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【2025.10.9】初四上数学月考试卷-高新区一中
一．选择题（共10小题）
1．在下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　）
A．y＝2x B． C． D．
2．若tan（a+10°），则锐角a的度数是（　　）
A．20° B．30° C．35° D．50°
3．正比例函数y＝k1x与反比例函数y的图象交于A（1，﹣2），B两点，则B点坐标为（　　）
A．（﹣2，1） B．（﹣1，﹣2） C．（2，﹣1） D．（﹣1，2）
4．已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，则tanB的值等于（　　）
A． B．2 C． D．
5．描点法是画未知函数图象的常用方法．请判断函数的图象可能为（　　）
A．B． C． D．
6．如图，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为m，则鱼竿转过的角度是（　　）
A．60° B．45° C．15° D．90°
7．正方形网格中，∠AOB如图所示放置（点A，C均在网格的格点上，且点C在OB上），则cos∠AOB的值为（　　）
A． B． C． D．
8．一次函数y＝mx+n的图象与反比例函数y的图象交于点A、B，其中点A、B的坐标为A（，﹣2m）、B（m，1），则△OAB的面积是（　　）
A．3 B． C． D．
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝45°，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，则线段AD的长为（　　）
A．6 B．12 C．6 D．6
10．如图，点N在反比例函数y上，点在M反比例函数y上，连接MN交y轴正半轴于点A，连接OM，ON，若，则△OMN的面积是（　　）
A．6 B．5 C． D．3
二．填空题（共5小题）
11．已知y＝（m2﹣m）x m2+m﹣1是反比例函数，则m的值为 　 　 ．
12．若点A（m，﹣2）在反比例函数的图象上，则当函数值y≥﹣2时，自变量x的取值范围是　 　 ．
13．△ABC中，AB＝5，BC＝13，AD是BC边上的高，AD＝4，则sinC＝　 　 ．
14．倡导“低碳环保”让“绿色出行”成为一种生活常态．小明买了一辆自行车作为代步工具，各部件的名称如图1所示，图2是该自行车的车架示意图，上管AC＝36cm，且上管AC与立管AB互相垂直，下管BC＝45cm，座管AE可以伸缩，点A，B，E在同一条直线上，且∠ABD＝75°，若座管AE伸长到18cm，则座垫E到后下叉BD的距离为 　 　 cm．（结果精确到1cm，参考数据sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）
15．如图，反比例函数图象l1的表达式为y（x＞0），图象l2与图象l1关于直线x＝1对称，直线y＝3x与l2交于A，B两点，当A为OB中点时，则k的值为 　 　 ．
三．解答题（共8小题）
16．计算：（1）6tan230°sin60°﹣2sin45°； （2）2sin60°．
17．如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，a＝4，c＝8，解这个直角三角形．
18．如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道，已知楼梯共有五级均匀分布的台阶，高AB＝0.75m，斜坡AC的坡比为1：2，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边缘离楼梯底部的最短距离ED＝2.55m．
计算器按键顺序 计算结果（已精确到0.001）
11.310
0.003
14.744
0.005
（1）求CD的长；
（2）为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？（结果精确到1°．温馨提示：运算中，如有需要，可以直接使用“参考数据表”中的所需数据）
19．如图，一艘巡逻船在A处测得灯塔M位于A的南偏东60°方向上，巡逻船沿着正东方向航行30海里到达B处，测得灯塔M位于B的南偏东30°方向上，测得港口C位于B的东南方向．已知港口C在灯塔M的正东方向．（参考数据：，）
（1）求灯塔M到巡逻船航线AB的距离（结果保留根号）；
（2）巡逻船位于点B处时突然接到通知，称灯塔M的设备发生故障，需要抓紧维修．巡逻船迅速采取以下行动：派出船上一名工作人员乘坐小艇前往灯塔M进行检查，预计检查时间为30分钟．同时，巡逻船从B处出发，先前往港口C领取维修配件（领取维修配件的时间忽略不计），之后再赶往灯塔M．已知巡逻船的速度为25海里/小时，小艇的速度为20海里/小时．请通过计算说明巡逻船能否在工作人员完成检查前，及时将维修配件送达灯塔M？（近似值精确到0.1）
20．如图，一次函数y＝kx（k为常数，k≠0）的图象与反比例函数y（m为常数，m≠0）的图象在第一象限交于点A（1，n），与x轴交于点B（﹣3，0）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）直接写出关于 x 的不等式 kx.
