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《数轴》精选压轴题（二）—2025年浙江省七（上）数学期中复习
一、单选题
1．（2024七上·杭州期中）若在正方形的四个顶点处依次标上"我""爱""数""学"四个字，且将正方形放置在数轴上，其中"我""爱"对应的数分别为-2和-1，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚，例如，第一次翻滚后“数”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2024对应的字是（　　）
A．我 B．爱 C．数 D．学
【答案】C
【知识点】数轴的折叠（翻折）模型
【解析】【解答】解：∵正方形边长为1，
∴依次翻滚4次为一个周期，
∵且第一次翻滚后"数"对应的数为0，
∴连续翻滚后数轴上数2024对应的字是"数"，
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质和旋转的性质得到：依次翻滚4次为一个周期，进而即可求解.
2．（2024七上·温州期中）小浙有一条1米长的皮尺（刻度从0到），他先在上面标记了一个点A，再沿过点A的直线l折叠皮尺，然后在重叠部分某处剪一刀得到更短的三段皮尺．若这三段的长度之比为，则标记的点A对应的刻度可能是（　　）
A．31.5 B．33 C．37.5 D．39
【答案】C
【知识点】翻折变换（折叠问题）；比的应用
【解析】【解答】解：∵三段长度由短到长的比为，卷尺总长为，
∴最长的一段长，另外两段中的长度为，
如图，当，，则，即，
∴标记的点A对应的刻度是．
故选：C．
【分析】本题考查折叠的性质、比例的计算．根据三段长度由短到长的比为，卷尺总长为，进而可求出最长的一段长和另外两段中的长度，据此可得，，利用线段的运算可求出AB，进而可得标记的点A对应的刻度是，代入数据进行计算可求出答案．
3．（2024七上·江北期中）等边△ABC在数轴上的位置如图，点A、C对应的数分别为0和﹣1，若△ABC绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，则连续翻转2024次后，点C（　　）.
A．对应的数是2023 B．对应的数是2023.5
C．对应的数是2024 D．对应的数是2024.5
【答案】C
【知识点】数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：由题意可知：
旋转2次后，C点落在数轴上，对应2；
旋转4次后，C点落在数轴上，对应4；
……
即旋转2n次（n为正整数），C点对应2n.
因此旋转2024次后，点C对应2024.
故答案为：C.
【分析】通过分析前2次，4次得到C点对应数字的规律可解.
4．（2024七下·揭东开学考）如图所示，数轴上O，A两点的距离为12，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与的中点的距离是（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】数轴上两点之间的距离；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：根据题意可得：
∵数轴上O，A两点的距离为12，
∴点A表示的数为12，
表示的数为，
表示的数为，
表示的数为，
表示的数为，
……
表示的数为，
∴经过这样2023次跳动后的点表示的数为，
∵点A表示的数为12，表示的数为6，
∴的中点表示的数为，
∴经过这样2023次跳动后的点与的中点的距离为，
故选：B．
【分析】本题主要考查了图形类的规律，根据题意，分别求得表示的数，总结得到表示的数，得到经过这样2023次跳动后的点表示的数为，求得的中点表示的数，进而得到经过这样2023次跳动后的点与的中点的距离，得到答案.
二、填空题
5．（2024七上·西湖期中）正六边形 在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转次后，点B所对应的数为； 按此规律继续翻转下去，点第一次接触数轴所对应的数为　 　，数轴上数所对应的点是　 　．
【答案】；
【知识点】探索数与式的规律；有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：点对应的数为，
从点翻转到点需要经过线段、、、，
每条边的长度都是，且需要翻转次，
点第一次接触数轴对应的数是；
从图形中可以看出第一轮翻转过程中，
点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，
点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，
，
对应的是第轮翻转的第二次翻转，
对应的是点．
【分析】由题意可知正六边形每次一循环，由此可确定出这个数在数轴上所对应的点．
6．（2024七上·杭州期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小之在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
在数轴上剪下从到2，长度是8个单位的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀（如图），展开后得到三条线段．若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是　 　．
【答案】或或
【知识点】翻折变换（折叠问题）；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】解：
如图： ①当AB：BC：CD=1：1：2时，
设
解得：
∴折痕处所表示的数为：
②当 时，
设AB=a， BC =2a， CD =a，
∵AB+BC+CD=8，
∴a+2a+a=8，
解得： a=2，
∴AB =2， BC =4， CD=2；
∴折痕处所表示的数为： - 6+2+2=-2；
③当AB：BC：CD=2：1：1时，
设AB=2a， BC=a， CD=a，
∵AB+BC+CD=8，
∴a+a+2a=8，
解得： a=2，
∴AB =4， BC =2， CD=2；
∴折痕处所表示的数为： - 6+4+1=-1；
综上所述：折痕处所表示的数可能为：-1或-2或-3.
故答案为： 或 或 。
【分析】分三种情况进行讨论①当 ，，，列方程求出AB、BC、CD的值计算折痕处对应的点所表示的
数的值.
三、解答题
7．（2024七上·西湖期中）已知数轴上A、B两点表示的数分别为a、b，且a、b满足．点P沿数轴从A出发以n个单位长度/秒的速度向右匀速运动．
（1）求a与b的值；
（2）若5秒后，点P到点A的距离是点P到点B距离的2倍，求此时点P运动的速度；
（3）在点P运动2秒后，点Q从点B出发以m个单位长度/秒的速度向左匀速运动，又经过4秒后，P、Q两点之间的距离为1，求m和n之间的数量关系．
【答案】（1）解：∵，∴，，
∴，
（2）解：由题意可知，5秒后，点P表示的数为，
根据题意得：，
即或，
解得：或．
答：此时点P运动的速度为2个单位长度/秒或6个单位长度/秒
（3）解：由题意可知，点P的运动时间为秒，点Q的运动时间为秒，即点P表示的数为，点Q表示的数为，
根据题意得：，
即或，
∴或．
答：m和n之间的数量关系或
【知识点】绝对值的非负性；一元一次方程的实际应用-几何问题；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【分析】（1）利用绝对值及偶次方的非负性，即可求出a、b的值；
（2）5秒后，点P表示的数为，根据5秒后点P到点A的距离是点P到点B距离的2倍，可列出关于n的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）当点P的运动时间为秒，点Q的运动时间为秒，时，点P表示的数为，点Q表示的数为，根据此时P、Q两点之间的距离为1列方程，即可找出m和n之间的数量关系．
（1）解：∵，
∴，，
∴，；
（2）解：由题意可知，5秒后，点P表示的数为，
根据题意得：，
即或，
解得：或．
答：此时点P运动的速度为2个单位长度/秒或6个单位长度/秒；
（3）解：由题意可知，点P的运动时间为秒，点Q的运动时间为秒，
即点P表示的数为，点Q表示的数为，
根据题意得：，
即或，
∴或．
答：m和n之间的数量关系或．
8．（2024七上·南海月考）已知点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，M、N两点之间的距离表示为，则在数轴上M、N两点之间的距离，如图1，A、B两点在数轴上对应的数分别为和6．
（1）直接写出A、B两点之间的距离______；
（2）若在数轴上存在一点C，使得C到B的距离是到A的距离的2倍，求点C表示的数；
（3）如图2，现有动点P、Q，若点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴在之间进行往返运动，点P出发的同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴一直向左运动，求当时，时间t的取值．
【答案】（1）
（2）解：设点C在数轴上表示有理数c，点C在B点的右边，则结合数轴，，
不满足C到B的距离是到A的距离的2倍，故舍去；
当点C在A点与B点的之间，
∵A、B两点在数轴上对应的数分别为和6，C到B的距离是到A的距离的2倍，
则
解得，
当点C在A点的左边，
∵A、B两点在数轴上对应的数分别为和6，C到B的距离是到A的距离的2倍，
则
解得，
∴点C表示的数为或；
（3）解：依题意，时间为t，点Q表示的数是，
∵，
∴，
∴则点P表示的数是，
∵，
∴，
即，
∴或，
解得或，
当点P表示的数去到点，且点P第一次从点往点移动时，
则，
∴则点P表示的数是，
∵，
∴，
，
即或，
此时或，
当点P刚好回到，此时点Q表示的数是，
∵，
∴，
∵，
∴当点P第二次从A出发，，
则点P表示的数是，
∵，
∴，
∴，
综上或，或或．
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；数轴的动点往返运动模型
【解析】【解答】解：（1）∵A、B两点在数轴上对应的数分别为和6．
∴
∴A、B两点之间的距离为；
【分析】本题考查了数轴上表示有理数，数轴两点间的距离，绝对值方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据A、B两点在数轴上对应的数分别为和6，得出，即可作答．
