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通用版高考数学一轮复习
课时突破练43　空间直线、平面的平行
基础达标练
1.设α,β为两个不重合的平面,则α∥β的一个充分条件是(　　)
A.α内有无数条直线与β平行
B.α,β垂直于同一个平面
C.α,β平行于同一条直线
D.α,β垂直于同一条直线
2.如图,AB∥平面α∥平面β,过A,B的直线m,n分别交α,β于C,E和D,F.若AC=2,CE=3,BF=4,则BD的长为(　　)
A. B. C. D.
3.若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形,则该三棱锥中与平面α平行的棱有(　　)
A.0条 B.1条
C.2条 D.1条或2条
4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱C1D1的中点,则(　　)
A.B1C∥平面A1BM
B.A1B1∥平面BDM
C.BM∥平面ACD1
D.BC1∥平面A1MC
5.(多选)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,D,E,F为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面DEF平行的是(　　)
A.　　　　　B.
C. D.
6.设α,β,γ是三个不重合的平面,m,n是两条不同的直线,在命题“α∩β=m,n γ,且　　　　　,则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题.①α∥γ,n β;②m∥γ,n∥β;③n∥β,m γ.可以填入的条件有　　　　　.(填序号)
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7.(2024·广东广州模拟)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AM=2MA1,BN=2NB1,过MN作一平面分别交底面△ABC的边BC,AC于点E,F,则(　　)
A.MF∥EB
B.A1B1∥NE
C.四边形MNEF为平行四边形
D.四边形MNEF为梯形
8.(多选)如图是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F,G,H分别为PA,PD,PC,PB的中点,在此几何体中,下列结论正确的是(　　)
A.平面EFGH∥平面ABCD
B.PA∥平面BDG
C.EF∥平面BDG
D.EF∥平面PBC
9.(多选)在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别为线段AA1,A1C1,C1B1,BB1的中点,则下列说法正确的是(　　)
A.E,F,G,H四点共面
B.平面EGH∥平面ABC1
C.直线A1A与FH异面
D.直线BC与平面AFH平行
10.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PC⊥AD,底面ABCD为梯形,AB∥DC,AB⊥BC,AB=BC,点E在棱PB上,若PD∥平面EAC,则=　　　　　.
11.如图,四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形,PA=PB=AB=2,E,F分别是AB,CD的中点,平面AGF∥平面PEC,PD∩平面AGF=G,且PG=λGD,则λ=　　　　　;若ED与AF相交于点H,则GH=　　　　　.
12.(15分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是线段A1B,AC1的中点.
(1)求证:MN∥平面ABC.
(2)是否在线段BC1上存在一点P,使得平面MNP∥平面ABC 若存在,指出点P的具体位置;若不存在,请说明理由.
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13.(15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,M,N,Q分别为BC,PA,PB的中点.
(1)求证:平面MNQ∥平面PCD.
(2)在线段PD上是否存在一点E,使得MN∥平面ACE 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
答案：
1.D　对于A选项,α内有无数条直线与β平行推不出α∥β,只有α内所有直线与β平行才能得出α∥β,故A错误;对于B选项,α,β垂直于同一平面,得到α∥β或α与β相交,故B错误;对于C选项,α,β平行于同一条直线,得到α∥β或α与β相交,故C错误;对于D选项,因为垂直于同一条直线的两平面平行,故α,β垂直于同一条直线可推出α∥β,故D正确.
2.C　由AB∥平面α∥平面β,易证,即,所以BD=
3.C　如图,
平面α即平面EFGH,则四边形EFGH为平行四边形,则EF∥GH.
因为EF 平面BCD,GH 平面BCD,所以EF∥平面BCD.
又因为EF 平面ACD,平面BCD∩平面ACD=CD,所以EF∥CD.
又EF 平面EFGH,CD 平面EFGH,所以CD∥平面EFGH,同理,AB∥平面EFGH,所以与平面α(平面EFGH)平行的棱有2条.
