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《三角形的综合》精选压轴题（二）—2025年浙江省八（上）数学期中复习
一、单选题
1．（2021八上·下城期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，点P在边AB上.BC=6， AC=8， （　　）
A．若∠ACP=45°， 则CP=5 B．若∠ACP=∠B，则CP=5
C．若∠ACP=45°，则CP= D．若∠ACP=∠B，则CP=
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，点P在边AB上.BC=6， AC=8，
∴ ，
当CP为AB的中线时， ，
若∠ACP=45°，如图1，则CP为直角∠ACB的平分线，
∵BC≠AC，
∴CP与中线、高线不重合，不等于5，故A选项错误；
若∠ACP=∠B，如图2
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠A+∠ACP =90°，
∴∠APC=90°，即CP为AB的高线，
∵BC≠AC，
∴CP与中线不重合，不等于5，故B选项错误；
当CP为AB的高线时， ，
即 ，解得 ，
故D选项正确，C选项错误.
故答案为：D.
【分析】由选项知，A、C选项CP为顶角平分线，B、D选项为CP为底边上的高线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得斜边中线等于5，利用等面积法可求出斜边上的高线为，由于三角形不是等腰三角形，可知斜边上的高线、中线和直角的角平分线不是同一条，据此可得D正确.
2．（2024八上·温州期中）如图，在锐角三角形中，，边上的中线．过点A作于点E，记的长为a，的长为b．当a，b的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作于，
∴，
∵是的中线，，，
∴，
∵，
∴，
∵的长为a，的长为b，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
在中，，
∴，
整理得：，
故答案为：D．
【分析】连接，过点作于，根据直角三角形斜边上的中线性质得，然后由等腰三角形“三线合一”性质得，从而求出，接下来在、中，利用勾股定理分别表示出是值，最后进行整理即可得到答案.
3．（2023八下·海淀期末）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（　　）
A．140° B．100° C．50° D．40°
【答案】B
【知识点】两点之间线段最短；等腰三角形的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解∶如图，分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，此时△PMN周长取最小值．
∴OC=OP=OD，∠CON=∠PON，∠POM=∠DOM；
∵∠AOB=∠MOP+∠PON＝40°，
∴∠COD=2∠AOB=80°，
在△COD中，OC=OD，∠AOB＝40°，
∴∠OCD=∠ODC=50°；
在△CON和△PON中，OC=OP，∠CON=∠PON，ON=ON，
∴△CON≌△PON，
∴∠OCN=∠NPO=50°，
同理∠OPM=∠ODM=50°，
∴∠MPN=∠NPO+∠OPM=50°+50°=100°．
故选：B．
【分析】
先分别过点P作OA、OB的对应点D和C，再连接CD分别交OA和OB于点M和N，由轴对称的性质知PM=DM、PN=CN，则△PMN的周长等于线段CD的长，即此时△PMN的周长最小，再根据轴对称的性质可得∠COD等于∠AOB的2倍即80°，OC=OP=OD，则由等腰三角形的内角和得∠OCD等于∠ODC等于50°，再由轴对称的性质可证△CON≌△PON，△ODM≌△OPM，则由全等三角形的对应角相等可得∠OCN等于∠NPO等于50°，∠OPM等于∠ODM等于50°，再由∠MPN=∠NPO+∠OPM即可求解．
4．（2024八上·拱墅期中）如图，四边形中，，的角平分线与点D，E为的中点，则与面积之差的最大值为（　　）
A．9 B．4.5 C．3 D．1.5
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：延长交的延长线于H，过点D作于T，
设的面积为S，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
又∵
∴当为最大时，S为最大，则为最大，
根据“垂线段”最短得：，
∴时，为最大，最大值为3，
∴S的最大值为：，
∴的最大值是4.5．
故答案为：B．
【分析】延长交的延长线于H，过点D作于T，设△ACD的面积为s，利用角平分线的定义可证得∠1=∠2，利用垂直的概念可知∠ADB=∠ADH，利用ASA可证得△ABD≌△AHD，利用全等三角形的性质可推出两个三角形的面积相等，利用等边对等角及余角的性质可推出∠H=∠CDH，利用等边对等角可求出AC、CH的长，同时可证得，由此可推出，利用AC=CH，可表示出△HBC，△ABC的面积；由此可推出， 利用三角形的面积公式可得到，利用垂线段最短可知当为最大时，S为最大，则为最大，即，可得到DT的最大值为3，据此可求出与面积之差的最大值 .
