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《等腰三角形》精选压轴题—2025年浙江省八（上）数学期中复习
一、单选题
1．（2024八上·东阳期中）如图，等边的边长为，过点的直线，且与关于直线对称，为线段上一动点，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接，与交于点，
是等边三角形，且与关于直线对称，
也是等边三角形，
，，
，
，
，，
点与点关于对称，
即：点与点关于对称，
当点与点重合时，的值最小，
此时，
故选：．
【分析】
本题是利用轴对称变换将光线反射最短路径问题转化为两点之间线段最短问题，利用作对称点找到使的值最小的点是解题的关键．接着利用等边三角形的性质推导计算即可。
2．（2024八上·拱墅期中）如图，在中，，，D为的中点，P为上一点，E为延长线上一点，且．有下列结论：①；②；③为等边三角形；④．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：①∵，，
∴，故①正确；
②如图，连接并延长交于点，
∵为中点，，
∴，
∴垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，故②正确；
③由②得，
∵，
∴为等边三角形，故③正确；
④如图，作点关于的对称点，连接，
由③得为等边三角形，
∴，，
∴，
∵关于的对称点是，
∴，，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故④正确；
综上所述，正确的结论有4个，
故答案为：D．
【分析】①根据等腰三角形“等边对等角”性质得；②连接并延长交于点，根据等腰三角形“三线合一”以及线段垂直平分线的性质得，，由等腰三角形“等边对等角”性质求出，，于是得；③利用三角形外角的性质求出，根据等边三角形的判定即可得为等边三角形；④作点关于的对称点，连接，根据等边三角形的性质得，，从而得，然后由轴对称的性质得，，，进而得，，证明，得，则.
3．（2024八上·杭州期中）如图，和都是等边三角形，下列结论：①；②平分；③；④；其中正确的有（　　）个
A．2 B．3 C．4 D．1
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图设AC交BE于点O．
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠BAC+ ∠ CAE，即∠DAC=∠BAE
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴CD=BE，∠AEO=∠OCN，故①正确；
作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，
∵△ADC≌△ABE，
∴AM=AN，
∵AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，
∴AF平分∠DFE，故②正确；
∵∠AOE=∠COF，
∴∠OAE=∠OFC=60°，
∴∠BFC=120°，故③正确；
在DF上取一点K，使得FK=FA，
∵∠AFK=∠AFN=60°，
∴△AKF是等边三角形，
易证△DAK≌△BAF，
∴DK=BF，
∴DF=DK+KF=FA+FB，故④正确，
综上，正确的有①②③④，共4个.
故答案为：C．
【分析】由等边三角形性质得 AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°， 根据角的构成及等式性质推出∠DAC=∠BAE，从而利用“SAS”判断出△ADC≌△ABE，由全等三角形对应边相等、对应角相等可得 CD=BE，∠AEO=∠OCN， 从而可判断①；进而结合对顶角相等及三角形内角和定理推出∠OAE=∠OFC=60°，根据邻补角可判断③； 作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N， 根据全等三角形对应边上的高线相等可得AM=AN，然后根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，可判断②；在DF上取一点K，使得FK=FA，由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形可得△AKF是等边三角形，从而可用“SAS”证△DAK≌△BAF，由全等三角形的对应边相等得DK=BF，从而可判断④.
4．（2024八上·镇海区期中）如图，在中，于点，平分交于点，点在边上运动，作，交于点，交于点，连接，，若此时满足，．有以下结论：①；②；③；④．其中正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∴，
又∵，
∴，故①正确；
若，
∵
∴，
∴
∵，
∴，即，
∴，
∴
∴，则，
∴仅当时，有，故②不正确；
设，
∵
∴
∴，
∵
∴
又∵，
∴，故③正确
如图所示，延长交于点，连接，
∵平分，，
∴
又∵
∴
∴，
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴，即
∴
即，故④正确
故正确的有①③④
故答案为：C．
【分析】根据三角形内角和和外角的性质得到，进而判断①；根据等腰三角形的性质与判定即可判断②，根据等角的余角相等和三角形的外角判断③，延长交于点，连接，得到，即可得到，进而得到，根据平行线间的距离相等得到判断④即可求解．
5．（2024八下·金水月考）如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：为的角平分线，
，
在和中，
，
，故①正确；
，
，
，
，
，故②正确；
，
，
，
，
，
，故③正确；
过作，交的延长线于点，
，
平分，EG⊥BC，EF⊥AB，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，故④正确，
综上，正确的有①②③④.
故答案为：D．
【分析】由角平分线定义得∠ABD=∠CBD，用SAS证△ABD≌△EBC，据此可判断①；由全等三角形的对应边相等，对应角相等得AD=CE，∠ADB=∠BCE，由等边对等角得∠BDC=∠BCD，根据邻补角定义及等式性质得∠BCE+∠BCD=180°，可判断②；由角的构成、三角形外角性质并结合对顶角相等可推出∠DAE=∠DCE，由等角对等边得AE=CE，可判断③；过点E作EG⊥BC，交BC的延长线于点G，由角平分线上的点到角两边的距离相等得EF=EG，用HL分别判断出Rt△BEG≌Rt△BEF，Rt△CEG≌Rt△AEF，由全等三角形的对应边相等得BG=BF，AF=CG，进而根据线段的和差及等量代换可求出BA+BC=2BF，据此可判断④.
6．（2025八上·宁海期中）如图，A、C、B三点在同一条直线上，和都是等边三角形，分别与交于点M、N，有如下结论：①；②；③；④是等边三角形；其中，正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，①正确；
，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，②正确；
，③正确：
∴是等边三角形，④正确．
故答案为：D．
【分析】先根据等边三角形的性质得到，由此可推出，利用SAS证明，利用全等三角形的性质，可对①进行判断；利用ASA证明，利用全等三角形的性质可证得CM=CN，可对②③进行判断；由此可证得是等边三角形，可对④进行判断；综上所述，可得到正确结论的个数.
二、填空题
7．（2024八上·拱墅期中）在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=2，则AB边上的高线长为　 　．
【答案】1或或
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；分类讨论
【解析】【解答】解：①当时，
∵
∴
②当时，
则
∴
∴
∴
③当时，
则
∴
综上所述，AB边上的高线长为：1或或，
故答案为：1或或.
【分析】根据题意可知需分三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，然后分别根据等腰三角形的性质和解直角三角形分别进行计算即可.
8．（2024八上·浙江期中）如图，已知，P是内一点，，M、N分别是、上的动点，则的周长的最小值是　 　．
【答案】3
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：分别作点P关于，的对称点，，连接交于M，交于N，连，
则，，，，，则的周长的最小值，
∵，
∴，
∴是等边三角形．
的周长，
∴．
∴的周长的最小值是3．
故答案为：3.
【分析】分别作点P关于，的对称点，，连接交于M，交于N，的周长，然后证明是等边三角形，即可求解．
9．（2024八上·永康期中）一次数学课上，老师请同学们在一张长为18厘米，宽为16厘米的长方形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其它两个顶点在长方形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为　 　平方厘米．
【答案】50或40或30
【知识点】勾股定理；数学思想；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：依题意，在一张长为18厘米，宽为16厘米的长方形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其它两个顶点在长方形的边上，
∴分三种情况讨论：
①如图1所示：
，
等腰三角形的面积；
②如图2所示：
∴
∴，
则在中，，
等腰三角形的面积；
③如图3所示：
∴
则，
则在中，，
等腰三角形的面积．
综上：则剪下的等腰三角形的面积为50或40或30平方厘米．
故答案为：50或40或30.
【分析】分三种情况：①两腰在矩形相邻的两边上，②一腰在长方形的宽上，③一腰在长方形的长上，分别画出图形，结合三角形的面积公式和直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方进行计算即可求解.
10．（2024八上·南浔期中）如图，在中，，E，D分别是，上的点，，，且，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：在上取一点G，使，连接，过点C作于点K，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
故答案为：．
【分析】先证明，得到，过点C作于点K，根据“三线合一”得到，从而求得，根据勾股定理在中，求出，进而在中，求得，从而，得解．
11．（2024八上·杭州期中）如图，在△中，，，分别是，上的点，，，且，则　 　．
【答案】8
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在上取一点，使，
，
，
，
△△，
，
过点作于点，
，
，
△就是等腰三角形，
，，
，
，
在△中，由勾股定理可得，
在△中，由勾股定理可得，，
，
故答案为：8．
【分析】在上取一点，使，利用等边对等角可证得，再利用SAS可证得△BDC≌△CGB，利用全等三角形的性质可证得，过点作于点，可推出△就是等腰三角形，由此可得到KG的长，然后根据AK=AB-BG，可求出AK的长，再利用勾股定理分别求出CK、CE的长，即可得到BD的长.
