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《实数》精选压轴题—2025年浙江省七（上）数学期中复习
一、单选题
1．（2024七上·海曙期中）我们规定：[x]表示不超过的最大整数.如：，则的值为
A．507 B．516 C．525 D．534
2．（2024七上·苍南期中）对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如[2]＝2，[1.5]＝1，[﹣2.3]＝﹣3．对数99进行如下操作：99 第 1 次 第 2 次 第 3 次 ，这样对数99只需进行3次操作后变成1，类似地，使数2024变为1需要进行操作的次数是(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2024七上·温州期中）根 据表中的信息判断，下列结论正确个数的有 (　　)
x 11 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8 11.9 12
x2 121 123.21 125.44 127.69 129.96 123.25 134.56 136.89 139.24 141.61 144
①128 的算术平方根比 11.4 大； ②；③只有 2 个正整数 满足 ；④根据表中数据的变化趋势， 可以推断出 将比 144 增大 2.39 .
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
二、填空题
4．（2024七上·龙湾期中）在草稿纸上计算：①，②，③…，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值：=　 　，=　 　．
5．（2024七上·杭州期中）底面积为，高为的圆柱形容器内有若干水，水位高度为，现将一个边长为的立方体铁块水平放入容器底部，立方体完全沉没入水中（如图甲）．再将一个边长为的立方体铁块水平放在第一个立方体上面，若第二个立方体只有一半没入水中（如图乙）．此时水位高度为，若，则　 　．
6．（2024七上·杭州期中）如图，是一个数值转换器，其工作原理如图所示.
（1）当输入的值为8时，则输出的值为　 　：
（2）若输出的是且，则输入的的值为　 　.
7．（2024七上·舟山期中）如图，正方形方格的每一方格的边长为1个单位，依次连结各边的中点、、、得正方形，则正方形的边长是　 　，以顶点为圆心，长为半径画圆交数轴的负半轴于点，则数轴上点对应的无理数是　 　．
三、阅读理解
8．（2024七上·绍兴期中）【数学中的阅读理解】对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称的根整数，例如：．
（1）【阅读理解】仿照以上方法计算：　 　，　 　；
（2）【解决问题】若，写出满足题意的的整数值　 　；
（3）【扩展探究】①如果我们对连续求根整数，直到结果是1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．则对有理数137连续求根整数，几次之后结果是1；
②试求出只需进行3次连续求根整数运算后结果是1的所有正整数中最大的数。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵ [x]表示不超过x的最大整数，
∴，
，
，
……，
，
∴
=1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6×13+7×15+8×17+9×8
=3+10+21+36+55+78+105+136+72=516.
故答案为：B.
【分析】根据题干要求求出各个加数的最大整数值，再按含加法和乘法的混合运算的运算顺序计算即可.
2．【答案】B
【知识点】开平方（求平方根）
【解析】【解答】根据题目给定的操作规则，对2024进行操作：
第一次操作：，第二次操作，第三次操作，第4次操作.
故答案为：B
【分析】本题考查对题目规则的理解及运用。题目中的操作是求一个数平方根，然后取不大于结果的最大整数。这一步骤会逐渐减小数值，直到达到1或更小。需要确定2024变成1需要操作的次数，根据题目示例，可以推导出操作次数的计算方法.
3．【答案】A
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：①∵11.42=129.96且128＜129.96
∴128的算术平方根小于11.4
故①不正确
②∵=11.8
∴
故②不正确
③∵11.62=134.56，11.72=136.89
且134.56~136.89的正整数为135、136
∴ 只有 2 个正整数 满足
故③正确
④根据表格中数据无法得出12.12的值
∴ 不能推断出 将比 144 增大 2.39
故④不正确
故答案为：A.
【分析】根据表中x以及x2的值以及算术平方根的性质可判断.
4．【答案】10；351
【知识点】求算术平方根；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：①，
②，
③，
④，
……
∴，
，
故答案为：10，351.
【分析】根据前3个算式得到第4个算式的值，然后结合这4个算式得到规律：，据此即可求解.
