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(共20张PPT)
4.1.3 独立性与条件概率的关系
1.理解事件独立性与条件概率的关系
2.掌握事件独立性的充要条件，并会借助其解决相应问题.
你还记得互斥事件、对立事件、相互独立事件的概念及计算公式吗
特点 概率公式
互斥事件
对立事件
相互独立事件
不可能同时发生的两个事件
两个事件不可能同时发生，
但必有一个发生
事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响
假设 且 ，在A与B独立的前提条件下，通过条件概率的计算公式考察 与 的关系，以及 与 的关系.
当 且 时，由条件概率的计算公式有
即
这就是说，此时事件A发生的概率与已知事件B发生时事件A发生的概率相等.
也就是事件B的发生，不会影响事件A发生的概率.
类似地，可以看出，如果 ，
那么一定有
思考
因此，当 时，A与B独立的充要条件是
这也就同时说明，当 时，事件B的发生会影响事件A发生的概率，此时A与B是不独立的.事实上，“A与B独立”也经常被说成“A与B互相不影响”等.
当 时，A与B独立的充要条件是
若 ， ， 则事件A与B的关系是（ ）
A．事件A与B互斥 B．事件A与B对立
C．事件A与B相互独立 D．事件A与B既互斥又相互独立
事件A与B相互独立、事件A与B不互斥，故不对立.
C
练一练
例1 已知某大学数学专业二年级的学生中，是否有自主创业打算的情况如下表所示.
由题意可知，所有学生的人数为16+15+64+60=155.
从这些学生中随机抽取一人：
（1）求抽到的人有自主创业打算的概率；
男生/人 女生/人
有自主创业打算 16 15
无自主创业打算 64 60
记A为“抽到的人有自主创业打算”，B为“抽到的人是女生”.
（1）因为有自主创业打算的人数为16+15=31，所以抽到的人有自主创业打算的概率为
例题讲解
（2）因为女生人数为所有学生的人数为15+60=75，所以抽到的人是女生的概率为
从这些学生中随机抽取一人：
（1）求抽到的人有自主创业打算的概率；
（2）求抽到的人是女生的概率；
例题讲解
例1 已知某大学数学专业二年级的学生中，是否有自主创业打算的情况如下表所示.
男生/人 女生/人
有自主创业打算 16 15
无自主创业打算 64 60
（3）若已知抽到的人是女生，求她有自主创业打算的概率；
（3）所要求的是 ，注意到75名女生中有15人有自主创业打算，
因此
例题讲解
例1 已知某大学数学专业二年级的学生中，是否有自主创业打算的情况如下表所示.
男生/人 女生/人
有自主创业打算 16 15
无自主创业打算 64 60
（4）判断“抽到的人是女生”与“抽到的人有自主创业打算”是否独立.
（4）
因此“抽到的人是女生”与“抽到的人有自主创业打算”独立.
例题讲解
（3）若已知抽到的人是女生，求她有自主创业打算的概率；
例1 已知某大学数学专业二年级的学生中，是否有自主创业打算的情况如下表所示.
男生/人 女生/人
有自主创业打算 16 15
无自主创业打算 64 60
多个事件之间的相互独立也可借助条件概率来理解，
“ 相互独立”也可说成“ 相互不影响”.
实际问题中，我们常常依据实际背景去判断事件之间是否存在相互影响，若可认为事件之间没有影响，则认为它们相互独立；
已知事件相互独立时，根据每个事件发生的概率可以方便地求出它们同时发生的概率.
归纳总结
例2 已知甲、乙、丙3人参加驾照考试时，通过的概率分别为0.8，0.9，0.7，而且这3人之间的考试互不影响.求：
（1）甲、乙、丙都通过的概率；
（2）甲、乙通过且丙未通过的概率.
（1）甲、乙、丙都通过可用ABC表示，因此所求概率为
解：用A，B，C分别表示甲、乙、丙驾照考试通过，则可知A，B，C相互独立，而且
（2）甲、乙通过且丙未通过可用 表示，因此所求概率为
例题讲解
已知事件A，B发生的概率分别为P(A)，P(B)，那么:
事件 表示 概率 (A,B互斥) 概率
(A,B相互独立)
A，B中至少有一个发生
A，B同时发生
A，B都不发生
A，B恰有一个发生
A，B中至多有一个发生
AB
0
P(A)P(B)
A+B
P(A)+P(B)
P(A)+P(B)
1
1-P(A)P(B)
1-[P(A)+P(B)]
方法归纳
甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.7，则两人都脱靶的概率为（ ）
A．0.56 B．0.5 C．0.38 D．0.06
D
甲乙两名运动员都没有中靶的概率为： .
练一练
用A,B,C分别表示甲、乙、丙能正常工作,D表示系统能够正常工作.
例3：在一个系统中，每一个部件能正常工作的概率称为部件的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度.现有甲、乙、丙3个部件组成的一个如图所示
的系统，已知当正常工作且乙、丙至少有一个能正常
工作时，系统就能正常工作，各部件的可靠度均为
，而且甲、乙、丙互不影响.求系统的可靠度.
乙
丙
甲
由题意可知，系统能正常工作时，可分为三种互斥的情况：
甲、乙、丙都正常工作，且丙不正常工作，即ABC；甲、丙正常工作，且乙不正常工作，即 ；甲、乙正常工作，且丙不正常工作，即 甲、乙正常工作，且丙不正常工作，即 .因此
例题讲解
因为甲、乙、丙互不影响，所以A、B、C相互独立，而且
例3：在一个系统中，每一个部件能正常工作的概率称为部件的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度.现有甲、乙、丙3个部件组成的一个如图所示
的系统，已知当正常工作且乙、丙至少有一个能正
常工作时，系统就能正常工作，各部件的可靠度
均为 ，而且甲、乙、丙互不影响.求系统的可靠度.
乙
丙
甲
由互斥事件概率的加法公式以及独立性可知
例题讲解
1.掷两枚质地均匀的骰子，设A=“第一枚出现的点数大于2”，B=“第二枚出现的点数小于6”，则A与B的关系为（ ）
A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等
对于该试验，第一枚骰子与第二枚骰子出现点数互不影响，而且事件A、B可以同时发生，
所以A、B相互独立，但不互斥，也不对立，更不相等.
C
2.暑假期间，甲同学外出旅游的概率是 ，乙同学外出旅游的概率是 ，假定甲乙两人的行动互相之间没有影响，则暑假期间甲、乙两位同学恰有一人外出旅游的概率是（ ）
A． B． C． D．
设甲外出旅游为事件A，乙外出旅游为事件B，
C
事件“甲、乙两位同学恰有一人外出旅游”为 ，
本节课你学到了哪些知识？

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