（3）点P在x轴上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
21．我们定义：如果一个矩形A的周长和面积分别是矩形B的周长和面积的n倍，那么我们就称矩形A是矩形B的完全n倍体．
【概念辨析】：若矩形B为正方形，是否存在一个正方形A是正方形B的完全2倍体？　 　 .（填“存在”或“不存在”）．
【深入探究】：
（1）长为4，宽为3的矩形C是否存在完全2倍体？小颖和小丽分别有以下思路：①小颖：设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝14，xy＝24，联立，得x2﹣14x+24＝0，再探究根的情况；②小丽：如图，也可用反比例函数l2：y与一次函数l1：y＝﹣x+14来研究，作出图象，两图象有交点，则意味着存在完全2倍体．
（2）那么长为4，宽为3的矩形C是否存在完全倍体？请利用上述其中一种思路说明原因．
（3）如果长为4，宽为3的矩形C存在完全k倍体，请直接写出k的取值范围．
22．人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开．如图所示，点B为学校所在地，点D为歌乐山一寺庙，D点位于点B的北偏西30°方向．D点位于小雨家点A的北偏东15°方向．D点位于小瑜家点C的北偏西75°方向．又点A位于点B的正西方向，C点位于点B的正北方向，已知小雨家离学校的距离AB＝10公里．（参考数据：，
（1）求小雨家A离寺庙D的距离（结果保留根号）；
（2）甲、乙、丙三人邀约小雨和小瑜去寺庙D处看桃花，他们三人同时从学校出发，为了接A处的小雨，甲驾车以每小时60公里的速度从学校出发走路线①B→A→D，为了按C处的小瑜，乙驾车以每小时50公里的速度从学校出发走路线②B→C→D，（接人时间忽略不计）丙骑共享电动自行车以每小时30公里的从学校出发走路线③B→D，请通过计算说明，甲、乙、丙三人谁最晚达目的地D点？（结果精确到0.01）
23．如图1，在平面直角坐标系中，矩形OCBA的顶点C，A分别在x轴和y轴的正半轴上，反比例函数y的图象与AB，BC分别交点D，E，且顶点B的坐标为（6，3），BD＝2．
（1）求反比例函数y的表达式及E点坐标；
（2）如图2，连接DE，AC，试判断DE与AC的数量和位置关系，并说明理由．
（3）如图3，连接AE，在反比例函数y的图象上是否存在点F，使得∠AEF＝45°，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，说明理由．
【2025.10.9】初四上数学月考试卷-高新区一中
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D D D C B D B C
一．选择题（共10小题）
1．在下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　）
A．y＝2x B． C． D．
【解答】解：A、y＝2x 不是反比例函数，故不符合题意；
B、y不是反比例函数，故不符合题意；
C、y是反比例函数，故符合题意；
D、y不是反比例函数，故不符合题意．
故选：C．
2．若tan（a+10°），则锐角a的度数是（　　）
A．20° B．30° C．35° D．50°
【解答】解：∵tan（a+10°），而tan60°，
∴a+10°＝60°，
∴a＝50°．
故选：D．
3．正比例函数y＝k1x与反比例函数y的图象交于A（1，﹣2），B两点，则B点坐标为（　　）
A．（﹣2，1） B．（﹣1，﹣2） C．（2，﹣1） D．（﹣1，2）
【解答】解：由于反比例函数y的图象与直线y＝k1x均关于原点对称，
∴两交点A、B关于原点对称，
∵A点坐标为A（1，﹣2），
∴另一个交点B的坐标为（﹣1，2）．
故选：D．
4．已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，则tanB的值等于（　　）
A． B．2 C． D．
【解答】解：如图：
∵sinA，
∴设直角边BC为2x，斜边AB为5x，
则ACx，
∴tan∠B．
故选：D．
5．描点法是画未知函数图象的常用方法．请判断函数的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵k＝1，
∴函数y在第一、三象限，对称中心为原点，
把y向左平移1个单位得到y，对称中心为（﹣1，0），
故选：D．
6．如图，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为m，则鱼竿转过的角度是（　　）
A．60° B．45° C．15° D．90°
【解答】解：∵sin∠CAB，
∴∠CAB＝45°．
∵，
∴∠C′AB′＝60°．
∴∠CAC′＝60°﹣45°＝15°，
鱼竿转过的角度是15°．
