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第四章《一次函数》提升卷—北师大版数学八（上）单元分层测
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（2024八上·成都期中）下列图象中，不能作为函数图象的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：、平行于轴的直线与图象有一个交点，能作为函数图象，不符合题意；
、平行于轴的直线与图象有两个交点，不能作为函数图象，符合题意；
、平行于轴的直线与图象有一个交点，能作为函数图象，不符合题意；
、平行于轴的直线与图象有一个交点，能作为函数图象，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】能作为函数图象，需满足：按照图象得出的对应关系，对于自变量的取值范围内的每一个值，按照图象得出的对应关系，都有唯一的一个值和它对应；从图象直观来看，平行于y轴的直线与图象至多有一个交点，据此逐一判断得出答案.
2．在下列函数解析式中，①；②；③；④，一定是一次函数的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：一次函数的为：，，共有个，
故选：C．
【分析】根据一次函数的定义依次辨析即可.
3．（2022八上·化州期中）我们要节约用水，平时要关好水龙头．没有关好水龙头，每滴水约0.05毫升，每分钟滴60滴．如果小明忘记关水龙头，则x分钟后，小明浪费的水y（毫升）与时间x（分钟）之间的函数关系是（　　）
A．y＝60x B．y＝3x C．y＝0.05x D．y＝0.05x+60
【答案】B
【知识点】函数的表示方法；列一次函数关系式
【解析】【解答】解：根据“水龙头滴出的水量y毫升＝水龙头每分钟滴出60滴水×0.05毫升×滴水时间”得：y＝60×0.05x＝3x，
故答案为：B．
【分析】利用“水龙头滴出的水量y毫升＝水龙头每分钟滴出60滴水×0.05毫升×滴水时间”列出函数解析式即可.
4．在平面直角坐标系中，过点(-2，3)的直线l经过一、二、三象限，若点(0，a)，(-1，b)，(c，-1)都在直线l上，则下列判断正确的是(　　).
A．a【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：设一次函数解析式为y=kx+b(k≠0），
∵ 直线l经过一、二、三象限，
∴k＞0，且y随x的增大而增大，
∵直线l经过点 (-2，3) (0，a)，(-1，b)，(c，-1) ，
∴c＜-2，3＜b＜a
故答案为：D .
【分析】根据一次函数的性质，可得出y随x的增大而增大，然后通过比较坐标的大小，即可得出答案。
5．对于一次函数的相关性质，下列描述错误的是（　　）
A．函数图象经过第一、二、四象限
B．函数图象与x轴的交点坐标为
C．y随x的增大而减小
D．函数图象与坐标轴围成的三角形面积为
【答案】B
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵一次函数中，，，
∴函数图象经过第一、二、四象限，y随x的增大而减小，故正确；
当时，，当时，，解得，
∴函数图象与x轴的交点坐标为，函数图象与轴的交点坐标为，故B错误；
函数图象与坐标轴围成的三角形面积为，故D正确；
故选：B．
【分析】根据一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与直线的交点以及三角形面积公式进行分析判断.
6．（2024八上·宝安期中）已知一次函数与的自变量与因变量的部分对应数值如下表，则关于x，y的二元一次方程组的解为（　　）
x … -1 0 1 2 …
y1 … -3 1 5 9 …
y2 … -7 -3 1 5 …
A． B． C． D．无解
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：把代入，
得，
解得，
，
把代入，
得，
解得，
，
与的图像是平行的，
∴一次函数与的图像无交点，
∴关于的二元一次方程组无解；
故答案为：D
【分析】根据待定系数法求出两个一次函数的解析式，进而根据两个一次函数的平行问题结合题意即可求解。
7．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，沿轴向右平移后得到，点的对应点在直线上，则点与其对应点之间的距离（　　）
A． B． C．3 D．4
【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：连接，如图所示，
根据平移可知：，且轴．
当时，，
解得，
∴点的坐标为，
又∵点A的坐标为，
∴．
∴，即点与其对应点之间的距离为4．
故选：D．
【分析】由平移的性质可求得OA'的长，则可求得A'点的坐标，可求得OO'的长，由平移的性质可得到BB'=OO'，可求得答案.
8．（2024八上·深圳期中）在物理实验课上，小鹏利用滑轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力和所悬挂物体的重力的几组数据用电脑绘制成如下图像（不计绳重和摩擦），请你根据图像判断以下结论正确的有（　　）个
①物体的拉力随着重力的增加而增大； ②当物体的重力时，拉力；
③拉力与重力成正比例函数关系： ④当滑轮组不悬挂物体时，所用拉力为0.5N.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：①∵根据图象可知，拉力F随着重力的增加而增大，∴①正确；
②∵拉力F是重力G的一次函数，∴设拉力F与重力G的函数解析式为F＝kG＋b（k≠0），则，解得：，∴拉力F与重力G的函数解析式为F＝0.2G＋0.5，∴当G＝7时，F＝0.2×7＋0.5＝1.9，∴②错误；
③∵根据图象可知，拉力F是重力G的一次函数，∴③错误；
④∵G＝0时，F＝0.5，∴④正确．
综上，正确的结论是①④，共2个，
故答案为：B．
【分析】利用待定系数法求出函数解析式，再利用函数值的计算方法和利用一次函数的性质与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势，此时函数值y随x的增大而增大；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势，此时函数值y随x的增大而减小）分析求解即可.
