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《代数式》精选压轴题（一）—2025年浙江省七（上）数学期中复习
一、单选题
1．（2024七上·临平期中）若当时，代数式的值为k，则当时，代数式的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解： 当时，代数式的值为k ，即20253a+2025b+1=k，20253a+2025b=k-1
当时，代数式 =-20253a-2025b+1=-(20253a+2025b)+1=-k+1+1=2-k，
故答案为：C.
【分析】将x=2025代入得到a、b与k的关系式，当x=-2025时，代入整理即可得到答案.
2．（2024七上·杭州期中）小宜跟同学在餐厅吃饭，如图为此餐厅的菜单．若他们所点的餐总共为8份意大利面，m杯饮料，n份沙拉，则他们点了（　　）份A餐.
A餐：一份意大利面
B餐：一份意大利面加一杯饮料
C餐：一份意大利面加一杯饮料和一份沙拉
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：饮料只在B套餐和C套餐中有，且只有m杯
∴在B和C餐中点了m份意大利面．
点A餐为份．
故答案为：A．
【分析】由于B、C套餐中各有一杯饮料和一份意大利面，且共点了m杯饮料，从而能确定在B和C餐中共点了m份意大利面，结合共点8份意大利面，可求出在A餐中点的意大利面得份数，从而得出答案.
3．（2024七上·西湖期中）杭州亚运村举行开村仪式暨中国体育代表团欢迎仪式，有n位运动员乘坐m辆车，若每辆车载30人，则还有7人不能上车；若每辆车载35人，则最后一辆车空了6个座位．
①运动员有人；②运动员有人；③运动员乘坐的车有辆；④运动员乘坐的车有辆．其中正确的结论是（　　）
A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】B
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：①有n位运动员乘坐m辆车，若每辆车载30人，则还有7人不能上车，
∴运动员有（30m+7）人，故①正确；
②∵有n位运动员乘坐m辆车，若每辆车载35人，则最后一辆车空了6个座位，
∴运动员有（35m-6）人，故②正确；
③∵n位运动员乘坐车，每辆车载30人，则还有7人不能上车，
∴运动员乘坐的车有辆，故③正确；
④∵n位运动员乘坐车，每辆车载35人，则最后一辆车空了6个座位，
∴运动员乘坐的车有辆，故④正确；
综上所述，正确的结论是：①②④，
故答案为：B．
【分析】本题主要考查了列代数式，依据题意，对每个结论解析逐一判断即可得出答案.
4．（2024七上·杭州期中）如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为96，我们发现第一次输出的结果为48．第二次输出的结果为24，…，则第2024次输出的结果为（　　）
A．6 B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：第一次输出结果为
第二次输出结果为
第三次输出结果为
第四次输出结果为
第五次输出结果为
第六次输出结果为
第七次输出结果为
……，
以此类推可知，从第四次开始，偶数次输出结果为6，奇数次输出结果为3，
因此第2024次输出的结果为6，
故答案为：A.
【分析】把x的值代入程序中计算，先计算得到 从第四次开始，偶数次输出结果为6，奇数次输出结果为3， 即可得到第2024次输出结果.
5．（2024七上·绍兴期中）以下是一个复杂的程序算法，每当输入一个实数，就会按照箭头顺序和正确的选择判断依次计算并输出结果。如输入的x=3，得到结果6；输入的x=﹣2，得出结果2。据此判断下列说法中，正确的是（　　）
A．如果输入的x为﹣3，输出的结果为3
B．如果输入一个无理数，有可能变成一个有理数
C．如果输出的结果是2024，那么原来输入的x可能是1012或
D．输出的结果有可能为0
【答案】C
【知识点】求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】A：当x=-3时，-3×2=-6<0，-6+6=0，输出结果02=0，不正确，不符合题意；
B： 输入一个无理数，不可能变成一个有理数，不正确，不符合题意；
C：当x=1012时，1012×2=2024>0，输出；
当x= 时，<0，，然后输出，不正确，不符合题意；
D：由A选项可得结果为0，说法正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据所给数值按程序算法计算判断即可.
6．（2020·宁波模拟）如图，7张全等的小长方形纸片(既不重叠也无空隙)放置于矩形ABCD中，设小长方形的长为a，宽为b(a>b)，若要求出两块黑色阴影部分的周长和，则只要测出下面哪个数据（　　）
A．a B．b C．a+b D．a-b
【答案】A
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：右上角黑色阴影部分的周长为2[b+(a+b-a)]=4b，
左下角黑色阴影部分的周长为2[a+(a+b-3b)]=4a-4b，
所以两块黑色阴影部分的周长和为：4b+(4a-4b)=4a，故选A
【分析】分别用含a，b的代数式表示出右上角黑色阴影部分的周长和左下角黑色阴影部分的周长，再求出两块黑色阴影部分的周长和，据此可作出判断。
7．（2023七上·鄞州期中）如图，小明计划将正方形菜园分割成三个长方形①②③和一个正方形④．若长方形②与③的周长和为，则正方形与正方形④的周长和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】整式的加减运算；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：如图所示，设长方形②的宽为，长为，长方形③的宽为c，则长方形③的长为，正方形④的边长为，
则，正方形④的周长为，
∴，
即，
∴正方形的边长为
∴ 正方形与正方形④的周长和为.
故答案为：D．
【分析】设长方形②的宽为，长为，方形③的宽为c，则长方形③的长为，正方形④的边长为，则正方形④的周长为， 由长方形②与③的周长和为 ，可得，正方形的边长为，根据整式的加减即可求解．
8．（2024七上·杭州期中）如图所示的一个长方形，它被分割成4个大小不同的正方形①，②，③，④和一个长方形⑤，则下列结论：
（1）若已知小正方形①和②的周长，就能求出大长方形的周长；
（2）若已知小正方形③的周长，就能求出大长方形的周长；
（3）若已知小正方形④的周长，就能求出大长方形的周长；
（4）若已知小长方形⑤的周长，就能求出大长方形的周长．
其中正确的是（　　）
A．①②④ B．①②③ C．①③ D．②③
【答案】A
【知识点】整式的加减运算；整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：记正方形①②③④的边长分别为、、、．
（1）大长方形的周长，
因为，所以，，
所以大长方形的周长，
故（1）正确；
（2）大长方形的周长，
因为，所以，
所以大长方形的周长，
故（2）正确；
（3）由（2）可知，大长方形的周长，
而，所以，
所以已知小正方形④与①的周长，才能求出大长方形的周长，
故（3）错误；
（4）由（2）可知，大长方形的周长．
长方形⑤的周长，
因为，
所以长方形⑤的周长．
所以大长方形的周长小长方形⑤的周长，
故（4）正确．
故选：．
【分析】
设正方形①②③④的边长分别为、、、，则，则长方形 ⑤ 的长等于、宽等于。则大长方形的长等于、宽等于，则周长等于等于结论（1）正确；由于，则大长方形的周长也等于，则结论（2）正确；由于，则大长方形的周长不能只用含的代数式表示出，即结论（3）错误；由于长方形⑤的周长等于，即大长方形的周长等于小长方形⑤周长的2倍，则结论（4）正确．
9．（2024七上·浙江期中）已知一列数a1，a2，a3，…an…中，a1＝3，a2＝2a1-1，a3＝2a2-1，…，a（n+1）＝2a_n-1，…则a2025-a2024的个位数字是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-末尾数字规律
【解析】【解答】解： a1＝3，a2＝2a1-1=5，a3＝2a2-1=9，a4＝2a3-1=17， a5＝2a4-1=33， a6＝2a5-1=65， a7＝2a6-1=129， a8＝2a7-1=257......由此发现尾数规律是3、5、9、7进行循环。
2025÷4=506余1，2024÷4=506，
∴a2025个位数是3，a2024个位数是7，
因此a2025-a2024的个位数字是6.