故选：C．
7．正方形网格中，∠AOB如图所示放置（点A，C均在网格的格点上，且点C在OB上），则cos∠AOB的值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，C为OB边上的格点，连接AC，
根据勾股定理，AO2，
AC，
OC，
所以，AO2＝AC2+OC2＝20，
所以，△AOC是直角三角形，
cos∠AOB．
故选：B．
8．一次函数y＝mx+n的图象与反比例函数y的图象交于点A、B，其中点A、B的坐标为A（，﹣2m）、B（m，1），则△OAB的面积是（　　）
A．3 B． C． D．
【解答】解：∵点A（，﹣2m）在反比例函数y上，
∴﹣2m，
解得：m＝2，
∴点A的坐标为：（，﹣4），点B的坐标为（2，1），
∴S△OAB542×11，
故选：D．
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝45°，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，则线段AD的长为（　　）
A．6 B．12 C．6 D．6
【解答】解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，
在Rt△BCE中，∠B＝45°，BC＝6，
∴CE＝BC sin45°＝66，
在Rt△ACE中，∠BAC＝60°，
∴AC12，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB∠CAB＝30°，
∴∠ADC＝∠DAB+∠B＝75°，
∵∠ACD＝180°﹣∠CAB﹣∠B＝75°，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴AC＝AD＝12，
故选：B．
10．如图，点N在反比例函数y上，点在M反比例函数y上，连接MN交y轴正半轴于点A，连接OM，ON，若，则△OMN的面积是（　　）
A．6 B．5 C． D．3
【解答】解：如图，过点M作ME⊥y轴于E，过点N作NF⊥y轴于F，
则S△OME|10|＝5，S△ONF|﹣2|＝1，
∵∠AEM＝∠AFN＝90°，∠MAE＝∠NAF，
∴△AME∽△ANF，
∴（）2＝（）2，
设S△ANF＝S（S＞0），则S△AME＝4S，
∴S△AON＝S+1，S△AOM＝5﹣4S，
∵，
∴，
解得：S，
∴S△AON＝S+11，S△AOM＝5﹣4S＝5﹣43，
∴S△OMN＝S△AON+S△AOM3；
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．已知y＝（m2﹣m）x m2+m﹣1是反比例函数，则m的值为 　﹣1　 ．
【解答】解：由题意得：，
解得：m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12．若点A（m，﹣2）在反比例函数的图象上，则当函数值y≥﹣2时，自变量x的取值范围是　x≤﹣3或x＞0　 ．
【解答】解：∵点A（m，﹣2）在反比例函数的图象上，
∴2，
解得m＝﹣3，
在第一象限，函数值y都是正数，所以x＞0时，y≥﹣2，
在第三象限，函数值y随x的增大而减小，
所以x≤﹣3时，y≥﹣2，
综上所述，函数值y≥﹣2时，自变量x的取值范围是x≤﹣3或x＞0．
故答案为：x≤﹣3或x＞0．
13．△ABC中，AB＝5，BC＝13，AD是BC边上的高，AD＝4，则sinC＝　或　 ．
【解答】解：如图1所示，当点D在CB边上时，
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
∵BC＝13，
∴CD＝BC﹣BD＝10，
∴，
∴；
如图2所示，当点D在CB延长线上时，
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
∵BC＝13，
∴CD＝BC+BD＝16，
∴，
∴；
故答案为：或．
14．倡导“低碳环保”让“绿色出行”成为一种生活常态．小明买了一辆自行车作为代步工具，各部件的名称如图1所示，图2是该自行车的车架示意图，上管AC＝36cm，且上管AC与立管AB互相垂直，下管BC＝45cm，座管AE可以伸缩，点A，B，E在同一条直线上，且∠ABD＝75°，若座管AE伸长到18cm，则座垫E到后下叉BD的距离为 　44　 cm．（结果精确到1cm，参考数据sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）
【解答】解：∵BA⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中，BC＝45cm，AC＝36cm，
∴AB27（cm），
过点E作EF⊥BD，垂足为F，
∵AE＝18cm，AB＝27cm，
∴BE＝AE+AB＝45cm，