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（2024八上·瓯海期末）若与成正比例， 且当时， ， 则与之间的函数表达式为　 　．
【答案】
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：∵与成正比例，
∴设，
∵当时，，
∴，
解得，
∴，
即，
故答案为：．
【分析】设，把时，代入即可求出，即可解题．
10．（2023八上·宁明期中）在八年级探究正比例函数（k为常数，）的图象时，小蒋同学列表如下，则表中m的值为　 　．
x … －2 －1 0 1 2 …
y … -12 －6 0 m 12 …
【答案】6
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；正比例函数的概念
【解析】【解答】解：设函数的解析式为
将x=2，y=12代入可得：
2k=12
解得：k=6
所以函数解析式为：y=6x
当x=1时，y=6
故答案为：6.
【分析】先利用待定系数法求出函数解析式，再求出m的值即可.
11．甲、乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动.图中l甲，l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程s(千米)随时间t(分)变化的函数图象，则每分钟乙比甲多行驶　 　千米.
【答案】0.6
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可得，l甲每分钟行驶（千米）；
l乙每分钟行驶（千米）；
∴ 1-0.4=0.6（千米），即每分钟乙比甲多行驶0.6千米.
故答案为：0.6.
【分析】根据函数图象找出路程和对应的时间，利用速度=路程÷时间分别计算出甲和乙的速度，再求差即可.
12．（2019八上·滕州期中）如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水， 时注满水槽，水槽内水面的高度 与注水时间 之间的函数图象如图2所示.如果将正方体铁块取出，又经过　 　秒恰好将水槽注满.
【答案】4
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由题意可得：12秒时，水槽内水面的高度为10cm，12秒后水槽内水面高度变化趋势改变， 正方体的棱长为10cm；
没有立方体时，水面上升从10cm到20cm，所用的时间为：28-12=16秒
前12秒由于立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒
将正方体铁块取出， 又经过4秒恰好将此水槽注满.
故答案：4
【分析】根据函数图象可得正方体的棱长为10cm，同时可得水面上升从10cm到20cm，所用的时间为16秒，结合前12秒由于立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒可得答案.
13．（2024八上·深圳期中）如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为“指距”.研究表明，一般情况下人的身高与指距满足一次函数，若人的身高为时，指距为；当人的身高为时，指距为.篮球运动员姚明的身高为，则据此估计他的指距是　 　cm.（结果精确到）
【答案】27.3
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：把x＝20，y＝160和x＝21，y＝169代入y＝kx＋b，
则，
解得：，
∴y＝9x 20，
当y＝226时，9x 20＝226，
解得：x＝27≈27.3，
∴姚明的指距约为27.3cm，
故答案为：27.3．
【分析】先结合题干中的数据列出方程组，求出，可得函数解析式为y＝9x 20，再将y=226代入解析式求出x的值即可.
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．（2024八上·武侯期中）如图，在平面直角坐标系中．
（1）请画出关于y轴对称的，并写出的坐标；
（2）在x轴上找到一点P，使的值最小，请标出点P在坐标轴上的位置，并求P点坐标．
【答案】（1）解：如图所示：即为所求；
∴， ；
（2）解：如图所示：取关于轴的对称点，连接交轴于，则点P即为所求点．
∵设直线为，
∴，
解得：，
∴直线为，
当，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及轴对称的性质，分别作出点B、C关于y轴对称的点B1、C1，再顺次连接A、B1、C1得到所求的△AB1C1，最后根据点B1、C1的位置写出其坐标即可；
（2）取A（0，-2）关于x轴的对称点A'（0，2），连接A'C交x轴于P，则点P即为所求点，再利用待定系数法求出直线A'C的解析式，进而令直线A'C解析式中的y=0，算出对应的自变量x的值即可得到点P的坐标.
（1）解：如图所示：即为所求；
∴， ；
（2）解：如图所示：取关于轴的对称点，连接交轴于，则点P即为所求点．
=
∵设直线为，
∴，
解得：，
∴直线为，
当，
∴，
∴．
15．（2024八上·福田期中）在课堂上学习掌握了函数图象的知识后，小明同学对函数的图象与性质进行探究，并解决下列问题．
（1）列表：
x 0 1 2 3
y a 4 b 0 2 4
表格中： ______， ______．
（2）以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，再把这些点依次连接起来，得到的函数图象；
（3）观察函数图象，思考回答以下问题：
①特殊点：与y轴的交点坐标是______；
②变化趋势：当x______时，y随x的增大而减小；
③函数值：当，y的函数值范围是______；
④拓展探究：当时，．则k的取值范围是______．
【答案】（1）；2
（2）解：描点，连线，的函数图象如图；
；
（3）①；②；③；④
【知识点】函数值；一次函数图象与坐标轴交点问题；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】（1）解：当时，；
当时，；
故答案为：；2；
（3）解：根据图象得：
①特殊点：与y轴的交点坐标是；
②变化趋势：当时，y随x的增大而减小；
③函数值：当，y的函数值范围是；
④拓展探究：当时，．
即当时，直线在函数的图象的上方，
∵时，，
∴当时，，解得．
故答案为：①；②；③；④．
【分析】（1）将x的值分别代入解析式求出y的值即可；
（2）利用函数图象的作图步骤（①列表、②描点、③用平滑的直线（或曲线）连线）作图函数图象即可；
（3）结合函数图象直接分析求解即可.
