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第三章：圆的基本性质培优训练试题答案
一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.答案：A
解析：的直径垂直于弦，
，，
，
，
在中，，，
，
，
故选择：A．
2.答案：C
解析：由圆内接四边形的性质可知：∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣70°＝110°，
∵，
∴∠ADB＝∠BDC∠ADC＝55°．
故选择：C．
3.答案：C
解析：连接BD，
∵CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD，
∴∠ADC＝∠BDC＝30°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝60°，
故选择：C．
4.答案：C
解析：如图，连接AO，
∵△AMN是等边三角形，
∵五边形ABCDE是正五边形，
故选择：C．
5.答案：C
解析：过A作AD⊥BC于D，
△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
则AD必过圆心O，
Rt△ABD中，AB=5，BD=3，
∴AD=4，
设⊙O的半径为x，
Rt△OBD中，OB=x，OD=4-x，
根据勾股定理，得：OB2=OD2+BD2，即：x2=（4-x）2+32，
解得：x==3.125．
故选择：C．
6.答案：B
解析：令扇形所在圆的半径为r，
则
∵于点D，且
∴
在中，
解得：，
∴
∴
又∵OA=OB,
∴
∴
又∵，
故答案为： B.
7.答案：A
解析：直径，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故选择：A．
8.答案：A
解析：正六边形，
，
设的半径为，
则，
解得：，
即的半径为3
故选择：A．
9.答案：B
解析：设BD交OC于E，连接OD，OA，
∵BD垂直平分OC，
∴OE=OC=OD，∠OED=90°，
∴∠ODE=30°，
∴∠DOC=90°-30°=60°，
∵OC=OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∵∠ABD=45°，
∴∠AOD=2∠ABD=90°，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠OAD=（180°-∠AOD）=45°，
∴∠ADC=∠ADO+∠ODC=45°+60°=105°，
故选择：B．
10.答案：C
解析：如图，延长DO交⊙O于点M，连接PM，PF，OF，
∵AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为弧BC的中点，
∴，
∴∠AOC＝∠COF＝∠BOF，
∵∠AOC+∠COF+∠BOF＝180°，
∴∠AOC＝∠COF＝∠BOF＝60°，
∴∠BOM＝∠AOC＝60°＝∠BOF，
∴点F关于AB的对称点为点M，
∴PM＝PF，
∴PE+PF＝PE+PM≥EM，
当E，P，M三点共线时，PE+PF最小，最小值为EM的长，
∵∠AOC＝60°，AD⊥AB，
∴∠D＝30°，
∴OD＝2OA，
∵CD＝4，
∴OD＝OC+4＝2OA＝2OC，即OC＝4，
∴OC＝OA＝OB＝OM＝OF＝4，
∵AF⊥OC，∠AOC＝60°，
∴∠OAE＝30°，
∴，
∴PE+PF的最小值EM＝OE+OM＝2+4＝6．
故选择：C．
⊙
二．填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案：外部
解析：
解得：
∴点P到圆心O的距离
∵⊙O的半径是4，
点P在⊙O的外部
故答案为：外部
12.答案：
解析：如图，连接OB．
∵四边形OABC为平行四边形，
∴AB＝OC，
∵OA＝OC，
∴OA＝AB，
∴ OABC是菱形，
∵OA＝OB＝AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴S阴影＝S扇形AOB．
故答案为：．
13.答案：8
解析：如图所示，连接，，
∵，，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
故答案为：8．
14.答案：85
解析：连结OO'，
∵将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O'A'B'，
∴BO'=BO=OO'
∴△BOO'为等边三角形，
∴∠OBO'=60°，
∵☉O与△OAB的边AB相切，
∴∠OBA=∠O'BA'=90°，
∴∠CBO=90°-∠OBO'=90°-60°= 30°，
∵∠A'=25°，
∴∠AO'B=90°-∠A'=90°-25°= 65°，
∴∠AOB=∠AO'B =65°，
∴∠OCB=180-∠COB-∠OBC=180-65°-30= 85°
故答案为：85.
15.答案：3
解析：如图，作点A关于的对称点，连接，交于点P，连接，，，，．
∵点A与关于对称，点A是半圆上的一个三等分点，
∴，，
∵点B是劣弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
∴周长的最小值，
故答案为：3．
16.答案：①②④
解析：连接BD，BM，AM，EM，DE，
∵∠BAD=90°，∴BD为圆的直径，∴∠BMD=90°，
∴∠BAD=∠CDA=∠BMD=90°，
∴四边形ADMB是矩形，∴AB=DM=1，
又∵CD=2，∴CM=1，∴DM=CM，故①正确；
∵AB∥MC，AB=MC，∴四边形AMCB是平行四边形，
∴BE∥AM，∴，故②正确；
∵，∴AB=EM=1，∴DM=EM，∴∠DEM=∠EDM，
∵∠ADM=90 ，∴AM是直径，∴∠AEM=∠ADM=90 ，
∴∠ADE=∠AED，∴AD=AE，故④正确；
由题设条件求不出⊙O的直径，所以③错误；
故答案为①②④.
