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《有理数及其运算》精选压轴题（一）—2025年浙江省七（上）数学期中复习
一、选择题
1．（2025七上·宁海期中）表示不小于x的最小整数，如，，则下列结论错误的有（　　）
A． B．的最小值是0
C．的最大值是1 D．存在实数x，使成立
2．（2024七上·玉环期中）如图所示，按大拇指→食指→中指→无名指→小指→无名指→中指→食指→大拇指→食指……的顺序，依次数正整数1，2，3，4，5，…以此类推，当第2024次数到中指时，这个数是（　　）
A．8093 B．8094 C．8095 D．8096
3．（2024七上·官渡期中）有下列说法，正确的个数是（　　）个
①0是最小的整数；②一个有理数不是正数就是负数 ；③若是正数，则是负数；
④自然数一定是正数；⑤一个整数不是正整数就是负整数；⑥非负数就是指正数．
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2024七上·舟山期中）公园内有一矩形步道，其地面使用相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成．如图表示此步道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列且总共有50个．则步道上总共使用白色等腰直角三角形地砖块数为（　　）
A．84 B．86 C．102 D．104
5．（2024七上·温州期中）下列说法中正确的判断是（　　）
A．，
B．不超过的最大整数为
C．若，则
D．，，则的值为3或
6．（2024七上·台州期中）如图，敲击三根管时依次发出“1”、“3”、“5”，两只音锤同时从“1”开始，以相同的节拍往复敲击，不同的是：甲锤每拍移动一位（左中右中左中右…），乙锤则在两端各有一拍不移位（左中右右中左左中右…），在第2024拍时，你听到的是（　　）
A．同样的音“1” B．同样的音“3”
C．同样的音“5” D．不同的两个音
7．（2024七上·杭州期中）下列说法中，正确的个数是（　　）
①若，则；
②若，则有是负数；
③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等，则；
④若，，则的值为．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2024八上·东坡期中）如果四个互不相同的正整数满足，则的最大值为（　　）
A．40 B．53 C．60 D．70
9．（2024七上·杭州月考）已知：，且，，则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为，则　 　．
10．（2024七上·北京市期中）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将，，，2，3，4，6，7填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则的值为　 　．
二、填空题
11．（2024七上·玉环期中）如图，在正五边形中，已知a，b，c，d，e为正整数，且每条边上三个数的和都等于，则　 　
12．（2024七上·杭州期中）有三个互不相等的有理数，既可表示为1，，；也可表示为0，，的形式，则　 　
13．（2024七上·杭州期中）数学兴趣小组在合作学习过程中，获得知识的同时，也提出新的问题．例如：根据，知道a和n的值，可以求b的值，如果知道a和b的值，可以求n的值吗？他们为此进行了研究，并规定：若，那么．例如： ，则 ．若， ，则　 　
14．（2024七上·嵊州期中）观察下列算式：，，，……用你所发现的规律计算……＝　 　．
15．（2023七上·呼和浩特期中）某校园学子餐厅把WIFI密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了一会，输入密码，顺利地连接到了学子餐厅的网络，那么他输入的密码是　 　．
16．（2024七上·苍南期中）为了让学生更好的掌握第二章有理数的运算知识，七年（1）班数学老师在班级里组织了一次知识竞赛，有10道选择题，每道题答对得5分，答错或不答扣1分．
（1）小明答对了8道题，答错了2道题，他的总得分是　 　分；
（2）若该班的学生中至少有4人的得分相同，则这个班级的学生至少有　 　人．
17．（2024七上·江北月考）已知a，b，c，d表示4个不同的正整数，满足a+b2+c3+d4＝90，其中d＞1，则a+2b+3c+4d的最大值是　 　．
三、解答题
18．（2024七上·玉环期中）跟随小希、小望，一起探究“分差”，完成问题．
【定义】对于确定顺序的三个互不相等的数：a，b，c，计算，，将这三个数的最小值称为a，b，c的“分差”．
【理解定义】例如，对于“1，，3”，确定顺序即，，， 所以，，， 所以“1，，3”的“分差”为．
【知识探究】 小希：如果将“1，，3”三个数均乘以2得“2，，6”，那么其分差为原分差乘以2，结果为． 问题①：通过计算判断小希的说法是否正确？ 小希：我猜想“a，b，c”的分差与“，，”的分差一定互为相反数！ 小望：不能这么轻易下结论，还要考虑所乘因数的正负性． 问题②：结合小望的考虑，请你举出一组数（绝对值不大于5的整数）加以计算说明小希的猜想是否正确．
【得出结论】 问题③：小希和小望通过讨论，最后得到一般性结论：当m为_____时，“，，”的分差为“a，b，c”的分差乘以m．（在横线处直接写出答案）
19．（2024七上·舟山期中）探究2个“新定义运算”问题．
（1）定义一种新运算“”，运算规则为：，则______．
（2）定义另一种新运算“”，运算规则未知，其运算符合下述规律：
，且，．
请先阅读范例，然后回答问题．
范例学习
若，
则，
；
或．
①若，
填空：______，______，______，______
②若，
计算：．
20．（2024七上·苍南期中）根据背景素材，探索解决问题．
周末小明一家打算去露营基地野餐
素材1 野餐准备计划路线图：家炸鸡店面包店水果店奶茶店露营基地；
素材2 这条路线近似看成东西走向．如果规定向东为正，向西为负，他这天行车里程（单位：）如下：，，，，；
素材3 滴滴车价目表：起步价（不超过时）车费8元，超过时，超出部分每千米车费加价2元，原价消费满10元赠送一张8折优惠券和一张7折优惠券（每种优惠券只能使用一次）．
问题解决
任务1 求露营基地在家的哪个方向，并求出与家的距离；
任务2 计算炸鸡店到面包店所用的车费；
任务3 说说该路线如何正确使用优惠券，使总车费最低，并求出最低总车费．
21．（2024七上·金华期中）观察下列等式，发现规律，并解决问题．
．．．．．．
（1）由上述式子的规律，计算：．
（2）类比以上式子的规律，计算：．
（3）类比第（1）题，计算：
22．（2024七上·新昌期中）国庆期间小明妈妈收到浙江电力9月份家庭用电的短信，妈妈把短信截图（如图1）发给正在读七年级的小明，让小明计算一下电费，小明根据所学知识展开计算：
小明通过查阅资料，获得图2材料并归纳出以下信息：
①为了鼓励大家错峰用电，每天22：00至第二天8：00实行低谷电价，8：00至22：00实行高峰电价；
②居民年用电量第一档共有2760度，第二档共有2040度；
（1）根据用电情况信息，可以得出9月份440度用电量中，处于第二档收费的用电量是______度；
（2）请计算小明家今年前9个月的总用电量；
（3）求小明家9月份的电费．
23．（2024七上·上城期中）阅读下面材料：
圆圆在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的三个数，，称为数列，，．计算，，的值，将这三个数的最小值称为数列，，的价值．例如，对于数列，，，因为，，，所以数列，，的价值为．
圆圆进一步研究发现：改变数列，，三个数的顺序，可得若干个数列，这些数列都可以按照上述方法计算其相应的价值．如数列，，的价值为；数列，，的价值为；经过研究，圆圆发现，对于“，，”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为．
根据以上材料，回答下列问题：
（1）求数列，，的价值；
（2）填空：将“，，”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的价值的最小值为 ，取得价值最小值的数列为 （写出所有答案）．