5．【答案】2
【知识点】圆柱的体积；利用开立方求未知数；立方根的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意得，
即，
整理得，
，
，
故答案为：2．
【分析】
由题意知放入两个立方体后水位升高了，即半个立方体2与立方体1的体积和等于，可利用立方体体积公式列关于a的方程并求解即可．
6．【答案】（1）
（2）11或83或-79
【知识点】求算术平方根；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】（2）解：当输入的值为8时，取算术平方根为：，
∴输出的值为，
故答案为：.
（2）解：若经过一次转换则：则均不符合题意，
若经过二次转换则：则
若经过三次转换则：则
∴输入的的值为：11或83或-79，
故答案为：11或83或-79.
【分析】（1）直接将代入逐步进行计算即可；
（2）根据题意得：若经过一次转换则：若经过二次转换则：若经过三次转换则：进而结合题目给的信息即可求解.
7．【答案】；
【知识点】实数在数轴上表示；求算术平方根；数形结合
【解析】【解答】解：根据题意，得点对应的数是1，四边形的面积等于2个小正方形的面积，
∴正方形的面积为2，
∴正方形的边长为，
∴，
∴数轴上点对应的无理数是，
故答案为：．
【分析】根据题意，得点对应的数以及四边形的面积，从而得正方形的边长，进而得的值，据此即可得点对应的无理数．
8．【答案】（1）4；6
（2）1或2或3
（3）解：①第一次：，
第二次：，
第三次：，
第3次之后结果为1，
故答案为：3次；
②由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，
，，
进行2次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，
，，
进行3次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255，
只对一个正整数进行3次连续求根整数运算后结果为1，则这个正整数最大值是255，
故答案为：255．
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】（1）∵，，，
，
，，
故答案为：4，6；
（2） ，，，
∴，
或或，
故答案为：1或2或3；
【分析】（1）直接根据根整数的定义计算即可；
（2）根据根整数的定义解得，然后写出整数即可；
（3） ① 对有理数137 运用根整数定义依次运算即可；
②逆用根整数运算即可解题.
1 / 1《实数》精选压轴题—2025年浙江省七（上）数学期中复习
一、单选题
1．（2024七上·海曙期中）我们规定：[x]表示不超过的最大整数.如：，则的值为
A．507 B．516 C．525 D．534
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵ [x]表示不超过x的最大整数，
∴，
，
，
……，
，
∴
=1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6×13+7×15+8×17+9×8
=3+10+21+36+55+78+105+136+72=516.
故答案为：B.
【分析】根据题干要求求出各个加数的最大整数值，再按含加法和乘法的混合运算的运算顺序计算即可.
2．（2024七上·苍南期中）对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如[2]＝2，[1.5]＝1，[﹣2.3]＝﹣3．对数99进行如下操作：99 第 1 次 第 2 次 第 3 次 ，这样对数99只需进行3次操作后变成1，类似地，使数2024变为1需要进行操作的次数是(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】开平方（求平方根）
【解析】【解答】根据题目给定的操作规则，对2024进行操作：
第一次操作：，第二次操作，第三次操作，第4次操作.
故答案为：B
【分析】本题考查对题目规则的理解及运用。题目中的操作是求一个数平方根，然后取不大于结果的最大整数。这一步骤会逐渐减小数值，直到达到1或更小。需要确定2024变成1需要操作的次数，根据题目示例，可以推导出操作次数的计算方法.
3．（2024七上·温州期中）根 据表中的信息判断，下列结论正确个数的有 (　　)
x 11 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8 11.9 12
x2 121 123.21 125.44 127.69 129.96 123.25 134.56 136.89 139.24 141.61 144
①128 的算术平方根比 11.4 大； ②；③只有 2 个正整数 满足 ；④根据表中数据的变化趋势， 可以推断出 将比 144 增大 2.39 .
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】A
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：①∵11.42=129.96且128＜129.96
∴128的算术平方根小于11.4
故①不正确
②∵=11.8
∴
故②不正确
③∵11.62=134.56，11.72=136.89
且134.56~136.89的正整数为135、136
∴ 只有 2 个正整数 满足
故③正确
④根据表格中数据无法得出12.12的值
∴ 不能推断出 将比 144 增大 2.39
故④不正确
故答案为：A.
