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《勾股定理与直角三角形》精选压轴题—2025年浙江省八（上）数学期中复习
一、单选题
1．（2024八上·温州期中）如图，在中，，，是的角平分线，E，F分别在，边上．，，连结，．若，则的面积是（　　）
A． B．24 C．30 D．
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过D作于H，如图所示：
∵，∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积．
故答案为：D．
【分析】过D作于H，根据角平分线的性质得到，进而根据全等三角形的判定HL证出，进而得到，证出，，求出AB，再利用三角形的面积公式进行计算即可.
2．（2023七下·高青期末）如图，在中，，，平分，于D，与相交于F，则的长是（　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：过点E作于点G，如图：
∵于D，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
又∵平分，，
∴．
在中，，，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
设，则，
在中，由勾股定理得：
，
解得
∴的长是．
故答案为：B．
【分析】过点E作于点G，由，可得，由平行线的性质可得；在中，由勾股定理求得的值；结合已知，用定理可得，由全等三角形的对应角（边）相等可得，BG=BC，由线段的和差=AB=BG求出AG的值，设，则，在中，由勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．
3．（2024八上·浙江期中）如图，在中，分别是的中点，于点，连接．若的周长是11，则的长为（　　）
A． B． C． D．8
【答案】B
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，
∴△ABE和△CBE都是直角三角形.
∵，为中点，
∴，
∴△ABF为直角三角形.
∵是的中点，为中点，
，
的周长，
，
∴在Rt△ABF中，．
故答案为：B．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，根据求出，最后再运用勾股定理即可求解．
4．（2024八上·杭州期中）如图，△ABC中，，以其三边分别向外侧作正方形，然后将整个图形放置于如图所示的长方形中，若要求图中两个阴影部分面积之和，则只需知道（　　）
A．以BC为边的正方形面积 B．以AC为边的正方形面积
C．以AB为边的正方形面积 D．△ABC的面积
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点C作CN⊥AB于N，延长AB、BA分别交正方形两边于H、E，
∴∠CNA=∠DEA=∠DAC=90°，
∴∠DAE+∠EDA=∠DAE+∠CAN=90°，
∴∠ADE=∠CAN，
又∵AD=CA，
∴△ADE≌△CAN（AAS），
∴，AE=CN
同理可证△BGH≌△CBN，
∴，BH=CN
∴，
∴
，
∴只需要知道△ABC的面积的面积即可求出阴影部分的面积，
故答案为：D.
【分析】过点C作CN⊥AB于N，延长AB、BA分别交正方形两边于H、E，证明△ADE≌△CAN，△BGH≌△CBN，得到，AE=CN，，BH=CN，则，即可得到即可解题．
5．（2024八上·杭州期中） 如图， Rt 中， ， 分别以 A B， AC， DC为边在AB的同侧作正三角形 ABD 、 ACE 、 BC F， 图中四块阴影部分的面积分別为 ， 则
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：设 的面积为x， △NBC的面积为
∵正三角形ABD、ACE、BCF的面积分别是
故答案为：D.
【分析】设的面积为x， △NBC的面积为y， 则可得到得到 由勾股定理得到 即可解题.
6．（2024八上·龙湾期中）欧几里得《几何原本》中给出一种证明勾股定理的方法．如图，在中，，四边形、四边形、四边形和四边形都是正方形．若的面积为3，正方形的面积为13，则正方形的面积为（　　）
A．16 B．19 C．25 D．37
【答案】C
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：设，，．
的面积为3，
，即，
正方形的面积为13，
，
在中，
，
正方形的面积为．
把与代入可得：
．
所以正方形的面积为25．
故选：C．
【分析】本题主要考查勾股定理，三角形面积公式以及完全平方公式的应用.解题的关键在于合理设出未知数，利用几何图形的面积关系建立代数等量关系，并通过整体代换求解.具体步骤为：用字母表示直角三角形三边长度， 根据三角形的面积表示出，表示出正方形的面积，然后根据勾股定理的出，然后表示出正方形的面积 ，最后根据勾股定理代入即可.
