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题组突破02 期中解答易错题组突破（50题）
题组突破
1．（2023秋·八年级课时练习）已知，写出两个全等三角形的对应边及对应角．

2．（2022春·广西贵港·八年级统考期中）已知某多边形的内角和与外角和的总和为1080°，求此多边形的边数．
3．（2023秋·七年级课时练习）如图,∠1=∠2,∠3=∠4,问:AC=AD吗？说明理由.
4．（2022春·山西晋中·七年级统考期末）如图，△ABC中．
（1）作边AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E两点，垂足分别是M，N．（保留痕迹，不写作法）
（2）连接AD、AE，若BC＝8cm，求△ADE的周长．
（3）若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数．
5．（2022春·山东菏泽·七年级统考期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交边AC于点E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝　 　°，∠DEC＝　 　°．点D从点B向点C运动时，∠BDA逐渐变　 　（填“大”或“小”）．
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE？请说明理由．
6．（2023春·江苏盐城·七年级校考阶段练习）如图，中，，

(1)如果的角平分线交于点O，则___________；
(2)在备用图2中画出的高交于点O，求的度数．
7．（2023春·安徽宿州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，BD是△ABC的角平分线．
(1)求∠ABD的度数；
(2)若DE⊥AB于点E，AC＝6，求AE的长．
8．（2022秋·八年级课时练习）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，．
求证：．
9．（2023秋·江苏淮安·八年级统考期末）已知：如图，AC与BD相交于点O，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别为点C、D，且AC＝BD．求证：OA＝OB．

10．（2022秋·福建三明·八年级统考期中）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，且坐标分别为，B，．
(1)画出△ABC关于y轴对称的(其中，，分别是的对应点，不写画法)；并写出点，，的坐标；
(2)求的面积．
11．（2022春·广东佛山·七年级统考期末）如图，在△ABC中，AB＝AC．
（1）用尺规作图法作AC的垂直平分线，交AB于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，当∠A＝40°时，求∠BCD的度数．
12．（2023秋·北京东城·八年级统考期末）如图，在．
(1)求证：；
(2)分别以点A，C为圆心，长为半径作弧，两弧交于点D（点D在的左侧），连接．求的面积．
13．（2022春·广东深圳·七年级蛇口育才二中校考期中）如图，已知点C是线段BD上一点，以BC、DC为一边在BD的同一侧作等边△ABC和等边△ECD，连接AD，BE相交于点F，AC和BE交于点M，AD，CE交于点N，(注：等边三角形的每一个内角都等于60° )
(1)求证：AD=BE
(2)线段CM与CN相等吗？请证明你的结论．
(3)求∠BFD的度数．
14．（2022秋·山东济宁·八年级统考期中）已知：四边形ABCD，求作一点P，使PB＝PC，且点P到AD和CD的距离相等．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
15．（2023秋·陕西渭南·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，，
(1)在图中作出关于轴对称的，其中的坐标为 　 　；
(2)如果要使以为顶点的三角形与全等（不重合），写出所有符合条件的点坐标．
16．（2023春·湖南益阳·八年级统考期末）如图，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形．求图中与的度数．

17．（2023春·四川泸州·九年级统考期中）已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：BC＝DE．
18．（2022·广东广州·统考一模）如图，在中，．
（1）按以下步骤作图并保留作图痕迹．
①以点为圆心，以小于长为半径画弧，交于点，交于点；
②分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；
③画射线交于点．
（2）求证：是的平分线．
19．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知：AB＝AC，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE相交于点F，
(1)如图1，求证：BE＝CD．
(2)如图2，连接AF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有的全等三角形.
20．（2023秋·山东临沂·八年级校考期末）如图，在和中，，E是的中点，垂足为点F，且．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
21．（2022秋·八年级单元测试）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC延长线上一点，点E在BC边上，且CE＝CD，AE＝BD．
(1)求证：△ACE≌△BCD；
(2)若∠CAE＝25°，求∠BDE的度数．
22．（2022秋·七年级校考课时练习）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，AB的垂直平分线DE分别交AB，AC于E，D.
(1)若△BCD的周长为8，求BC的长；
(2)若BC＝4，求△BCD的周长．
23．（2022秋·重庆·八年级阶段练习）在△ABC中，BC=AC，∠C=90°，直角顶点C在x轴上，一锐角顶点B在y轴上．
（1）如图①若AD于垂直x轴，垂足为点D．点C坐标是（﹣1，0），点A的坐标是（﹣3，1），求点B的坐标．
（2）如图②，直角边BC在两坐标轴上滑动，若y轴恰好平分∠ABC，AC与y轴交于点D，过点A作AE⊥y轴于E，请猜想BD与AE有怎样的数量关系，并证明你的猜想．
（3）如图③，直角边BC在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，过A点作AF⊥y轴于F，在滑动的过程中，请猜想OC，AF，OB之间有怎样的关系（直接写出结论，不需要证明）
24．（2022秋·广东东莞·八年级湖景中学校考阶段练习）如图，GC＝GE，BE＝FC，∠B＝∠F．求证：△ABC≌△DFE．
25．（2023秋·广西来宾·八年级统考期末）（1）【操作发现】如图①，D是等边的边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边，连接AF．线段AF与BD之间的数量关系是______．
（2）【类比猜想】如图②，当动点D运动至等边边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？并加以证明；
（3）【深入探究】如图③，当动点D在等边边BA上运动时（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边和等边，连接AF，，探究AF，与AB有何数量关系？并证明你的探究的结论．
26．（2022秋·福建泉州·八年级校考期末）如图，已知．
(1)用直尺和圆规作射线平分；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)求证：角平分线上的点到角两边的距离相等. (要求：在第(1)小题作图的基础上，画出证明所需的图形，写出已知、求证和证明过程)
27．（2023春·重庆江北·七年级校考期中）如图所示，在中，，点，，分别在边，，上，且，，连接，．

(1)求证：；
(2)若，连接，求的度数．
28．（2023春·辽宁阜新·七年级校考阶段练习）（1）【初步探索】如图1：在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．结论应是__________；
（2）【灵活运用】如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由．

29．（2022·江西南昌·校考一模）如图，在边长为1的等边三角形组成的网格线中，已知A，B是格点，请在网格线中完成下列画图，要求：仅用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹.
（1）在图(1)中，以AB为一边作出一个等腰三角形ABC，使另一顶点在网格线上，且其周长为无理数；
（2）在图(2)中，作出线段AB的三等分点.
30．（2022秋·八年级课时练习）【问题情境】
利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP平分．点A为OM上一点，过点A作，垂足为C，延长AC交ON于点B，可根据ASA证明，则，（即点C为AB的中点）．
【问题探究】
如图2，中，，，CD平分，，垂足E在CD的延长线上，试探究BE和CD的数量关系，并证明你的结论：
【拓展延伸】
如图3，中，，，点D在线段BC上，且，于E，DE交AB于F，试探究BE和DF之间的数量关系，并证明你的结论．
31．（2022秋·八年级课时练习）以直线上一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即，且直角三角板在直线的上方.
(1)如图1，若直角三角板的一边在射线上，则______；
(2)如图2，直角三角板的边在的内部.
①若恰好平分，求和的度数；
②请直接写出与之间的数量关系；
(3)若，求此时的度数.
32．（2022秋·八年级课时练习）如图，已知△EFG≌△NMH，∠F与∠M是对应角．
（1）写出图中相等的线段与角．（2）若EF=2.1cm，FH=1.1cm，HM=3.3cm，求MN和HG的长度．
33．（2022秋·江西赣州·八年级统考期中）如图，均为等腰直角三角形，连接AE，CD，AE与CD相等吗？说明理由
34．（2022春·福建三明·七年级永安市第六中学校联考期中）（1）已知，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，利用尺规过D作DE∥BC交AB于点E．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若∠ABC＝60°，求∠EDB．
35．（2022秋·八年级课时练习）如图所示，在△ABC中，MP和NQ分别垂直平分AB和AC，MP分别交AB、BC于M、P两点，NQ分别交AC、BC于N、Q两点，连接AP、AQ．
（1）若△APQ的周长为18，求BC的长；
（2）若∠BAC=110°，求∠PAQ的度数．
36．（2023春·江苏盐城·七年级滨海县第一初级中学校联考阶段练习）实验探究：（1）动手操作：
①如图1，将一块直角三角板放置在直角三角板上，使三角板的两条直角边、分别经过点、，且，已知，则_______；
②如图2，若直角三角板不动，改变等腰直角三角板的位置，使三角板的两条直角边、仍然分别经过点、，已知，那么_______；

