末）如图是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀剪成四个一样的小长方形拼成一个正方形，则正方形中空白的面积为 ．
【答案】（m-n）2
【分析】利用空白的面积＝大正方形的面积-4个长方形的面积求解，即可得到答案．
【详解】根据题意，正方形中空白的面积为（m+n）2-4mn＝（m-n）2，
故答案为：（m-n）2．
【点睛】本题考查了完全平方公式的知识；解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成求解．
33．（2022秋·河南许昌·八年级校考期中）有若干个大小形状完全相同的小长方形现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为34；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为100（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为 ．
【答案】8
【分析】设长方形的长为a，宽为b，由图1可得，（a+b）2-4ab=34，由图2可得，（2a+b）（a+2b）-5ab=100，再利用整体思想进行变形求解即可．
【详解】解：设长方形的长为a，宽为b，
由图1可得，（a+b）2-4ab=34， 即a2+b2=2ab+34①，
由图2可得，（2a+b）（a+2b）-5ab=100， 即a2+b2=50②，
由①②得，2ab+34=50， 所以ab=8，
即长方形的面积为8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查的是完全平方公式，多项式乘以多项式在几何图形中的应用，熟练的应用整式的乘法运算解决问题是解本题的关键.
34．（2022春·山东烟台·八年级统考期末）如图，两个正方形Ⅰ，Ⅱ和两个矩形Ⅲ，Ⅳ拼成一个大正方形，已知正方形Ⅰ，Ⅱ的面积分别为6和3，那么大正方形的面积是 ．
【答案】9+6
【分析】先根据正方形Ⅰ、Ⅱ的面积分别为6和3分别求出它们的边长，然后再求出大正方形的边长，最后求面积即可．
【详解】解：∵正方形Ⅰ的面积为6，
∴正方形Ⅰ的边长为，
∵正方形Ⅱ的面积为3，
∴正方形Ⅱ的边长为，
∴大正方形的边长为+，
∴大正方形的面积为＝9+6，
故答案为：9+6．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算、完全平方公式等知识点，掌握二次根式的混合运算法则成为解答本题的关键．
35．（2022春·江苏泰州·七年级统考期中）如图，用图1中2张B型纸片（长为a、宽为b的长方形）按图2所示的方法放置于1张A型纸片（边长为α的正方形）上，已知B型纸片的面积是7，阴影部分的面积是8，则B型纸片的周长是 ．
【答案】12
【分析】根据图形分别表示出阴影部分面积以及B型纸片的面积，根据完全平方公式变形即可求解．
【详解】解：∵B型纸片的面积是7，阴影部分的面积是8，
∴，，
，
，
B型纸片的周长是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式与图形面积，利用完全平方公式变形求值是解题的关键．
三、解答题
36．（2023春·浙江·七年级专题练习）阅读思考：
定义：把一个式子或一个式子的部分改写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种解题方法叫配方法．
用途：配方法是初中数学一种很重要的变形技巧，是初中数学很重要的一种思想方法，应用很广泛，应用它可以简捷地处理一些解方程、因式分解、化简二次根式、证明恒等式、求代数式的最值问题．
方法：下面用拼图的方法来体会配方的过程．
例如：将代数式（即）写成的形式（其中h、k为常数），配方的过程中，可以看成将一个长是、宽是x的矩形割补成一个正方形．
所以，
（1）模仿：用拼图的方法将式子写成的形式（其中h、k为常数）．
（2）总结：在配方过程中，代数式需要先加上_____，再减去这个数或者代数式；
（3）应用：①__________；
②已知，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）一次项系数一半的平方；（3）①9，；②9
【分析】（1）模仿例题中拼图的方法配方的过程，即可得到答案；
（2）根据完全平方式的特点，即可得到答案；
（3）①利用完全平方式的特点，即可得到答案；②把等号左边化为两个完全平方式的和，即可求解．
【详解】解：（1）如图所示：

∴
（2）由题意得：在配方过程中，代数式需要先加上一次项系数一半的平方，再减去这个数或者代数式，
故答案是：一次项系数一半的平方；
（3）① ∵32()2，
∴9()2，
故答案是： 9，；