（3）已知，将“，，”这三个数按照不同的顺序排列，可得若干个数列，若这些数列的价值的最小值为，求的值．
24．（2024七上·台州期中）根据以下素材，探索完成任务：
如何制定奶茶订购方案？
素材1 为庆祝在校运动会中取得团体优胜，班主任邱老师决定在某奶茶店订购46杯单价为15元的奶茶奖励全班同学．现有如下两种订购方式： 订购方式店铺优惠活动配送费电话订购每购买10杯奶茶，免费赠送1杯奶茶．免费某外卖下单订单总价（不含配送费）满20元起送，可使用红包立减抵扣，且一个订单只允许使用一个红包．元/单
注：下单后，每个订单结算时系统自动收取配送费．
素材2 邱老师是该外卖的会员，平台赠送她以下6个红包：
问题解决
问题1 若邱老师通过电话订购方式购买这46杯奶茶，则需花费多少元？
问题2 ①某顾客通过某外卖买一单3杯奶茶，使用不同的红包则花费不同，使用“无门槛红包”需花费________元；使用“吃货红包”满25可用需花费________元；使用“吃货红包”满45可用需花费________元． ②若邱老师通过某外卖分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用，则需花费多少元？
问题3 请帮助邱老师制定一个奶茶订购方案，使得订购总费用不超过625元． 确定订购方式与数量： 电话订购________杯，送________杯；外卖APP订购________杯．该方案订购总费用为_______元．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】实数运算的实际应用
【解析】【解答】解：表示不小于0的最小整数，即，故A选项结论正确，不合题意；
当x是整数时，有最小值，，故B选项结论正确，不合题意；
，的最大值不能取1，故C选项结论错误，符合题意；
当的小数部分等于时，，故D选项结论正确，不合题意；
故选C．
【分析】
因为表示不小于的最小整数，则当为整数时，；当为小数时，，即总有：，且．
2．【答案】C
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：按大拇指→食指→中指→无名指→小指→无名指→中指→食指→大拇指→食指→中指→无名指→小指→无名指→中指→食指→大拇指→食指……，从大拇指→食指→中指→无名指→小指→无名指→中指→食指，从1开始，每8个数为一个循环组依次循环，且每次循环中，中指数2次，
∴当第次数到中指时，有次循环，且第1012次循环少了1个数，
∴这个数为：，
故答案为：C．
【分析】先探究规律，发现规律为从1开始，每8个数为一个循环组依次循环，且每次循环中，中指数2次，再利用规律即可解决问题．
3．【答案】B
【知识点】有理数的分类；有理数中的“非”数问题
【解析】【解答】解：①0不是最小的整数，如负整数，则原说法错误；
②有理数0既不是正数也不是负数，则原说法错误；
③若是正数，则是负数，则原说法正确；
④自然数0不是正数，则原说法错误；
⑤整数0既不是正整数也不是负整数，则原说法错误；
⑥非负数就是指不是负数，即正数和0，则原说法错误；
综上，正确的个数是1个，
故答案为：B．
【分析】整数包括正整数、0和负整数、有理数的分类“有理数可分为正有理数、0和负有理数”、正数和0是非负数，据此可得正确说法的个数.
4．【答案】D
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：根据题意，得每一块正方形地砖两侧各有一块白色等腰直角三角形地砖，
∴50块正方形地砖有白色等腰直角三角形地砖数为：50×2=100（块），
∵矩形步道的两端各有2个白色等腰直角三角形地砖，
∴步道上总共使用白色等腰直角三角形地砖块数为100+4=104（块），
故答案为：D．
【分析】观察图形可知：每一块正方形地砖两侧各有一块白色等腰直角三角形地砖，即中间一个正方形对应两个等腰直角三角形，且矩形步道的两端各有2个白色等腰直角三角形地砖，据此得到三角形的个数.
5．【答案】B,C
【知识点】有理数的乘法法则；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：A、时，，A错误；
B、不超过的最大整数为，B正确；
C、若，则，，则，C正确；
D、当时，，，一个负数，两个正数或，，都是负数，
，，，一个负数，两个正数
设当，，，则：，，，
则，D错误；
故答案为：BC．
【分析】根据绝对值的性质可判断A；根据数轴可判断B；根据非负数的性质可判断C；根据有理数的乘法和加法可判断D.
6．【答案】B
【知识点】探索数与式的规律；有理数除法的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意可得：
甲锤每4拍一循环，乙锤每6拍一循环，
，
在第2024拍时，甲锤在第506组第4拍，即音“3”，
，
在第2024拍时，乙锤在第338组第2拍，即音“3”，
综上：在第2024拍时，你听到的是同样的音“3”
故选：B．
【分析】由题意知甲锤每4拍一循环，乙锤每6拍一循环，分别求出第2024拍时听到的“数音”即可.
7．【答案】A
【知识点】有理数的乘法法则；有理数的除法法则；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：∵，
∴，故①正确；
∵，
∴或或或
当时，
∴是正数；
当时，
∴是正数；
当时，
∴是正数；
当时，
∴是正数，故②错误；
∵A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等
∴或或
∴或或
解得：或或，故③错误；
∵，
∴中有两个负数一个正数
不妨设
则，故④错误；
故选：A．
【分析】①根据绝对值的性质可对①作出判断；根据绝对值的意义得到或或或，然后分情况讨论即可判断②；③利用已知可得到或或，然后根据数轴上两点间的距离分情况求解即可判断③；根据题意得到中有两个负数一个正数，然后不妨设，然后化简，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数．
8．【答案】B
【知识点】有理数的乘法法则；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵四个互不相同的正整数，满足，
∴要求的最大值，即m最大，4-m最小，则有：，，，，
解得：，
则．
故答案为：B．
【分析】要求的最大值，即m最大，4-m最小，可确定出的值，代入原式计算即可求出值．
9．【答案】7
【知识点】化简含绝对值有理数；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，，
，，，
，，三个数中有两负一正，
当，为负，为正数时，
；
当，为负，为正数时，
；
当，为负，为正数时，
；
共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为，
，，
．
故答案为：7．
【分析】先根据题已得到，，三个数中有两负一正，然后利用绝对值的性质进行计算得到x、y的值，再代入代数式计算即可．
10．【答案】25或
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】解：根据题意得：，
∴，
，
∴四个三角形的三个顶点上的数字之和减去正方形四个顶点的数字之和为15，
∵每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，
，即．
由图知，的值由，，，2，3，4，6，7中取得，
的值可能为与7或与6或2与3三种情况，
，
，
当，时，，，不符合题意；
当，时，，，不符合题意；
当，，，，符合题意，
则，
当，，，，符合题意，
则，
故答案为：25或．
【分析】由每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等建立方程得出b=d+4，c=d+8，c＞b＞d，b＞0；求出所给8个数的和，结合图形可得四个三角形的三个顶点上的数字之和减去正方形四个顶点的数字之和为15，进而再根据每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等可得a+b=5，结合已知推出a、b的值可能为-2与7或-1与6或2与3三种情况，据此分别求出符合题意的c、d的值，最后代入待求式子按含乘方及括号的有理数的混合运算的运算顺序计算可得答案.