三．解答题（共8题，共72分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.解析：（1）∵直径，
∴；
（2）解：∵，
∴
设，
∵,
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴．
18.解析：∵，，
∴，
∴，
∵AB⊥CD，
∴，
∴．
19.解析：（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：设的半径为，
∵，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，，
∴的半径为．
20.解析：连接，，
∵、分别为，的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
21.解析：（1）连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴；
（2）解：∵以为直径的分别交，于点D，E，
∴四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴．
22.解析：（1）∵BD为直径，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
∵CD=12cm，BC=5cm，
∴BD=13（cm），
∵AC平分∠BCD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴AB=AD，
∴AB=AD=BD=，故AB的长为．
（2）证明：将△ACD绕点A顺时针旋转90°后可得△ABC'，
由旋转性质可得：△ACD△ABC'，∠CAC'=90°，CA=C'A，
∴AC'=AC，CD=BC'，∠ADC=ABC'，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC+∠AD'B=180°，
又∵∠CAC'=90°，CA=C'A，
∴△C'AC是等腰直角三角形，
∴CC'=，
∴BC+C'B=，
∴BC+CD=．
23.解析∶（1）∵，，，
∴，
∵，
∴是是直径，
∴的半径为；
（2）解：设与相交于点E，
∵，，，，
∴，即，
∴，
∵，是是直径，
∴；
（3）解：∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
24.解析：（1）①如图，由旋转可得：，，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②∵，，，
∴，，
∴；
（2）①如图，以为圆心，为半径作，过作交圆于，连接，延长交圆于，连接，
∴，，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在上取点，使，则，
∴，
∵为直径，
∴，
设，则，，而，
∴，
∴，
∴，
∴，
②如图，取的中点，连接，过作交圆于，过作交于，
∴四边形为平行四边形，
∵，，
∴，
∴四边形为菱形，
∴，
∴在以为圆心，为半径的圆弧上运动，
∵起始位置时，，，，
∴，
此时四边形为正方形，
∴，
∴点的运动路径长为．
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第三章：圆的基本性质培优训练试题
一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，，半径为2，则CD的长为（ ）
A.2 B.1 C. D.4
2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，，连接BD，若∠ABC＝70°，则∠BDC的度数为（　　）
A．20° B．35° C．55° D．70°
3.如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD，∠ADC＝30°，则∠BOC＝（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
4.如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
5.已知⊙O是△ABC的外接圆，若AB＝AC＝5，BC＝6，则⊙O的半径为(　　)
A.4 B.3.25 C.3.125 D.2.25
6.如图，弓形的弓高CD为 1 ，弦长AB为，则此弓形（阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
如图，线段AE是⊙O的直径，点B是⊙O上一点，设，．
若，则（　　）
A． B． C． D．
8.如图，以正六边形的顶点O为圆心，的长为半径画圆，若圆与正六边形重叠部分
（图中阴影部分）的面积为，则的半径为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9 .如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD垂直平分半径OC，若∠ABD＝45°，则∠ADC＝（ ）
A．100° B．105° C．110° D．115°
10.如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于点A，OD交⊙O于点C，AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为弧BC的中点，P为线段AB上一动点，若CD＝4，则PE+PF的最小值是（　　）
A．4 B． C．6 D．
二．填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.已知⊙O的半径是4，点P到圆心O的距离d为方程的一个根，则点P在⊙O的　 　．（填“内部”、“外部”、“上”）
12.如图，⊙O的半径为1，A，B，C是⊙O上的三个点．若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为 　 　
13.如图，的半径为8，直角三角板角的顶点落在，两边与分别交于，两点，
则弦的长为 ．
14．如图所示，圆O 与△OAB 的边AB 相切，切点为 B.将△OAB 绕点B 按顺时针方向旋转得到△O'A'B，使点O'落在圆O 上，边 A'B 交线段AO 于点C.若 ，则∠OCB=　 　°.
15．如图，是的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧的中点，点P是直径上一动点．若，，则周长的最小值是 ．
16.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠CDA=90°，AB=1，CD=2，过A，B，D三点的⊙O分别交BC，CD于点E，M，下列结论：①DM=CM；②弧AB=弧EM；③⊙O的直径为2；④AE=AD．
其中正确的结论有 （填序号）．
三．解答题（共8题，共72分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17．（本题6分）如图，是的直径，弦于点，连接，若，．
(1)求的长度；(2)求的长度．
18.（本题6分）如图，为⊙的直径，是弦，且于点E，连接、、，若，，求弦的长．
19．（本题8分）如图，是的直径，点是上一点，连接，，于，交于点．（1）求证：；（2）若，，求的半径．
20．（本题8分）如图，，为两弦，且，、分别为，的中点．求证：．
21.（本题10分）如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E．
（1）若，求的度数．（2）若，求的度数．
22．（本题10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O， BD为直径，AC平分∠BCD，
（1）若BC=5cm，CD=12cm，求AB的长；（2）求证：BC+CD=AC．
23 ．（本题12分）如图，是的内接三角形，点为上一点，点、点分别在线段的两侧，，．（1）求的半径长；（2）如图1，若，求的长；
（3）如图2，若，求的度数．
24．（本题12分）将线段绕点顺时针旋转得到线段，再以线段为边画等边，连接．
(1)①如图1，若，则的度数为___________．
②在旋转过程中，改变，求出的度数．
(2)如图2．在中，，，．当时，
①求的长．
②把图2位置中的点看成起始点，点随从图2位置顺时针旋转而运动，到与重合时停止旋转，同时点也停止运动，直接写出点的运动路径长．
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