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通用版高考数学一轮复习
课时突破练44　空间直线、平面的垂直
基础达标练
1.已知m是一条直线,α,β是两个不同的平面,且m⊥α,则“m∥β”是“α⊥β”的(　　)
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2024·安徽蚌埠高三期末)已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,下列命题正确的是(　　)
A.若m α,n β,m∥n,则α∥β
B.若m⊥α,m⊥β,则α⊥β
C.若m α,n β,m⊥n,则α⊥β
D.若α⊥γ,β∥γ,则α⊥β
3.(2024·重庆高三期末)下列四个正方体图形中,l是正方体的一条对角线,点D,E,F分别为其所在棱的中点,能得出l⊥平面DEF的是(　　)
A.　　　　B.
C. D.
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1B1的中点,O为CD1的中点,则下列直线与AB1不垂直的是(　　)
A.OA1 B.D1B C.A1C D.OE
5.(多选)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,点E,F分别是棱A1C1,BC的中点,则下列结论中一定正确的是(　　)
A.CC1⊥平面A1B1C1
B.AF⊥平面CBB1C1
C.EF∥平面A1B1BA
D.AE∥平面A1B1C1
6.(2024·上海闵行模拟)如图,对于直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,要使A1C⊥B1D1,则在四边形ABCD中,满足的条件可以是　　　　　.(只需写出一个正确的条件)
7.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足　　　　　时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
8.(13分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分别是CD和PC的中点.求证:
(1)PA⊥底面ABCD;
(2)平面BEF⊥平面PCD.
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9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别为棱AB,AD,D1C1,C1B1的中点,过E,F,M,N四点作该正方体的截面,则下列说法错误的是(　　)
A.该截面是六边形
B.A1C⊥平面EFMN
C.平面EFMN∥平面AD1B1
D.该截面过棱BB1的一个三等分点
10.(多选)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠CAB=∠CBA=45°,∠A1AC=∠ACB,P为线段BB1的中点,点N为线段A1B1上靠近B1的三等分点,则(　　)
A.AC⊥BC
B.AC⊥CB1
C.AC⊥平面NPC
D.平面ACP⊥平面BCC1B1
11.(多选)(2024·福建莆田期末)在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为棱AA1的中点,则(　　)
A.AC1⊥CD1
B.平面BDE∥平面B1CD1
C.平面BDE⊥平面ACC1A1
D.平面B1CD1截该正方体外接球的截面面积为24π
12.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=2,BC=t,若在线段AB上存在点E,使得EC1⊥ED,则实数t的取值范围是　　　　　.
13.(15分)(2024·广西南宁模拟)如图(1),点E是直角梯形ABCD底边CD上的一点,∠ABC=90°,BC=CE=1,AB=DE=2,将△DAE沿AE折起,使得D-AE-B成直二面角,连接CD和BD,如图(2).
图(1)
图(2)
(1)求证:平面ABD⊥平面BCD;
(2)在线段BD上确定一点F,使得CF∥平面ADE.
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14.(17分)如图,四边形PDCE为矩形,四边形ABCD为梯形,平面PDCE⊥平面ABCD,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=CD=1,PD=.
(1)若M为PA的中点,求证:AC∥平面MDE.
(2)求直线PB与直线CD所成角的大小.
(3)设平面PAD∩平面EBC=l,试判断l与平面ABCD能否垂直 并证明你的结论.
答案：
1.B　由m∥β,得在平面β内有一条直线l与m平行,又m⊥α,所以l⊥α,所以α⊥β;由m⊥α,α⊥β,得m∥β或m β.故“m∥β”是“α⊥β”的充分不必要条件.
2.D　对于A项,如图,当m α,n β,m∥n时,α与β相交,所以A错误;
对于B项,如图,当m⊥α,m⊥β时,α∥β,所以B错误;
对于C项,如图,当m α,n β,m⊥n时,α∥β,所以C错误;
对于D项,设α∩γ=l,在平面α内作b⊥l,因为α⊥γ,所以b⊥γ,因为β∥γ,所以b⊥β,因为b α,所以α⊥β,所以D正确.