（2）猜想证明：如图3，与、、之间存在着什么关系，并说明理由；
（3）灵活应用：请你直接利用以上结论，解决以下列问题：
①如图4，平分，平分，若，，求的度数；
②如图5，，的10等分线相交于点、、…、，若，，则的度数为_______．

37．（2022秋·四川自贡·八年级校考期中）如图1，在四边形中，，，它的两边分别交点．且．
求证：
如图2，当的两边分别交的延长线于点，其余条件均不变时，中的结论是否成立？如果成立，请证明．如果不成立，线段又有怎样的数量关系？并证明你的结论．
38．（2022春·山东烟台·七年级校考期末）已知，△ABC为等边三角形，点D，E为直线BC上两动点，且BD=CE．点F，点E关于直线AC成轴对称，连接AE，顺次连接AD，DF，AF．
（1）如图1，若点D、点E在边BC上，试判断∠BAD与∠FDC的大小关系，并说明理由；
（2）若点D、点E在边BC所在的直线上如图（2）所示的位置，（1）中的结论是否还成立，说明理由．
39．（2022春·八年级单元测试）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，作∠EAB=∠BAD，AE边交CB的延长线于点E，延长AD到点F，使AF=AE，连结CF．
求证：BE=CF．
40．（2022·贵州铜仁·九年级校联考期末）已知：如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AC∥DF，∠B=∠DEF，BE=CF．求证：AB=DE．
41．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在和中，，，．求证：

(1)；
(2)．
42．（2023春·宁夏固原·七年级校考期中）如图，，平分，且，

(1)求的度数；
(2)求的度数．
43．（2022秋·八年级单元测试）如图， 在下列网格中， 每个小正方形的边长均为一个单位， 小正方形的顶点称为网格的格点．
（1） 图1为8×6网格， 点A，点B在格点上，在网格中画出以一个以AB为一边， 点C在格点上，面积为9的等腰ACB， 此时∠ABC= ．
（2）图2为5×3网格，点A，点B在格点上，在网格中找出所有的点C，使得 ABC为等腰三角形，点C在格点上．(在找到的点上标上点C1，C2，C3… )
44．（2022秋·内蒙古赤峰·八年级校考期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，AD⊥AB交BE延长线于点D，CF平分∠ACB交BD于点F，连接CD．
求证：（1）
（2）BF=DC；
（3）点F为BD的中点．
45．（2023春·全国·七年级专题练习）已在等腰中，，，D为直线上一点，连接，过点C作，且，连接，交于点F．
(1)如图1，当点D在线段上，且时，请探究，，之间的数量关系，并说明理山；
(2)如图2，在（1）的条件下，在上任取一点G，连接，作射线使，交的平分线于点Q，求证：．
46．（2022秋·八年级课时练习）已知：如下图在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，求：D到AB边的距离．
47．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期末）如图1，已知直线，点E、F分别在直线AB、CD上，G点为射线FD上一动点，且，将沿着EF翻折得到，直线EQ平分交直线CD于点P．
(1)当时，
①若，则______．
②若去掉条件“”，你还能求出的度数吗？试一试．
(2)如图2，在点G运动的过程中，当时，求的度数（用含a的代数式表示）
(3)在点G运动的过程中，若，且，直接写出的度数．
48．（2022春·山西·七年级统考阶段练习）综合与实践：再探索三角形角平分线的定义的应用
问题情境：
学习了三角形角平分线的定义后，同学们展开了再探索三角形角平分线的数学活动：前进小组得到了一个结论：已知，如图1，若点是和的角平分线的交点，则
证明如下：
是和的角平分线，
，
，
，
拓展创新：
(1) 如图2，若点是外角和的角平分线的交点，前进小组的结论还成立吗 若成立，给出证明；若不成立，写出正确的结论并证明．
应用计算：
(2) 如图3，平分，平分交于点，，求的度数．
49．（2022秋·河南信阳·八年级校考阶段练习）如图，四边形ABCD的内角∠DCB与外角∠ABE的平分线相交于点F．
（1）若BF∥CD，∠ABC＝80°，求∠DCB的度数；
（2）已知四边形ABCD中，∠A＝105 ，∠D＝125 ，求∠F的度数；
（3）猜想∠F、∠A、∠D之间的数量关系，并说明理由．
50．（2022秋·重庆九龙坡·八年级统考期末）在等边△ABC中，D为BA延长线上一点，F为BC上一点，过B作BEAC，连接DE，EF，且∠DEF＝60°．
(1)如图1，若BE＝2，BD＝5，求BF的长．
(2)如图2，若F为CB延长线上一点，试探究BD、BE、BF的关系，并说明理由．
(3)如图3，若F为BC延长线上一点，且AD：BE：AC＝1：2：3，请直接写出CF：BE的值．
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题组突破02 期中解答易错题组突破（50题）
题组突破
1．（2023秋·八年级课时练习）已知，写出两个全等三角形的对应边及对应角．