在Rt△BEF中，∠ABD＝75°，
∴EF＝BE sin75°≈45×0.97＝44（cm），
故答案为：44．
15．如图，反比例函数图象l1的表达式为y（x＞0），图象l2与图象l1关于直线x＝1对称，直线y＝3x与l2交于A，B两点，当A为OB中点时，则k的值为 　　 ．
【解答】解：设A（m，k1m），B（2m，2k1m）（k1＝3），
∵A，B关于直线x＝1的对称点A′（2﹣m，k1m），B′（2﹣2m，2k1m）在反比例函数图象y（x＞0）上，
∴k＝k1m（2﹣m）＝2k1m（2﹣2m），
解得，m，
∴，而k1＝3，
故k，
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
16．计算：（1）6tan230°sin60°﹣2sin45°； （2）2sin60°
【解答】解：（1）原式
；
（2）2sin60°
＝；
17．如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，a＝4，c＝8，解这个直角三角形．
【解答】解：在直角三角形ABC中，
b，
∵sinA，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝60°．
18．如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道，已知楼梯共有五级均匀分布的台阶，高AB＝0.75m，斜坡AC的坡比为1：2，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边缘离楼梯底部的最短距离ED＝2.55m．
计算器按键顺序 计算结果（已精确到0.001）
11.310
0.003
14.744
0.005
（1）求CD的长；
（2）为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？（结果精确到1°．温馨提示：运算中，如有需要，可以直接使用“参考数据表”中的所需数据）
【解答】解：（1）∵AB＝0.75m，
∴DF＝0.15m，
∵斜坡AC的坡比为1：2，
∴CD＝2DF＝0.3m；
（2）∵AB＝0.75m，斜坡AC的坡比为1：2，
∴CB＝2AB＝1.5m，
则EB＝DE+BC﹣CD＝3.75，
在Rt△AEB中，tanE，
则∠E≈11.3°，
答：铺设通道的坡角不得小于12°．
19．如图，一艘巡逻船在A处测得灯塔M位于A的南偏东60°方向上，巡逻船沿着正东方向航行30海里到达B处，测得灯塔M位于B的南偏东30°方向上，测得港口C位于B的东南方向．已知港口C在灯塔M的正东方向．（参考数据：，）
（1）求灯塔M到巡逻船航线AB的距离（结果保留根号）；
（2）巡逻船位于点B处时突然接到通知，称灯塔M的设备发生故障，需要抓紧维修．巡逻船迅速采取以下行动：派出船上一名工作人员乘坐小艇前往灯塔M进行检查，预计检查时间为30分钟．同时，巡逻船从B处出发，先前往港口C领取维修配件（领取维修配件的时间忽略不计），之后再赶往灯塔M．已知巡逻船的速度为25海里/小时，小艇的速度为20海里/小时．请通过计算说明巡逻船能否在工作人员完成检查前，及时将维修配件送达灯塔M？（近似值精确到0.1）
【解答】解：（1）过M点作MD⊥AB，交AB的延长线于D点，过C作CE⊥AB于E点，
设MD＝x海里，
∵在Rt△AMD中，∠DAM＝30°，tan∠DAM，
∴AD（海里），
∵在Rt△BMD中，∠DBM＝60°，tan∠DBM，
∴BD（海里），
∵AB＝30海里，
∴，
解得x＝15，
∴MD＝15海里，
答：灯塔M到巡逻船航线AB的距离15海里；
（2）巡逻船能在工作人员完成检查前，及时将维修配件送达灯塔M，理由如下：
∵在Rt△BCE中，∠EBC＝45°，CE＝MD＝15海里，
∴BC15（海里），BE＝CE＝15海里，
∵在Rt△BMD中，∠DBM＝60°，MD＝15海里，
∴BM30（海里），
BDBM＝15（海里），
∴DE＝BE﹣BD＝1515（海里），
∴CM＝1515（海里），
∵小艇走过的路程为BM＝30海里，速度为20海里/小时，
∴小艇从B到M所用时间为30÷20＝1.5（小时），
∵在灯塔M预计检查时间为30分钟，
∴检查人员在路上和检查共需用时2小时，
∵巡逻船从B﹣C﹣M，路程为（151515）海里，巡逻船的速度为25海里/小时，
∴巡逻船需用时（151515）÷25≈1.9（小时），
∵1.9＜2，
∴巡逻船能在工作人员完成检查前，及时将维修配件送达灯塔M．
20．如图，一次函数y＝kx（k为常数，k≠0）的图象与反比例函数y（m为常数，m≠0）的图象在第一象限交于点A（1，n），与x轴交于点B（﹣3，0）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）直接写出关于 x 的不等式 kx.
