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重难突破04 “三线合一”综合应用
重难突破
一、单选题
1．（2022秋·八年级单元测试）如图，在中AB＝AC，BC=4，面积是20，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
2．（2022秋·福建福州·八年级统考期中）如图，若是等边三角形，，是边上的高，延长到E，使，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．（2022秋·福建福州·八年级校考期中）中，，为边的中点，，则的度数为　　
A． B． C． D．
4．（2023春·八年级课时练习）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC，给出下列结论：①∠BAD＝∠C；②∠AEF＝∠AFE；③∠EBC＝∠C；④AG⊥EF．其中正确的结论是（ ）
A．②③④ B．①③④
C．①②④ D．①②③
5．（2022秋·八年级课时练习）如图，在△ABC中AB＝AC，BC＝8，面积是20，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．12
6．（2022秋·福建漳州·八年级统考期末）如图，在中，，，是的平分线，．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（ ）
A． B．4 C．5 D．
7．（2022秋·福建厦门·八年级校考期中）如图，已知，点P在边上，cm，点M、N在边上，，若cm，则为（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．1cm
8．（2022秋·福建南平·八年级统考期中）如图，等腰的底边BC长为4cm，面积为，腰AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，D为BC的中点，M为直线EF上的动点．则周长的最小值为（　　　）
A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm
9．（2011秋·福建福州·八年级统考期末）如图，中，AB=AC，AD是的平分线，，，垂足分别是E，F，则下列四个结论：（1）DE=DF；（2）线段AD上任一点到点C、点B的距离相等；（3）BD=CD；（4）其中，正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2023·福建龙岩·校考一模）已知：等腰直角三角形ABC的腰长为4，点M在斜边AB上，点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，则PM的最小值为（　　）
A．2 B．2﹣2 C．2+2 D．2
11．（2022秋·福建泉州·八年级统考期末）如图，是等边三角形的中线，以为斜边作等腰直角三角形，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
12．（2022秋·福建厦门·八年级厦门市湖里中学校考期中）如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，则以下结论不正确的是：（ ）
A． B．是的垂直平分线
C．平分 D．
13．（2022秋·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）如图，在中，，，是的平分线，．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（ ）
A． B．4 C．5 D．
14．（2022秋·福建厦门·八年级校考期中）如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
15．（2022秋·福建漳州·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AC＝BC，用尺规作CF⊥AB，交AB于点G，若∠BCG＝50°，则∠A的度数为（　　）
A．40° B．45° C．50° D．60°
16．（2022秋·八年级课时练习）如图，已知，点在边上，，点在边上，，若，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
17．（2023秋·福建厦门·八年级统考期末）对于等腰三角形形“三线合一”性质定理的推理过程，下列正确的是（ ）
A．∵是等腰三角形，∴平分
B．∵是等腰三角形，∴平分，，
C．∵是等腰三角形，平分，∴，
D．∵是等腰三角形，平分，，∴
18．（2022秋·福建厦门·八年级厦门一中校考期末）如图，在中，，，如果D是的中点，，垂足是E，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．
19．（2022秋·福建龙岩·八年级统考期中）木工师傅将一个含45度角的三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，能解释这一现象的数学知识是（ ）
A．垂线段最短 B．等腰三角形的“三线合一”
C．角平分线的性质定理 D．线段垂直平分线的性质定理
20．（2022秋·福建南平·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=AC， AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF ⊥AC于F，则下列说法：①DA平分∠EDF；②AE=AF，DE=DF；③AD上任意一点到B、C两点的距离相等；④图中共有3对全等三角形，其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
21．（2022秋·福建福州·八年级统考期中）如图，在中，，，垂足为点，点，是上的两点，若的面积为，则图中阴影部分的面积是 ．
22．（2022春·福建厦门·八年级期末）P是△ABC内一点，∠PBC＝30°，∠PBA＝8°，且∠PAB＝∠PAC＝22°，则∠APC的度数为 ．
23．（2022秋·福建泉州·八年级统考期末）如图，是的高，的平分线交于点G，则的值为 ．
24．（2022秋·福建福州·八年级福建省福州第十六中学校考期末）如图，，点，在射线上（都不与点重合），且，点在射线上，若为等腰直角三角形，则的长为 ．
25．（2022春·福建泉州·七年级统考期末）如图，在中，，是边上的高，是中线，的平分线交于点，交于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
26．（2022秋·福建龙岩·八年级校联考期中）如图，∠AOB=30°，点P位于∠AOB内，OP=3，点M，N分别是射线OA、OB边上的动点，当△PMN的周长最小时，最小周长为 ．
27．（2022秋·福建莆田·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，是的两条中线，，，P是上的一个动点，连接，，则的最小值是 ．
28．（2022秋·福建三明·九年级三明市列东中学校考阶段练习）如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为 ．
29．（2022秋·福建福州·八年级校考期末）如图，在等腰中，，为上一点，且，若，，则的长是 ．
30．（2022秋·福建厦门·八年级校考期中）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则周长的最小值为 ．
31．（2022秋·福建漳州·八年级统考期末）在ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线分别交AB，AC边于点D，E，若AE＝BC，则＝ ．
32．（2022·福建宁德·八年级校联考期中）如图，等边中，AD是中线，于点E，，则点D到AB的距离为： ．
33．（2022秋·福建厦门·八年级统考期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为点F，DE = DG，△ADG和△AED的面积分别为65和33，则△EDF的面积为 ．
34．（2022秋·福建南平·八年级统考期中）已知：在中，，垂足为点，若，，则 .