4.D　对于A选项,取CC1的中点N,连接MN,BN,CD1,如图(1),长方体ABCD-A1B1C1D1的对角面A1BCD1是矩形,A1B∥D1C∥MN,且BN 平面A1BM,而B1C与BN相交,则B1C与平面A1BM有公共点,故A不正确;对于B选项,取B1C1的中点P,连接MP,BP,D1B1,如图(2),长方体ABCD-A1B1C1D1的对角面BDD1B1是矩形,DB∥D1B1∥MP,而A1B1∩D1B1=B1,又A1B1,D1B1,MP都在平面A1B1C1D1内,则A1B1与MP相交,因此A1B1与平面BDM有公共点,故B不正确;对于C选项,取AB的中点Q,连接D1Q,如图(3),由AB∥A1B1∥D1C1,AB=A1B1=D1C1,则BQ∥D1M,BQ=D1M,四边形BQD1M是平行四边形,因此BM∥D1Q,又D1Q∩平面ACD1=D1,则BM与平面ACD1相交,故C不正确;对于D选项,取AB的中点Q,A1B1中点O,连接A1Q,CQ,MQ,C1O,OQ,如图(4),在矩形ABB1A1中,QO∥BB1∥CC1,QO=BB1=CC1,则四边形CC1OQ是平行四边形,有CQ∥C1O.在矩形A1B1C1D1中,A1O∥MC1,A1O=MC1,即四边形A1MC1O是平行四边形,有A1M∥C1O∥CQ.又C1M∥A1B1∥BQ,C1M=A1B1=BQ,四边形C1MQB是平行四边形,则BC1∥MQ.因为MQ 平面A1MC,BC1 平面A1MC,所以BC1∥平面A1MC,故D正确.
图(1)
图(2)
图(3)
图(4)
5.AC　对于A选项,易知AB∥DE,AB 平面DEF,DE 平面DEF,∴直线AB与平面DEF平行,故A正确;
图1
对于B选项,如图1,作平面DEF交正方体的棱于点G,连接FG并延长,交AB的延长线于点H,则AB与平面DEF相交于点H,故B错误;
对于C选项,AB∥DF,AB 平面DEF,DF 平面DEF,
∴直线AB与平面DEF平行,故C正确;
图2
对于D选项,如图2,连接AC,取AC的中点O,连接OD,又D为BC的中点,∴AB∥OD,∵OD与平面DEF相交,∴直线AB与平面DEF相交,故D错误.
6.①或③　由面面平行的性质定理可知,①正确;当m∥γ,n∥β时,n和m可能平行或异面,②错误;当n∥β,n γ,β∩γ=m时,m∥n,③正确.
7.D　由于B,E,F三点共面,F∈平面BEF,M 平面BEF,EB不过点F,故MF,EB为异面直线,故A错误;
由于B1,N,E三点共面,B1∈平面B1NE,A1 平面B1NE,NE不过点B1,故A1B1,NE为异面直线,故B错误;
∵在平行四边形AA1B1B中,AM=2MA1,BN=2NB1,∴AM∥BN,AM=BN,故四边形AMNB为平行四边形,∴MN∥AB.
又MN 平面ABC,AB 平面ABC,
∴MN∥平面ABC.
又MN 平面MNEF,平面MNEF∩平面ABC=EF,∴MN∥EF,∴EF∥AB,显然在△ABC中,EF≠AB,∴EF≠MN,∴四边形MNEF为梯形,故C错误,D正确.