（3）点P在x轴上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
【解答】解：（1）将A（1，n）、B（﹣3，0）分别代入一次函数y＝kx，得
．
解得．
故A（1，3）．
将其代入反比例函数y，得
3．
解得m＝3．
故一次函数的解析式为yx，反比例函数的解析式为y；
（2）略
（3）由（1）知，A（1，3）、B（﹣3，0），则AB5．
设P（a，0），
当AB＝AP时，5．
解得a＝5或a＝﹣3（舍去）．
故P（5，0）；
当AB＝PB时，5＝|﹣3﹣a|．
解得a＝﹣8或a＝2．
故P（﹣8，0）或（2，0）．
综上所述，符合条件的点P的坐标为：（5，0）或（﹣8，0）或（2，0）．
21．我们定义：如果一个矩形A的周长和面积分别是矩形B的周长和面积的n倍，那么我们就称矩形A是矩形B的完全n倍体．
【概念辨析】：若矩形B为正方形，是否存在一个正方形A是正方形B的完全2倍体？　不存在　 .（填“存在”或“不存在”）．
【深入探究】：
（1）长为4，宽为3的矩形C是否存在完全2倍体？小颖和小丽分别有以下思路：①小颖：设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝14，xy＝24，联立，得x2﹣14x+24＝0，再探究根的情况；②小丽：如图，也可用反比例函数l2：y与一次函数l1：y＝﹣x+14来研究，作出图象，两图象有交点，则意味着存在完全2倍体．
（2）那么长为4，宽为3的矩形C是否存在完全倍体？请利用上述其中一种思路说明原因．
（3）如果长为4，宽为3的矩形C存在完全k倍体，请直接写出k的取值范围．
【解答】解：【概念辨析】：不存在．
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为2时，
则面积比必定是4，所以不存在．
故答案为：不存在．
【深入探究】
长为4，宽为3的矩形C存在完全2倍体矩形，
∵矩形ABCD长为4，宽为3，
∴矩形ABCD的周长为14，面积为12，
小颖：设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝14．xy＝24，
联立，
整理得x2﹣14x+24＝0，
解得：x1＝12，x2＝2，
∴新矩形的长为12，宽为2时，周长为28，面积为24，
∴长为4，宽为3的矩形C存在完全2倍体矩形．
小丽：如图，设新矩形长和宽为x、y，
则依题意x+y＝14，xy＝24，
即y＝﹣x+14，y，
利用反比例函数l2：y与一次函数l1：y＝﹣x+14来研究，作出图象，有交点，意味着存在完全2倍体．
（2）长为4，宽为3的矩形C的周长为14，面积为12．
设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y，xy＝6，
联立得，
整理得：2x2﹣7x+12＝0，
∵Δ＝（﹣7）2﹣4×2×12＝﹣47＜0，
∴此方程没有实数根，即长为4，宽为3的矩形C不存在完全倍体．
（3）设所求矩形的长为x，则所求矩形的宽为：k（4+3）﹣x，即7k﹣x，
由题意得：x （7k﹣x）＝12k，
整理得：x2﹣7kx+12k＝0，
Δ＝49k2﹣48k，
∵一定存在另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积k倍，
∴△≥0，即：49k2﹣48k≥0，
解得：k，k≤0（不符合题意），
∴k的取值范围为：k；
故答案为：k．
22．人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开．如图所示，点B为学校所在地，点D为歌乐山一寺庙，D点位于点B的北偏西30°方向．D点位于小雨家点A的北偏东15°方向．D点位于小瑜家点C的北偏西75°方向．又点A位于点B的正西方向，C点位于点B的正北方向，已知小雨家离学校的距离AB＝10公里．（参考数据：，