②解：，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查完全平方公式以及配方法，掌握完全平方公式：，是解题的关键．
37．（2023秋·河北廊坊·八年级统考期末）数学活动课上张老师用图中的1张边长为的正方形纸片，1张边长为的正方形纸片和2张宽、长分别为，的长方形纸片，拼成了如图②所示的大正方形．观察图形解答下列问题．
(1)由图①和图②可以得到的因式分解等式为______（用含，的代数式表示）；
(2)小高用这种纸片拼出一个面积为的大长方形，求需要，，三种纸片各多少张？
(3)如图③，已知是线段上的动点，分别以，为边在的两侧作正方形和正方形．若，且两个正方形面积之和，利用（1）中得到的结论求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)A种纸片2张，B种纸片6张，C种纸片7张
(3)
【分析】（1）由用图①中的1张边长为α的正方形A纸片、1张边长为b的正方形B纸片和2张宽和长分别为a与b的长方形C纸片，拼成了如图②中的大正方形可知，图②中边长为，即可算出面积；
（2）根据多项式乘多项式的法则进行计算即可得出答案；
（3）设，，则，，根据完全平方公式的变式，即可算出的值，根据三角形的面积计算方法进行求解即可得出答案．
【详解】（1）解： ．
（2）解：．
需要种纸片2张，种纸片6张，种纸片7张；
（3）设，，则．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景计算方法进行求解是解决本题的关键．
38．（2023春·山东泰安·六年级校考阶段练习）从边长为的正方形中减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 ；
（2）运用你从（1）写出的等式，完成下列各题：
①已知：，，求的值；
②计算：．
【答案】（1）；（2）①7；②
【分析】（1）分别表示出图1阴影部分的面积和图2阴影部分的面积，由二者相等可得等式；
（2）①将已知条件代入（1）中所得的等式，计算即可；②利用平方差公式将原式的各个因式进行拆分，计算即可．
【详解】解：（1）图1阴影部分的面积为，图2阴影部分的面积为，二者相等，从而能验证的等式为：，
故答案为：；
（2）①，，，
，
；
②
．
【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景及其在计算中的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式．
39．（2023春·浙江·七年级期中）若满足，求的值，
设，，则，，
所以．
（1）若满足，求的值；
（2）如图，已知正方形的边长为，，分别为，上的点，且，，长方形的面积是28，分别以，为边做正方形，求阴影部分面积．
【答案】（1）30；（2）阴影部分的面积是33．
【分析】（1）设9-x=a，x-3=b，根据已知等式确定出所求即可；
（2）设正方形ABCD边长为x，进而表示出MF与DF，求出阴影部分面积即可．
【详解】解：（1）设9-x=a，x-3=b，则(9-x)(x-3)=ab=3，a+b=9-x+x-3=6，
∴(9-x)2+(x-3)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=62-2×3=30；
（2）∵正方形ABCD的边长为x，
∴DE=x-1，DF=x-4，
设x-1=a，x-4=b，
则S长方形EMFD=ab=28，a-b=x-1-（x-4）=3，
那么(a+b)2=(a-b)2+4ab=121，得a+b=11(负值已舍)，
∴(x-1)2-(x-4)2=a2-b2=(a+b)(a-b)=33．
即阴影部分的面积是33．
．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．
40．（2023春·江苏无锡·七年级校考期中）知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．
例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题：
直接应用：（1）若，，直接写出的值 　 ；
类比应用：（2）填空：①若，则　　；
②若，则　　；
知识迁移：（3）两块完全一样的直角三角形（）如图2所示放置，其中C，B，D在一直线上，连接，，若，，求四边形的面积S．

【答案】（1）19；（2）①7；②8；（3）28
【分析】（1）根据，可得，然后把，，代入计算即可；
（2）①根据，把，代入计算即可；
②把变形为，然后仿照①求解即可；
（3）设，，由题意得，，然后利用求出，最后利用四边形的面积求解即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴
；
（2）①∵，
∴
；
②∵，
∴，
∴
；