35．（2023秋·福建泉州·八年级统考期末）如图，是等腰直角三角形的底边上的中线，以为边向右作等边三角形，则的度数为 ．
三、解答题
36．（2022春·福建福州·八年级统考期末）如图为5×5的网格，每个小正方形的边长都是1，正方形的顶点称为格点，A，B，C都是格点．
（1）H为一格点，连接CH，使CH是△ABC的高，画出CH；
（2）D为一格点，且BA平分∠DBC，画出线段BD．
37．（2022·福建厦门·八年级校考期中）如图，已知△ABC中，AB＝BC，D为AC中点，过点D作DE∥BC，交AB于点E．
（1）求证：AE＝DE；
（2）若∠C＝65°，求∠BDE的度数．
38．（2022秋·福建莆田·八年级福建省莆田市中山中学校考期中）如图，在中，，点O为中点，点E为边上一点，交于点F，求四边形的面积．
39．（2022秋·福建福州·八年级福建省福州杨桥中学校考期中）如图，在ABC中，AB＝AC，BC＝2，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE和CE．
（1）补全图形；
（2）若点F是AC的中点，请在BC上找一点P使AP+FP的值最小，并求出最小值．
40．（2022秋·福建泉州·八年级校考阶段练习）如图所示，已知AB=AC，AD是高，BE=CF．求证：△BDE≌△CDF．
41．（2022秋·福建莆田·八年级校联考期中）求证：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等（要求画图，写出已知，求证，然后证明）．
已知：
求证：
证明：
42．（2022秋·福建厦门·八年级厦门市第九中学校考期中）如图，已知等边中，点是的中点，点是延长线上的一点，且，，垂足为，求证：点是的中点．
43．（2022秋·福建莆田·八年级莆田二中校考期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线．
(1)请你利用无刻度直尺和圆规完成如下操作：作边AB的垂直平分线与AD相交于点P．
(2)连接PB，PC．写出线段PA，PB，PC之间的数量关系，并说明理由．
44．（2022秋·福建龙岩·八年级龙岩初级中学校联考期中）求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于其顶角的一半．根据条件和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”．
已知：在中，为锐角，，　 　．
求证：　 　．
证明：　 　．

45．（2022秋·福建福州·九年级福建省福州第一中学校考开学考试）如图，在△ABC中，CD=CA，CE⊥AD于点E，BF⊥AD于点F．求证：∠ACE=∠DBF．
46．（2022秋·福建厦门·八年级校考期末）如图，在△ABC中，已知AB=BC，∠ABC=90°，点P是斜边AC上一点，作射线BP，过点A作ADBP于点D，过点C作CEBP于点E．
(1)依题意补全图形（不用尺规作图），并求证AD=BE；
(2)若AP=BC，△BPC的面积为9，求CE的长．
47．（2022秋·福建厦门·八年级校考期中）如图1，在平面直角坐标系中，点和点分别在轴和轴的正半轴上，并且．为线段上一点，且满足．

(1)点A的坐标为______，点的坐标为______，点的纵坐标为______；
(2)如图2，点是线段上一动点（与点、A不重合），连接交于点，在点运动过程中，探究、、之间的数量关系，并证明．
48．（2022秋·福建厦门·八年级厦门市湖里中学校考期中）在等边三角形中，点在边上，点在的延长线上，且.
（1）如图1，当为中点时，求证：；
（2）如图2，若，，求．
49．（2022秋·福建厦门·八年级校考期中）如图，中，点D在边上，连接，，．
(1)如图1，求证：
(2)如图1，求证：．
(3)如图2，在（2）的条件下，连接，交于点F，若，且，时，求的长．
50．（2022春·福建福州·七年级福建省福州第一中学校考期末）如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动，
（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB＝MC．
（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系．
（3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由．
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重难突破04 “三线合一”综合应用
重难突破
一、单选题
1．（2022秋·八年级单元测试）如图，在中AB＝AC，BC=4，面积是20，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【分析】连接AD，AM，由题意易得AD⊥BC，BD=DC=2，AM=MC，则有，要使△CDM的周长为最小值，只需A、M、D三点共线，进而问题可求解．
【详解】解：连接AD，AM，如图所示：
∵AB=AC，点D是BC的中点，BC=4，
∴AD⊥BC，BD=DC=2，
∵△ABC的面积为20，
∴，
∴AD=10，
∵EF垂直平分AC，
∴AM=MC，
∴，
要使△CDM的周长为最小值，只需A、M、D三点共线，即MD+AM=AD，
∴△CDM的周长为最小值为；
故选：D．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、垂直平分线的性质定理、两点之间线段最短，熟练掌握等腰三角形的性质、垂直平分线的性质定理是解题的关键．
2．（2022秋·福建福州·八年级统考期中）如图，若是等边三角形，，是边上的高，延长到E，使，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°，BD是AC边上的高，则∠DBC=30°，AD=CD=AC，再由题中条件CE=CD，即可求得BE．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC=6，
∵BD是AC边上的高，
∴AD=CD=AC=3，∠DBC=∠ABC=30°，
∵CE=CD，
∴CE=AC=3，
∴BE=BC+CE=6+3=9．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及等边三角形的性质，考查了学生综合运用数学知识的能力，得到AD=CD=AC是正确解答本题的关键．
3．（2022秋·福建福州·八年级校考期中）中，，为边的中点，，则的度数为　　
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知条件，利用等腰三角形三线合一的性质进行求解．
【详解】解：，
是等腰三角形，
是边上的中点，
，
．
．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质；利用三线合一是正确解答本题的关键．
4．（2023春·八年级课时练习）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC，给出下列结论：①∠BAD＝∠C；②∠AEF＝∠AFE；③∠EBC＝∠C；④AG⊥EF．其中正确的结论是（ ）
A．②③④ B．①③④
C．①②④ D．①②③
【答案】C
【分析】①根据同角的余角相等求出∠BAD＝∠C；②再根据等角的余角相等可以求出∠AEF＝∠AFE；③只有∠C＝30°时∠EBC＝∠C；④根据等腰三角形三线合一的性质求出AG⊥EF．
【详解】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠C＋∠ABC＝90°，
∠BAD＋∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝∠C，故①正确；
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠ABE＋∠AEF＝90°，
∠CBE＋∠BFD＝90°，
∴∠AEF＝∠BFD，
又∵∠AFE＝∠BFD（对顶角相等），
∴∠AEF＝∠AFE，故②正确；
∵∠ABE＝∠CBE，
∴只有∠C＝30°时∠EBC＝∠C，故③错误；
∵∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF，
∵AG平分∠DAC，
∴AG⊥EF，故④正确．
综上所述，正确的结论是①②④．
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，同角的余角相等的性质以及等角的余角相等的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
5．（2022秋·八年级课时练习）如图，在△ABC中AB＝AC，BC＝8，面积是20，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】B
【分析】连接AD，AM，首先由AB＝AC，得到△ABC是等腰三角形，然后根据点D为BC边的中点，得出，根据垂直平分线的性质得出AM=CM，然后可判断出AD的长度即线段CM+DM的最小值，即可求出△CDM周长的最小值．
【详解】解：如图所示，连接AD，AM，
∵是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴，
，
解得：，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴，
∵，
∴的长为的最小值，
∴的周长最短=．
故选：B．
