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《绝对值》精选压轴题—2025年浙江省七（上）数学期中复习
一、单选题
1．（2024七上·龙湾期中）已知a、b、c为非零有理数，若，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．或
2．（2024七上·丽水期中） 已知a、b、c三个数在数轴上对应点的位置如图所示，下列几个判断中，正确的有（　　）
①；②；③；④；⑤的值一定是正数．
A．②③ B．②③④⑤ C．①③④ D．②④⑤
3．（2024七上·瑞安期中）已知实数在数轴上的对应点如图所示，下列式子：①；②；③；④。其中正确结论的为（　　）
A．①④ B．②③ C．①②③ D．②③④
二、填空题
4．（2024七上·温州期中）已知表示数在数轴上所对应的点到原点的距离．数，在数轴上所对应的两点之间的距离为，例如，，在数轴上所对应的两点之间的距离为．
（1）的最小值为　 　；
（2）的最小值为　 　．
5．（2024七上·西湖期中）已知表示2与的差的绝对值，实际上可理解为在数轴上正数2对应的点与负数对应的点之间的距离，则的最小值为　 　．
6．（2024七上·宁波期中）的最小值为　 　．
7．（2024七上·诸暨期中）已知，则的最大值是　 　．
三、解答题
8．（2024七上·嵊州期中）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．
利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示1和3两点之间的距离是 __________；
数轴上表示2和的两点之间的距离是 __________；
数轴上表示和的两点之间的距离是__________；
（2）数轴上表示x和的两点之间的距离表示为 __________；
（3）若x表示一个有理数，且，则__________；
9．（2024七上·海曙期中）已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|=|a-b|.
（1）数轴上点P代表的数是x，|x-6|可表示为点P到表示数　 　的距离：
若|x-6|=3，则x=　 　
（2）代数式|x-2|+|x+6|的最小值是　 　
（3）若|x+2|+|1-x|=9-|y-5|-|1+y|，则x+y的最大值是　 　
（4）数轴上三个不重合的点M，N，P，若M，N，P三个点中，其中一点到另外两点的距离恰好满足2倍的数量关系时，我们称这个点是其他两个点的“倍分点”.已知点M代表的数是-4，点N代表的数是8，若点P是其他两个点的“倍分点”，直接写出此时点P表示的数.
10．（2024七上·东阳期中）对于有理数，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，，则2和3关于1的“美好关联数”为3．
（1）和5关于2的“美好关联数”为　 　；
（2）若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值；
（3）若和关于1的“美好关联数”为和关于2的“美好关联数”为和关于3的“美好关联数”为1，和关于41的“美好关联数”为1，…．
①的最小值为 ▲ ．
②的最小值为多少？
11．（2024七上·江北期中）舟岱跨海大桥建成于2021年，全长26千米，桥梁主跨径创外海桥梁世界之最。舟岱跨海大桥上三座索塔与桥面的交点为A，B，C，A与B，B与C之间的距离均为550米，如图所示。若以点B为原点，向右为正方向，取1千米为单位长度画数轴，那么请解决以下问题：
（1）A、C两点在数轴上所表示的数分别是　 　、　 　 .
它们是一对　 　 . A. 互为倒数 B.互为相反数
（2）道路养护车甲从A点出发，沿着数轴向左行驶，速度为60千米/小时。同时，道路养护车乙从C点出发，向右行驶，速度为50千米/小时。
①当行驶t小时，甲车和乙车在数轴上表示的数分别是多少？试用代数式表示。
②当t=6分钟时，甲、乙两车同时停止，试求出两车的距离。
（3）在（2）的条件下，将甲、乙两车停止时的位置标上记号，分别用P、Q表示。养护车丙进行协助工作，沿着数轴方向，自左向右行驶。若养护车丙在数轴上所表示的数为x，问：x与P、Q两点距离之和最小时，对应的x应满足的条件为　 　 .
（4）拓展应用：
试求出取得最小值时，x应满足的条件是什么？其最小值为多少？.