11．【答案】17
【知识点】有理数的乘方法则；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：根据图形可得：每条边上三个数的和都等于，
∴，，，，，
∴，，，，，
∵a，b，c，d，e为正整数，
∴，且为正整数，
当时，则，，，，
∴；
当时，则，，，，，不符合题意，
当时，，，，不符合题意，
∴，
故答案为：17．
【分析】根据题意，得到每相邻两个字母的和，再根据a，b，c，d，e为正整数，可得，再分别计算a=1，2，3时其他字母的值，逐一验证，即可得到结果．
12．【答案】
【知识点】有理数的分类；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：三个互不相等的有理数，既可表示为，，的形式，又可表示为0，的形式，
这两个数组的数分别对应相等．
与中有一个是0，与中有一个是，但若，会使无意义，
，只能，即，于是．
只能是，于是，
的值为，
故答案为：．
【分析】本题考查的是有理数的除法，根据三个互不相等的有理数，既表示为，，的形式，又可以表示为0，，的形式，也就是说这两个数组的数分别对应相等，a+b与a中有一个是0，与b中有一个是-1，再根据有理数的除法中被除数不能为0，判断出、的值，代入计算即可．
13．【答案】6
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，，
又，
；
故答案为：6．
【分析】本题考查有理数的乘方运算，新定义问题，根据“若，那么”的意义，求出a=3，b=64，再代入，计算即可.
14．【答案】
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：…
＝1﹣+…+
＝1﹣
＝．
故答案为：．
【分析】根据已知的等式，将所求代数式变形，然后根据有理数的加减混合运算法则计算即可求解．
15．【答案】143549
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：532=5×3×10000+5×2×100+5×（2+3）=151025
924=9×2×10000+9×4×100+9×（2+4）=183654，
863=8×6×10000+8×3×100+8×（3+6）=482472，
∴725=7×2×10000+7×5×100+7×（2+5）=143549.
故答案为：143549.
【分析】通过分析给出的三个等式，发现每个等式的结果由三个部分组成：①左边第一个数与第二个数的乘积作为了右边数从左至右的第一位与第二位，②左边第一个数与第三个数的乘积作为了右边数从左至右的第三位与第四位，③第一个数与第二个数、第三个数之和的乘积作为了右边数从左至右的第五位与第六位，据此结合各个数位上数字代表的意义，列式计算可得答案.
16．【答案】38；34
【知识点】有理数的加法实际应用；有理数减法的实际应用；有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】解：（1）（分），
故答案为：；
（2）由题意可得，一共有种分数，分别为： 答对10题：50分；答对9题：44分；答对8题：38分；答对7题：32分；答对6题：26分；答对5题：20分；答对4题：14分；答对3题：8分；答对2题：2分；答对1题：-4分；答对0题：-10分；
∴参加竞赛的学生至少有（人）；
故答案为：．
【分析】（1）根据每道题答对得5分，答错或不答扣1分列出式子计算即可.
（2）先根据题意分析出得分情况，再计算即可.
17．【答案】81
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：∵a，b，c，d表示4个不同的正整数，且a+b2+c3+d4＝90，其中d＞1，
∴d4＜90，则d＝2或3，
∵c3＜90，则c＝1，2，3或4，
∵b2＜90，则b＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，
∵a＜90，则a＝1，2，3，…，89，
∴4d≤12，3c≤12，2b≤18，a≤89，
∴要使得a+2b+3c+4d取得最大值，则a取最大值时，a＝90﹣（b2+c3+d4）取最大值，
∴b，c，d要取最小值，则d取2，c取1，b取3，
∴a的最大值为90﹣（32+13+24）＝64，
∴a+2b+3c+4d的最大值是64+2×3+3×1+4×2＝81，
故答案为：81．
【分析】
根据题意结合乘方分别确定a，b，c，d的取值范围，得到4d≤12，3c≤12，2b≤18，a≤89，再分别确定a，b，c，d的值，即可得到a+2b+3c+4d的最大值．
18．【答案】解：问题①：对于“2，，6”，确定顺序即，，，
∴，，，
∴“2，，6”的“分差”为，
∴小希的说法正确．
问题②：可以直接引用“1，，3”的分差，再求“，2，”的分差，
对于“，2，”，，，，
∴“，2，”的“分差”为，
∵与不是相反数，
∴小希的猜想错误．
问题③：正数或大于0
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律；相反数的意义与性质
【解析】【解答】问题③：由定义和问题①即可得出规律：当m为正数或大于0，“，，”的分差为“a，b，c”的分差乘以m．
故答案：正数或大于0．
【分析】问题①：对于“2，，6”，确定a，b，c的顺序，计算，，的值，即可判断得解；
问题②：可以直接引用“1，，3”的分差，再求“，2，”的分差，根据两个分差的关系即可判断得解；
问题③：由问题①与问题②即可得出规律，判断得解．
19．【答案】（1）1
（2）解：①4，-2，0，-7；
②，
，
，
同理可得：，，；，
．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
故答案为：1；
（2）解：①∵，
∴，，，
，
，
故答案为：4，-2，0，-7.