【点睛】此题考查了等腰三角形三线合一的性质，轴对称最短路径问题，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质和垂直平分线的性质．
6．（2022秋·福建漳州·八年级统考期末）如图，在中，，，是的平分线，．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（ ）
A． B．4 C．5 D．
【答案】A
【分析】由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点B作于点Q，交 于点P，则此时的取最小值，最小值为的长度，在中，利用 面积法可求出的长．
【详解】解：过点B作于点Q，交 于点P，如图所示：
，是的平分线，
，
垂直平分，
，
要使取最小值，则当时，为最小值，
，
又，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，等腰三角形的性质以及等面积法，利用点到直线，垂线段最短找出的最小值为是解题的关键．
7．（2022秋·福建厦门·八年级校考期中）如图，已知，点P在边上，cm，点M、N在边上，，若cm，则为（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．1cm
【答案】B
【分析】过P作于D，根据等腰三角形的性质和已知条件求出，根据含 角的直角三角形的性质求出，再求出答案即可．
【详解】解：过P作于D，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵cm，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么这个角所对的直角边等于斜边的一半．
8．（2022秋·福建南平·八年级统考期中）如图，等腰的底边BC长为4cm，面积为，腰AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，D为BC的中点，M为直线EF上的动点．则周长的最小值为（　　　）
A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm
【答案】D
【分析】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，推出MC+DM＝MA+DM≥AD，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：连接AD，MA．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8 cm，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴MA＝MC，
∴MC+DM＝MA+DM≥AD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝10（cm）．
故选：D．
【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质和垂直平分线的性质是解答此题的关键．
9．（2011秋·福建福州·八年级统考期末）如图，中，AB=AC，AD是的平分线，，，垂足分别是E，F，则下列四个结论：（1）DE=DF；（2）线段AD上任一点到点C、点B的距离相等；（3）BD=CD；（4）其中，正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，
∴DE=DF，（1）正确；
∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴线段AD上任一点到点C、点B的距离相等，
∴（2），（3）正确；
∵AB=AC，
∴∠B=∠C；
∵∠BED=∠DFC=90°，
∴∠BDE=∠CDF，（4）正确．
故选D．
10．（2023·福建龙岩·校考一模）已知：等腰直角三角形ABC的腰长为4，点M在斜边AB上，点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，则PM的最小值为（　　）
A．2 B．2﹣2 C．2+2 D．2
【答案】B
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到斜边AB＝4，由已知条件得到点P在以C为圆心，PC为半径的圆上，当点P在斜边AB的中线上时，PM的值最小，于是得到结论．
【详解】解：∵等腰直角三角形ABC的腰长为4，
∴斜边AB＝4，
∵点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，
∴点P在以C为圆心，PC为半径的圆上，
当点P在斜边AB的中线上时，PM的值最小，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴CM＝AB＝2，
∵PC＝2，
∴PM＝CM﹣CP＝2﹣2，
故选：B．
【点睛】本题考查线段最小值问题，涉及等腰三角形的性质和点到圆的距离，解题的关键是能够画出图形找到取最小值的状态然后求解．
11．（2022秋·福建泉州·八年级统考期末）如图，是等边三角形的中线，以为斜边作等腰直角三角形，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得，再根据等腰直角三角形的性质可得，根据即可求出的度数．
【详解】解：是等边三角形
是等边三角形的中线
以为斜边作等腰直角三角形
故选：B．
【点睛】此题考查了三角形的度数问题，解题的关键是掌握等边三角形和等腰直角三角形的性质、角的和差关系．
12．（2022秋·福建厦门·八年级厦门市湖里中学校考期中）如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，则以下结论不正确的是：（ ）
A． B．是的垂直平分线
C．平分 D．
【答案】B
【分析】根据垂直平分线的判定定理和等腰三角形的性质逐项进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴点A、C在线段的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线，
∴，故A正确，
∵无法证明,，
∴B错误；
∵，，
∴平分，，故CD正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的判定和等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上．
13．（2022秋·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）如图，在中，，，是的平分线，．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（ ）
A． B．4 C．5 D．
【答案】A
【分析】由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点B作于点Q，交 于点P，则此时的取最小值，最小值为的长度，在中，利用 面积法可求出的长．
【详解】解：过点B作于点Q，交 于点P，如图所示：
，是的平分线，
，
垂直平分，
，
要使取最小值，则当时，为最小值，
，
又，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，等腰三角形的性质以及等面积法，利用点到直线，垂线段最短找出的最小值为是解题的关键．
14．（2022秋·福建厦门·八年级校考期中）如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】A
【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB=45°，即可得出结论．
【详解】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴BD=CD，
即：AD是BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠EBC=45°，
∴∠ECB=45°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°，
故选A．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出∠ECB是解本题的关键．
15．（2022秋·福建漳州·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AC＝BC，用尺规作CF⊥AB，交AB于点G，若∠BCG＝50°，则∠A的度数为（　　）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【答案】A
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得，再由直角三角形两锐角互余的性质即可求得∠A．
【详解】解：，，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．
16．（2022秋·八年级课时练习）如图，已知，点在边上，，点在边上，，若，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】作PH⊥MN于H，根据等腰三角形的性质求出MH，根据直角三角形的性质求出OH，计算即可．
解：作PH⊥MN于H，
∵PM=PN，
∴MH=NH=12MN=1，
∵∠AOB=60°，
∴∠OPH=30°，
∴OH=12OP=5，
∴OM=OH MH=4，
故选B.