12．（2023七上·白云期中）如图，点M在等边ABC的边BC上，BM＝8，射线CD⊥BC垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点N是线段AB上一动点，当MP+NP的值最小时，BN＝9，则AC的长为　 　．
【答案】13
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠B=60°，
作点M关于直线CD的对称点G，过G作GN⊥AB于N，交CD于P，
则此时，MP+PN的值最小，
∵∠B=60°，∠BNG=90°，
∴∠G=30°，
∵BN=9，
∴BG=2BN=18，
∴MG=BG-BM=18-8=10，
∴CM=CG=5，
∴AC=BC=13，
故答案为：13．
【分析】利用等边三角形的性质可证得AC=BC，∠B=60°；作点M关于直线CD的对称点G，过G作GN⊥AB于N，交CD于P，则此时，MP+PN的值最小，根据直角三角形的性质可求出BG、MG的长，由此可得到CM、CG的长，即可求出AC的长.
13．（2025八上·宁海期中）如图△ABC中，∠ACB=90°，BC=6cm，AC=8cm，动点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB移动到B，则点P出发　 　s时，△BCP为等腰三角形.
【答案】2或2.5或1.4
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，BC=6cm，AC=8cm，∴AB= =10，
∵当BC=BP时，△BCP为等腰三角形，即BC=BP=6cm，△BCP为等腰三角形，
∴AP=AB-BP=10-6=4，
∵动点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB移动，
∴点P出发4÷2=2 s时，△BCP为等腰三角形；
当点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB移动到AB的中点时，此AP=BP=PC，则△BCP为等腰三角形，点P出发5÷2=2.5s时，△BCP为等腰三角形；
当BC=PC时，过点C作CD⊥AB于点D，如图，
∴∠ADC=∠BDC=90°，BP=2PD=2BD，
∴CD2=BC2-BD2=AC2-AD2
设点P的运动时间为ts，
∴AP=2t，
∴BP=10-2t，
∴PD=BD=5-t，AD=2t+5-t=5+t，
62-（5-t）2=82-（5+t）2
解之：t=1.4
∴点P出发1.4s时，△BCP为等腰三角形．
综上所述，点P出发2s或2.5s或1.4s时，△BCP为等腰三角形.
故答案为：2或2.5或1.4．
【分析】利用勾股定理求出AB的长，再分情况讨论：当BC=BP时，△BCP为等腰三角形；当点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB移动到AB的中点时，此AP=BP=PC，则△BCP为等腰三角形；分别求出点P的运动时间；当BC=PC时，过点C作CD⊥AB于点D；利用等腰三角形的性质和勾股定理可证得CD2=BC2-BD2=AC2-AD2，BP=2PD=2BD，设点P的运动时间为ts，可表示出AP、BP、PD、BD、AD的长，利用勾股定理可得到关于t的方程，解方程求出t的值，综上所述，可得到符合题意的t的值.
14．（2024八上·嘉兴期中）如图，点是在等边三角形内一点．连结，，．将线段绕点逆时针旋转，得到线段．连接，，若，，，则的度数为　 　；的面积为　 　．
【答案】；
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【解答】解：由旋转的性质得，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是以为直角的直角三角形，
∴；
过点A作，交延长线于点，过点P作，垂足为，
∵，是等边三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，．
【分析】第一空：由旋转的性质可得是等边三角形，则；再由手拉手全等模型可得，则，又，则可判定为直角三角形且，则；
第二空：由于是等边三角形，可过点P作AP`上的高进而求出；再过点A作CP`上的高AG，利用直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半求出AG，则等于四边形APCP`的面积减去即可．
15．（2024八上·象山期中）已知在中，，，将绕点分别旋转，，得到，，连接，，分别交，，于点，，，若的面积为，则的面积是　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，过作于，延长交于，
∵在中，，，
∴，
由旋转的性质得，，，
∴，，
∴，，
同理：，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，，
∴，
∴，，
同理可得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积∶，
故答案为：．
【分析】过作于，延长交于，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可证得OA=2AB，利用性质的性质可得到相关的角和边相等，利用SAS可证得，，由此可求出△DOF，△AOD、△AOF的面积，同时可证得△ADF是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出∠FAD的度数；再利用直角三角形的性质和勾股定理可推出，由此可证得，利用全等三角形的性质可得到，
可得到△QRP是等边三角形，利用三角形的面积公式可求出OM2，OA的长，利用勾股定理求出QN的长，然后利用三角形的面积公式可求出△PQR的面积.
16．（2024八上·绍兴期中）如图，在中，，，，点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接，，如图所示：
根据旋转可知：，，，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴当、O、E、D在同一直线上时，最小，即最小，
∴的最小值为的长，
∵，
∴，
∴为直角三角形，
∴．
故答案为：．
【分析】先将绕着点A逆时针旋转，得到，根据旋转的性质得到，，进而得到为等边三角形，再根据当、O、E、D在同一直线上时，长度最短进行计算即可.
17．（2024八上·浙江期中）如图1，在中，的面积为．
（1）　 　．
（2）如图2，若点分别是线段和上的两个动点，则的最小值为　 　．
【答案】30 ；
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：30.
（2）点关于的对称点为，与交于点，作于点，连接，如图所示，
∴，BD=B'D.
∴，
由点到直线垂线段最短可得，最小，的最小值为，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴∠B'=30°=∠A，
∴，
∴BB'=6
在中，.
∴的最小值为；
故答案为： ．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理即可求解；
（2）如图所示，点关于的对称点为，与交于点，作于点，交于点，连接，由点到直线垂线段最短可得，的最小只值为，证得，可得∠B'=∠A=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得，进而得BB'=6.再在中利用勾股定理求得B'Q的长，即可得到答案.
18．（2024·辽宁模拟）如图，门上针子处挂萡一个“欢迎光临”的长方形挂牌，则得，．如图1，当挂牌水平悬挂（即与地面平行）时，测得挂绳，此时点到所在直线的距离为　 　cm．将该门挂的挂绳长度缩短后重新挂上，此时不小心把挂牌弄斜了（如图2），发现与地面平行，且点三点在同一直线上，则点的高度下降了　 　cm．
【答案】26；
【知识点】勾股定理；矩形的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：（1）如图，过点作于，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴点到所在直线的距离为，
故答案为：26；
（2）如图，过点作水平面于，交于，过点作于，
∵与地面平行，
∴，
根据题意，得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的高度下降了cm，
故答案为：．
【分析】（1）过点作于，根据等腰三角形“三线合一”性质得，利用勾股定理得，即可求出点到所在直线的距离为的长；
（2）过点作水平面于，交于，过点作于，则，由题可知，则，在中，利用勾股定理得，然后根据等腰三角形“三线合一”性质得，在中，利用勾股定理得，根据，求出，则，最后求的长即可.
三、解答题
19．（2024八上·东阳期中）如图，在长方形中，，，点是边上的一点，且，动点从点出发，以的速度沿运动，最终到达点．设点运动的时间为秒．
（1）当时，长为_____．当点在线段上时，用含的代数式表示长为_____．
（2）当的面积等于时，请求出的值．
（3）在运动过程中，当是等腰三角形时，请求出的值．
【答案】（1），
（2）解：分三种情况：
当点在上时，
如图，
的面积等于，
，
，
；
当点在上时，
如图，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
即：，
故此种情况不符合题意，不予讨论；
当点在上时，
如图，
的面积等于，
，
，
；
综上所述，当的面积等于时，或
（3）解：分四种情况：
当且点在上时，
如图，过点作于点，
，，
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
；
当且点在上时，
如图，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
当时，
如图，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
即：，
解得：，
；
当时，
如图，
四边形是矩形，
，，
又，
，
；
综上所述，当是等腰三角形时，或或或
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一；分类讨论
【解析】【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，列代数式，三角形的面积公式，等式的性质，有理数大小比较的实际应用，不等式的性质，提公因式法分解因式，三线合一，垂线的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解一元一次方程等知识点，运用分类讨论思想是解题的关键．（1）需分两种情形求解：当点P在线段BC上时，利用勾股定理直接计算AP；当点P在线段CE上时，先求出PD的长，再在直角三角形中利用勾股定理计算AP；
（2）根据P在不同边的运动，分三种情况（P在AB、BC、CD上）讨论，利用三角形面积公式建立方程求解；
（3）本题考查等腰三角形存在性问题，根据顶点不同分四种情况（EA=EP且P在AB上，EA=EP且P在BC上，PE=PA，AE=AP）进行讨论，依据等腰三角形的性质逐一求解。
（1）解：如图，当时，点在线段上，
，
四边形是矩形，
，
，
如图，当点在线段上时，
四边形是矩形，
，，，
，
，
故答案为：，；
（2）解：分三种情况：
当点在上时，
如图，
的面积等于，
，
，
；
当点在上时，
如图，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
即：，
故此种情况不符合题意，不予讨论；
当点在上时，
如图，
的面积等于，
，
，
；
综上所述，当的面积等于时，或；
（3）解：分四种情况：
当且点在上时，
如图，过点作于点，
，，
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
；
当且点在上时，
如图，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
当时，
如图，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
即：，
解得：，
；
当时，
如图，
四边形是矩形，
，，
又，
，
；
综上所述，当是等腰三角形时，或或或．
20．（2024八上·西湖期中）如图，在等腰中，，作射线，是腰的高线，是外射线上一动点，连结．
（1）当，时，求的长；
（2）当时；求证：；
（3）设的面积为，的面积为，且，在点的运动过程中，是否存在为等腰三角形，若存在，求出相应的的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：，
，
，
，
（2）证明：，，
，
，，
，
，
，
，
（3）解：：：，
：：，
设，，则，
，，
，
当时，，
，
．
当时，，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）利用等角对等边求出AC的长，再利用垂直的概念可得到∠ADC=90°，然后利用勾股定理求出CD的长.