故答案为：C.
【分析】本题首先根据公式对列数进行具体计算，观察尾数的变化规律。发现尾数规律是3、5、9、7进行循环。因此 a2025 的尾数就是3，a2024个位数是7，然后3-7肯定就是13-7=6，因此a2025-a2024的个位数字是6。
10．（2024七上·浙江期中）已知M是个位数字不为零的两位数，将M的个位数字与十位数字互换后，得到另一个与之不同的两位数N，若M N恰好是某个整数的平方，则这样的数M共有（　　）
A．3个 B．5个 C．8个 D．13个
【答案】D
【知识点】整式的加减运算；用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】解： 设两位数M的十位数字为a，个位数字为b，(a，b为整数，且1∴М - N = (10а + Ь) - (106 + а) = 9(а - Ь) = t2（t为正整数）
∴a-b=，
∵a-b为整数，且0∴t2=9或36，即t=3或6，
当t=3时，a-b=1，此时有8组解，分别是a=2，b=1；a=3，b=2；a=4，b=3；a=5，b=4；a=6，b=5；a=7，b=6；a=8，b=7；a=9，b=8；
当t=6时，a-b=4，此时有5组解，分别是a=5，b=1；a=6，b=2；a=7，b=3；a=8，b=4；a=9，b=5；
∴这样的数m共有15，26，37，48，59，12，23，34，45，56，67，78，89，共13个.
故答案为：D.
【分析】 设两位数M的十位数字为a，个位数字为b，(a，b为整数，且111．（2023七上·云南月考）如，我们叫集合M，其中1、2、x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如，）（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，则我们说．已知集合，集合，若，则则的值是（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，
由互异性可知，，，
，，
，，
，即，
或，
当时，解得：；
当时，无解．
所以当时，，，
此时，符合题意．
，
故答案为：B．
【分析】根据集合元素的互异性可知，，，由此可得到的值，即可求出y的值，再分情况讨论：当时；当时；可得到符合题意的x的值，然后根据A=B，可求出x-y的值
12．（2025七上·乐清期中）意大利数学家列昂纳多·斐波那契在1202年所著的《算盘书》中提出以下问题：如果每对兔子每月能繁殖一对子兔，而子兔在出生后第二个月就有生殖能力，第三个月就生产一对兔子，以后每个月生产一对，假设每对兔子都是一雌一雄，试问一对兔子一年能繁殖多少对兔子 我们记第个月兔子数为，则得到一系列斐波那契数，.我们利用斐波那契数可以构造以下一系列连分数：为正整数，b，c为分数），则d的值是____.
A．233 B．843 C．987 D．975
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-计数类规律
【解析】【解答】解：
根据题意得：，
∴，
∴后的三个数为，
∴．
故选：C
【分析】通过观察发现，后一个数的分子是前两个数的分子之和，后一个数的分母是前一个数的分子，由此进行计算即可得到答案．
二、填空题
13．（2024七上·海曙期中）算筹是世界上最古老的计数工具，算筹的摆法有如图纵式和横式两种，以算筹的计数的方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横…这样纵横依次交替，零以空格表示.如3257就表示成
若用三根算筹表示两位数（十位不能为零，且用完三根算），一共可以表示　 　个两位数
【答案】6
【知识点】数学常识
【解析】【解答】解：用三根算筹表示两位数 （十位不能为零，且用完三根算），一共可以表示12、21、30、16、61、70这六个数.
故答案为：6.
【分析】根据算筹计数法解答即可.
14．（2024七上·平湖期中）在计算两位数的平方运算时，我们可以利用“竖式”方式进行快速运算，其步骤如图所示（图1，2，3），现有一个两位数，其十位数字为，在进行平方运算时，部分步骤如图4所示（为小于的正整数），则这个两位数是　 　（用含的代数式表达）．
【答案】
【知识点】整式的加减运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据题意可得，图1，竖式中第一行：中的是中的平方，中的是中的平方；第二行：是中；
图2，竖式中第一行：中的是中的平方，中的是中的平方；第二行：是中；
图3，竖式中第一行：中的是中的平方，中的是中的平方；第二行：是中；
∴图4中，第二行的这个两位数可表示为：，这个数是某个乘方数中十位上的数字与个位上的数字之积的倍，
∴这个两位数的十位上的数字与个位上的数字之积为：，
∵这个两位数的十位数字为，
∴这个两位数的个位数字为，
∴这个两位数是，
故答案为：．
【分析】观察图形可发现：“竖式”的第一行从左向右分别为：十位上的数字的平方与个位上的数字的平方，即中的是中的平方，中的是中的平方，每个数的平方占两个空，平方是一位数的前面的空用填补；第二行从左向右是这个两位数的个位上的数字与十位上的数字之积的倍，即是中，乘积为两位的填中间两个空格，乘积为三位数的从左边第一个空格开始填．以此规律即可解答．
15．（2024七上·赣州月考）将一根绳子对折1次，从中间剪断，绳子变成3段，将一根绳子对折2次．从中间剪断，绳子变成5段，将一根绳子对折3次，从中间剪断，绳子变成9段；现把一根足够长的绳子对折7次，从中间剪断．绳子会变成　 　段．
【答案】129
【知识点】探索数与式的规律；有理数乘方的实际应用
【解析】【解答】解：对折1次：（段），
对折2次：（段），
对折3次：（段），
……
对折n次：段，
∴ 对折7次，从中间剪断．绳子会变成（段），
故答案为：129．
【分析】根据题意得到规律，然后代入n=7即可求解．
16．（2024七上·龙湾期中）在艺术节手工创意比赛中，小红利用如图1的等宽的长胶带在长宽比为的卡纸上粘贴出如图2所示的“”图案，并将阴影区域裁去得到图3．已知胶带宽度为，图2中，三段水平宽度为，两段竖直长度为．则　 　．
【答案】
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：由题意可得，卡纸的长为，宽为，
∵卡纸的长宽比为，
∴，
∴，
整理后得，
∴，
故答案为：．
【分析】先由题意得卡纸的长和宽，然后根据纸的长宽比为列等式，化简解题即可．
17．（2024七上·余姚期中） 小红房间窗户的装饰物是由两个半径相同的四分之一圆组成的(如图1所示)，小兰房间窗户的装饰物是由半径相同的两个四分之一圆和一个半圆组成的(如图2所示)，小明房间窗户的装饰物是由半径相同的两个四分之一圆和两个半圆组成的(如图3所示)．请代数式表示出第n个装饰物的面积为　 　.