17．（2023秋·福建厦门·八年级统考期末）对于等腰三角形形“三线合一”性质定理的推理过程，下列正确的是（ ）
A．∵是等腰三角形，∴平分
B．∵是等腰三角形，∴平分，，
C．∵是等腰三角形，平分，∴，
D．∵是等腰三角形，平分，，∴
【答案】C
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质来判断各选项．
【详解】解：“三线合一”性质定理的推理过程为：
∵是等腰三角形，平分，
∴，，
或∵是等腰三角形，，
∴，平分，
或∵是等腰三角形，，
∴平分，，
故选：C．
【点睛】此题主要考查的是等腰三角形的判定和性质．等腰三角形“三线合一”是指底边上的中线、垂线、顶角上的角平分线，三线合一．
18．（2022秋·福建厦门·八年级厦门一中校考期末）如图，在中，，，如果D是的中点，，垂足是E，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据等腰三角形性质及内角和定理可推出，连接，可求得，再由直角三角形性质即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵，，D是的中点，
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴，
设，则，，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形与直角三角形的性质，掌握等腰三角形与含角的直角三角形的性质并准确作出辅助线是解答本题的关键．
19．（2022秋·福建龙岩·八年级统考期中）木工师傅将一个含45度角的三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，能解释这一现象的数学知识是（ ）
A．垂线段最短 B．等腰三角形的“三线合一”
C．角平分线的性质定理 D．线段垂直平分线的性质定理
【答案】B
【分析】利用等腰三角形的性质即可确定答案．
【详解】解：由题意可知，三角尺是等腰的，等腰三角形底边上的高与底边上的中线重合，若重锤的线经过三角尺底边的中点刻度，说明重锤与三角形底边上的高是重合的，而重锤是和水平面互相垂直的，所以说明此时的横梁是水平的，如果重锤的线没有经过三角尺底边的中点刻度，则说明横梁不是水平的， 因此能解释这一现象的数学知识是等腰三角形的三线合一．
故选：B．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，理解等腰三角形三线合一（顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合）的性质是解题的关键．
20．（2022秋·福建南平·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=AC， AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF ⊥AC于F，则下列说法：①DA平分∠EDF；②AE=AF，DE=DF；③AD上任意一点到B、C两点的距离相等；④图中共有3对全等三角形，其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【详解】试题分析：∵在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的平分线，
根据等腰三角形底边上的“三线合一”可知，AD垂直平分BC，①正确；
由①的结论，已知DE⊥AB，DF⊥AC，可证△ADE≌△ADF（AAS）
故有AE=AF，DE=DF，②正确；
AD是△ABC的平分线，根据角平分线性质可知，AD上的点到B、C两点距离相等，③正确；
根据图形的对称性可知，图中共有3对全等三角形，④正确．
正确的结论共有4个.
故选A.
考点：全等三角形的判定与性质．
二、填空题
21．（2022秋·福建福州·八年级统考期中）如图，在中，，，垂足为点，点，是上的两点，若的面积为，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】先利用等腰三角形的三线合一性质可得是的垂直平分线，从而可得，然后利用证明，从而可得图中阴影部分的面积的面积，进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
在和中，，
∴，
∴的面积的面积，
∵的面积为6，，
∴的面积的面积，
∴图中阴影部分的面积的面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质是解题的关键．
22．（2022春·福建厦门·八年级期末）P是△ABC内一点，∠PBC＝30°，∠PBA＝8°，且∠PAB＝∠PAC＝22°，则∠APC的度数为 ．
【答案】142°
【分析】在AC的延长线上截取AF=AB，连BF，PF，延长AP交BC于D，交BF于E，证得△APB≌△APF，则AP为BF的垂直平分线，由∠PBA=8°可得∠CBF=30°=∠CBP，∠BFP=60°=∠BPF，可得BC平分PF，进一步可求出∠APC的度数．
【详解】在AC的延长线上截取AF＝AB，连BF，PF，延长AP交BC于D，交BF于E，
在△APB和△APF中，
，
∴△APB≌△APF（SAS），
∴AB＝AF，PB＝PF，∠AFP＝∠ABP＝8°，
∴AP垂直平分BF，∠BPE＝∠BAP+∠ABP＝30°°，∠FPE＝∠CAP+∠AFP＝30°
∴∠AEP=∠FEP=90°，
∴∠PBF=∠PFB=60°
∵∠PBC＝30°
∴∠CBF＝30°＝∠PBC，∠BPF＝∠BFP＝∠PBF=60°，
∴三角形BPF是等边三角形，BC平分∠PBF
∴BC垂直平分PF
∴PC=PF
∴∠CPF＝∠CFP＝8°
∴∠DPC＝38°
∴∠APC＝142°；
故答案为：142°．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质及线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是作辅助线，证明△APB≌△APF．
23．（2022秋·福建泉州·八年级统考期末）如图，是的高，的平分线交于点G，则的值为 ．
【答案】2
【分析】在上取点，使，连接，证明，计算即可．
【详解】解：在上取点，使，连接，
，
，
，，
由三角形内角和定理得，，
，
，
是的平分线，
，
，
在中，，
，
，
，，
，
，
，
，
，即，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了三角形内角和，角平分线，垂直平分线的性质，三线合一，等腰三角形的判定和性质，掌握相应定理，熟练转化角和边的关系是解题的关键．
24．（2022秋·福建福州·八年级福建省福州第十六中学校考期末）如图，，点，在射线上（都不与点重合），且，点在射线上，若为等腰直角三角形，则的长为 ．
【答案】6或3
【分析】分三种情况①如图1，当，，②如图2，当，时，过作于，③如图3，当，，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：若为等腰直角三角形，
①如图1，当，，
，
；
②如图2，当，时，
过作于，
则，
，
，
③如图3，当，，
，
；
综上所述，的长为6或3，
故答案为：6或3．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，含直角三角形的性质，分类思想的运用是解题的关键．
25．（2022春·福建泉州·七年级统考期末）如图，在中，，是边上的高，是中线，的平分线交于点，交于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①②③