（1）解：当时，；
当时，；
故答案为：；2；
（2）解：描点，连线，的函数图象如图；
；
（3）解：根据图象得：
①特殊点：与y轴的交点坐标是；
②变化趋势：当时，y随x的增大而减小；
③函数值：当，y的函数值范围是；
④拓展探究：当时，．
即当时，直线在函数的图象的上方，
∵时，，
∴当时，，解得．
故答案为：①；②；③；④．
16．（2024八上·盐田期末）在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过点，过点A的直线与x轴、y轴分别交于B，C两点．
（1）求正比例函数的表达式；
（2）若的面积为的面积的倍，求直线的表达式；
（3）在（2）的条件下，在线段上找一点D，使平分，求点D的坐标．
【答案】（1）解：将代入得：，
解得：，
正比例函数的表达式．
（2）解：当点在轴负半轴时，根据题意可画出图形，如图1所示，过点作轴和轴的垂线，垂足分别为和，
则，，
设的面积为，则的面积为，
的面积为，即，
，，
，即，
令，则，
，
，
，即，
将，代入函数解析式得：
，
解得：，
直线的解析式为；
当点在轴正半轴时，如图2所示，
设的面积为，则的面积为，
∴，即，
，，
，即，
令，则，
，
，
，即，
将，代入函数解析式得：
，
解得：，
∵0直线的解析式为.
（3）解：如图，∵角平分线OC在y轴上，
∴作点关于轴的对称点，连接，与直线AB相交于点D，如图：
由对称可知，，即平分，
平分，
由对称可知，，
直线的解析式为：，
令，
解得：，
，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）待定系数法求m值；
（2）根据△AOB的面积是△BOC面积的倍以及图形关系，得到△AOB面积与△AOC面积的数量关系，分别表示出两个三角形的面积并代入，得到OB与OC的数量关系，再根据这个关系设出B，C点的坐标，利用待定系数法即可求出函数表达式.主要两种情况都要考虑到，再根据k的取值范围进行排除；
（3）考虑角平分线OC在y轴上，作点关于轴的对称点，于是点D在直线OA'上，求出OA'的表达式，联立得方程组，求解即可.
17．（2024八上·南海期中）如图，已知直线y＝x﹣4分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线OG：y＝kx（k＜0）交AB于点D．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）如图1，点E是线段OB的中点，连接AE，点F是射线OG上一点，当OG⊥AE，且OF＝AE时，求EF的长；
（3）如图2，若k＝，过B点BCOG，交x轴于点C，此时在x轴上是否存在点M，使∠ABM+∠CBO＝45°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）∵直线y=x-4分别与x轴，y轴交于A，B两点，
∴令y=0，则x-4=0，
∴x=4，
令x=0，则y=-4，
∴A（4，0），B（0，-4）；
（2）∵A（4，0），B（0，-4），
∴OA=OB=4，
∵点E是线段OB的中点，
∴OE=2，
过F作FB'⊥y轴于B'，
∴∠AOE=∠OB'F=90°，
∵OG⊥AE，
∴∠OAE+∠AOF=∠B'OG+∠AOF=90°，
∴∠OAE=∠B'OF，
∵OF=AE，
∴△AOE≌△OB'F（AAS），
∴FB=OE=2，OB'=OA=4，
∵OB=4，
∴点B与点B'重合，∴EF=，
（3）存在，∵k=，
∴直线OG：y=x（k＜0），
∵BC∥OG，
∴设直线BC的解析式为y=x-4，
当y=0时，即x-4=0，
∴x=-3，
∴C（-3，0），
如图，当点M在点A的左侧，
∵∠ABO=45°，∠ABM+∠CBO=45°，
∴∠MBO=∠CBO，
∵∠COB=∠NOB=90°，OB=OB，
∴△BCO≌△BMO（ASA），
∴OM=OC=3，
∴M（3，0）；
当点M在点A的右侧时，
∵∠OAB=∠AM'B+∠ABM'=45°，∠ABM'+∠CBO=45°，
∴∠AM'B=∠OBC，
∵∠CBO=∠OM'B，
∴∠COB+∠OBM'=90°，
设OM'=a，
，
∵，
∴，
解得：，
∴M'（，0），
综上所述，点M的坐标为：（3，0），（，0）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；勾股定理；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）分别令y=0和x=0，然后代入y=x-4，即可求出A和B的坐标；，（2）根据（1）中求出的A和B的坐标，进而可求出OA和OB的值，然后再根据点E是线段OB的中点，求出OE的值，过F作FB'⊥y轴于B'，根据全等三角形的性质，得到FB=OE，OB'=OA=4，最后再根据勾股定理，即可求出EF的值；
（3）根据题意，求出C点坐标，分两种情况：当点M在点A的左侧，根据全等三角形的性质，求出OM=OC=3；当点M在点A的右侧时，根据三角形的面积即可得到结论。
18．（2024八上·安徽期中）近年来，宣城市不断践行德智体美劳“五育并举”目标，努力将劳动教育落到实处，某校八年级策划举行劳动技能比赛，计划购买A，B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别是12元和8元．根据比赛设奖情况，需购买笔记本共30本．
（1）设买A种笔记本n本，买两种笔记本的总费用为w元，求w关于n的函数表达式．
（2）在（1）的条件下，若购买A种笔记本的数量不多于B种笔记本数量的，但又不少于B种笔记本数量的，则购买这两种笔记本各多少时费用最少？最少的费用是多少元？
【答案】（1）解：
（2）解：由题意得
∵4＞0，w随着n的增大而增大，所以当n=5时，w取最小值，最小值为260，此时30-n=25
答：购买种笔记本本，种笔记本本时费用最少最少的费用是元.