（1）求小雨家A离寺庙D的距离（结果保留根号）；
（2）甲、乙、丙三人邀约小雨和小瑜去寺庙D处看桃花，他们三人同时从学校出发，为了接A处的小雨，甲驾车以每小时60公里的速度从学校出发走路线①B→A→D，为了按C处的小瑜，乙驾车以每小时50公里的速度从学校出发走路线②B→C→D，（接人时间忽略不计）丙骑共享电动自行车以每小时30公里的从学校出发走路线③B→D，请通过计算说明，甲、乙、丙三人谁最晚达目的地D点？（结果精确到0.01）
【解答】解：（1）过点D作DE⊥AB交AB于点E，在DE取点F，使AF＝DF，如图，
根据题意得，∠ADE＝15°，
∵AF＝DF，
∴∠DAF＝∠ADF＝15°，∠AFE＝30°，
设AE＝a，则AF＝2a，
∴DF＝AF＝2a，，，
∵AB＝10，
∵BE＝10﹣a，
∵∠ABC＝90°，∠DBC＝30°，
∴∠DBE＝60°，，，
解得，，
∴，，
在Rt△DAE中，，
答：小雨家A离寺庙D的距离为公里；
（2）过点C作CH⊥DE于点H，
则得出四边形 BCHE是矩形，，BC＝HE，
在CH取点G，使DG＝CG，根据题意得，∠DCH＝15°，
∴∠GDH＝∠DCH＝15°，
∴∠DGH＝30°，
设DH＝m，则DG＝2m，，，
∴ ，，
在Rt△DHC中，
（公里），
在Rt△BDE中，∠BDE＝30°，BE，
∴BD＝2BE＝5+55+8.65＝13.65（公里），
又AD＝55×2.45＝12.25（公里），
∴①B→A→D用时为（10+12.25）÷60≈0.37（小时）；
②B→C→D用时为（10+7.05）÷50≈0.34（小时）；
③B→D用时为13.65÷30≈0.46（小时），
∵0.34＜0.37＜0.46，
∴丙最晚达目的地D点．
23．如图1，在平面直角坐标系中，矩形OCBA的顶点C，A分别在x轴和y轴的正半轴上，反比例函数y的图象与AB，BC分别交点D，E，且顶点B的坐标为（6，3），BD＝2．
（1）求反比例函数y的表达式及E点坐标；
（2）如图2，连接DE，AC，试判断DE与AC的数量和位置关系，并说明理由．
（3）如图3，连接AE，在反比例函数y的图象上是否存在点F，使得∠AEF＝45°，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵B（6，3），BD＝2，
∴D（4，3），
∵y过点D（4，3），
∴k＝4×3＝12，
∴反比例函数关系式为y，
由B（6，3），设E（6，n），将点E的坐标代入y得：
∴n＝2，
∴E（6，2）；
（2）DE∥AC，DEAC，理由如下：
∵B（6，3），D（4，3），E（6，2），
∴BD＝2，AB＝6，BE＝1，BC＝3，
∴，
∵∠DBE＝∠ABC，
∴△BDE∽△BAC，
∴，∠BDE＝∠BAC，
∴DE∥AC，
∴DE∥AC，DEAC；
（3）在反比例函数y的图象上存在点F，使得∠AEF＝45°，理由如下：
当F在AE上方时，作AG⊥AE，交EF于点G，设G（x，y），作GM⊥y轴交y轴于点M，EN⊥y轴交y轴于点N，如图：
∵B（6，3），E（6，2），
∴MG＝x，MA＝y﹣3，AN＝1，EN＝6，
∵∠AEF＝45°，∠EAG＝90°，
∴∠AEG＝∠AGE＝45°，
∴AG＝AE，
∵∠MGA+∠MAG＝90°，∠MAG+∠EAN＝90°，
∴∠MGA＝∠NAE，
在△MGA和△NAE中，
，
∴△MGA≌△NAE（AAS），
∴MG＝AN＝1，AM＝NE，
∴，
∴，
∴G（1，9），
∵E（6，2），
∴直线EF的函数关系式为yx，
由得或，
∴F（，）；
当F在AE下方时，过A作AT⊥AE交EF于T，过T作TK⊥AB交BA延长线于K，如图：
同理可得AK＝BE＝1，KT＝AB＝6，
∴T（﹣1，﹣3），
∵E（6，2），
∴直线ET解析式为yx，
解得或，
∴F（，），
综上所述，F的坐标为（，）或（，）．

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