【分析】（1）根据新定义运算规则进行求解；
（2）①根据新定义运算规则进行求解；
②根据新定义规则计算进行求解．
（1）解：根据题意：；
（2）解：①根据题意：，
，
，
，
；
②，
，
，
同理：，，；
．
20．【答案】解：任务1：由题意可得：，
答：露营基地在家的西边处；
任务2：由题意可得：（元），
答：炸鸡店到面包店所需费用14元；
任务三：由题意可得水果店到奶茶店的原价费用为（元），
奶茶店到露营基地的原价费用为（元），
则水果店到奶茶店用8折券，奶茶店到露营基地用7折券，元）
答：水果店到奶茶店用8折券，奶茶店到露营基地用7折券，共用车费57.8元．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；正数、负数的实际应用
【解析】【分析】任务1：根据正负数的意义进行计算即可；
任务2：根据素材三分析列出式子计算即可；
任务3：先计算出面包店到水果店和奶茶店到露营基地的原价费用，再根据价高者使用7折券，计算出总车费即可．
21．【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【分析】（1）将每项拆为两个分数的差，再计算；
（2）将每项拆为两个分数的差的，再计算；
（3）根据（1）（2）中的规律进行求解即可．
（1）解：由题意得：
；
（2）解：由题意得：
；
（3）解：由（1）（2）规律可得：
．
22．【答案】（1）
（2）解：由（1）可得，平均每月的用电量为度，
∴今年前9个月的总用电量；（度）；
（3）解：9月份中度，第一档有度，其中谷度，
∴高峰时的电量为（度），
∴费用为：（元），
第二档用电量为度，其中谷度，
高峰时的电量为（度），
∴费用为：（元），
∴（元），
∴小明家9月份的电费是元．
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】（1）解：∵居民年用电量第一档共有度，
∴平均每月的用电量为：（度），
∵9月份的用电量是度，
∴处于第二档的有（度），
故答案为：；
【分析】
（1）根据材料提示，第一档平均每月的用电量为度，由此即可求解；
（2）根据第一档的平均用电量算出前8个月的电量，再加上9月的电量即可求解；
（3）分别算出第一档的费用，第二档的费用，然后将两档费用相加即可求解．
（1）解：∵居民年用电量第一档共有度，
∴平均每月的用电量为：（度），
∵9月份的用电量是度，
∴处于第二档的有（度），
故答案为：；
（2）解：由（1）可得，平均每月的用电量为度，
∴今年前9个月的总用电量；（度）；
（3）解：9月份中度，第一档有度，其中谷度，
∴高峰时的电量为（度），
∴费用为：（元），
第二档用电量为度，其中谷度，
高峰时的电量为（度），
∴费用为：（元），
∴（元），
∴小明家9月份的电费是元．
23．【答案】（1）解：∵，，，
又∵
∴数列，，的价值为；
（2）；，，或，，
（3）解：由题意，数列不同顺序排列后的计算价值时，所有的情况有：，，，，，，，
∵这些数列的价值的最小值为，
∴情况一；当时，
解得：或，
∵，
∴，
此时，，，
故满足条件；
情况二：当时，
解得：或，
又∵，
∴不合题意，舍去；
情况三：当时，
解得：或，
当时，，
∴不合题意，舍去；
情况四：当时，
解得：或，
当时，，
∴不合题意，舍去；
综上，若这些数列的价值的最小值为，则的值为，或.
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律；绝对值的概念与意义；探索规律-数列中的规律；分类讨论
【解析】【解答】（2）解：①由（1）得，数列，，的价值为；
②当数列为、、时，，，，
∵3＜4＜5，
∴数列、、的价值为；
③当数列为，，时，，，，
∵，
∴数列，，的价值为；
④当数列为，，时，，，，
∵，
∴数列，，的价值为；
⑤当数列为，，时，，，，
∵
∴数列，，的价值为；
⑥当数列为，，时，，，，
∵3＜5＜6，
∴数列，，的价值为；
综上，这些数列的价值的最小值为，此时数列为，，或，，；
故答案为：；，，或，，.
【分析】（1）根据上述材料给出的方法计算，，的值 ，结果的最小值即为数列的价值；
（2）分类讨论，列举计算，然后比较大小即可得解；
（3）由题意，数列不同顺序排列后的计算价值时，所有的情况有：，，，，，，，则分情况建立方程，，，，求出满足条件的的数值即可．
（1）解：因为，，，
所以数列，，的价值为；
（2）解：①数列，，的价值为；
②当数列为、、时，，，，
所以数列、、的价值为；
③当数列为，，时，，，，
所以数列，，的价值为；
④当数列为，，时，，，，
所以数列，，的价值为；
⑤当数列为，，时，，，，
所以数列，，的价值为；
⑥当数列为，，时，，，，
所以数列，，的价值为；
综上，这些数列的价值的最小值为，此时数列为，，或，，；
故答案为：；，，或，，；
（3）解：由题意，数列不同顺序排列后的计算价值时，所有的情况有：，，，，，，，
∵这些数列的价值的最小值为，
∴当时，
解得：或，
∵，
∴，
此时，，，
故满足条件；
当时，
解得：或，
∵，
∴不合题意，舍去；
当时，
解得：或，
当时，，
∴不合题意，舍去；
当时，
解得：或，
当时，，
∴不合题意，舍去；
综上，若这些数列的价值的最小值为，则的值为，或.