【知识点】一次函数的实际应用；列一次函数关系式
【解析】【分析】（1）利用“总费用=A种笔记本的费用+B种笔记本的费用”列出函数解析式即可；
（2）先根据题意列出不等式组求出n的取值范围，再利用一次函数的性质求解即可.
19．（2024八上·龙岗期中）“低碳环保，绿色出行”的理念得到广大群众的接受，越来越多的人再次选择自行车作为出行工具，小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y（米）与时间x（分钟）的关系如图，请结合图象，解答下列问题：
（1）a= ，b= ，m= ；
（2）若小军的速度是120米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离；
（3）在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，何时与小军相距100米？
（4）若小军的行驶速度是v米/分，且在途中与爸爸恰好相遇两次（不包括家、图书馆两地），请直接写出v的取值范围．
【答案】（1）10；15；200；
（2）线段BC所在直线的函数解析式为y=1500+200（x﹣15）=200x﹣1500；
线段OD所在的直线的函数解析式为y=120x．
联立两函数解析式成方程组，
，
解得：，
∴3000﹣2250=750（米）．
答：小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离是750米．
（3）根据题意得：|200x﹣1500﹣120x|=100，
解得：x1= =17.5，x2=20．
答：爸爸自第二次出发至到达图书馆前，17.5分钟时和20分钟时与小军相距100米．
（4）当100＜v＜时，小军在途中与爸爸恰好相遇两次（不包括家、图书馆两地）．
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）先计算出爸爸骑行1500米的时间，再计算出爸爸休息后的总时间，再计算剩余路程后根据速度公式即可；
（2）根据题意确定小军的速度，再根据图像确定爸爸第二次出发后的速度，建立方程求解相遇时间： 设小军与爸爸第二次相遇的时间为 x 分钟，根据题意建立方程： 120 x = 1500 + 200 ( x 15 ) ，解得 x =分钟，在计算出距图书馆距离即可；
（3）根据（2）结论结合二者之间相距100米，建立方程求解即可；
（4）当线段OD过点B时，小军的速度为1500÷15=100（米/分钟）；
当线段OD过点C时，小军的速度为3000÷22.5=（米/分钟）．
结合图形可知，当100＜v＜时，小军在途中与爸爸恰好相遇两次（不包括家、图书馆两地）．

20．（2024八上·福田期末）刻漏是人类最早制造的不完全依赖天象、相对独立运行的计时仪器．刻漏以水等液体（也有少数例外，如水银或沙等）为工作物质，根据流水的量与流逝时间的对应关系，通过漏壶中的水量变化来度量时间的．我国使用刻漏的时间非常早，最早可追溯到中国历史上第一个王朝—夏朝（大约公元前2070年），约在汉武帝时期发明了浮箭漏．如图所示为单级浮箭漏示意图．某兴趣小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：
【实验观察】实验小组通过观察，每1小时记录一次箭尺读数，得到如表：
供水时间x（小时） 0 1 2 3 4
箭尺读数y（厘米） 6 12 18 24 30
【探索发现】
（1）在所给的平面直角坐标系中，描出以供水时间x为横坐标，箭尺读数y为纵坐标的各点．
（2）观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．
【结论应用】应用上述发现的规律估算：
（3）供水时间达到10小时时，箭尺的读数为多少厘米？
（4）如果本次实验记录的开始时间是上午，那当箭尺读数为96厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）
【答案】解：（1）根据题意，画出图形，如图
（2）观察上述各点的分布规律，得它们在同一条直线上
设这条直线所对应的函数表达式为
根据题意得：
解得：
∴这条直线所对应的函数表达式为
（3）当时，
∴供水时间达到10小时时，箭尺的读数为66厘米
（4）当时，，解得：
∴供水时间为15小时
∵本次实验记录的开始时间是上午，
∴当箭尺读数为96厘米时是．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）依据表格中的供水时间和箭尺读数数据，在平面直角坐标系中准确找到对应的坐标点进行描点操作即可；
（2）利用直线函数的一般形式，通过选取两个已知点代入方程来确定k和b的值，进而得到函数表达式，并据此判断这些点是否在同一直线上；
（3）把供水时间值代入已求得的函数表达式中，计算出对应的箭尺读数；
（4）把将给定的箭尺读数代入函数表达式，反求出对应的供水时间，再结合初始时间计算出具体时刻．
1 / 1第四章《一次函数》提升卷—北师大版数学八（上）单元分层测
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（2024八上·成都期中）下列图象中，不能作为函数图象的是（　　）
A． B．
C． D．
2．在下列函数解析式中，①；②；③；④，一定是一次函数的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．（2022八上·化州期中）我们要节约用水，平时要关好水龙头．没有关好水龙头，每滴水约0.05毫升，每分钟滴60滴．如果小明忘记关水龙头，则x分钟后，小明浪费的水y（毫升）与时间x（分钟）之间的函数关系是（　　）
A．y＝60x B．y＝3x C．y＝0.05x D．y＝0.05x+60
4．在平面直角坐标系中，过点(-2，3)的直线l经过一、二、三象限，若点(0，a)，(-1，b)，(c，-1)都在直线l上，则下列判断正确的是(　　).
