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通用版高考数学一轮复习
课时突破练41　基本立体图形及空间几何体的表面积与体积
基础达标练
1.下列说法正确的是(　　)
A.棱台的侧棱长都相等
B.棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台
C.棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形
D.棱台的两个底面相似
2.(2024·安徽淮北模拟)如图所示,在三棱台A'B'C'-ABC中,沿平面A'BC截去三棱锥A'-ABC,则剩余的部分是(　　)
A.三棱锥 B.四棱锥
C.三棱柱 D.组合体
3.已知圆锥的底面半径为,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为(　　)
A.2 B.2
C.4 D.4
4.△O'A'B'是△OAB在斜二测画法下的直观图,其中O'B'=2O'A'=4,则△OAB的面积是(　　)
A.2 B.4 C.8 D.8
5.(2024·湖南邵阳模拟)如图所示,正八面体的棱长为2,则此正八面体的表面积与体积之比为(　　)
A. B. C. D.
6.(2025·八省联考,6)底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为(　　)
A. B.π C.2π D.3π
7.(多选)(2024·福建三明期中)如图,一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等,则下列结论正确的是(　　)
A.圆锥的侧面积为2πR2
B.圆柱与球的表面积之比为
C.圆柱的侧面积与球的表面积相等
D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2
8.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别为BB1,AB的中点,则三棱锥A-NMD1的体积为　　　　　.
能力提升练
9.甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2π,侧面积分别为S甲和S乙,体积分别为V甲和V乙.若=2,则=(　　)
A. B.2 C. D.
10.《五曹算经》是我国南北朝时期数学家甄鸾为地方行政官吏编撰的一部实用算术书.其第四卷第九题如下:“今有平地聚粟,下周三丈,高四尺,问粟几何 ”其意思为“场院内有圆锥形稻谷堆,底面周长3丈,高4尺,那么这堆稻谷有多少斛 ”已知1丈等于10尺,1斛稻谷的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的稻谷约有(　　)
A.60.08斛
B.171.24斛
C.61.73斛
D.185.19斛
11.(2024·广东肇庆模拟)如图,一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4,一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发,绕圆锥爬行一周后回到点P处,若该小虫爬行的最短路程为4,则这个圆锥的体积为(　　)
A.
B.
C.
D.
12.(多选)(2024·湖北武汉期末)如图1,一个正四棱柱形的密闭容器水平放置,其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块,容器内盛有a升水时,水面恰好经过正四棱锥的顶点P.如果将容器倒置,水面也恰好过点P(图2),则(　　)
图1
图2
A.若往容器内再注入a升水,则容器恰好能装满
B.正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半
C.将容器侧面水平放置时,水面也恰好过点P
D.任意摆放该容器,当水面静止时,水面都恰好经过点P
13.(多选)(2024·安徽亳州模拟)如图,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为4,动点E,F在棱AB上,且EF=2,动点Q在棱DC上,则在三棱锥A'-EFQ中,下列说法正确的是(　　)
A.△EFQ的面积与点E,F的位置无关
B.三棱锥A'-EFQ的体积与点Q的位置有关
C.三棱锥A'-EFQ的体积与点E,F,Q的位置都有关
D.三棱锥A'-EFQ的体积与点E,F,Q的位置均无关,是定值
14.(2024·九省联考)已知轴截面为正三角形的圆锥MM'的高与球O的直径相等,则圆锥MM'的体积与球O的体积的比值是　　　　　,圆锥MM'的表面积与球O的表面积的比值是　　　　　.
15.(2024·广东深圳模拟)如图,一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水,若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形,则V的取值范围是　　　　　.
素养拔高练
16.(2024·江苏模拟)菠萝眼常有两种剔除法:用图1甲所示的去眼刀逐个挖掉菠萝眼,或者用图1乙所示的三角刀沿着菠萝眼挖出一条一条的螺旋线.现有一个菠萝准备去眼,假设:(1)该菠萝为圆柱体,菠萝有64个菠萝眼,都均匀地错位排列在侧面上(如图2甲);(2)若使用去眼刀,则挖出的每一个菠萝眼可看成侧棱为3 cm,且侧棱与底面成60°夹角的正四棱锥;(3)若使用三角刀,可挖出8根螺纹条,其侧面展开图如图2丙所示,设螺纹条上两个相邻菠萝眼A,B的距离为h(单位:cm).若将8根螺纹条看成8个完全一样的直三棱柱,每个直三棱柱的高为8h(单位:cm),其底面为等腰三角形,该等腰三角形的底边长为1.4 cm,顶角为30°,则当菠萝眼的距离h接近于　　　　　cm时,两种刀法留下的菠萝果肉一样多.(参考数据:≈1.7)
图1
图2
答案：
1.D　由棱台的定义知棱台的侧棱长不一定都相等,而棱台的两个底面相似,所以A不正确,D正确;若平面沿棱锥的高去截,则棱锥被平面截成的两部分可能都是棱锥,B不正确;棱柱的侧棱都相等且相互平行,且侧面是平行四边形,但侧面并不一定全等,C不正确.
2.B　三棱台A'B'C'-ABC中,沿平面A'BC截去三棱锥A'-ABC,剩余的部分是以A'为顶点,四边形BCC'B'为底面的四棱锥A'-BCC'B'.