7．（2024八上·杭州期中）在图1所示的的网格内有一个八边形，其中每个小方格的边长均为1．经探究发现，此八边形可按图2的方式分割成四个完全一样的五边形和一个小正方形①．现将分割后的四个五边形重新拼接（即图2中的阴影部分），得到一个大正方形，发现该正方形中间的空白部分②也是个正方形，记正方形①的面积为1，则大正方形的边长为（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：八边形的面积为，
∴正方形②的边长为
∴正方形②的面积为，
∵正方形①的面积为1，
∴四个全等的五边形的面积为，
∴大正方形的面积为，
∴大正方形的边长为=，
故答案为：B．
【分析】利用图形可求出八边形的面积，利用勾股定理可得到正方形②的边长，由此可得到正方形②的面积；利用正方形①的面积可求出四个全等的五边形的面积，然后求出大正方形的面积，即可求出大正方形ABCD的边长.
8．（2024八上·杭州期中）如图，中，，分别以为边在AB的同侧作正三角形，图中四块阴影部分的面积分别为，，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：如图，过点E作于点G，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
同理，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】
过点E作于点G，利用等边三角形的性质和勾股定理可知，，，从而可得出，得到，即可求解．
9．（2024八上·瑞安期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB90°， 分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，若把图中阴影部分面积分别记为S1、S2、S3、S4并把它们的面积之和记为L，则L与Rt△ABC的面积S存在何种数量关系？（　　）
A．L=2S B．L=3S C．L=4S D．L=5S
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过F作AM的垂线交AM干D，连接FP，
则∠FDA=∠DAQ=∠O=90°，
∴四边形ADFQ为矩形，
∴∠PFD=90°，
∴∠FPC=90°，
∴点F，P，Q在同一直线上，
∵四边形ABEF为正方形，
∴AB=AF，∠FAB=90°=∠FAD+∠CAB，
又∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
∴∠FAD=∠ABC，
又∠ACB=∠ADF=90°
∴△ADF≌△BCA(AAS)①，
∴DF=AC，同理可得△DFK≌△CAT，
∴S2=S△ABF=S△ABC，
由△DFK≌△CAT，
∴FK=AT，∠DKF=∠CTA，
∴KE=FT，∠EKM=∠FTP，又∠M=∠FPT=90°，
∴△FPT≌△EMK(AAS)，
∴S3=S△FPT，
又四边形ADFQ为矩形，
∴S△AOF=S△ADF=S△ACB，
∴S1+S3=S△AOF=S△ABC，
同①可证明△ABC≌△EBN，
∴S4=S△ABC，
∴S1+S2+S3+S4=L=3S，
故答案选：B.
【分析】过F作AM的垂线交AM于D，连接FP，通过证明△ADF≌△BCA，△DFK≌△CAT，得出S2=S△ABC；证明△FPT≌△EMK，可得出S1+S3=S△AOF=S△ABC；证明△ABC≌△EBN，得出S4=S△ABC，进而即可求解.
10．（2024八上·温州期中）如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点落在GF上，若正方形AEDB的面积是14，，则阴影部分的面积为（　　）
A．7 B．7.5 C．8 D．8.5
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】 【解答】解：设 如图所示：
在 中，由勾股定理得：
即
∵正方形AEDB的面积是14，
∵四边形ACKH， 四边形CGFE和四边形AEDB都是正方形，
AC =CK =b，
在Rt△ABC和Rt△DBF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DBF(HL)，
∴DF = AC =b， ∠ABC =∠DBF，
∴DG=GF-DF =a--b=1，
即
∵BK =BC﹣CK=a﹣b，
∴DG=BK，
∵∠DBF+∠BDF=90°，
∠BDF+∠GDN=90°，
∴∠GDN =∠BDF =∠ABC，
在△GDN和△KBM中，
，
正方形ACKH - S四边形ACKM
又 正方形CGFB
四边形BCND=a2+b2-ab=
故答案为： B.
【分析】设. ，依题意 证明 和 全等得 则由此得 再证明 和 全等得 ，进而得 据此可得阴影部分的面积.
11．（2024八上·杭州期中）如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成了一个大正方形ABCD，连结AC，交BE于点，若正方形ABCD的面积为.则的值是（　　）
A．5.5 B．6.5 C．7 D．7.5
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；几何图形的面积计算-割补法；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的面积为30，
∴，
设AE＝x，
∵AE＋BE＝7，
∴BE＝7 x，
Rt△AEB中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∵AH⊥BE，BE⊥CF，
∴AH∥CF，
∴∠EAP＝∠GCM，
∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，
∴△AEB≌△CGD，
∴AE＝CG，
∴△AEP≌△CGM（ASA），
∴S△AEP＝S△CGM，EP＝MG，
∴S△CFP S△AEP＝S△CFP S△CGM＝S梯形FPMG＝（MG＋PF） FG＝EF FG＝S正方形EHGF，
∵S矩形EHGF＝S正方形ABCD 4S△AEB＝30 4×x （7 x）＝30-
则S△CFP S△AEP的值是5.5．
故答案为：A.