四、阅读理解
12．（2024七上·杭州期中）【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．小亮决定对此进行变化应用：
（1）应用一：已知如图，点在数轴上表示为，数轴上任意一点表示的数为，则两点的距离可以表示为 ，
（2）应用二：若点表示的整数为，则当为　　时，与的值相等；
（3）应用三：表示数轴上有理数所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你写出的最小值为　　，此时所有符合条件的整数的和为　　
（4）应用四：求的最小值为
13．（2024七上·丽水期中） 【阅读理解】
表示5与2的差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理可以理解为与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，就表示在数轴上对应的点到表示的点的距离．
（1）【尝试应用】
①数轴上表示和3的两点之间的距离是　 　（写出最后结果）；
②若，则　 　；
（2）【动手探究】
伦伦在草稿纸上画了一条数轴，并折叠纸面，若表示的点与表示1的点重合．
①表示的点与数　 　表示的点重合；
②若数轴上、两点之间距离为8（在的左侧），且、两点经折叠后重合，则表示的数是　 　，表示的数是　 　；
③若点表示的数为，点表示的数为（在的左侧），且，两点经折叠刚好重合，那么与之间的数量关系是　 　；
（3）【拓展延伸】
当时，的最小值是　 　．
五、实践探究题
14．（2024七上·长兴期中）【问题背景】在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
已知．求x的值，我们采用分类讨论的方法：
①当时，，．
②当时，，．
所以或．
【解决问题】若a与b的乘积不等于0，求的值．
①a，b均是正数时，________；
②当a，b均是负数时，________；
③当a，b是一正一负时，________；
【探究拓展】
（1）已知a，b，c是有理数，当a，b，c三数的乘积小于0时，求的值；
（2）根据以上解题思路，请探究：
（其中，，均为不等于0的实数），
x共有________个不同的值，在这些不同的值中，最大的值减去最小的值的差等于________．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：，
，，，
，
∵为非零有理数，，
∴中有一个正数，两个负数或中有两个正数，一个负数，
不妨设，，，
；
不妨设，，，
，
综上所述，的值为，
故答案为：C．
【分析】先求出的值，将原式转化为求的值，然后分两种情况求解：若a、b、c中有一个正数，两个负数；若a、b、c中有两个正数，一个负数，最后根据绝对值的意义进行化简即可.
2．【答案】A
【知识点】判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由图可知：b∵a<0，c>0，∴ac<0，故②正确；
∵b0，∴|a-b|=a-b，故③正确；
∵b<0，c>0，∴|b|+|c|=-b+c，故④错误；
∵a<0，∴a+1的值不一定是正数，故⑤错误.
故答案为：A.
【分析】由数轴可知b3．【答案】D
【知识点】有理数的减法法则；有理数的乘法法则；化简含绝对值有理数；有理数的加法法则；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴上的点所表示数的特点得a＜0＜b＜c，且|b|＜|c|＜|a|，
∴c-b+a＜0，ab＜0，bc＜0，b-a＞0，a+c＜0，c-b＞0，
∴ab+bc＜0，
|b-a|+|a+c|+|c-b|=b-a-a-c+c-b=-2a，
故①错误，②③④都正确.
故答案为：D.
【分析】由数轴上的点所表示数的特点得a＜0＜b＜c，且|b|＜|c|＜|a|，由有理数的乘法法则判断出ab、bc的正负，根据根据有理数的加减法法则判断出c-b+a，b-a，a+c，c-b，ab+bc的正负，可判断①与②；再根据绝对值性质化简计算后可判断③④.
4．【答案】（1）；（2）
【知识点】数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：（1）∵数，在数轴上所对应的两点之间的距离为
∴当时，；
当时，；
当时，；
∴的最小值为；
（2）当时，；
当时，，
∴；
当时，；
∴的最小值为．
故答案为：（1）；（2）．
【分析】本题考查数轴的知识，数轴的性质.
(1)根据数，在数轴上所对应的两点之间的距离为，分三种情况：当时；当时；当时；利用绝对值的意义将式子去绝对值，进而可求出的最小值；
(2)分三种情况：当时；当时；当时；利用绝对值的意义将式子去绝对值，进而可求出的最小值；
5．【答案】4
【知识点】数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义；多个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：表示到数，1，3的距离和，
∴当时，
，
∴有最小值4．
故答案为：4．
【分析】本题考查的内容为绝对值的几何意义与有理数加法的计算。在数轴上表示到数，1，3的距离和，所以通过数形结合分析，当时，整个式子取到最小值4.
6．【答案】8
【知识点】整式的加减运算；化简含绝对值有理数；多个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：当时，
，
当时，
，
此时；
当时，
，
此时；
当时，
，
此时；
当时，
，
此时；
综上分析可知：的最小值为8．
故答案为：8．
【分析】分，，，，五种情况，去掉绝对值合并即可解题．
7．【答案】7
【知识点】数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：∵表示数轴上表示x的点到表示和2的两个点的距离之和，
∴．
同理：，，
∵，
∴、，．
∴．
∴的最大值为．
故答案为：7．
【分析】根据数轴上两点间的距离公式可得|x+1|+|x-2|表示数轴上表示x的点到表示和2的两个点的距离之和，根据两点之间线段最短可得当表示x的点在-1和2的两个点之间时， 最小为3，故，同理：，，结合有理数的乘法法则及题意可得，，，于是，然后代入即可解答．
8．【答案】（1）2，7，6
（2）
（3）6
【知识点】有理数的减法法则；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：（1）数轴上表示1和3两点之间的距离是；
数轴上表示2和的两点之间的距离是；
数轴上表示和的两点之间的距离是
故答案为：2；7；6；
（2）因为在数轴上、两点之间的距离
所以数轴上表示和的两点之间的距离表示为．；
故答案为：；
（3）表示数x表示的点到数2和表示点的距离之和，
∵，
∴．
故答案为：6．
【分析】（1）根据数轴两点之间的距离表示出来，进行计算即可；
（2）根据数轴两点之间距离表示出来即可；
（3）根据绝对值的几何意义与数轴的关系，正确的去掉绝对值，进行计算即可。
（1）解：数轴上表示1和3两点之间的距离是；
数轴上表示2和的两点之间的距离是；
数轴上表示和的两点之间的距离是
故答案为：2；7；6；
（2）解：因为在数轴上、两点之间的距离
所以数轴上表示和的两点之间的距离表示为．；
故答案为：；
（3）解：表示数x表示的点到数2和表示点的距离之和，
∵，
∴．
故答案为：6．
9．【答案】（1）6；3或9
（2）8
（3）6
（4）解：点P所表示的数为-16或0或4或20.
