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通用版高考数学一轮复习
课时突破练42　空间点、直线、平面之间的位置关系
基础达标练
1.(2024·天津滨海高三期末)下列说法正确的是(　　)
A.三点确定一个平面
B.四边形确定一个平面
C.三角形确定一个平面
D.一条直线和一个点确定一个平面
2.若∠AOB=∠A'O'B',OA∥O'A',且OA与O'A'的方向相同,则OB与O'B'(　　)
A.一定平行且方向相同
B.一定平行且方向相反
C.一定不平行
D.不一定平行
3.如图,平面α∩平面β=l,A,B∈α,C∈β,C l,直线AB∩l=D(点D不同于A,B,C),过A,B,C三点确定的平面为γ,则平面γ,β的交线必过(　　)
A.点A
B.点B
C.点C,但不过点D
D.点C和点D
4.在三棱锥A-BCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果EF∩HG=P,则点P(　　)
A.一定在直线BD上
B.一定在直线AC上
C.在直线AC或BD上
D.不在直线AC上,也不在直线BD上
5.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P为边A1C1上的动点,则下列直线中,始终与直线BP异面的是(　　)
A.DD1 B.AC
C.AD1 D.B1C
6.(多选)下列说法正确的有(　　)
A.A∈l,A∈α,B∈l,B∈α l α
B.A∈α,A∈β,B∈α,B∈β α∩β=AB
C.l α,A∈l A α
D.A∈l,l α A∈α
7.已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为　　　　　.
8.(2024·山东济宁模拟)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O1为底面A1B1C1D1的中心,E为BC的中点,则异面直线AO1与C1E所成角的余弦值是　　　　　.
9.(13分)如图,等腰直角三角形ABC的直角边AC=BC=2,沿其中位线DE将平面ADE折起,使平面ADE⊥平面BCDE,得到四棱锥A-BCDE,设CD,BE,AE,AD的中点分别为M,N,P,Q.
(1)求证:M,N,P,Q四点共面;
(2)求异面直线BE与MQ所成的角.
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10.(2024·江苏无锡高三期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线DP与直线B1C所成角为(　　)
A. B. C. D.
11.四边形ABCD是矩形,AB=3AD,点E,F分别是AB,CD的中点,将四边形AEFD绕EF旋转至与四边形BEFC重合,则直线ED,BF所成角α在旋转过程中(　　)
A.逐步变大 B.逐步变小
C.先变小后变大 D.先变大后变小
12.在正四棱锥P-ABCD中,AB=2,E,F,G分别为AB,PC,AD的中点,直线BF与EG所成角的余弦值为,则三棱锥P-EFG的体积为(　　)
A. B. C. D.
13.(多选)如图,在四面体ABCD中,M,N,P,Q,E分别是AB,BC,CD,AD,AC的中点,则下列说法中正确的有(　　)
A.M,N,P,Q四点共面
B.∠QME=∠CBD
C.△BCD∽△MEQ
D.四边形MNPQ为梯形
14.(多选)(2024·北京朝阳模拟)在三棱锥A-BCD中,AB=CD=,AD=BC=AC=BD=,则(　　)
A.AB⊥CD
B.三棱锥A-BCD的体积为
C.三棱锥A-BCD外接球的半径为
D.异面直线AD与BC所成角的余弦值为
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15.(15分)如图所示,A是△BCD所在平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点.
(1)求证:直线EF与BD是异面直线;
(2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角.
答案：
1.C　三个不共线的点确定一个平面,故选项A错误;四边形存在空间四边形,故选项B错误;三角形的顶点是三个不共线的点,确定一个平面,故选项C正确;当点在直线上时无法确定一个平面,故选项D错误.
2.D　如图,
若∠AOB=∠A'O'B',OA∥O'A',且OA与O'A'的方向相同,OB与O'B'不一定平行.
3.D　对于A项和B项,假设A∈β,因为A∈α,则A∈α∩β,又α∩β=l,所以A∈l,又A∈AB,所以A∈AB∩l,与AB∩l=D矛盾,则A β,即平面γ,β的交线不过点A,故A错误,同理,B错误;
对于C项和D项,因为C∈β,C∈γ,D∈l β,D∈AB γ,所以C∈β∩γ,D∈β∩γ,即点C,D在β与γ的交线上,故C错误,D正确.
4.B　如图所示,
因为EF 平面ABC,HG 平面ACD,EF∩HG=P,所以P∈平面ABC,P∈平面ACD.又因为平面ABC∩平面ACD=AC,所以P∈AC.故选B.
5.B　对于A项,当P是A1C1的中点时,BP与DD1是相交直线;对于B项,根据异面直线的定义知,BP与AC是异面直线;对于C,当点P与C1重合时,BP与AD1是平行直线;对于D,当点P与C1重合时,BP与B1C是相交直线.
6.ABD　由A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,根据基本事实1可得l α,故A选项正确;
由A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,根据基本事实2可得α∩β=AB,故B选项正确;
由l α,A∈l可得A α或A∈α,故C选项错误;
由A∈l,l α根据基本事实1可得A∈α,故D选项正确.
7.　如图,
补成直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,则AB1∥C1D,所以AB1与BC1所成角为∠BC1D或其补角.