A．a5．对于一次函数的相关性质，下列描述错误的是（　　）
A．函数图象经过第一、二、四象限
B．函数图象与x轴的交点坐标为
C．y随x的增大而减小
D．函数图象与坐标轴围成的三角形面积为
6．（2024八上·宝安期中）已知一次函数与的自变量与因变量的部分对应数值如下表，则关于x，y的二元一次方程组的解为（　　）
x … -1 0 1 2 …
y1 … -3 1 5 9 …
y2 … -7 -3 1 5 …
A． B． C． D．无解
7．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，沿轴向右平移后得到，点的对应点在直线上，则点与其对应点之间的距离（　　）
A． B． C．3 D．4
8．（2024八上·深圳期中）在物理实验课上，小鹏利用滑轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力和所悬挂物体的重力的几组数据用电脑绘制成如下图像（不计绳重和摩擦），请你根据图像判断以下结论正确的有（　　）个
①物体的拉力随着重力的增加而增大； ②当物体的重力时，拉力；
③拉力与重力成正比例函数关系： ④当滑轮组不悬挂物体时，所用拉力为0.5N.
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（2024八上·瓯海期末）若与成正比例， 且当时， ， 则与之间的函数表达式为　 　．
10．（2023八上·宁明期中）在八年级探究正比例函数（k为常数，）的图象时，小蒋同学列表如下，则表中m的值为　 　．
x … －2 －1 0 1 2 …
y … -12 －6 0 m 12 …
11．甲、乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动.图中l甲，l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程s(千米)随时间t(分)变化的函数图象，则每分钟乙比甲多行驶　 　千米.
12．（2019八上·滕州期中）如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水， 时注满水槽，水槽内水面的高度 与注水时间 之间的函数图象如图2所示.如果将正方体铁块取出，又经过　 　秒恰好将水槽注满.
13．（2024八上·深圳期中）如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为“指距”.研究表明，一般情况下人的身高与指距满足一次函数，若人的身高为时，指距为；当人的身高为时，指距为.篮球运动员姚明的身高为，则据此估计他的指距是　 　cm.（结果精确到）
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．（2024八上·武侯期中）如图，在平面直角坐标系中．
（1）请画出关于y轴对称的，并写出的坐标；
（2）在x轴上找到一点P，使的值最小，请标出点P在坐标轴上的位置，并求P点坐标．
15．（2024八上·福田期中）在课堂上学习掌握了函数图象的知识后，小明同学对函数的图象与性质进行探究，并解决下列问题．
（1）列表：
x 0 1 2 3
y a 4 b 0 2 4
表格中： ______， ______．
（2）以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，再把这些点依次连接起来，得到的函数图象；
（3）观察函数图象，思考回答以下问题：
①特殊点：与y轴的交点坐标是______；
②变化趋势：当x______时，y随x的增大而减小；
③函数值：当，y的函数值范围是______；
④拓展探究：当时，．则k的取值范围是______．
16．（2024八上·盐田期末）在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过点，过点A的直线与x轴、y轴分别交于B，C两点．
（1）求正比例函数的表达式；
（2）若的面积为的面积的倍，求直线的表达式；
（3）在（2）的条件下，在线段上找一点D，使平分，求点D的坐标．
17．（2024八上·南海期中）如图，已知直线y＝x﹣4分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线OG：y＝kx（k＜0）交AB于点D．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）如图1，点E是线段OB的中点，连接AE，点F是射线OG上一点，当OG⊥AE，且OF＝AE时，求EF的长；
（3）如图2，若k＝，过B点BCOG，交x轴于点C，此时在x轴上是否存在点M，使∠ABM+∠CBO＝45°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（2024八上·安徽期中）近年来，宣城市不断践行德智体美劳“五育并举”目标，努力将劳动教育落到实处，某校八年级策划举行劳动技能比赛，计划购买A，B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别是12元和8元．根据比赛设奖情况，需购买笔记本共30本．
（1）设买A种笔记本n本，买两种笔记本的总费用为w元，求w关于n的函数表达式．
（2）在（1）的条件下，若购买A种笔记本的数量不多于B种笔记本数量的，但又不少于B种笔记本数量的，则购买这两种笔记本各多少时费用最少？最少的费用是多少元？
19．（2024八上·龙岗期中）“低碳环保，绿色出行”的理念得到广大群众的接受，越来越多的人再次选择自行车作为出行工具，小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y（米）与时间x（分钟）的关系如图，请结合图象，解答下列问题：
（1）a= ，b= ，m= ；
（2）若小军的速度是120米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离；
（3）在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，何时与小军相距100米？