【分析】①根据等底等高的两个三角形面积相等即可判断；
②根据三角形内角和定理求出∠ABC=∠CAD，再由三角形外角性质即可判断；
③根据三角形内角和定理求出∠FAG=∠ACD，再根据三角形角平分线定义即可判断；
④根据等腰三角形的性质即可判断．
【详解】解：∵BE是中线，
∴AE=CE，
∴S△ABE=S△BCE，
故①正确；
∵CF是角平分线，
∴∠ACF=∠BCF，
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，∠ACB+∠CAD=90°，
∴∠ABC=∠CAD，
∵∠AFG=∠ABC+∠BCF，∠AGF=∠CAD+∠ACF，
∴∠AFG=∠AGF，
故②正确；
∵AD是高，
∴∠ADB=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，∠ABC+∠BAD=90°，
∴∠ACB=∠BAD，
∵CF是角平分线，
∴∠ACB=2∠ACF，
∴∠BAD=2∠ACF，
即∠FAG=2∠ACF，
故③正确；
∵CF平分∠ACB，
∴只有当AC=BC时，AF=FB，
故④错误；
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了三角形的角平分线，中线和高的定义，三角形内角和定理，熟练掌握角平分线，中线，高的定义是解题的关键，属于基础题．
26．（2022秋·福建龙岩·八年级校联考期中）如图，∠AOB=30°，点P位于∠AOB内，OP=3，点M，N分别是射线OA、OB边上的动点，当△PMN的周长最小时，最小周长为 ．
【答案】3
【分析】作点关于、的对称点、，连接，根据轴对称的性质可得，从而可得周长，再根据两点之间线段最短可得当点四点共线时，的值最小，最小值为的长，然后根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得，最后根据等边三角形的判定与性质可得，由此即可得．
【详解】解：如图，作点关于、的对称点、，连接，
则垂直平分，垂直平分，
，
周长为，
由两点之间线段最短可知，当点四点共线时，的值最小，最小值为的长，
，
（等腰三角形的三线合一），
同理可得：，
，
，
，
又，
是等边三角形，
，
的最小值是3，
周长的最小值是3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，轴对称的性质、线段垂直平分线的判定与性质等知识点，正确找出使得的周长最小时，点的位置是解题关键．
27．（2022秋·福建莆田·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，是的两条中线，，，P是上的一个动点，连接，，则的最小值是 ．
【答案】6
【分析】如图连接，只要证明，即可推出，由，可得P、B、E共线时，的值最小，最小值为BE的长度．
【详解】解：如图，连接PB，
∵，是的中线，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴P、B、E共线时，的值最小，最小值为的长度，
∴的最小值是6．
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
28．（2022秋·福建三明·九年级三明市列东中学校考阶段练习）如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为 ．
【答案】14
【详解】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8，
∴AD⊥BC，CD=BD=BC=4，
∵点E为AC的中点，
∴DE=CE=AC=5，
∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14．
故答案为∶14
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
29．（2022秋·福建福州·八年级校考期末）如图，在等腰中，，为上一点，且，若，，则的长是 ．
【答案】
【分析】过点作于，根据含度的直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质即可求解．
【详解】解：过点作于，
，
，
，
，
，
在等腰中，，
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了含度的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握含度的直角三角形的性质，等腰三角形的性质．
30．（2022秋·福建厦门·八年级校考期中）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则周长的最小值为 ．
【答案】10
【分析】连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线，可知点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：如图，连接，
是等腰三角形，点是边的中点，
，
，
解得，
是线段的垂直平分线，
点关于直线的对称点为点，
的长为的最小值，
周长的最小值．
故答案为：10．
【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
31．（2022秋·福建漳州·八年级统考期末）在ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线分别交AB，AC边于点D，E，若AE＝BC，则＝ ．
【答案】60°/60度
【分析】根据垂直平分线的性质得到AE=BE，从而求出∠AED=∠BED=50°，得到∠BEC，再根据AE=BC，得到BE=BC，从而根据等边对等角求出∠C．
【详解】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠AED=∠BED=90°-40°=50°，
∴∠BEC=180°-2×50°=80°，
∵AE=BC，
∴BE=BC，
∴∠C=∠BEC=80°，
故答案为：60°．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用这些性质，得到相等的边和角．
32．（2022·福建宁德·八年级校联考期中）如图，等边中，AD是中线，于点E，，则点D到AB的距离为： ．
【答案】3
【分析】作DF⊥AB，根据等腰三角形性质可得AD是∠BAC的角平分线；根据角平分线性质可得DF=DE=3．
【详解】解：作DF⊥AB
因为，三角形ABC是等边三角形，AD是中线
所以，∠BAD=∠CAD=30 ,即：AD是∠BAC的角平分线．
因为，
所以，DF=DE=3
所以，D到AB的距离为3．
故答案为3．
【点睛】本题考核知识点：等腰三角形性质，角平分线性质. 解题关键点：熟记等腰三角形“三线合一”性质．
33．（2022秋·福建厦门·八年级统考期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为点F，DE = DG，△ADG和△AED的面积分别为65和33，则△EDF的面积为 ．
【答案】16
【详解】解：过D作DN于N，在AC上找一点M，令AM=AE，
∵AE=AM，∠EAD=∠MAD，AD=AD，
∴,
△ADG和△AED的面积分别为65和33，
∴，
∵DE=DG，
∴DM=DG，
∴DMG是等腰三角形，
∵DF=DN，DE=DM，
∴，
∴
34．（2022秋·福建南平·八年级统考期中）已知：在中，，垂足为点，若，，则 .