（2）利用已知可推出AC=CE=CB，利用等边对等角可证得∠CEA=∠CAE，∠CAB=∠B，利用三角形的内角和定理可推出∠EAB=90°，据此可证得结论.
（3）利用两个三角形的面积之比可求出CD与CE的比值，设，，则，可推出AC≠AE；当时，，可表示出BE的长，可求出BE与BC的比值；当时，利用勾股定理可表示出AD、AC的长，从而可得到BC、BE的长，然后求出BE与BC的比值；综上所述可得到满足条件的的值.
（1）解：，
，
，
，
；
（2），，
，
，，
，
，
，
，
；
（3）：：，
：：，
设，，则，
，，
，
当时，，
，
．
当时，，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或．
21．（2024八上·浙江期中）定义：如果一条线段将一个三角形分成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“二分线”；如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”．
（1）三角形内角度数如图1所示，在图中画出“二分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数；
（2）图2是一个顶角为的等腰三角形，在图中画出“三分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数；
（3）在中，其最小的内角，过顶点B的一条线段是的“二分线”，请直接写出的度数．
【答案】（1）解：如图即为所求：
（2）如图即为所求：
（3）解：如图，
当，时，，
，
，
；
当，时，，
，
；
当时，，
，
，
；
当，时，，，
，
，
此时在中，其最小的内角为，故此种情况不符合题意；
综上所述，的度数为或或
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）在上取一点，连接，使得，线段即为所求；
（2）取的中点，再过点作于点，然后连接，即可求解；
（3）分三种情况讨论：当，时，当，时，当时，当，时，根据三角形的内角和与三角形的外角性质求解即可．
（1）解：如图即为所求：
（2）如图即为所求：
（3）当，时，，
，
，
；
当，时，，
，
；
当时，，
，
，
；
当，时，，，
，
，
此时在中，其最小的内角为，故此种情况不符合题意；
综上所述，的度数为或或．
22．（2024八上·诸暨期中）如图，已知中，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求的长；
（2）当点Q在边上运动时，出发几秒钟后，能形成等腰三角形？
（3）当点Q在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间．
【答案】（1）解：根据题意，得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的长为；
（2）解：根据题意，得，
∵，
∴，
∵当点在边上运动时，为等腰三角形，，
∴，
∴，
解得：，
∴出发秒钟后，能形成等腰三角形；
（3）解：∵，
∴，
①如图1，当时，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（秒）；
②如图2，当时，
∴，
∴（秒）；
③如图3，当时，过点作于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（秒）；
综上所述，当为11秒或12秒或秒时，为等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；一元一次方程的实际应用-几何问题；等积变换
【解析】【分析】（1）先根据点的运动速度以及运动时间求出，的长，从而求得的长，进而利用勾股定理求解即可；
（2）先求出，则，然后由等腰三角形的性质得，即可得关于的方程，解方程即可；
（3）先利用勾股定理求出，然后分三种情况讨论：①当时，根据等腰三角形“等边对等角”的性质得，从而得，进而根据等腰三角形的判定得，则，求出，即可求出的值；②当时，求出，即可求出的值；③当时，过点作于点，利用”等面积法“求出，由勾股定理得，根据等腰三角形“三线合一”性质得，则求出，即可求出的值.
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴．
（2）解：当点Q在边上运动时，，
∵为等腰三角形，
∴，解得：，
∴出发秒钟后，能形成等腰三角形．
（3）解：①当时，如图1所示：
则，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴秒．
②当时，如图2所示，
则，
∴秒．
③当时，如图3所示，
过B点作于点E，则，
∴，
∴，
∴，
∴秒．
综上所述：当t为11秒或12秒或秒时，为等腰三角形．
23．（2024八上·杭州期中）如图1，在等腰三角形中，，是边上的高线，．点P是线段上的一点，作于点E，连接．
（1）求________，________；
（2）①当点P在线段上时，若是以为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的的长度．
②如图2，设交直线于点F，连接，若，求的长．
【答案】（1）5，
（2）解：①当时，则，
，
，
∵，
，
，
当时，，
在和中，
，
，
，
，
综上，或；
②连接，
，
，，
，
，
，
，
，
，
又∵
，
∴，
；
综上，的长为
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
又，
∴，
，
，
故答案为：5，；
【分析】（1）根据可求出AB的长，利用勾股定理分别求出、的长.
（2）①分两种情况：当时，可证，利用直角三角形锐角互余及余角的性质可推出，利用等角对等边可知可得到PD的长；当时，利用ASA可证得，利用全等三角形的性质可得到CP的长，即可求出PD的长；综上所述可得到的长.
②连接，易证是等腰三角形，可得到AP的长，再求出PD的长，利用勾股定理求出BP的长.
（1）解：∵，
∴，
又，
∴，
，
，
故答案为：5，；
（2）解：①当时，则，
，
，
∵，
，
，
当时，，
在和中，
，
，
，
，
综上，或；
②连接，
，
，，
，
，
，
，
，
，
又∵
，
∴，
；
综上，的长为．
24．（2024八上·浙江期中）如图，是等边三角形，点沿的边从点运动到点，再从点运动到点，点是边上一点，运动过程中始终满足．
（1）如图1，当点在边上时，连接相交于点．
①求证：．
②求的度数．
（2）如图2，当点在边上时，延长至点，使，连接．判断与是否相等？并说明理由．
【答案】（1）证明：①如图1，是等边三角形，
．
，
，
．
②解：，
．
，
．
（2）解：．
理由如下：如图，在上截取，连接，
则．
又是等边三角形，
．
．
是等边三角形．
，
，
．
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）①根据等边三角形的性质得，再根据，可得，然后根据全等三角形对应边相等得出答案；
②根据全等三角形的对应角相等得，再根据得出答案；
（2）在上截取，连接，可得，再根据等边三角形的性质证明，进而得出答案.
（1）证明：①如图1，是等边三角形，
．
，
，
．
②解：，
．
，
．
（2）解：．
理由如下：如图，在上截取，连接，
则．
又是等边三角形，
．
．
是等边三角形．
，
，
．
25．（2024八上·杭州期中）如图，在中，，为上一点，连接，将沿折叠，点的对应点为，连接，，与交于点，与交于点，且．
（1）求证：；
（2）若，探究与的数量关系，并说明理由；
（3）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵是直角三角形，
∴，
∵
∴
∴
∴
（2）理由如下：
如图
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵是沿折叠得到，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴设，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
（3）解：过点作交于点，
∵，
∴点为的中点，
∴，
∵，
∴点为的中点，
∴，
∴，
由折叠可得，，，
∴，
∴，
∴
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）利用直角三角形的两个锐角互余可知，，利用等边对等角，可证得，然后根据等角对等边可证得结论.
（2）易证是等边三角形，根据折叠的性质，则是等边三角形，利用等边三角形的性质可推出，，，设，可表示出AB，利用勾股定理可表示出AE的长，即可得到AA'的长；再表示出EP的长，根据，可用含x的代数式表示出AP的长，从而可得到与的数量关系.
（3）过点作交于点，根据等腰三角形的性质-三线合一，可求出AH的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出AP的长；再利用勾股定理求出HP的长，再根据三角形的面积公式求出，最后根据，可求出AA'的长.
（1）解：证明如下：
∵是直角三角形，
∴，
∵
∴
∴
∴．
（2）解：，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵是沿折叠得到，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴设，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：过点作交于点，
∵，
∴点为的中点，
∴，
∵，
∴点为的中点，
∴，
∴，
由折叠可得，，，
∴，
∴，
∴．
26．（2024八上·浙江期中）如图，在中，，为上任意一点（不与点，点重合），连接．将绕点逆时针旋转至，且，连接，，与相交于点．
（1）求证；
（2）若，，求四边形的周长的最小值；
（3）若，且，当为等腰三角形时，求的长．
【答案】（1）证明：∵，，，
∴；
（2）解：由（1）得，
∵四边形的周长，
所以当最小时，周长最小，
∴当时，周长最小，
，，
，
四边形周长的最小值是；
（3）解：∵，
，
，又，
，，
如果为等腰三角形，分三种情况讨论：
当时，
，
，则点不存在；
当时，
，，
∴，
点为的中点，
∴；
当时，
，
，
，
，
，
综上得，当为等腰三角形时，的长为或．
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）利用即可证明；
（2）当最小时，周长最小，即当时，周长最小，据此求解即可；
（3）分当、和时，三种情况讨论，利用等腰三角形的性质结合全等三角形的判定和性质求解即可．
（1）证明：∵，，，
∴；
（2）解：由（1）得，
因为四边形的周长
，
所以当最小时，周长最小，即当时，周长最小，
，，
时，
四边形周长的最小值是；
（3）解：∵，
，
，又，
，，
如果为等腰三角形，分三种情况讨论：
当时，
，
，则点不存在；
当时，
，，
∴，
点为的中点，
∴；
当时，
，
，
，
，
，
综上得，当为等腰三角形时，的长为或．
27．（2024八上·义乌期中）如图，在长方形中，，点是上一点，且．
（1）如图1所示，若为等腰三角形，求的值；
（2）如图2所示，若，点是长方形边上一点，且为等腰三角形，求的面积；
（3）在长方形边上找一点，使得为等腰三角形，这样的点存在5个，请直接写出此时的范围．
【答案】（1）解：∵在长方形，∴，，
∵，
∴为钝角三角形，
∵为等腰三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：如图，分别以、为圆心，为半径画圆，与正方形的交点为点，作的垂直平分线与正方形的交点为点，此时为等腰三角形，
∵，
∴，
当时，如图，此时，；
当时，如图，此时；
当时，如图，此时
综上所述，△QPB的面积为10；12.5；20
（3）解：分别以、为圆心，为半径画圆，与长方形的交点为点，两个圆在右边交于点，此时或，即为等腰三角形，作的垂直平分线与长方形的交点为点，交于，此时，即为等腰三角形，
左右移动，找到点存在5个的大致位置如下：
由（2）可得，，
∴，即，
由作图可得，，
∴，
当经过点时，只有3个符合条件的点，则
综上所述，且
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据得到为等腰三角形时可得PD的长，再利用勾股定理求出的长.