【答案】对应边为和，和，和；对应角为和，和，和
【分析】根据全等三角形的对应边、对应角的概念解答即可．
【详解】解：∵，
∴对应边为和，和，和；
对应角为和，和，和．
【点睛】本题考查全等三角形的概念，掌握对应边、对应角的概念是解题的关键．
2．（2022春·广西贵港·八年级统考期中）已知某多边形的内角和与外角和的总和为1080°，求此多边形的边数．
【答案】6．
【分析】n边形内角和公式（n-2） 180°，外角和为360°，根据题意列方程求n．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，依题意，得
（n-2） 180+360=1080，
解得，n=6，
答：这个多边形的边数为6．
【点睛】本题考查根据多边形的内角和计算公式，多边形的外角和．解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
3．（2023秋·七年级课时练习）如图,∠1=∠2,∠3=∠4,问:AC=AD吗？说明理由.
【答案】AC=AD，理由详见解析.
【分析】利用等角的补角相等得到∠ABC=∠ABD，再利用ASA证明△ABC≌△ABD，即可得证.
【详解】AC=AD
证明：∵∠3=∠4,∴∠ABC=∠ABD.
在△ABC和△ABD中,
∴△ABC≌△ABD(ASA).
∴AC=AD.
【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，熟练掌握几种三角形全等的判定定理是解题关键.
4．（2022春·山西晋中·七年级统考期末）如图，△ABC中．
（1）作边AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E两点，垂足分别是M，N．（保留痕迹，不写作法）
（2）连接AD、AE，若BC＝8cm，求△ADE的周长．
（3）若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数．
【答案】（1）见解析；（2）△ADE的周长是8cm；（3）∠DAE＝20°．
【分析】（1）根据尺规作垂直平分线的方法进行操作即可；
（2）由AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，垂足分别是M、N，根据线段垂直平分线的性质，可得AD＝BD，AE＝EC，继而可得△ADE的周长等于BC的长；
（3）由∠BAC＝100°，可求得∠B＋∠C的度数，又由AD＝BD，AE＝EC，即可求得∠BAD＋∠CAE的度数，继而求得答案．
【详解】（1）如图，MN为所作；
（2）∵DM垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∵EN垂直平分AC，
∴EA＝EC，
∴△ADE的周长＝DA+DE+EA＝BD+DE+EC＝BC＝8cm；
（3）∵DA＝DB，EA＝EC，
∴∠BAD＝∠B，∠EAC＝∠C，
∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，
∴∠B+∠C＝180°﹣100°＝80°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝100°﹣∠B﹣∠C＝100°﹣80°＝20°．
【点睛】此题考查了简单作图-垂直平分线，线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．
5．（2022春·山东菏泽·七年级统考期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交边AC于点E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝　 　°，∠DEC＝　 　°．点D从点B向点C运动时，∠BDA逐渐变　 　（填“大”或“小”）．
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE？请说明理由．
【答案】（1）25；115；小；（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，详见解析．
【分析】（1）根据三角形内角和定理得到∠BAD＝25°，根据等腰三角形的性质得到∠C＝∠B＝40°，根据三角形内角和定理计算，得到答案；
（2）当DC＝2时，利用∠DEC+∠EDC＝140°，∠ADB+∠EDC＝140°，得到∠ADB＝∠DEC，根据AB＝DC＝2，证明△ABD≌△DCE．
【详解】解：（1）∵∠B＝40°，∠BDA＝115°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝180°﹣115°﹣40°＝25°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝40°，
∵∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝25°，
∴∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝115°，
由图形可知，∠BDA逐渐变小，
故答案为：25；115；小；
（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，
理由：∵∠C＝40°，
∴∠DEC+∠EDC＝140°，
∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB+∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC，
在△ABD和△DCE中， ，
∴△ABD≌△DCE（AAS）．
【点评】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定、掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
6．（2023春·江苏盐城·七年级校考阶段练习）如图，中，，

(1)如果的角平分线交于点O，则___________；
(2)在备用图2中画出的高交于点O，求的度数．
【答案】(1)115
(2)画图见解析，，
【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线定义求出的度数，然后在中通过三角形内角和定理可求出的度数；
（2）由高线的定义可知，然后根据三角形内角和定理可求出，即可利用三角形外角的性质求出答案．
【详解】（1）解：如下图1，

，
，
分别是的角平分线，
，
，
，
；
故答案为：115；
（2）解：如下图2，

，是的高线，
，
，
．
【点睛】本题考查了三角形角平分线、高线的定义，三角形内角和定理及三角形外角的性质，解题的关键是根据题意作出图形，并注意整体思想的应用．
7．（2023春·安徽宿州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，BD是△ABC的角平分线．
(1)求∠ABD的度数；
(2)若DE⊥AB于点E，AC＝6，求AE的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由角平分线的定义可直接得到答案．
（2）由内角大小可知、为等腰三角形，通过等腰三角形的相关性质即可得到答案．
【详解】（1）解：∵∠ABC＝180°-36°-72°＝72°，
∴
（2）解：∵∠C＝∠ABC＝72°，
∴AB＝AC＝6
又∵∠ABD＝∠A＝36°，
∴AD＝BD
又∵DE⊥AB，
∴．
【点睛】本题考查与角平分线有关的三角形内角和问题、等腰三角形的性质，通过内角大小求得等腰三角形是解题的关键．
8．（2022秋·八年级课时练习）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，．
求证：．
【答案】见解析
【分析】直接利用得出AC＝BD，再利用全等三角形的判定方法“边角边”证明即可．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
在与中，
∴．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键．
9．（2023秋·江苏淮安·八年级统考期末）已知：如图，AC与BD相交于点O，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别为点C、D，且AC＝BD．求证：OA＝OB．

【答案】证明见解析
【分析】欲证明OA=OB，先要证明∠OAB=∠OBA，只要通过HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD即可得证；
【详解】证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠C=∠D=90°．
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴∠ABD=∠CAB，
∴OA=OB．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10．（2022秋·福建三明·八年级统考期中）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，且坐标分别为，B，．
(1)画出△ABC关于y轴对称的(其中，，分别是的对应点，不写画法)；并写出点，，的坐标；
(2)求的面积．
【答案】(1)画图见解析，
(2)
【分析】（1）根据轴对称的性质作图，由图即可直接写出各点坐标；
（2）根据网格的特点，根据三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）如图即为所作，；
（2）．
【点睛】本题考查作图—轴对称变换，轴对称的性质，根据网格求三角形面积．利用数形结合的思想是解题关键．
11．（2022春·广东佛山·七年级统考期末）如图，在△ABC中，AB＝AC．
（1）用尺规作图法作AC的垂直平分线，交AB于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，当∠A＝40°时，求∠BCD的度数．
【答案】（1）见详解；（2）30°
【分析】（1）利用线段垂直平分线的作法作图即可；
（2）首先根据等腰三角形的性质，得到∠ACB＝∠B＝（180° 40°）＝70°，再根据垂直平分线的性质可得AD＝DC，然后根据三角形的内角和定理和三角形的外角的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）如图所示：直线DE即为所求；
（2）∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ACB＝∠B＝（180° 40°）＝70°，
∵DE垂直平分AC，
∴AD＝DC，
∴∠ACD＝∠A＝40°，
∵∠CDB＝∠A＋∠ACD＝80°，
∴∠BCD＝180° ∠B ∠CDB＝30°．
【点睛】此题主要考查了作图 基本作图，以及线段垂直平分线的作法，等腰三角形的性质，关键是掌握线段垂直平分线的作法．
12．（2023秋·北京东城·八年级统考期末）如图，在．
(1)求证：；
(2)分别以点A，C为圆心，长为半径作弧，两弧交于点D（点D在的左侧），连接．求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)16
【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得，然后利用三角形内角和定理求出，即可解答；
（2）过点D作，交的延长线于点E，根据题意可得，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，从而利用平角定义可得，最后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，从而利用三角形的面积进行计算即可解答.
【详解】（1）在中，
∵,
∴.
∵,
∴.
∴；
（2）过点D作的延长线于点E，
由作图得，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在中，
∵,,
∴，
∴的面积．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
13．（2022春·广东深圳·七年级蛇口育才二中校考期中）如图，已知点C是线段BD上一点，以BC、DC为一边在BD的同一侧作等边△ABC和等边△ECD，连接AD，BE相交于点F，AC和BE交于点M，AD，CE交于点N，(注：等边三角形的每一个内角都等于60° )
(1)求证：AD=BE
(2)线段CM与CN相等吗？请证明你的结论．
(3)求∠BFD的度数．
【答案】(1)见解析；（2）BM=AN理由见解析；（3）120°．
【分析】（1）根据已知条件易证△ACD≌△BCE，即可证明AD=BE；
（2）易证△BCM≌△ACN，即可进行判断；
（3）根据△ACD≌△BCE，∠EBC+∠ADC=∠EBC+∠BEC=∠ECD=60°，故根据△BDF的内角和即可求解．
【详解】（1）证明：∵△ABC、△DCE均是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCE=∠ACD，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BD=AE；
（2）∵△ACD≌△BCE
∴∠CBM=∠CAN
∵∠BCM=∠ECD=60°，
∴∠ACN=60°，
又BC=AC
∴△BCM≌△ACN(ASA)
∴BM=AN．
（3）∵△ACD≌△BCE，
∴∠EBC+∠ADC=∠EBC+∠BEC=∠ECD=60°，
∴在△BDF中∠BFD=180°-(∠EBC+∠ADC)=120°．
【点睛】此题主要考查全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定方法及性质证明．
14．（2022秋·山东济宁·八年级统考期中）已知：四边形ABCD，求作一点P，使PB＝PC，且点P到AD和CD的距离相等．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析．
【分析】作BC的垂直平分线（即以点B、C为圆心，大于BC长一半为半径画弧，交于两点）和∠ADC的平分线（即以点D为圆心，适当长为半径画弧，交AD、DC于两点，再以这两点为圆心，大于这两点距离的一半为半径画弧，交于一点），它们相交于点P．
【详解】解：如图，点P为所作．
【点睛】本题考查了作图：复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质和线段的垂直平分线的性质．
15．（2023秋·陕西渭南·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，，
(1)在图中作出关于轴对称的，其中的坐标为 　 　；
(2)如果要使以为顶点的三角形与全等（不重合），写出所有符合条件的点坐标．
【答案】(1)图见解析，
(2)或或
【分析】（1）由关于轴对称的点的坐标的特征先确定三点的坐标，再描点，连线即可；
（2）根据全等三角形的判定可画出图形，根据图形可直接写出一个符合条件的点D坐标．
【详解】（1）如图，即为所求；的坐标为（2，﹣3）；
故答案为：（2，﹣3）；
（2）如图2，所有符合条件的点坐标为：或或；
【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定等，解题关键是牢固掌握关于坐标轴对称的点的坐标的特征并能灵活运用．
16．（2023春·湖南益阳·八年级统考期末）如图，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形．求图中与的度数．

