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第四章《一次函数》培优卷—北师大版数学八（上）单元分层测
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．某校开展了主题为“生活中的一次函数”的项目学习，同学们找到了许多生活中的函数.下面实例中，变量之间的关系不是一次函数的是(　　)
A．家庭用水的单价为4.1元/m3，每月的水费y(元)与用水量x(m3)之间的关系
B．百米赛跑中，时间t(s)与速度v(m/s)之间的关系
C．相同规格的 A4纸整齐放置，A4 纸的总厚度y与A4 纸的张数x之间的关系
D．普通钟表指针转动的角度 n与所用时间t的关系
2．（2023八上·霍邱期中）妈妈从家里出发去公园锻炼，她连续匀速走了后回到家，如图，图中的折线段是她出发后所在位置离家的距离与行走时间之间的关系，则下列图形中可以大致描述妈妈行走的路线的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024八上·合肥期中）定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为1，则称点A为“和一点”．例如：点到x轴、y轴距离和为1，则点B是“和一点”，点也是“和一点”．一次函数的图象l经过点，且图象l上存在“和一点”，则k的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB 的顶点 B 的坐标为(2，0)，点 A 在第一象限内，将△OAB 沿直线OA 的方向平移至△O'A'B'的位置，此时点 A'的横坐标为3，则点 B'的坐标为(　　).
A． B．(3，) C． D．(3，)
5．（2024八上·深圳期末） 一次函数与的图象如图所示，则下列说法不正确的是（　　）
A．
B．这两个函数的图象与轴围成的三角形的面积为4. 5
C．关于的方程组的解为
D．当从0开始增加时，函数比的值先达到3
6．（2024八上·福田期末）某条公共汽车线路收支差额与乘客量的函数关系如图所示（收支差额车票收入支出费 用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)不改变支出费用，提高车票价格；建议(Ⅱ)不改变车票价格，减少支出费用.下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则下列说法正确的是：
A．①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ）
B．②反映了建议（Ⅰ)，④反映了建议（Ⅱ）
C．①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ）
D．②反映了建议（Ⅱ），④反映了建议（Ⅰ）
7．（2024八上·贵阳期末）国庆节小明一家自驾车从贵阳到离家的昆明旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据：
轿车行驶的路程 0 100 200 300 400 …
油箱剩余油量 50 42 34 26 18 …
下列说法不正确的是（　　）
A．该车的油箱容量为
B．该车每行驶耗油
C．当小明一家到达昆明时，油箱中剩余油
D．油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为
8．（2024八上·深圳期末）已知两地相距300千米，甲骑摩托车从地出发匀速驶向地，当甲行驶1后，乙骑自行车以 的速度从地出发匀速驶向地.甲到达地后马上以原速按原路返回，直至甲追上乙.在此过程中，甲、乙两人之间的距离（）与甲行驶时间之间的函数关系如图所示.下列说法：①甲最终追上乙时，乙骑行了7小时；②点的纵坐标为240；③线段所在直线的解析式为；④当时，甲、乙两人之间相距60千米.其中说法正确的序号是（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（初中数学北师大版八年级上册第四章 一次函数练习题 (3)）一水池的容积是90m3，现蓄水10m3，用水管以5m3/h的速度向水池注水，直到注满为止写出蓄水量V（m3）与注水时间t（h）之间的关系式（指出自变量t的取值范围）　 　．
10．（2023八上·武义期末）如图，某链条每节长为，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为，按这种连接方式，x节链条总长度为，则y关于x的函数关系式是　 　.
11．（2024八上·成都期中）如图，直线与轴交于点A，与轴交于点，以点A为圆心，线段AB的长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标为　 　．
12．（2024八上·义乌期末）如图，直线的解析式为分别与，轴交于两点，点的坐标为，过点的直线交轴负半轴于点，且，在轴上方存在点，使以点为顶点的三角形与全等，则点的坐标为　 　．
13．（2023八上·姑苏月考）如图，将矩形置于平面直角坐标系中，其中边在轴上，，直线沿轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被矩形的边截得的线段长度为，平移时间为与的函数图象如图2所示．有下列说法：①点的坐标为；②矩形的面积为8；③；④，其中正确的有　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．（2024八上·龙岗期中）“低碳环保，绿色出行”的理念得到广大群众的接受，越来越多的人喜欢选择自行车为出行工具．小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以米/分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程（米）与时间（分）的关系如图所示，请结合图象，解答下列问题：
（1）　 　，　 　，　 　；
（2）若小军的速度是120米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离；
（3）在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，何时与小军相距100米？
（4）若小军的行驶速度是米/分，且在途中与爸爸恰好相遇两次（不包括家，图书馆两地），请直接写出的取值范围．
15．（2024九上·福田月考）数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究；下面是他们的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：
（1）函数的自变量x的取值范围是　 　；
（2）下表是y与x的几组对应值，则表中m的值为　 　；
x … 0 2 4 5 …
y … m 0 1 3 4 4 3 2 …
（3）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点画出函数的图象，并写出这个函数的一条性质： ▲ ；
（4）画出函数的图象，结合函数图象，直接写出时，x的取值范围．
16．（2025八上·镇海区期末）某商场计划从厂家购进 两款衣服共 100 件，这两款衣服的进价和售价如下表．设购进 款衣服 件，商场总利润为 元．
品名
进价（元／件） 90 75
售价（元／件） 120 100
（1）求 关于 的函数关系式；
（2）厂家规定 的进货数量不得超过 进货数量的两倍，问应如何设计进货方案才能获得最大利润并求出最大利润；
（3）为进一步激励销人员，商场准备实施奖励计划，每卖出一件 衣服奖励 元，每卖一件 衣服奖励 元，结果发现：若 100 件衣服均按原定售价卖完，无论购进 商品多少件，商场利润恒为 2000 元，求 ， 的值．
17．（2024八下·民勤期末）如图，在平面直角坐标系中；一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点，与直线OC交于点．
（1）求直线的函数表达式；
（2）过点C作轴于点D，将沿射线平移得到的三角形记为，点A，C，D的对应点分别为，，，若与重叠部分的面积为S，平移的距离，当点与点B重合时停止运动，当时，求m的值．
18．（2024八下·霞山期末）综合应用
如图1，直线与x轴交于点B，直线与x轴交于点，、交于y轴上一点A．
（1）特征探究；求直线的表达式；
（2）坐标探究：过的中点D，作交于点E，求E点坐标；
（3）规律探究：将将向左平移m个单位长度得到图2，与y轴交于点P（点P不与A点和C点重合），在的延长线上取一点Q，使，连接交x轴于M点．请探究向左平移的过程中，线段的长度的变化情况
19．（2024九上·宝安开学考）【背景】如图是某品牌的饮水机，此饮水机有开水、温水两个按钮，图为其信息图．
【主题】如何接到最佳温度的温水．
【素材】温水水流速度是，
水杯容积：．
物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量．即：开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度．
生活经验：饮水最佳温度是（包括与），这一温度最接近人体体温．
【操作】先从饮水机接温水秒，再接开水，直至接满的水杯为止．（备注：接水期间不计热损失，不考虑水溢出的情况）
【问题】
（1）接到温水的体积是　　　，接到开水的体积是 ；（用含的代数式表示）
（2）若所接的温水的体积不少于开水体积的倍，则至少应接温水多少秒？
（3）若水杯接满水后，水杯中温度是，求的值；
（4）记水杯接满水后水杯中温度为，则关于的关系式是　　　；若要使杯中温度达到最佳水温，直接写出的取值范围是 ．
20．（2025八下·珠海期末）综合实践：
主题 关于如何扭转汽车客运线路亏损的问题
问题情境 随着轨道交通的便利，私家车的普及，网约车的流行，某汽车客运公司的乘客量比以往减少，近期有一条运营线路处于亏损运营状态.