【分析】根据表中x以及x2的值以及算术平方根的性质可判断.
二、填空题
4．（2024七上·龙湾期中）在草稿纸上计算：①，②，③…，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值：=　 　，=　 　．
【答案】10；351
【知识点】求算术平方根；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：①，
②，
③，
④，
……
∴，
，
故答案为：10，351.
【分析】根据前3个算式得到第4个算式的值，然后结合这4个算式得到规律：，据此即可求解.
5．（2024七上·杭州期中）底面积为，高为的圆柱形容器内有若干水，水位高度为，现将一个边长为的立方体铁块水平放入容器底部，立方体完全沉没入水中（如图甲）．再将一个边长为的立方体铁块水平放在第一个立方体上面，若第二个立方体只有一半没入水中（如图乙）．此时水位高度为，若，则　 　．
【答案】2
【知识点】圆柱的体积；利用开立方求未知数；立方根的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意得，
即，
整理得，
，
，
故答案为：2．
【分析】
由题意知放入两个立方体后水位升高了，即半个立方体2与立方体1的体积和等于，可利用立方体体积公式列关于a的方程并求解即可．
6．（2024七上·杭州期中）如图，是一个数值转换器，其工作原理如图所示.
（1）当输入的值为8时，则输出的值为　 　：
（2）若输出的是且，则输入的的值为　 　.
【答案】（1）
（2）11或83或-79
【知识点】求算术平方根；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】（2）解：当输入的值为8时，取算术平方根为：，
∴输出的值为，
故答案为：.
（2）解：若经过一次转换则：则均不符合题意，
若经过二次转换则：则
若经过三次转换则：则
∴输入的的值为：11或83或-79，
故答案为：11或83或-79.
【分析】（1）直接将代入逐步进行计算即可；
（2）根据题意得：若经过一次转换则：若经过二次转换则：若经过三次转换则：进而结合题目给的信息即可求解.
7．（2024七上·舟山期中）如图，正方形方格的每一方格的边长为1个单位，依次连结各边的中点、、、得正方形，则正方形的边长是　 　，以顶点为圆心，长为半径画圆交数轴的负半轴于点，则数轴上点对应的无理数是　 　．
【答案】；
【知识点】实数在数轴上表示；求算术平方根；数形结合
【解析】【解答】解：根据题意，得点对应的数是1，四边形的面积等于2个小正方形的面积，
∴正方形的面积为2，
∴正方形的边长为，
∴，
∴数轴上点对应的无理数是，
故答案为：．
【分析】根据题意，得点对应的数以及四边形的面积，从而得正方形的边长，进而得的值，据此即可得点对应的无理数．
三、阅读理解
8．（2024七上·绍兴期中）【数学中的阅读理解】对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称的根整数，例如：．
（1）【阅读理解】仿照以上方法计算：　 　，　 　；
（2）【解决问题】若，写出满足题意的的整数值　 　；
（3）【扩展探究】①如果我们对连续求根整数，直到结果是1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．则对有理数137连续求根整数，几次之后结果是1；
②试求出只需进行3次连续求根整数运算后结果是1的所有正整数中最大的数。
【答案】（1）4；6
（2）1或2或3
（3）解：①第一次：，
第二次：，
第三次：，
第3次之后结果为1，
故答案为：3次；
②由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，
，，
进行2次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，
，，
进行3次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255，
只对一个正整数进行3次连续求根整数运算后结果为1，则这个正整数最大值是255，
故答案为：255．
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】（1）∵，，，
，
，，
故答案为：4，6；
（2） ，，，
∴，
或或，
故答案为：1或2或3；
【分析】（1）直接根据根整数的定义计算即可；
（2）根据根整数的定义解得，然后写出整数即可；
（3） ① 对有理数137 运用根整数定义依次运算即可；
②逆用根整数运算即可解题.
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