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【2025.10.11】初二上数学月考试卷-周村二中
一．选择题（共10小题）
1．直角三角形中的一个锐角的度数为36°，则另一个锐角的度数为（　　）
A．36° B．54° C．64° D．90°
2．如图，两个三角形是全等三角形，x的值是（　　）
A．30 B．45 C．50 D．85
3．现使用两根长度分别为a＝5分米和b＝4分米的直铁丝做一个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以折成两段的铁丝是（　　）
A．a，b都可以 B．只有a可以 C．只有b可以 D．a，b都不可以
4．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（　　）去．
A．① B．② C．③ D．①和②
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，以点B为圆心，BC长为半径作弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD的度数为（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
6．如图，两个较小正方形的面积分别为9，16，则字母A所代表的正方形的面积为（　　）
A．5 B．10 C．7 D．25
7．如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE的长度为（　　）
A．30cm B．27cm C．24cm D．21cm
8．在△ABC中，∠B＝36°，BC2﹣AC2＝AB2，则∠C的大小为（　　）
A．36° B．54° C．72° D．90°
9．如图，△BFD≌△CED，若△ACE的面积为3，△BFD的面积为2，则△ABF的面积为（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
10．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，若AB＝2CD＝4，则AD2+BC2的值为（　　）
A．20 B．24 C．28 D．30
二．填空题（共5小题）
11．若一组勾股数的其中两个为5和12，则第三个勾股数是 　 　 ．
12．如图，∠1＝∠2，请添加一个条件使△ABC≌△ABD：　 　 ．
13．一个等腰三角形的两边长分别是4和9，则周长是 　 　 ．
14．如图所示，一棵18m高的树被风刮断了，树顶落在离树根12m处，则折断处的高度AB为 　 　 m．
15．如图，AD是△ABC的边BC上的中线，若AB＝5，AD＝3，则AC的取值范围为 　 　 ．
三．解答题（共8小题）
16．如图，点B、F、C、E在同一条直线上，AC＝DF，∠A＝∠D，AB∥DE．求证：△ABC≌△DEF；
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝12，求斜边上的高CD的长．
18．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证：BE＝CD．
19．为了绿化环境，我县某中学有一块空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量AD＝8m，CD＝6m，∠D＝90°，AB＝26m，BC＝24m．求出该空地的面积．
20．如图，在△ABC中，DB＝DC，CD⊥AB，BE⊥AC，CD与BE相交于点F．
（1）求证：△ACD≌△FBD；
（2）若DF＝2，BD＝5，求△ABC的面积．
21．如图，△ABC的角平分线BD，CE相交于P点．
（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，求∠A的度数；
（2）若∠A＝80°，试求∠BPC的度数；
（3）设∠BPC=α请用α表示∠A．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
（1）若点P运动到BC的中点时，t的值是 　 　 ；
（2）4秒内，若BP＝AP，求BP的长；
（3）当△ABP为直角三角形时，求t的值．
23．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，如图①，若∠C＝90°则有a2+b2＝c2.若△ABC为锐角三角形时，小明猜想：a2+b2＞c2，理由如下：如图②，过点A作AD⊥CB于点D，设CD＝x，在Rt△ADC中，AD2＝b2﹣x2，在Rt△ADB中，AD2＝c2﹣（a﹣x）2，
∴b2﹣x2＝c2﹣（a﹣x）2，整理得a2+b2＝c2+2ax，a＞0，x＞0，2ax＞0，∴a2+b2＞c2．
∴当△ABC为锐角三角形时，a2+b2＞c2，小明的猜想是正确的．
（1）请你猜想，当△ABC为钝角三角形时，a2+b2与c2的大小关系．
（2）证明你猜想的结论是否正确．
【2025.10.11】初二上数学月考试卷-周村二中
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B C C D A B C A
一．选择题（共10小题）
1．直角三角形中的一个锐角的度数为36°，则另一个锐角的度数为（　　）
A．36° B．54° C．64° D．90°
【解答】解：在一个直角三角形中，一个锐角等于36°，
∴另一个锐角的度数是：90°﹣36°＝54°．
综上所述，只有选项B正确，符合题意，
故选：B．
2．如图，两个三角形是全等三角形，x的值是（　　）
A．30 B．45 C．50 D．85
【解答】解：由全等三角形的性质可知：∠1＝x°，
∵∠1＝180°﹣105°﹣45°＝30，
∴x＝30．
故选：A．
3．现使用两根长度分别为a＝5分米和b＝4分米的直铁丝做一个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以折成两段的铁丝是（　　）