问题探究 ⑴公司做了大量的市场调研，将有关数据进行分析整理，发现收支差额y（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量x（万人）的关系可近似看作一次函数（图象如图① 所示），写出图①中点A（0，-1）和点B（1.5，0）的实际意义，并求出y与x的函数关系. ⑵汽车客运公司在调研后邀请了一些乘客代表来研讨亏方案，在讨论中，有乘客代 表认为，市民出行选择方式增多，客运公司应该改变观念，改善管理，降低运营成本， 客运公司行政代表认为，运营成本难以下降，提高票价才能亏，你认为图②和图③两个图示中，反映乘客代表意见的是▲，反映客运公司行政代表意 见的是▲.（填序号） |
问题解决 ⑶汽车客运公司通过市场调研，发现该线路一周内平均每天的乘客数量为1.2万人， 经过讨论，得到三种亏方案，具体如下： 方案1：票价不变，将运营成本降低到0.7万元； 方案2：运营成本不变，提高票价使每万人收入差额提高到0.9万元； 方案3：将运营成本降低到0.85万元，同时提高票价，使每万人收入差额提高到0.75万 元，你认为哪种方案更有利于汽车客运公司招转亏损？请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一次函数的概念；列一次函数关系式
【解析】【解答】解：每月的水费 y(元)与用水量x(m3)之间的关系式为 y=4. 1x，是一次函数，
故选A 不符合题意；百米赛跑中，时间t(s)与速度 v(m/s) 之间的关系式为 t= ，不是一次函数，
故选B符合题意；设每张A4纸的厚度为a，则 A4纸的总厚度y与A4纸的张数x之间的关系式为y=ax，是一次函数，
故选C不符合题意；普通钟表指针转动的角度n与所用时间t之间的关系是一次函数，
故选D 不符合题意.
故答案为： B.
【分析】根据题意列出关系式，再根据一次函数的定义判断解答即可.
2．【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】根据函数图象可知，
①线段AB表示的是妈妈离家的距离相等，即可得到绕以家为圆心的圆弧进行运动；
②线段OA表示的是妈妈从家往公园走；
③线段BC表示的是妈妈从公园往家走，
综上， 可以大致描述妈妈行走的路线的是B，
故答案为：B.
【分析】先根据函数图象中每段线段表示的意义，再逐项分析判断即可.
3．【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由题意可得：点A到x轴，y轴的距离和为1，即，去绝对值后可得：
，
将“和一点”的函数表示在直角坐标系中如图：
∵一次函数的图象l经过点，且图象l上存在“和一点”，
∴一次函数至少与“和一点”构成的图象有1个交点，
当k最小时，一次函数与图象最右侧点相连，如图；
此时一次函数经过两点，
则有，解得：，即k的最小值为．
当k最大时，一次函数与图象最下面的点相连，如图∶
此时一次函数经过两点，
则有，解得：，即k的最大值为．
∴k的取值范围为．
故选A．
【分析】据“和一点”的定义可以得出，进而可以得出由所有“和一点”所构成的函数及其图象，又通过过点的图象l上存在“和一点得到一次函数与“和一点”构成的函数存在交点，然后运用待定系数法求得k的最小值和最大值，即可确定k的取值范围
4．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；坐标与图形变化﹣平移；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，作AM⊥x轴于点M.
∵正三角形OAB的顶点B的坐标为(2，0)，
∴OA=OB=2，∠AOB=60°，
∴，
∴，
∴直线OA的解析式为，
∴当x=3时，，
∴，
∴将点A向右平移2个单位，再向上平移个单位后可得A'，
∴将点B(2，0)向右平移2个单位，再向上平移个单位后可得B'，
∴点B'的坐标为，
故答案为：A.
【分析】作AM⊥x轴于点M，根据等边三角形的性质得出OA=OB=2，∠AOB=60°，在直角△OAM中利用含30°角的直角三角形的性质求出，，则，直线OA的解析式为，将x=3代入，求出，那么，由一对对应点A与A'的坐标求出平移规律，再根据此平移规律即可求出点B'的坐标.
5．【答案】D
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：A、由图象，y＝kx+b与y轴交于点（0，-1），∴b＝-1；y＝mx+n与y轴交于点（0，2），∴n＝2；故A选项正确，不符合题意；
B、这两个函数的图象与y轴围成的三角形的面积为，故B选项正确，不符合题意；
C、由图象，两个函数图象的交点为（3，4），故关于x，y的方程组的解为.故C选项正确，不符合题意；
D、当x从0开始增加到3时，函数y=kx+b的图象始终在y=mx+n的图象下方，说明总有kx+b故答案为：D.
【分析】A、由图象与y轴交点可得b，n的值；B、求坐标系中三角形的面积要找准水平方向的宽和竖直方向的高；C、两个一次函数的图象交点的横、纵坐标即由两个函数表达式建立的方程组的解；D、根据图象位置的高低可以判断函数值的大小.
6．【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】∵建议（Ⅰ）是不改变支出费用，提高车票价格；也就是也就是图形增大倾斜度，提高价格，∴③反映了建议（Ⅰ），
∵建议（Ⅱ）是不改变车票价格，减少支出费用，也就是y增大，车票价格不变，即平行于原图象，
∴①反映了建议（Ⅱ）．
故选C．
【分析】首先要理解收支差额y与载客量x的函数关系：y=车票收入-支出费用，其中车票收入与单价和载客量有关(车票收入=单价×载客量)；建议(Ⅰ)提高车票价格，在函数图象上体现为斜率增大(因为单价提高)，而支出费用不变体现为截距不变；建议(Ⅱ)减少支出费用，在函数图象上体现为截距变小，而车票价格不变体现为斜率不变.
7．【答案】D
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：A、由表格知：行驶路程为时，油箱余油量为，故A正确，不符合题意；
B、由表格信息可得该车每行驶耗油；故B正确，不符合题意；
C、当 时，，故C正确，不符合题意．
D、由表格知：该车每行驶耗油，则，故D错误，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据表格中信息得到行驶耗油，然后逐项判断解题．
8．【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：①(300 20×3)÷4=60(km/h)，
300÷60=5(小时)，
设甲最终追上乙时乙行驶了a小时，由题意得：60(a+1) 300=20a，
解得：a=6，故①错误；
②300 60×1=240(km)，所以P的纵坐标为240，②正确；
③20+60=80(km)，所以M坐标为(5，80)，又因为Q的坐标为(4，0)，
设线段QM所在直线的解析式y=kx+b，
解得：，
所以y=80x 320③错误；
④x=时，300 60× 20×( 1)=60(km)；
x=时，(20+60)×( 4)=60(km)；
x=时，20×( 1) (60× 300)=60(km)，④正确；
综上所述：②④正确.