24．【答案】解：问题1：∵每购买10杯奶茶，免费赠送1杯奶茶，且订购46杯奶茶，
∴（元），
答：邱老师通过电话订购方式购买这46杯奶茶，则需花费630元；
问题2：②∵邱老师通过某外卖分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用，
∴（元），
答：邱老师通过某外卖分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用，则需花费667元；
问题3：30，3，13，623.5（答案不唯一）
【知识点】有理数混合运算的实际应用；有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：问题2：①依题意，（元），
∴某顾客通过某外卖买一单3杯奶茶，使用不同的红包则花费不同，使用“无门槛红包”需花费元；
依题意，（元），（元），
使用“吃货红包”满25可用需花费元；使用“吃货红包”满45可用需花费元．
故答案为：，，；
问题3：依题意，要制定一个奶茶订购方案，使得订购总费用不超过625元，
则电话订购30杯，送3杯，
此时（元），
∴（杯）
即外卖订购13杯，
则邱老师通过某外卖分五次下单这13杯奶茶，
其中三次都是使用“吃货红包”满45减8元，
则（元），
其中一次都是使用“吃货红包”满25减4元，
则（元），
其中一次都是使用 “无门槛红包”，
则（元），
∴，
∴电话订购30杯，送3杯；外卖APP订购13杯．该方案订购总费用为元．
故答案为：30，3，13，623.5（答案不唯一）
【分析】（1）由于每购买10杯奶茶，免费赠送1杯奶茶，则电话订购46杯奶茶可免费赠送4杯，即实际支付42杯奶茶费用即可；
（2）①由于3杯奶茶的费用恰好可以享受全部红包，因此可分三种情况分别计算即可；
②先使用3个“8元吃货红包”则需要购买9杯奶茶，即下3单；再使用2个“4元吃货红包”则需要购买4杯奶茶，即下2单；最后把剩余的一次性全部下单可享受”无门槛红包“，即共下了6单，再列式计算即可；
（3）根据情况可电话订购30杯，送3杯，再分别运用红包类型进行逐个列式计算，只要满足总费用不超过625元即可，答案不唯一．
1 / 1《有理数及其运算》精选压轴题（一）—2025年浙江省七（上）数学期中复习
一、选择题
1．（2025七上·宁海期中）表示不小于x的最小整数，如，，则下列结论错误的有（　　）
A． B．的最小值是0
C．的最大值是1 D．存在实数x，使成立
【答案】C
【知识点】实数运算的实际应用
【解析】【解答】解：表示不小于0的最小整数，即，故A选项结论正确，不合题意；
当x是整数时，有最小值，，故B选项结论正确，不合题意；
，的最大值不能取1，故C选项结论错误，符合题意；
当的小数部分等于时，，故D选项结论正确，不合题意；
故选C．
【分析】
因为表示不小于的最小整数，则当为整数时，；当为小数时，，即总有：，且．
2．（2024七上·玉环期中）如图所示，按大拇指→食指→中指→无名指→小指→无名指→中指→食指→大拇指→食指……的顺序，依次数正整数1，2，3，4，5，…以此类推，当第2024次数到中指时，这个数是（　　）
A．8093 B．8094 C．8095 D．8096
【答案】C
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：按大拇指→食指→中指→无名指→小指→无名指→中指→食指→大拇指→食指→中指→无名指→小指→无名指→中指→食指→大拇指→食指……，从大拇指→食指→中指→无名指→小指→无名指→中指→食指，从1开始，每8个数为一个循环组依次循环，且每次循环中，中指数2次，
∴当第次数到中指时，有次循环，且第1012次循环少了1个数，
∴这个数为：，
故答案为：C．
【分析】先探究规律，发现规律为从1开始，每8个数为一个循环组依次循环，且每次循环中，中指数2次，再利用规律即可解决问题．
3．（2024七上·官渡期中）有下列说法，正确的个数是（　　）个
①0是最小的整数；②一个有理数不是正数就是负数 ；③若是正数，则是负数；
④自然数一定是正数；⑤一个整数不是正整数就是负整数；⑥非负数就是指正数．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】有理数的分类；有理数中的“非”数问题
【解析】【解答】解：①0不是最小的整数，如负整数，则原说法错误；
②有理数0既不是正数也不是负数，则原说法错误；
③若是正数，则是负数，则原说法正确；
④自然数0不是正数，则原说法错误；
⑤整数0既不是正整数也不是负整数，则原说法错误；
⑥非负数就是指不是负数，即正数和0，则原说法错误；
综上，正确的个数是1个，
故答案为：B．
【分析】整数包括正整数、0和负整数、有理数的分类“有理数可分为正有理数、0和负有理数”、正数和0是非负数，据此可得正确说法的个数.
4．（2024七上·舟山期中）公园内有一矩形步道，其地面使用相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成．如图表示此步道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列且总共有50个．则步道上总共使用白色等腰直角三角形地砖块数为（　　）
A．84 B．86 C．102 D．104
【答案】D
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：根据题意，得每一块正方形地砖两侧各有一块白色等腰直角三角形地砖，
∴50块正方形地砖有白色等腰直角三角形地砖数为：50×2=100（块），
∵矩形步道的两端各有2个白色等腰直角三角形地砖，
∴步道上总共使用白色等腰直角三角形地砖块数为100+4=104（块），
故答案为：D．
【分析】观察图形可知：每一块正方形地砖两侧各有一块白色等腰直角三角形地砖，即中间一个正方形对应两个等腰直角三角形，且矩形步道的两端各有2个白色等腰直角三角形地砖，据此得到三角形的个数.
5．（2024七上·温州期中）下列说法中正确的判断是（　　）
A．，
B．不超过的最大整数为
C．若，则
D．，，则的值为3或
【答案】B,C
【知识点】有理数的乘法法则；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：A、时，，A错误；
B、不超过的最大整数为，B正确；
C、若，则，，则，C正确；
D、当时，，，一个负数，两个正数或，，都是负数，
，，，一个负数，两个正数
设当，，，则：，，，
则，D错误；
故答案为：BC．
【分析】根据绝对值的性质可判断A；根据数轴可判断B；根据非负数的性质可判断C；根据有理数的乘法和加法可判断D.
6．（2024七上·台州期中）如图，敲击三根管时依次发出“1”、“3”、“5”，两只音锤同时从“1”开始，以相同的节拍往复敲击，不同的是：甲锤每拍移动一位（左中右中左中右…），乙锤则在两端各有一拍不移位（左中右右中左左中右…），在第2024拍时，你听到的是（　　）
A．同样的音“1” B．同样的音“3”
C．同样的音“5” D．不同的两个音
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律；有理数除法的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意可得：
甲锤每4拍一循环，乙锤每6拍一循环，
，
在第2024拍时，甲锤在第506组第4拍，即音“3”，
，
在第2024拍时，乙锤在第338组第2拍，即音“3”，
综上：在第2024拍时，你听到的是同样的音“3”
故选：B．
【分析】由题意知甲锤每4拍一循环，乙锤每6拍一循环，分别求出第2024拍时听到的“数音”即可.
7．（2024七上·杭州期中）下列说法中，正确的个数是（　　）
①若，则；
②若，则有是负数；
③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等，则；
④若，，则的值为．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】有理数的乘法法则；有理数的除法法则；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：∵，
∴，故①正确；
∵，
∴或或或
当时，
∴是正数；
当时，
∴是正数；
当时，
∴是正数；
当时，
∴是正数，故②错误；
∵A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等
∴或或
∴或或
解得：或或，故③错误；
∵，
∴中有两个负数一个正数
不妨设
则，故④错误；
故选：A．
【分析】①根据绝对值的性质可对①作出判断；根据绝对值的意义得到或或或，然后分情况讨论即可判断②；③利用已知可得到或或，然后根据数轴上两点间的距离分情况求解即可判断③；根据题意得到中有两个负数一个正数，然后不妨设，然后化简，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数．
8．（2024八上·东坡期中）如果四个互不相同的正整数满足，则的最大值为（　　）
A．40 B．53 C．60 D．70
【答案】B
【知识点】有理数的乘法法则；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵四个互不相同的正整数，满足，
∴要求的最大值，即m最大，4-m最小，则有：，，，，
解得：，
则．
故答案为：B．
【分析】要求的最大值，即m最大，4-m最小，可确定出的值，代入原式计算即可求出值．
9．（2024七上·杭州月考）已知：，且，，则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为，则　 　．
【答案】7
【知识点】化简含绝对值有理数；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，，
，，，
，，三个数中有两负一正，
当，为负，为正数时，
；
当，为负，为正数时，
；
当，为负，为正数时，
；
共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为，
，，
．
故答案为：7．
【分析】先根据题已得到，，三个数中有两负一正，然后利用绝对值的性质进行计算得到x、y的值，再代入代数式计算即可．
10．（2024七上·北京市期中）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将，，，2，3，4，6，7填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则的值为　 　．
【答案】25或
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】解：根据题意得：，
∴，
，
∴四个三角形的三个顶点上的数字之和减去正方形四个顶点的数字之和为15，
∵每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，
，即．
由图知，的值由，，，2，3，4，6，7中取得，
的值可能为与7或与6或2与3三种情况，
，
，
当，时，，，不符合题意；
当，时，，，不符合题意；
当，，，，符合题意，
则，
当，，，，符合题意，
则，
故答案为：25或．
【分析】由每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等建立方程得出b=d+4，c=d+8，c＞b＞d，b＞0；求出所给8个数的和，结合图形可得四个三角形的三个顶点上的数字之和减去正方形四个顶点的数字之和为15，进而再根据每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等可得a+b=5，结合已知推出a、b的值可能为-2与7或-1与6或2与3三种情况，据此分别求出符合题意的c、d的值，最后代入待求式子按含乘方及括号的有理数的混合运算的运算顺序计算可得答案.