【分析】依据题意，先证明△AEP≌△CGM（ASA），则S△AEP＝S△CGM，所以两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，设AE＝x，BE＝7 x，根据勾股定理得：列出方程，整体代入可得结论．
12．（2024八上·鄞州期中）如图，清代数学家李锐在其著作《勾股算术细草》中利用三个正方形出入相补的方法证明了勾股定理．如图，在中，，分别以和为边，按如图所示的方式作正方形、和，与交于点，与交于点．若四边形和的面积和为5，四边形和的面积和为12，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景；直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：设，，
正方形、和，
，，，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
四边形和的面积和为5，
四边形和的面积和为5，
，
，
，
，
，
，
（负值舍去），
的值为，
故选：A．
【分析】
如图，设，，则由正方形的性质可先证明，由全等的性质可得，，则可得，再由同角的余角相等可得，又，则，即，等量代换得，即；再利用已知结合四边形面积关系可得，得出，再利用完全平方公式求解即可．
13．（2024八上·嘉兴期中）如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置在大正方形内，若四边形面积为6，四边形的面积为2，四边形的面积为2.5，四边形的面积为4，则知道图中阴影部分的面积是（　　）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
【答案】B
【知识点】勾股定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：设大正方形的边长为c，中正方形的边长为b，小正方形的边长为a，
如图2，，，
，
，
，
，
故选：B．
【分析】如图，设大正方形的边长为c，中正方形的边长为b，小正方形的边长为a，则，，再结合已知可得即可．
二、填空题
14．（2024八上·杭州期中）如图，在长方形纸片中，，，点M 为上一点，将沿翻至， 交于点G，交于点F，且，则的长度是　 　
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，，
∴，，
∵将沿翻至，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
在中，有，
∴，
解得：，
∴的长度是，
故答案为：．
【分析】根据据悉以及折叠的性质得，，，从而证明，得，，进而得，然后设，则，，，在中，利用勾股定理得关于的方程，解方程即可求解.
15．（2024八上·杭州期中）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．它由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大、小正方形的面积分别为13和1、则直角三角形的较长直角边长为　 　．
【答案】3
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：设图中直角三角形两直角边长分别为a、b，且a＞b，
∵图中大、小正方形的面积为13和1，
∴，
解得a=3，，
故较长的直角边为3，
故答案为：3．
【分析】 设图中直角三角形两直角边长分别为a、b，且a＞b， 根据正方形面积公式及勾股定理可得，然后再解该方程组即可.
16．（2024八上·钱塘期中）如图是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为13和1，且直角三角形的两直角边分别为a，b，则的值为 　 　．
【答案】25
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：根据题意，得，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：25．
【分析】利用勾股定理得，，由完全平方公式求出，再利用完全平方公式得的值.
17．（2024八上·锦江月考）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，，则图2中的阴影部分面积为　 　．
【答案】10
【知识点】完全平方公式的几何背景；三角形全等及其性质；正方形的性质；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：如图，
∵朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，
∴，，
∵朱入与朱出的三角形全等，
∴，
∴，
∵两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，
∴，，
∴，，
∴阴影部分面积为
，
∵，，
∴，
即阴影部分的面积为，
故答案为：．
【分析】利用正方形的性质可知，，利用全等三角形的性质可得到，，，利用阴影部分面积=，可证得阴影部分面积=ab，利用已知条件可求出ab的值
18．（2024八上·瑞安期中）将一块三角形纸板剪成如图1所示的①②③三块，再拼成不重叠、无缝隙的正方形（如图2）．若的面积为9，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：观察图形知，
故答案为：．
【分析】由题意知，正方形GHPQ的面积为9，则边长GH=QP=HP=3，又HN=DE=1，则PN=2，由勾股定理可得，又EF=MN=QM，则．
19．（2024八上·杭州期中） 如图， 在 中， ， 点D， E 分別在 A C， B C 上， 且 ， 将 沿DE 折叠，点C恰好落在AB边上的点F处， CF 与DE交于点G.下列结论：其中正确的结论有　 　。(填序号)
①AB=2CF.