故答案为D．
【分析】由题意可得两人起始距离为300km，求出甲的速度，再求出甲到B地的时间，再根据题意建立代数式可判断①；当甲行驶1小时，两人的距离等于300km减去甲1小时走的路程，可判断②；由题意可得M坐标为(5，80)，Q的坐标为(4，0)，设线段QM所在直线的解析式y=kx+b，根据待定系数法将点M，Q坐标代入解析式可判断③；计算当x=，，时，甲、乙两人之间距离，可判断④.
9．【答案】v=10+5t（0≤t≤16）
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：由题意，得
v=10+5t，
∵水池的容积是90m3，
∴10+5t≤90，
∴t≤16，
又∵t≥0，
∴0≤t≤16，
∴v=10+5t（0≤t≤16）．
故答案为v=10+5t（0≤t≤16）．
【分析】根据总容量=蓄水量+单位时间内的注水量×注入时间就可以表示出v与x之间的关系式，再根据水池的容积是90m3求出自变量t的取值范围．
10．【答案】y=1.8x+1
【知识点】函数解析式
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：y=1.8x+1.
【分析】由图形可得：x节链条重叠部分的长度为(x-1)，利用2.8x减去重叠部分的长度即可得到y与x的关系式.
11．【答案】
【知识点】勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：，
当时，；
当时，，
∴，
∴，，
∴，
∵ 以点A为圆心，线段AB的长为半径画弧，交轴的正半轴于点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据“ 直线与轴交于点A，与轴交于点”求出A，B的坐标，再根据勾股定理求出的值，从而得到的值，再计算出的长度，再求得C点的坐标．
12．【答案】或
【知识点】全等三角形中对应边的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点在直线：上，
，
，
直线的解析式为：，
当时，，当时，，解得，
点坐标为，点的坐标为，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：，，
以点为顶点的三角形与全等，
当时，如图所示，
此时，且，
，即，
点的横坐标为3，纵坐标为4，
点的坐标为：；
当时，如图所示，
此时，，
，
点的横坐标为4，纵坐标为3，
点的坐标为：，
综上所述：点的坐标为或．
故答案为：或.
【分析】把点的坐标代入关系式，可求得的解析式为，然后计算的长，再分为或两种情况进行分类讨论解题即可．
13．【答案】②③④
【知识点】一次函数图象与几何变换；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：令直线y=x-4=0，
解得：x=4，
∴点M的坐标为（4，0），
由函数图象可知，当t=3时，直线MN经过点A，
∴AM=3，
∴点A的坐标为（1，0），故①错误；
由函数图象可知，当t=7时，直线MN经过点D，
∴DM=7，
∴点d的坐标为（－3，0），
∴AD=4，
∴矩形ABCD的面积＝AB×AD=2×4=8，故②正确；
当直线MN经过点B时，直线MN交DA于点E，
∵点A的坐标为（1，0），AB=2，
∴点B的坐标为（1，2），此时直线MN的解析式为y=x+c，
将点B（1，2）代入得1+c=2，
∴c=1，此时直线MN的解析式为y=x+1，
当y=x＋1=0时，解得x=- 1
∴点E的坐标为（－1，0）
∴AE=2，
∴，
∴，故③正确；
当直线MN经过点C时，直线MN交x轴于点F，
∵点D的坐标为（-3，0），CD=AB=2，
∴点C的坐标为（-3，2），
此时MN的解析式为y=x+d，
将C（-3，2）代入得：-3+d=2，
解得d=5，
此时直线MN的解析式为y=x+5，
当y=x+5=0时，解得x=- 5，
∴点F的坐标为（-5，0），
∴AF=4-（-5）=9，
∴b=9，故④正确.
故答案为：②③④.
【分析】根据一次函数的图象和性质，从函数图象获取信息的能力，勾股定理，坐标与图象性质，对题目中的选项分别进行判断即可.
①.由函数图象可知，当t=3时，直线MN经过点A求出，AM=3可得A（1，0），故选项①错误；
②.由函数图象可知，当t=7时，直线MN经过点D，求出点D的坐标，可得AD=4，即可计算出矩形ABCD的面积为8，故选项②正确；
③.求出直线MN经过点B时的函数解析式，可得此时与x轴的交点坐标为E（-1，0），利用勾股定理求出BE即可得到A的值，故选项③正确；
④.求出直线MN经过点C时的函数解析式，可得此时与x轴的交点坐标为F（-5，0），然后计算出AF=9可得b=9，故选项④正确.
14．【答案】（1）10；15；200
（2）解：线段所在直线的函数表达式为；
线段所在的直线的函数表达式为.
令，得.
解得.
此时.
所以（米）.
答：小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离是750米.
（3）解：根据题意，得.
解得，.
（分），（分）.
答：爸爸自第二次出发至到达图书馆前，2.5分钟和5分钟时与小军相距100米.
（4）解：
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：a=1500÷150=10
b=10+5=15
m=(3000-1500)÷(22.5-15)=200
故答案为：10，15，200
（4）当线段过点时，小军的速度为（米/分）；
当线段过点时，小军的速度为（米/分）.
结合图形可知，当时，小军在途中与爸爸恰好相遇两次（不包括家、图书馆两地）.
【分析】（1）根据时间=路程÷速度可得a值，休息5分钟可得b值，再根据速度=路程÷时间可得m值.
（2）求出BC，OD解析式，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（4）根据函数图象即可求出答案.
15．【答案】（1）
（2）
（3）解：画出函数的图象见解析；：
当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．
（4）解：画出函数的图象，见解析；
观察图象，时，x的取值范围或．
【知识点】描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）∵x-1为分式分母，
∴x-1≠0，即x≠1。
故答案为：x≠1；
（2）把x=-1带入函数得y=
故答案为：；
（3）、（4）函数图象如图所示
【分析】（1）为分式方程，由此可知分母不能为0，即可求出x的取值范围；
（2）把x=-1带入即可求出m的值；
（3）根据（2）中表格，即可画出函数图象；
（4）先画出函数的图象，观察图像，确定函数的图像在函数的图象的上方部分，即可求出x的取值范围。
16．【答案】（1）解：根据题意，得 2500，
∴y关于x的函数关系式为
（2）解：根据题意，得 解得
∴y随x的增大而增大，
且x为非负整数，
∴当 时， y值最大，
(件)
答：购进A款衣服66件、B款衣服34件才能获得最大利润，最大利润为2830元
（3）解：商场实施奖励计划后，商场总利润
根据题意，得，解得，
答： m的值为10， n的值为5
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)根据“总利润=每件A款衣服的利润×购进A款衣服件数+每件B款衣服的利润×购进B款衣服件数”写出y关于x的函数关系式即可；
(2)根据题意列关于x的一元一次不等式并求其解集，再由一次函数的增减性，确定当x为何值时y值最大，求出其最大值及此时100--x的值即可；
(3)根据“商场实施奖励计划后，商场总利润=(A款衣服的售价-A款衣服的进价 购进A款衣服件数+(B款衣服的售价-B款衣服的进价 购进B款衣服件数”写出y关于x的函数关系式，整理成为y关于x的一次函数的一般形式，令x的系数为0、常数项为2000列关于m和n的二元一次方程组并求解即可.