5．（2024八上·永康期中）如图，和均为等边三角形，且点B，C，D在同一直线上，交于点G，交于点H，连结．则下列结论中正确的有（　　）
（1）；（2）；（3）；（4）平分；（5）是等边三角形．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵和均是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，故（1）正确，
∵，
∴，故（2）正确，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故（3）错误，
∵，
∴是等边三角形，故（5）正确；
如图，过点作于于，
∵，
∴，
又∵于于，
∴平分，故（4）正确；
故选：C．
【分析】根据等边三角形的三条边都相等，三个角都是直角得出，然后由两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可证，根据全等三角形的对应边相等得出，可判断（1）；由全等三角形的对应角相等可得，结合三角形内角和是180°可判断（2）；由两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等可证，根据全等三角形的对应边相等推得，即可判断（3）；根据有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形的判定可证是等边三角形，可判断（5），由全等三角形的对应边相等可得，可证平分，可判断（4）.
6．（2022八上·杭州期中）如图，是的角平分线，，，，P，Q分别是和上的任意一点，连接，，，，给出下列结论：
①；
②；
③的最小值是；
④若平分，则的面积为9．
其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形三边关系；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：①∵，是的角平分线，
∴，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
在 APQ中，，
∴，
∴原结论正确；
②∵，
∴，，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴原结论正确；
③由①可得，，
∴当最小时，最小，
过点A作于点M，如图所示：
当点P在与交点上时，，且最小值为，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
即的最小值是，
∴原结论错误；
④过点P作于点N，如图所示：
∵平分，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴原结论正确；
综上可得，正确的有①②④．
故答案为：B.
【分析】
①根据等腰三角形的性质“等腰三角形的三线合一”可得垂直平分，由线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得，再根据三角形三边关系“三角形的任意两边之和大于第三边”即可求解；
②根据角平分线的定义，平行线的性质、等腰三角形的性质，证明，，得出，，即可得出结论；
③过点A作于点M，当点P在与交点上时，，此时最小，且最小值为，根据等积法求出即可；
④过点P作于点N，得出，求出，即可求出结果．
7．（2024八上·义乌期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AG平分∠BAC交BC与点G，BD平分∠ABC交AC于点D，AG、BD相交于点F，BE⊥AG交AG的延长线于点E，连接CE，下列结论中正确的是（　　）
①若∠BAD＝70°，则∠EBC＝5°；②BF＝2EF；③BE＝CE；④AB＝BG+AD．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC，
∴∠ABC=180°-70°-60°=50°，
∵AG平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=∠BAC=×70°=35°，
∵BE⊥AG，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE=90°-∠BAE=90°-35°=55°，
∴∠EBC=∠ABE-∠ABC=55°-50°=5°，故①正确；
∵BD平分∠ABC，
∴∠FBG=∠ABC=×50°=25°，
∴∠EBF=∠FBG+∠EBC=25°+5°=30°，
∴BF=2EF，故②正确；
延长BE，AC交于点H，
在△ABE和△AHE中
∴△ABE≌△AHE（ASA）
∴BE=HE，
∴点E是BH的中点，
只有当∠BCH=90°时，CE=BE，故③错误；
在AB上截取AM=AD，
在△AMF和△AFD中
∴△AMF≌△AFD（SAS）
∴∠AFM=∠AFD=∠BFE=90°-30°=60°，
∴∠BFM=180°-∠AFM-∠BFE=180°-60°-60°=60°，
∴∠BFM=∠BFG，
在△BFM和△BFG中
∴△BFM≌△BFG（ASA）
∴BM=BG，
∴AB=AM+BM=AD+BG，故④正确；
∴正确结论有3个.
故答案为：B.
