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南充高中高 2025级高一上学期第一次月考 A．2 a 4 B． 2 a 2
C．a 2 D．a 2或2 a 4
数 学 试 题
C (A) C (B),C (A) C (B)
8．用C (A)表示非空集合 A中元素的个数，定义 A B ，已知集
（时间：120分钟 总分：150分 命审题人： ） C (B) C (A),C (A) C (B)
考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上。
合 A x x2 x 0 ，B x 3x2 ax x2 ax 2 0 ，且 A B 1 ，设实数 a的所有可能
2．作答时，将选择题答案涂在答题卡规定的位置上，将非选择题答案写在答题卡规定
的位置上，在试卷上作答，答案无效。 取值构成集合M，则C (M ) （ ）
3．考试结束后，将答题卡交回。 A．1 B．3 C．5 D．7
第 I部分（选择题 共 58分） 二、多选题（本题共 3个小题，每小题 6分．共 18分，每小题有多项符合题目要求，全部选对得
一、选择题(本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 6分，部分选对得部分分，选错得 0分）
目要求的.) 9．下列不等关系正确的是（ ）
1．设全集U {1,2,3,4,5,6}， A={2,3,4}， B {1,3,6}，则 U A B＝（ ） A．若 ac2 bc2 ，则 a b
A．{1，6} B．{3，6} C．{1，3，5，6} D． 1 1B．若 a b且 ，则 ab 0
2．已知命题 p : x 1, x2 1 0 a b，则 p是（ ）
c c
A． x 1, x 2 1 0 B． x 1, x 2 1 0 C．若 a b 0且 c 0，则 a2 b2
C． x 1, x2 1 0 D． x 1, x2 1 0 D．若 a b 0 c d，则 ab cd
3 2．已知集合 A a 2,a 4a,12 ，且 3 A，则 a等于（ ） 10．下列命题中假命题有（ ）
A．－3或－1 B．1 C．－3 D．3 A．“ a b ”是“ ac bc ”的必要条件
4．已知 p : x 1，且 y 2， q : x y 3，则 p是 q的（ ）
m 1B．“ ”是“不等式 x2 x m 0在R上恒成立”的充要条件
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 4
C 1．充要条件 D．既不充分也不必要条件 C 2． y x 3 2 的最小值是 2x 3
5．已知集合 A x∣ 1 x 4 ，B x∣a 3 x 3a ，且 AU B B，则实数 a的取值范围为（ ）
D．若 x
2 y 3x 1 9 ，则 的最小值为 3
4
A． a
4
2 B．a 2 a 4
4
C a 2 D a 2 a 3 3x 2或 ． ． 或
3 3 3 3
11．对于集合M a∣a x2 y2 , x Z, y Z ，给出如下结论，其中正确的结论是（ ）
1
6．使“ 1”成立的一个充分不必要条件是（ ）
x A．如果 B {b∣b 2n 1,n N}，那么 B M
1
A． x 0 B．0 x B．若C {c∣c 2n,n N}，对于任意的 c C，则 c M2
C．0 x 1 D．0 x 2 C．如果 a1 M ,a2 M ，那么 a1a2 M
7．已知命题 p : x 0， x
4
a，命题 q: x R， x2 ax 1 0，若命题 p，q都是真命题，则实
x D．如果 a1 M ,a2 M ，那么 a1 a2 M
数 a的取值范围是（ ）
高 2025 级数学试卷 第 1页 （共 4页） 高 2025 级数学试卷 第 2页 （共 4页）
第Ⅱ部分（非选择题 共 92分） 18．（本小题满分 17分）
三、填空题（本题共 3个小题，每题 5分，共 15分） 新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业 A公司扩大生产提供 x万元
12．集合 A 0,1 ， B 1,0 A B ( x {x | 0 x 10}，则 的真子集共有 个． )的专项补贴，并以每套 80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政
13．一元二次不等式 2x2 5x 3 0 的解集是 ． x 12 府 (万元)补贴后，防护服产量将增加到 t k 6 (万件)，其中 k为工厂工人的复工率
x 4
14．已知 x y 2 3xy m(x 2y)对所有正实数 x, y都成立，则实数m的最小值为 ．
（0.5 k 1）.A公司生产 t万件防护服还需投入成本 (20 9x 50t) (万元)．
四、解答题（本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （1）将 A公司生产防护服的利润 y (万元)表示为补贴 x (万元)的函数；(政府补贴 x万元计入公司收
15．（本小题满分 13分） 入)
已知全集为 R，集合 = 2 < < 0 ， = 1 ≤ ≤ 2 ． （2）在复工率为 k 0.8时，政府补贴多少万元才能使 A公司的防护服利润达到最大？并求该最大
（1）求 ∪ ， ∩ ； 值；
（2）求 ∩ ； ∪ ． （3）对任意的 x {x | 0 x 10}(万元)，当复工率 k达到多少时，A公司才能不产生亏损？
（精确到 0.01）．
16．（本小题满分 15分）
已知集合 = | ≤ ≤ + 3 , = | < 2或 > 6 ．
（1）若 = 5，求 ∪ ；
（2）若 ∩ = ，求实数 a的取值范围； 19．（本小题满分 17分）
（3）已知命题 p : x A，命题 q : x B，若 p是 q的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
已知函数 y ax 2 bx a 3．
（1）若关于 x的不等式 y 0的解集是 x 1 x 4 .求实数 a，b的值；
17．（本小题满分 15分） （2）若 a 0，b a2 1， x1，x2是关于 x的方程 y 0的两个根，求 x1 1 x2 1 的最小值；
（1）已知 x 2 1，求 x 的最小值；
x 2 （3）若
b 4，解关于 x的不等式 y 2a．