（2）进行分类讨论，则点C在B点的右边；当点C在A点与B点的之间，当点C在A点的左边，分别运用数轴两点间的距离进行列式计算，即可作答．
（3）考虑，则点P表示的数是，列式，解得或，点P第一次从点往点移动时，则点P表示的数是，得，解得或；当点P第二次从出发，列式，解得．据此即可作答．
（1）解：∵A、B两点在数轴上对应的数分别为和6．
∴
∴A、B两点之间的距离为；
（2）解：设点C在数轴上表示有理数c，
点C在B点的右边，则结合数轴，，
不满足C到B的距离是到A的距离的2倍，故舍去；
当点C在A点与B点的之间，
∵A、B两点在数轴上对应的数分别为和6，C到B的距离是到A的距离的2倍，
则
解得，
当点C在A点的左边，
∵A、B两点在数轴上对应的数分别为和6，C到B的距离是到A的距离的2倍，
则
解得，
∴点C表示的数为或；
（3）解：依题意，时间为t，
点Q表示的数是，
∵，
∴，
∴则点P表示的数是，
∵，
∴，
即，
∴或，
解得或，
当点P表示的数去到点，且点P第一次从点往点移动时，
则，
∴则点P表示的数是，
∵，
∴，
，
即或，
此时或，
当点P刚好回到，此时点Q表示的数是，
∵，
∴，
∵，
∴当点P第二次从A出发，，
则点P表示的数是，
∵，
∴，
∴，
综上或，或或．
9．（2024七上·浙江期中）如图点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，且．请回答以下问题：
（1）点A表示的数为________，点B表示的数为________．
（2）若点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向右做匀速运动，点Q从B出发，以每秒2个单位长度的速度向左做匀速运动，P，Q同时运动，则：
①运动1秒后，P，Q之间的距离为几个单位长度？
②经过几秒，点P和点Q重合？
③经过几秒，P，Q之间的距离为3个单位长度？
【答案】（1），4
（2）解：①1秒后点表示的数为：，点表示的数为：，
∴；
②设经过秒，两点重合，则：，解得：；
答：经过2秒，点P和点Q重合；
③设经过秒，P，Q之间的距离为3个单位长度，
则：，
解得：或；
答：经过1秒或秒，P，Q之间的距离为3个单位长度．
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴点表示的数为：，点表示的数为：4；
【分析】（1）根据偶数次幂的非负性及绝对值的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零可求出a、b的值；
（2）①根据左移减，右移加求出运动1秒后，表示的数，进行根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示数差的绝对值计算即可；
②设经过秒，两点重合，根据左移减，右移加求出运动t秒后，表示的数，进而根据相遇时两点所表示的数相同列出方程进行求解即可；
③设经过秒，P，Q之间的距离为3个单位长度，根据左移减，右移加求出运动x秒后，表示的数，进而根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示数差的绝对值列出方程进行求解即可．
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴点表示的数为：，点表示的数为：4；
（2）①1秒后点表示的数为：，点表示的数为：，
∴；
②设经过秒，两点重合，则：，解得：；
答：经过2秒，点P和点Q重合；
③设经过秒，P，Q之间的距离为3个单位长度，
则：，
解得：或；
答：经过1秒或秒，P，Q之间的距离为3个单位长度．
10．（2024七上·连云港月考）如图，A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边，，，．
（1）求出a，b的值；
（2）现有一只电子蚂蚁P从点A出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q从点B出发，以2个单位长度/秒的速度向左运动．
①运动t秒时电子蚂蚁P表示的数是______，Q表示的数是______（用含t的式子表示）；
②设两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇，求出点C对应的数是多少？
③经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度？
【答案】（1）解：∵A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴a的值是，b的值是90；
（2）解：①，；
②由题意可得，相遇时P和Q两点表示的数字相同，
∴，
解得：，
点C对应的数是：，
∴点C对应的数为：50；
③设相遇前，经过a秒时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，
解得；
设相遇后，经过b秒时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，
解得；
∴经过16秒或24秒的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：（2）①∵ 现有一只电子蚂蚁P从点A出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，
∴运动t秒时电子蚂蚁P表示的数是，
∵同时另一只电子蚂蚁Q从点B出发，以2个单位长度/秒的速度向左运动，
∴Q表示的数是，
故答案为：，；
【分析】（1）先得出，，再根据， 求得，然后根据求得b的值；
（2）①根据题意及点A和B表示的数即可求解；②根据题意可列方程，求解得到t的值，即可求得C点坐标；③分为相遇前和相遇后两种情况讨论列方程求解．
（1）解：∵A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边，，，，
∴，，
即a的值是，b的值是90；
（2）①运动t秒时电子蚂蚁P表示的数是，Q表示的数是，
故答案为：，；
②由题意可得，相遇时P和Q两点表示的数字相同，
∴，
解得：，
点C对应的数是：，
即点C对应的数为：50；
③设相遇前，经过m秒时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，
解得；
设相遇后，经过n秒时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，
解得；
由上可得，经过16秒或24秒的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度．
11．（2024七上·杭州期中）数轴上点与点之间的距离记为：．如图，在数轴上，，三点对应的数分别为，，，已知，，且点，点到点的距离相等，即．
（1）填空：点对应的数为 ；
（2）若点从点出发，以个单位/秒的速度沿数轴向右移动，同时点从点出发，以个单位/秒的速度向右移动，在点，移动的同时点从点出发，以个单位/秒的速度沿数轴向右移动，设移动时间为秒．
①若点到的距离是点到的距离的两倍，我们就称点是的“幸福点”．当点是的“幸福点”时，求此时点对应的数；
②在三个点移动的过程中，或在某种条件下是否会为定值，请分析并说明理由．
【答案】（1）
（2）解：①秒时点表示的数：，点表示的数为：，点表示的数为：，
由题意得：，
∵，，
∴，
解得：，
此时：对应的数为；
②当时，为定值，当时，为定值；
理由如下：
当、相遇时，，解得：．
当时：，它是定值；
，它不是定值；
当时：，它不是定值；
，它是定值．
综上所述，当时，为定值，当时，为定值．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；数轴上两点之间的距离；数轴的动态定值问题；数轴的线段和差倍分问题
【解析】【解答】（1）∵，
∴是的中点，
∴，
解得：，
故答案为：；
【分析】
（1）由题意知当AC=BC时是线段的中点，根据中点公式列方程求解即可；
（2）①先由题意分别表示出t秒后点M、N、P分别对应的数字，再根据“幸福点”的定义方程并求解即可；
②由“数轴上两点之间的距离”先分别表示和，再分类讨论：当或当时，分别利用整式的混合运算法则计算和的结果即可．
（1）∵，
∴是的中点，
∴，
解得：，
故答案为：；
（2）移动时间为秒时，点表示的数：，点表示的数为：，点表示的数为：，
①由题意得：，
∵，，
∴，
解得：，
此时：对应的数为；
②当时，为定值，当时，为定值；
理由如下：
当、相遇时，，解得：．
当时：，它是定值；
，它不是定值；
当时：，它不是定值；
，它是定值．
综上所述，当时，为定值，当时，为定值．
12．（2024七上·重庆市月考）如图，A、B两点在数轴上对应的数分别为、40，C点在A、B之间．在A、B、C三点处各放一个挡板，M、N两个小球都同时从C处出发，M向数轴负方向运动，N向数轴正方向运动，碰到挡板后则向反方向运动，一直如此下去（当N小球第二次碰到B挡板时，两球均停止运动）．
（1）若两个小球的运动速度相同，当M小球第一次碰到A挡板时，N小球也刚好第一次碰到B挡板，求C点所对应的数；
（2）若点C所表示的数为25，M、N小球的运动速度分别为2个单位/秒，3个单位/秒，则N小球前三次碰到挡板的时间依次为a、b、c秒钟，设两个球的运动时间为t秒钟．
①请直接写出下列时间段内N小球所对应的数（用含t的代数式表示）：
当时，N小球对应的数为 ；当时，N小球对应的数为 ；当时，N小球对应的数为 ；
②当M、N两个小球的距离等于30时，求t的值．
（3）若点C所表示的数为25，移走A、B、C三处的挡板，点P从A点出发，以6个单位/秒的速度沿数轴向右运动，同时点Q从B点出发，以4个单位/秒的速度沿数轴向左运动．已知E为中点，点F在线段BQ上，且，问出发多少秒后，点E到点F的距离是点E到原点O的距离的4倍？
【答案】（1）解：设C点所对应的数为c，
根据题意，可知：，
解得：，
则点C对应的数为10．
（2）①；；；
②解：设M、N运动时间为t秒，由题意可知在15秒内，先到挡板
若，则M点对应的数为：，N点对应的数为：
∴ (不合题意舍去)
若，则M点对应的数为：，N点对应的数为：，
，
解得： (不合题意，舍去)．
若，则M点对应的数为：，N点对应的数为：，
，
解得：．
综上：当M、N两个小球的距离等于30时，秒．
（3）解：设P、Q运动时间为t秒，则P点对应的数为：，Q点对应的数为：，点E对应的数为：，
点F对应的数为：，
∴，
由题意可知：，
解得：或，
故出发或秒后，．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；数轴上两点之间的距离；求有理数的绝对值的方法；数轴的动点往返运动模型