【分析】利用三角形的内角和定理求出∠ABC的度数，再利用角平分线的概念可求出∠BAE=∠CAE=35°，利用垂直的定义可求出∠AEB的度数，即可求出∠ABE的度数，根据∠EBC=∠ABE-∠ABC，代入计算可对①作出判断；利用角平分线的概念可求出∠FBG的度数，可求出∠EBF的度数，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可对②作出判断；延长BE，AC交于点H，利用ASA可证得△ABE≌△AHE，利用全等三角形的性质可证得BE=HE，只有当∠BCH=90°时，CE=BE，可对③作出判断；在AB上截取AM=AD，利用SAS可证得△AMF≌△AFD，利用全等三角形的性质可推出∠BFM=∠BFG，利用ASA可证得△BFM≌△BFG，利用全等三角形的性质可推出BM=BG，然后根据AB=AM+BM，代入可对④作出判断；综上所述，可得到正确结论的个数.
8．（2024八上·吴兴期中）如图，在和中，，，，过作，垂足为，交的延长线于点，连接．四边形的面积为64，．则的长是（　　）
A．8 B． C． D．6
【答案】A
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
在和中，
，
，
，
又，
，
，
，，
∴∠AFG=∠AHG=90°，
在和中，
，
∴S△AFG=S△AHG，
同理：，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】过点作于点，用边角边可证得，由全等三角形的对应边相等可得，由三角形的面积公式可得，结合已知，用可证得，于是可得这两个三角形的面积相等，同理可证得，于是可得，然后根据四边形DGBA的面积的和差得S四边形DGBA=2S△AFG可求得△AFG的面积，根据 可得关于FG的方程，解方程即可求解．
9．（2024八上·安吉期中）如图，点是正方形的对角线上一点，于点，于点，连接，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：①过作于点，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴四边是矩形，四边形是矩形，
∴，
∴
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在△AGP和△FAE中
∴（SAS），
∴，
∴此结论符合题意；
②，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，即，
，
，
，即，
∴此结论符合题意；
③由①得：，
∴，
即，
∴此结论符合题意；
④∵在中，，
在中，，
在中，，
∴，
∴此结论符合题意.
故答案为：D．
【分析】①过作于点，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，用边角边可证明，根据全等三角形的对应边相等可求解；
②由平行线的性质易得是等腰直角三角形，然后用勾股定理可求解；
③由①中的全等三角形可求解；
④根据正方形的对角线平分对角的性质，在、、中，用勾股定理可求解.
10．（2024八上·浙江期中）如图，在中，，，的平分线分别交、于点D、E，、相交于点F，连接．下列结论：①；②；③；④点F到三边的距离相等；⑤．其中错误的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：①，只有在是等边三角形时才成立，现有条件无法证明是等边三角形，所以①错误；
②，
，
平分，平分，
，，
，
，所以②正确；
③平分
当时，
而原不确定，所以③错误；
④，的平分线分别交、于点，，、相交于点，
为三角形的内心，
点到三边的距离相等正确．所以④正确；
⑤如图，在上截取，
平分，
，
，
．
由②知，
，
，
又平分，
，
．
，
，
，所以⑤正确．
故答案为：B．
【分析】①当是等边三角形时才成立；
②利用三角形的内角和，角平分线的性质以及三角形的外角求出即可；
③当时，，所以③错误；
④根据角平分线上的点到角两边的距离相等可作判断；
⑤作辅助线，证明两对三角形全等：，，可得结论．
二、填空题
11．（2024八上·吴兴期中）如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点的运动时间为．过点作于点．在点的运动过程中，当为　 　时，能使？
【答案】3或9
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；三角形-动点问题；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：①当点P在点C左侧时，如图，
，
在Rt△PED和Rt△PCD中
∴Rt△PED≌Rt△PCD（HL），
∴．
中，，．
中，，，
∵PC2+AC2=PA2，
∴，
解得：；
②当点P在点C右侧时，如图，
连接，同理可得：，
中，，，
∵PC2+AC2=PA2，
∴（2t-12）2+82=(2t-8)2，
解得：t=9；
综上可得，或9时，．
故答案为：3或9．
【分析】由题意可分两种情况：①当点P在点C左侧时，如图，用HL定理可证Rt△PED≌Rt△PCD，由全等三角形的对应边相等可得PC=PE，在Rt△ADE中，用勾股定理可求出AE的值；在中，用勾股定理可得关于t的方程，解方程求出t的值；②当点P在点C右侧时，如图，连接，同理可求解．
12．（2024八上·拱墅期中）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于点G，且．若，则的度数是　 　．
【答案】36°
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接，
，，
∴垂直平分，
，
，
∵是边上的高线，是边上的中线，
，
，
∵，
，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
，
故答案为：36°．
【分析】连接，根据垂直平分线的性质得到，由等腰三角形“等边对等角”性质有，再根据直角三角形斜边上中线性质得到，从而得，进而结合三角形外角性质有，最后根据三角形内角和定理得到，解方程求出，于是得到的度数．
13．（2024八上·余杭期中）在中，，将一块足够大的直角三角尺按如图所示放置，顶点在线段AB上滑动，PM始终经过点，斜边PN交AC于点.在点滑动过程中，为等腰三角形时，则点与点的距离BP为　 　.