二、填空题
11．（2024七上·玉环期中）如图，在正五边形中，已知a，b，c，d，e为正整数，且每条边上三个数的和都等于，则　 　
【答案】17
【知识点】有理数的乘方法则；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：根据图形可得：每条边上三个数的和都等于，
∴，，，，，
∴，，，，，
∵a，b，c，d，e为正整数，
∴，且为正整数，
当时，则，，，，
∴；
当时，则，，，，，不符合题意，
当时，，，，不符合题意，
∴，
故答案为：17．
【分析】根据题意，得到每相邻两个字母的和，再根据a，b，c，d，e为正整数，可得，再分别计算a=1，2，3时其他字母的值，逐一验证，即可得到结果．
12．（2024七上·杭州期中）有三个互不相等的有理数，既可表示为1，，；也可表示为0，，的形式，则　 　
【答案】
【知识点】有理数的分类；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：三个互不相等的有理数，既可表示为，，的形式，又可表示为0，的形式，
这两个数组的数分别对应相等．
与中有一个是0，与中有一个是，但若，会使无意义，
，只能，即，于是．
只能是，于是，
的值为，
故答案为：．
【分析】本题考查的是有理数的除法，根据三个互不相等的有理数，既表示为，，的形式，又可以表示为0，，的形式，也就是说这两个数组的数分别对应相等，a+b与a中有一个是0，与b中有一个是-1，再根据有理数的除法中被除数不能为0，判断出、的值，代入计算即可．
13．（2024七上·杭州期中）数学兴趣小组在合作学习过程中，获得知识的同时，也提出新的问题．例如：根据，知道a和n的值，可以求b的值，如果知道a和b的值，可以求n的值吗？他们为此进行了研究，并规定：若，那么．例如： ，则 ．若， ，则　 　
【答案】6
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，，
又，
；
故答案为：6．
【分析】本题考查有理数的乘方运算，新定义问题，根据“若，那么”的意义，求出a=3，b=64，再代入，计算即可.
14．（2024七上·嵊州期中）观察下列算式：，，，……用你所发现的规律计算……＝　 　．
【答案】
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：…
＝1﹣+…+
＝1﹣
＝．
故答案为：．
【分析】根据已知的等式，将所求代数式变形，然后根据有理数的加减混合运算法则计算即可求解．
15．（2023七上·呼和浩特期中）某校园学子餐厅把WIFI密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了一会，输入密码，顺利地连接到了学子餐厅的网络，那么他输入的密码是　 　．
【答案】143549
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：532=5×3×10000+5×2×100+5×（2+3）=151025
924=9×2×10000+9×4×100+9×（2+4）=183654，
863=8×6×10000+8×3×100+8×（3+6）=482472，
∴725=7×2×10000+7×5×100+7×（2+5）=143549.
故答案为：143549.
【分析】通过分析给出的三个等式，发现每个等式的结果由三个部分组成：①左边第一个数与第二个数的乘积作为了右边数从左至右的第一位与第二位，②左边第一个数与第三个数的乘积作为了右边数从左至右的第三位与第四位，③第一个数与第二个数、第三个数之和的乘积作为了右边数从左至右的第五位与第六位，据此结合各个数位上数字代表的意义，列式计算可得答案.
16．（2024七上·苍南期中）为了让学生更好的掌握第二章有理数的运算知识，七年（1）班数学老师在班级里组织了一次知识竞赛，有10道选择题，每道题答对得5分，答错或不答扣1分．
（1）小明答对了8道题，答错了2道题，他的总得分是　 　分；
（2）若该班的学生中至少有4人的得分相同，则这个班级的学生至少有　 　人．
【答案】38；34
【知识点】有理数的加法实际应用；有理数减法的实际应用；有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】解：（1）（分），
故答案为：；
（2）由题意可得，一共有种分数，分别为： 答对10题：50分；答对9题：44分；答对8题：38分；答对7题：32分；答对6题：26分；答对5题：20分；答对4题：14分；答对3题：8分；答对2题：2分；答对1题：-4分；答对0题：-10分；
∴参加竞赛的学生至少有（人）；
故答案为：．
【分析】（1）根据每道题答对得5分，答错或不答扣1分列出式子计算即可.
（2）先根据题意分析出得分情况，再计算即可.
