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河北省石家庄市第十七中学2025-2026学年上学期九年级数学10月月考试卷
一、单选题
1．sin30°的值等于（　　）
A． B． C． D．
2．若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的面积比等于（　　）
A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4
3．下列属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，DE∥BC，若，则AE：AC等于（　　）
A．3：2 B．2：3 C．4：9 D．1：2
5．在中，，，，那么（　　）
A． B． C．2 D．
6．如果关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　）
A．k＜1 B．k＜1且k≠0 C．k＞1 D．k＞1且k≠0．
7．如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，D，E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE翻折后，点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（　　）
A． B．3 C．2 D．1
8．某数学兴趣小组的四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤（如图），老师看后，发现最后结果是错误的，并说：“错误是从某位同学负责的步骤开始出现的．”则这位同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE∶EC＝2∶3，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则DF∶BF等于（ ）
A．2∶5 B．2∶3 C．3∶5 D．3∶2
10．在一次同学聚会上，大家一见面就相互握手（每两人只握一次）．大家共握了21次手．设参加这次聚会的同学共有x人，根据题意，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，为等腰三角形，，，则（　　）
A． B． C． D．
12．如图，在矩形中，过点D作对角线的垂线，垂足为E，过点E作的垂线交于点F，如果，，那么的长是（ ）
A．3 B． C． D．
二、填空题
13．已知，则 .
14．在Rt中，∠C=90°，AB=10，cosB=，则AC的长为 ．
15．如图是一张长，宽的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为 ．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角，得到矩形A′B′CD′，B′C与AD交于点E，AD的延长线与A′D′交于点F．当矩形A'B'CD'的顶点A'落在CD的延长线上时，则EF＝ ．
三、解答题
17．解下列方程（或式）
(1)，
(2)，
(3)，
(4)．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，请按下列要求画图：
（1）将先向右平移4个单位长度、再向下平移5个单位长度，得到，画出，并写出点的坐标；
（2）以点A为位似中心将放大2倍，得到，画出并写出点B2的坐标．
19．某水果店销售一种水果的成本价是元/千克．在销售过程中发现，当这种水果的价格定在元/千克时，每天可以卖出千克．在此基础上，这种水果的单价每提高元/千克，该水果店每天就会少卖出千克．
若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是元，则单价应定为多少？
在利润不变的情况下，为了让利于顾客，单价应定为多少？
20．如图，在菱形中，E为边上一点，．
(1)求证：；
(2)若，，求菱形的边长．
21．如图，，，，．
(1)求的值；
(2)求点B到直线的距离．
22．感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：
如图1，，由，，可得 ；又因为，可得，进而得到______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型．
应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在中，，，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且．
①求证：；
②当点P为BC中点时，求CD的长；
拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当为等腰三角形时，请直接写出BP的长．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A B A A D B A D
题号 11 12
答案 C D
1．A
【详解】据特殊角三角函数值，可得: sin30°=.
故选A.
2．D
【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是1：2，
∴这两个三角形们的面积比为1：4，
故选：D．
3．A
【详解】解：A、是是一元二次方程，故此选项符合题意；
B、有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
C、有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
D、未知数次数为1，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
故选：A．
4．B
【详解】解：∵DE∥BC，AD：AB＝2：3，
∴AE：AC＝AD：AB＝2：3．
故选：B．
5．A
【详解】解：∵在中，，画图如下：
∴，
故选A．
6．A
【详解】
∵关于x的一元二次方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即（-2）2-4k＞0，解得k＜1，
故选A．
7．D
【详解】试题解析：由题意得：DE⊥AC，
∴∠DEA=90°，
∵∠C=∠DEA，
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ACB,
∴=,
∵A′为CE的中点，
∴C A′=E A′，
∴C A′=E A′=AE，
∴==，
∴DE=1.
故选D.
8．B
【详解】解：依题意，，
移项得，
整理得，
∴
∴，
∴
∴．
观察以及对比，得出错误是从乙同学负责的步骤开始出现的，
故选：B
9．A
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD．
∵DE∶EC＝2∶3，
∴＝＝＝．
∵AB∥CD，
∴，
∴＝＝．
故选：A．
10．D
【详解】解：设参加这次聚会的同学共有x人，
由题意得：，
故选：D．
11．C
【详解】解：过点A作于点D，过点B作于点E，
∵，
∴是边上的中线，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴
，
∴，
故选C．
12．D
【详解】解：∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴在中，由勾股定理得：，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
在和中
∴，
∴，
即，
解得：；
故选：D．
13．/0.75
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
14．6．
【详解】试题分析：∵cosB=，∴CA：AB=4：5，∵AB=10，∴CA=8，∴BC=6．故答案为6．
考点：1．锐角三角函数的定义；2．勾股定理．
15．
【详解】设底面长为a,宽为b,正方形边长为x,
由题意得:,
解得a=10－2x,b=6－x,代入ab=24中得: (10－2x)(6－x)=24,
整理得:2x2－11x+18=0．
解得x=2或x=9(舍去)．
故答案为2．
16．/
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角，得到矩形A′B′CD′，
∴，，，
在中，，
∴，
∴，
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴DF，
同理可得，
∴，
∴，
∴ED，
∴EF＝ED+DF，
故答案为：．
17．(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）解：
解得；
（2）解：
，
解得;
（3）解：
；
（4）解：
．
18．（1）见解析，；（2）见解析，
【详解】（1）根据题意可得：
∴；
（2）如图所示：以点A为端点作射线AC，AB；分别在射线上取，，使，连接，，，即可得；
∴．
19．（1）若该水果店每天销售这种水果所得利润是元，则单价应为元或元．因为让利于顾客，所以定价定为元．
【详解】解：（1）若该水果店每天销售这种水果所得利润是420元，设单价应为x元，
由题意得：（x-5）[160-20（x-7）]=420，
化简得，x2-20x+96=0，
解得 x1=8，x2=12．
答：若该水果店每天销售这种水果所得利润是420元，则单价应为8元或12元．
（2）因为让利于顾客，所以定价定为8元．
20．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：四边形是菱形，
，
，
，
；
（2）解：四边形是菱形，
，
，
，
，
，，
，
为边长，
21．(1)
(2)
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴；
（2）解：过点B作于点E，
∵，
∴，
∴．
22．感知：（1）；应用：（2）①见解析；②3.6；拓展：（3）2或
【详解】感知：（1）∵△ABC∽△DAE，
∴，
∴，
故答案为：；
应用：（2）①∵∠APC=∠B+∠BAP，∠APC=∠APD+∠CPD，∠APD=∠B，
∴∠BAP=∠CPD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCD；
②BC=12，点P为BC中点，
∴BP=PC=6，
·∵△ABP∽△PCD，
∴，即，
解得：CD=3.6；
拓展：（3）当PA=PD时，△ABP≌△PCD，
∴PC=AB=10，
∴BP=BC-PC=12-10=2；
当AP=AD时，∠ADP=∠APD，
∵∠APD=∠B=∠C，
∴∠ADP=∠C，不合题意，
∴AP≠AD；
当DA=DP时，∠DAP=∠APD=∠B，
∵∠C=∠C，
∴△BCA∽△ACP，
∴，即，
解得：，
∴，
综上所述，当为等腰三角形时， BP的长为2或 ．

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