17．【答案】（1）解：∵直线过点、，将这两个点的坐标代入一次函数中，
得到，解得：
∴函数的表达式为：。
（2）解：由（1）知所在的直线函数表达式为：，且点A在直线上∴
∴
∴A点坐标为
∴，
∴
过C作，交于F
∵轴，
∴
∴
∴
∴点E的横坐标为
∵点C坐标为
∴设所在直线的表达式为
将代入得，
解得
∴所在直线的表达式为
∵E在上，
∴E的纵坐标为
∵在上，
∴的纵坐标为
∴
当时，E的坐标为
∴此时点E在上
∴当时（如图1），点E在下方
此时
当时，
解得或（舍）
当与B点重合时，
由图2知，
时，S恒大于，故此时无m符合题意；
当与B重合时，，
如图3，
当时，解得或
∵，
故舍掉，
∴
综上所述，或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】本题考查了一次函数以图像组合面积，涉及了相似三角形等知识，（1）利用待定系数法列出二元一次方程组，求解即可求函数表达式；
（2）根据已知条件，使用相似三角形的性质分别求出和E的纵坐标，作差表示出，然后列出S关于m的表达式，当时，直接将S代入表达式即可得出答案，当时，此时的面积均大于故不符合条件，当时，根据相似三角形求出重叠面积的表达式，令即可得到答案．
（1）解：设直线的函数表达式为
∵直线过点、，
∴
解得：
∴函数的表达式为：；
（2）由（1）知所在的直线函数表达式为：，且点A在直线上
∴
∴
∴A点坐标为
∴，
∴
过C作，交于F
∵轴，
∴
∴
∴
∴点E的横坐标为
∵点C坐标为
∴设所在直线的表达式为
将代入得，
解得
∴所在直线的表达式为
∵E在上，
∴E的纵坐标为
∵在上，
∴的纵坐标为
∴
当时，E的坐标为
∴此时点E在上
∴当时（如图1），点E在下方
此时
当时，
解得或（舍）
当与B点重合时，
由图2知，
时，S恒大于，故此时无m符合题意；
当与B重合时，，
如图3，
当时，解得或
∵，
故舍掉，
∴
综上所述，或．
18．【答案】（1）解：∵直线与y轴交于点A，
∴当时，，则，
设直线的表达式为，
将、代入，得，
解得：，
∴直线的表达式为.
（2）解：∵点D为的中点，，
∴，
∵，
∴直线的表达式为，
联立方程组，
解得：，
∴点E坐标为.
（3）解：线段的长度不变，且．
理由：如图1，∵直线与x轴交于点B，
∴当时，由得，则，
∴，则，
又，，
∴，
∴，即，
在图2中，过Q作轴于H，
则，
又，，
∴，
∴，，
∴；
在和中，
，
∴
∴
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）先求出点A的坐标，再利用待定系数法求解直线的表达式即可；
（2）先求得点D坐标，再利用待定系数法求出直线的表达式，再联立方程组求解即可；
（3）先证出，则，再利用“SAS”证明，利用全等三角形的性质得到，过Q作轴于H，先利用“AAS”证明，利用全等三角形的性质得到，，再利用“AAS”证明，利用全等三角形的性质得到，再求解即可．
（1）解：∵直线与y轴交于点A，
∴当时，，则，
设直线的表达式为，
将、代入，得，解得，
∴直线的表达式为；
（2）解：∵点D为的中点，，
∴，
∵，
∴直线的表达式为，
联立方程组，解得，
∴点E坐标为；
（3）解：线段的长度不变，且．
理由：如图1，∵直线与x轴交于点B，
∴当时，由得，则，
∴，则，
又，，
∴，
∴，即，
在图2中，过Q作轴于H，
则，又，，
∴，
∴，，
∴；
在和中，
，
∴
∴
∴．
19．【答案】（1），
（2）解：由上可得温水的体积是，开水的体积为，
当所接的温水的体积不少于开水体积的倍时，
可得
解得
∴则至少应接温水秒
（3）由题意可得，当水杯中温度是时，温水的体积是，开水的体积为，开水降低的温度为，温水升高的温度为，
∴
解得：
（4），
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）∵温水水流速度是，
∴当从饮水机接温水秒时，温水的体积是，
∴再接开水，接满的水杯时，开水的体积为，
故答案为：，．
（4）由题意可得，当水杯中温度是时，温水的体积是，开水的体积为，开水降低的温度为，温水升高的温度为，
∴
解得：
若要使杯中温度达到最佳水温时，
则有
代入，可得，
故答案为：，.
【分析】（1）先根据等量关系“速度乘时间等于体积”列式即可求解；
（2）根据（1）求出的温水的体积，开水体积，列不等式：，解不等式即可；
（3）根据等量关系“开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度”列出等式： ，代入数值计算即可求出的值；
（4）根据等量关系“开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度”列出等式： ，代入数值即可列出关于的函数关系式： ，再根据不等式，代入求解即可．
（1）解：∵温水水流速度是，
∴当从饮水机接温水秒时，温水的体积是，
∴再接开水，接满的水杯时，开水的体积为，
故答案为，．
（2）解：由上可得温水的体积是，开水的体积为，
当所接的温水的体积不少于开水体积的倍时，
可得
解得
∴则至少应接温水秒．
（3）解：由题意可得，当水杯中温度是时，温水的体积是，开水的体积为，开水降低的温度为，温水升高的温度为，
∴
解得：
（4）解：由题意可得，当水杯中温度是时，温水的体积是，开水的体积为，开水降低的温度为，温水升高的温度为，
∴
解得：
若要使杯中温度达到最佳水温时，
则有
代入，可得，
故答案为，
20．【答案】解：⑴ 点A的实际意义是：客运公司的运营成本为1万元，
点B的实际意义是：当乘客数量为1.5万人时，客运公司的收支差额为0元；
设y与x的函数关系式为，把代入得
，
解得，
∴y与x的函数关系式为；
⑵图③，图②；
⑶方案1，理由如下：
方案1：票价不变，将运营成本降低到0.7万元，此时y与x的函数关系式为，
令得，
客运公司平均每天的收支差额为0.1万元；
方案2：运营成本不变，提高票价使每万人收支差额提高到0.9万元，此时，
令得，
客运公司平均每天的收支差额为0.08万元；
方案3：将运营成本降低到0.85万元，同时提高票价，使每万人收支差额提高到0.75万元，此时，
令得，
客运公司每天平均的收支差额为0.05万元；
，
方案1.更有利于汽车客运公司扭转亏损.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】(1)根据图象可得A，B的实际意义；利用待定系数法设y与x的函数关系式为把代入计算即可解答；
(2)根据乘客代表意见和客运公司行政代表意见，结合图象即可解答；
(3)结合收支差额y（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量x（万人）的关系分别求出3中方案的利润，再比较即可解答.