易得BC1=,BD=,C1D=AB1=,易得C1D2=BD2+B,即BC1⊥BD,因此cos∠BC1D=
8　在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,取AD,A1D1中点F,M,连接EF,D1F,AM,O1M,如图,因为E为BC的中点,有EF∥CD∥C1D1,EF=CD=C1D1,则四边形C1D1FE是平行四边形,于是D1F∥C1E,又AF∥D1M,AF=D1M,即有四边形AMD1F是平行四边形,因此AM∥D1F∥C1E,则∠O1AM是异面直线AO1与C1E所成的角或补角,而O1为底面A1B1C1D1的中心,则O1M∥C1D1,又C1D1⊥平面ADD1A1,从而O1M⊥平面ADD1A1,而AM 平面ADD1A1,则O1M⊥AM,在△O1MA中,O1M=1,AM=,AO1=,于是cos∠O1AM=,所以异面直线AO1与C1E所成角的余弦值是
9.(1)证明 由题意易知PQ∥DE,MN∥DE,所以PQ∥MN,所以M,N,P,Q四点共面.
(2)解 由条件知AD=1,DC=1,BC=2,如图,延长ED至R,使DR=ED,则ER=BC,ER∥BC,故四边形ERCB为平行四边形,所以RC∥EB.
又AC∥QM,所以∠ACR为异面直线BE与QM所成的角(或补角).
因为DA=DC=DR,且三线两两互相垂直,由勾股定理得AC=AR=RC=,所以△ACR为正三角形,所以∠ACR=60°,所以异面直线BE与MQ所成的角为60°.
10.C　如图,
设Q为底面中心,P为上底面中心,易得DP∥QB1,所以异面直线DP与B1C所成的角就是∠QB1C或其补角,设正方体的棱长为2,可得B1C=2,QC=,QB1=,由余弦定理,得cos∠QB1C=,所以∠QB1C=,异面直线DP与B1C所成的角是
11.D　由题可知初始时刻ED与BF所成的角为0,如图1,故B,C错误;
图1
图2
在四边形AEFD绕EF旋转过程中,EF⊥DF,EF⊥FC,DF∩FC=F,DF,FC 平面DFC,所以EF⊥平面DFC,EF 平面EFCB,所以平面DFC⊥平面EFCB,故D在平面BCFE内的投影P一直落在直线CF上,如图2,
所以一定存在某一时刻EP⊥BF,而DP⊥平面EFCB,DP⊥BF,又DP∩PE=P,DP,PE 平面DPE,所以BF⊥平面DPE,此时DE与BF所成的角为,然后α开始变小,故直线ED,BF所成角α在旋转过程中先变大后变小,故A错误,D正确.
12.B　连接BD,DF,AC,CG,CE,如图,
设BF=DF=x,由BD∥EG,得∠FBD即为BF与EG所成的角,在△FBD中,易知BD=2,cos∠FBD=,解得x=设PB=PC=y,在△PFB中,2+3-2cos∠PFB=y2,①
因为∠PFB+∠BFC=180°,故cos∠BFC=cos(180°-∠PFB)=-cos∠PFB,则在△BCF中,2+3-2cos∠BFC=4,即2+3+2cos∠PFB=4,②
①+②得+6=y2+4,因为y>0,解得y=2.
因为F为PC的中点,故V三棱锥P-EFG=V三棱锥C-EFG=V三棱锥F-ECG,因为PA2+PC2=AC2,PA=PC,所以△PAC为等腰直角三角形,
则在等腰直角三角形PAC中,易求得点P到AC的距离即点P到底面的距离,为,
故点F到平面CEG的距离为,
S△ECG=S ABCD-S△AEG-S△CDG-S△CEB=2×2-1×1-2×1-1×2=4--1-1=,故所求三棱锥的体积为
13.ABC　由题图可知,在△ABC中,M,N分别是AB,BC的中点,所以MN∥AC,且MN=AC,同理在△ADC中,QP∥AC,且QP=AC,所以MN∥QP,MN=QP,所以四边形MNPQ为平行四边形,所以M,N,P,Q四点共面,所以A正确;
在△ABC中,由中位线定理得ME∥BC,同理在△ABD中,由中位线定理得MQ∥BD,所以由等角定理知,∠QME=∠DBC,所以B正确;
在△ADC中,由中位线定理得QE∥DC,所以ME∥BC,MQ∥BD,QE∥DC,所以由等角定理可知,∠QME=∠DBC,∠QEM=∠DCB,∠MQE=∠BDC,所以△BCD∽△MEQ,所以C正确;
由上述分析得四边形MNPQ为平行四边形,所以D错误.
14.ABD　将三棱锥补形为长方体,如图所示.
其中BE=BN=1,BF=2,所以AB=CD=,AD=BC=AC=BD=,连接MF,则AM∥BF,AM=BF,所以四边形AMFB为平行四边形,所以AB∥MF,又四边形MCFD为正方形,所以MF⊥CD,所以AB⊥CD,故A正确;
长方体的体积V1=1×1×2=2,三棱锥E-ABC的体积V2=V三棱锥A-BEC=1×2×1=,同理,三棱锥N-ABD,三棱锥F-BCD,三棱锥M-ACD的体积也为,所以三棱锥A-BCD的体积V=2-4,故B正确;
长方体的外接球的直径为,所以长方体的外接球的半径为,长方体的外接球也是三棱锥A-BCD的外接球,所以三棱锥A-BCD外接球的半径为,故C错误;
连接MN,交AD于点O,因为MN∥BC,所以∠AOM(或其补角)为异面直线AD与BC所成的角,由已知OA=AD=,OM=MN=,AM=2,所以cos∠AOM==-,所以异面直线AD与BC所成角的余弦值为,故D正确.
15.(1)证明 假设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,从而DF与BE共面,即AD与BC共面,所以A,B,C,D在同一平面内,这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾.故直线EF与BD是异面直线.
(2)解 取CD的中点G,连接EG,FG,则AC∥FG,EG∥BD,所以相交直线EF与EG所成的角即为异面直线EF与BD所成的角.
又因为AC⊥BD,所以FG⊥EG.在Rt△EGF中,由EG=FG=AC,求得∠FEG=45°,即异面直线EF与BD所成的角为45°.
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