A．a，b都可以 B．只有a可以
C．只有b可以 D．a，b都不可以
【解答】解：如果把铁丝b折成两段，被折成的两段铁丝的和是4分米，4＜5，不满足三角形三边关系定理，
∴要做一个三角形框架，不能将铁丝b折成两段；
如果把铁丝a折成2分米和3分米两段，2+3＞4，满足三角形三边关系定理，
∴要做一个三角形框架，可以将铁丝b折成两段．
故选：B．
4．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（　　）去．
A．① B．② C．③ D．①和②
【解答】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法；
第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行；
第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合ASA判定，所以应该拿这块去．
故选：C．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，以点B为圆心，BC长为半径作弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD的度数为（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴，
∵以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，
∴BC＝BD，
∴∠CBD＝180°﹣2∠ACB＝180°﹣2×70°＝180°﹣140°＝40°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝70°﹣40°＝30°，
即∠ABD的度数为30°，
故选：C．
6．如图，两个较小正方形的面积分别为9，16，则字母A所代表的正方形的面积为（　　）
A．5 B．10 C．7 D．25
【解答】解：由勾股定理得字母A所代表的正方形的面积为9+16＝25；
故选：D．
7．如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE的长度为（　　）
A．30cm B．27cm C．24cm D．21cm
【解答】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
由题意得：AD＝EC＝9cm，DC＝BE＝21cm，
∴DE＝DC+CE＝30（cm），
答：两堵木墙之间的距离为30cm．
故选：A．
8．在△ABC中，∠B＝36°，BC2﹣AC2＝AB2，则∠C的大小为（　　）
A．36° B．54° C．72° D．90°
【解答】解：∵BC2﹣AC2＝AB2，
∴BC2＝AC2+AB2，
∴∠A＝90°，
∵∠B＝36°，
∴∠C＝90°﹣∠B＝54°．
故选：B．
9．如图，△BFD≌△CED，若△ACE的面积为3，△BFD的面积为2，则△ABF的面积为（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
【解答】解：∵△BFD≌△CED，
∴S△BFD＝S△CED＝2，
∴S△ACD＝S△ACE+S△CED＝5，
∵△BFD≌△CED，
∴BD＝CD，
∴S△ABD＝S△ACD＝5，
∴S△ABF＝S△ABD+S△BFD＝7．
故选：C．
10．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，若AB＝2CD＝4，则AD2+BC2的值为（　　）
A．20 B．24 C．28 D．30
【解答】解：∵AC⊥BD，
∴△AOD、△AOB、△BOC、△COD都是直角三角形，
∴AB2＝AO2+BO2，CD2＝OC2+OD2，BC2＝BO2+CO2，AD2＝OA2+OD2，
∴AB2+CD2＝BC2+AD2，
∵AB＝2CD＝4，则CD＝2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2＝42+22＝20，
故选：A．
二．填空题（共5小题）
11．若一组勾股数的其中两个为5和12，则第三个勾股数是 　13　 ．
【解答】解：设第三个数是x，
分两种情况：
①12为最大数时，x2+52＝122，
解得：x（不合题意，舍去）；
②x为最大数时，52+122＝x2，
解得：x＝13（负值已舍去）；
综上所述，第三个勾股数是13．
故答案为：13．
12．如图，∠1＝∠2，请添加一个条件使△ABC≌△ABD：　AD＝AC　 ．
【解答】解：∵∠1＝∠2，AB＝AB，
∴若添加条件AD＝AC，则△ABC≌△ABD（SAS），
若添加条件∠D＝∠C，则△ABC≌△ABD（AAS），
若添加条件∠ABD＝∠ABC，则△ABC≌△ABD（ASA），
故答案为：AD＝AC．
13．一个等腰三角形的两边长分别是4和9，则周长是 　22　 ．
【解答】解：当等腰三角形的腰为4时，三边为4，4，9，4+4＜9，三边关系不成立，
当等腰三角形的腰为9时，三边为4，9，9，三边关系成立，周长为4+9+9＝22．
故答案为：22．
14．如图所示，一棵18m高的树被风刮断了，树顶落在离树根12m处，则折断处的高度AB为 　5　 m．
【解答】解：由题意得：BC＝12m，AC+AB＝18m，∠ABC＝90°，
∴AB2+BC2＝AC2，
设AB＝x m，则AC＝（18﹣x）m，
由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2，
即x2+122＝（18﹣x）2，
解得：x＝5，
∴AB＝2.5米，
∴折断处的高度AB为5m．
故答案为：5．
15．如图，AD是△ABC的边BC上的中线，若AB＝5，AD＝3，则AC的取值范围为 　1＜AC＜11　 ．
【解答】解：如图所示，延长AD至点E，使得DE＝DA，则AE＝2AD＝6，
∵AD是△ABC的边BC上的中线，
∴BD＝CD，且∠BDE＝∠CDA，
在△BDE和△CDA中，