1 / 1第四章《一次函数》培优卷—北师大版数学八（上）单元分层测
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．某校开展了主题为“生活中的一次函数”的项目学习，同学们找到了许多生活中的函数.下面实例中，变量之间的关系不是一次函数的是(　　)
A．家庭用水的单价为4.1元/m3，每月的水费y(元)与用水量x(m3)之间的关系
B．百米赛跑中，时间t(s)与速度v(m/s)之间的关系
C．相同规格的 A4纸整齐放置，A4 纸的总厚度y与A4 纸的张数x之间的关系
D．普通钟表指针转动的角度 n与所用时间t的关系
【答案】B
【知识点】一次函数的概念；列一次函数关系式
【解析】【解答】解：每月的水费 y(元)与用水量x(m3)之间的关系式为 y=4. 1x，是一次函数，
故选A 不符合题意；百米赛跑中，时间t(s)与速度 v(m/s) 之间的关系式为 t= ，不是一次函数，
故选B符合题意；设每张A4纸的厚度为a，则 A4纸的总厚度y与A4纸的张数x之间的关系式为y=ax，是一次函数，
故选C不符合题意；普通钟表指针转动的角度n与所用时间t之间的关系是一次函数，
故选D 不符合题意.
故答案为： B.
【分析】根据题意列出关系式，再根据一次函数的定义判断解答即可.
2．（2023八上·霍邱期中）妈妈从家里出发去公园锻炼，她连续匀速走了后回到家，如图，图中的折线段是她出发后所在位置离家的距离与行走时间之间的关系，则下列图形中可以大致描述妈妈行走的路线的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】根据函数图象可知，
①线段AB表示的是妈妈离家的距离相等，即可得到绕以家为圆心的圆弧进行运动；
②线段OA表示的是妈妈从家往公园走；
③线段BC表示的是妈妈从公园往家走，
综上， 可以大致描述妈妈行走的路线的是B，
故答案为：B.
【分析】先根据函数图象中每段线段表示的意义，再逐项分析判断即可.
3．（2024八上·合肥期中）定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为1，则称点A为“和一点”．例如：点到x轴、y轴距离和为1，则点B是“和一点”，点也是“和一点”．一次函数的图象l经过点，且图象l上存在“和一点”，则k的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由题意可得：点A到x轴，y轴的距离和为1，即，去绝对值后可得：
，
将“和一点”的函数表示在直角坐标系中如图：
∵一次函数的图象l经过点，且图象l上存在“和一点”，
∴一次函数至少与“和一点”构成的图象有1个交点，
当k最小时，一次函数与图象最右侧点相连，如图；
此时一次函数经过两点，
则有，解得：，即k的最小值为．
当k最大时，一次函数与图象最下面的点相连，如图∶
此时一次函数经过两点，
则有，解得：，即k的最大值为．
∴k的取值范围为．
故选A．
【分析】据“和一点”的定义可以得出，进而可以得出由所有“和一点”所构成的函数及其图象，又通过过点的图象l上存在“和一点得到一次函数与“和一点”构成的函数存在交点，然后运用待定系数法求得k的最小值和最大值，即可确定k的取值范围
4．如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB 的顶点 B 的坐标为(2，0)，点 A 在第一象限内，将△OAB 沿直线OA 的方向平移至△O'A'B'的位置，此时点 A'的横坐标为3，则点 B'的坐标为(　　).
A． B．(3，) C． D．(3，)
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；坐标与图形变化﹣平移；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，作AM⊥x轴于点M.
∵正三角形OAB的顶点B的坐标为(2，0)，
∴OA=OB=2，∠AOB=60°，
∴，
∴，
∴直线OA的解析式为，
∴当x=3时，，
∴，
∴将点A向右平移2个单位，再向上平移个单位后可得A'，
∴将点B(2，0)向右平移2个单位，再向上平移个单位后可得B'，
∴点B'的坐标为，
故答案为：A.
【分析】作AM⊥x轴于点M，根据等边三角形的性质得出OA=OB=2，∠AOB=60°，在直角△OAM中利用含30°角的直角三角形的性质求出，，则，直线OA的解析式为，将x=3代入，求出，那么，由一对对应点A与A'的坐标求出平移规律，再根据此平移规律即可求出点B'的坐标.
5．（2024八上·深圳期末） 一次函数与的图象如图所示，则下列说法不正确的是（　　）
A．
B．这两个函数的图象与轴围成的三角形的面积为4. 5
C．关于的方程组的解为
D．当从0开始增加时，函数比的值先达到3
【答案】D
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：A、由图象，y＝kx+b与y轴交于点（0，-1），∴b＝-1；y＝mx+n与y轴交于点（0，2），∴n＝2；故A选项正确，不符合题意；
B、这两个函数的图象与y轴围成的三角形的面积为，故B选项正确，不符合题意；
C、由图象，两个函数图象的交点为（3，4），故关于x，y的方程组的解为.故C选项正确，不符合题意；
D、当x从0开始增加到3时，函数y=kx+b的图象始终在y=mx+n的图象下方，说明总有kx+b故答案为：D.
【分析】A、由图象与y轴交点可得b，n的值；B、求坐标系中三角形的面积要找准水平方向的宽和竖直方向的高；C、两个一次函数的图象交点的横、纵坐标即由两个函数表达式建立的方程组的解；D、根据图象位置的高低可以判断函数值的大小.
6．（2024八上·福田期末）某条公共汽车线路收支差额与乘客量的函数关系如图所示（收支差额车票收入支出费 用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)不改变支出费用，提高车票价格；建议(Ⅱ)不改变车票价格，减少支出费用.下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则下列说法正确的是：
A．①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ）
B．②反映了建议（Ⅰ)，④反映了建议（Ⅱ）
C．①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ）
D．②反映了建议（Ⅱ），④反映了建议（Ⅰ）
【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】∵建议（Ⅰ）是不改变支出费用，提高车票价格；也就是也就是图形增大倾斜度，提高价格，∴③反映了建议（Ⅰ），
∵建议（Ⅱ）是不改变车票价格，减少支出费用，也就是y增大，车票价格不变，即平行于原图象，
∴①反映了建议（Ⅱ）．
故选C．
【分析】首先要理解收支差额y与载客量x的函数关系：y=车票收入-支出费用，其中车票收入与单价和载客量有关(车票收入=单价×载客量)；建议(Ⅰ)提高车票价格，在函数图象上体现为斜率增大(因为单价提高)，而支出费用不变体现为截距不变；建议(Ⅱ)减少支出费用，在函数图象上体现为截距变小，而车票价格不变体现为斜率不变.