【答案】
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：由题意可知，第个装饰物由个半圆和2个四分之一圆组成，既合起来是个半圆组成，可得半径为，
∴装饰物的面积为：（为正整数）
故答案为：.
【分析】根据装饰物的变化规律，找到第个装饰物由个半圆和2个四分之一圆组成，依据已知条件求解.
18．（2024七上·浙江期中）在明代数学著作《算法统宗》一书中，作者程大位记载了一种被称为“铺地锦”的多位数相乘方法。例如：如图1，计算357×46，将乘数357写在方格上边，乘数46写在方格右边，然后用乘数357的每位数字乘以乘数46的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加，加的时候满十要向前进位，最终得16422。如图2，若用该方法计算三位数乘以两位数时，得到结果为14442，则m=　 　，n=　 　。
【答案】2；1
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：由题意可得cd=45，ce=72，
∴c=9，d=5，e=8，
又be=32，ad=10，
∴b=4，a=2
∴bd=5×4=20，ae=2×8=16，
又∵bd=10m，ae=10n+6，
∴10m=20，10n+6=16，
∴m=2，n=1.
故答案为：2，1.
【分析】结合数字特点及有理数的乘法法则，由cd=45，ce=72，可得c=9，d=5，e=8，再结合be=32，ad=10，可得出b=4，a=2，进而根据bd=10m，ae=10n+6，即可求出m、n的值.
19．（2023八上·义乌开学考）如图，长方形的宽为，长为，，第一次分割出一个最大的正方形，第二次在剩下的长方形中再分割出一个最大的正方形，依次下去恰好能把这个长方形分成四个正方形，并且无剩余，则与应满足的关系是　 　.
【答案】或
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：①如图：
∵，，
，
∴，
∴，
②如图：
∵，，
∴，
∴，
∴
综上所述：或
故答案为：或．
【分析】根据第一次分割正方形的边长，第二次分割正方形的边长为（），然后画图解题即可．
20．（2024七上·宁波期中）有些数学问题从正面入手求解比较繁琐，但如果从问题的反面思考，往往能开拓解题思路、简化运算过程．下图是一张方格纸的左上角的部分，用图中的方式从左上角的格子开始涂色，直到不能涂色为止，则在原方格纸上有　 　个格子被涂色．
【答案】4999
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】由题意得：白色的格子分别是2，6，10，14，…
∴第n个数是：4n-2，
∴白色格子的总数是：2+6+10+..+（4n-2）=2n2，
∵方格纸的规格是99×99，
白色格子的行数是49行，
即当n= 49时，其白色格子的总数是：
2×492= 4802（个），
∴涂色的格子的数量为：99×99-4802= 4999（个）。
故答案为：4999.
【分析】本题主要考查图形得变化规律，根据图可知白色格子得变化规律，结合方格纸的大小即可求出白色格子的总数，从而求出涂色的格子的数量.
21．（2024七上·鹿城期中）如图1是一根起点为0且标有单位长度的射线，现有同学将它弯折成图2，弯折后落在虚线上的点，从下往上第一个数是0，第二个数是8，第三个数是32，……，依此规律，落在虚线上的第五个点对应的数是　 　．
【答案】128
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：第1个数，
第2个数，
第3个数，
，
第n个数为
∴第5个数为，
故答案为：128．
【分析】根据已知数列得出第n个数为，据此可得答案．
22．（2024七上·江津期中）定义：对任意一个两位数m，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“互异数”．将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数减去原两位数后的结果与9的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的差为，与9的商为，所以．根据以上定义，请计算：　 　；若“互异数”m的个位数字是a，十位数字是b，则　 　（用含a、b的代数式表示）．
【答案】；
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：根据题意，得，
∵“互异数”的个位数字是，十位数字是，
∴，
故答案为：，．
【分析】根据“互异数”的定义以及题干中例子的解题方法可求出的值，由新两位数减去原两位数后的结果与9的商记为以及“互异数”的定义即可列式求出的值.
23．（2024七上·浙江期中）十九世纪MorizStern与AchilleBrocot两人发明了“一棵树”，称之为“有理数树”，它将全体正整数和正分数按照如图所示的方法排列。从1开始，一层一层的“生长”出来： 是第一层，第二层是和，第三层是，，，，…，按照这个规律，图中x所表示的数为　 　；若数（m，n均为正整数）位于第9层，且m-n＝2，则表示的数为　 　。
【答案】；
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：，解得x=.
∵m-n=2，因此m＞n，∴＜1；
设对应的第八层的枝干为，则对应的第九层的分支分别为，此时可知，即；
此时有b=n，a+b=m。
∵m-n=2，∴a+b-b=2，解得a=2，此时第八层的枝干；
观察发现分母为2的分支分别是这样第6层就是，第7层就是，第8层就是，此时b=13；
.
故答案为：.
【分析】本题观察可以发现，以为对称轴，对称的位置互为倒数，即相乘为1，这样x对称的位置就是，因此可以求出x=。计算的值时，需要首先判断＜1，此时发现规律：任何一个点“枝干”都可以分出两个“树枝”，并且这两个树枝分别是。此时就可以先对应处，求出a=2，这样“枝干”的样式就是。然后继续观察图形发现，以2为底的数，分母成递增规律，并且是公差为2的等差数列，这样就可以判断出第8层的“枝干”对应的数值，此时b即可求出，那么 也就可以求出。
三、解答题
24．（2024七上·诸暨期中）观察下列等式，发现规律，并解决问题．
（1）由上述规律计算：
；
（2）现有一列数：，，，，，，（为正整数），规定，，，，，则的值为_____．
【答案】（1）解：
.