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；数轴上两点之间的距离；两个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：（1）∵ 点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|=|a-Ы ，
∴数轴上点P代表的数是x，|x-6|可表示为点P到表示数6的点的距离；
∵|x-6|=3，
∴点P到表示数6的点的距离为3，
∴点P可以是3或9；
故答案为：6；3或9；
（2） ∵|x-2|+|x+6|=|x-2|+|x-(-6)|
∴代数式|x-2|+|x+6|表示点P到表示数2的点和表示数-6的点的距离之和，
∴当点P位于表示-6和2的点之间时，距离之和最小，最小值为8；
故答案为：8；
（3）∵ |x+2|+|1-x| = |x-(-2)|+|1-x| ，- |y-5|-|1+y| =- |y-5|-|y-(-1)| ，
∴ |x+2|+|1-x|=9-|y-5|-|1+y| = |x-(-2)|+|1-x| + |y-5|+|y-(-1)|=9，
∴等式表示点P到表示数-2和1的点距离之和，以及表示数y的点到表示数5和-1的点距离之和等于9，
∵ |x-(-2)|+|1-x| 的最小值为3， |y-5|+|y-(-1)|的最小值为6，
∴x+y的最大值为6；
（4）分类讨论：
①当点P在点M的左边时，有PN=2PM，即|8-x|=2|-4-x|，解得x=-16；
②当点P在点M、N之间，且靠近点M时，有PN=2PM，即|8-x|=2|-4-x|，解得x=0；
③当点P在点M、N之间，且靠近点N时，有PM=2PN，即|8-x|=2|-4-x|，解得x=4；
④当点P在点N的右边，有PM=2PN，即|8-x|=2|-4-x|，解得x=20；
综上，点P所表示的数为-16或0或4或20.
【分析】（1）根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示数差的绝对值可得第一空答案；根据数轴上任意两点间的距离公式可得点P到表示数6的点的距离为3，然后分点P在表示6的点的左边与右边两种情况作答可得第二空答案；
（2）根据数轴上任意两点间的距离公式取最值的方法即可作答；
（3）根据数轴上任意两点间的距离公式取最值的方法即可作答；
（4）分类讨论：①当点P在点M的左边时，有PN=2PM，②当点P在点M、N之间，且靠近点M时，有PN=2PM，③当点P在点M、N之间，且靠近点N时，有PM=2PN，④当点P在点N的右边，有PM=2PN，分别根据数轴上任意两点间的距离公式表示出PM、PN，再结合绝对值性质分别求解即可.
10．【答案】（1）8
（2）解：和2关于3的“美好关联数”为4，
，，解得或；
（3）解：①1
②由题意可知：
，
的最小值；
，的最小值；
同理，的最小值；
的最小值；
……；
的最小值；
的最小值：
【知识点】求有理数的绝对值的方法；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：（1）
（3）①和关于1的“美好关联数”为1，，
在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1，
有最小值1，故答案为：1；
【分析】(1)认真读懂题意，利用新定义计算即可；
(2)利用新定义计算求未知数x；
(3)①读懂题意寻找规律，利用规律计算；
②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，分析到2、4、6、 8、………、40的距离和为1的时候两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值.
11．【答案】（1）-0.55；0.55；B
（2）解：①甲：
乙：
②当t=6分钟时，即t=小时，甲：（千米）
乙：=（千米）
所以，两地相距为：(千米)
（3）
（4）解：满足条件：.
最小值为：.
【知识点】有理数在数轴上的表示；判断两个数互为相反数；多个绝对值的和的最值；用代数式表示实际问题中的数量关系；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：（1）根据题意，B点表示0，则C点表示0.55，A点表示-0.55，它们是一对互为相反数.
故答案为：-0.55，0.55，B；
（3）当x处于P、Q之间时， x与P、Q两点距离之和最小.
∴.