（2）分别以、为圆心，为半径画圆，与正方形的交点为点，作的垂直平分线与正方形的交点为点，此时为等腰三角形，可得到AP的长，再分情况讨论：当时；当时；当时；分别求出△QPB的面积即可.
（3）分别以、为圆心，为半径画圆，与长方形的交点为点，作的垂直平分线与长方形的交点为点，此时为等腰三角形，然后左右移动，找到点存在5个的大致位置即可求解．
（1）解：∵在长方形，
∴，，
∵，
∴为钝角三角形，
∵为等腰三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，分别以、为圆心，为半径画圆，与正方形的交点为点，作的垂直平分线与正方形的交点为点，此时为等腰三角形，
∵，
∴，
当时，如图，此时，；
当时，如图，此时；
当时，如图，此时；
（3）解：分别以、为圆心，为半径画圆，与长方形的交点为点，两个圆在右边交于点，此时或，即为等腰三角形，
作的垂直平分线与长方形的交点为点，交于，此时，即为等腰三角形，
左右移动，找到点存在5个的大致位置如下：
由（2）可得，，
∴，即，
由作图可得，，
∴，
当经过点时，只有3个符合条件的点，则
综上所述，且．
28．（2024八上·鄞州期中）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．
（1）如图1，是等腰锐角三角形，，若的角平分线交于点，且是的一条特异线，则_______度；
（2）如图2，中，，线段的垂直平分线交于点D，交于点E，求证：是的一条特异线．
（3）如图3，已知是特异三角形，且，为钝角，直接写出所有可能的的度数．
【答案】（1）36
（2）证明：是线段的垂直平分线，
，即是等腰三角形，
，
，
，
，即是等腰三角形，
是是一条特异线．
（3）解：或或．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】（1）解：，
，
平分，
，
是的一条特异线，
和是等腰三角形，
，
，，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
；
故答案为：36；
（3）当是特异线时，如果，如图3，
则；
如果，，如图4，
则；
如果（或，如图5，
则（不合题意，舍去）；
当是特异线时，，，如图6，
则；
当为特异线时，不合题意．
综上，所有可能的的度数为或或．
【分析】本题考查新定义，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理．
（1）利用等腰三角形的性质得出，设，则，在中，利用三角形内角和定理可列出方程， 解方程可求出x的值，据此可求出∠A的度数；
（2）根据垂直平分线的性质可得EA=EC，据此可证明是等腰三角形，利用等腰三角形的性质可得，利用角的运算可得，再根据 ，可得，据此可证明是等腰三角形，利用新定义可证明结论.
（3）当是特异线时，分三种情形讨论：当是特异线时，是特异线时，是特异线时，根据等边对等角，利用角的运算和三角形的内角和定理可求出的度数.
（1）解：，
，
平分，
，
是的一条特异线，
和是等腰三角形，
，
，，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
；
故答案为：36；
（2）证明：是线段的垂直平分线，
，即是等腰三角形，
，
，
，
，即是等腰三角形，
是是一条特异线．
（3）解：当是特异线时，如果，如图3，
则；
如果，，如图4，
则；
如果（或，如图5，
则（不合题意，舍去）；
当是特异线时，，，如图6，
则；
当为特异线时，不合题意．
综上，所有可能的的度数为或或．
29．（2024八上·西湖期中）（1）如图1，已知点B、A、D在同一条直线上，和都是等边三角形，连结、交于点O，且分别交、于点F、G．求证：；
（2）若将图1中的绕点A旋转，得到图2，使得点B、A、D不在同一条直线上，和都是等边三角形，的度数变化吗？若不变，请求出的度数；若变化，请说明理由；
（3）如图3，在中，，，，以为边向外作等边，直接写出的长．
【答案】（1）证明：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）解：的度数不变，理由如下：
∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：以为边在△ABC的外部作等边三角形，过点E作EF⊥CB交CB的延长线于点F，如图所示：
∴，，
由（2）可得，（SAS），
∴.
∵，∠ABE=60°，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，，求得，即可根据SAS证明全等三角形；
（2）根据等边三角形的性质得到，，，求得，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（3）以为边在的外部作等边三角形，过E作交的延长线于F，得到，，由（2）知，，根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论．
30．（2024八上·鄞州期中）如图1，等腰三角形中，是边上的中线，延长至点，使，连结．
（1）求证：是等腰直角三角形．
（2）如图2，过点作的垂线交于点，试判断的形状，并说明理由．
（3）如图3，在（2）的基础上，，连结，若是直角三角形，求的长．
【答案】（1）证明：是边上的中线
又
是等腰直角三角形；
（2）答：是等腰三角形，理由如下：
是边上的中线
是等腰直角三角形
，即
是等腰三角形；
（3）解：①当时，
在和中
设，则
，解得，即；
②当时，
作，同理可证
设，则
，解得
综上所述，的长为或．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】
（1）由等腰三角形三线合一证即可；
（2）先由同角的余角相等可证，再由等腰三角形的三线合一结合等量代换得，最后再利用三角形的外角性质即可；
（3）由于是锐角，则当或时都是直角三角形，当时，可结合（2）证明，再利用全等三角形的对应边相等即可；当时，可结合（2）证明，再利用对应边相等计算即可．
（1）证明：是边上的中线
又
是等腰直角三角形；
（2）是等腰三角形，理由：
是边上的中线
是等腰直角三角形
，即
是等腰三角形；
（3）解：①当时，
在和中
设，则
，解得，即；
②当时，
作，同理可证
设，则
，解得
综上所述，的长为或．
31．（2023八上·湘桥月考）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 度；
（2）设，．
①如图2，当点D在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
【答案】（1）90；
（2）①．
理由：∵，
∴．
即．
又，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
②如图：当点D在射线BC上时，α+β=180°，连接CE，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=∠BAC+∠BCE=180°，
即：∠BCE+∠BAC=180°，
∴α+β=180°，
如图：当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．连接BE，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠ABD=∠ACE=∠ACB+∠BCE，
∴∠ABD+∠ABC=∠ACE+∠ABC=∠ACB+∠BCE+∠ABC=180°，
∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB，
∴∠BAC=∠BCE．
∴α=β；
综上所述：点D在直线BC上移动，α+β=180°或α=β
【知识点】三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴∠ABC=∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
故答案为：；
【分析】（1）利用已知可证得∠BAD=∠CAE，利用SAS可证得△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质可推出∠B＝∠ACE，据此可求出∠BCE的度数.
（2）①利用已知可证得∠BAD=∠CAE，利用SAS可证得△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质可推出∠B＝∠ACE，由此可得到∠B+∠ACB=β，然后利用三角形的内角和定理可求出α和β的额数量关系.
②分情况讨论：当点D在射线BC上时，α+β=180°，连接CE；当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．连接BE，分别证明△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质可证得∠ABD＝∠ACE，借助三角形外角性质和三角形的内角和定理可得到α和β的额数量关系.