（2）
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】（2）解：，
，
，
，
，
∴（为正整数），
∴
．
故答案为：．
【分析】（1）根据阅读材料将每一个加数进行裂项，然后根据互为相反数的两个数的和为零进行抵消计算即可；
（2）根据题意依次求出，，，，，，（为正整数）并把每一个数写成相邻两个正整数的即得形式，就会发现， 结合题干给出的裂项方法得出（为正整数）， 进而将每一个加数进行裂项，然后根据互为相反数的两个数的和为零进行抵消计算即可.
（1）解：
.
（2）解：，
，
，
，
，
∴（为正整数），
∴
．
故答案为：．
25．（2024七上·金东期中）设一列数，，，…，中，对于，均有（s是常数），已知，，，．
（1）直接写出下列数中相等的数：，，，，，，，，．
（2）求出s和t的值．
（3）计算：
【答案】（1）答案为：，，；
（2）解：由题意，得：，
即，
解得：；
∴，，
（3）解：原式
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
同理可求：，，；
【分析】（1）由得，同理可求：，，；
（2）由（1）中规律得，即可得关于t的方程，解方程可求解；
（3）由（1）中规律得，代入数值即可求解．
（1）解：∵，
∴，
同理可求：，，；
（2）解：由题意，得：，即，
解得：；
∴，，
；
（3）解：原式．
26．（2024七上·杭州期中）如图，有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为l1，图2中阴影部分周长为l2．
（1）若，则长方形的周长为 　 　；
（2）若
①求的值；
②记图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为，求的值．
【答案】（1）48
（2）解：①∵，，
∴当时，
；
②∵，
，
∴
【知识点】整式的加减运算；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】（1）由图1知，大长方形的长为，
由图2知，大长方形的宽为，
∴长方形的周长为，
当时，，
故答案为：48．
【分析】（1）利用图形可先求大长方形的长和宽，即可求出周长；
（2）根据图形，分别表示出，再代入计算即可.
（1）由图1知，大长方形的长为，
由图2知，大长方形的宽为，
∴长方形的周长为，
当时，，
故答案为：48．
（2）①∵，
，
∴当时，
；
②∵，
，
∴．
27．（2023七上·东坡期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的，下表是该市自来水收费价格的价目表．
价目表 　
每月用水量 单价
不超出6立方米的部分 2元/米
超出6立方米但不超出10立方米的部分 4元/米
超出10立方米的部分 8元/米
注：水费按月结算 　
（1）若某户居民2月份用水4立方米，则应交水费_______元．
（2）若某户居民3月份用水a立方米（其中），则该用户3月份应交水费多少元（用含a的整式表示，结果要化成最简形式）？
（3）若某户居民4，5月份共用水12立方米（5月份用水量多于4月份），设4月份用水x立方米，求该户居民4，5月份共交水费多少元（用含x的整式表示，结果要化成最简形式）．
【答案】（1）8
（2）解：根据题意，得元，
∴该用户3月份应交水费元；
（3）解：∵某户居民4，5月份共用水12立方米（5月份用水量多于4月份），
∴4月份的用水量少于6立方米，
∵4月份用水立方米，
∴5月份用水立方米，
当时，有，
∴此时4月份的费用为，5月份的费用为元，
∴该户居民4，5月份共交水费元；
当时，有，
∴此时4月份的费用为，5月份的费用为元，
∴该户居民4，5月份共交水费元；
综上所述，当时，该户居民4，5月份共交水费元；当时，该户居民4，5月份共交水费元．
【知识点】整式的加减运算；有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得应交水费为：（元），
故答案为：8.
【分析】（1）直接根据自来水收费价格的价目表进行计算求解；
（2）直接根据自来水收费价格的价目表进行计算求解；
（3）先求出4月份的用水量少于6立方米，且5月份用水立方米，然后分两种情况讨论：当时，则；当时，则，分别根据自来水收费价格的价目表计算出4月和5月的费用，最后求和即可得到答案．
（1）解：元，
∴某户居民2月份用水4立方米，则应交水费8元，
故答案为：8；
（2）解：元，
∴该用户3月份应交水费元；
（3）解：∵某户居民4，5月份共用水12立方米（5月份用水量多于4月份），
∴4月份的用水量少于6立方米，
∵4月份用水x立方米，
∴5月份用水立方米，
当时，则，
∴此时4月份的费用为，5月份的费用为元，
∴该户居民4，5月份共交水费元；
当时，则，
此时4月份的费用为，5月份的费用为元，
∴该户居民4，5月份共交水费元；
综上所述，当时，该户居民4，5月份共交水费元；当时，该户居民4，5月份共交水费元．
28．（2023七上·鹿城期中）
如何设计装饰布，优化透光面积
素材1 小亮家进行装修，窗户的装饰布由两片不透光的四分之一圆组成（半径相同），如图1所示．已知长方形窗户的长为a，宽为b．
素材2 小亮想改变窗户的透光面积，他购买了4片形状为四分之一圆的装饰布， 半径均为．
问题解决
任务1 分析数量关系 结合素材1，用含a，b的代数式表示窗户透光面积______．（取3）
任务2 确定透光面积 结合素材1，当，时，求窗户的透光面积______．（取3）
任务3 设计悬挂方案 结合素材2，请你帮小亮设计一种悬挂装饰布的方案，要求：①四片装饰布都要使用，且保持形状不变：②每片装饰布必须全部挂在窗户顶部；③装饰布不可以出现重叠；④设计图要呈现对称美．画出示意图，并通过计算判断你的设计方案与素材1设计方案哪种透光面积更大？（取3）
【答案】任务1，窗户透光面积为；
任务2：窗户透光面积为；
解：任务3：设计示意图如下图所示：
由题意可得，
此时窗户透光面积，
∵，
且b2＞0，
∴＞0，
∴，
∴这种设计方案窗户透光的面积比方案一中窗户透光的面积大．
【知识点】整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：任务1，∵长方形窗户的长为a，宽为b，两个十分之圆的半径为，π取3，
∴窗户透光面积；
故答案为：；
任务2：由任务1可得窗户透光面积为，
∴当，时，
窗户透光面积；
故答案为：.
【分析】任务1：根据窗户透光面积“长方形的面积-两个四分之一圆的面积”列出代数式即可；
任务2：当，代入任务一中的代数式进行计算即可；
任务3：根据设计的示意图，可得“窗户透光面积长方形的面积-四个四分之一圆的面积”列出代数式，然后计算即可判断求解．
1 / 1《代数式》精选压轴题（一）—2025年浙江省七（上）数学期中复习
一、单选题
1．（2024七上·临平期中）若当时，代数式的值为k，则当时，代数式的值为（　　）
A． B． C． D．
2．（2024七上·杭州期中）小宜跟同学在餐厅吃饭，如图为此餐厅的菜单．若他们所点的餐总共为8份意大利面，m杯饮料，n份沙拉，则他们点了（　　）份A餐.