【分析】（1）根据条件“以B为原点”可知B点表示0，再根据AB、BC长分别得出A、C所表示的数，然后判断关系；
（2）①根据题意，结合（1）结论得到代数式；②将t=6代入上述代数式中求值即可；
（3）根据绝对值的几何意义可知，当x处于P、Q之间时， x与P、Q两点距离之和最小；
（4）根据绝对值的几何意义可知，当x处于时取得最小值，因此的最小值为2，的最小值为4，如此类推，的最小值为，而的最小值为101，因此总体的最小值即为.
12．【答案】（1）
（2）
（3）7；-12
（4）997002
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义；化简含绝对值有理数；多个绝对值的和的最值
【解析】【解答】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：与的值相等，
表示的数与表示4和的数的距离相等，
表示的数是表示4和的数的中点，
，
故答案为：．
（3）解：表示对应的点到和2对应的两点距离之和，
当时，有最小值，最小值为，
整数有、、、、、0、1、2，它们的和为，
故答案为：7；；
（4）解：由已知条件可知，表示到的距离，只有当到1的距离等于到1997的距离时，式子取得最小值．
当时，式子取得最小值，
此时，
．
【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的几何应用是解题关键．
（1）根据题意可得数轴上表示的数与表示的数的距离，即可求解；
（2）根据题意可得数轴上表示的数与表示4和的数的距离相等，则数轴上表示的数是表示4和的数的中点，据此求解即可；
（3）根据表示的意义，可得当时，有最小值，据此化简绝对值求出最小值，再求出符合题意的的值的和即可；
（4）观察已知条件可以发现，表示到的距离．得出只有当到1的距离等于到1997的距离时，式子取得最小值，即找出与最小数和最大数距离相等的的值，此时式子得出的值则为最小值．
（1）解：，
故答案为：；
（2）解：与的值相等，
表示的数与表示4和的数的距离相等，
表示的数是表示4和的数的中点，
，
故答案为：．
（3）解：表示对应的点到和2对应的两点距离之和，
当时，有最小值，最小值为，
整数有、、、、、0、1、2，它们的和为，
故答案为：7；；
（4）解：由已知条件可知，表示到的距离，只有当到1的距离等于到1997的距离时，式子取得最小值．
当时，式子取得最小值，
此时，
．
13．【答案】（1）9；1或-7
（2）；-5；3；a+b=-2
（3）-15
【知识点】有理数在数轴上的表示；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：（1）①-6和3的两点之间的距离是：；
②表示x与-3两数再数轴上所对应的两点之间的距离为4，
∴x=1或-7
故答案为：9，1或-7.
（2）①∵数轴上表示-3的点与表示1的点重合，
∴-3与1的中点为，
设表示的点与数x表示的点重合，
∴，
解得，
②设点A表示的数为a，点B表示的数为6，
∴b-a=8，，
解得a =-5，b=3，
③∵，
∴a+b=-2，
故答案为：；-5，3；a+b=-2.
(3)当-3≤x≤2时，|x+3|+|x-2|的最小值为|-3-2| =5，
当-1≤y≤5时，|y+1|+|y-5|的最小值为|1-(-5)|=6，
∵|x+З|+|x-2|+|y+1|+|y-5|=11时，
∴-3≤x≤2，-1≤y≤5，
∴x·y的最小值为-3×5=-15，
故答案为：-15.
【分析】(1)依据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可；
(2)①求出重合点所表示的数，再根据数轴上“中点”所表示数的计算方法列方程进行解答即可；②由①得b-a=8，即可；③由数轴上两点“中点”所表示的数的计算方法进行解答即可；
(3)根据|x+З|+|x-2|的最小值是5，|y+1|+|y-5|的最小值是6，再根据
|x+З|+|x-2|+|y+1|+|y-5|=11，确定x、y的取值范围，从而进行计算即可.
14．【答案】[解决问题]2，，0；
[探究拓展]：
（1）∵a，b，c三数的乘积小于0
∴a、b、c中有两个正数和一个负数，或三个都是负数，
则，或，
（2）2025，4048
【知识点】化简含绝对值有理数；探索规律-计数类规律；分类讨论
【解析】【解答】解：[解决问题]
①a，b均是正数时，由[问题背景]可知，则；
②当a，b均是负数时，由[问题背景]可知，则；
③当a，b是一正一负时，由[问题背景]可知当时，，当时，，则；
故答案为：2，，0；
[探究拓展]
（2）当有0个正数、1个正数、……2024个正数，则有2025种不同情况，故有2025个不同的值，
当，，均为正数时，x取得最大值为2024，
当，，均为负数时，x取得最小值为，
则．
故答案为：2025；4048.
【分析】[解决问题]①②③利用a、b的取值范围及绝对值的性质进行化简，可求出x的值.
[探究拓展] （1）分情况讨论：a、b、c中有两个正数和一个负数时；a、b、c中三个都是负数，分别利用绝对值的性质进行计算.