【解析】【解答】
（2）
解：①根据题意得：当时，N小球对应的数为，
当时，N小球对应的数为，
当时，N小球对应的数为．
故答案为：；；；
【分析】
（1）设C点表示的数为c，由速度相等则小球行驶的路程也相等列出关于c的方程并求解即可；
（2）①根据某点表示的数加上从这点向右运动的路程，便为运动后的点表示的数；某点表示的数减去从这点向左运动的路程，便为运动后的点表示的数进行计算便可得出结果；
②结合①中三种情况，根据题意分别列出方程求得符合条件的t值便可；
（3）设P、Q运动时间为t秒，则P点对应的数为：，Q点对应的数为：，点E对应的数为：，点F对应的数为：，再根据数轴上两点间的距离公式和“点E到点F的距离是点E到原点O的距离的4倍”列出方程并解答．
（1）解：设C点所对应的数为c，
根据题意，可知：，
解得：，
则点C对应的数为10．
（2）解：①根据题意得：当时，N小球对应的数为，
当时，N小球对应的数为，
当时，N小球对应的数为．
故答案为：；；；
②设M、N运动时间为t秒，由题意可知在15秒内，先到挡板
若，则M点对应的数为：，N点对应的数为：
∴ (不合题意舍去)
若，则M点对应的数为：，N点对应的数为：，
，
解得： (不合题意，舍去)．
若，则M点对应的数为：，N点对应的数为：，
，
解得：．
综上：当M、N两个小球的距离等于30时，秒．
（3）解：设P、Q运动时间为t秒，则P点对应的数为：，Q点对应的数为：，
点E对应的数为：，
点F对应的数为：，
∴，
由题意可知：，
解得：或，
故出发或秒后，．
13．（2024七上·鄞州期中）如图，数轴上有，两点，，之间距离为21，原点在，之间，到的距离是到的距离的两倍．
（1）点表示的数为______，点表示的数为______；
（2）点、点和点（点初始位置在原点）同时向左运动，它们的速度分别为1，2，2个单位长度每秒，则经过多少秒，点到点与点的距离相等？
（3）点沿着数轴移动，每次只允许移动1个单位长度，经过8次移动后，点与原点相距1个单位长度．满足条件的点的移动方法共有多少种？
（4）点和点同时沿着数轴移动，两点每次均只允许移动1个单位长度．请判断点和点经过相同次数的移动后，能否同时到达原点？如果能，请给出点和点各自的移动方法；如果不能，请说明理由．
【答案】（1），
（2）解：设经过秒，点到点与点的距离相等，则此时点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，
∴，，
由题意得：，
解得：或，
∴经过或秒，点到点与点的距离相等
（3）解：设点沿着数轴向左移动次，则向右移动次，对应的数为或，
则，即，
解得：或，
当时，有1种移动方法，点沿着数轴向左移动，经过8次移动后，点对应的数为，此时点与原点相距1个单位长度；
当时，有种移动方法：连续向左移动次，再向右移动1次；连续向左移动次，再向右移动1次，最后向左移动1次；连续向左移动次，再向右移动1次，最后向左连续移动2次；连续向左移动4次，再向右移动1次，最后向左连续移动3次；连续向左移动3次，再向右移动1次，最后向左连续移动4次；连续向左移动2次，再向右移动1次，最后向左连续移动5次；向左移动1次，再向右移动1次，最后向左连续移动6次；先向右移动1次，再向左连续移动7次；
故，
综上所述，满足条件的点的移动方法共有种
（4）解：不能，理由如下：设点向左移动次，向右移动次，则点移动了次，
∴，
∴，
设点向左移动了次，则向右移动了次，
∴，
∴，
∵、、均为正整数，
∴不符合题意，
∴点和点经过相同次数的移动后，不能同时到达原点
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；数轴的动点往返运动模型
【解析】【解答】（1）解：∵到的距离是到的距离的两倍，
∴设点表示的数为，则点表示的数为，
∵，之间距离为21，
∴，
解得：，
∴，
∴点表示的数为，点表示的数为；
【分析】（1）由于OA=2OB，可设点表示的数为，则点表示的数为，由两点间的距离可列方程，再求解即可；
（2）先表示出秒点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，再由题意列包含绝对值的方程并求解即可；
（3）由于经过8次移动后点B距离原点1个单位长度，即点B可能在原点左侧也或能在原点右侧，即对应的数字为或，可设点沿着数轴向左移动次，则向右移动次，则，即，求解得或，显然当时只有一种移动方法，即连续向左移动8次，而当时，可计算得有8种移动方法，再对所有方法求和即可；
（4）假设最终点A和点B同时到达原点，可设点向左移动次，向右移动次，则点总共移动了次，所以有，推出，再设点向左移动了次，则向右移动了次，则，整理得，由于、、均为正整数，则假设不成立.
（1）解：∵到的距离是到的距离的两倍，
∴设点表示的数为，则点表示的数为，
∵，之间距离为21，
∴，
解得：，
∴，
∴点表示的数为，点表示的数为；
（2）解：设经过秒，点到点与点的距离相等，则此时点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，
∴，，
由题意得：，
解得：或，
∴经过或秒，点到点与点的距离相等；
（3）解：设点沿着数轴向左移动次，则向右移动次，对应的数为或，
则，即，
解得：或，
当时，有1种移动方法，点沿着数轴向左移动，经过8次移动后，点对应的数为，此时点与原点相距1个单位长度；
当时，有种移动方法：连续向左移动次，再向右移动1次；连续向左移动次，再向右移动1次，最后向左移动1次；连续向左移动次，再向右移动1次，最后向左连续移动2次；连续向左移动4次，再向右移动1次，最后向左连续移动3次；连续向左移动3次，再向右移动1次，最后向左连续移动4次；连续向左移动2次，再向右移动1次，最后向左连续移动5次；向左移动1次，再向右移动1次，最后向左连续移动6次；先向右移动1次，再向左连续移动7次；
故，
综上所述，满足条件的点的移动方法共有种；
（4）解：不能，理由如下：
设点向左移动次，向右移动次，则点移动了次，
∴，
∴，
设点向左移动了次，则向右移动了次，
∴，
∴，
∵、、均为正整数，
∴不符合题意，
∴点和点经过相同次数的移动后，不能同时到达原点．
14．（2024七上·杭州期中）已知：数轴上有，，三点 (位置如图所示) ，点和点相距个单位长度且点，表示的有理数互为相反数，点A和点C相距个单位长度，数轴上有一动点从点出发，以2个单位秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为秒．
（1）点表示的有理数是 ，点表示的有理数是 ，点表示的数是 （用含的式子表示）．
（2）当、两点之间相距10个单位长度时，求t的值．
（3）若点A、点和点与点同时在数轴上运动，点以1个单位秒的速度向左运动，点和点分别以3个单位秒和4个单位秒的速度向右运动，若两点间的距离用表示两点的大写字母表示，如： 点 A，P两点间的距离表示为，是否存在常数，使得为一个定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），，
（2）解：解：当点在点左边时，，
、两点之间相距个单位长度，
，解得，
当点在点右边时，，
、两点之间相距个单位长度，
，解得，
当或秒时，、两点之间相距个单位长度
（3）解：存在常数，使得为一个定值，
理由如下：
由题意可知，点表示的数为；点表示的数为；点表示的数为，
，，，
，
要使得为一个定值，
，解得，
，
，这个定值为
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；数轴的点常规运动模型；数轴的线段和差倍分问题
【解析】【解答】（1）解：设点表示的数为，则点表示的数为，
点和点间距个单位长度，
，
解得，
点表示的有理数是；点表示的有理数是，
，
点表示的有理数是，
动点从点出发，以2个单位长度秒的速度向右沿数轴运动，运动时间为秒，
点表示的数是，
故答案为：，，
【分析】（1）设点表示的数为，则点表示的数为，再根据两点之间的距离可得到关于x的方程，解方程求出x的值；然后根据点A和点C相距个单位长度，可知点C表示的有理数，最后根据动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右沿数轴运动，运动时间为t秒，可得点P表示的数；
（2）分两种情况：当点P在点B左边时和当点P在点B右边时，结合P、B两点之间相距个单位长度，分别列出方程，解方程求出t的值即可.
（3）利用已知条件分别表示出，，的长，可表示出；再根据为一个定值，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到这个定值.
（1）解：设点表示的数为，则点表示的数为，
点和点间距个单位长度，
，
解得，
点表示的有理数是；点表示的有理数是，
，
点表示的有理数是，
动点从点出发，以2个单位长度秒的速度向右沿数轴运动，运动时间为秒，
点表示的数是，
故答案为：，，；
（2）解：当点在点左边时，，
、两点之间相距个单位长度，
，解得，
当点在点右边时，，
、两点之间相距个单位长度，
，解得，
当或秒时，、两点之间相距个单位长度，
（3）解：存在常数，使得为一个定值，
理由如下：
由题意可知，点表示的数为；点表示的数为；点表示的数为，
，，，
，
要使得为一个定值，
，解得，
，
，这个定值为．
15．（2023七上·温州期中）如图，点为数轴的原点，点表示的数为，边长为的正方形在数轴上，此时点在点左边，且点与点的距离为．
（1）写出数轴上点表示的数为______．
（2）若正方形以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点以每秒个单位长度从原点出发沿数轴向右运动．
①当，两点相遇时，请求出此时点在数轴上表示的数．
②在整个运动过程中，当点遇到点时，立即以原速度沿数轴向左运动．若点与点的距离等于点到点的距离，此时在数轴上表示的数为______．（直接写出答案即可）
【答案】（1）4
（2）解：①设P、B两点相遇时间为秒，由题意得：，
解得：，
此时点表示的数为：，
∴相遇时点表示的数为：
②或
【知识点】数轴上两点之间的距离；数轴的动点往返运动模型
【解析】【解答】（1）解：∵点表示的数为，点在点左边，且点与点的距离为；
∴点表示的数为：，
∵边长为的正方形在数轴上，
∴点在点左边，，
∴点表示的数为：，
故答案为：；
（2）②由①可知：相遇时、表示的数为，点表示的数为，
即点与点重合，
设相遇后的运动时间为秒，
当点与点的距离等于点到点的距离时，，，
∴，
解得：或，
∴当时，点表示的数为：，
当时，点表示的数为：，
综上所述，此时在数轴上表示的数为或．
故答案为：或．
【分析】（1）利用已知：点表示的数和点与点的位置关系和距离求出点C表示的数，再根据正方形的边长即可求出数轴上点表示的数.