A餐：一份意大利面
B餐：一份意大利面加一杯饮料
C餐：一份意大利面加一杯饮料和一份沙拉
A． B． C． D．
3．（2024七上·西湖期中）杭州亚运村举行开村仪式暨中国体育代表团欢迎仪式，有n位运动员乘坐m辆车，若每辆车载30人，则还有7人不能上车；若每辆车载35人，则最后一辆车空了6个座位．
①运动员有人；②运动员有人；③运动员乘坐的车有辆；④运动员乘坐的车有辆．其中正确的结论是（　　）
A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④
4．（2024七上·杭州期中）如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为96，我们发现第一次输出的结果为48．第二次输出的结果为24，…，则第2024次输出的结果为（　　）
A．6 B．3 C． D．
5．（2024七上·绍兴期中）以下是一个复杂的程序算法，每当输入一个实数，就会按照箭头顺序和正确的选择判断依次计算并输出结果。如输入的x=3，得到结果6；输入的x=﹣2，得出结果2。据此判断下列说法中，正确的是（　　）
A．如果输入的x为﹣3，输出的结果为3
B．如果输入一个无理数，有可能变成一个有理数
C．如果输出的结果是2024，那么原来输入的x可能是1012或
D．输出的结果有可能为0
6．（2020·宁波模拟）如图，7张全等的小长方形纸片(既不重叠也无空隙)放置于矩形ABCD中，设小长方形的长为a，宽为b(a>b)，若要求出两块黑色阴影部分的周长和，则只要测出下面哪个数据（　　）
A．a B．b C．a+b D．a-b
7．（2023七上·鄞州期中）如图，小明计划将正方形菜园分割成三个长方形①②③和一个正方形④．若长方形②与③的周长和为，则正方形与正方形④的周长和为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024七上·杭州期中）如图所示的一个长方形，它被分割成4个大小不同的正方形①，②，③，④和一个长方形⑤，则下列结论：
（1）若已知小正方形①和②的周长，就能求出大长方形的周长；
（2）若已知小正方形③的周长，就能求出大长方形的周长；
（3）若已知小正方形④的周长，就能求出大长方形的周长；
（4）若已知小长方形⑤的周长，就能求出大长方形的周长．
其中正确的是（　　）
A．①②④ B．①②③ C．①③ D．②③
9．（2024七上·浙江期中）已知一列数a1，a2，a3，…an…中，a1＝3，a2＝2a1-1，a3＝2a2-1，…，a（n+1）＝2a_n-1，…则a2025-a2024的个位数字是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
10．（2024七上·浙江期中）已知M是个位数字不为零的两位数，将M的个位数字与十位数字互换后，得到另一个与之不同的两位数N，若M N恰好是某个整数的平方，则这样的数M共有（　　）
A．3个 B．5个 C．8个 D．13个
11．（2023七上·云南月考）如，我们叫集合M，其中1、2、x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如，）（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，则我们说．已知集合，集合，若，则则的值是（　　）
A．2 B． C． D．
12．（2025七上·乐清期中）意大利数学家列昂纳多·斐波那契在1202年所著的《算盘书》中提出以下问题：如果每对兔子每月能繁殖一对子兔，而子兔在出生后第二个月就有生殖能力，第三个月就生产一对兔子，以后每个月生产一对，假设每对兔子都是一雌一雄，试问一对兔子一年能繁殖多少对兔子 我们记第个月兔子数为，则得到一系列斐波那契数，.我们利用斐波那契数可以构造以下一系列连分数：为正整数，b，c为分数），则d的值是____.
A．233 B．843 C．987 D．975
二、填空题
13．（2024七上·海曙期中）算筹是世界上最古老的计数工具，算筹的摆法有如图纵式和横式两种，以算筹的计数的方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横…这样纵横依次交替，零以空格表示.如3257就表示成
若用三根算筹表示两位数（十位不能为零，且用完三根算），一共可以表示　 　个两位数
14．（2024七上·平湖期中）在计算两位数的平方运算时，我们可以利用“竖式”方式进行快速运算，其步骤如图所示（图1，2，3），现有一个两位数，其十位数字为，在进行平方运算时，部分步骤如图4所示（为小于的正整数），则这个两位数是　 　（用含的代数式表达）．
15．（2024七上·赣州月考）将一根绳子对折1次，从中间剪断，绳子变成3段，将一根绳子对折2次．从中间剪断，绳子变成5段，将一根绳子对折3次，从中间剪断，绳子变成9段；现把一根足够长的绳子对折7次，从中间剪断．绳子会变成　 　段．
16．（2024七上·龙湾期中）在艺术节手工创意比赛中，小红利用如图1的等宽的长胶带在长宽比为的卡纸上粘贴出如图2所示的“”图案，并将阴影区域裁去得到图3．已知胶带宽度为，图2中，三段水平宽度为，两段竖直长度为．则　 　．
17．（2024七上·余姚期中） 小红房间窗户的装饰物是由两个半径相同的四分之一圆组成的(如图1所示)，小兰房间窗户的装饰物是由半径相同的两个四分之一圆和一个半圆组成的(如图2所示)，小明房间窗户的装饰物是由半径相同的两个四分之一圆和两个半圆组成的(如图3所示)．请代数式表示出第n个装饰物的面积为　 　.
18．（2024七上·浙江期中）在明代数学著作《算法统宗》一书中，作者程大位记载了一种被称为“铺地锦”的多位数相乘方法。例如：如图1，计算357×46，将乘数357写在方格上边，乘数46写在方格右边，然后用乘数357的每位数字乘以乘数46的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加，加的时候满十要向前进位，最终得16422。如图2，若用该方法计算三位数乘以两位数时，得到结果为14442，则m=　 　，n=　 　。
19．（2023八上·义乌开学考）如图，长方形的宽为，长为，，第一次分割出一个最大的正方形，第二次在剩下的长方形中再分割出一个最大的正方形，依次下去恰好能把这个长方形分成四个正方形，并且无剩余，则与应满足的关系是　 　.