【答案】，
【分析】根据正五边形的内角和和各内角相等可得，根据邻补角求出，根据等腰三角形的性质得到，再由三角形内角和定理求出的度数即可．
【详解】解：∵由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成一个大五边形，
∴，
，
∵是等腰三角形，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正多边形的内角和和内角、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，掌握正多边形的内角和、等腰三角形的性质是解题的关键．
17．（2023春·四川泸州·九年级统考期中）已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：BC＝DE．
【答案】证明见解析
【分析】根据全等三角形的判定定理SAS，即可得到答案.
【详解】证明：∵∠BAE＝∠DAC，
∴∠BAE+∠EAC＝∠DAC+∠EAC．
即：∠BAC＝∠EAD．
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS）．
∴BC＝DE．
【点睛】本题考查全等三角形的判定定理SAS，熟练掌握全等三角形的判定定理SAS是解题的关键.
18．（2022·广东广州·统考一模）如图，在中，．
（1）按以下步骤作图并保留作图痕迹．
①以点为圆心，以小于长为半径画弧，交于点，交于点；
②分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；
③画射线交于点．
（2）求证：是的平分线．
【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析．
【详解】试题分析：（1）按提示作图即可．
（2）连接FM、EM，证明△AEM≌△AFM，得∠EAM=∠FAM，即可得证．
试题解析：（1）如图：
（2）证明：如图，连接EM、FM，
根据作图易知：AE=AF，EM=FM
由于AD是公共边
所以△AEM≌△AFM
所以∠EAM=∠FAM，
即：AD是∠BAC的平分线．
考点：1．基本作图；2．角平分线的判定．
19．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知：AB＝AC，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE相交于点F，
(1)如图1，求证：BE＝CD．
(2)如图2，连接AF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有的全等三角形.
【答案】(1)证明见解析
(2)△ABD≌△ACE，△BEF≌△DCF，△AEF≌△ADF，△ABF≌△ACF
【分析】（1）证明△ABD≌△ACE（AAS），即可作答；
（2）结合（1）的结论，先证明△BEF≌△DCF（ASA），即可得到△AEF≌△ADF（SAS），△ABF≌△ACF（SSS），即可求解．
【详解】（1）证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°=∠BEF＝∠CDF=90°，
在△ABD与△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴AE＝AD，
∵AC＝AB，
∴AC﹣AD＝AB﹣AE，
即BE＝DC；
（2）由（1）可知△ABD≌△ACE，BE＝DC，
∴∠B＝∠C，AE＝AD，
又∵∠BEF＝∠CDF=90°，BE＝DC，
∴△BEF≌△DCF（ASA），
∴BF＝CF，EF＝DF，
又∵AE=AD，∠AEF＝∠ADF=90°，AB=AC，
∴△AEF≌△ADF（SAS），△ABF≌△ACF（SSS）．
则总的全等三角形有：△ABD≌△ACE，△BEF≌△DCF，△AEF≌△ADF，△ABF≌△ACF．
【点睛】本题考查了全等三角形的知识，掌握AAS、ASA、SSS、SAS等证明全等三角形的方法是解答本题的关键．
20．（2023秋·山东临沂·八年级校考期末）如图，在和中，，E是的中点，垂足为点F，且．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据垂直及等量代换得出，再由全等三角形的判定和性质证明即可；
（2）利用全等三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴ ，
∴；
（2）解：∵ ，
∴，
∵E是的中点，，
∴．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
21．（2022秋·八年级单元测试）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC延长线上一点，点E在BC边上，且CE＝CD，AE＝BD．
(1)求证：△ACE≌△BCD；
(2)若∠CAE＝25°，求∠BDE的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）20°
【分析】（1）由全等三角形的判定定理SAS证得结论；
（2）利用①中全等三角形的对应角相等，等腰直角三角形的性质可以求得∠BDE=20°．
【详解】(1)证明：∵∠ACB＝90°，D为AC延长线上一点，
∴∠BCD＝90°.
在Rt△ACE和Rt△BCD中，,
∴Rt△ACE≌Rt△BCD(HL)．
(2)解：∵Rt△ACE≌△Rt△BCD,
∴∠CAE＝∠CBD＝25°.
∵CE＝CD,∠BCD＝90°,
∴∠EDC＝∠DEC＝45°.
∴∠BDC＝90°－∠CBD＝65°，
∴∠BDE＝∠BDC－∠EDC＝65°－45°＝20°.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
22．（2022秋·七年级校考课时练习）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，AB的垂直平分线DE分别交AB，AC于E，D.
(1)若△BCD的周长为8，求BC的长；
(2)若BC＝4，求△BCD的周长．
【答案】（1）3；（2）9.
【分析】(1)根据中垂线的性质得出BD=AD，根据△BCD的周长以及AC的长度得到BC的长度；
(2)同第一题同样的方法求出△BCD的周长.
【详解】(1)∵DE是AB的垂直平分线 ∴ BD=AD
∴△BCD的周长为:BD+DC+BC=AD+CD+BC=AC+BC=8
∵AB=AC=5 ∴BC=8-5=3.
(2)∵DE是AB的垂直平分线
∴BD=AD
∴ △BCD的周长为：BC+BD+CD=AD+CD+BC=AC+BC=4+5=9.
23．（2022秋·重庆·八年级阶段练习）在△ABC中，BC=AC，∠C=90°，直角顶点C在x轴上，一锐角顶点B在y轴上．
（1）如图①若AD于垂直x轴，垂足为点D．点C坐标是（﹣1，0），点A的坐标是（﹣3，1），求点B的坐标．
（2）如图②，直角边BC在两坐标轴上滑动，若y轴恰好平分∠ABC，AC与y轴交于点D，过点A作AE⊥y轴于E，请猜想BD与AE有怎样的数量关系，并证明你的猜想．
（3）如图③，直角边BC在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，过A点作AF⊥y轴于F，在滑动的过程中，请猜想OC，AF，OB之间有怎样的关系（直接写出结论，不需要证明）
【答案】（1）（0，2）；（2）BD=2AF；（3）OC=OB+AF.
【详解】试题分析：（1）只要求出Rt△ADC≌Rt△COB即可求．
（2）先说明BD与AE有怎样的数量关系，然后针对得到的数量关系，作出合适的辅助线，画出相应的图形，根据等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线三线合一，可以最终证得所要说明的数量关系；
（3）先猜想OC、AF、OB之间的关系，然后根据猜想作出合适的辅助线，画出相应的图形，然后证明所要证明的结论即可．
试题解析：(1)∵点C坐标是( 1,0),点A的坐标是( 3,1)
∴AD=OC，
在Rt△ADC和Rt△COB中，，
∴Rt△ADC≌Rt△COB(HL)，
∴OB=CD=2，
∴点B的坐标是(0，2)；
(2)BD=2AF，
理由：作AE的延长线交BC的延长线于点F，如下图所示，
∵△ABC是等腰直角三角形，BC=AC，直角顶点C在x轴上，AE⊥y轴于E，
∴∠BCA=∠ACF=90°，∠AED=90°，
∴∠DBC+∠BDC=90°，∠DAE+∠ADE=90°，
∵∠BDC=∠ADE，
∴∠DBC=∠FAC，
在△BDC和△AFC中，
，
∴△BDC≌△AFC(ASA)
∴BD=AF，
∵BE⊥AE，y轴恰好平分∠ABC，
∴AF=2AE，
∴BD=2AF；
(3)OC=OB+AF，
证明：作AE⊥OC于点E，如下图所示，
∵AE⊥OC，AF⊥y轴，
∴四边形OFAE是矩形，∠AEC=90°，
∴AF=OE，
∵△ABC是等腰直角三角形，BC=AC，直角顶点C在x轴上，∠BOC=90°，
∴∠BCA=90°，
∴∠BCO+∠CBO=90°，∠BCO+∠ACE=90°，
∴∠CBO=∠ACE，
在△BOC和△CEO中，
，
∴△BOC≌△CEO(AAS)
∴OB=CE，
∵OC=OE+EC，OE=AF，OB=EC，
∴OC=OB+AF.
点睛：本题考查全等三角形的判定与性质、坐标与图形的关系、等腰直角三角形、解题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题.
24．（2022秋·广东东莞·八年级湖景中学校考阶段练习）如图，GC＝GE，BE＝FC，∠B＝∠F．求证：△ABC≌△DFE．
【答案】证明见解析
【分析】求出BC＝EF，∠DEF＝∠ACB，根据全等三角形的判定定理ASA推出即可．
【详解】∵GC＝GE，
∴∠ACB＝∠DEF，
∵BE＝FC，
∴BC＝FE，
在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（ASA）．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
25．（2023秋·广西来宾·八年级统考期末）（1）【操作发现】如图①，D是等边的边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边，连接AF．线段AF与BD之间的数量关系是______．
（2）【类比猜想】如图②，当动点D运动至等边边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？并加以证明；
（3）【深入探究】如图③，当动点D在等边边BA上运动时（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边和等边，连接AF，，探究AF，与AB有何数量关系？并证明你的探究的结论．
【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3），证明见解析
【分析】（1）根据是等边三角形，可得，，进而可得，证明即可得结论；
（2）方法同（1）；
（3）由（1）可得，证明即可得，进而可得
【详解】
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
26．（2022秋·福建泉州·八年级校考期末）如图，已知．
(1)用直尺和圆规作射线平分；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)求证：角平分线上的点到角两边的距离相等. (要求：在第(1)小题作图的基础上，画出证明所需的图形，写出已知、求证和证明过程)
【答案】(1)见解析；(2)见解析.
【分析】(1)以点O为圆心，以任意长为半径画弧，与OA、OB分别交于点M、N，然后分别以点M、N为圆心，以大于MN长为半径画弧，两弧交于点C，作射线OC即可；
(2)在OC上任意取一点P，然后画出符合题意的图形，利用AAS证明△POE≌△POF，再根据全等三角形的对应边得到PE=PF即可.
【详解】(1)如图，射线OC即为所求作的；
(2)如图，OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，PE⊥OB，PF⊥OA，垂足分别为E、F，求证：PE=PF.
证明：∵OC平分∠AOB，
∴∠AOP=∠BOP，
又∵PE⊥OB，PF⊥OA，
∴∠PEO=∠PFO=90°，
在△POE和△POF中，
，
∴△POE≌△POF(AAS)，
∴PE=PF，
即角平分线上的点到角两边的距离相等.
【点睛】本题考查了角平分线的作法，角平分线性质定理的证明，熟练掌握角平分线的作法以及文字证明题的方法步骤是解题的关键.
27．（2023春·重庆江北·七年级校考期中）如图所示，在中，，点，，分别在边，，上，且，，连接，．