（2）①利用点和点之间的距离以及运动速度求出两点相遇时的运动时间，即可求出相遇时点表示的数，利用正方形的边长即可求出相遇时点在数轴上表示的数；②由①可知相遇时点在数轴上表示的数，然后根据条件列出方程，求出满足条件时的运动时间，再根据运动时间即可求出点在数轴上表示的数．
（1）解：∵点表示的数为，点在点左边，且点与点的距离为；
∴点表示的数为：，
∵边长为的正方形在数轴上，
∴点在点左边，，
∴点表示的数为：，
故答案为：；
（2）①设P、B两点相遇时间为秒，
由题意得：，
解得：，
此时点表示的数为：，
∴相遇时点表示的数为：；
②由①可知：相遇时、表示的数为，点表示的数为，
即点与点重合，
设相遇后的运动时间为秒，
当点与点的距离等于点到点的距离时，，，
∴，
解得：或，
∴当时，点表示的数为：，
当时，点表示的数为：，
综上所述，此时在数轴上表示的数为或．
故答案为：或．
16．（2024七上·义乌期中）【定义】已知点是线段上的一个分点，若点到线段两个端点的距离之比为时，则称点为线段的“理想点”．如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100．
（1）求点之间的距离；
（2）求线段的“理想点”所对应的数；
（3）现将一纸条如图放置，再沿纸条上的某处折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条纸条，若这三条纸条的长度之比为，然后把纸条复原，请计算说明折痕处对应的点在数轴上所表示的数是多少？
【答案】（1）解：∵点对应的数为，点对应的数为100，
∴，
∴点之间的距离是120．
（2）解：∵，点到线段两个端点的距离之比为，
当时，，
∵点对应的数为，
∴所对应的数为20；
当时，，
∵点对应的数为，
∴所对应的数为60；
∴线段的“理想点”所对应的数是20，60．
（3）解：∵三条纸条的长度之比为，，
∴，
∴三条纸条的长度为24，24，72，
①当从到三条纸条的长度为24，24，72，如图：
则折痕到的长度是，
∵点对应的数为，
∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是；
②当从到三条纸条的长度为24， 72，24，如图：
则折痕到的长度是，
∵点对应的数为，
∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是；
③当从到三条纸条的长度为72，24，24，如图：
则折痕到的长度是，
∵点对应的数为，
∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是；
综上所述，折痕处对应的点在数轴上所表示的数是16，40，64．
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；数轴的折叠（翻折）模型；分类讨论
【解析】【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离等于这两点所表示数差的绝对值求解即可．
（2）根据“理想点”定义及到、距离的比例关系，分当时与当时两种情况求出AC的长，进而根据数轴上两点间的距离公式求出点C所表示的数；
（3）由线段总长度及三条纸条的长度之比，可得三条线段的长度，再分①当从到三条纸条的长度为24，24，72； ②当从到三条纸条的长度为24， 72，24， ③当从到三条纸条的长度为72，24，24，三种情况讨论即可．
（1）解：∵点对应的数为，点对应的数为100，
∴，
∴点之间的距离是120．
（2）解：∵，点到线段两个端点的距离之比为，
当时，，
∵点对应的数为，
∴所对应的数为20；
当时，，
∵点对应的数为，
∴所对应的数为60；
∴线段的“理想点”所对应的数是20，60．
（3）∵三条纸条的长度之比为，，
∴，
∴三条纸条的长度为24，24，72，
①当从到三条纸条的长度为24，24，72，如图：
则折痕到的长度是，
∵点对应的数为，
∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是；
②当从到三条纸条的长度为24， 72，24，如图：
则折痕到的长度是，
∵点对应的数为，
∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是；
③当从到三条纸条的长度为72，24，24，如图：
则折痕到的长度是，
∵点对应的数为，
∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是；
综上所述，折痕处对应的点在数轴上所表示的数是16，40，64．
四、实践探究题
17．（2024七上·西湖期中）【建立概念】如下图，A、B为数轴上不重合的两定点，点P也在该数轴上，我们比较线段和的长度，将较短线段的长度定义为点P到线段的“靠近距离”.特别地，若线段和的长度相等，则将线段或的长度定义为点P到线段的“靠近距离”.
【概念理解】如下图，数轴的原点为O，点A表示的数为，点B表示的数为4.
（1）点O到线段的“靠近距离”为________；
（2）点P表示的数为m，若点P到线段的“靠近距离”为3，则m的值为_________；
【拓展应用】（3）如下图，在数轴上，点P表示的数为，点A表示的数为，点B表示的数为6. 点P以每秒2个单位长度的速度向正半轴方向移动时，点B同时以每秒1个单位长度的速度向负半轴方向移动.设移动的时间为秒，当点P到线段的“靠近距离”为3时，求t的值.
【答案】解：（1）2；（2） 5或1或7；
（3）当PA=3时， 可得，或，
解得.
而当时，PB=14-4×3=2，<，点P到线段AB的“靠近距离”为2，不符合题意.
所以.
当PB=3时， 可得，或，
解得.
而当时，PA=，PA所以.
综上所述，所以或.
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）由题意OA=2；OB=4
∴点O到线段的“靠近距离”为2
故答案为：2；
（2）①当点P位于A点左侧时，点P表示-2-3=-5；
②点P位于线段AB上时，点P表示-2+3=1，此时PA=PB=1
③点P位于B点右侧时，点P表示4+3=7
∴m= 5或1或7
故答案为： 5或1或7；
【分析】（1）根据线段的比较即可解题；
（2）分三种情况进行讨论，①当点P位于A点左侧；②点P位于线段AB上；③点P位于B点右侧，分别根据“靠近距离”的定义求解；
（3）分PA=3或PB=3两种情况，根据“靠近距离”分别求解即可.
18．（2024七上·杭州期中）操作发现．
操作一：如图1，已知点A、M所表示的数分别为、1，将点A绕点M旋转得到点B，此时点B所表示的数为4，我们称点B是点A关于点M的映射点；
记作：或；
操作二：如图2，已知点M和线段，将点A、M绕同一点旋转，使点A和点B重合，此时点M所对应的点用N表示，我们称点N是点M关于线段的映射点；
记作：；如：；
（1）利用图3、图4，直接填空：______；______；
（2）若A、B两点所表示的数分别是、，；求点C所表示的数；（用含a、b的代数式表示）
（3）点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，点C是数轴上一动点，且，；
①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是否为定值，如果是，请直接写出这个值，如果不是，请求出它的取值范围；
②当点C表示的数是时，B、D两点之间距离刚好为1，若点B在点A右侧，求a的值．
【答案】（1）；
（2）解：∵，∴为的中点，
∵A、B两点所表示的数分别是、，
点表示的数为：
（3）①是；；
②∵点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，点B在点A右侧，
∴点B表示的数为，
设点D表示的数为d，
∵点C表示的数是，，
∴，
∴，
∵B、D两点之间距离刚好为1，
∴，
即，
解得：或
【知识点】整式的加减运算；数轴上两点之间的距离；数轴的折叠（翻折）模型
【解析】【解答】解：（1）解：根据题意得：；
根据题意得：．
故答案为：；
（3）解：①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是定值；理由如下：
∵点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，
∴点B表示的数为或，
设点C表示的数为x，点D表示的数为d，点E表示的数为e，
当点B表示的数为时，点B在点A的右侧，
∵，
∴为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴的中点与的中点是同一个点，
∴，
∴，
∴
；
当点B表示的数为时，点B在点A的左侧，
∵，
∴为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴的中点与的中点是同一个点，
∴，
∴，
∴
；
点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是定值4．
【分析】（1）利用题干提供的信息进行解答即可.
（2）根据，得出，根据A、B两点所表示的数分别是、，代入先去括号，再合并同类项.
（3）①根据点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，得出点B表示的数为或，设点C表示的数为x，点D表示的数为d，点E表示的数为e，分两种情况：当点B表示的数为时，点B在点A的右侧，当点B表示的数为时，点B在点A的左侧，分别求出的值，即可得出答案；
②根据点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，点B在点A右侧，得出点B表示的数为，设点D表示的数为d，根据点C表示的数是，，得出，根据B、D两点之间距离刚好为1，得出，解方程即可．
（1）解：根据题意得：；
根据题意得：．
故答案为：；
（2）解：∵，
∴为的中点，
∵A、B两点所表示的数分别是、，
点表示的数为：
；
（3）解：①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是定值；理由如下：
∵点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，
∴点B表示的数为或，
设点C表示的数为x，点D表示的数为d，点E表示的数为e，
当点B表示的数为时，点B在点A的右侧，
∵，
∴为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴的中点与的中点是同一个点，
∴，
∴，
∴
；
当点B表示的数为时，点B在点A的左侧，
∵，
∴为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴的中点与的中点是同一个点，
∴，
∴，
∴
；
点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是定值4．
②∵点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，点B在点A右侧，
∴点B表示的数为，
设点D表示的数为d，
∵点C表示的数是，，
∴，
∴，
∵B、D两点之间距离刚好为1，
∴，
即，
解得：或．
1 / 1《数轴》精选压轴题（二）—2025年浙江省七（上）数学期中复习
一、单选题
1．（2024七上·杭州期中）若在正方形的四个顶点处依次标上"我""爱""数""学"四个字，且将正方形放置在数轴上，其中"我""爱"对应的数分别为-2和-1，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚，例如，第一次翻滚后“数”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2024对应的字是（　　）
A．我 B．爱 C．数 D．学
2．（2024七上·温州期中）小浙有一条1米长的皮尺（刻度从0到），他先在上面标记了一个点A，再沿过点A的直线l折叠皮尺，然后在重叠部分某处剪一刀得到更短的三段皮尺．若这三段的长度之比为，则标记的点A对应的刻度可能是（　　）
A．31.5 B．33 C．37.5 D．39
3．（2024七上·江北期中）等边△ABC在数轴上的位置如图，点A、C对应的数分别为0和﹣1，若△ABC绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，则连续翻转2024次后，点C（　　）.