②若 ， 则 ；
③若CD=1.5， CE=2， 则DG·GE=1.2；
④若AC=4， BC=3， 则CG=1.25.
【答案】①②④
【知识点】翻折变换（折叠问题）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：①∵∠ECG+∠DCG=90°， ∠DCG+∠CDG=90°
∴∠CDG=∠ECG，
∵∠CDE=∠B，
∴∠ECG=∠B，
∴CF=FB，
∵∠A+∠B=90°， ∠ACF+∠ECG=90°，
∴∠A=∠ACF，
∴CF=FA，
∴FA=FB，
∴AB=2CF， 故①正确；
②∵∠ABC =50°，
∴∠CDG =50°=∠GDF， ∠A=40°，
∴∠ADF=80°，
∴∠AFD=60°， 故②正确；
③∵CD=1.5， CE=2，
∵DC=DF， EC = EF，
∴CG⊥DE，
设DG=x， 则EG=2.5--x，
解得： x=0.9，
∴DG·GE=0.9×(2.5-0.9)=1.44≠1.2，故③错误；
④AC=4， BC=3， 则AB=5，
故④正确.
故答案为： ①②④.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可判断①； 根据∠ABC=50°， 可以得到∠CDG=50°=∠GDF，即可得到 ∠ADF = 80°判断②； 勾股定理求出DG， GE判断 ③ ； 用勾股定理求出AB =5，然后利用直角三角形的中线性质判断④即可解题.
20．（2024八上·西湖期末）如图，在矩形中，点E在边上，沿折叠得到，且点B，F，E三点共线，连接，若，，则　 　，　 　．
【答案】；
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：设交于H，如图：
设，，
∵沿折叠得到，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∴①，
在中，，
∴②，
①②联立解方程组得，或（舍去），
∴，，
∴；
，
∵沿折叠得到，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：，．
【分析】设交于H，，，根据勾股定理可得，，即可得关于x、y的方程组，解方程组得，，然后根据三角形的面积求出的值，再根据线段的构成DF=DH+FH即可求解．
21．（2024八下·杞县期末）如图，在矩形中，，，将矩形折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，则　 　，　 　．
【答案】5；
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形为矩形，
，
由折叠可知，，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，，
，
，
，
，
如图，过点E作于点H，
则，
∴四边形为矩形，
，
，
在中，．
故答案为：5；．
【分析】
（1）由折叠的性质知，AE等于EC，在Rt中应用勾股定理即可；
（2）如图所示，过点E作于点H，则EH等于AB、FH等于CE减去BE，再在Rt中应用勾股定理即可．
22．（2024八上·瑞安期中）沿海地区台风频发，为了安全的需要，人们常常会在窗户上加装铰链，如下图所示，安装方式有水平安装（如图1，2）和上悬安装（如图3，4）两种形式.悬挂臂DE安装在窗户上，交点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B、C、D安装在一根钢筋上，其中AC//ED，AC=20cm，CD=10cm，BD=40cm，我们把DE所在的直线与直线AB所成的夹角称作窗户打开角.当水平安装的窗户打开角为90°时，AB＝　 　cm．当上悬安装的窗户打开角为30°时，AB＝　 　cm．
【答案】 ；
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：①∵∠CAB=90°，AC=20cm，CD=10cm，BD=40cm，
∴BC=BD-CD=40-10=30cm，
∴在Rt△ABC中，；
②如图，延长DE交AB于点F，作CG⊥AB于点G，
∵AC∥ED，
∴∠DFB=∠CAB，
∵∠CAB=30°，
∴∠DFB=30°，
∵AC=20cm，∠CGA=90°，
∴CG=10cm，，
∵BC=30cm，CG=10cm，∠CGB=90°，
∴，
∴，
故答案为：，.
【分析】(1)根据勾股定理可以解答本题；
(2)延长DE交AB于点F，作CG⊥AB于点G，再由勾股定理可知AG，BG的长，从而可以解答本题.