(1)求证：；
(2)若，连接，求的度数．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）根据，可得，证明即可作答；
（2）根据等边对等角可得，由全等三角形的性质可得，再结合三角形外角的定义与性质可得，问题随之得解．
【详解】（1）∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵在（1）有：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的定义与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，掌握等边对等角，是解答本题的关键．
28．（2023春·辽宁阜新·七年级校考阶段练习）（1）【初步探索】如图1：在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．结论应是__________；
（2）【灵活运用】如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由．

【答案】（1）；（2）仍然成立，理由见解析
【分析】（1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论；
（2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出．
【详解】解：（1）结论：．
理由：如图1，延长到点，使，连接，则

在和中，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）仍然成立，理由：
如图2，延长到点，使，连接，

∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．
29．（2022·江西南昌·校考一模）如图，在边长为1的等边三角形组成的网格线中，已知A，B是格点，请在网格线中完成下列画图，要求：仅用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹.
（1）在图(1)中，以AB为一边作出一个等腰三角形ABC，使另一顶点在网格线上，且其周长为无理数；
（2）在图(2)中，作出线段AB的三等分点.
【答案】作图见解析.
【详解】分析：（1）根据等腰三角形的性质即可解决问题；（2）
30．（2022秋·八年级课时练习）【问题情境】
利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP平分．点A为OM上一点，过点A作，垂足为C，延长AC交ON于点B，可根据ASA证明，则，（即点C为AB的中点）．
【问题探究】
如图2，中，，，CD平分，，垂足E在CD的延长线上，试探究BE和CD的数量关系，并证明你的结论：
【拓展延伸】
如图3，中，，，点D在线段BC上，且，于E，DE交AB于F，试探究BE和DF之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】【问题探究】，证明见解析；【拓展延伸】．证明见解析
【问题探究】延长BE交CA延长线于F，证明，推出，再证明，可得结论；
【拓展延伸】过点D作，交BE的延长线于点G，与AE相交于H，证明，推出，再证明得到来求解．
【详解】问题探究：解：，理由如下：
延长BE交CA延长线于F，
∵CD平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
拓展延伸：解：．
证明：过点D作，交BE的延长线于点G，与AE相交于H，
∵，
∴，，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴
∴，
在和中，
，
∴
∴，
∴.
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
31．（2022秋·八年级课时练习）以直线上一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即，且直角三角板在直线的上方.
(1)如图1，若直角三角板的一边在射线上，则______；
(2)如图2，直角三角板的边在的内部.
①若恰好平分，求和的度数；
②请直接写出与之间的数量关系；
(3)若，求此时的度数.
【答案】(1)
(2)①，；②
(3)的度数为或
【分析】(1)根据两个角互为余角，求出∠COD的度数；
(2)①根据平角定义先求出∠AOC，根据角平分线的定义得∠COE=∠AOE=∠AOC=65°进而求出∠BOD；②根据角的和差关系求出∠COE与∠BOD之间的数量关系；
(3)分两种情况分别论述：第一种情况， 如图1，当∠COD在∠BOC的内部时，第二种情
况，如图2，当∠COD在∠BOC的外部时，分别计算即可．
【详解】（1）∵∠DOE= 90°，
∴∠DOB=90°，
∵∠BOC=50°
∴∠COD = 40°
故答案为：；
（2）①∵，
∴．
∵恰好平分，
∴，
∴；
②与之间的数量关系为；
∵∠COD=∠BOC -∠BOD，
而∠COD+∠COE= 90°
∴∠BOC-∠BOD+∠COE=90°
∴∠COE-∠BOD= 90°-∠BOC．
∵∠BOC= 50°
∴∠COE-∠BOD = 40°；
（3）第一种情况，如图1，当在的内部时，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴；
②如图2，当在的外部时，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
综上所述，的度数为或．
【点睛】本题考查了余角，角平分线的定义，熟练掌握余角，角平分线的定义的应用，分情况讨论是解题关键．
32．（2022秋·八年级课时练习）如图，已知△EFG≌△NMH，∠F与∠M是对应角．
（1）写出图中相等的线段与角．（2）若EF=2.1cm，FH=1.1cm，HM=3.3cm，求MN和HG的长度．
【答案】（1）见解析；（2）MN=2.1cm；HG= 2.2cm．
【分析】（1）根据△EFG≌△NMH，∠F与∠M是对应角可得到两个三角形中对应相等的三边和三角；
（2）根据（1）中的对等关系即可得MN和HG的长度．
【详解】（1）∵△EFG≌△NMH，∠F与∠M是对应角，
∴EF=NM，EG=NH，FG=MH，∠F=∠M，∠E=∠N，∠EGF=∠NHM，
∴FH=GM，∠EGM=∠NHF；
（2）∵EF=NM，EF=2.1cm，
∴MN=2.1cm；
∵FG=MH，FH+HG=FG，FH=1.1cm，HM=3.3cm，
∴HG=FG-FH=HM-FH=3.3-1.1=2.2cm．
33．（2022秋·江西赣州·八年级统考期中）如图，均为等腰直角三角形，连接AE，CD，AE与CD相等吗？说明理由
【答案】，理由见解析．
【分析】由等腰直角三角形的性质可得，，，可得，由“”可证，可得．
【详解】解：，
理由如下：和均为等腰直角三角形，
，，，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
34．（2022春·福建三明·七年级永安市第六中学校联考期中）（1）已知，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，利用尺规过D作DE∥BC交AB于点E．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若∠ABC＝60°，求∠EDB．
【答案】（1）见解析；（2）30°
【分析】（1）利用尺规作图作∠BDE=∠DBC，结合内错角相等两直线平行即可解决问题；
（2）根据角平分线的性质可得∠DBC＝∠ABD＝30°，根据平行线的性质即可求解．
【详解】（1）如图所示，DE即为所求．
①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BD、BC于M、N点，
②以点D为圆心，BM为半径画弧，交BD于P点，
③以点P为圆心，MN为半径画弧，交步骤②的圆弧于O点，
④连接DO并延长，交AB于E点，
此时，∠BDE=∠DBC，故DE∥BC，
（2）∵BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，
∴∠DBC＝∠ABD＝30°，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC＝30°．
【点睛】本题考查尺规作图，涉及到角平分线的性质、平行线的判定及其性质，解题的关键是熟练掌握尺规作图步骤、角平分线的性质、平行线的判定及其性质．
35．（2022秋·八年级课时练习）如图所示，在△ABC中，MP和NQ分别垂直平分AB和AC，MP分别交AB、BC于M、P两点，NQ分别交AC、BC于N、Q两点，连接AP、AQ．
（1）若△APQ的周长为18，求BC的长；
（2）若∠BAC=110°，求∠PAQ的度数．
【答案】（1）18；（2）40°．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到PA=PB，QA=QC，根据三角形周长公式计算；
（2）根据三角形内角和定理得到∠B+∠C=70°，根据等腰三角形的性质计算．
【详解】（1）∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，
∴PA=PB，QA=QC，
∵△APQ的周长为18，
∴AP+PQ+AQ=BP+PQ+QC=18，
∴BC=18；
（2）∵∠BAC=110°，
∴∠B+∠C=70°，
∵PA=PB，QA=QC，
∴∠PAB=∠B，∠QAC=∠C，
∴∠PAB+∠QAC=∠B+∠C=70°，
∴∠PAQ=110°-70°=40°．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
36．（2023春·江苏盐城·七年级滨海县第一初级中学校联考阶段练习）实验探究：（1）动手操作：
①如图1，将一块直角三角板放置在直角三角板上，使三角板的两条直角边、分别经过点、，且，已知，则_______；
②如图2，若直角三角板不动，改变等腰直角三角板的位置，使三角板的两条直角边、仍然分别经过点、，已知，那么_______；

（2）猜想证明：如图3，与、、之间存在着什么关系，并说明理由；
（3）灵活应用：请你直接利用以上结论，解决以下列问题：
①如图4，平分，平分，若，，求的度数；
②如图5，，的10等分线相交于点、、…、，若，，则的度数为_______．

【答案】（1）①；②；（2），理由见解析；（3）①；②
【分析】（1）①根据平行线的性质得到，进而求出，由此即可得到答案；②根据三角形内角和定理得到，则；
（2）如图，过点D作射线．根据三角形外角的性质，可得，，由此即可证明；
（3）①利用（2）的结论可知，由角平分线的定义得到，则；②设，，则，，根据题意可得，，据此求解即可．
【详解】解：（1）①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
②∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2），理由如下：
如图，过点D作射线．

根据三角形外角的性质，可得，，
又∵，，
∴；
（3）①由（2）可得，
∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴
∵，
∴；