A．对应的数是2023 B．对应的数是2023.5
C．对应的数是2024 D．对应的数是2024.5
4．（2024七下·揭东开学考）如图所示，数轴上O，A两点的距离为12，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与的中点的距离是（　　）．
A． B．
C． D．
二、填空题
5．（2024七上·西湖期中）正六边形 在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转次后，点B所对应的数为； 按此规律继续翻转下去，点第一次接触数轴所对应的数为　 　，数轴上数所对应的点是　 　．
6．（2024七上·杭州期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小之在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
在数轴上剪下从到2，长度是8个单位的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀（如图），展开后得到三条线段．若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是　 　．
三、解答题
7．（2024七上·西湖期中）已知数轴上A、B两点表示的数分别为a、b，且a、b满足．点P沿数轴从A出发以n个单位长度/秒的速度向右匀速运动．
（1）求a与b的值；
（2）若5秒后，点P到点A的距离是点P到点B距离的2倍，求此时点P运动的速度；
（3）在点P运动2秒后，点Q从点B出发以m个单位长度/秒的速度向左匀速运动，又经过4秒后，P、Q两点之间的距离为1，求m和n之间的数量关系．
8．（2024七上·南海月考）已知点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，M、N两点之间的距离表示为，则在数轴上M、N两点之间的距离，如图1，A、B两点在数轴上对应的数分别为和6．
（1）直接写出A、B两点之间的距离______；
（2）若在数轴上存在一点C，使得C到B的距离是到A的距离的2倍，求点C表示的数；
（3）如图2，现有动点P、Q，若点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴在之间进行往返运动，点P出发的同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴一直向左运动，求当时，时间t的取值．
9．（2024七上·浙江期中）如图点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，且．请回答以下问题：
（1）点A表示的数为________，点B表示的数为________．
（2）若点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向右做匀速运动，点Q从B出发，以每秒2个单位长度的速度向左做匀速运动，P，Q同时运动，则：
①运动1秒后，P，Q之间的距离为几个单位长度？
②经过几秒，点P和点Q重合？
③经过几秒，P，Q之间的距离为3个单位长度？
10．（2024七上·连云港月考）如图，A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边，，，．
（1）求出a，b的值；
（2）现有一只电子蚂蚁P从点A出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q从点B出发，以2个单位长度/秒的速度向左运动．
①运动t秒时电子蚂蚁P表示的数是______，Q表示的数是______（用含t的式子表示）；
②设两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇，求出点C对应的数是多少？
③经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度？
11．（2024七上·杭州期中）数轴上点与点之间的距离记为：．如图，在数轴上，，三点对应的数分别为，，，已知，，且点，点到点的距离相等，即．
（1）填空：点对应的数为 ；
（2）若点从点出发，以个单位/秒的速度沿数轴向右移动，同时点从点出发，以个单位/秒的速度向右移动，在点，移动的同时点从点出发，以个单位/秒的速度沿数轴向右移动，设移动时间为秒．
①若点到的距离是点到的距离的两倍，我们就称点是的“幸福点”．当点是的“幸福点”时，求此时点对应的数；
②在三个点移动的过程中，或在某种条件下是否会为定值，请分析并说明理由．
12．（2024七上·重庆市月考）如图，A、B两点在数轴上对应的数分别为、40，C点在A、B之间．在A、B、C三点处各放一个挡板，M、N两个小球都同时从C处出发，M向数轴负方向运动，N向数轴正方向运动，碰到挡板后则向反方向运动，一直如此下去（当N小球第二次碰到B挡板时，两球均停止运动）．
（1）若两个小球的运动速度相同，当M小球第一次碰到A挡板时，N小球也刚好第一次碰到B挡板，求C点所对应的数；
（2）若点C所表示的数为25，M、N小球的运动速度分别为2个单位/秒，3个单位/秒，则N小球前三次碰到挡板的时间依次为a、b、c秒钟，设两个球的运动时间为t秒钟．
①请直接写出下列时间段内N小球所对应的数（用含t的代数式表示）：
当时，N小球对应的数为 ；当时，N小球对应的数为 ；当时，N小球对应的数为 ；
②当M、N两个小球的距离等于30时，求t的值．
（3）若点C所表示的数为25，移走A、B、C三处的挡板，点P从A点出发，以6个单位/秒的速度沿数轴向右运动，同时点Q从B点出发，以4个单位/秒的速度沿数轴向左运动．已知E为中点，点F在线段BQ上，且，问出发多少秒后，点E到点F的距离是点E到原点O的距离的4倍？
13．（2024七上·鄞州期中）如图，数轴上有，两点，，之间距离为21，原点在，之间，到的距离是到的距离的两倍．
（1）点表示的数为______，点表示的数为______；
（2）点、点和点（点初始位置在原点）同时向左运动，它们的速度分别为1，2，2个单位长度每秒，则经过多少秒，点到点与点的距离相等？
（3）点沿着数轴移动，每次只允许移动1个单位长度，经过8次移动后，点与原点相距1个单位长度．满足条件的点的移动方法共有多少种？
（4）点和点同时沿着数轴移动，两点每次均只允许移动1个单位长度．请判断点和点经过相同次数的移动后，能否同时到达原点？如果能，请给出点和点各自的移动方法；如果不能，请说明理由．
14．（2024七上·杭州期中）已知：数轴上有，，三点 (位置如图所示) ，点和点相距个单位长度且点，表示的有理数互为相反数，点A和点C相距个单位长度，数轴上有一动点从点出发，以2个单位秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为秒．
（1）点表示的有理数是 ，点表示的有理数是 ，点表示的数是 （用含的式子表示）．
（2）当、两点之间相距10个单位长度时，求t的值．
（3）若点A、点和点与点同时在数轴上运动，点以1个单位秒的速度向左运动，点和点分别以3个单位秒和4个单位秒的速度向右运动，若两点间的距离用表示两点的大写字母表示，如： 点 A，P两点间的距离表示为，是否存在常数，使得为一个定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由．
15．（2023七上·温州期中）如图，点为数轴的原点，点表示的数为，边长为的正方形在数轴上，此时点在点左边，且点与点的距离为．
（1）写出数轴上点表示的数为______．
（2）若正方形以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点以每秒个单位长度从原点出发沿数轴向右运动．
①当，两点相遇时，请求出此时点在数轴上表示的数．
②在整个运动过程中，当点遇到点时，立即以原速度沿数轴向左运动．若点与点的距离等于点到点的距离，此时在数轴上表示的数为______．（直接写出答案即可）
16．（2024七上·义乌期中）【定义】已知点是线段上的一个分点，若点到线段两个端点的距离之比为时，则称点为线段的“理想点”．如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100．
（1）求点之间的距离；
（2）求线段的“理想点”所对应的数；
（3）现将一纸条如图放置，再沿纸条上的某处折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条纸条，若这三条纸条的长度之比为，然后把纸条复原，请计算说明折痕处对应的点在数轴上所表示的数是多少？
四、实践探究题
17．（2024七上·西湖期中）【建立概念】如下图，A、B为数轴上不重合的两定点，点P也在该数轴上，我们比较线段和的长度，将较短线段的长度定义为点P到线段的“靠近距离”.特别地，若线段和的长度相等，则将线段或的长度定义为点P到线段的“靠近距离”.
【概念理解】如下图，数轴的原点为O，点A表示的数为，点B表示的数为4.
（1）点O到线段的“靠近距离”为________；
（2）点P表示的数为m，若点P到线段的“靠近距离”为3，则m的值为_________；
【拓展应用】（3）如下图，在数轴上，点P表示的数为，点A表示的数为，点B表示的数为6. 点P以每秒2个单位长度的速度向正半轴方向移动时，点B同时以每秒1个单位长度的速度向负半轴方向移动.设移动的时间为秒，当点P到线段的“靠近距离”为3时，求t的值.
18．（2024七上·杭州期中）操作发现．
操作一：如图1，已知点A、M所表示的数分别为、1，将点A绕点M旋转得到点B，此时点B所表示的数为4，我们称点B是点A关于点M的映射点；
记作：或；
操作二：如图2，已知点M和线段，将点A、M绕同一点旋转，使点A和点B重合，此时点M所对应的点用N表示，我们称点N是点M关于线段的映射点；
记作：；如：；
（1）利用图3、图4，直接填空：______；______；
（2）若A、B两点所表示的数分别是、，；求点C所表示的数；（用含a、b的代数式表示）
（3）点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，点C是数轴上一动点，且，；
①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是否为定值，如果是，请直接写出这个值，如果不是，请求出它的取值范围；
②当点C表示的数是时，B、D两点之间距离刚好为1，若点B在点A右侧，求a的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】数轴的折叠（翻折）模型
【解析】【解答】解：∵正方形边长为1，
∴依次翻滚4次为一个周期，
∵且第一次翻滚后"数"对应的数为0，
∴连续翻滚后数轴上数2024对应的字是"数"，
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质和旋转的性质得到：依次翻滚4次为一个周期，进而即可求解.