1 / 1《勾股定理与直角三角形》精选压轴题—2025年浙江省八（上）数学期中复习
一、单选题
1．（2024八上·温州期中）如图，在中，，，是的角平分线，E，F分别在，边上．，，连结，．若，则的面积是（　　）
A． B．24 C．30 D．
2．（2023七下·高青期末）如图，在中，，，平分，于D，与相交于F，则的长是（　　）
A．1 B． C． D．2
3．（2024八上·浙江期中）如图，在中，分别是的中点，于点，连接．若的周长是11，则的长为（　　）
A． B． C． D．8
4．（2024八上·杭州期中）如图，△ABC中，，以其三边分别向外侧作正方形，然后将整个图形放置于如图所示的长方形中，若要求图中两个阴影部分面积之和，则只需知道（　　）
A．以BC为边的正方形面积 B．以AC为边的正方形面积
C．以AB为边的正方形面积 D．△ABC的面积
5．（2024八上·杭州期中） 如图， Rt 中， ， 分别以 A B， AC， DC为边在AB的同侧作正三角形 ABD 、 ACE 、 BC F， 图中四块阴影部分的面积分別为 ， 则
A． B． C． D．
6．（2024八上·龙湾期中）欧几里得《几何原本》中给出一种证明勾股定理的方法．如图，在中，，四边形、四边形、四边形和四边形都是正方形．若的面积为3，正方形的面积为13，则正方形的面积为（　　）
A．16 B．19 C．25 D．37
7．（2024八上·杭州期中）在图1所示的的网格内有一个八边形，其中每个小方格的边长均为1．经探究发现，此八边形可按图2的方式分割成四个完全一样的五边形和一个小正方形①．现将分割后的四个五边形重新拼接（即图2中的阴影部分），得到一个大正方形，发现该正方形中间的空白部分②也是个正方形，记正方形①的面积为1，则大正方形的边长为（　　）
A．3 B． C． D．
8．（2024八上·杭州期中）如图，中，，分别以为边在AB的同侧作正三角形，图中四块阴影部分的面积分别为，，，，则（　　）
A． B． C． D．
9．（2024八上·瑞安期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB90°， 分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，若把图中阴影部分面积分别记为S1、S2、S3、S4并把它们的面积之和记为L，则L与Rt△ABC的面积S存在何种数量关系？（　　）
A．L=2S B．L=3S C．L=4S D．L=5S
10．（2024八上·温州期中）如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点落在GF上，若正方形AEDB的面积是14，，则阴影部分的面积为（　　）
A．7 B．7.5 C．8 D．8.5
11．（2024八上·杭州期中）如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成了一个大正方形ABCD，连结AC，交BE于点，若正方形ABCD的面积为.则的值是（　　）
A．5.5 B．6.5 C．7 D．7.5
12．（2024八上·鄞州期中）如图，清代数学家李锐在其著作《勾股算术细草》中利用三个正方形出入相补的方法证明了勾股定理．如图，在中，，分别以和为边，按如图所示的方式作正方形、和，与交于点，与交于点．若四边形和的面积和为5，四边形和的面积和为12，则的值为（　　）
A． B． C． D．
13．（2024八上·嘉兴期中）如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置在大正方形内，若四边形面积为6，四边形的面积为2，四边形的面积为2.5，四边形的面积为4，则知道图中阴影部分的面积是（　　）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
二、填空题
14．（2024八上·杭州期中）如图，在长方形纸片中，，，点M 为上一点，将沿翻至， 交于点G，交于点F，且，则的长度是　 　
15．（2024八上·杭州期中）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．它由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大、小正方形的面积分别为13和1、则直角三角形的较长直角边长为　 　．
16．（2024八上·钱塘期中）如图是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为13和1，且直角三角形的两直角边分别为a，b，则的值为 　 　．
17．（2024八上·锦江月考）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，，则图2中的阴影部分面积为　 　．
18．（2024八上·瑞安期中）将一块三角形纸板剪成如图1所示的①②③三块，再拼成不重叠、无缝隙的正方形（如图2）．若的面积为9，，则的长为　 　．
19．（2024八上·杭州期中） 如图， 在 中， ， 点D， E 分別在 A C， B C 上， 且 ， 将 沿DE 折叠，点C恰好落在AB边上的点F处， CF 与DE交于点G.下列结论：其中正确的结论有　 　。(填序号)
①AB=2CF.
②若 ， 则 ；
③若CD=1.5， CE=2， 则DG·GE=1.2；
④若AC=4， BC=3， 则CG=1.25.