【答案】0或或 （不化简也对）
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形；分类讨论
【解析】【解答】解：在点P滑动过程中，为等腰三角形，共三种情况，
①当时，则
∴
过点P作于D，如图，
则为等腰直角三角形，
∴
∵
∴
在中，
∴
∵
∴
∴
∴
②当时，则
∴如图，
在中，
∴
∴
∴
∴
③当时，则
此时点B与点P重合，点D与点A重合，过点C作于E，如图，
∴
综上所述，点与点的距离BP为：0或或
故答案为：0或或.
【分析】在点P滑动过程中，为等腰三角形，需分三种情况讨论，①当时，则进而得到过点P作于D，则为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理求出BP即可；②当时，则进而得到然后在中根据含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理求出BP即可；③当时，则此时点B与点P重合，点D与点A重合，过点C作于E，由此可得到BP的长度，综上所述即可求解.
14．（2024八上·杭州期中）如图所示，在等腰中，，点为射线上的动点，，且，与所在的直线交于点，若，则　 　．
【答案】或
【知识点】三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：①点在点左侧，
作，交的延长线于，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
根据题意知，，
设，则，
，
，
∴；
②如图，点在点右侧，作于，
用①中同样的解法可以得到，，
设，，，
，
∴．
故答案为：或．
【分析】
由于点D在射线CB上运动，当点D在点B左侧时，过点E作AC的垂线段交AC的延长线于点H，则可利用一线三等角全等模型证明，则由全等的性质结合已知可继续证明，则可得，再借助已知条件即可计算；当点D在点B右侧时，同理过点E作AC的垂线段EM，则可先证，再证，则、，再借助已知条件计算即可．
15．（2024·凉州模拟）如图，在中，，点D，E，F分别是线段的中点，下列结论：①为等边三角形．②．③．④．其中正确的是　 　．
【答案】①②④
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；角平分线的概念；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：①，D为的中点，
，，
是等边三角形，是等腰三角形，
，，
是线段的中点，
，，
，
E分别是线段的中点，
，，
设，则，
，，
，
，
，
是等边三角形，①正确；
②分别为的中点，
∴，
∴，
∴，
，
，
，故②正确；
③，
，故③错误；
④是等边三角形，，
∴，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
，故④正确；
综上所述，①②④都正确；
故答案为：①②④．
【分析】根据等边三角形和等腰三角形的判定与性质结合题意得到，，，，再根据直角三角形斜边上的中线的性质结合题意得到，，设，则，根据勾股定理结合题意得到，，再根据等边三角形的判定即可判断①；根据三角形中位线定理结合题意得到，进而根据平行线的性质得到，根据勾股定理表示出DE，再根据三角形的面积结合题意等量代换即可判断②；根据题意等量代换即可判断③；根据等边三角形的性质结合题意得到，，再根据含30°角的直角三角形的性质结合勾股定理即可判断④.
16．（2024八上·嘉兴期末）如图，中，，点D是上一动点，将沿折叠得到，当与重叠部分是直角三角形时，的度数为　 　．
【答案】或或
【知识点】等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠B=40°，
∴∠C=∠B=40°，∠BAC=100°.