2．【答案】C
【知识点】翻折变换（折叠问题）；比的应用
【解析】【解答】解：∵三段长度由短到长的比为，卷尺总长为，
∴最长的一段长，另外两段中的长度为，
如图，当，，则，即，
∴标记的点A对应的刻度是．
故选：C．
【分析】本题考查折叠的性质、比例的计算．根据三段长度由短到长的比为，卷尺总长为，进而可求出最长的一段长和另外两段中的长度，据此可得，，利用线段的运算可求出AB，进而可得标记的点A对应的刻度是，代入数据进行计算可求出答案．
3．【答案】C
【知识点】数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：由题意可知：
旋转2次后，C点落在数轴上，对应2；
旋转4次后，C点落在数轴上，对应4；
……
即旋转2n次（n为正整数），C点对应2n.
因此旋转2024次后，点C对应2024.
故答案为：C.
【分析】通过分析前2次，4次得到C点对应数字的规律可解.
4．【答案】B
【知识点】数轴上两点之间的距离；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：根据题意可得：
∵数轴上O，A两点的距离为12，
∴点A表示的数为12，
表示的数为，
表示的数为，
表示的数为，
表示的数为，
……
表示的数为，
∴经过这样2023次跳动后的点表示的数为，
∵点A表示的数为12，表示的数为6，
∴的中点表示的数为，
∴经过这样2023次跳动后的点与的中点的距离为，
故选：B．
【分析】本题主要考查了图形类的规律，根据题意，分别求得表示的数，总结得到表示的数，得到经过这样2023次跳动后的点表示的数为，求得的中点表示的数，进而得到经过这样2023次跳动后的点与的中点的距离，得到答案.
5．【答案】；
【知识点】探索数与式的规律；有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：点对应的数为，
从点翻转到点需要经过线段、、、，
每条边的长度都是，且需要翻转次，
点第一次接触数轴对应的数是；
从图形中可以看出第一轮翻转过程中，
点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，
点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，
，
对应的是第轮翻转的第二次翻转，
对应的是点．
【分析】由题意可知正六边形每次一循环，由此可确定出这个数在数轴上所对应的点．
6．【答案】或或
【知识点】翻折变换（折叠问题）；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】解：
如图： ①当AB：BC：CD=1：1：2时，
设
解得：
∴折痕处所表示的数为：
②当 时，
设AB=a， BC =2a， CD =a，
∵AB+BC+CD=8，
∴a+2a+a=8，
解得： a=2，
∴AB =2， BC =4， CD=2；
∴折痕处所表示的数为： - 6+2+2=-2；
③当AB：BC：CD=2：1：1时，
设AB=2a， BC=a， CD=a，
∵AB+BC+CD=8，
∴a+a+2a=8，
解得： a=2，
∴AB =4， BC =2， CD=2；
∴折痕处所表示的数为： - 6+4+1=-1；
综上所述：折痕处所表示的数可能为：-1或-2或-3.
故答案为： 或 或 。
【分析】分三种情况进行讨论①当 ，，，列方程求出AB、BC、CD的值计算折痕处对应的点所表示的
数的值.
7．【答案】（1）解：∵，∴，，
∴，
（2）解：由题意可知，5秒后，点P表示的数为，
根据题意得：，
即或，
解得：或．
答：此时点P运动的速度为2个单位长度/秒或6个单位长度/秒
（3）解：由题意可知，点P的运动时间为秒，点Q的运动时间为秒，即点P表示的数为，点Q表示的数为，
根据题意得：，
即或，
∴或．
答：m和n之间的数量关系或
【知识点】绝对值的非负性；一元一次方程的实际应用-几何问题；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【分析】（1）利用绝对值及偶次方的非负性，即可求出a、b的值；
（2）5秒后，点P表示的数为，根据5秒后点P到点A的距离是点P到点B距离的2倍，可列出关于n的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）当点P的运动时间为秒，点Q的运动时间为秒，时，点P表示的数为，点Q表示的数为，根据此时P、Q两点之间的距离为1列方程，即可找出m和n之间的数量关系．
（1）解：∵，
∴，，
∴，；
（2）解：由题意可知，5秒后，点P表示的数为，
根据题意得：，
即或，
解得：或．
答：此时点P运动的速度为2个单位长度/秒或6个单位长度/秒；
（3）解：由题意可知，点P的运动时间为秒，点Q的运动时间为秒，
即点P表示的数为，点Q表示的数为，
根据题意得：，
即或，
∴或．
答：m和n之间的数量关系或．
8．【答案】（1）
（2）解：设点C在数轴上表示有理数c，点C在B点的右边，则结合数轴，，
不满足C到B的距离是到A的距离的2倍，故舍去；
当点C在A点与B点的之间，
∵A、B两点在数轴上对应的数分别为和6，C到B的距离是到A的距离的2倍，
则
解得，
当点C在A点的左边，
∵A、B两点在数轴上对应的数分别为和6，C到B的距离是到A的距离的2倍，
则
解得，
∴点C表示的数为或；
（3）解：依题意，时间为t，点Q表示的数是，
∵，
∴，
∴则点P表示的数是，
∵，
∴，
即，
∴或，
解得或，
当点P表示的数去到点，且点P第一次从点往点移动时，
则，
∴则点P表示的数是，
∵，
∴，
，
即或，
此时或，
当点P刚好回到，此时点Q表示的数是，
∵，
∴，
∵，
∴当点P第二次从A出发，，
则点P表示的数是，
∵，
∴，
∴，
综上或，或或．
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；数轴的动点往返运动模型
【解析】【解答】解：（1）∵A、B两点在数轴上对应的数分别为和6．
∴
∴A、B两点之间的距离为；
【分析】本题考查了数轴上表示有理数，数轴两点间的距离，绝对值方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据A、B两点在数轴上对应的数分别为和6，得出，即可作答．
（2）进行分类讨论，则点C在B点的右边；当点C在A点与B点的之间，当点C在A点的左边，分别运用数轴两点间的距离进行列式计算，即可作答．
（3）考虑，则点P表示的数是，列式，解得或，点P第一次从点往点移动时，则点P表示的数是，得，解得或；当点P第二次从出发，列式，解得．据此即可作答．
（1）解：∵A、B两点在数轴上对应的数分别为和6．
∴
∴A、B两点之间的距离为；
（2）解：设点C在数轴上表示有理数c，
点C在B点的右边，则结合数轴，，
不满足C到B的距离是到A的距离的2倍，故舍去；
当点C在A点与B点的之间，
∵A、B两点在数轴上对应的数分别为和6，C到B的距离是到A的距离的2倍，
则
解得，
当点C在A点的左边，
∵A、B两点在数轴上对应的数分别为和6，C到B的距离是到A的距离的2倍，
则
解得，
∴点C表示的数为或；
（3）解：依题意，时间为t，
点Q表示的数是，
∵，
∴，
∴则点P表示的数是，
∵，
∴，
即，
∴或，
解得或，
当点P表示的数去到点，且点P第一次从点往点移动时，
则，
∴则点P表示的数是，
∵，
∴，
，
即或，
此时或，
当点P刚好回到，此时点Q表示的数是，
∵，
∴，
∵，
∴当点P第二次从A出发，，
则点P表示的数是，
∵，
∴，
∴，
综上或，或或．
9．【答案】（1），4
（2）解：①1秒后点表示的数为：，点表示的数为：，
∴；
②设经过秒，两点重合，则：，解得：；
答：经过2秒，点P和点Q重合；
③设经过秒，P，Q之间的距离为3个单位长度，
则：，
解得：或；
答：经过1秒或秒，P，Q之间的距离为3个单位长度．
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴点表示的数为：，点表示的数为：4；
【分析】（1）根据偶数次幂的非负性及绝对值的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零可求出a、b的值；
（2）①根据左移减，右移加求出运动1秒后，表示的数，进行根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示数差的绝对值计算即可；
②设经过秒，两点重合，根据左移减，右移加求出运动t秒后，表示的数，进而根据相遇时两点所表示的数相同列出方程进行求解即可；
③设经过秒，P，Q之间的距离为3个单位长度，根据左移减，右移加求出运动x秒后，表示的数，进而根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示数差的绝对值列出方程进行求解即可．
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴点表示的数为：，点表示的数为：4；
（2）①1秒后点表示的数为：，点表示的数为：，
∴；
②设经过秒，两点重合，则：，解得：；
答：经过2秒，点P和点Q重合；
③设经过秒，P，Q之间的距离为3个单位长度，
则：，
解得：或；
答：经过1秒或秒，P，Q之间的距离为3个单位长度．
10．【答案】（1）解：∵A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴a的值是，b的值是90；
（2）解：①，；
②由题意可得，相遇时P和Q两点表示的数字相同，
∴，
解得：，
点C对应的数是：，
∴点C对应的数为：50；
③设相遇前，经过a秒时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，
解得；
设相遇后，经过b秒时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，
解得；
∴经过16秒或24秒的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：（2）①∵ 现有一只电子蚂蚁P从点A出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，
∴运动t秒时电子蚂蚁P表示的数是，