32．（2023八上·常德期末）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，延长至点E，使，连接，容易证得，再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 ．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
【初步运用】如图2，是的中线，交于E，交于，且．若，求线段的长．
【拓展提升】如图3，在中，D为的中点，分别交于点E，F．求证：．
【答案】【问题情境】；
【初步运用】解：延长到M，使，连接，如图2，
∵AE=4，CE=3，
∴AC=AE+CE=7，
∵是中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
【拓展提升】证明：如图3，延长到点G，使，连接，
∵D是边上的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴．
【知识点】三角形三边关系；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解：问题情境：延长至点E，使，连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
故答案为：；
【分析】问题情境：先利用SAS判断出，由全等三角形的对应边相等得出，最后用三角形的三边关系计算；
初步运用：延长到M，使，连接，首用SAS证，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得到，结合已知及对顶角相等推出，由等角对等边得BF=BM=AC=7；
拓展提升：延长到点G，使，连接，先利用SAS证明，得，根据三角形的三边关系得，则，由垂直平分得，所以．
1 / 1《等腰三角形》精选压轴题—2025年浙江省八（上）数学期中复习
一、单选题
1．（2024八上·东阳期中）如图，等边的边长为，过点的直线，且与关于直线对称，为线段上一动点，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八上·拱墅期中）如图，在中，，，D为的中点，P为上一点，E为延长线上一点，且．有下列结论：①；②；③为等边三角形；④．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2024八上·杭州期中）如图，和都是等边三角形，下列结论：①；②平分；③；④；其中正确的有（　　）个
A．2 B．3 C．4 D．1
4．（2024八上·镇海区期中）如图，在中，于点，平分交于点，点在边上运动，作，交于点，交于点，连接，，若此时满足，．有以下结论：①；②；③；④．其中正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2024八下·金水月考）如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
6．（2025八上·宁海期中）如图，A、C、B三点在同一条直线上，和都是等边三角形，分别与交于点M、N，有如下结论：①；②；③；④是等边三角形；其中，正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
7．（2024八上·拱墅期中）在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=2，则AB边上的高线长为　 　．
8．（2024八上·浙江期中）如图，已知，P是内一点，，M、N分别是、上的动点，则的周长的最小值是　 　．
9．（2024八上·永康期中）一次数学课上，老师请同学们在一张长为18厘米，宽为16厘米的长方形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其它两个顶点在长方形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为　 　平方厘米．
10．（2024八上·南浔期中）如图，在中，，E，D分别是，上的点，，，且，则　 　．
11．（2024八上·杭州期中）如图，在△中，，，分别是，上的点，，，且，则　 　．
12．（2023七上·白云期中）如图，点M在等边ABC的边BC上，BM＝8，射线CD⊥BC垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点N是线段AB上一动点，当MP+NP的值最小时，BN＝9，则AC的长为　 　．
13．（2025八上·宁海期中）如图△ABC中，∠ACB=90°，BC=6cm，AC=8cm，动点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB移动到B，则点P出发　 　s时，△BCP为等腰三角形.
14．（2024八上·嘉兴期中）如图，点是在等边三角形内一点．连结，，．将线段绕点逆时针旋转，得到线段．连接，，若，，，则的度数为　 　；的面积为　 　．
15．（2024八上·象山期中）已知在中，，，将绕点分别旋转，，得到，，连接，，分别交，，于点，，，若的面积为，则的面积是　 　．
16．（2024八上·绍兴期中）如图，在中，，，，点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是　 　．
17．（2024八上·浙江期中）如图1，在中，的面积为．
（1）　 　．
（2）如图2，若点分别是线段和上的两个动点，则的最小值为　 　．
18．（2024·辽宁模拟）如图，门上针子处挂萡一个“欢迎光临”的长方形挂牌，则得，．如图1，当挂牌水平悬挂（即与地面平行）时，测得挂绳，此时点到所在直线的距离为　 　cm．将该门挂的挂绳长度缩短后重新挂上，此时不小心把挂牌弄斜了（如图2），发现与地面平行，且点三点在同一直线上，则点的高度下降了　 　cm．
三、解答题
19．（2024八上·东阳期中）如图，在长方形中，，，点是边上的一点，且，动点从点出发，以的速度沿运动，最终到达点．设点运动的时间为秒．
（1）当时，长为_____．当点在线段上时，用含的代数式表示长为_____．
（2）当的面积等于时，请求出的值．
（3）在运动过程中，当是等腰三角形时，请求出的值．
20．（2024八上·西湖期中）如图，在等腰中，，作射线，是腰的高线，是外射线上一动点，连结．
（1）当，时，求的长；
（2）当时；求证：；
（3）设的面积为，的面积为，且，在点的运动过程中，是否存在为等腰三角形，若存在，求出相应的的值，若不存在，请说明理由．
21．（2024八上·浙江期中）定义：如果一条线段将一个三角形分成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“二分线”；如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”．
（1）三角形内角度数如图1所示，在图中画出“二分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数；
（2）图2是一个顶角为的等腰三角形，在图中画出“三分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数；
（3）在中，其最小的内角，过顶点B的一条线段是的“二分线”，请直接写出的度数．
22．（2024八上·诸暨期中）如图，已知中，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求的长；
（2）当点Q在边上运动时，出发几秒钟后，能形成等腰三角形？
（3）当点Q在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间．
23．（2024八上·杭州期中）如图1，在等腰三角形中，，是边上的高线，．点P是线段上的一点，作于点E，连接．
（1）求________，________；
（2）①当点P在线段上时，若是以为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的的长度．
②如图2，设交直线于点F，连接，若，求的长．
24．（2024八上·浙江期中）如图，是等边三角形，点沿的边从点运动到点，再从点运动到点，点是边上一点，运动过程中始终满足．
（1）如图1，当点在边上时，连接相交于点．
①求证：．
②求的度数．
（2）如图2，当点在边上时，延长至点，使，连接．判断与是否相等？并说明理由．
25．（2024八上·杭州期中）如图，在中，，为上一点，连接，将沿折叠，点的对应点为，连接，，与交于点，与交于点，且．
（1）求证：；
（2）若，探究与的数量关系，并说明理由；
（3）若，，求的长．
26．（2024八上·浙江期中）如图，在中，，为上任意一点（不与点，点重合），连接．将绕点逆时针旋转至，且，连接，，与相交于点．
（1）求证；
（2）若，，求四边形的周长的最小值；
（3）若，且，当为等腰三角形时，求的长．
27．（2024八上·义乌期中）如图，在长方形中，，点是上一点，且．
（1）如图1所示，若为等腰三角形，求的值；
（2）如图2所示，若，点是长方形边上一点，且为等腰三角形，求的面积；
（3）在长方形边上找一点，使得为等腰三角形，这样的点存在5个，请直接写出此时的范围．
28．（2024八上·鄞州期中）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．
（1）如图1，是等腰锐角三角形，，若的角平分线交于点，且是的一条特异线，则_______度；
（2）如图2，中，，线段的垂直平分线交于点D，交于点E，求证：是的一条特异线．
（3）如图3，已知是特异三角形，且，为钝角，直接写出所有可能的的度数．
29．（2024八上·西湖期中）（1）如图1，已知点B、A、D在同一条直线上，和都是等边三角形，连结、交于点O，且分别交、于点F、G．求证：；
（2）若将图1中的绕点A旋转，得到图2，使得点B、A、D不在同一条直线上，和都是等边三角形，的度数变化吗？若不变，请求出的度数；若变化，请说明理由；
（3）如图3，在中，，，，以为边向外作等边，直接写出的长．
30．（2024八上·鄞州期中）如图1，等腰三角形中，是边上的中线，延长至点，使，连结．
（1）求证：是等腰直角三角形．
（2）如图2，过点作的垂线交于点，试判断的形状，并说明理由．
（3）如图3，在（2）的基础上，，连结，若是直角三角形，求的长．
31．（2023八上·湘桥月考）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 度；
（2）设，．
①如图2，当点D在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
32．（2023八上·常德期末）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，延长至点E，使，连接，容易证得，再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 ．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
【初步运用】如图2，是的中线，交于E，交于，且．若，求线段的长．
【拓展提升】如图3，在中，D为的中点，分别交于点E，F．求证：．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接，与交于点，
是等边三角形，且与关于直线对称，
也是等边三角形，
，，
，
，
，，
点与点关于对称，
即：点与点关于对称，
当点与点重合时，的值最小，
此时，
故选：．
【分析】
本题是利用轴对称变换将光线反射最短路径问题转化为两点之间线段最短问题，利用作对称点找到使的值最小的点是解题的关键．接着利用等边三角形的性质推导计算即可。
2．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：①∵，，
∴，故①正确；
②如图，连接并延长交于点，
∵为中点，，
∴，
∴垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，故②正确；
③由②得，
∵，
∴为等边三角形，故③正确；
④如图，作点关于的对称点，连接，
由③得为等边三角形，
∴，，
∴，
∵关于的对称点是，
∴，，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故④正确；
综上所述，正确的结论有4个，
故答案为：D．
【分析】①根据等腰三角形“等边对等角”性质得；②连接并延长交于点，根据等腰三角形“三线合一”以及线段垂直平分线的性质得，，由等腰三角形“等边对等角”性质求出，，于是得；③利用三角形外角的性质求出，根据等边三角形的判定即可得为等边三角形；④作点关于的对称点，连接，根据等边三角形的性质得，，从而得，然后由轴对称的性质得，，，进而得，，证明，得，则.
3．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图设AC交BE于点O．
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠BAC+ ∠ CAE，即∠DAC=∠BAE
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴CD=BE，∠AEO=∠OCN，故①正确；
作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，
∵△ADC≌△ABE，
∴AM=AN，
∵AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，
∴AF平分∠DFE，故②正确；
∵∠AOE=∠COF，
∴∠OAE=∠OFC=60°，
∴∠BFC=120°，故③正确；
在DF上取一点K，使得FK=FA，
∵∠AFK=∠AFN=60°，
∴△AKF是等边三角形，
易证△DAK≌△BAF，
∴DK=BF，
∴DF=DK+KF=FA+FB，故④正确，
综上，正确的有①②③④，共4个.