（2）利用分类讨论思想可得有0个正数、1个正数、……2024个正数，则有2025种不同情况，对应有2025个不同的值，且当，，均为正数时，x取得最大值为2024，当，，均为负数时，x取得最小值为，并相减即可．
1 / 1《绝对值》精选压轴题—2025年浙江省七（上）数学期中复习
一、单选题
1．（2024七上·龙湾期中）已知a、b、c为非零有理数，若，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．或
【答案】C
【知识点】化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：，
，，，
，
∵为非零有理数，，
∴中有一个正数，两个负数或中有两个正数，一个负数，
不妨设，，，
；
不妨设，，，
，
综上所述，的值为，
故答案为：C．
【分析】先求出的值，将原式转化为求的值，然后分两种情况求解：若a、b、c中有一个正数，两个负数；若a、b、c中有两个正数，一个负数，最后根据绝对值的意义进行化简即可.
2．（2024七上·丽水期中） 已知a、b、c三个数在数轴上对应点的位置如图所示，下列几个判断中，正确的有（　　）
①；②；③；④；⑤的值一定是正数．
A．②③ B．②③④⑤ C．①③④ D．②④⑤
【答案】A
【知识点】判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由图可知：b∵a<0，c>0，∴ac<0，故②正确；
∵b0，∴|a-b|=a-b，故③正确；
∵b<0，c>0，∴|b|+|c|=-b+c，故④错误；
∵a<0，∴a+1的值不一定是正数，故⑤错误.
故答案为：A.
【分析】由数轴可知b3．（2024七上·瑞安期中）已知实数在数轴上的对应点如图所示，下列式子：①；②；③；④。其中正确结论的为（　　）
A．①④ B．②③ C．①②③ D．②③④
【答案】D
【知识点】有理数的减法法则；有理数的乘法法则；化简含绝对值有理数；有理数的加法法则；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴上的点所表示数的特点得a＜0＜b＜c，且|b|＜|c|＜|a|，
∴c-b+a＜0，ab＜0，bc＜0，b-a＞0，a+c＜0，c-b＞0，
∴ab+bc＜0，
|b-a|+|a+c|+|c-b|=b-a-a-c+c-b=-2a，
故①错误，②③④都正确.
故答案为：D.
【分析】由数轴上的点所表示数的特点得a＜0＜b＜c，且|b|＜|c|＜|a|，由有理数的乘法法则判断出ab、bc的正负，根据根据有理数的加减法法则判断出c-b+a，b-a，a+c，c-b，ab+bc的正负，可判断①与②；再根据绝对值性质化简计算后可判断③④.
二、填空题
4．（2024七上·温州期中）已知表示数在数轴上所对应的点到原点的距离．数，在数轴上所对应的两点之间的距离为，例如，，在数轴上所对应的两点之间的距离为．
（1）的最小值为　 　；
（2）的最小值为　 　．
【答案】（1）；（2）
【知识点】数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：（1）∵数，在数轴上所对应的两点之间的距离为
∴当时，；
当时，；
当时，；
∴的最小值为；
（2）当时，；
当时，，
∴；
当时，；
∴的最小值为．
故答案为：（1）；（2）．
【分析】本题考查数轴的知识，数轴的性质.
(1)根据数，在数轴上所对应的两点之间的距离为，分三种情况：当时；当时；当时；利用绝对值的意义将式子去绝对值，进而可求出的最小值；
(2)分三种情况：当时；当时；当时；利用绝对值的意义将式子去绝对值，进而可求出的最小值；
5．（2024七上·西湖期中）已知表示2与的差的绝对值，实际上可理解为在数轴上正数2对应的点与负数对应的点之间的距离，则的最小值为　 　．
【答案】4
【知识点】数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义；多个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：表示到数，1，3的距离和，
∴当时，
，
∴有最小值4．
故答案为：4．
【分析】本题考查的内容为绝对值的几何意义与有理数加法的计算。在数轴上表示到数，1，3的距离和，所以通过数形结合分析，当时，整个式子取到最小值4.