（2）已知 x 0， y 0， x 3y xy 9，求 x 3y的最小值；
（3）已知 a,b都是正实数，且 a b，试比较 a3 b3与 ab2 a2b的大小．
高 2025 级数学试卷 第 3页 （共 4页） 高 2025 级数学试卷 第 4页 （共 4页）南充高中高 2025级高一上学期第一次月考数学参考答案
一、选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的.）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B C A C B D C
二、多选题（本题共 3个小题，每小题 6分．共 18分，每小题有多项符合题目要求，全部选对得 6分，
部分选对得部分分，选错得 0分）
题号 9 10 11
答案 ABC ACD AC
三、填空题（本题共 3个小题，每题 5分，共 15分）
1
12. 7 13. x | x 3

14. 2
2
四、解答题（本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.解:（1）由已知 = 2 < < 0 ， = 1 ≤ ≤ 2 ，
则 ∪ = 2 < ≤ 2 ； ∩ = 1 ≤ x < 0 …………………………………………6 分
（2）又全集为 R，
则 R = ≤ 2 或 ≥ 0 ， R = < 1 或 > 2 ，
故 ∩ = 0 ≤ ≤ 2 ； ∪ = < 1 或 ≥ 0 .
或 ∪ = ∩ = 1 ≤ x < 0 = < 1 或 ≥ 0 ………………………13 分
16.解:（1）若 = 5，则 = |5 ≤ ≤ 8 ，因为 = | < 2或 > 6 ，
所以 ∪ = | < 2或 ≥ 5 ； ……………………………………………………5 分
（2）显然 + 3 > 恒成立，故集合 不可能是空集，
∩ = ≥ 2而 ，所以当且仅当 + 3 ≤ 6，解得 2 ≤ ≤ 3，
所以实数 a的取值范围是 | 2 ≤ ≤ 3 .……….…………………………………………10 分
（3）p 是 q 的充分不必要条件等价于 A B．
又 不可能是空集，所以 + 3 < 2或 > 6，即 < 5或 > 6
所以实数 a的取值范围是 | < 5或 > 6 .……….……………………………………15 分
17. 1 x 2 x 1解：（ ）因为 ，所以 x 2 1 2 2 (x 2) 1 2 4，
x 2 x 2 x 2
当且仅当 x
1 1
2 ，即 x 3时取等号，所以 x 的最小值为4； ………………………5 分
x 2 x 2
（2）由 x 3y xy 9 9 x 3y
1
，得 x 3y x 3y
1 (x 3y )2，
3 3 2
所以 ( x 3 y )2 12( x 3 y ) 108 0，所以 (x 3y 18)(x 3y 6) 0，
1
所以 x 3y 18或 x 3y 6，又 x 0， y 0，所以 x 3y 6，
当且仅当 x 3y，即 y 1, x 3时取等号，
所以 x 3y的最小值为6. .…………………………………………………………………………………………………………10 分
（3 3）由 a b3 ab2 a2b a3 ab2 b3 a2b
a a2 b2 b b2 a2 a2 b2 a b a b 2 a b
a,b 2都是正实数，且 a b， a b a b 0，
即 a3 b3 ab2 a2b .………………………….…………………………………………………………………………………15 分
18.解：（1）由题意， y x 80t 20 9x 50t 30t 8x 20
30k 12 6 8x 20 180k
360k
8x 20
x 4 x 4
即 y 180k 360k 8x 20, x {x | 0 k 10},k {k | 0.5 k 1} ……………………………………5 分
x 4
（2）当复工率为 k 0.8时
360k 4 360
4

y 180k 8x 20 180 5 8x 20
x 4 5 x 4
156 8 x 4 36

x 4
因为 x {x | 0 x 10}，所以4 x 4 14 x 4 36，所以 2 x 4 36 12，
x 4 x 4
x 4 36当且仅当 ，即 x 2时，等号成立.
x 4
36
所以 y 156 8 x 4 x 4
156 8 12 60