7．（2024八上·贵阳期末）国庆节小明一家自驾车从贵阳到离家的昆明旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据：
轿车行驶的路程 0 100 200 300 400 …
油箱剩余油量 50 42 34 26 18 …
下列说法不正确的是（　　）
A．该车的油箱容量为
B．该车每行驶耗油
C．当小明一家到达昆明时，油箱中剩余油
D．油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为
【答案】D
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：A、由表格知：行驶路程为时，油箱余油量为，故A正确，不符合题意；
B、由表格信息可得该车每行驶耗油；故B正确，不符合题意；
C、当 时，，故C正确，不符合题意．
D、由表格知：该车每行驶耗油，则，故D错误，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据表格中信息得到行驶耗油，然后逐项判断解题．
8．（2024八上·深圳期末）已知两地相距300千米，甲骑摩托车从地出发匀速驶向地，当甲行驶1后，乙骑自行车以 的速度从地出发匀速驶向地.甲到达地后马上以原速按原路返回，直至甲追上乙.在此过程中，甲、乙两人之间的距离（）与甲行驶时间之间的函数关系如图所示.下列说法：①甲最终追上乙时，乙骑行了7小时；②点的纵坐标为240；③线段所在直线的解析式为；④当时，甲、乙两人之间相距60千米.其中说法正确的序号是（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：①(300 20×3)÷4=60(km/h)，
300÷60=5(小时)，
设甲最终追上乙时乙行驶了a小时，由题意得：60(a+1) 300=20a，
解得：a=6，故①错误；
②300 60×1=240(km)，所以P的纵坐标为240，②正确；
③20+60=80(km)，所以M坐标为(5，80)，又因为Q的坐标为(4，0)，
设线段QM所在直线的解析式y=kx+b，
解得：，
所以y=80x 320③错误；
④x=时，300 60× 20×( 1)=60(km)；
x=时，(20+60)×( 4)=60(km)；
x=时，20×( 1) (60× 300)=60(km)，④正确；
综上所述：②④正确.
故答案为D．
【分析】由题意可得两人起始距离为300km，求出甲的速度，再求出甲到B地的时间，再根据题意建立代数式可判断①；当甲行驶1小时，两人的距离等于300km减去甲1小时走的路程，可判断②；由题意可得M坐标为(5，80)，Q的坐标为(4，0)，设线段QM所在直线的解析式y=kx+b，根据待定系数法将点M，Q坐标代入解析式可判断③；计算当x=，，时，甲、乙两人之间距离，可判断④.
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（初中数学北师大版八年级上册第四章 一次函数练习题 (3)）一水池的容积是90m3，现蓄水10m3，用水管以5m3/h的速度向水池注水，直到注满为止写出蓄水量V（m3）与注水时间t（h）之间的关系式（指出自变量t的取值范围）　 　．
【答案】v=10+5t（0≤t≤16）
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：由题意，得
v=10+5t，
∵水池的容积是90m3，
∴10+5t≤90，
∴t≤16，
又∵t≥0，
∴0≤t≤16，
∴v=10+5t（0≤t≤16）．
故答案为v=10+5t（0≤t≤16）．
【分析】根据总容量=蓄水量+单位时间内的注水量×注入时间就可以表示出v与x之间的关系式，再根据水池的容积是90m3求出自变量t的取值范围．
10．（2023八上·武义期末）如图，某链条每节长为，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为，按这种连接方式，x节链条总长度为，则y关于x的函数关系式是　 　.
【答案】y=1.8x+1
【知识点】函数解析式
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：y=1.8x+1.
【分析】由图形可得：x节链条重叠部分的长度为(x-1)，利用2.8x减去重叠部分的长度即可得到y与x的关系式.
11．（2024八上·成都期中）如图，直线与轴交于点A，与轴交于点，以点A为圆心，线段AB的长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：，
当时，；
当时，，
∴，
∴，，
∴，
∵ 以点A为圆心，线段AB的长为半径画弧，交轴的正半轴于点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据“ 直线与轴交于点A，与轴交于点”求出A，B的坐标，再根据勾股定理求出的值，从而得到的值，再计算出的长度，再求得C点的坐标．
12．（2024八上·义乌期末）如图，直线的解析式为分别与，轴交于两点，点的坐标为，过点的直线交轴负半轴于点，且，在轴上方存在点，使以点为顶点的三角形与全等，则点的坐标为　 　．
【答案】或
【知识点】全等三角形中对应边的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点在直线：上，
，
，
直线的解析式为：，
当时，，当时，，解得，
点坐标为，点的坐标为，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：，，
以点为顶点的三角形与全等，
当时，如图所示，
此时，且，
，即，
点的横坐标为3，纵坐标为4，
点的坐标为：；
当时，如图所示，
此时，，
，
点的横坐标为4，纵坐标为3，
点的坐标为：，
综上所述：点的坐标为或．
故答案为：或.
【分析】把点的坐标代入关系式，可求得的解析式为，然后计算的长，再分为或两种情况进行分类讨论解题即可．
13．（2023八上·姑苏月考）如图，将矩形置于平面直角坐标系中，其中边在轴上，，直线沿轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被矩形的边截得的线段长度为，平移时间为与的函数图象如图2所示．有下列说法：①点的坐标为；②矩形的面积为8；③；④，其中正确的有　 　．
【答案】②③④
【知识点】一次函数图象与几何变换；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：令直线y=x-4=0，
解得：x=4，
∴点M的坐标为（4，0），
由函数图象可知，当t=3时，直线MN经过点A，
∴AM=3，
∴点A的坐标为（1，0），故①错误；
由函数图象可知，当t=7时，直线MN经过点D，
∴DM=7，
∴点d的坐标为（－3，0），
∴AD=4，
∴矩形ABCD的面积＝AB×AD=2×4=8，故②正确；
当直线MN经过点B时，直线MN交DA于点E，
∵点A的坐标为（1，0），AB=2，
∴点B的坐标为（1，2），此时直线MN的解析式为y=x+c，
将点B（1，2）代入得1+c=2，
∴c=1，此时直线MN的解析式为y=x+1，
当y=x＋1=0时，解得x=- 1
∴点E的坐标为（－1，0）
∴AE=2，
∴，
∴，故③正确；
当直线MN经过点C时，直线MN交x轴于点F，
∵点D的坐标为（-3，0），CD=AB=2，
∴点C的坐标为（-3，2），
此时MN的解析式为y=x+d，
将C（-3，2）代入得：-3+d=2，
解得d=5，
此时直线MN的解析式为y=x+5，
当y=x+5=0时，解得x=- 5，
∴点F的坐标为（-5，0），
∴AF=4-（-5）=9，
∴b=9，故④正确.
故答案为：②③④.
【分析】根据一次函数的图象和性质，从函数图象获取信息的能力，勾股定理，坐标与图象性质，对题目中的选项分别进行判断即可.
①.由函数图象可知，当t=3时，直线MN经过点A求出，AM=3可得A（1，0），故选项①错误；
②.由函数图象可知，当t=7时，直线MN经过点D，求出点D的坐标，可得AD=4，即可计算出矩形ABCD的面积为8，故选项②正确；
③.求出直线MN经过点B时的函数解析式，可得此时与x轴的交点坐标为E（-1，0），利用勾股定理求出BE即可得到A的值，故选项③正确；
④.求出直线MN经过点C时的函数解析式，可得此时与x轴的交点坐标为F（-5，0），然后计算出AF=9可得b=9，故选项④正确.