故答案为：C．
【分析】由等边三角形性质得 AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°， 根据角的构成及等式性质推出∠DAC=∠BAE，从而利用“SAS”判断出△ADC≌△ABE，由全等三角形对应边相等、对应角相等可得 CD=BE，∠AEO=∠OCN， 从而可判断①；进而结合对顶角相等及三角形内角和定理推出∠OAE=∠OFC=60°，根据邻补角可判断③； 作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N， 根据全等三角形对应边上的高线相等可得AM=AN，然后根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，可判断②；在DF上取一点K，使得FK=FA，由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形可得△AKF是等边三角形，从而可用“SAS”证△DAK≌△BAF，由全等三角形的对应边相等得DK=BF，从而可判断④.
4．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∴，
又∵，
∴，故①正确；
若，
∵
∴，
∴
∵，
∴，即，
∴，
∴
∴，则，
∴仅当时，有，故②不正确；
设，
∵
∴
∴，
∵
∴
又∵，
∴，故③正确
如图所示，延长交于点，连接，
∵平分，，
∴
又∵
∴
∴，
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴，即
∴
即，故④正确
故正确的有①③④
故答案为：C．
【分析】根据三角形内角和和外角的性质得到，进而判断①；根据等腰三角形的性质与判定即可判断②，根据等角的余角相等和三角形的外角判断③，延长交于点，连接，得到，即可得到，进而得到，根据平行线间的距离相等得到判断④即可求解．
5．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：为的角平分线，
，
在和中，
，
，故①正确；
，
，
，
，
，故②正确；
，
，
，
，
，
，故③正确；
过作，交的延长线于点，
，
平分，EG⊥BC，EF⊥AB，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，故④正确，
综上，正确的有①②③④.
故答案为：D．
【分析】由角平分线定义得∠ABD=∠CBD，用SAS证△ABD≌△EBC，据此可判断①；由全等三角形的对应边相等，对应角相等得AD=CE，∠ADB=∠BCE，由等边对等角得∠BDC=∠BCD，根据邻补角定义及等式性质得∠BCE+∠BCD=180°，可判断②；由角的构成、三角形外角性质并结合对顶角相等可推出∠DAE=∠DCE，由等角对等边得AE=CE，可判断③；过点E作EG⊥BC，交BC的延长线于点G，由角平分线上的点到角两边的距离相等得EF=EG，用HL分别判断出Rt△BEG≌Rt△BEF，Rt△CEG≌Rt△AEF，由全等三角形的对应边相等得BG=BF，AF=CG，进而根据线段的和差及等量代换可求出BA+BC=2BF，据此可判断④.
6．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，①正确；
，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，②正确；
，③正确：
∴是等边三角形，④正确．
故答案为：D．
【分析】先根据等边三角形的性质得到，由此可推出，利用SAS证明，利用全等三角形的性质，可对①进行判断；利用ASA证明，利用全等三角形的性质可证得CM=CN，可对②③进行判断；由此可证得是等边三角形，可对④进行判断；综上所述，可得到正确结论的个数.
7．【答案】1或或
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；分类讨论
【解析】【解答】解：①当时，
∵
∴
②当时，
则
∴
∴
∴
③当时，
则
∴
综上所述，AB边上的高线长为：1或或，
故答案为：1或或.
【分析】根据题意可知需分三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，然后分别根据等腰三角形的性质和解直角三角形分别进行计算即可.
8．【答案】3
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：分别作点P关于，的对称点，，连接交于M，交于N，连，
则，，，，，则的周长的最小值，
∵，
∴，
∴是等边三角形．
的周长，
∴．
∴的周长的最小值是3．
故答案为：3.
【分析】分别作点P关于，的对称点，，连接交于M，交于N，的周长，然后证明是等边三角形，即可求解．
9．【答案】50或40或30
【知识点】勾股定理；数学思想；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：依题意，在一张长为18厘米，宽为16厘米的长方形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其它两个顶点在长方形的边上，
∴分三种情况讨论：
①如图1所示：
，
等腰三角形的面积；
②如图2所示：
∴
∴，
则在中，，
等腰三角形的面积；
③如图3所示：
∴
则，
则在中，，
等腰三角形的面积．
综上：则剪下的等腰三角形的面积为50或40或30平方厘米．
故答案为：50或40或30.
【分析】分三种情况：①两腰在矩形相邻的两边上，②一腰在长方形的宽上，③一腰在长方形的长上，分别画出图形，结合三角形的面积公式和直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方进行计算即可求解.
10．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：在上取一点G，使，连接，过点C作于点K，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
故答案为：．
【分析】先证明，得到，过点C作于点K，根据“三线合一”得到，从而求得，根据勾股定理在中，求出，进而在中，求得，从而，得解．
11．【答案】8
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在上取一点，使，
，
，
，
△△，
，
过点作于点，
，
，
△就是等腰三角形，
，，
，
，
在△中，由勾股定理可得，
在△中，由勾股定理可得，，
，
故答案为：8．
【分析】在上取一点，使，利用等边对等角可证得，再利用SAS可证得△BDC≌△CGB，利用全等三角形的性质可证得，过点作于点，可推出△就是等腰三角形，由此可得到KG的长，然后根据AK=AB-BG，可求出AK的长，再利用勾股定理分别求出CK、CE的长，即可得到BD的长.
12．【答案】13
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠B=60°，
作点M关于直线CD的对称点G，过G作GN⊥AB于N，交CD于P，
则此时，MP+PN的值最小，
∵∠B=60°，∠BNG=90°，
∴∠G=30°，
∵BN=9，
∴BG=2BN=18，
∴MG=BG-BM=18-8=10，
∴CM=CG=5，
∴AC=BC=13，
故答案为：13．
【分析】利用等边三角形的性质可证得AC=BC，∠B=60°；作点M关于直线CD的对称点G，过G作GN⊥AB于N，交CD于P，则此时，MP+PN的值最小，根据直角三角形的性质可求出BG、MG的长，由此可得到CM、CG的长，即可求出AC的长.
13．【答案】2或2.5或1.4
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，BC=6cm，AC=8cm，∴AB= =10，
∵当BC=BP时，△BCP为等腰三角形，即BC=BP=6cm，△BCP为等腰三角形，
∴AP=AB-BP=10-6=4，
∵动点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB移动，
∴点P出发4÷2=2 s时，△BCP为等腰三角形；
当点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB移动到AB的中点时，此AP=BP=PC，则△BCP为等腰三角形，点P出发5÷2=2.5s时，△BCP为等腰三角形；
当BC=PC时，过点C作CD⊥AB于点D，如图，
∴∠ADC=∠BDC=90°，BP=2PD=2BD，
∴CD2=BC2-BD2=AC2-AD2
设点P的运动时间为ts，
∴AP=2t，
∴BP=10-2t，
∴PD=BD=5-t，AD=2t+5-t=5+t，
62-（5-t）2=82-（5+t）2
解之：t=1.4
∴点P出发1.4s时，△BCP为等腰三角形．
综上所述，点P出发2s或2.5s或1.4s时，△BCP为等腰三角形.
故答案为：2或2.5或1.4．
【分析】利用勾股定理求出AB的长，再分情况讨论：当BC=BP时，△BCP为等腰三角形；当点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB移动到AB的中点时，此AP=BP=PC，则△BCP为等腰三角形；分别求出点P的运动时间；当BC=PC时，过点C作CD⊥AB于点D；利用等腰三角形的性质和勾股定理可证得CD2=BC2-BD2=AC2-AD2，BP=2PD=2BD，设点P的运动时间为ts，可表示出AP、BP、PD、BD、AD的长，利用勾股定理可得到关于t的方程，解方程求出t的值，综上所述，可得到符合题意的t的值.
14．【答案】；
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【解答】解：由旋转的性质得，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是以为直角的直角三角形，
∴；
过点A作，交延长线于点，过点P作，垂足为，
∵，是等边三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，．
【分析】第一空：由旋转的性质可得是等边三角形，则；再由手拉手全等模型可得，则，又，则可判定为直角三角形且，则；
第二空：由于是等边三角形，可过点P作AP`上的高进而求出；再过点A作CP`上的高AG，利用直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半求出AG，则等于四边形APCP`的面积减去即可．
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，过作于，延长交于，
∵在中，，，
∴，
由旋转的性质得，，，
∴，，
∴，，
同理：，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，，
∴，
∴，，
同理可得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积∶，
故答案为：．
【分析】过作于，延长交于，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可证得OA=2AB，利用性质的性质可得到相关的角和边相等，利用SAS可证得，，由此可求出△DOF，△AOD、△AOF的面积，同时可证得△ADF是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出∠FAD的度数；再利用直角三角形的性质和勾股定理可推出，由此可证得，利用全等三角形的性质可得到，
可得到△QRP是等边三角形，利用三角形的面积公式可求出OM2，OA的长，利用勾股定理求出QN的长，然后利用三角形的面积公式可求出△PQR的面积.
16．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接，，如图所示：
根据旋转可知：，，，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴当、O、E、D在同一直线上时，最小，即最小，
∴的最小值为的长，
∵，
∴，
∴为直角三角形，
∴．
故答案为：．
【分析】先将绕着点A逆时针旋转，得到，根据旋转的性质得到，，进而得到为等边三角形，再根据当、O、E、D在同一直线上时，长度最短进行计算即可.
17．【答案】30 ；
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：30.