20．（2024七上·宁波期中）有些数学问题从正面入手求解比较繁琐，但如果从问题的反面思考，往往能开拓解题思路、简化运算过程．下图是一张方格纸的左上角的部分，用图中的方式从左上角的格子开始涂色，直到不能涂色为止，则在原方格纸上有　 　个格子被涂色．
21．（2024七上·鹿城期中）如图1是一根起点为0且标有单位长度的射线，现有同学将它弯折成图2，弯折后落在虚线上的点，从下往上第一个数是0，第二个数是8，第三个数是32，……，依此规律，落在虚线上的第五个点对应的数是　 　．
22．（2024七上·江津期中）定义：对任意一个两位数m，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“互异数”．将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数减去原两位数后的结果与9的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的差为，与9的商为，所以．根据以上定义，请计算：　 　；若“互异数”m的个位数字是a，十位数字是b，则　 　（用含a、b的代数式表示）．
23．（2024七上·浙江期中）十九世纪MorizStern与AchilleBrocot两人发明了“一棵树”，称之为“有理数树”，它将全体正整数和正分数按照如图所示的方法排列。从1开始，一层一层的“生长”出来： 是第一层，第二层是和，第三层是，，，，…，按照这个规律，图中x所表示的数为　 　；若数（m，n均为正整数）位于第9层，且m-n＝2，则表示的数为　 　。
三、解答题
24．（2024七上·诸暨期中）观察下列等式，发现规律，并解决问题．
（1）由上述规律计算：
；
（2）现有一列数：，，，，，，（为正整数），规定，，，，，则的值为_____．
25．（2024七上·金东期中）设一列数，，，…，中，对于，均有（s是常数），已知，，，．
（1）直接写出下列数中相等的数：，，，，，，，，．
（2）求出s和t的值．
（3）计算：
26．（2024七上·杭州期中）如图，有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为l1，图2中阴影部分周长为l2．
（1）若，则长方形的周长为 　 　；
（2）若
①求的值；
②记图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为，求的值．
27．（2023七上·东坡期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的，下表是该市自来水收费价格的价目表．
价目表 　
每月用水量 单价
不超出6立方米的部分 2元/米
超出6立方米但不超出10立方米的部分 4元/米
超出10立方米的部分 8元/米
注：水费按月结算 　
（1）若某户居民2月份用水4立方米，则应交水费_______元．
（2）若某户居民3月份用水a立方米（其中），则该用户3月份应交水费多少元（用含a的整式表示，结果要化成最简形式）？
（3）若某户居民4，5月份共用水12立方米（5月份用水量多于4月份），设4月份用水x立方米，求该户居民4，5月份共交水费多少元（用含x的整式表示，结果要化成最简形式）．
28．（2023七上·鹿城期中）
如何设计装饰布，优化透光面积
素材1 小亮家进行装修，窗户的装饰布由两片不透光的四分之一圆组成（半径相同），如图1所示．已知长方形窗户的长为a，宽为b．
素材2 小亮想改变窗户的透光面积，他购买了4片形状为四分之一圆的装饰布， 半径均为．
问题解决
任务1 分析数量关系 结合素材1，用含a，b的代数式表示窗户透光面积______．（取3）
任务2 确定透光面积 结合素材1，当，时，求窗户的透光面积______．（取3）
任务3 设计悬挂方案 结合素材2，请你帮小亮设计一种悬挂装饰布的方案，要求：①四片装饰布都要使用，且保持形状不变：②每片装饰布必须全部挂在窗户顶部；③装饰布不可以出现重叠；④设计图要呈现对称美．画出示意图，并通过计算判断你的设计方案与素材1设计方案哪种透光面积更大？（取3）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解： 当时，代数式的值为k ，即20253a+2025b+1=k，20253a+2025b=k-1
当时，代数式 =-20253a-2025b+1=-(20253a+2025b)+1=-k+1+1=2-k，
故答案为：C.
【分析】将x=2025代入得到a、b与k的关系式，当x=-2025时，代入整理即可得到答案.
2．【答案】A
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：饮料只在B套餐和C套餐中有，且只有m杯
∴在B和C餐中点了m份意大利面．
点A餐为份．
故答案为：A．
【分析】由于B、C套餐中各有一杯饮料和一份意大利面，且共点了m杯饮料，从而能确定在B和C餐中共点了m份意大利面，结合共点8份意大利面，可求出在A餐中点的意大利面得份数，从而得出答案.
3．【答案】B
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：①有n位运动员乘坐m辆车，若每辆车载30人，则还有7人不能上车，
∴运动员有（30m+7）人，故①正确；
②∵有n位运动员乘坐m辆车，若每辆车载35人，则最后一辆车空了6个座位，
∴运动员有（35m-6）人，故②正确；
③∵n位运动员乘坐车，每辆车载30人，则还有7人不能上车，
∴运动员乘坐的车有辆，故③正确；
④∵n位运动员乘坐车，每辆车载35人，则最后一辆车空了6个座位，
∴运动员乘坐的车有辆，故④正确；
综上所述，正确的结论是：①②④，
故答案为：B．
【分析】本题主要考查了列代数式，依据题意，对每个结论解析逐一判断即可得出答案.
4．【答案】A
【知识点】求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：第一次输出结果为
第二次输出结果为
第三次输出结果为
第四次输出结果为
第五次输出结果为
第六次输出结果为
第七次输出结果为
……，
以此类推可知，从第四次开始，偶数次输出结果为6，奇数次输出结果为3，
因此第2024次输出的结果为6，
故答案为：A.
【分析】把x的值代入程序中计算，先计算得到 从第四次开始，偶数次输出结果为6，奇数次输出结果为3， 即可得到第2024次输出结果.
5．【答案】C
【知识点】求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】A：当x=-3时，-3×2=-6<0，-6+6=0，输出结果02=0，不正确，不符合题意；
B： 输入一个无理数，不可能变成一个有理数，不正确，不符合题意；
C：当x=1012时，1012×2=2024>0，输出；
当x= 时，<0，，然后输出，不正确，不符合题意；
D：由A选项可得结果为0，说法正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据所给数值按程序算法计算判断即可.
6．【答案】A
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：右上角黑色阴影部分的周长为2[b+(a+b-a)]=4b，
左下角黑色阴影部分的周长为2[a+(a+b-3b)]=4a-4b，
所以两块黑色阴影部分的周长和为：4b+(4a-4b)=4a，故选A
【分析】分别用含a，b的代数式表示出右上角黑色阴影部分的周长和左下角黑色阴影部分的周长，再求出两块黑色阴影部分的周长和，据此可作出判断。
7．【答案】D
【知识点】整式的加减运算；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：如图所示，设长方形②的宽为，长为，长方形③的宽为c，则长方形③的长为，正方形④的边长为，
则，正方形④的周长为，
∴，
即，
∴正方形的边长为
∴ 正方形与正方形④的周长和为.