20．（2024八上·西湖期末）如图，在矩形中，点E在边上，沿折叠得到，且点B，F，E三点共线，连接，若，，则　 　，　 　．
21．（2024八下·杞县期末）如图，在矩形中，，，将矩形折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，则　 　，　 　．
22．（2024八上·瑞安期中）沿海地区台风频发，为了安全的需要，人们常常会在窗户上加装铰链，如下图所示，安装方式有水平安装（如图1，2）和上悬安装（如图3，4）两种形式.悬挂臂DE安装在窗户上，交点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B、C、D安装在一根钢筋上，其中AC//ED，AC=20cm，CD=10cm，BD=40cm，我们把DE所在的直线与直线AB所成的夹角称作窗户打开角.当水平安装的窗户打开角为90°时，AB＝　 　cm．当上悬安装的窗户打开角为30°时，AB＝　 　cm．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过D作于H，如图所示：
∵，∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积．
故答案为：D．
【分析】过D作于H，根据角平分线的性质得到，进而根据全等三角形的判定HL证出，进而得到，证出，，求出AB，再利用三角形的面积公式进行计算即可.
2．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：过点E作于点G，如图：
∵于D，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
又∵平分，，
∴．
在中，，，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
设，则，
在中，由勾股定理得：
，
解得
∴的长是．
故答案为：B．
【分析】过点E作于点G，由，可得，由平行线的性质可得；在中，由勾股定理求得的值；结合已知，用定理可得，由全等三角形的对应角（边）相等可得，BG=BC，由线段的和差=AB=BG求出AG的值，设，则，在中，由勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．
3．【答案】B
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，
∴△ABE和△CBE都是直角三角形.
∵，为中点，
∴，
∴△ABF为直角三角形.
∵是的中点，为中点，
，
的周长，
，
∴在Rt△ABF中，．
故答案为：B．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，根据求出，最后再运用勾股定理即可求解．
4．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点C作CN⊥AB于N，延长AB、BA分别交正方形两边于H、E，
∴∠CNA=∠DEA=∠DAC=90°，
∴∠DAE+∠EDA=∠DAE+∠CAN=90°，
∴∠ADE=∠CAN，
又∵AD=CA，
∴△ADE≌△CAN（AAS），
∴，AE=CN
同理可证△BGH≌△CBN，
∴，BH=CN
∴，
∴
，
∴只需要知道△ABC的面积的面积即可求出阴影部分的面积，
故答案为：D.
【分析】过点C作CN⊥AB于N，延长AB、BA分别交正方形两边于H、E，证明△ADE≌△CAN，△BGH≌△CBN，得到，AE=CN，，BH=CN，则，即可得到即可解题．
5．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：设 的面积为x， △NBC的面积为
∵正三角形ABD、ACE、BCF的面积分别是
故答案为：D.
【分析】设的面积为x， △NBC的面积为y， 则可得到得到 由勾股定理得到 即可解题.
6．【答案】C
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：设，，．
的面积为3，
，即，
正方形的面积为13，
，
在中，
，
正方形的面积为．
把与代入可得：
．
所以正方形的面积为25．
故选：C．
【分析】本题主要考查勾股定理，三角形面积公式以及完全平方公式的应用.解题的关键在于合理设出未知数，利用几何图形的面积关系建立代数等量关系，并通过整体代换求解.具体步骤为：用字母表示直角三角形三边长度， 根据三角形的面积表示出，表示出正方形的面积，然后根据勾股定理的出，然后表示出正方形的面积 ，最后根据勾股定理代入即可.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：八边形的面积为，
∴正方形②的边长为
∴正方形②的面积为，
∵正方形①的面积为1，
∴四个全等的五边形的面积为，
∴大正方形的面积为，
∴大正方形的边长为=，
故答案为：B．
【分析】利用图形可求出八边形的面积，利用勾股定理可得到正方形②的边长，由此可得到正方形②的面积；利用正方形①的面积可求出四个全等的五边形的面积，然后求出大正方形的面积，即可求出大正方形ABCD的边长.