6．（2024七上·宁波期中）的最小值为　 　．
【答案】8
【知识点】整式的加减运算；化简含绝对值有理数；多个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：当时，
，
当时，
，
此时；
当时，
，
此时；
当时，
，
此时；
当时，
，
此时；
综上分析可知：的最小值为8．
故答案为：8．
【分析】分，，，，五种情况，去掉绝对值合并即可解题．
7．（2024七上·诸暨期中）已知，则的最大值是　 　．
【答案】7
【知识点】数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：∵表示数轴上表示x的点到表示和2的两个点的距离之和，
∴．
同理：，，
∵，
∴、，．
∴．
∴的最大值为．
故答案为：7．
【分析】根据数轴上两点间的距离公式可得|x+1|+|x-2|表示数轴上表示x的点到表示和2的两个点的距离之和，根据两点之间线段最短可得当表示x的点在-1和2的两个点之间时， 最小为3，故，同理：，，结合有理数的乘法法则及题意可得，，，于是，然后代入即可解答．
三、解答题
8．（2024七上·嵊州期中）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．
利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示1和3两点之间的距离是 __________；
数轴上表示2和的两点之间的距离是 __________；
数轴上表示和的两点之间的距离是__________；
（2）数轴上表示x和的两点之间的距离表示为 __________；
（3）若x表示一个有理数，且，则__________；
【答案】（1）2，7，6
（2）
（3）6
【知识点】有理数的减法法则；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：（1）数轴上表示1和3两点之间的距离是；
数轴上表示2和的两点之间的距离是；
数轴上表示和的两点之间的距离是
故答案为：2；7；6；
（2）因为在数轴上、两点之间的距离
所以数轴上表示和的两点之间的距离表示为．；
故答案为：；
（3）表示数x表示的点到数2和表示点的距离之和，
∵，
∴．
故答案为：6．
【分析】（1）根据数轴两点之间的距离表示出来，进行计算即可；
（2）根据数轴两点之间距离表示出来即可；
（3）根据绝对值的几何意义与数轴的关系，正确的去掉绝对值，进行计算即可。
（1）解：数轴上表示1和3两点之间的距离是；
数轴上表示2和的两点之间的距离是；
数轴上表示和的两点之间的距离是
故答案为：2；7；6；
（2）解：因为在数轴上、两点之间的距离
所以数轴上表示和的两点之间的距离表示为．；
故答案为：；
（3）解：表示数x表示的点到数2和表示点的距离之和，
∵，
∴．
故答案为：6．
9．（2024七上·海曙期中）已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|=|a-b|.
（1）数轴上点P代表的数是x，|x-6|可表示为点P到表示数　 　的距离：
若|x-6|=3，则x=　 　
（2）代数式|x-2|+|x+6|的最小值是　 　
（3）若|x+2|+|1-x|=9-|y-5|-|1+y|，则x+y的最大值是　 　
（4）数轴上三个不重合的点M，N，P，若M，N，P三个点中，其中一点到另外两点的距离恰好满足2倍的数量关系时，我们称这个点是其他两个点的“倍分点”.已知点M代表的数是-4，点N代表的数是8，若点P是其他两个点的“倍分点”，直接写出此时点P表示的数.
【答案】（1）6；3或9
（2）8
（3）6
（4）解：点P所表示的数为-16或0或4或20.
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；数轴上两点之间的距离；两个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：（1）∵ 点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|=|a-Ы ，
∴数轴上点P代表的数是x，|x-6|可表示为点P到表示数6的点的距离；
∵|x-6|=3，
∴点P到表示数6的点的距离为3，
∴点P可以是3或9；
故答案为：6；3或9；
（2） ∵|x-2|+|x+6|=|x-2|+|x-(-6)|
∴代数式|x-2|+|x+6|表示点P到表示数2的点和表示数-6的点的距离之和，
∴当点P位于表示-6和2的点之间时，距离之和最小，最小值为8；
故答案为：8；
（3）∵ |x+2|+|1-x| = |x-(-2)|+|1-x| ，- |y-5|-|1+y| =- |y-5|-|y-(-1)| ，
∴ |x+2|+|1-x|=9-|y-5|-|1+y| = |x-(-2)|+|1-x| + |y-5|+|y-(-1)|=9，
∴等式表示点P到表示数-2和1的点距离之和，以及表示数y的点到表示数5和-1的点距离之和等于9，
∵ |x-(-2)|+|1-x| 的最小值为3， |y-5|+|y-(-1)|的最小值为6，
∴x+y的最大值为6；
（4）分类讨论：
①当点P在点M的左边时，有PN=2PM，即|8-x|=2|-4-x|，解得x=-16；
②当点P在点M、N之间，且靠近点M时，有PN=2PM，即|8-x|=2|-4-x|，解得x=0；
③当点P在点M、N之间，且靠近点N时，有PM=2PN，即|8-x|=2|-4-x|，解得x=4；
④当点P在点N的右边，有PM=2PN，即|8-x|=2|-4-x|，解得x=20；
综上，点P所表示的数为-16或0或4或20.
【分析】（1）根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示数差的绝对值可得第一空答案；根据数轴上任意两点间的距离公式可得点P到表示数6的点的距离为3，然后分点P在表示6的点的左边与右边两种情况作答可得第二空答案；
（2）根据数轴上任意两点间的距离公式取最值的方法即可作答；
（3）根据数轴上任意两点间的距离公式取最值的方法即可作答；
（4）分类讨论：①当点P在点M的左边时，有PN=2PM，②当点P在点M、N之间，且靠近点M时，有PN=2PM，③当点P在点M、N之间，且靠近点N时，有PM=2PN，④当点P在点N的右边，有PM=2PN，分别根据数轴上任意两点间的距离公式表示出PM、PN，再结合绝对值性质分别求解即可.