（4）若小军的行驶速度是v米/分，且在途中与爸爸恰好相遇两次（不包括家、图书馆两地），请直接写出v的取值范围．
20．（2024八上·福田期末）刻漏是人类最早制造的不完全依赖天象、相对独立运行的计时仪器．刻漏以水等液体（也有少数例外，如水银或沙等）为工作物质，根据流水的量与流逝时间的对应关系，通过漏壶中的水量变化来度量时间的．我国使用刻漏的时间非常早，最早可追溯到中国历史上第一个王朝—夏朝（大约公元前2070年），约在汉武帝时期发明了浮箭漏．如图所示为单级浮箭漏示意图．某兴趣小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：
【实验观察】实验小组通过观察，每1小时记录一次箭尺读数，得到如表：
供水时间x（小时） 0 1 2 3 4
箭尺读数y（厘米） 6 12 18 24 30
【探索发现】
（1）在所给的平面直角坐标系中，描出以供水时间x为横坐标，箭尺读数y为纵坐标的各点．
（2）观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．
【结论应用】应用上述发现的规律估算：
（3）供水时间达到10小时时，箭尺的读数为多少厘米？
（4）如果本次实验记录的开始时间是上午，那当箭尺读数为96厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：、平行于轴的直线与图象有一个交点，能作为函数图象，不符合题意；
、平行于轴的直线与图象有两个交点，不能作为函数图象，符合题意；
、平行于轴的直线与图象有一个交点，能作为函数图象，不符合题意；
、平行于轴的直线与图象有一个交点，能作为函数图象，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】能作为函数图象，需满足：按照图象得出的对应关系，对于自变量的取值范围内的每一个值，按照图象得出的对应关系，都有唯一的一个值和它对应；从图象直观来看，平行于y轴的直线与图象至多有一个交点，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：一次函数的为：，，共有个，
故选：C．
【分析】根据一次函数的定义依次辨析即可.
3．【答案】B
【知识点】函数的表示方法；列一次函数关系式
【解析】【解答】解：根据“水龙头滴出的水量y毫升＝水龙头每分钟滴出60滴水×0.05毫升×滴水时间”得：y＝60×0.05x＝3x，
故答案为：B．
【分析】利用“水龙头滴出的水量y毫升＝水龙头每分钟滴出60滴水×0.05毫升×滴水时间”列出函数解析式即可.
4．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：设一次函数解析式为y=kx+b(k≠0），
∵ 直线l经过一、二、三象限，
∴k＞0，且y随x的增大而增大，
∵直线l经过点 (-2，3) (0，a)，(-1，b)，(c，-1) ，
∴c＜-2，3＜b＜a
故答案为：D .
【分析】根据一次函数的性质，可得出y随x的增大而增大，然后通过比较坐标的大小，即可得出答案。
5．【答案】B
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵一次函数中，，，
∴函数图象经过第一、二、四象限，y随x的增大而减小，故正确；
当时，，当时，，解得，
∴函数图象与x轴的交点坐标为，函数图象与轴的交点坐标为，故B错误；
函数图象与坐标轴围成的三角形面积为，故D正确；
故选：B．
【分析】根据一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与直线的交点以及三角形面积公式进行分析判断.
6．【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：把代入，
得，
解得，
，
把代入，
得，
解得，
，
与的图像是平行的，
∴一次函数与的图像无交点，
∴关于的二元一次方程组无解；
故答案为：D
【分析】根据待定系数法求出两个一次函数的解析式，进而根据两个一次函数的平行问题结合题意即可求解。
7．【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：连接，如图所示，
根据平移可知：，且轴．
当时，，
解得，
∴点的坐标为，
又∵点A的坐标为，
∴．
∴，即点与其对应点之间的距离为4．
故选：D．
【分析】由平移的性质可求得OA'的长，则可求得A'点的坐标，可求得OO'的长，由平移的性质可得到BB'=OO'，可求得答案.
8．【答案】B
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：①∵根据图象可知，拉力F随着重力的增加而增大，∴①正确；
②∵拉力F是重力G的一次函数，∴设拉力F与重力G的函数解析式为F＝kG＋b（k≠0），则，解得：，∴拉力F与重力G的函数解析式为F＝0.2G＋0.5，∴当G＝7时，F＝0.2×7＋0.5＝1.9，∴②错误；
③∵根据图象可知，拉力F是重力G的一次函数，∴③错误；
④∵G＝0时，F＝0.5，∴④正确．
综上，正确的结论是①④，共2个，
故答案为：B．
【分析】利用待定系数法求出函数解析式，再利用函数值的计算方法和利用一次函数的性质与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势，此时函数值y随x的增大而增大；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势，此时函数值y随x的增大而减小）分析求解即可.
9．【答案】
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：∵与成正比例，
∴设，
∵当时，，
∴，
解得，
∴，
即，
故答案为：．
【分析】设，把时，代入即可求出，即可解题．
10．【答案】6
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；正比例函数的概念
【解析】【解答】解：设函数的解析式为
将x=2，y=12代入可得：
2k=12
解得：k=6
所以函数解析式为：y=6x
当x=1时，y=6
故答案为：6.