3.B　设圆锥底面半径为r1,圆锥侧面展开图半圆所在圆的半径为r2.
图①
图②
由条件得,2πr1=2πr2,则r2=2r1=2,故该圆锥的母线长为2故选B.
4.C　如图所示,由题意,在平面直角坐标系中作出△OAB的图形可得OB=8,OA=2,且∠BOA=90°,故S△OAB=2×8=8.故选C.
5.D　如图,
由边长为2,可得△EBC的高EG=,EO=,则其表面积S=8=8=8体积为V=2=2所以此正八面体的表面积与体积之比为
6.A　由题可知圆锥的底面半径R=1,母线长l=2,高h=,
∴圆锥的体积V=R2h=
7.BCD　对于A项,圆锥的母线l=R,所以圆锥的侧面积S1=πRl=R2,故A错误;对于B项和C项,圆柱的侧面积S2=2Rπ×2R=4πR2,则圆柱的表面积S3=S2+2πR2=6πR2,球的表面积S4=4πR2,所以圆柱与球的表面积之比为,圆柱的侧面积与球的表面积相等,故B,C正确;对于D项,圆柱的体积V1=πR2×2R=2πR3,圆锥的体积V2=R2×2R=R3,球的体积V3=R3,所以圆柱、圆锥、球的体积之比为V1∶V2∶V3=(2πR3)∶R3∶R3=3∶1∶2,故D正确.故选BCD.
8.　因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别为BB1,AB的中点,所以1×1×2=
9.C　如图,
甲、乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆,设圆的半径(即圆锥的母线长)为3,则圆的周长为6π,甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1,r2,高分别为h1,h2,则2πr1=4π,2πr2=2π,则r1=2,r2=1,由勾股定理得,h1=,h2=2,所以,故选C.
10.C　设圆锥形稻谷堆的底面半径为r尺,则底面周长为l=2πr=30尺,解得r=尺,又高为h=4尺,所以圆锥的体积为V=r2h=π4=100(立方尺);又61.73(斛),所以估算堆放的稻谷约有61.73斛.
11.A　设圆锥的顶点为O,可作出圆锥侧面展开图如右图所示,
因为小虫爬行的最短路程为4,则PP'=4,又OP=OP'=4,所以cos∠POP' ==-,则∠POP'=,设圆锥底面半径为r,高为h,则2πr=4,解得r=,则h=,所以圆锥体积V=r2h=
12.ACD　设题图1中水的高度为h2,正四棱柱的高为h1,底面正方形的边长为b,则题图2中水的体积为b2h1-b2h2=b2(h1-h2),即b2h2=b2(h1-h2),解得h1=h2,所以正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半是错误的,即B错误;
对于A项,往容器内再注入a升水,水面将升高h2,则h2+h2=h2=h1,容器恰好能装满,A正确;
对于C项,当容器侧面水平放置时,P点在长方体中截面上,占容器内空间的一半,所以水面也恰好经过P点,C正确;
对于D项,任意摆放该容器,当水面静止时,P点在长方体中截面上,始终占容器内空间的一半,所以水面都恰好经过点P,D正确.
13.AD　连接AD',BC',
对于选项A,因为AB∥C'D',且AB=C'D',可知ABC'D'为平行四边形,且AB⊥平面ADD'A',AD' 平面ADD'A',则AB⊥AD',可知ABC'D'为矩形,所以△EFQ的面积S△EFQ=EF·AD'=2×4=4,即△EFQ的面积为定值,与点E,F的位置无关,故A正确;
对于选项B,C,D,因为A'D'⊥平面ABB'A',且平面ABB'A'∥平面CDD'C',可知三棱锥Q-A'EF的高为A'D'=4,所以三棱锥A'-EFQ的体积VA'-EFQ=VQ-A'EF=A'D'·S△A'EF=42×4=,即三棱锥A'-EFQ的体积为定值,与点E,F,Q的位置均无关,故D正确,B,C错误.
14　1　设圆锥的底面半径为r,球的半径为R,因为圆锥的轴截面为正三角形,所以圆锥的高h=r,母线l=2r,由题可知h=2R,所以球的半径R=r,所以圆锥的体积V1=(π×r2)r=r3,球的体积V2=R3=r3=r3,所以
圆锥的表面积S1=πrl+πr2=3πr2,球的表面积S2=4πR2=4π×r2=3πr2,所以=1.
15.　将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形,则如图,
水最少的临界情况为,水面为面A1BD,水最多的临界情况为多面体ABCDA1B1D1,水面为BC1D1,
因为1×1×1==1-1×1×1=,所以16.1.8　欲使留下的果肉一样多,只需两种刀法下削掉的菠萝果肉的体积一样大.
若用去眼刀削菠萝,削掉的每个菠萝眼视为一个正四棱锥,该锥体的高为3×sin 60°=,底面对角线长为2×3cos 60°=3,故正四棱锥的体积为,菠萝眼共有64个,故用去眼刀去掉的菠萝果肉的体积为64,若用三角刀削菠萝削掉的每根螺纹条视为一个直三棱柱,其底面的高为=0.7×(2+),底面积为1.4×0.7×(2+)=0.49×(2+),直三棱柱的体积为0.49×(2+)×8h,故用三角刀去掉的菠萝果肉的体积为0.49×(2+)×8h×8,由题可得0.49×(2+)×8h×8=64,则h=1.8.
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