（2）点关于的对称点为，与交于点，作于点，连接，如图所示，
∴，BD=B'D.
∴，
由点到直线垂线段最短可得，最小，的最小值为，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴∠B'=30°=∠A，
∴，
∴BB'=6
在中，.
∴的最小值为；
故答案为： ．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理即可求解；
（2）如图所示，点关于的对称点为，与交于点，作于点，交于点，连接，由点到直线垂线段最短可得，的最小只值为，证得，可得∠B'=∠A=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得，进而得BB'=6.再在中利用勾股定理求得B'Q的长，即可得到答案.
18．【答案】26；
【知识点】勾股定理；矩形的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：（1）如图，过点作于，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴点到所在直线的距离为，
故答案为：26；
（2）如图，过点作水平面于，交于，过点作于，
∵与地面平行，
∴，
根据题意，得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的高度下降了cm，
故答案为：．
【分析】（1）过点作于，根据等腰三角形“三线合一”性质得，利用勾股定理得，即可求出点到所在直线的距离为的长；
（2）过点作水平面于，交于，过点作于，则，由题可知，则，在中，利用勾股定理得，然后根据等腰三角形“三线合一”性质得，在中，利用勾股定理得，根据，求出，则，最后求的长即可.
19．【答案】（1），
（2）解：分三种情况：
当点在上时，
如图，
的面积等于，
，
，
；
当点在上时，
如图，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
即：，
故此种情况不符合题意，不予讨论；
当点在上时，
如图，
的面积等于，
，
，
；
综上所述，当的面积等于时，或
（3）解：分四种情况：
当且点在上时，
如图，过点作于点，
，，
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
；
当且点在上时，
如图，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
当时，
如图，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
即：，
解得：，
；
当时，
如图，
四边形是矩形，
，，
又，
，
；
综上所述，当是等腰三角形时，或或或
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一；分类讨论
【解析】【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，列代数式，三角形的面积公式，等式的性质，有理数大小比较的实际应用，不等式的性质，提公因式法分解因式，三线合一，垂线的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解一元一次方程等知识点，运用分类讨论思想是解题的关键．（1）需分两种情形求解：当点P在线段BC上时，利用勾股定理直接计算AP；当点P在线段CE上时，先求出PD的长，再在直角三角形中利用勾股定理计算AP；
（2）根据P在不同边的运动，分三种情况（P在AB、BC、CD上）讨论，利用三角形面积公式建立方程求解；
（3）本题考查等腰三角形存在性问题，根据顶点不同分四种情况（EA=EP且P在AB上，EA=EP且P在BC上，PE=PA，AE=AP）进行讨论，依据等腰三角形的性质逐一求解。
（1）解：如图，当时，点在线段上，
，
四边形是矩形，
，
，
如图，当点在线段上时，
四边形是矩形，
，，，
，
，
故答案为：，；
（2）解：分三种情况：
当点在上时，
如图，
的面积等于，
，
，
；
当点在上时，
如图，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
即：，
故此种情况不符合题意，不予讨论；
当点在上时，
如图，
的面积等于，
，
，
；
综上所述，当的面积等于时，或；
（3）解：分四种情况：
当且点在上时，
如图，过点作于点，
，，
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
；
当且点在上时，
如图，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
当时，
如图，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
即：，
解得：，
；
当时，
如图，
四边形是矩形，
，，
又，
，
；
综上所述，当是等腰三角形时，或或或．
20．【答案】（1）解：，
，
，
，
（2）证明：，，
，
，，
，
，
，
，
（3）解：：：，
：：，
设，，则，
，，
，
当时，，
，
．
当时，，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）利用等角对等边求出AC的长，再利用垂直的概念可得到∠ADC=90°，然后利用勾股定理求出CD的长.
（2）利用已知可推出AC=CE=CB，利用等边对等角可证得∠CEA=∠CAE，∠CAB=∠B，利用三角形的内角和定理可推出∠EAB=90°，据此可证得结论.
（3）利用两个三角形的面积之比可求出CD与CE的比值，设，，则，可推出AC≠AE；当时，，可表示出BE的长，可求出BE与BC的比值；当时，利用勾股定理可表示出AD、AC的长，从而可得到BC、BE的长，然后求出BE与BC的比值；综上所述可得到满足条件的的值.
（1）解：，
，
，
，
；
（2），，
，
，，
，
，
，
，
；
（3）：：，
：：，
设，，则，
，，
，
当时，，
，
．
当时，，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或．
21．【答案】（1）解：如图即为所求：
（2）如图即为所求：
（3）解：如图，
当，时，，
，
，
；
当，时，，
，
；
当时，，
，
，
；
当，时，，，
，
，
此时在中，其最小的内角为，故此种情况不符合题意；
综上所述，的度数为或或
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）在上取一点，连接，使得，线段即为所求；
（2）取的中点，再过点作于点，然后连接，即可求解；
（3）分三种情况讨论：当，时，当，时，当时，当，时，根据三角形的内角和与三角形的外角性质求解即可．
（1）解：如图即为所求：
（2）如图即为所求：
（3）当，时，，
，
，
；
当，时，，
，
；
当时，，
，
，
；
当，时，，，
，
，
此时在中，其最小的内角为，故此种情况不符合题意；
综上所述，的度数为或或．
22．【答案】（1）解：根据题意，得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的长为；
（2）解：根据题意，得，
∵，
∴，
∵当点在边上运动时，为等腰三角形，，
∴，
∴，
解得：，
∴出发秒钟后，能形成等腰三角形；
（3）解：∵，
∴，
①如图1，当时，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（秒）；
②如图2，当时，
∴，
∴（秒）；
③如图3，当时，过点作于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（秒）；
综上所述，当为11秒或12秒或秒时，为等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；一元一次方程的实际应用-几何问题；等积变换
【解析】【分析】（1）先根据点的运动速度以及运动时间求出，的长，从而求得的长，进而利用勾股定理求解即可；
（2）先求出，则，然后由等腰三角形的性质得，即可得关于的方程，解方程即可；
（3）先利用勾股定理求出，然后分三种情况讨论：①当时，根据等腰三角形“等边对等角”的性质得，从而得，进而根据等腰三角形的判定得，则，求出，即可求出的值；②当时，求出，即可求出的值；③当时，过点作于点，利用”等面积法“求出，由勾股定理得，根据等腰三角形“三线合一”性质得，则求出，即可求出的值.
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴．
（2）解：当点Q在边上运动时，，
∵为等腰三角形，
∴，解得：，
∴出发秒钟后，能形成等腰三角形．
（3）解：①当时，如图1所示：
则，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴秒．
②当时，如图2所示，
则，
∴秒．
③当时，如图3所示，
过B点作于点E，则，
∴，
∴，
∴，
∴秒．
综上所述：当t为11秒或12秒或秒时，为等腰三角形．
23．【答案】（1）5，
（2）解：①当时，则，
，
，
∵，
，
，
当时，，
在和中，
，
，
，
，
综上，或；
②连接，
，
，，
，
，
，
，
，
，
又∵
，
∴，
；
综上，的长为
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
又，
∴，
，
，
故答案为：5，；
【分析】（1）根据可求出AB的长，利用勾股定理分别求出、的长.
（2）①分两种情况：当时，可证，利用直角三角形锐角互余及余角的性质可推出，利用等角对等边可知可得到PD的长；当时，利用ASA可证得，利用全等三角形的性质可得到CP的长，即可求出PD的长；综上所述可得到的长.
②连接，易证是等腰三角形，可得到AP的长，再求出PD的长，利用勾股定理求出BP的长.
（1）解：∵，
∴，
又，
∴，
，
，
故答案为：5，；
（2）解：①当时，则，
，
，
∵，
，
，
当时，，
在和中，
，
，
，
，
综上，或；
②连接，
，
，，
，
，
，
，
，
，
又∵
，
∴，
；
综上，的长为．
24．【答案】（1）证明：①如图1，是等边三角形，
．
，
，
．
②解：，
．
，
．
（2）解：．
理由如下：如图，在上截取，连接，
则．
又是等边三角形，
．
．
是等边三角形．
，
，
．
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）①根据等边三角形的性质得，再根据，可得，然后根据全等三角形对应边相等得出答案；
②根据全等三角形的对应角相等得，再根据得出答案；
（2）在上截取，连接，可得，再根据等边三角形的性质证明，进而得出答案.
（1）证明：①如图1，是等边三角形，
．
，
，
．
②解：，
．
，
．
（2）解：．
理由如下：如图，在上截取，连接，
则．
又是等边三角形，
．
．
是等边三角形．
，
，
．
25．【答案】（1）证明：∵是直角三角形，
∴，
∵
∴
∴
∴
（2）理由如下：
如图
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵是沿折叠得到，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴设，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
（3）解：过点作交于点，
∵，
∴点为的中点，
∴，
∵，
∴点为的中点，
∴，
∴，
由折叠可得，，，
∴，
∴，
∴
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）利用直角三角形的两个锐角互余可知，，利用等边对等角，可证得，然后根据等角对等边可证得结论.
