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黑龙江省佳木斯市富锦市联考2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题
一、单选题
1．三角形三条边大小之间存在一定的关系，以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列条件中，不能判定三角形全等的是（ ）
A．三条边对应相等
B．两边和一角对应相等
C．两角和其中一角的对边对应相等
D．两角和它们的夹边对应相等
4．如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（　 　）
A．PO B．PQ C．MO D．MQ
5．如图所示，是的角平分线，于点D，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，的三边，，的长分别是，，，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，与之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）．
A． B． C． D．
9．如图，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，△ABC中，∠ABC、∠FCA的角平分线BP、CP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE于M，PN⊥BF于N，则下列结论：①AP平分∠EAC；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．若，，则 ．
12．等腰三角形的周长为，一边长为，则底边长为 ．
13．如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF = CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是 ．（只需写一个，不添加辅助线）
14．如图，中，是上的中线，是中边上的中线，若的面积是，则的面积是 ．
15．已知，，是三角形的三边长，化简： ．
16．如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多4，，则AC的长为 ．
17．在中，，则边上的中线的取值范围是 ．
18．将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D．已知∠A=∠EDF=90°，AB=AC．∠E=30°，∠BCE=40°，则∠CDF= ．
19．如图，中，，，，线段，点、分别在线段和与垂直的射线上移动，当 时，和全等．

20．观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有 个．
三、解答题
21．如图所示，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE．
22．如图1，在一次军事演习中，红方侦察员发现蓝方指挥部在A区内，到铁路与到公路的距离相等，且离铁路与公路交叉处B点700米，如果你是红方的指挥员，请你在图1所示的作战图上标出蓝方指挥部的位置．（不写作法，保留作图痕迹）
23．如图，已知为边延长线上一点，于交于，，，求的度数．
24．如图，经测量，B处在A处的南偏西的方向，C处在A处的南偏东方向，C处在B处的北偏东方向，求的度数．
25．如图：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足为C，D．求证：
（1）OC=OD，
（2）DF=CF．
26．如图，已知：，M是的中点，平分．求证：
(1)平分；
(2)．
27．【问题】如图（1）所示，在中，平分，平分，若，则；若，则．
【探究】（1）如图（2）所示，在中，，三等分，，三等分，若，求的大小（用含的式子表示，直接写出结果）．
（2）如图（3）所示，是的平分线与外角的平分线的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B B C C D B D D
1．B
【详解】解：A、∵，
∴长为，，的三条线段不能构成三角形，不符合题意；
B、∵，
∴长为，，的三条线段能构成三角形，符合题意；
C、∵，
∴长为，，的三条线段不能构成三角形，不符合题意；
D、∵，
∴长为，，的三条线段不能构成三角形，不符合题意；
故选：B．
2．A
【详解】根据定义可得A选项是作BC边上的高，符合题意，
B选项作的不是三角形ABC的高，不符合题意，
C选项是作AB边上的高，不符合题意，
D选项是作AC边上的高，不符合题意．
故选：A．
3．B
【详解】A. 三条边对应相等，能判定三角形全等，不符合题意；
B. 两边和一角对应相等，不一定能判定三角形全等，符合题意；
C. 两角和其中一角的对边对应相等，能判定三角形全等，不符合题意；
D. 两角和它们的夹边对应相等，能判定三角形全等，不符合题意；
故选：B
4．B
【详解】解：∵△PQO≌△NMO，
∴PQ=MN．
故选：B
5．C
【详解】解：是的角平分线，，
，
于点D，，
，
；
故选：C．
6．C
【详解】解：如图，过点作于点，作于点，作于点．
又∵，，是的三条角平分线，
∴，
∵，，的长分别是，，，
∴，，，
∴，
故选：C．
7．D
【详解】解：A、由和可得，所以是直角三角形，故不符合题意；
B、由可知，则有，解得，所以是直角三角形，故不符合题意；
C、由可设，则有，解得：，所以，所以是直角三角形，故不符合题意；
D、由可知：，则有，解得：，所以不是直角三角形，故符合题意；
故选D．
8．B
【详解】解：根据折叠可知，
即．
∵，
∴，
即，
∴．
故选：B．
9．D
【详解】解：在与中，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∵，
∴，
∴，
∴，
根据题意无法得到，，，
故选D．
10．D
【详解】解：①过点P作PD⊥AC于D，
∵PB平分∠ABC，PC平分∠FCA，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM＝PN，PN＝PD，
∴PM＝PN＝PD，
∴AP平分∠EAC，故①正确；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM＝∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD＝∠CPN，
∴∠MPN＝2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确；
③∵PC平分∠FCA，BP平分∠ABC，
∴∠ACF＝∠ABC+∠BAC＝2∠PCN，∠PCN＝∠ABC+∠BPC，
∴
∴∠BAC＝2∠BPC，③正确；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）
∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，
∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正确，
故选：D
11．
【详解】∵，，
∴，
故答案为：．
12．/5厘米
【详解】解：分两种情况讨论：
① 若为等腰三角形的腰长，则底边长为；此时三边为、、，因，不满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），故此情况不成立；
② 若为等腰三角形的底边长，则腰长为；
此时三边为、、，因，，满足三角形三边关系，故此情况成立；
综上，底边长为．
故答案为：．
13．AC=DF（答案不唯一）
【详解】∵BF = CE，
∴BF＋FC = CE＋FC，即BC=EF；
∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE，
△ABC和△DEF中有一角一边对应相等，
∴根据全等三角形的判定，添加AC=DF，可由SAS得△ABC≌△DEF；
添加∠B=∠E，可由ASA得△ABC≌△DEF；
添加∠A=∠D，可由AAS得△ABC≌△DEF．
故答案为：AC=DF．（答案不唯一）
14．
【详解】解：∵是上的中线，
∴，
∵是中边上的中线，
∴，
∴，
∵的面积是，
∴，
∴的面积是．
故答案为：．
15．
【详解】解：∵，，是三角形的三边长，
∴，
∴
故答案为：
16．
【详解】解：∵是边上的中线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为．
17．
【详解】解：延长至E，使，连接．
在和中，
，
∴，
∴．
在中，，
即，
故．
故答案为：．