【答案】75°或35°
【分析】分两种情况：当为锐角时，过点A作AD=AB，交BC于点D，通过等量代换得出，从而利用三角形外角的性质求出，最后利用三角形内角和即可求解；当为钝角时，直接利用等腰三角形的性质和外角的性质即可求解．
【详解】当为锐角时，过点A作AD=AB，交BC于点D，如图1
当为钝角时，如图2
故答案为：75°或35°．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形外角的性质，分情况讨论是解题的关键．
35．（2023秋·福建泉州·八年级统考期末）如图，是等腰直角三角形的底边上的中线，以为边向右作等边三角形，则的度数为 ．
【答案】/15度
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，再由等边三角形的性质可得，即可求解．
【详解】解：∵是等腰直角三角形，
∴，
∵是的底边上的中线，
∴，即，
∴，
∵以为边向右作等边三角形，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了等腰三角形和等边三角形的性质，熟练掌握等腰三角形和等边三角形的性质是解题的关键．
三、解答题
36．（2022春·福建福州·八年级统考期末）如图为5×5的网格，每个小正方形的边长都是1，正方形的顶点称为格点，A，B，C都是格点．
（1）H为一格点，连接CH，使CH是△ABC的高，画出CH；
（2）D为一格点，且BA平分∠DBC，画出线段BD．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）CH是△ABC过点C的高，故过点C作CH⊥直线AB即可找到点H；
（2）作∠CBA=∠DBA，找到射线BD，射线BD经过的格点即为点D．
【详解】解：（1）如图，线段CH即为所求．
（2）如图，线段BD即为所求．
【点睛】本题考查了等角的作图，三角形高的画法，属于基础题．
37．（2022·福建厦门·八年级校考期中）如图，已知△ABC中，AB＝BC，D为AC中点，过点D作DE∥BC，交AB于点E．
（1）求证：AE＝DE；
（2）若∠C＝65°，求∠BDE的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）25°．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠C＝∠A，由平行线的性质可得∠C＝∠ADE，从而∠A＝∠ADE；
（2）先由三角形内角和求出∠ABC＝50°，再由三线合一的性质可求出∠EBD＝∠DBC=∠ABC＝25°，然后根据平行线的性质求解即可.
【详解】证明：（1）∵DE∥BC，
∴∠C＝∠ADE，
∵AB＝BC，
∴∠C＝∠A，
∴∠A＝∠ADE，
∴AE＝DE；
（2）∵△ABC中，AB＝BC，∠C＝65°，
∴∠ABC＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∵AB＝BC，D为AC中点，
∴∠EBD＝∠DBC=∠ABC＝25°，
∵DE∥BC，
∴∠BDE＝∠DBC＝25°.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，三角形内角和定理等知识.熟练掌握等腰三角形的性质和平行线的性质是解答本题的关键.
38．（2022秋·福建莆田·八年级福建省莆田市中山中学校考期中）如图，在中，，点O为中点，点E为边上一点，交于点F，求四边形的面积．
【答案】8
【分析】连接，先证明，即可推得．
【详解】解：连接
，点O为的中点，
，
，
在和中，
∴
故答案为：8．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，通过等腰直角三角形三线合一的性质证明全等是解题的关键．
39．（2022秋·福建福州·八年级福建省福州杨桥中学校考期中）如图，在ABC中，AB＝AC，BC＝2，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE和CE．
（1）补全图形；
（2）若点F是AC的中点，请在BC上找一点P使AP+FP的值最小，并求出最小值．
【答案】（1）补全图见解析；（2）AP+FP的值最小值为
【分析】（1）根据要求画出图形即可．
（2）连接EF交BC于点P，此时AP+FP的值最小，求出EF的值即可．
【详解】解：（1）补全图形如下：
（2）连接EF交BC于点P，
∵AB＝AC，BC＝2，AD⊥BC于点D，∠BAC＝120°，
∴，
∵DE=AD，AD⊥BC，
∴BC为AE的垂直平分线，
∴CA=CE，AP=EP，
∴AP+FP=EP+PF，最小为EF，△ACE为等边三角形，
∵点F是AC的中点，
∴EF⊥AC，
∴，AP+FP的值最小值为 ．
【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，三线合一，线段垂直平分线的性质和判定等，解题的关键是在（1）中能根据题意正确画出图形是解题关键；（2）中能结合线段垂直平分线的性质得出最小值为EF和理解等边三角形三高相等．
40．（2022秋·福建泉州·八年级校考阶段练习）如图所示，已知AB=AC，AD是高，BE=CF．求证：△BDE≌△CDF．
【答案】见解析
【分析】先根据等腰三角形的性质得到BD=DC、∠B=∠C，然后结合条件运用SAS即可证明．
【详解】证明：∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵AD是高
∴BD=DC
在△BDE和△CDF中,
∴△BDE≌△CDF(SAS) ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定等知识点，掌握等腰三角形底边上的高、中线以及顶角的角平分线重合是解答本题的关键．
41．（2022秋·福建莆田·八年级校联考期中）求证：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等（要求画图，写出已知，求证，然后证明）．
已知：
求证：
证明：
【答案】见解析
【分析】根据题意画出图形，写出已知与求证，然后证明：连接AD，由AB＝AC，D为BC中点，利用等腰三角形的“三线合一”的性质得到AD为顶角的平分线，由DE与AB垂直，DF与AC垂直，根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得到DE＝DF，得证．
【详解】已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
求证：DE＝DF．
证明：连接AD，
∵AB＝AC，D是BC中点，
∴AD为∠BAC的平分线（三线合一的性质），