8．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：如图，过点E作于点G，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
同理，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】
过点E作于点G，利用等边三角形的性质和勾股定理可知，，，从而可得出，得到，即可求解．
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过F作AM的垂线交AM干D，连接FP，
则∠FDA=∠DAQ=∠O=90°，
∴四边形ADFQ为矩形，
∴∠PFD=90°，
∴∠FPC=90°，
∴点F，P，Q在同一直线上，
∵四边形ABEF为正方形，
∴AB=AF，∠FAB=90°=∠FAD+∠CAB，
又∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
∴∠FAD=∠ABC，
又∠ACB=∠ADF=90°
∴△ADF≌△BCA(AAS)①，
∴DF=AC，同理可得△DFK≌△CAT，
∴S2=S△ABF=S△ABC，
由△DFK≌△CAT，
∴FK=AT，∠DKF=∠CTA，
∴KE=FT，∠EKM=∠FTP，又∠M=∠FPT=90°，
∴△FPT≌△EMK(AAS)，
∴S3=S△FPT，
又四边形ADFQ为矩形，
∴S△AOF=S△ADF=S△ACB，
∴S1+S3=S△AOF=S△ABC，
同①可证明△ABC≌△EBN，
∴S4=S△ABC，
∴S1+S2+S3+S4=L=3S，
故答案选：B.
【分析】过F作AM的垂线交AM于D，连接FP，通过证明△ADF≌△BCA，△DFK≌△CAT，得出S2=S△ABC；证明△FPT≌△EMK，可得出S1+S3=S△AOF=S△ABC；证明△ABC≌△EBN，得出S4=S△ABC，进而即可求解.
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】 【解答】解：设 如图所示：
在 中，由勾股定理得：
即
∵正方形AEDB的面积是14，
∵四边形ACKH， 四边形CGFE和四边形AEDB都是正方形，
AC =CK =b，
在Rt△ABC和Rt△DBF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DBF(HL)，
∴DF = AC =b， ∠ABC =∠DBF，
∴DG=GF-DF =a--b=1，
即
∵BK =BC﹣CK=a﹣b，
∴DG=BK，
∵∠DBF+∠BDF=90°，
∠BDF+∠GDN=90°，
∴∠GDN =∠BDF =∠ABC，
在△GDN和△KBM中，
，
正方形ACKH - S四边形ACKM
又 正方形CGFB
四边形BCND=a2+b2-ab=
故答案为： B.
【分析】设. ，依题意 证明 和 全等得 则由此得 再证明 和 全等得 ，进而得 据此可得阴影部分的面积.
11．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；几何图形的面积计算-割补法；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的面积为30，
∴，
设AE＝x，
∵AE＋BE＝7，
∴BE＝7 x，
Rt△AEB中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∵AH⊥BE，BE⊥CF，
∴AH∥CF，
∴∠EAP＝∠GCM，
∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，
∴△AEB≌△CGD，
∴AE＝CG，
∴△AEP≌△CGM（ASA），
∴S△AEP＝S△CGM，EP＝MG，
∴S△CFP S△AEP＝S△CFP S△CGM＝S梯形FPMG＝（MG＋PF） FG＝EF FG＝S正方形EHGF，
∵S矩形EHGF＝S正方形ABCD 4S△AEB＝30 4×x （7 x）＝30-
则S△CFP S△AEP的值是5.5．
故答案为：A.
【分析】依据题意，先证明△AEP≌△CGM（ASA），则S△AEP＝S△CGM，所以两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，设AE＝x，BE＝7 x，根据勾股定理得：列出方程，整体代入可得结论．
12．【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景；直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：设，，
正方形、和，
，，，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
四边形和的面积和为5，
四边形和的面积和为5，
，
，
，
，
，
，
（负值舍去），
的值为，
故选：A．
【分析】
如图，设，，则由正方形的性质可先证明，由全等的性质可得，，则可得，再由同角的余角相等可得，又，则，即，等量代换得，即；再利用已知结合四边形面积关系可得，得出，再利用完全平方公式求解即可．
13．【答案】B
【知识点】勾股定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：设大正方形的边长为c，中正方形的边长为b，小正方形的边长为a，
如图2，，，
，
，
，
，
故选：B．
【分析】如图，设大正方形的边长为c，中正方形的边长为b，小正方形的边长为a，则，，再结合已知可得即可．
14．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，，
∴，，
∵将沿翻至，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
在中，有，
∴，
解得：，
∴的长度是，
故答案为：．
【分析】根据据悉以及折叠的性质得，，，从而证明，得，，进而得，然后设，则，，，在中，利用勾股定理得关于的方程，解方程即可求解.