8.ABD　先把平面展开图还原为一个四棱锥如图所示,
对于A选项,因为E,F,G,H分别为PA,PD,PC,PB的中点,所以EF∥AD,GH∥BC,因为AD∥BC,所以EF∥GH,所以EF,GH确定平面EFGH,因为EF 平面EFGH,AD 平面EFGH,所以AD∥平面EFGH,同理可得AB∥平面EFGH.又因为AB∩AD=A,AB,AD 平面ABCD,所以平面EFGH∥平面ABCD,所以A正确.对于B选项,连接AC,BD交于点O,则O为AC的中点,连接OG,因为G为PC的中点,所以OG∥PA,因为OG 平面BDG,PA 平面BDG,所以PA∥平面BDG,所以B正确.对于C选项,若EF∥平面BDG,因为PA∥平面BDG,且EF∩PA=E,EF,PA 平面PAD,可得平面PAD∥平面BDG,显然不正确,所以EF与平面BDG不平行,所以C不正确.对于D选项,由E,F,G,H分别为PA,PD,PC,PB的中点,可得EF∥AD,又由AD∥BC,可得EF∥BC.因为EF 平面PBC,BC 平面PBC,所以EF∥平面PBC,所以D正确.
9.ABC　如图,
由题意可知EH∥A1B1,FG∥A1B1,则EH∥FG,故A正确.易知GH∥BC1,EH∥AB,GH 平面ABC1,BC1 平面ABC1,EH 平面ABC1,AB 平面ABC1,所以GH∥平面ABC1,EH∥平面ABC1.又GH∩EH=H,GH,EH 平面EGH,所以平面EGH∥平面ABC1,故B正确.A,A1,F三点确定一个平面,点H不在此平面内,故C正确.取A1B1的中点为M,连接FM,则FM∥B1C1,所以FM∥BC.又点F在平面AFH内,点M在平面AFH外,所以直线FM与平面AFH不可能平行,即直线BC与平面AFH不可能平行,D错误.
10.2　如图,连接BD交AC于点O,连接OE.
因为PA⊥平面ABCD,AD 平面ABCD,所以PA⊥AD,因为PC⊥AD,PA∩PC=P,PA,PC 平面PAC,所以AD⊥平面PAC.因为AC 平面PAC,所以AD⊥AC.因为AB⊥BC,AB=BC,所以AC=AB,∠BAC=45°,又AB∥DC,所以∠ACD=∠BAC=45°,所以△ACD为等腰直角三角形,CD=AC=2AB,所以因为PD∥平面EAC,PD 平面PBD,且平面EAC∩平面PBD=OE,所以OE∥PD,所以=2.
11.1　　因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB∥CD,且AB=CD.又E,F分别是AB,CD的中点,所以AE=FD,又∠EAH=∠DFH,∠AEH=∠FDH,所以△AEH≌△FDH,所以EH=DH.因为平面AGF∥平面PEC,平面PED∩平面AGF=GH,平面PED∩平面PEC=PE,所以GH∥PE,则G是PD的中点,即PG=GD,故λ=1.因为PA=AB=PB=2,所以PE=,GH=PE=
12.(1)证明 如图,连接A1C,则N也为A1C的中点.
因为M为A1B的中点,所以MN为△A1BC的中位线,
所以MN∥BC.
又MN 平面ABC,BC 平面ABC,所以MN∥平面ABC.
(2)解 存在,当P为BC1的中点时,平面MNP∥平面ABC,证明如下:连接PM,PN,因为N为AC1的中点,P为BC1的中点,所以PN∥AB,又PN 平面ABC,AB 平面ABC,所以PN∥平面ABC,又由(1)知MN∥平面ABC,且MN∩PN=N,MN,PN 平面MNP,所以平面MNP∥平面ABC.
13.(1)证明 在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,M,N,Q分别为BC,PA,PB的中点,所以NQ∥AB∥CD,MQ∥PC.
因为NQ 平面PCD,CD 平面PCD,所以NQ∥平面PCD.
同理MQ∥平面PCD,又NQ∩MQ=Q,NQ,MQ 平面MNQ,所以平面MNQ∥平面PCD.
(2)解 线段PD上存在一点E,使得MN∥平面ACE,且
证明如下:如图,取PD的中点E,连接NE,CE,AE,
因为N,E,M分别是AP,PD,BC的中点,BC∥AD,BC=AD,所以NE∥MC,NE=MC,所以四边形MCEN是平行四边形,所以MN∥CE.
因为MN 平面ACE,CE 平面ACE,所以MN∥平面ACE,此时
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