（3）设，，
则，，
由题意得，，
∴
∴
∴
．
【点睛】本题考查完全平方公式，准确掌握公式的变式及灵活运用公式是解题的关键．
41．（2023春·安徽池州·七年级统考期中）完全平方公式：，适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，，求的值．
解：因为，
所以，即．又因为，所以．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若，，求的值；
(2)如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．

【答案】(1)12
(2)
【分析】（1）先计算的值，由即可求解；
（2）设，可得的值，由即可求解．
【详解】（1）解：因为，所以，
即．
又因为，所以，
所以，即的值为12．
（2）解：设，，则．
由题意得．
因为，
所以，
所以，
所以图中阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查完全平方公式的变形公式．熟记公式的形式是解题关键．
42．（2023春·山东枣庄·七年级校考阶段练习）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）
(1)观察图2请你写出、、之间的等量关系是______；
(2)根据（1）中的结论，若，，则______；
(3)拓展应用：若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据图2可知，大正方形面积等于内部小正方形与4个小长方形的面积之和，分别用含a和b的代数式表示可得出答案；
（2）由（1）可得出，据此即可得出答案；
（3）根据完全平方公式得出 ，再代入，据此即可得出答案．
【详解】（1）解：由图2可知，大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，
∴大正方形的面积为，小正方形的面积为，小长方形的面积为，
由题可知，大正方形面积等于小正方形与4个小长方形的面积之和，
即．
故答案为：；
（2）解：∵，，
∴．
∴．
故答案为：；
（3）解：∵
，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查整式的化简求值、完全平方公式，能正确根据完全平方公式进行变形是解题的关键．
43．（2022春·河北邢台·七年级统考期末）有两张完全相同的边长为m正方形纸片，先将其中的一张按图1所示分成两个边长分别为6和n的正方形和两个长方形，再将边长为n的正方形与另一张边长为m的正方形纸片按图2所示方式拼接成一个大的正方形，若阴影部分的面积为32；
(1)______；
(2)求的值；
(3)拓展，将3个边长为m和2个边长为n的正方形，按图3所示拼接并构成一个大正方形，求阴影部分的面积．
【答案】(1)6
(2)68
(3)124
【分析】（1）按照题中所构造的图形找到m、n之间的关系；
（2）结合图1和图2，找到m、n之间的关系，再进行等式变形即可得出答案；
（3）大正方形边长为2m+n，根据题意列等式，再通过完全平方公式的变形即可解答．
【详解】（1）解：由图1知，，
故答案为：6；
（2）解：由题意，得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，m+n＞0，
∴，又，
，
．
【点睛】本题考查了代数求值，完全平方公式在几何图形中的应用，解题关键理解题意，会利用数形结合得出关系式并正确求解．
44．（2022春·山东烟台·六年级统考期末）数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学，同学们，下面我们就用数形结合思想来解决下面问题吧！
(1)将图①甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你根据两个图形的面积关系得到的数学公式是___．
(2)将图②甲中阴影部分的一个小长方形变换到图乙位置，你根据两个图形的面积关系写出一个等式：( )= ．
(3)若把（2）中你写出的等式当做公式用，计算：．
(4)③甲是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图③乙那样拼成一个正方形，则图③乙中间空余的部分的面积是_________．
(5)观察图③乙，请你写出三个代数式，，之间的等量关系是_________．根据（5）中等量关系解决如下问题：若，，求的值．
【答案】(1)a2-b2=（a+b）（a-b）；
(2)a+2b，2b2
(3)x2+xy-2y2；
(4)（a-b）2
(5)（a+b）2-（a-b）2=4ab，6或-6．
【分析】（1）图甲可直接根据大矩形的面积不同表示方法来得出所求的公式；图乙需将图形补成正方形，然后仿照图甲的方法进行求解；