∵同时另一只电子蚂蚁Q从点B出发，以2个单位长度/秒的速度向左运动，
∴Q表示的数是，
故答案为：，；
【分析】（1）先得出，，再根据， 求得，然后根据求得b的值；
（2）①根据题意及点A和B表示的数即可求解；②根据题意可列方程，求解得到t的值，即可求得C点坐标；③分为相遇前和相遇后两种情况讨论列方程求解．
（1）解：∵A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边，，，，
∴，，
即a的值是，b的值是90；
（2）①运动t秒时电子蚂蚁P表示的数是，Q表示的数是，
故答案为：，；
②由题意可得，相遇时P和Q两点表示的数字相同，
∴，
解得：，
点C对应的数是：，
即点C对应的数为：50；
③设相遇前，经过m秒时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，
解得；
设相遇后，经过n秒时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，
解得；
由上可得，经过16秒或24秒的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度．
11．【答案】（1）
（2）解：①秒时点表示的数：，点表示的数为：，点表示的数为：，
由题意得：，
∵，，
∴，
解得：，
此时：对应的数为；
②当时，为定值，当时，为定值；
理由如下：
当、相遇时，，解得：．
当时：，它是定值；
，它不是定值；
当时：，它不是定值；
，它是定值．
综上所述，当时，为定值，当时，为定值．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；数轴上两点之间的距离；数轴的动态定值问题；数轴的线段和差倍分问题
【解析】【解答】（1）∵，
∴是的中点，
∴，
解得：，
故答案为：；
【分析】
（1）由题意知当AC=BC时是线段的中点，根据中点公式列方程求解即可；
（2）①先由题意分别表示出t秒后点M、N、P分别对应的数字，再根据“幸福点”的定义方程并求解即可；
②由“数轴上两点之间的距离”先分别表示和，再分类讨论：当或当时，分别利用整式的混合运算法则计算和的结果即可．
（1）∵，
∴是的中点，
∴，
解得：，
故答案为：；
（2）移动时间为秒时，点表示的数：，点表示的数为：，点表示的数为：，
①由题意得：，
∵，，
∴，
解得：，
此时：对应的数为；
②当时，为定值，当时，为定值；
理由如下：
当、相遇时，，解得：．
当时：，它是定值；
，它不是定值；
当时：，它不是定值；
，它是定值．
综上所述，当时，为定值，当时，为定值．
12．【答案】（1）解：设C点所对应的数为c，
根据题意，可知：，
解得：，
则点C对应的数为10．
（2）①；；；
②解：设M、N运动时间为t秒，由题意可知在15秒内，先到挡板
若，则M点对应的数为：，N点对应的数为：
∴ (不合题意舍去)
若，则M点对应的数为：，N点对应的数为：，
，
解得： (不合题意，舍去)．
若，则M点对应的数为：，N点对应的数为：，
，
解得：．
综上：当M、N两个小球的距离等于30时，秒．
（3）解：设P、Q运动时间为t秒，则P点对应的数为：，Q点对应的数为：，点E对应的数为：，
点F对应的数为：，
∴，
由题意可知：，
解得：或，
故出发或秒后，．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；数轴上两点之间的距离；求有理数的绝对值的方法；数轴的动点往返运动模型
【解析】【解答】
（2）
解：①根据题意得：当时，N小球对应的数为，
当时，N小球对应的数为，
当时，N小球对应的数为．
故答案为：；；；
【分析】
（1）设C点表示的数为c，由速度相等则小球行驶的路程也相等列出关于c的方程并求解即可；
（2）①根据某点表示的数加上从这点向右运动的路程，便为运动后的点表示的数；某点表示的数减去从这点向左运动的路程，便为运动后的点表示的数进行计算便可得出结果；
②结合①中三种情况，根据题意分别列出方程求得符合条件的t值便可；
（3）设P、Q运动时间为t秒，则P点对应的数为：，Q点对应的数为：，点E对应的数为：，点F对应的数为：，再根据数轴上两点间的距离公式和“点E到点F的距离是点E到原点O的距离的4倍”列出方程并解答．
（1）解：设C点所对应的数为c，
根据题意，可知：，
解得：，
则点C对应的数为10．
（2）解：①根据题意得：当时，N小球对应的数为，
当时，N小球对应的数为，
当时，N小球对应的数为．
故答案为：；；；
②设M、N运动时间为t秒，由题意可知在15秒内，先到挡板
若，则M点对应的数为：，N点对应的数为：
∴ (不合题意舍去)
若，则M点对应的数为：，N点对应的数为：，
，
解得： (不合题意，舍去)．
若，则M点对应的数为：，N点对应的数为：，
，
解得：．
综上：当M、N两个小球的距离等于30时，秒．
（3）解：设P、Q运动时间为t秒，则P点对应的数为：，Q点对应的数为：，
点E对应的数为：，
点F对应的数为：，
∴，
由题意可知：，
解得：或，
故出发或秒后，．
13．【答案】（1），
（2）解：设经过秒，点到点与点的距离相等，则此时点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，
∴，，
由题意得：，
解得：或，
∴经过或秒，点到点与点的距离相等
（3）解：设点沿着数轴向左移动次，则向右移动次，对应的数为或，
则，即，
解得：或，
当时，有1种移动方法，点沿着数轴向左移动，经过8次移动后，点对应的数为，此时点与原点相距1个单位长度；
当时，有种移动方法：连续向左移动次，再向右移动1次；连续向左移动次，再向右移动1次，最后向左移动1次；连续向左移动次，再向右移动1次，最后向左连续移动2次；连续向左移动4次，再向右移动1次，最后向左连续移动3次；连续向左移动3次，再向右移动1次，最后向左连续移动4次；连续向左移动2次，再向右移动1次，最后向左连续移动5次；向左移动1次，再向右移动1次，最后向左连续移动6次；先向右移动1次，再向左连续移动7次；
故，
综上所述，满足条件的点的移动方法共有种
（4）解：不能，理由如下：设点向左移动次，向右移动次，则点移动了次，
∴，
∴，
设点向左移动了次，则向右移动了次，
∴，
∴，
∵、、均为正整数，
∴不符合题意，
∴点和点经过相同次数的移动后，不能同时到达原点
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；数轴的动点往返运动模型
【解析】【解答】（1）解：∵到的距离是到的距离的两倍，
∴设点表示的数为，则点表示的数为，
∵，之间距离为21，
∴，
解得：，
∴，
∴点表示的数为，点表示的数为；
【分析】（1）由于OA=2OB，可设点表示的数为，则点表示的数为，由两点间的距离可列方程，再求解即可；
（2）先表示出秒点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，再由题意列包含绝对值的方程并求解即可；
（3）由于经过8次移动后点B距离原点1个单位长度，即点B可能在原点左侧也或能在原点右侧，即对应的数字为或，可设点沿着数轴向左移动次，则向右移动次，则，即，求解得或，显然当时只有一种移动方法，即连续向左移动8次，而当时，可计算得有8种移动方法，再对所有方法求和即可；
（4）假设最终点A和点B同时到达原点，可设点向左移动次，向右移动次，则点总共移动了次，所以有，推出，再设点向左移动了次，则向右移动了次，则，整理得，由于、、均为正整数，则假设不成立.
（1）解：∵到的距离是到的距离的两倍，
∴设点表示的数为，则点表示的数为，
∵，之间距离为21，
∴，
解得：，
∴，
∴点表示的数为，点表示的数为；
（2）解：设经过秒，点到点与点的距离相等，则此时点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，
∴，，
由题意得：，
解得：或，
∴经过或秒，点到点与点的距离相等；
（3）解：设点沿着数轴向左移动次，则向右移动次，对应的数为或，
则，即，
解得：或，
当时，有1种移动方法，点沿着数轴向左移动，经过8次移动后，点对应的数为，此时点与原点相距1个单位长度；
当时，有种移动方法：连续向左移动次，再向右移动1次；连续向左移动次，再向右移动1次，最后向左移动1次；连续向左移动次，再向右移动1次，最后向左连续移动2次；连续向左移动4次，再向右移动1次，最后向左连续移动3次；连续向左移动3次，再向右移动1次，最后向左连续移动4次；连续向左移动2次，再向右移动1次，最后向左连续移动5次；向左移动1次，再向右移动1次，最后向左连续移动6次；先向右移动1次，再向左连续移动7次；
故，
综上所述，满足条件的点的移动方法共有种；
（4）解：不能，理由如下：
设点向左移动次，向右移动次，则点移动了次，
∴，
∴，
设点向左移动了次，则向右移动了次，
∴，
∴，
∵、、均为正整数，
∴不符合题意，
∴点和点经过相同次数的移动后，不能同时到达原点．
14．【答案】（1），，
（2）解：解：当点在点左边时，，
、两点之间相距个单位长度，
，解得，
当点在点右边时，，
、两点之间相距个单位长度，
，解得，
当或秒时，、两点之间相距个单位长度
（3）解：存在常数，使得为一个定值，
理由如下：
由题意可知，点表示的数为；点表示的数为；点表示的数为，
，，，
，
要使得为一个定值，
，解得，
，
，这个定值为
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；数轴的点常规运动模型；数轴的线段和差倍分问题
【解析】【解答】（1）解：设点表示的数为，则点表示的数为，
点和点间距个单位长度，
，
解得，
点表示的有理数是；点表示的有理数是，
，
点表示的有理数是，
动点从点出发，以2个单位长度秒的速度向右沿数轴运动，运动时间为秒，
点表示的数是，
故答案为：，，
【分析】（1）设点表示的数为，则点表示的数为，再根据两点之间的距离可得到关于x的方程，解方程求出x的值；然后根据点A和点C相距个单位长度，可知点C表示的有理数，最后根据动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右沿数轴运动，运动时间为t秒，可得点P表示的数；
（2）分两种情况：当点P在点B左边时和当点P在点B右边时，结合P、B两点之间相距个单位长度，分别列出方程，解方程求出t的值即可.