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF（角平分线上的点到角的两边相等）．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质的应用，解题关键是掌握等腰三角形的两腰相等且底边上的两个角相等，及角平分线上的点到角两边的距离相等．
42．（2022秋·福建厦门·八年级厦门市第九中学校考期中）如图，已知等边中，点是的中点，点是延长线上的一点，且，，垂足为，求证：点是的中点．
【答案】证明见解析．
【分析】连接BD，根据等边三角形的性质可得∠DBC=30°，再利用三角形的外角性质推出∠E=30°，从而得到△BDE为等腰三角形，利用等腰三角形三线合一的性质即可得证．
【详解】证明：如图，连接．
∵在等边中，点是的中点，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
又∵，
∴点是的中点．
【点睛】本题考查了等腰三角形与等边三角形，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．
43．（2022秋·福建莆田·八年级莆田二中校考期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线．
(1)请你利用无刻度直尺和圆规完成如下操作：作边AB的垂直平分线与AD相交于点P．
(2)连接PB，PC．写出线段PA，PB，PC之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)PA＝PB＝PC，理由见解析
【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法解答；
（2）由已知得到PB＝PC，根据EF垂直平分AB，得到PA＝PB，由此证得PA＝PB＝PC．
【详解】（1）解：如图，直线EF即为所求；
（2）解：PA＝PB＝PC．
理由如下：
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，即AD垂直平分BC，
∴PB＝PC，
∵EF垂直平分AB，
∴PA＝PB，
∴PA＝PB＝PC．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的作图方法，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．
44．（2022秋·福建龙岩·八年级龙岩初级中学校联考期中）求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于其顶角的一半．根据条件和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”．
已知：在中，为锐角，，　 　．
求证：　 　．
证明：　 　．

【答案】
于；；见解析．
【分析】根据题意写出已知和求证；再根据等腰三角形的三线合一性得到，最后利用同角的余角相等即可证得．
【详解】已知：在中，为锐角，于，
求证：
证明：过点作于，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
【点睛】本题考查了命题的证明，等腰三角形的三线合一性，同角的余角相等，掌握等腰三角形的三线合一性是解题的关键．
45．（2022秋·福建福州·九年级福建省福州第一中学校考开学考试）如图，在△ABC中，CD=CA，CE⊥AD于点E，BF⊥AD于点F．求证：∠ACE=∠DBF．
【答案】见解析
【分析】根据等腰三角形的三线合一求出∠ACE=∠DCE，再证明CE∥BF，根据平行线的性质得到结论.
【详解】∵CD=CA，CE⊥AD，
∴∠ACE=∠DCE，
∵BF⊥AD，
∴CE∥BF，
∴∠DBF=∠DCE,
∴∠ACE=∠DBF.
【点睛】此题考查等腰三角形的三线合一的性质，平行线的判定及性质.
46．（2022秋·福建厦门·八年级校考期末）如图，在△ABC中，已知AB=BC，∠ABC=90°，点P是斜边AC上一点，作射线BP，过点A作ADBP于点D，过点C作CEBP于点E．
(1)依题意补全图形（不用尺规作图），并求证AD=BE；
(2)若AP=BC，△BPC的面积为9，求CE的长．
【答案】(1)图见解析，证明见解析
(2)
【分析】（1）先根据射线和垂线的作法补全图形，再根据直角三角形的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，最后根据全等三角形的性质即可得证；
（2）先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据全等三角形的性质可得，设，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的值，由此即可得．
【详解】（1）证明：补全图形如下：
，
，
，
在和中，，
，
；
（2）解：，
（等腰三角形的三线合一），
由（1）已证：，
，
设，则，
的面积为9，
，即，
解得或（不符题意，舍去），
则．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的三线合一、三角形全等的判定定理与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键．
47．（2022秋·福建厦门·八年级校考期中）如图1，在平面直角坐标系中，点和点分别在轴和轴的正半轴上，并且．为线段上一点，且满足．

(1)点A的坐标为______，点的坐标为______，点的纵坐标为______；
(2)如图2，点是线段上一动点（与点、A不重合），连接交于点，在点运动过程中，探究、、之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)，，；
(2)
【分析】（1）根据，利用非负数的性质求解出a，b的值，过点F分别作轴，交y轴于点G， 再根据等腰三角形的性质得到点是的中点，进而得到是的中位线，即F是的中点，即可求解；
（2）由（1）知F是的中点，，得到，，再根据三角形外角定理计算即可．
【详解】（1）解： ，
，，
解得：，，
，，
如图1，过点F分别作轴，交y轴于点G，

，
，
为等腰三角形，
点是的中点，
轴，
，
，是的中位线，
F是的中点，
，
故答案为：，，；
（2）解：，
由（1）知F是的中点，，
，，
，
，
，即
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一，三角形中位线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形外角定理，熟练运用三角形外角定理是解题的关键．
48．（2022秋·福建厦门·八年级厦门市湖里中学校考期中）在等边三角形中，点在边上，点在的延长线上，且.