（2）分别表示出图甲，图乙的面积即可；
（3）先计算中括号里的除法运算，再利用（2）中的等式计算即可；
（4）中间部分的四边形是正方形，表示出边长，则面积可以求得；
（5）根据阴影部分面积可得关于（a+b）2，（a-b）2，ab的等式．
（1）解：图甲：大矩形的面积可表示为：①（a-b）（a+b）；②a（a-b）+b（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2；故（a-b）（a+b）=a2-b2；图乙：大正方形的面积可表示为：①a（a-b+b）=a2；②a（a-b）+b（a-b）+b2=（a+b）（a-b）+b2；故a2=b2+（a+b）（a-b），即a2-b2=（a+b）（a-b）．所以根据两个图形的面积关系，可得出的公式是a2-b2=（a+b）（a-b），故答案为：a2-b2=（a+b）（a-b）；
（2）解：图甲的面积可表示为：①（a-b）（a+2b），②a（a-b）+2b（a-b）=a2-ab+2ab-2b2=a2+ab-2b2；故（a-b）（a+2b）=a2+ab-2b2；图乙的面积可表示为：①a2+ab-2b2，②a（a-b）+b（a-b）+b（a-b）=（a-b）（a+2b）；故（a-b）（a+2b）=a2+ab-2b2，所以根据两个图形的面积关系，可得出的公式是（a-b）（a+2b）=a2+ab-2b2，故答案为：a+2b，2b2；
（3）解：（x-y）[（x+2y）4÷（x+2y）3]=（x-y）（x+2y）=x2+xy-2y2
（4）解：中间部分的四边形是正方形，边长是a+b-2b=a-b，则面积是（a-b）2．故答案为：（a-b）2；
（5）解：根据阴影部分面积可得：（a+b）2-（a-b）2=4ab；∵m+n=-7，mn=3.25，∴（m+n）2-（m-n）2=4mn，∴49-（m-n）2=13，∴m-n=6或-6．故答案为：（a+b）2-（a-b）2=4ab，6或-6．
【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，完全平方公式的几何背景，数形结合、表示出图形阴影部分面积是解题的关键．
45．（2022春·河北保定·七年级统考期中）乘法公式的探究及应用．
（1）如图 1，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）；
（2）如图 2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是 ，长是 ，面积是 （写成多项式乘法的形式）
（3）比较图 1，图 2 的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （用式子表达）
（4）应用所得的公式计算：（1﹣ ）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）
【答案】（1）a2-b2；（2）a-b，a+b，（a+b）（a-b）；（3）（a+b）（a-b）=a2-b2；（4）．
【分析】（1）小题1：利用正方形的面积公式就可求出；
（2）仔细观察图形就会知道长，宽，由面积公式就可求出面积；
（3）建立等式就可得出；
（4）利用平方差公式就可方便计算．
【详解】（1）利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积=a2-b2；
故答案为：a2-b2；
（2）由图可知矩形的宽是a-b，长是a+b，所以面积是（a+b）（a-b）；
故答案为：a-b，a+b，（a+b）（a-b）；
（3）（a+b）（a-b）=a2-b2（等式两边不能交换位置）；
故答案为：（a+b）（a-b）=a2-b2；
（4）（1﹣ ）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）
=（1-）（1+）（1-）（1+）（1-）（1+）…（1-）（1+）（1-）（1+）
=×
=
．
【点睛】此题考查平方差公式，解题关键在于掌握两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．
46．（2022秋·江苏泰州·七年级校考期中）将若干个同样大小的小长方形纸片拼成如图形状的大长方形小长方形纸片长为a，宽为，请你仔细观察图形，解答下列问题：
（1）a和b之间的关系满足_____________________．
（2）图中阴影部分的面积与大长方形面积的比值是___________．
（3）请你仔细观察图中的一个阴影部分，根据它面积的不同表示方法，请你写出，与三个代数式之间的等量关系_________________________
应用：根据探索中的等量关系，解决如下问题：求的值
【答案】（1）a=3b；（2）；（3）（a-b）2=-4；.