15．【答案】3
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：设图中直角三角形两直角边长分别为a、b，且a＞b，
∵图中大、小正方形的面积为13和1，
∴，
解得a=3，，
故较长的直角边为3，
故答案为：3．
【分析】 设图中直角三角形两直角边长分别为a、b，且a＞b， 根据正方形面积公式及勾股定理可得，然后再解该方程组即可.
16．【答案】25
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：根据题意，得，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：25．
【分析】利用勾股定理得，，由完全平方公式求出，再利用完全平方公式得的值.
17．【答案】10
【知识点】完全平方公式的几何背景；三角形全等及其性质；正方形的性质；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：如图，
∵朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，
∴，，
∵朱入与朱出的三角形全等，
∴，
∴，
∵两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，
∴，，
∴，，
∴阴影部分面积为
，
∵，，
∴，
即阴影部分的面积为，
故答案为：．
【分析】利用正方形的性质可知，，利用全等三角形的性质可得到，，，利用阴影部分面积=，可证得阴影部分面积=ab，利用已知条件可求出ab的值
18．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：观察图形知，
故答案为：．
【分析】由题意知，正方形GHPQ的面积为9，则边长GH=QP=HP=3，又HN=DE=1，则PN=2，由勾股定理可得，又EF=MN=QM，则．
19．【答案】①②④
【知识点】翻折变换（折叠问题）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：①∵∠ECG+∠DCG=90°， ∠DCG+∠CDG=90°
∴∠CDG=∠ECG，
∵∠CDE=∠B，
∴∠ECG=∠B，
∴CF=FB，
∵∠A+∠B=90°， ∠ACF+∠ECG=90°，
∴∠A=∠ACF，
∴CF=FA，
∴FA=FB，
∴AB=2CF， 故①正确；
②∵∠ABC =50°，
∴∠CDG =50°=∠GDF， ∠A=40°，
∴∠ADF=80°，
∴∠AFD=60°， 故②正确；
③∵CD=1.5， CE=2，
∵DC=DF， EC = EF，
∴CG⊥DE，
设DG=x， 则EG=2.5--x，
解得： x=0.9，
∴DG·GE=0.9×(2.5-0.9)=1.44≠1.2，故③错误；
④AC=4， BC=3， 则AB=5，
故④正确.
故答案为： ①②④.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可判断①； 根据∠ABC=50°， 可以得到∠CDG=50°=∠GDF，即可得到 ∠ADF = 80°判断②； 勾股定理求出DG， GE判断 ③ ； 用勾股定理求出AB =5，然后利用直角三角形的中线性质判断④即可解题.
20．【答案】；
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：设交于H，如图：
设，，
∵沿折叠得到，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∴①，
在中，，
∴②，
①②联立解方程组得，或（舍去），
∴，，
∴；
，
∵沿折叠得到，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：，．
【分析】设交于H，，，根据勾股定理可得，，即可得关于x、y的方程组，解方程组得，，然后根据三角形的面积求出的值，再根据线段的构成DF=DH+FH即可求解．
21．【答案】5；
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形为矩形，
，
由折叠可知，，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，，
，
，
，
，
如图，过点E作于点H，
则，
∴四边形为矩形，
，
，
在中，．
故答案为：5；．
【分析】
（1）由折叠的性质知，AE等于EC，在Rt中应用勾股定理即可；
（2）如图所示，过点E作于点H，则EH等于AB、FH等于CE减去BE，再在Rt中应用勾股定理即可．
22．【答案】 ；
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：①∵∠CAB=90°，AC=20cm，CD=10cm，BD=40cm，
∴BC=BD-CD=40-10=30cm，
∴在Rt△ABC中，；
②如图，延长DE交AB于点F，作CG⊥AB于点G，
∵AC∥ED，
∴∠DFB=∠CAB，
∵∠CAB=30°，
∴∠DFB=30°，
∵AC=20cm，∠CGA=90°，
∴CG=10cm，，
∵BC=30cm，CG=10cm，∠CGB=90°，
∴，
∴，
故答案为：，.
【分析】(1)根据勾股定理可以解答本题；
(2)延长DE交AB于点F，作CG⊥AB于点G，再由勾股定理可知AG，BG的长，从而可以解答本题.
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