故政府补贴为 2 万元才能使A公司的防护服利润达到最大，最大为 60 万元 .………………………11 分
（3）对任意的 x {x | 0 x 10}
360k
（万元），A公司都不产生亏损，则180k 8x 20 0在
x 4
x {x | 0 x 10}时恒成立，
即 2x2 (13 45k)x 20 90k 0 对 x {x | 0 x 10}都恒成立，
因函数 y 2x2 (13 45k )x 20 90k 是一条开口向上的抛物线，
2 02 (13 45k ) 0 20 90k 0 35所以 2 ，解得 k 0.652 10 (13 45k ) 10 20 90k 0 54
所以当复工率 k达到 0.65 时，对任意的 x {x | 0 x 10}（万元），
A公司都不产生亏损. ..………………….……………………….……………………….………………………………17 分
2
19.解：（1）由题意：方程 ax2 bx a 3 0的两根为 1,4，且 a 0
所以 1 4
a 3 b a 1； 1 4 b 3 .
a a
所以 a 1，b 3 …….……………….……………….……………………….………………………………4 分
2 b a
2 1 a 3
（ ）由韦达定理可得： x1 x2 ， x x ，a a 1 2 a
2 2
所以 x1 1 x2 1 x x x x 1 a 1 a 3 a 4
4
1 2 1 2 1 a .a a a a
4 4
因为 a 0，所以 a 2 a 4，（当且仅当 a 2时取“ ”）.
a a
又当 a 2时，方程为 2x2 5x 1 0 ，因为 25 4 2 1 0，所以方程有两个根.
所以 x1 1 x2 1 的最小值为 4. ………….……………….……………………….………………………………10 分
（3）当b 4时，由 y 2a可化为： ax2 4x a 3 0 .
3
若 a 0，则原不等式可化为： 4x 3 0 x ；
4
若 a 0， 16 4a(a 3) 4(a2 3a 4) 4(a 1)(a 4)
0 ax2 4x a 3 0 x 2 4 a
2 3a 2 4 a 2x 3a当 时， 的两根为 1= ， a 2 a
①当 a 1时 0，原不等式的解为
②当 a 1时 0，原不等式的解为{ 2}
③当0 a 1时 0，原不等式的解为{x | x1 x x2}
④当 4 a 0时 0，原不等式的解为{x | x x2或x x1}
⑤当 a 4时 0，原不等式的解为R
⑥当 a 4时， 0，原不等式的解为 R
综上可知：
①当 a 1时，原不等式的解为
②当 a 1时，原不等式的解为{ 2}
③ 0 a 1 {x | 2 4 a
2 3a 2x 2 4 a 3a当 时，原不等式的解为 }
a a
3
④当 a 0时，原不等式的解为{x | x }
4
2 2
⑤当 4 a 0时 0，原不等式的解为{x | x 2 4 a 3a x 2 4 a 3a 或 }
a a
⑥当 a 4时，原不等式的解为 R . .…….……………….……………….……………………….…………………17 分
3
附：部分选填题解析
8.解：集合 A x | x2 x 0 0, 1 ， A B 1，
根据集合的新定义知：B 中有 1 个或者 3 个元素，
2
当 B 中有 1 个元素时， 3x ax x2 ax 2 0有一个解，可得a 0；
2 2
当 B 中有 3 个元素时，易知a 0， 3x ax x ax 2 0有三个解，
其中的两个为： x1 0, x
a
2 ，3
当 x2 ax 2 0有一个解时，令 0，可得 a 2 2；
a
当 x2 ax 2 0有两个解 x3 , x4 且其中一个和 0 或者 相等时，也满足条件，3
x a a
2 8 , x a a
2 8
此时 3 4 ，显然 x3 , x4 不等于 0，2 2
a a 2 8 a a a 2 8 a
所以 或 ，解得a 3或a 3，
2 3 2 3
综上所述，设实数 a 的所有可能取值为 0, 2 2 , 2 2 , 3, 3，
所以构成集合 M 元素个数为 5，即C(M) 5. 故选：C
11.解：对 A，b 2n 1,n N，总有b 2n 1 2 n 1 n2 , n 1 N ,n N ，则 B M ，故 A 正确；
对 B，c 2n,n N，若 c 2n M，则存在 x, y Z ，使得 x2 y2 ( x y)( x y) 2n，当 x, y一个是偶数，
一个是奇数时， x y是奇数， x y也是奇数，所以 (x y)(x y)也是奇数，显然 2n是偶数，故
2n (x y)(x y)，故 c 2n M，故 B 错误；
对 C a 2 2 2 2，若 1 M ,a2 M ，不妨设 a1 x1 y1 ,a2 x2 y2 ，则
a1a2 x2 y2 x2 2 2 21 1 2 y2 x1x2 y1y2 x1y2 x2 y1 M ，故 a1a2 M ，故 C 正确；
2
对 D，设 a1 x1 y
2 ,a x21 2 2 y
2
2 ，则 a1 a x
2 2 2
2 1 y
2
1 x
2
2 y
2
2 x1 x2 y1 y2 2x1x2 2y1y2，
不满足集合M 的定义，故 D 错误. 故选：AC.
14.解：不等式 x y 2 3xy m(x 2y)对所有正实数 x, y都成立，
x y 2 3xy x y 2 3xy
等价于m 对所有正实数 x, y都成立，所以m ( )
x 2y x 2y max
x y 2 3xy x y x 3y
又因为 2，当且仅当 x 3y时等号成立
x 2y x 2y
所以m 2，m的最小值为 2 .
4

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