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通用版高考数学一轮复习
课时突破练45　空间向量及其运算
基础达标练
1.(2024·江苏常州期中)向量a=(2,-1,1),b=(1,1,x),若a⊥b,则x=(　　)
A.-2 B.-1
C.1 D.0
2.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量的夹角为(　　)
A.- B.
C. D.
3.已知空间向量a=(1,2,0),b=(0,-1,1),c=(2,3,m),若a,b,c共面,则实数m=(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
4.(2024·浙江宁波期末)已知a=(2,2,1),b=(1,1,0),则a在b上的投影向量的坐标为(　　)
A.(1,1,0) B.(1,2,0)
C.(2,2,0) D.(1,1,1)
5.(多选)已知向量a=(1,5,2),b=(-2,0,1),c=(-1,1,-2),则下列说法正确的有(　　)
A.|a|=2
B.(a+b)·c=a·(c+b)
C.(a+b+c)2=a2+b2+c2
D.a,b,c共面
6.(2024·江苏常州期中)已知正四面体ABCD的棱长为1,点M是BC的中点,则的值为　　　　　.
7.(2024·福建漳州期中)已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱长均为1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=,则=　　　　　.
能力提升练
8.(2024·江西南昌模拟)半正多面体又称“阿基米德多面体”,它是由边数不全相同的正多边形围成的多面体,体现了数学的对称美.把正四面体的每条棱三等分,截去顶角所在的小正四面体,得到一个有八个面的半正多面体,如图,点P,A,B,C,D为该半正多面体的顶点,若=a,=b,=c,则=(　　)
A.-a+b+c
B.a-b-c
C.a-b+c
D.a+b-c
9.(2024·江西模拟)中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“刍童”的几何体,该几何体是上下两个底面平行,且均为矩形的六面体.现有一“刍童”ABCD-A1B1C1D1,如图所示.AB=AA1=4,A1B1=AD=2,A1D1=1,AB∥A1B1,∠BAA1+∠DAA1=,A1C1与B1D1的交点为O,则的最大值为(　　)
A.8+5 B.18
C.8+5 D.21
10.(多选)关于空间向量,以下说法正确的是(　　)
A.空间中的三个向量,若有两个向量共线,则这三个向量一定共面
B.若a·b<0,则是钝角
C.设{a,b,c}是空间中的一组基底,则{a+b,b+c,c+a}也是空间的一组基底
D.若对空间中任意一点O,有,则P,A,B,C四点共面
11.(多选)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,其中以顶点A为端点的三条棱长均为6,且彼此夹角都是60°,下列说法中不正确的是(　　)
A.AC1=6
B.AC1⊥BD
C.向量夹角是60°
D.向量所成角的余弦值为
12.定义:设{a1,a2,a3}是空间向量的一个基底,若向量p=xa1+ya2+za3,则称实数组(x,y,z)为向量p在基底{a1,a2,a3}下的坐标.已知{a,b,c}是空间向量的单位正交基底,{a+b,a-b,2c}是空间向量的另一个基底.若向量p在基底{a+b,a-b,2c}下的坐标为(1,1,1),则向量p在基底{a,b,c}下的坐标为　　　　　.
13.(2024·陕西西安模拟)空间四边形ABCD中,AC与BD是四边形的两条对角线,M,N分别为线段AB,CD上的两点,且满足,若点G在线段MN上,且满足=3,若向量满足=x+y+z,则x+y+z=　　　　　.
素养拔高练
14.(2024·安徽蚌埠期末)正多面体也称柏拉图立体,被誉为最有规律的立体结构,是所有面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边形).数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体,即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2(如图),M,N分别为棱AD,AC的中点,则=　　　　　.
答案：
1.B　若a⊥b,则a·b=2-1+x=0,解得x=-1.
2.D　由已知得=(2,-2,4)-(2,-5,1)=(0,3,3),=(1,-4,1)-(2,-5,1)=(-1,1,0),所以cos<>=,因为空间向量的夹角θ范围是0≤θ≤180°,所以向量的夹角为
3.A　因为a=(1,2,0),b=(0,-1,1)不共线,a,b,c共面,所以存在一对有序实数(x,y),使c=xa+yb,所以(2,3,m)=x(1,2,0)+y(0,-1,1)=(x,2x-y,y),所以解得
4.C　向量a在b上的投影向量为=(2,2,0).
5.BC　对于A项,|a|=>2,A错误;
对于B项,a·b=0,b·c=0,(a+b)·c-a·(c+b)=b·c-a·b=0,B正确;
对于C项,a·c=1×(-1)+5×1+2×(-2)=0,(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=a2+b2+c2,C正确;
对于D项,由选项BC知,向量a,b,c两两垂直,则a,b,c不共面,D错误.
6.-　如图,正四面体ABCD的棱长为1,
=1×1×cos 60°=,
又点M是BC的中点,
),又,
)·()=)=-1=-
7.3+3　因为平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱长均为1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=,所以=()2=+2+2+2=3+6cos=3+3
8.A　如下图所示,+2+2-2,
所以=-=-a+b+c.
9.C　设∠BAA1=α,则∠DAA1=-α,由题意得
所以=·()==16cos α+8cos-α+4+1=4sin α+12cos α+5=8sinα++5,当∠BAA1=α=时,取得最大值,且最大值为8+5.
10.ACD　对于A项,因为有两个向量共线,所以这三个向量一定共面,A正确;
对于B项,若a·b<0,则是钝角或是180°,B错误;
对于C项,因为{a,b,c}是空间中的一组基底,所以a,b,c不共面,假设a+b,b+c,c+a共面,则a+b=λ(b+c)+μ(c+a),即显然不存在λ和μ,所以a+b,b+c,c+a不共面,所以{a+b,b+c,c+a}也是空间的一组基底,C正确;
对于D项,因为,且=1,所以P,A,B,C四点共面,D正确.故选ACD.
11.CD　∵在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,其中以顶点A为端点的三条棱长均为6,且彼此夹角都是60°,
=6×6×cos 60°=18.
对于A项,()2=+2+2+2=36+36+36+3×2×18=216,∴||=||==6,A正确;
对于B项,=()·()==0,
,即AC1⊥BD,B正确;
对于C项,连接A1D,由题意可知△AA1D是等边三角形,则∠AA1D=60°,
,且向量的夹角是120°,
∴向量的夹角是120°,C错误;
对于D项,,=()·()==36,||==6,||==6,∴cos<>=,D错误.
12.(2,0,2)　因为向量p在基底{a+b,a-b,2c}下的坐标为(1,1,1),所以p=a+b+a-b+2c=2a+0b+2c,所以向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(2,0,2).
13　因为)==)==)=,
所以x+y+z=
14　由题意,可得=-,又由正八面体ABCDEF的棱长都是2,且各个面都是等边三角形,在△ABD中,由AB=AD=2,BD=2,可得AB2+AD2=BD2,所以AB⊥AD,所以=-·=-=-2×2+0-2×2+22=--1+4=
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