10．（2024七上·东阳期中）对于有理数，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，，则2和3关于1的“美好关联数”为3．
（1）和5关于2的“美好关联数”为　 　；
（2）若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值；
（3）若和关于1的“美好关联数”为和关于2的“美好关联数”为和关于3的“美好关联数”为1，和关于41的“美好关联数”为1，…．
①的最小值为 ▲ ．
②的最小值为多少？
【答案】（1）8
（2）解：和2关于3的“美好关联数”为4，
，，解得或；
（3）解：①1
②由题意可知：
，
的最小值；
，的最小值；
同理，的最小值；
的最小值；
……；
的最小值；
的最小值：
【知识点】求有理数的绝对值的方法；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：（1）
（3）①和关于1的“美好关联数”为1，，
在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1，
有最小值1，故答案为：1；
【分析】(1)认真读懂题意，利用新定义计算即可；
(2)利用新定义计算求未知数x；
(3)①读懂题意寻找规律，利用规律计算；
②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，分析到2、4、6、 8、………、40的距离和为1的时候两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值.
11．（2024七上·江北期中）舟岱跨海大桥建成于2021年，全长26千米，桥梁主跨径创外海桥梁世界之最。舟岱跨海大桥上三座索塔与桥面的交点为A，B，C，A与B，B与C之间的距离均为550米，如图所示。若以点B为原点，向右为正方向，取1千米为单位长度画数轴，那么请解决以下问题：
（1）A、C两点在数轴上所表示的数分别是　 　、　 　 .
它们是一对　 　 . A. 互为倒数 B.互为相反数
（2）道路养护车甲从A点出发，沿着数轴向左行驶，速度为60千米/小时。同时，道路养护车乙从C点出发，向右行驶，速度为50千米/小时。
①当行驶t小时，甲车和乙车在数轴上表示的数分别是多少？试用代数式表示。
②当t=6分钟时，甲、乙两车同时停止，试求出两车的距离。
（3）在（2）的条件下，将甲、乙两车停止时的位置标上记号，分别用P、Q表示。养护车丙进行协助工作，沿着数轴方向，自左向右行驶。若养护车丙在数轴上所表示的数为x，问：x与P、Q两点距离之和最小时，对应的x应满足的条件为　 　 .
（4）拓展应用：
试求出取得最小值时，x应满足的条件是什么？其最小值为多少？.
【答案】（1）-0.55；0.55；B
（2）解：①甲：
乙：
②当t=6分钟时，即t=小时，甲：（千米）
乙：=（千米）
所以，两地相距为：(千米)
（3）
（4）解：满足条件：.
最小值为：.
【知识点】有理数在数轴上的表示；判断两个数互为相反数；多个绝对值的和的最值；用代数式表示实际问题中的数量关系；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：（1）根据题意，B点表示0，则C点表示0.55，A点表示-0.55，它们是一对互为相反数.
故答案为：-0.55，0.55，B；
（3）当x处于P、Q之间时， x与P、Q两点距离之和最小.
∴.
【分析】（1）根据条件“以B为原点”可知B点表示0，再根据AB、BC长分别得出A、C所表示的数，然后判断关系；
（2）①根据题意，结合（1）结论得到代数式；②将t=6代入上述代数式中求值即可；
（3）根据绝对值的几何意义可知，当x处于P、Q之间时， x与P、Q两点距离之和最小；
（4）根据绝对值的几何意义可知，当x处于时取得最小值，因此的最小值为2，的最小值为4，如此类推，的最小值为，而的最小值为101，因此总体的最小值即为.
四、阅读理解
12．（2024七上·杭州期中）【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．小亮决定对此进行变化应用：
（1）应用一：已知如图，点在数轴上表示为，数轴上任意一点表示的数为，则两点的距离可以表示为 ，
（2）应用二：若点表示的整数为，则当为　　时，与的值相等；
（3）应用三：表示数轴上有理数所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你写出的最小值为　　，此时所有符合条件的整数的和为　　
（4）应用四：求的最小值为
【答案】（1）
（2）
（3）7；-12
（4）997002
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义；化简含绝对值有理数；多个绝对值的和的最值
【解析】【解答】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：与的值相等，
表示的数与表示4和的数的距离相等，
表示的数是表示4和的数的中点，
，
故答案为：．
（3）解：表示对应的点到和2对应的两点距离之和，
当时，有最小值，最小值为，
整数有、、、、、0、1、2，它们的和为，
故答案为：7；；
（4）解：由已知条件可知，表示到的距离，只有当到1的距离等于到1997的距离时，式子取得最小值．
当时，式子取得最小值，
此时，
．
【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的几何应用是解题关键．
（1）根据题意可得数轴上表示的数与表示的数的距离，即可求解；