3.C　设下底面端点A,B,C及上底面对应端点B1,如图所示,
连接AB1,B1C和AC,由三垂线定理知,l⊥AC且l⊥B1C,又因为AC∩B1C=C,AC 平面AB1C,B1C 平面AB1C,所以l⊥平面AB1C.
对于C项,因为DE∥B1C,DF∥AC,AC∩B1C=C,所以平面DEF∥平面AB1C,所以l⊥平面DEF.
A,B,D选项中平面DEF与平面AB1C均不平行,故选C.
4.D　对于A项,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB1⊥平面BCD1A1,又OA1 平面BCD1A1,所以AB1⊥OA1,故A不合题意;
对于B项,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,D1B⊥平面AB1C,又AB1 平面AB1C,所以D1B⊥AB1,故B不合题意;
对于C项,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1C⊥平面AB1D1,又AB1 平面AB1D1,所以A1C⊥AB1,故C不合题意;
在平面内的一条直线,若它和平面内的一条斜线在平面内的射影垂直,则它也和这条斜线垂直,如图,取AB1中点F,连接OF,FE,易知OF⊥平面ABB1A1,所以FE为OE在平面ABB1A1内的射影,又AB1与FE不垂直,所以AB1与OE不垂直,所以D满足题意.
5.AC　对于选项A,因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,所以CC1⊥平面A1B1C1,故A正确;
对于选项B,若AF⊥平面CBB1C1,且BC 平面CBB1C1,则AF⊥BC,又因为点F分别是棱BC的中点,可知AB=AC,但题设条件不能确定AB=AC,所以不能确定AF⊥平面CBB1C1,故B错误;
对于选项C,取AB的中点D,连接A1D,DF,因为D,F分别为AB,BF的中点,则DF∥AC,DF=AC,又因为ACC1A1为平行四边形,且E为A1C1的中点,则A1E∥AC,A1E=AC,即DF∥A1E,DF=A1E,可知A1EFD为平行四边形,则EF∥A1D,且EF 平面A1B1BA,A1D 平面A1B1BA,所以EF∥平面A1B1BA,故C正确;
对于选项D,因为E为A1C1的中点,可知AE∩平面A1B1C1=E,故D错误.
6.A1C1⊥B1D1(只要使得A1C1⊥B1D1即可)　连接A1C1,如图所示,
因为CC1⊥平面A1B1C1D1,B1D1 平面A1B1C1D1,则B1D1⊥CC1,若A1C1⊥B1D1,A1C1∩CC1=C1,CC1,A1C1 平面A1CC1,∴B1D1⊥平面A1CC1,∵A1C 平面A1CC1,∴A1C⊥B1D1.
7.DM⊥PC(或MB⊥PC)　连接AC,因为底面ABCD各边都相等,所以AC⊥BD,因为PA⊥底面ABCD,BD 底面ABCD,所以PA⊥BD,又AC∩PA=A,AC,PA 平面PAC,所以BD⊥平面PAC,因为PC 平面PAC,所以BD⊥PC.
所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,PC与平面MBD内两条相交直线垂直,即有PC⊥平面MBD,而PC 平面PCD,所以平面MBD⊥平面PCD.
8.证明 (1)因为平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,平面PAD∩底面ABCD=AD,PA 平面PAD,所以PA⊥底面ABCD.
(2)∵AB∥CD,CD=2AB,E为CD中点,
∴AB∥DE,AB=DE,则四边形ABED为平行四边形.
∵AB⊥AD,
∴四边形ABED为矩形,
∴BE⊥CD,AD⊥CD.
∵PA⊥底面ABCD,CD 平面ABCD,
∴PA⊥CD.