③设，，则，，
∵，
∴，，
解得，
∴，
即的度数为．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．
37．（2022秋·四川自贡·八年级校考期中）如图1，在四边形中，，，它的两边分别交点．且．
求证：
如图2，当的两边分别交的延长线于点，其余条件均不变时，中的结论是否成立？如果成立，请证明．如果不成立，线段又有怎样的数量关系？并证明你的结论．
【答案】（1）证明见解析；（2）不成立，AE=CF+EF，理由见详解
【分析】（1）延长到，使，连接，由题意易证，则有，进而可证，然后根据线段的等量关系可求解；
（2）在AE上截取AH=CF，连接BH，然后根据题意易证△ABH≌△CBF，则有BH=BF，∠ABH=∠CBF，进而可得△EBF≌△EBH，最后根据线段的等量关系可求解．
【详解】证明：延长到，使，连接，如图所示：
，
，
在和中
，
，
，
，
，
，
在和中
，
，
；
（2）不成立，AE=CF+EF，理由如下：
在AE上截取AH=CF，连接BH，如图所示：
，
，
∵AB=CB，
∴△ABH≌△CBF（SAS），
∴BH=BF，∠ABH=∠CBF，
∵，∠EBF=∠CBF+∠CBE，∠ABC=∠CBE+∠EBH+∠ABH，
∴∠EBF=∠EBH，
∵EB=EB，
∴△EBF≌△EBH（SAS），
∴CF=AH，EF=EH，
∵AE=AH+HE，
∴AE=CF+EF．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
38．（2022春·山东烟台·七年级校考期末）已知，△ABC为等边三角形，点D，E为直线BC上两动点，且BD=CE．点F，点E关于直线AC成轴对称，连接AE，顺次连接AD，DF，AF．
（1）如图1，若点D、点E在边BC上，试判断∠BAD与∠FDC的大小关系，并说明理由；
（2）若点D、点E在边BC所在的直线上如图（2）所示的位置，（1）中的结论是否还成立，说明理由．
【答案】（1），理由见解析；（2）成立，，理由见解析．
【分析】（1）根据等边三角形的性质与判定和全等三角形的判定和性质解答即可；
（2）根据全等三角形的判定和性质以及等边三角形的判定解答即可．
【详解】（1），理由如下：
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴
∴，，
∵点，点关于直线成轴对称，
∴，，
∴，，
∵，
∴，，
∴为等边三角形；
∴
∵
又∵
∴
（2）
∵理由：为等边三角形，
∴，，
∴
∵
∴
∴，，
∵点，点关于直线成轴对称，
∴，，
∴，，
∵，
∴，∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴．
【点睛】此题考查了等边三角形、全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定得出△ABD≌△ACE．
39．（2022春·八年级单元测试）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，作∠EAB=∠BAD，AE边交CB的延长线于点E，延长AD到点F，使AF=AE，连结CF．
求证：BE=CF．
【答案】证明见解析.
【详解】试题分析：根据等腰三角形的性质可得∠CAD=∠BAD，由等量关系可得∠CAD=∠EAB，有SAS可证△ACF≌△ABE，再根据全等三角形的对应边相等即可得证．
试题解析：证明：∵AB=AC，点D是BC的中点，∴∠CAD=∠BAD．
又∵∠EAB=∠BAD，∴∠CAD=∠EAB．
在△ACF和△ABE中，∵AC=AB，∠CAF=∠BAE，AF=AE，∴△ACF≌△ABE（SAS），∴BE=CF．
点睛：此题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度中等，注意掌握数形结合思想的应用．
40．（2022·贵州铜仁·九年级校联考期末）已知：如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AC∥DF，∠B=∠DEF，BE=CF．求证：AB=DE．
【答案】证明见解析.
【分析】先证明BC=EF，然后依据AAS证明△ABC≌△DEF，最后依据全等三角形的性质进行证明即可．
【详解】∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠F，
∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，
即 BC=EF，
在△ABC和△DEF中：
∠B=∠DEF，
BC=EF，
∠ACB=∠F，
∴△ABC≌△DEF （ASA），
∴AB=DE．
【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定与性质.
41．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在和中，，，．求证：

(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）证明得，即可解决问题；
（2）由全等三角形的性质得，再证，得，进而可得结论．
【详解】（1）证明：在和中，
，
.
，
，即.
（2），
，，
在和中，
，
，
，
，即.
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判断方法，准确识图确定出全等的三角形是解题的关键．
42．（2023春·宁夏固原·七年级校考期中）如图，，平分，且，