（2）易证是等边三角形，根据折叠的性质，则是等边三角形，利用等边三角形的性质可推出，，，设，可表示出AB，利用勾股定理可表示出AE的长，即可得到AA'的长；再表示出EP的长，根据，可用含x的代数式表示出AP的长，从而可得到与的数量关系.
（3）过点作交于点，根据等腰三角形的性质-三线合一，可求出AH的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出AP的长；再利用勾股定理求出HP的长，再根据三角形的面积公式求出，最后根据，可求出AA'的长.
（1）解：证明如下：
∵是直角三角形，
∴，
∵
∴
∴
∴．
（2）解：，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵是沿折叠得到，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴设，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：过点作交于点，
∵，
∴点为的中点，
∴，
∵，
∴点为的中点，
∴，
∴，
由折叠可得，，，
∴，
∴，
∴．
26．【答案】（1）证明：∵，，，
∴；
（2）解：由（1）得，
∵四边形的周长，
所以当最小时，周长最小，
∴当时，周长最小，
，，
，
四边形周长的最小值是；
（3）解：∵，
，
，又，
，，
如果为等腰三角形，分三种情况讨论：
当时，
，
，则点不存在；
当时，
，，
∴，
点为的中点，
∴；
当时，
，
，
，
，
，
综上得，当为等腰三角形时，的长为或．
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）利用即可证明；
（2）当最小时，周长最小，即当时，周长最小，据此求解即可；
（3）分当、和时，三种情况讨论，利用等腰三角形的性质结合全等三角形的判定和性质求解即可．
（1）证明：∵，，，
∴；
（2）解：由（1）得，
因为四边形的周长
，
所以当最小时，周长最小，即当时，周长最小，
，，
时，
四边形周长的最小值是；
（3）解：∵，
，
，又，
，，
如果为等腰三角形，分三种情况讨论：
当时，
，
，则点不存在；
当时，
，，
∴，
点为的中点，
∴；
当时，
，
，
，
，
，
综上得，当为等腰三角形时，的长为或．
27．【答案】（1）解：∵在长方形，∴，，
∵，
∴为钝角三角形，
∵为等腰三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：如图，分别以、为圆心，为半径画圆，与正方形的交点为点，作的垂直平分线与正方形的交点为点，此时为等腰三角形，
∵，
∴，
当时，如图，此时，；
当时，如图，此时；
当时，如图，此时
综上所述，△QPB的面积为10；12.5；20
（3）解：分别以、为圆心，为半径画圆，与长方形的交点为点，两个圆在右边交于点，此时或，即为等腰三角形，作的垂直平分线与长方形的交点为点，交于，此时，即为等腰三角形，
左右移动，找到点存在5个的大致位置如下：
由（2）可得，，
∴，即，
由作图可得，，
∴，
当经过点时，只有3个符合条件的点，则
综上所述，且
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据得到为等腰三角形时可得PD的长，再利用勾股定理求出的长.
（2）分别以、为圆心，为半径画圆，与正方形的交点为点，作的垂直平分线与正方形的交点为点，此时为等腰三角形，可得到AP的长，再分情况讨论：当时；当时；当时；分别求出△QPB的面积即可.
（3）分别以、为圆心，为半径画圆，与长方形的交点为点，作的垂直平分线与长方形的交点为点，此时为等腰三角形，然后左右移动，找到点存在5个的大致位置即可求解．
（1）解：∵在长方形，
∴，，
∵，
∴为钝角三角形，
∵为等腰三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，分别以、为圆心，为半径画圆，与正方形的交点为点，作的垂直平分线与正方形的交点为点，此时为等腰三角形，
∵，
∴，
当时，如图，此时，；
当时，如图，此时；
当时，如图，此时；
（3）解：分别以、为圆心，为半径画圆，与长方形的交点为点，两个圆在右边交于点，此时或，即为等腰三角形，
作的垂直平分线与长方形的交点为点，交于，此时，即为等腰三角形，
左右移动，找到点存在5个的大致位置如下：
由（2）可得，，
∴，即，
由作图可得，，
∴，
当经过点时，只有3个符合条件的点，则
综上所述，且．
28．【答案】（1）36
（2）证明：是线段的垂直平分线，
，即是等腰三角形，
，
，
，
，即是等腰三角形，
是是一条特异线．
（3）解：或或．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】（1）解：，
，
平分，
，
是的一条特异线，
和是等腰三角形，
，
，，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
；
故答案为：36；
（3）当是特异线时，如果，如图3，
则；
如果，，如图4，
则；
如果（或，如图5，
则（不合题意，舍去）；
当是特异线时，，，如图6，
则；
当为特异线时，不合题意．
综上，所有可能的的度数为或或．
【分析】本题考查新定义，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理．
（1）利用等腰三角形的性质得出，设，则，在中，利用三角形内角和定理可列出方程， 解方程可求出x的值，据此可求出∠A的度数；
（2）根据垂直平分线的性质可得EA=EC，据此可证明是等腰三角形，利用等腰三角形的性质可得，利用角的运算可得，再根据 ，可得，据此可证明是等腰三角形，利用新定义可证明结论.
（3）当是特异线时，分三种情形讨论：当是特异线时，是特异线时，是特异线时，根据等边对等角，利用角的运算和三角形的内角和定理可求出的度数.
（1）解：，
，
平分，
，
是的一条特异线，
和是等腰三角形，
，
，，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
；
故答案为：36；
（2）证明：是线段的垂直平分线，
，即是等腰三角形，
，
，
，
，即是等腰三角形，
是是一条特异线．
（3）解：当是特异线时，如果，如图3，
则；
如果，，如图4，
则；
如果（或，如图5，
则（不合题意，舍去）；
当是特异线时，，，如图6，
则；
当为特异线时，不合题意．
综上，所有可能的的度数为或或．
29．【答案】（1）证明：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）解：的度数不变，理由如下：
∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：以为边在△ABC的外部作等边三角形，过点E作EF⊥CB交CB的延长线于点F，如图所示：
∴，，
由（2）可得，（SAS），
∴.
∵，∠ABE=60°，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，，求得，即可根据SAS证明全等三角形；
（2）根据等边三角形的性质得到，，，求得，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（3）以为边在的外部作等边三角形，过E作交的延长线于F，得到，，由（2）知，，根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论．
30．【答案】（1）证明：是边上的中线
又
是等腰直角三角形；
（2）答：是等腰三角形，理由如下：
是边上的中线
是等腰直角三角形
，即
是等腰三角形；
（3）解：①当时，
在和中
设，则
，解得，即；
②当时，
作，同理可证
设，则
，解得
综上所述，的长为或．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】
（1）由等腰三角形三线合一证即可；
（2）先由同角的余角相等可证，再由等腰三角形的三线合一结合等量代换得，最后再利用三角形的外角性质即可；
（3）由于是锐角，则当或时都是直角三角形，当时，可结合（2）证明，再利用全等三角形的对应边相等即可；当时，可结合（2）证明，再利用对应边相等计算即可．
（1）证明：是边上的中线
又
是等腰直角三角形；
（2）是等腰三角形，理由：
是边上的中线
是等腰直角三角形
，即
是等腰三角形；
（3）解：①当时，
在和中
设，则
，解得，即；
②当时，
作，同理可证
设，则
，解得
综上所述，的长为或．
31．【答案】（1）90；
（2）①．
理由：∵，
∴．
即．
又，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
②如图：当点D在射线BC上时，α+β=180°，连接CE，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=∠BAC+∠BCE=180°，
即：∠BCE+∠BAC=180°，
∴α+β=180°，
如图：当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．连接BE，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠ABD=∠ACE=∠ACB+∠BCE，
∴∠ABD+∠ABC=∠ACE+∠ABC=∠ACB+∠BCE+∠ABC=180°，
∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB，
∴∠BAC=∠BCE．
∴α=β；
综上所述：点D在直线BC上移动，α+β=180°或α=β
【知识点】三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴∠ABC=∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
故答案为：；
【分析】（1）利用已知可证得∠BAD=∠CAE，利用SAS可证得△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质可推出∠B＝∠ACE，据此可求出∠BCE的度数.
（2）①利用已知可证得∠BAD=∠CAE，利用SAS可证得△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质可推出∠B＝∠ACE，由此可得到∠B+∠ACB=β，然后利用三角形的内角和定理可求出α和β的额数量关系.
②分情况讨论：当点D在射线BC上时，α+β=180°，连接CE；当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．连接BE，分别证明△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质可证得∠ABD＝∠ACE，借助三角形外角性质和三角形的内角和定理可得到α和β的额数量关系.
32．【答案】【问题情境】；
【初步运用】解：延长到M，使，连接，如图2，
∵AE=4，CE=3，
∴AC=AE+CE=7，
∵是中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
【拓展提升】证明：如图3，延长到点G，使，连接，
∵D是边上的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴．
【知识点】三角形三边关系；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解：问题情境：延长至点E，使，连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
故答案为：；
【分析】问题情境：先利用SAS判断出，由全等三角形的对应边相等得出，最后用三角形的三边关系计算；
初步运用：延长到M，使，连接，首用SAS证，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得到，结合已知及对顶角相等推出，由等角对等边得BF=BM=AC=7；
拓展提升：延长到点G，使，连接，先利用SAS证明，得，根据三角形的三边关系得，则，由垂直平分得，所以．
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