【分析】先利用待定系数法求出函数解析式，再求出m的值即可.
11．【答案】0.6
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可得，l甲每分钟行驶（千米）；
l乙每分钟行驶（千米）；
∴ 1-0.4=0.6（千米），即每分钟乙比甲多行驶0.6千米.
故答案为：0.6.
【分析】根据函数图象找出路程和对应的时间，利用速度=路程÷时间分别计算出甲和乙的速度，再求差即可.
12．【答案】4
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由题意可得：12秒时，水槽内水面的高度为10cm，12秒后水槽内水面高度变化趋势改变， 正方体的棱长为10cm；
没有立方体时，水面上升从10cm到20cm，所用的时间为：28-12=16秒
前12秒由于立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒
将正方体铁块取出， 又经过4秒恰好将此水槽注满.
故答案：4
【分析】根据函数图象可得正方体的棱长为10cm，同时可得水面上升从10cm到20cm，所用的时间为16秒，结合前12秒由于立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒可得答案.
13．【答案】27.3
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：把x＝20，y＝160和x＝21，y＝169代入y＝kx＋b，
则，
解得：，
∴y＝9x 20，
当y＝226时，9x 20＝226，
解得：x＝27≈27.3，
∴姚明的指距约为27.3cm，
故答案为：27.3．
【分析】先结合题干中的数据列出方程组，求出，可得函数解析式为y＝9x 20，再将y=226代入解析式求出x的值即可.
14．【答案】（1）解：如图所示：即为所求；
∴， ；
（2）解：如图所示：取关于轴的对称点，连接交轴于，则点P即为所求点．
∵设直线为，
∴，
解得：，
∴直线为，
当，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及轴对称的性质，分别作出点B、C关于y轴对称的点B1、C1，再顺次连接A、B1、C1得到所求的△AB1C1，最后根据点B1、C1的位置写出其坐标即可；
（2）取A（0，-2）关于x轴的对称点A'（0，2），连接A'C交x轴于P，则点P即为所求点，再利用待定系数法求出直线A'C的解析式，进而令直线A'C解析式中的y=0，算出对应的自变量x的值即可得到点P的坐标.
（1）解：如图所示：即为所求；
∴， ；
（2）解：如图所示：取关于轴的对称点，连接交轴于，则点P即为所求点．
=
∵设直线为，
∴，
解得：，
∴直线为，
当，
∴，
∴．
15．【答案】（1）；2
（2）解：描点，连线，的函数图象如图；
；
（3）①；②；③；④
【知识点】函数值；一次函数图象与坐标轴交点问题；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】（1）解：当时，；
当时，；
故答案为：；2；
（3）解：根据图象得：
①特殊点：与y轴的交点坐标是；
②变化趋势：当时，y随x的增大而减小；
③函数值：当，y的函数值范围是；
④拓展探究：当时，．
即当时，直线在函数的图象的上方，
∵时，，
∴当时，，解得．
故答案为：①；②；③；④．
【分析】（1）将x的值分别代入解析式求出y的值即可；
（2）利用函数图象的作图步骤（①列表、②描点、③用平滑的直线（或曲线）连线）作图函数图象即可；
（3）结合函数图象直接分析求解即可.
（1）解：当时，；
当时，；
故答案为：；2；
（2）解：描点，连线，的函数图象如图；
；
（3）解：根据图象得：
①特殊点：与y轴的交点坐标是；
②变化趋势：当时，y随x的增大而减小；
③函数值：当，y的函数值范围是；
④拓展探究：当时，．
即当时，直线在函数的图象的上方，
∵时，，
∴当时，，解得．
故答案为：①；②；③；④．
16．【答案】（1）解：将代入得：，
解得：，
正比例函数的表达式．
（2）解：当点在轴负半轴时，根据题意可画出图形，如图1所示，过点作轴和轴的垂线，垂足分别为和，
则，，
设的面积为，则的面积为，
的面积为，即，
，，
，即，
令，则，
，
，
，即，
将，代入函数解析式得：
，
解得：，
直线的解析式为；
当点在轴正半轴时，如图2所示，
设的面积为，则的面积为，
∴，即，
，，
，即，
令，则，
，
，
，即，
将，代入函数解析式得：
，
解得：，
∵0直线的解析式为.
（3）解：如图，∵角平分线OC在y轴上，
∴作点关于轴的对称点，连接，与直线AB相交于点D，如图：
由对称可知，，即平分，
平分，
由对称可知，，
直线的解析式为：，
令，
解得：，
，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）待定系数法求m值；
（2）根据△AOB的面积是△BOC面积的倍以及图形关系，得到△AOB面积与△AOC面积的数量关系，分别表示出两个三角形的面积并代入，得到OB与OC的数量关系，再根据这个关系设出B，C点的坐标，利用待定系数法即可求出函数表达式.主要两种情况都要考虑到，再根据k的取值范围进行排除；
（3）考虑角平分线OC在y轴上，作点关于轴的对称点，于是点D在直线OA'上，求出OA'的表达式，联立得方程组，求解即可.