17．（2024七上·江北月考）已知a，b，c，d表示4个不同的正整数，满足a+b2+c3+d4＝90，其中d＞1，则a+2b+3c+4d的最大值是　 　．
【答案】81
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：∵a，b，c，d表示4个不同的正整数，且a+b2+c3+d4＝90，其中d＞1，
∴d4＜90，则d＝2或3，
∵c3＜90，则c＝1，2，3或4，
∵b2＜90，则b＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，
∵a＜90，则a＝1，2，3，…，89，
∴4d≤12，3c≤12，2b≤18，a≤89，
∴要使得a+2b+3c+4d取得最大值，则a取最大值时，a＝90﹣（b2+c3+d4）取最大值，
∴b，c，d要取最小值，则d取2，c取1，b取3，
∴a的最大值为90﹣（32+13+24）＝64，
∴a+2b+3c+4d的最大值是64+2×3+3×1+4×2＝81，
故答案为：81．
【分析】
根据题意结合乘方分别确定a，b，c，d的取值范围，得到4d≤12，3c≤12，2b≤18，a≤89，再分别确定a，b，c，d的值，即可得到a+2b+3c+4d的最大值．
三、解答题
18．（2024七上·玉环期中）跟随小希、小望，一起探究“分差”，完成问题．
【定义】对于确定顺序的三个互不相等的数：a，b，c，计算，，将这三个数的最小值称为a，b，c的“分差”．
【理解定义】例如，对于“1，，3”，确定顺序即，，， 所以，，， 所以“1，，3”的“分差”为．
【知识探究】 小希：如果将“1，，3”三个数均乘以2得“2，，6”，那么其分差为原分差乘以2，结果为． 问题①：通过计算判断小希的说法是否正确？ 小希：我猜想“a，b，c”的分差与“，，”的分差一定互为相反数！ 小望：不能这么轻易下结论，还要考虑所乘因数的正负性． 问题②：结合小望的考虑，请你举出一组数（绝对值不大于5的整数）加以计算说明小希的猜想是否正确．
【得出结论】 问题③：小希和小望通过讨论，最后得到一般性结论：当m为_____时，“，，”的分差为“a，b，c”的分差乘以m．（在横线处直接写出答案）
【答案】解：问题①：对于“2，，6”，确定顺序即，，，
∴，，，
∴“2，，6”的“分差”为，
∴小希的说法正确．
问题②：可以直接引用“1，，3”的分差，再求“，2，”的分差，
对于“，2，”，，，，
∴“，2，”的“分差”为，
∵与不是相反数，
∴小希的猜想错误．
问题③：正数或大于0
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律；相反数的意义与性质
【解析】【解答】问题③：由定义和问题①即可得出规律：当m为正数或大于0，“，，”的分差为“a，b，c”的分差乘以m．
故答案：正数或大于0．
【分析】问题①：对于“2，，6”，确定a，b，c的顺序，计算，，的值，即可判断得解；
问题②：可以直接引用“1，，3”的分差，再求“，2，”的分差，根据两个分差的关系即可判断得解；
问题③：由问题①与问题②即可得出规律，判断得解．
19．（2024七上·舟山期中）探究2个“新定义运算”问题．
（1）定义一种新运算“”，运算规则为：，则______．
（2）定义另一种新运算“”，运算规则未知，其运算符合下述规律：
，且，．
请先阅读范例，然后回答问题．
范例学习
若，
则，
；
或．
①若，
填空：______，______，______，______
②若，
计算：．
【答案】（1）1
（2）解：①4，-2，0，-7；
②，
，
，
同理可得：，，；，
．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
故答案为：1；
（2）解：①∵，
∴，，，
，
，
故答案为：4，-2，0，-7.
【分析】（1）根据新定义运算规则进行求解；
（2）①根据新定义运算规则进行求解；
②根据新定义规则计算进行求解．
（1）解：根据题意：；
（2）解：①根据题意：，
，
，
，
；
②，
，
，
同理：，，；
．
20．（2024七上·苍南期中）根据背景素材，探索解决问题．
周末小明一家打算去露营基地野餐
素材1 野餐准备计划路线图：家炸鸡店面包店水果店奶茶店露营基地；
素材2 这条路线近似看成东西走向．如果规定向东为正，向西为负，他这天行车里程（单位：）如下：，，，，；
素材3 滴滴车价目表：起步价（不超过时）车费8元，超过时，超出部分每千米车费加价2元，原价消费满10元赠送一张8折优惠券和一张7折优惠券（每种优惠券只能使用一次）．
问题解决
任务1 求露营基地在家的哪个方向，并求出与家的距离；
任务2 计算炸鸡店到面包店所用的车费；
任务3 说说该路线如何正确使用优惠券，使总车费最低，并求出最低总车费．
【答案】解：任务1：由题意可得：，
答：露营基地在家的西边处；
任务2：由题意可得：（元），
答：炸鸡店到面包店所需费用14元；
任务三：由题意可得水果店到奶茶店的原价费用为（元），
奶茶店到露营基地的原价费用为（元），
则水果店到奶茶店用8折券，奶茶店到露营基地用7折券，元）
答：水果店到奶茶店用8折券，奶茶店到露营基地用7折券，共用车费57.8元．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；正数、负数的实际应用
【解析】【分析】任务1：根据正负数的意义进行计算即可；
任务2：根据素材三分析列出式子计算即可；
任务3：先计算出面包店到水果店和奶茶店到露营基地的原价费用，再根据价高者使用7折券，计算出总车费即可．
21．（2024七上·金华期中）观察下列等式，发现规律，并解决问题．
．．．．．．
（1）由上述式子的规律，计算：．
（2）类比以上式子的规律，计算：．
（3）类比第（1）题，计算：
【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【分析】（1）将每项拆为两个分数的差，再计算；
（2）将每项拆为两个分数的差的，再计算；
（3）根据（1）（2）中的规律进行求解即可．
（1）解：由题意得：
；
（2）解：由题意得：
；
（3）解：由（1）（2）规律可得：
．
22．（2024七上·新昌期中）国庆期间小明妈妈收到浙江电力9月份家庭用电的短信，妈妈把短信截图（如图1）发给正在读七年级的小明，让小明计算一下电费，小明根据所学知识展开计算：
小明通过查阅资料，获得图2材料并归纳出以下信息：
①为了鼓励大家错峰用电，每天22：00至第二天8：00实行低谷电价，8：00至22：00实行高峰电价；
②居民年用电量第一档共有2760度，第二档共有2040度；
（1）根据用电情况信息，可以得出9月份440度用电量中，处于第二档收费的用电量是______度；
（2）请计算小明家今年前9个月的总用电量；
（3）求小明家9月份的电费．
【答案】（1）
（2）解：由（1）可得，平均每月的用电量为度，
∴今年前9个月的总用电量；（度）；
（3）解：9月份中度，第一档有度，其中谷度，
∴高峰时的电量为（度），
∴费用为：（元），
第二档用电量为度，其中谷度，
高峰时的电量为（度），
∴费用为：（元），
∴（元），
∴小明家9月份的电费是元．
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】（1）解：∵居民年用电量第一档共有度，
∴平均每月的用电量为：（度），
∵9月份的用电量是度，
∴处于第二档的有（度），
故答案为：；
【分析】
（1）根据材料提示，第一档平均每月的用电量为度，由此即可求解；
（2）根据第一档的平均用电量算出前8个月的电量，再加上9月的电量即可求解；
（3）分别算出第一档的费用，第二档的费用，然后将两档费用相加即可求解．
（1）解：∵居民年用电量第一档共有度，
∴平均每月的用电量为：（度），
∵9月份的用电量是度，
∴处于第二档的有（度），
故答案为：；
（2）解：由（1）可得，平均每月的用电量为度，
∴今年前9个月的总用电量；（度）；
（3）解：9月份中度，第一档有度，其中谷度，
∴高峰时的电量为（度），
∴费用为：（元），
第二档用电量为度，其中谷度，
高峰时的电量为（度），
∴费用为：（元），
∴（元），
∴小明家9月份的电费是元．
23．（2024七上·上城期中）阅读下面材料：
圆圆在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的三个数，，称为数列，，．计算，，的值，将这三个数的最小值称为数列，，的价值．例如，对于数列，，，因为，，，所以数列，，的价值为．
圆圆进一步研究发现：改变数列，，三个数的顺序，可得若干个数列，这些数列都可以按照上述方法计算其相应的价值．如数列，，的价值为；数列，，的价值为；经过研究，圆圆发现，对于“，，”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为．
根据以上材料，回答下列问题：
（1）求数列，，的价值；
（2）填空：将“，，”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的价值的最小值为 ，取得价值最小值的数列为 （写出所有答案）．
（3）已知，将“，，”这三个数按照不同的顺序排列，可得若干个数列，若这些数列的价值的最小值为，求的值．
【答案】（1）解：∵，，，
又∵
∴数列，，的价值为；
（2）；，，或，，
（3）解：由题意，数列不同顺序排列后的计算价值时，所有的情况有：，，，，，，，
∵这些数列的价值的最小值为，
∴情况一；当时，
解得：或，
∵，
∴，
此时，，，
故满足条件；
情况二：当时，
解得：或，
又∵，
∴不合题意，舍去；
情况三：当时，
解得：或，
当时，，
∴不合题意，舍去；
情况四：当时，
解得：或，
当时，，
∴不合题意，舍去；
综上，若这些数列的价值的最小值为，则的值为，或.