故答案为：D．
【分析】设长方形②的宽为，长为，方形③的宽为c，则长方形③的长为，正方形④的边长为，则正方形④的周长为， 由长方形②与③的周长和为 ，可得，正方形的边长为，根据整式的加减即可求解．
8．【答案】A
【知识点】整式的加减运算；整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：记正方形①②③④的边长分别为、、、．
（1）大长方形的周长，
因为，所以，，
所以大长方形的周长，
故（1）正确；
（2）大长方形的周长，
因为，所以，
所以大长方形的周长，
故（2）正确；
（3）由（2）可知，大长方形的周长，
而，所以，
所以已知小正方形④与①的周长，才能求出大长方形的周长，
故（3）错误；
（4）由（2）可知，大长方形的周长．
长方形⑤的周长，
因为，
所以长方形⑤的周长．
所以大长方形的周长小长方形⑤的周长，
故（4）正确．
故选：．
【分析】
设正方形①②③④的边长分别为、、、，则，则长方形 ⑤ 的长等于、宽等于。则大长方形的长等于、宽等于，则周长等于等于结论（1）正确；由于，则大长方形的周长也等于，则结论（2）正确；由于，则大长方形的周长不能只用含的代数式表示出，即结论（3）错误；由于长方形⑤的周长等于，即大长方形的周长等于小长方形⑤周长的2倍，则结论（4）正确．
9．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-末尾数字规律
【解析】【解答】解： a1＝3，a2＝2a1-1=5，a3＝2a2-1=9，a4＝2a3-1=17， a5＝2a4-1=33， a6＝2a5-1=65， a7＝2a6-1=129， a8＝2a7-1=257......由此发现尾数规律是3、5、9、7进行循环。
2025÷4=506余1，2024÷4=506，
∴a2025个位数是3，a2024个位数是7，
因此a2025-a2024的个位数字是6.
故答案为：C.
【分析】本题首先根据公式对列数进行具体计算，观察尾数的变化规律。发现尾数规律是3、5、9、7进行循环。因此 a2025 的尾数就是3，a2024个位数是7，然后3-7肯定就是13-7=6，因此a2025-a2024的个位数字是6。
10．【答案】D
【知识点】整式的加减运算；用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】解： 设两位数M的十位数字为a，个位数字为b，(a，b为整数，且1∴М - N = (10а + Ь) - (106 + а) = 9(а - Ь) = t2（t为正整数）
∴a-b=，
∵a-b为整数，且0∴t2=9或36，即t=3或6，
当t=3时，a-b=1，此时有8组解，分别是a=2，b=1；a=3，b=2；a=4，b=3；a=5，b=4；a=6，b=5；a=7，b=6；a=8，b=7；a=9，b=8；
当t=6时，a-b=4，此时有5组解，分别是a=5，b=1；a=6，b=2；a=7，b=3；a=8，b=4；a=9，b=5；
∴这样的数m共有15，26，37，48，59，12，23，34，45，56，67，78，89，共13个.
故答案为：D.
【分析】 设两位数M的十位数字为a，个位数字为b，(a，b为整数，且111．【答案】B
【知识点】求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，
由互异性可知，，，
，，
，，
，即，
或，
当时，解得：；
当时，无解．
所以当时，，，
此时，符合题意．
，
故答案为：B．
【分析】根据集合元素的互异性可知，，，由此可得到的值，即可求出y的值，再分情况讨论：当时；当时；可得到符合题意的x的值，然后根据A=B，可求出x-y的值
12．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-计数类规律
【解析】【解答】解：
根据题意得：，
∴，
∴后的三个数为，
∴．
故选：C
【分析】通过观察发现，后一个数的分子是前两个数的分子之和，后一个数的分母是前一个数的分子，由此进行计算即可得到答案．
13．【答案】6
【知识点】数学常识
【解析】【解答】解：用三根算筹表示两位数 （十位不能为零，且用完三根算），一共可以表示12、21、30、16、61、70这六个数.
故答案为：6.
【分析】根据算筹计数法解答即可.
14．【答案】
【知识点】整式的加减运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据题意可得，图1，竖式中第一行：中的是中的平方，中的是中的平方；第二行：是中；
图2，竖式中第一行：中的是中的平方，中的是中的平方；第二行：是中；
图3，竖式中第一行：中的是中的平方，中的是中的平方；第二行：是中；
∴图4中，第二行的这个两位数可表示为：，这个数是某个乘方数中十位上的数字与个位上的数字之积的倍，
∴这个两位数的十位上的数字与个位上的数字之积为：，
∵这个两位数的十位数字为，
∴这个两位数的个位数字为，
∴这个两位数是，
故答案为：．
【分析】观察图形可发现：“竖式”的第一行从左向右分别为：十位上的数字的平方与个位上的数字的平方，即中的是中的平方，中的是中的平方，每个数的平方占两个空，平方是一位数的前面的空用填补；第二行从左向右是这个两位数的个位上的数字与十位上的数字之积的倍，即是中，乘积为两位的填中间两个空格，乘积为三位数的从左边第一个空格开始填．以此规律即可解答．
15．【答案】129
【知识点】探索数与式的规律；有理数乘方的实际应用
【解析】【解答】解：对折1次：（段），
对折2次：（段），
对折3次：（段），
……
对折n次：段，
∴ 对折7次，从中间剪断．绳子会变成（段），
故答案为：129．
【分析】根据题意得到规律，然后代入n=7即可求解．
16．【答案】
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：由题意可得，卡纸的长为，宽为，
∵卡纸的长宽比为，
∴，
∴，
整理后得，
∴，
故答案为：．
【分析】先由题意得卡纸的长和宽，然后根据纸的长宽比为列等式，化简解题即可．
17．【答案】
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：由题意可知，第个装饰物由个半圆和2个四分之一圆组成，既合起来是个半圆组成，可得半径为，
∴装饰物的面积为：（为正整数）
故答案为：.
【分析】根据装饰物的变化规律，找到第个装饰物由个半圆和2个四分之一圆组成，依据已知条件求解.
18．【答案】2；1
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：由题意可得cd=45，ce=72，
∴c=9，d=5，e=8，
又be=32，ad=10，
∴b=4，a=2
∴bd=5×4=20，ae=2×8=16，
又∵bd=10m，ae=10n+6，
∴10m=20，10n+6=16，
∴m=2，n=1.
故答案为：2，1.
【分析】结合数字特点及有理数的乘法法则，由cd=45，ce=72，可得c=9，d=5，e=8，再结合be=32，ad=10，可得出b=4，a=2，进而根据bd=10m，ae=10n+6，即可求出m、n的值.