18．25°
【详解】解：∵AB=AC，∠A=90°，
∴∠ACB=∠B=45°．
∵∠EDF=90°，∠E=30°，
∴∠F=90°﹣∠E=60°．
∵∠ACE=∠CDF+∠F，∠BCE=40°，
∴∠CDF=∠ACE﹣∠F=∠BCE+∠ACB﹣∠F=45°+40°﹣60°=25°．
19．或
【详解】解：，
根据三角形全等的判定方法可知，
当运动到时，，此时，
当运动到与重合时，，此时，
综上所述，或时，和全等，
故答案为：或．
20．121
【详解】第1个大三角形中白色三角形有1个；第2个大三角形中白色三角形有（1+3）个；第3个大三角形中白色三角形有（1+3+32）个；那么第5个大三角形中白色三角形有（1+3+32+33+34）=121个．
故答案为：121.
21．证明见解析.
【详解】证明：∵∠1=∠2
即,
在和中，
22．见解析
【详解】解：设交角为，
蓝方指挥部在A区内，到铁路与到公路的距离相等，且离铁路与公路交叉处B点700米，
指挥部在角的角平分线上，
米厘米，比例尺为，
图上距离为：，
作的平分线，且在射线上截取，
则点A即为所求的指挥部．
23．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
即．
24．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
∵，
∴．
25．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【详解】（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴EC=DE，∠ECO=∠EDO=90°，
在Rt△COE和Rt△DOE中，，
∴Rt△COE≌Rt△DOE(HL)，
∴CO=DO；
（2）∵EO平分∠AOB，
∴∠AOE=∠BOE，
在△COF和△DOF中，，
∴△COF≌△DOF(SAS)，
∴FC=FD．
26．(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）证明：如下图所示，过点作，
平分，，
，
，
是的中点，
，
，
平分；
（2）证明： 平分，
，
，
∴
∴，
同理可证，，
∴，
∴
27．【问题】（1）；（2）；【探究】（1）；（2），理由见解析
【详解】问题：（1）解：，
，
平分，平分，
，，
，
；
由三角形的内角和定理得，，
平分，平分，
，，
，
；
故答案为：；
探究：（1）由三角形的内角和定理得，，
，三等分，，三等分，
，，
，
；
故答案为：；
（2）．
理由如下：由三角形的外角性质得，，
，
是与外角的平分线和的交点，
，，
，
，
．

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