又PA,AD 平面PAD,且PA∩AD=A,
∴CD⊥平面PAD.
∵PD 平面PAD,
∴CD⊥PD.
∵E和F分别是CD和PC的中点,
∴PD∥EF,∴CD⊥EF.
又CD⊥BE,EF∩BE=E,EF,BE 平面BEF,
∴CD⊥平面BEF.
∵CD 平面PCD,
∴平面BEF⊥平面PCD.
9.D　过E,F,M,N四点,确定截面的一条边EF,延长EF交CB于一点,连接该点与点N即可得到与棱BB1的交点P,利用基本事实3确定交线PN,PE,同样的方法找出其他交线,即可得到截面如图所示.
该截面是六边形FEPNMQ,P,Q分别是BB1,DD1的中点,故A正确,D错误;
在正方形ADD1A1中,A1D⊥AD1,DC⊥平面ADD1A1,AD1 平面ADD1A1,DC⊥AD1,DC∩A1D=D,DC 平面A1DC,A1D 平面A1DC,所以AD1⊥平面A1DC,A1C 平面A1DC,所以A1C⊥AD1,同理可得A1C⊥D1B1,D1B1∩AD1=D1,AD1 平面AD1B1,D1B1 平面AD1B1,所以A1C⊥平面AD1B1;
因为MN∥B1D1,B1D1 平面AD1B1,MN 平面AD1B1,所以MN∥平面AD1B1,因为NP∥AD1,AD1 平面AD1B1,NP 平面AD1B1,所以NP∥平面AD1B1,NP∩MN=N,NP 平面EFMN,MN 平面EFMN,所以平面EFMN∥平面AD1B1,C正确;
因为A1C⊥平面AD1B1,平面EFMN∥平面AD1B1,所以A1C⊥平面EFMN,B正确.
10.ABD　A选项,因为∠CAB=∠CBA=45°,故∠ACB=90°,所以AC⊥CB,A正确;
B选项,因为∠A1AC=∠ACB=90°,所以侧面AA1C1C为矩形,故AC⊥CC1,又AC⊥BC,BC∩CC1=C,BC,CC1 平面CC1B1B,所以AC⊥平面CC1B1B,而CB1 平面CC1B1B,故AC⊥CB1,B正确;
C选项,平面NPC不平行于平面CC1B1B,所以AC不垂直于平面NPC,C错误;
D选项,因为AC 平面ACP,AC⊥平面CC1B1B,所以平面ACP⊥平面CC1B1B,D正确.
11.ACD　在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1,且AA1⊥平面A1B1C1D1,又因为B1D1 平面A1B1C1D1,所以AA1⊥B1D1,因为AA1∩A1C1=A1,且AA1,A1C1 平面ACC1A1,所以B1D1⊥平面ACC1A1,因为AC1 平面ACC1A1,所以AC1⊥B1D1,同理可得B1C⊥BC1(正方形对角线垂直),B1C⊥AB(由AB⊥平面B1C1CB可得),又因为BC1∩AB=B,BC1,AB 平面ABC1,所以B1C⊥平面ABC1,又因为AC1 平面ABC1,所以AC1⊥B1C,因为B1D1∩B1C=B1,且B1D1,B1C 平面B1CD1,所以AC1⊥平面B1CD1,又因为CD1 平面B1CD1,所以AC1⊥CD1,故A正确;
因为BD∥B1D1,所以BD⊥平面ACC1A1,又因为BD 平面BDE,所以平面BDE⊥平面ACC1A1,故C正确;
由A知AC1⊥平面B1CD1,AC1⊥CD1,若平面BDE∥平面B1CD1,则AC1⊥平面BDE,AC1⊥BE,
取DD1的中点F,连接CF,因为点E为棱AA1的中点,所以CF∥BE,又因为CD1∩CF=C,所以AC1不垂直CF,所以AC1不垂直BE,矛盾,所以平面BDE,平面B1CD1不平行,故B错误;
因为平面B1CD1三个点都是正方体ABCD-A1B1C1D1上的点,所以平面B1CD1截该正方体外接球的截面即为等边△B1CD1的外接圆,等边△B1CD1的边长为6,设△B1CD1的外接圆的半径为r,则由正弦定理可得=2r,即r=2,所以截面面积为πr2=π×(2)2=24π,故D正确.