19．【答案】或
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：①如图：
∵，，
，
∴，
∴，
②如图：
∵，，
∴，
∴，
∴
综上所述：或
故答案为：或．
【分析】根据第一次分割正方形的边长，第二次分割正方形的边长为（），然后画图解题即可．
20．【答案】4999
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】由题意得：白色的格子分别是2，6，10，14，…
∴第n个数是：4n-2，
∴白色格子的总数是：2+6+10+..+（4n-2）=2n2，
∵方格纸的规格是99×99，
白色格子的行数是49行，
即当n= 49时，其白色格子的总数是：
2×492= 4802（个），
∴涂色的格子的数量为：99×99-4802= 4999（个）。
故答案为：4999.
【分析】本题主要考查图形得变化规律，根据图可知白色格子得变化规律，结合方格纸的大小即可求出白色格子的总数，从而求出涂色的格子的数量.
21．【答案】128
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：第1个数，
第2个数，
第3个数，
，
第n个数为
∴第5个数为，
故答案为：128．
【分析】根据已知数列得出第n个数为，据此可得答案．
22．【答案】；
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：根据题意，得，
∵“互异数”的个位数字是，十位数字是，
∴，
故答案为：，．
【分析】根据“互异数”的定义以及题干中例子的解题方法可求出的值，由新两位数减去原两位数后的结果与9的商记为以及“互异数”的定义即可列式求出的值.
23．【答案】；
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：，解得x=.
∵m-n=2，因此m＞n，∴＜1；
设对应的第八层的枝干为，则对应的第九层的分支分别为，此时可知，即；
此时有b=n，a+b=m。
∵m-n=2，∴a+b-b=2，解得a=2，此时第八层的枝干；
观察发现分母为2的分支分别是这样第6层就是，第7层就是，第8层就是，此时b=13；
.
故答案为：.
【分析】本题观察可以发现，以为对称轴，对称的位置互为倒数，即相乘为1，这样x对称的位置就是，因此可以求出x=。计算的值时，需要首先判断＜1，此时发现规律：任何一个点“枝干”都可以分出两个“树枝”，并且这两个树枝分别是。此时就可以先对应处，求出a=2，这样“枝干”的样式就是。然后继续观察图形发现，以2为底的数，分母成递增规律，并且是公差为2的等差数列，这样就可以判断出第8层的“枝干”对应的数值，此时b即可求出，那么 也就可以求出。
24．【答案】（1）解：
.
（2）
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】（2）解：，
，
，
，
，
∴（为正整数），
∴
．
故答案为：．
【分析】（1）根据阅读材料将每一个加数进行裂项，然后根据互为相反数的两个数的和为零进行抵消计算即可；
（2）根据题意依次求出，，，，，，（为正整数）并把每一个数写成相邻两个正整数的即得形式，就会发现， 结合题干给出的裂项方法得出（为正整数）， 进而将每一个加数进行裂项，然后根据互为相反数的两个数的和为零进行抵消计算即可.
（1）解：
.
（2）解：，
，
，
，
，
∴（为正整数），
∴
．
故答案为：．
25．【答案】（1）答案为：，，；
（2）解：由题意，得：，
即，
解得：；
∴，，
（3）解：原式
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
同理可求：，，；
【分析】（1）由得，同理可求：，，；
（2）由（1）中规律得，即可得关于t的方程，解方程可求解；
（3）由（1）中规律得，代入数值即可求解．
（1）解：∵，
∴，
同理可求：，，；
（2）解：由题意，得：，即，
解得：；
∴，，
；
（3）解：原式．
26．【答案】（1）48
（2）解：①∵，，
∴当时，
；
②∵，
，
∴
【知识点】整式的加减运算；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】（1）由图1知，大长方形的长为，
由图2知，大长方形的宽为，
∴长方形的周长为，
当时，，
故答案为：48．
【分析】（1）利用图形可先求大长方形的长和宽，即可求出周长；
（2）根据图形，分别表示出，再代入计算即可.
（1）由图1知，大长方形的长为，
由图2知，大长方形的宽为，
∴长方形的周长为，
当时，，
故答案为：48．
（2）①∵，
，
∴当时，
；
②∵，
，
∴．
27．【答案】（1）8
（2）解：根据题意，得元，
∴该用户3月份应交水费元；
（3）解：∵某户居民4，5月份共用水12立方米（5月份用水量多于4月份），
∴4月份的用水量少于6立方米，
∵4月份用水立方米，
∴5月份用水立方米，
当时，有，
∴此时4月份的费用为，5月份的费用为元，
∴该户居民4，5月份共交水费元；
当时，有，
∴此时4月份的费用为，5月份的费用为元，
∴该户居民4，5月份共交水费元；
综上所述，当时，该户居民4，5月份共交水费元；当时，该户居民4，5月份共交水费元．
【知识点】整式的加减运算；有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得应交水费为：（元），
故答案为：8.
【分析】（1）直接根据自来水收费价格的价目表进行计算求解；
（2）直接根据自来水收费价格的价目表进行计算求解；
（3）先求出4月份的用水量少于6立方米，且5月份用水立方米，然后分两种情况讨论：当时，则；当时，则，分别根据自来水收费价格的价目表计算出4月和5月的费用，最后求和即可得到答案．
（1）解：元，
∴某户居民2月份用水4立方米，则应交水费8元，
故答案为：8；
（2）解：元，
∴该用户3月份应交水费元；
（3）解：∵某户居民4，5月份共用水12立方米（5月份用水量多于4月份），
∴4月份的用水量少于6立方米，
∵4月份用水x立方米，
∴5月份用水立方米，
当时，则，
∴此时4月份的费用为，5月份的费用为元，
∴该户居民4，5月份共交水费元；
当时，则，
此时4月份的费用为，5月份的费用为元，
∴该户居民4，5月份共交水费元；
综上所述，当时，该户居民4，5月份共交水费元；当时，该户居民4，5月份共交水费元．
28．【答案】任务1，窗户透光面积为；
任务2：窗户透光面积为；
解：任务3：设计示意图如下图所示：
由题意可得，
此时窗户透光面积，
∵，
且b2＞0，
∴＞0，
∴，
∴这种设计方案窗户透光的面积比方案一中窗户透光的面积大．
【知识点】整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：任务1，∵长方形窗户的长为a，宽为b，两个十分之圆的半径为，π取3，
∴窗户透光面积；
故答案为：；
任务2：由任务1可得窗户透光面积为，
∴当，时，
窗户透光面积；
故答案为：.
【分析】任务1：根据窗户透光面积“长方形的面积-两个四分之一圆的面积”列出代数式即可；
任务2：当，代入任务一中的代数式进行计算即可；
任务3：根据设计的示意图，可得“窗户透光面积长方形的面积-四个四分之一圆的面积”列出代数式，然后计算即可判断求解．
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