【分析】（1）根据小长方形的4个长等于小长方形的3个长和3个宽，列出等式，得出a，b的关系；
（2）根据图形分别表示出阴影部分的面积和大长方形面积，再把（1）的结果代入化简即可；
（3）用两种方法同时表示一个阴影部分的面积，即可得出，与三个代数式之间的等量关系；利用这个等量关系即可求出的值．
【详解】解：（1）根据图形可得：4a=3a+3b，
解得：a=3b；
故答案为：a=3b；
（2）大长方形的面积是4a（a+3b）=4a×6b=12b×6b=72b2，
阴影部分的面积是3（a-b）2=3（3b-b）2=12b2，
则阴影部分的面积是大长方形面积的；
故答案为：；
（3）根据图形可得一个阴影部分的面积为：（a-b）2或-．
所以（a-b）2=-；
应用：∵，
∴（）2=（）2-4xy
=52-4×
=25-9
=16，
∴ =±4．
故答案为：（a-b）2=-；±4．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，在解题时要根据题意结合图形得出答案是解题的关键．
47．（2022秋·江苏泰州·七年级江苏省黄桥中学校考期中）在下列横线上用含有，的代数式表示相应图形的面积．
（1）①________；②__________；③__________；④_________________．
（2）通过拼图，你发现前三个图形的面积与第四个图形面积之间有什么关系？请用数学式子表示：________________________________________.
（3）利用（2）的结论计算1972+2×197×3+32的值．( 注意不利用以上结论不得分)
【答案】（1）① ；② ；③ ；④ ;（2）;
（3）.
【分析】（1）根据图形可以写出各个图形的面积，本题得以解决；
（2）根据图形和各个图形的面积，可以得到前三个图形的面积与第四个图形面积之间的关系；
（3）根据（2）中的结论可以解答本题．
【详解】解：（1）根据题意，得：
①图形的面积为：；②图形的面积为：；③图像的面积为：；④图形的面积为；
故答案为① ；② ；③ ；④ ；
（2）由图可得，前三个图形的面积与第四个图形面积之间关系是：
；
（3）
=
=
=40000；
【点睛】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式，利用数形结合的思想解答．
48．（2023春·湖南怀化·七年级校联考期末）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪开拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分面积可表示为：，图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：．

【拓展探究】图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪开平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形．
（1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积：
方法1： ，方法2： ，可得到一个关于、、的等量关系式是 ；
（2）若，，则 ；
【知识迁移】
（3）如图5，正方形和正方形的边长分别为，，若，，是的中点，则图中的阴影部分面积的和．
【答案】（1），；；（2）37；（3）11
【分析】（1）根据大正方形的面积减去4个小长方形的面积，阴影部分面积面积等于边长为的小正方形的面积；根据两种方法得到的面积相等列出等式；
（2）根据完全平方公式变形求值即可求解．
（3）根据阴影部分面积等于，进行化简，结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可求解．
【详解】解：（1）方法1：，方法2：，
，
故答案为：，；；
（2）∵，，
∴ ，
故答案为：37；
（3）阴影部分面积和
，
∵，，
∴，
∴阴影部分面积和等于．
【点睛】本题考查了完全平方公式与几何图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
49．（2022春·七年级单元测试）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形如图1，然后将剩余部分拼成一个长方形如图2．

(1)上述操作能验证的等式是____；请选择正确的一个
A、 B、 C、
(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知，，求的值．
②计算：
【答案】(1)B
(2)①3；②
【分析】（1）用两种方法表示阴影部分的面积即可得出所验证的等式；
（2）①将，再整体代入计算即可；②将原式转化为即可．
【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为，
图2阴影部分的长为，宽为，
因此图2阴影部分的面积为，
由于图1、图2的阴影部分的面积相等可得，
故答案为：B；
（2）①，即，
又，
；
②原式
．
【点睛】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
50．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期中）如图，一块直径为a+b的圆形钢板，从中挖去直径分别为a与b的两个圆，若a+b＝4，a2+b2＝10，求剩下的钢板的面积．
【答案】
【分析】由大圆面积减去两个小圆面积求出阴影部分面积即可．
【详解】根据题意得：S阴影＝()2π-()2π-()2π＝，
∵a+b＝4，a2+b2＝10，
∴ab＝＝，
∴S阴影＝．
【点睛】此题考查了圆的面积和整式的混合运算，以及完全平方公式的应用，应用完全平方公式求得ab是解本题的关键．
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