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．（2024八上·龙岗期中）“低碳环保，绿色出行”的理念得到广大群众的接受，越来越多的人喜欢选择自行车为出行工具．小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以米/分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程（米）与时间（分）的关系如图所示，请结合图象，解答下列问题：
（1）　 　，　 　，　 　；
（2）若小军的速度是120米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离；
（3）在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，何时与小军相距100米？
（4）若小军的行驶速度是米/分，且在途中与爸爸恰好相遇两次（不包括家，图书馆两地），请直接写出的取值范围．
【答案】（1）10；15；200
（2）解：线段所在直线的函数表达式为；
线段所在的直线的函数表达式为.
令，得.
解得.
此时.
所以（米）.
答：小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离是750米.
（3）解：根据题意，得.
解得，.
（分），（分）.
答：爸爸自第二次出发至到达图书馆前，2.5分钟和5分钟时与小军相距100米.
（4）解：
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：a=1500÷150=10
b=10+5=15
m=(3000-1500)÷(22.5-15)=200
故答案为：10，15，200
（4）当线段过点时，小军的速度为（米/分）；
当线段过点时，小军的速度为（米/分）.
结合图形可知，当时，小军在途中与爸爸恰好相遇两次（不包括家、图书馆两地）.
【分析】（1）根据时间=路程÷速度可得a值，休息5分钟可得b值，再根据速度=路程÷时间可得m值.
（2）求出BC，OD解析式，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（4）根据函数图象即可求出答案.
15．（2024九上·福田月考）数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究；下面是他们的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：
（1）函数的自变量x的取值范围是　 　；
（2）下表是y与x的几组对应值，则表中m的值为　 　；
x … 0 2 4 5 …
y … m 0 1 3 4 4 3 2 …
（3）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点画出函数的图象，并写出这个函数的一条性质： ▲ ；
（4）画出函数的图象，结合函数图象，直接写出时，x的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）解：画出函数的图象见解析；：
当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．
（4）解：画出函数的图象，见解析；
观察图象，时，x的取值范围或．
【知识点】描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）∵x-1为分式分母，
∴x-1≠0，即x≠1。
故答案为：x≠1；
（2）把x=-1带入函数得y=
故答案为：；
（3）、（4）函数图象如图所示
【分析】（1）为分式方程，由此可知分母不能为0，即可求出x的取值范围；
（2）把x=-1带入即可求出m的值；
（3）根据（2）中表格，即可画出函数图象；
（4）先画出函数的图象，观察图像，确定函数的图像在函数的图象的上方部分，即可求出x的取值范围。
16．（2025八上·镇海区期末）某商场计划从厂家购进 两款衣服共 100 件，这两款衣服的进价和售价如下表．设购进 款衣服 件，商场总利润为 元．
品名
进价（元／件） 90 75
售价（元／件） 120 100
（1）求 关于 的函数关系式；
（2）厂家规定 的进货数量不得超过 进货数量的两倍，问应如何设计进货方案才能获得最大利润并求出最大利润；
（3）为进一步激励销人员，商场准备实施奖励计划，每卖出一件 衣服奖励 元，每卖一件 衣服奖励 元，结果发现：若 100 件衣服均按原定售价卖完，无论购进 商品多少件，商场利润恒为 2000 元，求 ， 的值．
【答案】（1）解：根据题意，得 2500，
∴y关于x的函数关系式为
（2）解：根据题意，得 解得
∴y随x的增大而增大，
且x为非负整数，
∴当 时， y值最大，
(件)
答：购进A款衣服66件、B款衣服34件才能获得最大利润，最大利润为2830元
（3）解：商场实施奖励计划后，商场总利润
根据题意，得，解得，
答： m的值为10， n的值为5
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)根据“总利润=每件A款衣服的利润×购进A款衣服件数+每件B款衣服的利润×购进B款衣服件数”写出y关于x的函数关系式即可；
(2)根据题意列关于x的一元一次不等式并求其解集，再由一次函数的增减性，确定当x为何值时y值最大，求出其最大值及此时100--x的值即可；
(3)根据“商场实施奖励计划后，商场总利润=(A款衣服的售价-A款衣服的进价 购进A款衣服件数+(B款衣服的售价-B款衣服的进价 购进B款衣服件数”写出y关于x的函数关系式，整理成为y关于x的一次函数的一般形式，令x的系数为0、常数项为2000列关于m和n的二元一次方程组并求解即可.
17．（2024八下·民勤期末）如图，在平面直角坐标系中；一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点，与直线OC交于点．
（1）求直线的函数表达式；
（2）过点C作轴于点D，将沿射线平移得到的三角形记为，点A，C，D的对应点分别为，，，若与重叠部分的面积为S，平移的距离，当点与点B重合时停止运动，当时，求m的值．
【答案】（1）解：∵直线过点、，将这两个点的坐标代入一次函数中，
得到，解得：
∴函数的表达式为：。
（2）解：由（1）知所在的直线函数表达式为：，且点A在直线上∴
∴
∴A点坐标为
∴，
∴
过C作，交于F
∵轴，
∴
∴
∴
∴点E的横坐标为
∵点C坐标为
∴设所在直线的表达式为
将代入得，
解得
∴所在直线的表达式为
∵E在上，
∴E的纵坐标为
∵在上，
∴的纵坐标为
∴
当时，E的坐标为
∴此时点E在上
∴当时（如图1），点E在下方
此时
当时，
解得或（舍）
当与B点重合时，
由图2知，
时，S恒大于，故此时无m符合题意；
当与B重合时，，
如图3，
当时，解得或
∵，
故舍掉，
∴
综上所述，或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】本题考查了一次函数以图像组合面积，涉及了相似三角形等知识，（1）利用待定系数法列出二元一次方程组，求解即可求函数表达式；
（2）根据已知条件，使用相似三角形的性质分别求出和E的纵坐标，作差表示出，然后列出S关于m的表达式，当时，直接将S代入表达式即可得出答案，当时，此时的面积均大于故不符合条件，当时，根据相似三角形求出重叠面积的表达式，令即可得到答案．
（1）解：设直线的函数表达式为
∵直线过点、，
∴
解得：
∴函数的表达式为：；
（2）由（1）知所在的直线函数表达式为：，且点A在直线上
∴
∴
∴A点坐标为
∴，
∴
过C作，交于F
∵轴，
∴
∴
∴
∴点E的横坐标为
∵点C坐标为
∴设所在直线的表达式为
将代入得，
解得
∴所在直线的表达式为
∵E在上，
∴E的纵坐标为
∵在上，
∴的纵坐标为
∴
当时，E的坐标为
∴此时点E在上
∴当时（如图1），点E在下方
此时
当时，
解得或（舍）
当与B点重合时，
由图2知，
时，S恒大于，故此时无m符合题意；
当与B重合时，，
如图3，
当时，解得或
∵，
故舍掉，
∴
综上所述，或．
18．（2024八下·霞山期末）综合应用
如图1，直线与x轴交于点B，直线与x轴交于点，、交于y轴上一点A．
（1）特征探究；求直线的表达式；
（2）坐标探究：过的中点D，作交于点E，求E点坐标；
（3）规律探究：将将向左平移m个单位长度得到图2，与y轴交于点P（点P不与A点和C点重合），在的延长线上取一点Q，使，连接交x轴于M点．请探究向左平移的过程中，线段的长度的变化情况
【答案】（1）解：∵直线与y轴交于点A，
∴当时，，则，
设直线的表达式为，
将、代入，得，
解得：，
∴直线的表达式为.