，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴AC＝BE，
在△ABE中，AE﹣AB＜BE＜AE+AB，即6﹣5＜BE＜6+5，
∴1＜AC＜11，
故答案为：1＜AC＜11．
三．解答题（共8小题）
16．如图，点B、F、C、E在同一条直线上，AC＝DF，∠A＝∠D，AB∥DE．求证：△ABC≌△DEF；
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝12，求斜边上的高CD的长．
【解答】解：由勾股定理可得：AB，
∵CD为AB边上的高，
∴，
∴．
18．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证：BE＝CD．
【解答】证明：∵点D，E在BC上，AD＝AE，
∴∠AEB＝∠ADC，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴BE＝CD．
19．为了绿化环境，我县某中学有一块空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量AD＝8m，CD＝6m，∠D＝90°，AB＝26m，BC＝24m．求出该空地的面积．
【解答】解：连接AC，
在Rt△ACD中，AC2＝CD2+AD2＝62+82＝102，
在△ABC中，AB2＝262，BC2＝242，
而102+242＝262，
即AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
S四边形ABCD＝S△ACB﹣S△ACD AC BCAD CD，
10×248×6＝96m2，
答：该空地的面积为96m2．
20．如图，在△ABC中，DB＝DC，CD⊥AB，BE⊥AC，CD与BE相交于点F．
（1）求证：△ACD≌△FBD；
（2）若DF＝2，BD＝5，求△ABC的面积．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDF＝∠CDA＝90°＝∠BEA，
∴∠DBF+∠A＝∠A+∠DCA＝90°，
∴∠DBF＝∠DCA，
在△ACD和△FBD中，
，
∴△ACD≌△FBD（ASA）；
（2）解：∵△ACD≌△FBD，DF＝2，
∴DA＝DF＝2，
∴AB＝BD+DA＝7，
∵CD＝BD＝5，
∴．
21．如图，△ABC的角平分线BD，CE相交于P点．
（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，求∠A的度数；
（2）若∠A＝80°，试求∠BPC的度数；
（3）设∠BPC=α请用α表示∠A．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
即∠A的度数为60°；
（2）∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点P，
∴，，
∴，
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴，
∵∠A＝80°，
∴∠BOC＝90°80°＝90°+40°＝130°，
∠BPC的度数为130°；
（3）根据（2）的结论即可得到：
，即．
∴=2α180
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
（1）若点P运动到BC的中点时，t的值是 　2　 ；
（2）4秒内，若BP＝AP，求BP的长；
（3）当△ABP为直角三角形时，求t的值．
【解答】解：（1）在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，
∴根据勾股定理可得：BC8（cm），
当点P运动到BC的中点时，BPBC＝4cm，
∴t＝4÷2＝2（s），
故答案为：2；
（2）当点P到达点C时，t＝8÷2＝4（s），
∴4秒内，点P在线段BC上，连接AP，如图1，
∵BP＝AP＝2t cm，BC＝8cm，
∴PC＝（8﹣2t）cm，
根据勾股定理可得：PC2+AC2＝AP2，即（8﹣2t）2+62＝（2t）2，
解得：t，
∴BP＝2（cm）；
（3）①当∠APB＝90° 时，点P和点C重合，t＝8÷2＝4（s）；
②当∠BAP＝90°时，点P在线段BC延长线上，如图2，
∵BP＝2t cm，BC＝8cm，
∴PC＝（2t﹣8）cm，
在Rt△ACP中，根据勾股定理可得：AP2＝AC2+PC2＝62+（2t﹣8）2，
在Rt△ABP中，根据勾股定理可得：AP2＝BP2﹣AB2＝（2t）2﹣102，
362+（2t﹣8）2＝（2t）2﹣102，
解得：t，
综上：t＝4或t．
23．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，如图①，若∠C＝90°则有a2+b2＝c2.若△ABC为锐角三角形时，小明猜想：a2+b2＞c2，理由如下：如图②，过点A作AD⊥CB于点D，设CD＝x，在Rt△ADC中，AD2＝b2﹣x2，在Rt△ADB中，AD2＝c2﹣（a﹣x）2，
∴b2﹣x2＝c2﹣（a﹣x）2，整理得a2+b2＝c2+2ax，a＞0，x＞0，2ax＞0，∴a2+b2＞c2．
∴当△ABC为锐角三角形时，a2+b2＞c2，小明的猜想是正确的．
（1）请你猜想，当△ABC为钝角三角形时，a2+b2与c2的大小关系．
（2）证明你猜想的结论是否正确．
【解答】解：（1）当△ABC为钝角三角形且∠C为钝角时，a2+b2＜c2；
（2）证明如下：如图③，过点A作AE⊥CB，交BC的延长线于E，
设CE＝x，则BE＝a+x，
在Rt△AEC中，AE2＝b2﹣x2，
在Rt△AEB中，AE2＝c2﹣（a+x）2，
∴b2﹣x2＝c2﹣（a+x）2，
整理得a2+b2＝c2﹣2ax，
∵a＞0，x＞0，2ax＞0，
∴a2+b2＜c2，
∴当△ABC为钝角三角形且∠C为钝角时，a2+b2＜c2．

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