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律；绝对值的概念与意义；探索规律-数列中的规律；分类讨论
【解析】【解答】（2）解：①由（1）得，数列，，的价值为；
②当数列为、、时，，，，
∵3＜4＜5，
∴数列、、的价值为；
③当数列为，，时，，，，
∵，
∴数列，，的价值为；
④当数列为，，时，，，，
∵，
∴数列，，的价值为；
⑤当数列为，，时，，，，
∵
∴数列，，的价值为；
⑥当数列为，，时，，，，
∵3＜5＜6，
∴数列，，的价值为；
综上，这些数列的价值的最小值为，此时数列为，，或，，；
故答案为：；，，或，，.
【分析】（1）根据上述材料给出的方法计算，，的值 ，结果的最小值即为数列的价值；
（2）分类讨论，列举计算，然后比较大小即可得解；
（3）由题意，数列不同顺序排列后的计算价值时，所有的情况有：，，，，，，，则分情况建立方程，，，，求出满足条件的的数值即可．
（1）解：因为，，，
所以数列，，的价值为；
（2）解：①数列，，的价值为；
②当数列为、、时，，，，
所以数列、、的价值为；
③当数列为，，时，，，，
所以数列，，的价值为；
④当数列为，，时，，，，
所以数列，，的价值为；
⑤当数列为，，时，，，，
所以数列，，的价值为；
⑥当数列为，，时，，，，
所以数列，，的价值为；
综上，这些数列的价值的最小值为，此时数列为，，或，，；
故答案为：；，，或，，；
（3）解：由题意，数列不同顺序排列后的计算价值时，所有的情况有：，，，，，，，
∵这些数列的价值的最小值为，
∴当时，
解得：或，
∵，
∴，
此时，，，
故满足条件；
当时，
解得：或，
∵，
∴不合题意，舍去；
当时，
解得：或，
当时，，
∴不合题意，舍去；
当时，
解得：或，
当时，，
∴不合题意，舍去；
综上，若这些数列的价值的最小值为，则的值为，或.
24．（2024七上·台州期中）根据以下素材，探索完成任务：
如何制定奶茶订购方案？
素材1 为庆祝在校运动会中取得团体优胜，班主任邱老师决定在某奶茶店订购46杯单价为15元的奶茶奖励全班同学．现有如下两种订购方式： 订购方式店铺优惠活动配送费电话订购每购买10杯奶茶，免费赠送1杯奶茶．免费某外卖下单订单总价（不含配送费）满20元起送，可使用红包立减抵扣，且一个订单只允许使用一个红包．元/单
注：下单后，每个订单结算时系统自动收取配送费．
素材2 邱老师是该外卖的会员，平台赠送她以下6个红包：
问题解决
问题1 若邱老师通过电话订购方式购买这46杯奶茶，则需花费多少元？
问题2 ①某顾客通过某外卖买一单3杯奶茶，使用不同的红包则花费不同，使用“无门槛红包”需花费________元；使用“吃货红包”满25可用需花费________元；使用“吃货红包”满45可用需花费________元． ②若邱老师通过某外卖分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用，则需花费多少元？
问题3 请帮助邱老师制定一个奶茶订购方案，使得订购总费用不超过625元． 确定订购方式与数量： 电话订购________杯，送________杯；外卖APP订购________杯．该方案订购总费用为_______元．
【答案】解：问题1：∵每购买10杯奶茶，免费赠送1杯奶茶，且订购46杯奶茶，
∴（元），
答：邱老师通过电话订购方式购买这46杯奶茶，则需花费630元；
问题2：②∵邱老师通过某外卖分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用，
∴（元），
答：邱老师通过某外卖分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用，则需花费667元；
问题3：30，3，13，623.5（答案不唯一）
【知识点】有理数混合运算的实际应用；有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：问题2：①依题意，（元），
∴某顾客通过某外卖买一单3杯奶茶，使用不同的红包则花费不同，使用“无门槛红包”需花费元；
依题意，（元），（元），
使用“吃货红包”满25可用需花费元；使用“吃货红包”满45可用需花费元．
故答案为：，，；
问题3：依题意，要制定一个奶茶订购方案，使得订购总费用不超过625元，
则电话订购30杯，送3杯，
此时（元），
∴（杯）
即外卖订购13杯，
则邱老师通过某外卖分五次下单这13杯奶茶，
其中三次都是使用“吃货红包”满45减8元，
则（元），
其中一次都是使用“吃货红包”满25减4元，
则（元），
其中一次都是使用 “无门槛红包”，
则（元），
∴，
∴电话订购30杯，送3杯；外卖APP订购13杯．该方案订购总费用为元．
故答案为：30，3，13，623.5（答案不唯一）
【分析】（1）由于每购买10杯奶茶，免费赠送1杯奶茶，则电话订购46杯奶茶可免费赠送4杯，即实际支付42杯奶茶费用即可；
（2）①由于3杯奶茶的费用恰好可以享受全部红包，因此可分三种情况分别计算即可；
②先使用3个“8元吃货红包”则需要购买9杯奶茶，即下3单；再使用2个“4元吃货红包”则需要购买4杯奶茶，即下2单；最后把剩余的一次性全部下单可享受”无门槛红包“，即共下了6单，再列式计算即可；
（3）根据情况可电话订购30杯，送3杯，再分别运用红包类型进行逐个列式计算，只要满足总费用不超过625元即可，答案不唯一．
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