（2）根据题意可得数轴上表示的数与表示4和的数的距离相等，则数轴上表示的数是表示4和的数的中点，据此求解即可；
（3）根据表示的意义，可得当时，有最小值，据此化简绝对值求出最小值，再求出符合题意的的值的和即可；
（4）观察已知条件可以发现，表示到的距离．得出只有当到1的距离等于到1997的距离时，式子取得最小值，即找出与最小数和最大数距离相等的的值，此时式子得出的值则为最小值．
（1）解：，
故答案为：；
（2）解：与的值相等，
表示的数与表示4和的数的距离相等，
表示的数是表示4和的数的中点，
，
故答案为：．
（3）解：表示对应的点到和2对应的两点距离之和，
当时，有最小值，最小值为，
整数有、、、、、0、1、2，它们的和为，
故答案为：7；；
（4）解：由已知条件可知，表示到的距离，只有当到1的距离等于到1997的距离时，式子取得最小值．
当时，式子取得最小值，
此时，
．
13．（2024七上·丽水期中） 【阅读理解】
表示5与2的差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理可以理解为与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，就表示在数轴上对应的点到表示的点的距离．
（1）【尝试应用】
①数轴上表示和3的两点之间的距离是　 　（写出最后结果）；
②若，则　 　；
（2）【动手探究】
伦伦在草稿纸上画了一条数轴，并折叠纸面，若表示的点与表示1的点重合．
①表示的点与数　 　表示的点重合；
②若数轴上、两点之间距离为8（在的左侧），且、两点经折叠后重合，则表示的数是　 　，表示的数是　 　；
③若点表示的数为，点表示的数为（在的左侧），且，两点经折叠刚好重合，那么与之间的数量关系是　 　；
（3）【拓展延伸】
当时，的最小值是　 　．
【答案】（1）9；1或-7
（2）；-5；3；a+b=-2
（3）-15
【知识点】有理数在数轴上的表示；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：（1）①-6和3的两点之间的距离是：；
②表示x与-3两数再数轴上所对应的两点之间的距离为4，
∴x=1或-7
故答案为：9，1或-7.
（2）①∵数轴上表示-3的点与表示1的点重合，
∴-3与1的中点为，
设表示的点与数x表示的点重合，
∴，
解得，
②设点A表示的数为a，点B表示的数为6，
∴b-a=8，，
解得a =-5，b=3，
③∵，
∴a+b=-2，
故答案为：；-5，3；a+b=-2.
(3)当-3≤x≤2时，|x+3|+|x-2|的最小值为|-3-2| =5，
当-1≤y≤5时，|y+1|+|y-5|的最小值为|1-(-5)|=6，
∵|x+З|+|x-2|+|y+1|+|y-5|=11时，
∴-3≤x≤2，-1≤y≤5，
∴x·y的最小值为-3×5=-15，
故答案为：-15.
【分析】(1)依据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可；
(2)①求出重合点所表示的数，再根据数轴上“中点”所表示数的计算方法列方程进行解答即可；②由①得b-a=8，即可；③由数轴上两点“中点”所表示的数的计算方法进行解答即可；
(3)根据|x+З|+|x-2|的最小值是5，|y+1|+|y-5|的最小值是6，再根据
|x+З|+|x-2|+|y+1|+|y-5|=11，确定x、y的取值范围，从而进行计算即可.
五、实践探究题
14．（2024七上·长兴期中）【问题背景】在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
已知．求x的值，我们采用分类讨论的方法：
①当时，，．
②当时，，．
所以或．
【解决问题】若a与b的乘积不等于0，求的值．
①a，b均是正数时，________；
②当a，b均是负数时，________；
③当a，b是一正一负时，________；
【探究拓展】
（1）已知a，b，c是有理数，当a，b，c三数的乘积小于0时，求的值；
（2）根据以上解题思路，请探究：
（其中，，均为不等于0的实数），
x共有________个不同的值，在这些不同的值中，最大的值减去最小的值的差等于________．
【答案】[解决问题]2，，0；
[探究拓展]：
（1）∵a，b，c三数的乘积小于0
∴a、b、c中有两个正数和一个负数，或三个都是负数，
则，或，
（2）2025，4048
【知识点】化简含绝对值有理数；探索规律-计数类规律；分类讨论
【解析】【解答】解：[解决问题]
①a，b均是正数时，由[问题背景]可知，则；
②当a，b均是负数时，由[问题背景]可知，则；
③当a，b是一正一负时，由[问题背景]可知当时，，当时，，则；
故答案为：2，，0；
[探究拓展]
（2）当有0个正数、1个正数、……2024个正数，则有2025种不同情况，故有2025个不同的值，
当，，均为正数时，x取得最大值为2024，
当，，均为负数时，x取得最小值为，
则．
故答案为：2025；4048.
【分析】[解决问题]①②③利用a、b的取值范围及绝对值的性质进行化简，可求出x的值.
[探究拓展] （1）分情况讨论：a、b、c中有两个正数和一个负数时；a、b、c中三个都是负数，分别利用绝对值的性质进行计算.
（2）利用分类讨论思想可得有0个正数、1个正数、……2024个正数，则有2025种不同情况，对应有2025个不同的值，且当，，均为正数时，x取得最大值为2024，当，，均为负数时，x取得最小值为，并相减即可．
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