（1）如图1，当为中点时，求证：；
（2）如图2，若，，求．
【答案】（1）见解析；（2）14．
【分析】（1）结合“三线合一”的性质，推出，从而在中证明即可；
（2）作于点，结合等边三角形的性质求解即可．
【详解】（1）当为中点时，在等边三角形中，
由“三线合一”知：，，
又，，
，
，
，，
在中：，
；
（2）如图，作于点，
，，，
在中，，
，，
又，，
，为等腰三角形，
由“三线合一”知：，
．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，及含角的直角三角形相关性质，熟练掌握基本性质，灵活构造辅助线是解题关键．
49．（2022秋·福建厦门·八年级校考期中）如图，中，点D在边上，连接，，．
(1)如图1，求证：
(2)如图1，求证：．
(3)如图2，在（2）的条件下，连接，交于点F，若，且，时，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)6 ．
【分析】（1）由题意可得△ABD≌△AED，再根据全等三角形的性质可以得解；
（2）连接BE，延长AD交BE于点H，则可证得AH是等腰△ABE底边上的高，再根据三角形外角定理和已知条件可以得到求证结论；
（3）延长BC到G,使FG=FB,连接AG,由已知和（1）（2）结论可以得到CG =6，△EAC≌△GAC，从而可以得到EC的长度．
【详解】（1）∵在△ABD和△AED中，
,
∴△ABD≌△AED，
∴；
（2）如图，连接BE，延长AD交BE于点H，
由（1）可得：AB=AE，，
∴AH是等腰△ABE底边上的高，∠AHB=90°，
又BD=DE，
∴∠DBE=∠DEB，∠DBE，
∴∠DBE+∠ABD+∠BAD=180°-90°=90°；
（3）如图，延长BC到G，使FG=FB，连接AG，
∵FB=BC-CF=8-1=7,
∴FG=7,
∴CG=FG-CF=7-1=6，
∵AF⊥BC,
∴AB=AG,
∴∠BAF=∠GAF,
∵AB=AE,
∴AE=AG，
由(2)得
∠EDC+∠ADC=90°,
∵∠EDC=2∠EAC,
∴×2∠EAC+∠ADC=90°,
即∠EAC+∠ADC=90°,
∵AF⊥BC,
∴∠DAF+∠ADC=90°,
∴∠EAC=∠DAF,
∴∠EAC-∠EAF=∠DAF-∠EAF,
即∠CAF=∠EAD,
由(1)得∠BAD=∠EAD,
∴∠BAD=∠CAF,
∵∠BAF=∠GAF,
∴∠BAF-∠BAD=∠GAF-∠CAF,
即∠DAF=∠GAC,
∴∠EAC=∠GAC,
在△EAC和△GAC中,
,
∴△EAC≌△GAC(SAS),
∴EC=CG=6.
【点睛】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的内外角和定理及作辅助线辅助解题等知识和方法是解题关键．
50．（2022春·福建福州·七年级福建省福州第一中学校考期末）如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动，
（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB＝MC．
（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系．
（3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）MB=MC．理由见解析；（3）MB=MC还成立，见解析．
【分析】（1）连接AM，根据全等三角形的对应边相等可得AD=AE，AB=AC，全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CAE，再根据等腰三角形三线合一的性质得到∠MAD=∠MAE，然后利用“边角边”证明△ABM和△ACM全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）延长DB、AE相交于E′，延长EC交AD于F，根据等腰三角形三线合一的性质得到BD=BE′，然后求出MB∥AE′，再根据两直线平行，内错角相等求出∠MBC=∠CAE，同理求出MC∥AD，根据两直线平行，同位角相等求出∠BCM=∠BAD，然后求出∠MBC=∠BCM，再根据等角对等边即可得证；
（3）延长BM交CE于F，根据两直线平行，内错角相等可得∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE，然后利用“角角边”证明△MDB和△MEF全等，根据全等三角形对应边相等可得MB=MF，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可．
【详解】（1）如图（2），连接AM，由已知得△ABD≌△ACE，
∴AD=AE，AB=AC，∠BAD=∠CAE.
∵MD=ME，
∴∠MAD=∠MAE，
∴∠MAD-∠BAD=∠MAE-∠CAE，
即∠BAM=∠CAM.
在△ABM和△ACM中，
AB=AC，
∠BAM=∠CAM，
AM=AM，
∴△ABM≌△ACM（SAS），
∴MB=MC.
（2）MB=MC．
理由如下：如图（3），延长CM交DB于F，延长BM到G，使得MG=BM，连接CG.
∵CE∥BD，
∴∠MEC=∠MDF，∠MCE=∠MFD.
∵M是ED的中点，
∴MD=ME.
在△MCE和△MFD中，
∠MCE=∠MFD，
∠MEC=∠MDF，
MD=ME，
∴△MCE≌△MFD（AAS）.
∴MF=MC.
∴在△MFB和△MCG中，
MF=MC，
∠FMB=∠CMG，
BM=MG，
∴△MFB≌△MCG（SAS）.
∴FB=GC，∠MFB=∠MCG，
∴CG∥BD，即G、C、E在同一条直线上.
∴∠GCB=90°.
在△FBC和△GCB中，
FB=GC，
∠FBC=∠GCB，
BC=CB，
∴△FBC≌△GCB（SAS）.
∴FC=GB.
∴MB=GB=FC=MC.
（3）MB=MC还成立．
如图（4），延长BM交CE于F，延长CM到G，使得MG=CM，连接BG.
∵CE∥BD，
∴∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE.
又∵M是DE的中点，
∴MD=ME.
在△MDB和△MEF中，
∠MDB=∠MEF，
∠MBD=∠MFE，
MD=ME，
∴△MDB≌△MEF（AAS），
∴MB=MF.
∵CE∥BD，
∴∠FCM=∠BGM.
在△FCM和△BGM中，
CM=MG，
∠CMF=∠GMB，
MF=MB，
∴△FCM≌△BGM（SAS）.
∴CF=BG，∠FCM=∠BGM.
∴CF//BG，即D、B、G在同一条直线上.
在△CFB和△BGC中，
CF=BG，
∠FCB=∠GBC，
CB=BC，
∴△CFB≌△BGC（SAS）.
∴BF=CG.
∴MC=CG=BF=MB．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等角对等边的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及三角形的中位线定理，综合性较强，但难度不大，作辅助线构造出等腰三角形或全等三角形是解题的关键．
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