(1)求的度数；
(2)求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由得到，从而推出，由于平分即可求出的度数；
（2）由得到，由三角形外角和定理得到．
【详解】（1）解： ，
，
，
平分，
，
；
（2）解：，
，
由三角形外角和定理得到，
．
【点睛】本题主要考查平行的判定和性质以及三角形的外角和定理，熟练掌握平行的判定和性质是解题的关键．
43．（2022秋·八年级单元测试）如图， 在下列网格中， 每个小正方形的边长均为一个单位， 小正方形的顶点称为网格的格点．
（1） 图1为8×6网格， 点A，点B在格点上，在网格中画出以一个以AB为一边， 点C在格点上，面积为9的等腰ACB， 此时∠ABC= ．
（2）图2为5×3网格，点A，点B在格点上，在网格中找出所有的点C，使得 ABC为等腰三角形，点C在格点上．(在找到的点上标上点C1，C2，C3… )
【答案】（1）画图见详解，45°；（2）见详解
【分析】（1）根据面积为9的等腰ACB，AB=6，即可作出等腰ACB，进而即可求解；
（2）根据等腰三角形的定义，分AB为腰，AB为底，找出第三个顶点位置，即可．
【详解】解：（1）如图1所示：
此时ACB是等腰直角三角形，∠ABC=45°，
故答案是：45°；
（2）如图所示：
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质和判定，掌握分类讨论思想方法，熟悉网格的结构特征是解题的关键．
44．（2022秋·内蒙古赤峰·八年级校考期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，AD⊥AB交BE延长线于点D，CF平分∠ACB交BD于点F，连接CD．
求证：（1）
（2）BF=DC；
（3）点F为BD的中点．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）根据三线合一的性质得到∠BAC=∠ECF=45°，根据AD⊥AB，得到∠DAC=∠ECF=45°，利用ASA即可证明△ADE≌△CFE；
（2）连接DC，由（1）可得∠DAC=∠CEF，DA=CF，证明△ADC≌△CFB，得到BF=DC；
（3）根据△ADC≌△CFB得到CD=BF，∠ACD=∠CBF，再依据∠DCF=∠DFC，可得DC=DF，即可得到点F为BD的中点．
【详解】解：（1）∵E为AC边中点，
∴AE=CE，
又∵∠ACB=90°，AC=BC，且CF平分∠ACB，
∴∠BAC=∠ECF=45°，
∵AD⊥AB，
∴∠DAC=∠ECF=45°，又∠CEF=∠AED，
∴△ADE≌△CFE（ASA）；
（2）连接DC，
∵△ADE≌△CFE，
∴∠DAC=∠CEF，DA=CF，
又∵AC=BC，∠DAC=∠FCB=45°，
∴△ADC≌△CFB（SAS），
∴BF=DC；
（3）∵△ACD≌△CBF，
∴CD=BF，∠ACD=∠CBF，
∵∠DCF=∠ACD+∠ECF=∠ACD+45°，∠DFC=∠CBF+∠BCF=∠CBF+45°，
∴∠DCF=∠DFC，
∴DC=DF，
∴BF=DF，即点F为BD的中点．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解本题的关键．
45．（2023春·全国·七年级专题练习）已在等腰中，，，D为直线上一点，连接，过点C作，且，连接，交于点F．
(1)如图1，当点D在线段上，且时，请探究，，之间的数量关系，并说明理山；
(2)如图2，在（1）的条件下，在上任取一点G，连接，作射线使，交的平分线于点Q，求证：．
【答案】(1)，理由见解析；
(2)见解析
【分析】（1）在上找到点使得，易证是等边三角形，可得，即可求得，即可证明，可得，即可解题；
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，，
∴，
∵，，
∴，
在上找到点使得，如图1，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
在和中，
∴（SAS），
∴，
∵，
∴；
（2）证明：在上找到点，使得，如图2，
∵平分，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
在和中，
∴（ASA），
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质及等腰直角三角形和等边三角形的性质，本题中求证和是解题的关键．
46．（2022秋·八年级课时练习）已知：如下图在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，求：D到AB边的距离．
【答案】14
【分析】根据角平分线的性质可得D到AB边的距离=CD，根据BC=32，且BD：CD=9：7，求得CD即可．
【详解】解：过点D作DE⊥AB，则DE是点D到AB的距离．
∵BD∶CD=9∶7，
∴CD=BC·=32×=14
而AD平分∠CAB，
∴DE=CD=14
【点睛】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是熟练运用性质解决问题．
47．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期末）如图1，已知直线，点E、F分别在直线AB、CD上，G点为射线FD上一动点，且，将沿着EF翻折得到，直线EQ平分交直线CD于点P．
(1)当时，
①若，则______．
②若去掉条件“”，你还能求出的度数吗？试一试．
(2)如图2，在点G运动的过程中，当时，求的度数（用含a的代数式表示）
(3)在点G运动的过程中，若，且，直接写出的度数．
【答案】(1)①45°，②45°
(2)的度数为
(3) 或 .
【分析】（1）①由翻折可知: ，根据平行线的性质，可得,，角平分线的定义可得,根据，即可求解；②由翻折可知: ,进而可得，根据角平分线的定义可得，，根据，即可求解；
（2）在点运动过程中，当时，，由翻折可知：，根据角平分线的定义可得，计算即可求解．
（3）由（2）可知：在点运动过程中，，在点 运动的过程中, 若 , 且 , 则，分点 在点 的右侧时与点 在点 的左侧时两种情形列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：①若 , 则 ,
由翻折可知: ,
,
,
,
,
平分 ,
,
,
,
故答案为: ;
②若去掉条件, 还能求出 的度数,
,
,
由翻折可知: ,
,
,
平分 ,
（2）解：在点运动过程中，当时，，
由翻折可知：
,
,
平分 ,
,
；
即的度数为；
（3）解：由（2）可知：在点运动过程中，，
在点 运动的过程中, 若 , 且 , 则
，