（3）利用已知条件分别表示出，，的长，可表示出；再根据为一个定值，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到这个定值.
（1）解：设点表示的数为，则点表示的数为，
点和点间距个单位长度，
，
解得，
点表示的有理数是；点表示的有理数是，
，
点表示的有理数是，
动点从点出发，以2个单位长度秒的速度向右沿数轴运动，运动时间为秒，
点表示的数是，
故答案为：，，；
（2）解：当点在点左边时，，
、两点之间相距个单位长度，
，解得，
当点在点右边时，，
、两点之间相距个单位长度，
，解得，
当或秒时，、两点之间相距个单位长度，
（3）解：存在常数，使得为一个定值，
理由如下：
由题意可知，点表示的数为；点表示的数为；点表示的数为，
，，，
，
要使得为一个定值，
，解得，
，
，这个定值为．
15．【答案】（1）4
（2）解：①设P、B两点相遇时间为秒，由题意得：，
解得：，
此时点表示的数为：，
∴相遇时点表示的数为：
②或
【知识点】数轴上两点之间的距离；数轴的动点往返运动模型
【解析】【解答】（1）解：∵点表示的数为，点在点左边，且点与点的距离为；
∴点表示的数为：，
∵边长为的正方形在数轴上，
∴点在点左边，，
∴点表示的数为：，
故答案为：；
（2）②由①可知：相遇时、表示的数为，点表示的数为，
即点与点重合，
设相遇后的运动时间为秒，
当点与点的距离等于点到点的距离时，，，
∴，
解得：或，
∴当时，点表示的数为：，
当时，点表示的数为：，
综上所述，此时在数轴上表示的数为或．
故答案为：或．
【分析】（1）利用已知：点表示的数和点与点的位置关系和距离求出点C表示的数，再根据正方形的边长即可求出数轴上点表示的数.
（2）①利用点和点之间的距离以及运动速度求出两点相遇时的运动时间，即可求出相遇时点表示的数，利用正方形的边长即可求出相遇时点在数轴上表示的数；②由①可知相遇时点在数轴上表示的数，然后根据条件列出方程，求出满足条件时的运动时间，再根据运动时间即可求出点在数轴上表示的数．
（1）解：∵点表示的数为，点在点左边，且点与点的距离为；
∴点表示的数为：，
∵边长为的正方形在数轴上，
∴点在点左边，，
∴点表示的数为：，
故答案为：；
（2）①设P、B两点相遇时间为秒，
由题意得：，
解得：，
此时点表示的数为：，
∴相遇时点表示的数为：；
②由①可知：相遇时、表示的数为，点表示的数为，
即点与点重合，
设相遇后的运动时间为秒，
当点与点的距离等于点到点的距离时，，，
∴，
解得：或，
∴当时，点表示的数为：，
当时，点表示的数为：，
综上所述，此时在数轴上表示的数为或．
故答案为：或．
16．【答案】（1）解：∵点对应的数为，点对应的数为100，
∴，
∴点之间的距离是120．
（2）解：∵，点到线段两个端点的距离之比为，
当时，，
∵点对应的数为，
∴所对应的数为20；
当时，，
∵点对应的数为，
∴所对应的数为60；
∴线段的“理想点”所对应的数是20，60．
（3）解：∵三条纸条的长度之比为，，
∴，
∴三条纸条的长度为24，24，72，
①当从到三条纸条的长度为24，24，72，如图：
则折痕到的长度是，
∵点对应的数为，
∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是；
②当从到三条纸条的长度为24， 72，24，如图：
则折痕到的长度是，
∵点对应的数为，
∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是；
③当从到三条纸条的长度为72，24，24，如图：
则折痕到的长度是，
∵点对应的数为，
∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是；
综上所述，折痕处对应的点在数轴上所表示的数是16，40，64．
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；数轴的折叠（翻折）模型；分类讨论
【解析】【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离等于这两点所表示数差的绝对值求解即可．
（2）根据“理想点”定义及到、距离的比例关系，分当时与当时两种情况求出AC的长，进而根据数轴上两点间的距离公式求出点C所表示的数；
（3）由线段总长度及三条纸条的长度之比，可得三条线段的长度，再分①当从到三条纸条的长度为24，24，72； ②当从到三条纸条的长度为24， 72，24， ③当从到三条纸条的长度为72，24，24，三种情况讨论即可．
（1）解：∵点对应的数为，点对应的数为100，
∴，
∴点之间的距离是120．
（2）解：∵，点到线段两个端点的距离之比为，
当时，，
∵点对应的数为，
∴所对应的数为20；
当时，，
∵点对应的数为，
∴所对应的数为60；
∴线段的“理想点”所对应的数是20，60．
（3）∵三条纸条的长度之比为，，
∴，
∴三条纸条的长度为24，24，72，
①当从到三条纸条的长度为24，24，72，如图：
则折痕到的长度是，
∵点对应的数为，
∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是；
②当从到三条纸条的长度为24， 72，24，如图：
则折痕到的长度是，
∵点对应的数为，
∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是；
③当从到三条纸条的长度为72，24，24，如图：
则折痕到的长度是，
∵点对应的数为，
∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是；
综上所述，折痕处对应的点在数轴上所表示的数是16，40，64．
17．【答案】解：（1）2；（2） 5或1或7；
（3）当PA=3时， 可得，或，
解得.
而当时，PB=14-4×3=2，<，点P到线段AB的“靠近距离”为2，不符合题意.
所以.
当PB=3时， 可得，或，
解得.
而当时，PA=，PA所以.
综上所述，所以或.
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）由题意OA=2；OB=4
∴点O到线段的“靠近距离”为2
故答案为：2；
（2）①当点P位于A点左侧时，点P表示-2-3=-5；
②点P位于线段AB上时，点P表示-2+3=1，此时PA=PB=1
③点P位于B点右侧时，点P表示4+3=7
∴m= 5或1或7
故答案为： 5或1或7；
【分析】（1）根据线段的比较即可解题；
（2）分三种情况进行讨论，①当点P位于A点左侧；②点P位于线段AB上；③点P位于B点右侧，分别根据“靠近距离”的定义求解；
（3）分PA=3或PB=3两种情况，根据“靠近距离”分别求解即可.
18．【答案】（1）；
（2）解：∵，∴为的中点，
∵A、B两点所表示的数分别是、，
点表示的数为：
（3）①是；；
②∵点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，点B在点A右侧，
∴点B表示的数为，
设点D表示的数为d，
∵点C表示的数是，，
∴，
∴，
∵B、D两点之间距离刚好为1，
∴，
即，
解得：或
【知识点】整式的加减运算；数轴上两点之间的距离；数轴的折叠（翻折）模型
【解析】【解答】解：（1）解：根据题意得：；
根据题意得：．
故答案为：；
（3）解：①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是定值；理由如下：
∵点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，
∴点B表示的数为或，
设点C表示的数为x，点D表示的数为d，点E表示的数为e，
当点B表示的数为时，点B在点A的右侧，
∵，
∴为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴的中点与的中点是同一个点，
∴，
∴，
∴
；
当点B表示的数为时，点B在点A的左侧，
∵，
∴为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴的中点与的中点是同一个点，
∴，
∴，
∴
；
点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是定值4．
【分析】（1）利用题干提供的信息进行解答即可.
（2）根据，得出，根据A、B两点所表示的数分别是、，代入先去括号，再合并同类项.
（3）①根据点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，得出点B表示的数为或，设点C表示的数为x，点D表示的数为d，点E表示的数为e，分两种情况：当点B表示的数为时，点B在点A的右侧，当点B表示的数为时，点B在点A的左侧，分别求出的值，即可得出答案；
②根据点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，点B在点A右侧，得出点B表示的数为，设点D表示的数为d，根据点C表示的数是，，得出，根据B、D两点之间距离刚好为1，得出，解方程即可．
（1）解：根据题意得：；
根据题意得：．
故答案为：；
（2）解：∵，
∴为的中点，
∵A、B两点所表示的数分别是、，
点表示的数为：
；
（3）解：①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是定值；理由如下：
∵点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，
∴点B表示的数为或，
设点C表示的数为x，点D表示的数为d，点E表示的数为e，
当点B表示的数为时，点B在点A的右侧，
∵，
∴为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴的中点与的中点是同一个点，
∴，
∴，
∴
；
当点B表示的数为时，点B在点A的左侧，
∵，
∴为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴的中点与的中点是同一个点，
∴，
∴，
∴
；
点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是定值4．
②∵点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，点B在点A右侧，
∴点B表示的数为，
设点D表示的数为d，
∵点C表示的数是，，
∴，
∴，
∵B、D两点之间距离刚好为1，
∴，
即，
解得：或．
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