17．【答案】解：（1）∵直线y=x-4分别与x轴，y轴交于A，B两点，
∴令y=0，则x-4=0，
∴x=4，
令x=0，则y=-4，
∴A（4，0），B（0，-4）；
（2）∵A（4，0），B（0，-4），
∴OA=OB=4，
∵点E是线段OB的中点，
∴OE=2，
过F作FB'⊥y轴于B'，
∴∠AOE=∠OB'F=90°，
∵OG⊥AE，
∴∠OAE+∠AOF=∠B'OG+∠AOF=90°，
∴∠OAE=∠B'OF，
∵OF=AE，
∴△AOE≌△OB'F（AAS），
∴FB=OE=2，OB'=OA=4，
∵OB=4，
∴点B与点B'重合，∴EF=，
（3）存在，∵k=，
∴直线OG：y=x（k＜0），
∵BC∥OG，
∴设直线BC的解析式为y=x-4，
当y=0时，即x-4=0，
∴x=-3，
∴C（-3，0），
如图，当点M在点A的左侧，
∵∠ABO=45°，∠ABM+∠CBO=45°，
∴∠MBO=∠CBO，
∵∠COB=∠NOB=90°，OB=OB，
∴△BCO≌△BMO（ASA），
∴OM=OC=3，
∴M（3，0）；
当点M在点A的右侧时，
∵∠OAB=∠AM'B+∠ABM'=45°，∠ABM'+∠CBO=45°，
∴∠AM'B=∠OBC，
∵∠CBO=∠OM'B，
∴∠COB+∠OBM'=90°，
设OM'=a，
，
∵，
∴，
解得：，
∴M'（，0），
综上所述，点M的坐标为：（3，0），（，0）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；勾股定理；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）分别令y=0和x=0，然后代入y=x-4，即可求出A和B的坐标；，（2）根据（1）中求出的A和B的坐标，进而可求出OA和OB的值，然后再根据点E是线段OB的中点，求出OE的值，过F作FB'⊥y轴于B'，根据全等三角形的性质，得到FB=OE，OB'=OA=4，最后再根据勾股定理，即可求出EF的值；
（3）根据题意，求出C点坐标，分两种情况：当点M在点A的左侧，根据全等三角形的性质，求出OM=OC=3；当点M在点A的右侧时，根据三角形的面积即可得到结论。
18．【答案】（1）解：
（2）解：由题意得
∵4＞0，w随着n的增大而增大，所以当n=5时，w取最小值，最小值为260，此时30-n=25
答：购买种笔记本本，种笔记本本时费用最少最少的费用是元.
【知识点】一次函数的实际应用；列一次函数关系式
【解析】【分析】（1）利用“总费用=A种笔记本的费用+B种笔记本的费用”列出函数解析式即可；
（2）先根据题意列出不等式组求出n的取值范围，再利用一次函数的性质求解即可.
19．【答案】（1）10；15；200；
（2）线段BC所在直线的函数解析式为y=1500+200（x﹣15）=200x﹣1500；
线段OD所在的直线的函数解析式为y=120x．
联立两函数解析式成方程组，
，
解得：，
∴3000﹣2250=750（米）．
答：小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离是750米．
（3）根据题意得：|200x﹣1500﹣120x|=100，
解得：x1= =17.5，x2=20．
答：爸爸自第二次出发至到达图书馆前，17.5分钟时和20分钟时与小军相距100米．
（4）当100＜v＜时，小军在途中与爸爸恰好相遇两次（不包括家、图书馆两地）．
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）先计算出爸爸骑行1500米的时间，再计算出爸爸休息后的总时间，再计算剩余路程后根据速度公式即可；
（2）根据题意确定小军的速度，再根据图像确定爸爸第二次出发后的速度，建立方程求解相遇时间： 设小军与爸爸第二次相遇的时间为 x 分钟，根据题意建立方程： 120 x = 1500 + 200 ( x 15 ) ，解得 x =分钟，在计算出距图书馆距离即可；
（3）根据（2）结论结合二者之间相距100米，建立方程求解即可；
（4）当线段OD过点B时，小军的速度为1500÷15=100（米/分钟）；
当线段OD过点C时，小军的速度为3000÷22.5=（米/分钟）．
结合图形可知，当100＜v＜时，小军在途中与爸爸恰好相遇两次（不包括家、图书馆两地）．

20．【答案】解：（1）根据题意，画出图形，如图
（2）观察上述各点的分布规律，得它们在同一条直线上
设这条直线所对应的函数表达式为
根据题意得：
解得：
∴这条直线所对应的函数表达式为
（3）当时，
∴供水时间达到10小时时，箭尺的读数为66厘米
（4）当时，，解得：
∴供水时间为15小时
∵本次实验记录的开始时间是上午，
∴当箭尺读数为96厘米时是．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）依据表格中的供水时间和箭尺读数数据，在平面直角坐标系中准确找到对应的坐标点进行描点操作即可；
（2）利用直线函数的一般形式，通过选取两个已知点代入方程来确定k和b的值，进而得到函数表达式，并据此判断这些点是否在同一直线上；
（3）把供水时间值代入已求得的函数表达式中，计算出对应的箭尺读数；
（4）把将给定的箭尺读数代入函数表达式，反求出对应的供水时间，再结合初始时间计算出具体时刻．
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