点 在点 的右侧时
，
解得: ;
点 在点 的左侧时，
，
解得: ，
综上所述, 的度数为 或 ．
【点睛】本题考查了平行线的性质求角度，折叠的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理的应用，数形结合是解题的关键．
48．（2022春·山西·七年级统考阶段练习）综合与实践：再探索三角形角平分线的定义的应用
问题情境：
学习了三角形角平分线的定义后，同学们展开了再探索三角形角平分线的数学活动：前进小组得到了一个结论：已知，如图1，若点是和的角平分线的交点，则
证明如下：
是和的角平分线，
，
，
，
拓展创新：
(1) 如图2，若点是外角和的角平分线的交点，前进小组的结论还成立吗 若成立，给出证明；若不成立，写出正确的结论并证明．
应用计算：
(2) 如图3，平分，平分交于点，，求的度数．
【答案】（1）前进小组的结论不成立，正确的结论是，证明见解析；（2）
【分析】（1）前进小组的结论不成立，正确的结论是.先根据角平分线的定义证明，再根据三角形外角定理，三角形内角和定理进行角的转化，问题得证．
（2）先证明，，再根据三角形外角定理∠ACE＝∠A＋∠ABC进行角的转化，证明，问题得解．
【详解】解：(1)前进小组的结论不成立，正确的结论是．
证明：点是和的角平分线的交点，
.
.
(2) 平分，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及三角形外角性质，同时要注意类比思想的运用．解题时注意类比解题要根据图形的变化适时调整解题思路和解题所运用的定理．
49．（2022秋·河南信阳·八年级校考阶段练习）如图，四边形ABCD的内角∠DCB与外角∠ABE的平分线相交于点F．
（1）若BF∥CD，∠ABC＝80°，求∠DCB的度数；
（2）已知四边形ABCD中，∠A＝105 ，∠D＝125 ，求∠F的度数；
（3）猜想∠F、∠A、∠D之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）50°；（2）25°；（3）∠F＝（∠A＋∠D－180）°．
【分析】（1）由∠ABC＝80°，可知∠ABE＝100°，根据BF平分∠ABE，BF∥CD可得∠BCD＝50°．
（2）由三角形外角性质可知∠F＝∠FBE－∠FCE，而BF平分∠ABE、CF平分∠BCD，故∠F＝（∠ABE－∠FCE），由补角性质和四边形内角和可得∠ABE＝360°－∠A－∠B－∠BCD，将已知代入即可求解；
（3）同（2）可得∠F＝（∠A＋∠D－180°）
【详解】解：（1）∵∠ABC＝80°，
∴∠ABE＝180°－∠ABC＝100°，
∵BF平分∠ABE，
∴∠EBF＝∠ABE＝50°，
∵BF∥CD
∴∠BCD＝∠EBF＝50°；
（2）∵∠FBE是△EBC的外角，
∴∠F＝∠EBF－∠ECF
∵BF平分∠ABE、CF平分∠BCD，
∴∠EBF＝∠ABE＝，∠ECF＝∠BCD，
∵∠ABE＝180°－∠ABC，
∴∠F＝（180°－∠ABC）－∠BCD＝[180°－（∠ABC＋∠BCD）]，
∵在四边形ABCD中，∠ABC＋∠BCD＝360°－∠A－∠D，
∴∠F＝[180°－（360°－∠A－∠D）]，
∴∠F＝（∠A＋∠D－180°），
∵∠A＝105 ，∠D＝125 ，
∴∠F＝（105 ＋125 －180°）＝25°，
（3）结论：∠F＝（∠A＋∠D－180°）
理由如下：∵∠FBE是△EBC的外角，
∴∠F＝∠EBF－∠ECF
∵BF平分∠ABE、CF平分∠BCD，
∴∠EBF＝∠ABE＝，∠ECF＝∠BCD，
∵∠ABE＝180°－∠ABC，
∴∠F＝（180°－∠ABC）－∠BCD＝[180°－（∠ABC＋∠BCD）]，
∵在四边形ABCD中，∠ABC＋∠BCD＝360°－∠A－∠D，
∴∠F＝[180°－（360°－∠A－∠D）]，
∴∠F＝（∠A＋∠D－180°），
【点睛】本题考查了三角形的外角性质的应用和角平分线的定义，能正确运用性质进行推理和计算是解此题的关键，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．（3）中得出∠F＝（180°－∠ABC）－∠BCD是解题的关键．
50．（2022秋·重庆九龙坡·八年级统考期末）在等边△ABC中，D为BA延长线上一点，F为BC上一点，过B作BEAC，连接DE，EF，且∠DEF＝60°．
(1)如图1，若BE＝2，BD＝5，求BF的长．
(2)如图2，若F为CB延长线上一点，试探究BD、BE、BF的关系，并说明理由．
(3)如图3，若F为BC延长线上一点，且AD：BE：AC＝1：2：3，请直接写出CF：BE的值．
【答案】(1)3；
(2)BE=BD+BF．理由见解析；
(3)3：2．
【分析】（1）在FB的延长线上取点M，使BM=BE，连接ME，证明（ASA），由全等三角形的性质得出MF=DB，则可得出答案；
（2）在BF的延长线上取点M，使BM=BE，连接ME，证明（ASA），由全等三角形的性质得出MF=DB，则可得出结论；
（3）在BC上取点M，使BM=BE，连接ME，同理可知（ASA），得出MF=BD，设AD=x，BE=2x，AC=3x，求出CF=3x，则可得出答案．
【详解】（1）解：在FB的延长线上取点M，使BM=BE，连接ME，
∵三角形ABC是等边三角形，
∴∠C=60，
∵，
∴∠EBM=60，
∴△EBM是等边三角形，
∴∠M=∠BEM=60，ME=BE，
∵∠DEF=60，
∴∠DEF+∠BEF=∠BEM+∠BEF，
∴∠DEB=∠FEM，
∵∠MBE=∠ABC=60，
∴∠EBD=∠M=60，
∴（ASA），
∴MF=DB，
∵MF=MB+BF，
∴BD=BE+BF，
∵BE=2，BD=5，
∴BF=5-2=3；
（2）BE=BD+BF．
理由：在BF的延长线上取点M，使BM=BE，连接ME，
∵，
∴∠C=∠EBM=60°，
∵BM=BE，
∴为等边三角形，
∴ME=BE，∠M=∠MEB=60°，
∴∠M=∠EBD，
∵∠DEF=60°，
∴∠MEF=∠BED，
∴（ASA），
∴MF=BD，
∵BM=MF+BF，
∴BE=BD+BF；
（3）在BC上取点M，使BM=BE，连接ME，
同理可证（ASA），
∴MF=BD，
设AD=x，BE=2x，AC=3x，
∴BD=AB+AD=3x+x=4x，
∴BF=BM+MF=2x+4x=6x，
∴CF=BF-BC=6x-3x=3x，
∴CF：BE=3x：2x=3：2．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了平行线的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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