12.(0,1]　因为C1C⊥平面ABCD,ED 平面ABCD,可得C1C⊥ED,由EC1⊥ED,EC1∩C1C=C1,EC1,C1C 平面ECC1,可得ED⊥平面ECC1,所以ED⊥EC,在矩形ABCD中,设AE=a,0≤a≤2,则BE=2-a,由∠DEA+∠CEB=90°,可得tan∠DEA·tan∠CEB==1,即t2=a(2-a)=-(a-1)2+1,当a=1时,t2取得最大值1,即t的最大值为1;当a=0或2时,t2取得最小值0,但由于t>0,所以t的取值范围是(0,1].
13.(1)证明 在直角梯形ABCD中,取DE中点为M,连接AM,
则DM=EM=1,AM=BC=1,所以AE=AD=,所以AE2+AD2=DE2,所以DA⊥AE.
因为D-AE-B成直二面角,所以平面ADE⊥平面ABCE,又平面ADE∩平面ABCE=AE,DA 平面ADE,所以DA⊥平面ABCE.
因为BC 平面ABCE,所以DA⊥BC,又AB⊥BC,DA∩AB=A,DA 平面ABD,AB 平面ABD,所以BC⊥平面ABD,因为BC 平面BCD,所以平面ABD⊥平面BCD.
(2)解 如图,分别取线段BD,AB的中点F,G,连接CG,FG,FC,则FG∥AD,又FG 平面ADE,AD 平面ADE,所以FG∥平面ADE.在直角梯形ABCD中,AG∥EC且AG=EC=1,所以四边形AGCE为平行四边形,所以AE∥GC,又CG 平面ADE,AE 平面ADE,所以CG∥平面ADE,又FG∩CG=G,FG,CG 平面CFG,所以平面CFG∥平面ADE,又因为CF 平面CFG,所以CF∥平面ADE.
所以当点F为线段的中点时,CF∥平面ADE.
14.(1)证明 连接PC,交DE于点N,连接MN,
∵四边形PDCE为矩形,∴N为PC的中点.
在△PAC中,M,N分别为PA,PC的中点,
∴MN∥AC.
∵MN 平面MDE,AC 平面MDE,
∴AC∥平面MDE.
(2)解 ∵∠BAD=∠ADC=90°,∴AB∥CD,
∴∠PBA是直线PB与直线CD所成的角.
∵四边形PDCE为矩形,∴PD⊥CD.
∵平面PDCE⊥平面ABCD,
又PD 平面PDCE,平面PDCE∩平面ABCD=CD,∴PD⊥平面ABCD.
∵AD,AB 平面ABCD,∴PD⊥AD,PD⊥AB.
在Rt△PDA中,∵AD=1,PD=,∴PA=
∵∠BAD=90°,∴AB⊥AD,
又∵PD⊥AB,PD∩AD=D,PD,AD 平面PAD,∴AB⊥平面PAD.
∵PA 平面PAD,∴AB⊥PA.
在Rt△PAB中,∵AB=1,∴tan∠PBA=,
∴∠PBA=,从而直线PB与直线CD所成的角为
(3)解 l与平面ABCD垂直.证明如下:
∵四边形PDCE为矩形,∴EC∥PD.
∵PD 平面PAD,EC 平面PAD,
∴EC∥平面PAD,EC 平面EBC.
∵平面PAD∩平面EBC=l,
∴EC∥l,则l∥PD,由(2)可知PD⊥平面ABCD,
∴l⊥平面ABCD.
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