（2）解：∵点D为的中点，，
∴，
∵，
∴直线的表达式为，
联立方程组，
解得：，
∴点E坐标为.
（3）解：线段的长度不变，且．
理由：如图1，∵直线与x轴交于点B，
∴当时，由得，则，
∴，则，
又，，
∴，
∴，即，
在图2中，过Q作轴于H，
则，
又，，
∴，
∴，，
∴；
在和中，
，
∴
∴
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）先求出点A的坐标，再利用待定系数法求解直线的表达式即可；
（2）先求得点D坐标，再利用待定系数法求出直线的表达式，再联立方程组求解即可；
（3）先证出，则，再利用“SAS”证明，利用全等三角形的性质得到，过Q作轴于H，先利用“AAS”证明，利用全等三角形的性质得到，，再利用“AAS”证明，利用全等三角形的性质得到，再求解即可．
（1）解：∵直线与y轴交于点A，
∴当时，，则，
设直线的表达式为，
将、代入，得，解得，
∴直线的表达式为；
（2）解：∵点D为的中点，，
∴，
∵，
∴直线的表达式为，
联立方程组，解得，
∴点E坐标为；
（3）解：线段的长度不变，且．
理由：如图1，∵直线与x轴交于点B，
∴当时，由得，则，
∴，则，
又，，
∴，
∴，即，
在图2中，过Q作轴于H，
则，又，，
∴，
∴，，
∴；
在和中，
，
∴
∴
∴．
19．（2024九上·宝安开学考）【背景】如图是某品牌的饮水机，此饮水机有开水、温水两个按钮，图为其信息图．
【主题】如何接到最佳温度的温水．
【素材】温水水流速度是，
水杯容积：．
物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量．即：开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度．
生活经验：饮水最佳温度是（包括与），这一温度最接近人体体温．
【操作】先从饮水机接温水秒，再接开水，直至接满的水杯为止．（备注：接水期间不计热损失，不考虑水溢出的情况）
【问题】
（1）接到温水的体积是　　　，接到开水的体积是 ；（用含的代数式表示）
（2）若所接的温水的体积不少于开水体积的倍，则至少应接温水多少秒？
（3）若水杯接满水后，水杯中温度是，求的值；
（4）记水杯接满水后水杯中温度为，则关于的关系式是　　　；若要使杯中温度达到最佳水温，直接写出的取值范围是 ．
【答案】（1），
（2）解：由上可得温水的体积是，开水的体积为，
当所接的温水的体积不少于开水体积的倍时，
可得
解得
∴则至少应接温水秒
（3）由题意可得，当水杯中温度是时，温水的体积是，开水的体积为，开水降低的温度为，温水升高的温度为，
∴
解得：
（4），
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）∵温水水流速度是，
∴当从饮水机接温水秒时，温水的体积是，
∴再接开水，接满的水杯时，开水的体积为，
故答案为：，．
（4）由题意可得，当水杯中温度是时，温水的体积是，开水的体积为，开水降低的温度为，温水升高的温度为，
∴
解得：
若要使杯中温度达到最佳水温时，
则有
代入，可得，
故答案为：，.
【分析】（1）先根据等量关系“速度乘时间等于体积”列式即可求解；
（2）根据（1）求出的温水的体积，开水体积，列不等式：，解不等式即可；
（3）根据等量关系“开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度”列出等式： ，代入数值计算即可求出的值；
（4）根据等量关系“开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度”列出等式： ，代入数值即可列出关于的函数关系式： ，再根据不等式，代入求解即可．
（1）解：∵温水水流速度是，
∴当从饮水机接温水秒时，温水的体积是，
∴再接开水，接满的水杯时，开水的体积为，
故答案为，．
（2）解：由上可得温水的体积是，开水的体积为，
当所接的温水的体积不少于开水体积的倍时，
可得
解得
∴则至少应接温水秒．
（3）解：由题意可得，当水杯中温度是时，温水的体积是，开水的体积为，开水降低的温度为，温水升高的温度为，
∴
解得：
（4）解：由题意可得，当水杯中温度是时，温水的体积是，开水的体积为，开水降低的温度为，温水升高的温度为，
∴
解得：
若要使杯中温度达到最佳水温时，
则有
代入，可得，
故答案为，
20．（2025八下·珠海期末）综合实践：
主题 关于如何扭转汽车客运线路亏损的问题
问题情境 随着轨道交通的便利，私家车的普及，网约车的流行，某汽车客运公司的乘客量比以往减少，近期有一条运营线路处于亏损运营状态.
问题探究 ⑴公司做了大量的市场调研，将有关数据进行分析整理，发现收支差额y（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量x（万人）的关系可近似看作一次函数（图象如图① 所示），写出图①中点A（0，-1）和点B（1.5，0）的实际意义，并求出y与x的函数关系. ⑵汽车客运公司在调研后邀请了一些乘客代表来研讨亏方案，在讨论中，有乘客代 表认为，市民出行选择方式增多，客运公司应该改变观念，改善管理，降低运营成本， 客运公司行政代表认为，运营成本难以下降，提高票价才能亏，你认为图②和图③两个图示中，反映乘客代表意见的是▲，反映客运公司行政代表意 见的是▲.（填序号） |
问题解决 ⑶汽车客运公司通过市场调研，发现该线路一周内平均每天的乘客数量为1.2万人， 经过讨论，得到三种亏方案，具体如下： 方案1：票价不变，将运营成本降低到0.7万元； 方案2：运营成本不变，提高票价使每万人收入差额提高到0.9万元； 方案3：将运营成本降低到0.85万元，同时提高票价，使每万人收入差额提高到0.75万 元，你认为哪种方案更有利于汽车客运公司招转亏损？请说明理由.
【答案】解：⑴ 点A的实际意义是：客运公司的运营成本为1万元，
点B的实际意义是：当乘客数量为1.5万人时，客运公司的收支差额为0元；
设y与x的函数关系式为，把代入得
，
解得，
∴y与x的函数关系式为；
⑵图③，图②；
⑶方案1，理由如下：
方案1：票价不变，将运营成本降低到0.7万元，此时y与x的函数关系式为，
令得，
客运公司平均每天的收支差额为0.1万元；
方案2：运营成本不变，提高票价使每万人收支差额提高到0.9万元，此时，
令得，
客运公司平均每天的收支差额为0.08万元；
方案3：将运营成本降低到0.85万元，同时提高票价，使每万人收支差额提高到0.75万元，此时，
令得，
客运公司每天平均的收支差额为0.05万元；
，
方案1.更有利于汽车客运公司扭转亏损.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】(1)根据图象可得A，B的实际意义；利用待定系数法设y与x的函数关系式为把代入计算即可解答；
(2)根据乘客代表意见和客运公司行政代表意见，结合图象即可解答；
(3)结合收支差额y（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量x（万人）的关系分别求出3中方案的利润，再比较即可解答.
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