∵ △ABD沿AD折叠得到△ADE，
∴∠BAD=∠EAD，∠B=∠E.
当与重叠部分是直角三角形时，有三种情况：
（1）AE⊥BC.
∴∠BAE=∠CAE=50°.
∴∠BAD=∠EAD=25°；
（2）AD⊥BC，
则BD=CD，∠BAD=∠CAD，C和E两点重合.
∴∠BAD=∠CAD=50°；
（3）DE⊥AC，如图：
∵∠E=40°，
∴∠EAF=50°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAF=150°.
∵∠BAD=∠EAD，
∴∠BAD=75°.
故答案为：25°或50°或75°.
【分析】根据折叠得到∠BAD=∠EAD，∠B=∠E，根据重叠部分是直角三角形分为3种情况进行讨论：（1）AE⊥BC；（2）AD⊥BC，（3）DE⊥AC，每种情况结合∠BAD=∠EAD再利用等腰三角形“三线合一”的性质即可计算出结果.
17．（2024八上·杭州期中）如图，在中，，点在内，平分，连接，把沿折叠，落在处交于，恰有若，，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：延长AD交BC于点G，如图，
∵ AB=AC，AD平分∠BAC，
∴ AG⊥BC，
∵ CE⊥AB，
∴ ∠BFC=90°，
∴ ∠B+∠BCF=90°，
∵ △ADC翻折后得到△DCE，
∴ ∠ACD=∠DCE，
∵ ∠B=∠C，
∴ ∠C+∠BCF=90°，
即2∠DCE+2∠BCF=90°，
∴ ∠DCB=45°，
∴ △DCG为等腰直角三角形，
∴ DG=CG=BC=5，
∴ AG=AD+DG=12，
∴ AC=AB=13，
∵ S△ABC=BC·AG=AB·CF，
∴ CF=，
∴ EF=EC-CF=AC-CF=13-=；
故答案为：.
【分析】延长AD交BC于点G，根据等腰直角三角形的性质可得AG⊥BC，根据翻折的性质可得∠ACD=∠DCE，推出 ∠DCB=45°进而可得△DCG为等腰直角三角形，根据勾股定理可得AB=AC=13，再根据等面积法求得CF的长，根据EF=AC-CF即可求得.
18．（2024八上·镇海区期中）如图，在等腰中，于点，点和分别在线段和线段上，连结，则平分，且满足，若，则的面积为　 　．
【答案】6
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
设，
∴，
∵，
∴在中，，
在中，，
∴，
∴，则，即，
如图所示，过点作，交与点，
∵，，
∴，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
如图连接，交于点，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
延长交于点，
∴，，
∴是等腰直角三角形，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
解得，，
∴，
在等腰直角中，，
∴，
故答案为： ．
【分析】设，则可得，过点作，交与点，得到，即可得到，连接，交于点，然后证明，即可得到，延长交于点，则是等腰直角三角形，得到，设，则，求出，再运用勾股定理可得，然后根据三角形的面积公式计算即可求解．
19．（2024八上·杭州期中）如图，已知和均为等边三角形，点O是的中点，点D在射线上，连结，则　 　，若，则的最小值=　 　．
【答案】；．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵的等边三角形，点O是的中点，
∴，
∵和均为等边三角形，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
当时，的长度最小，
∵，
∴最小值．
故答案为：．
【分析】根据等边三角形的性质可得，AB=AC，AD=AE，可推出∠BAD=∠CAE，同时可求出∠ABD的度数，利用SAS证明，利用全等三角形的性质可求出∠ABD的度数，同时可证得∠AEC=∠ADB，结合垂线段最短性质，可知当时，的长度最小，然后求出OE的最小值.
20．（2024八上·杭州期中）如图，在中，，分别以AB，AC为边在外作等边和等边，连结BE，CD.
（1），则　 　；
（2）若，则CD的长为　 　.
【答案】（1）
（2）
【知识点】三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）∵△ACE是等边三角形，
∴∠ACE＝60°＝∠ACB，
∴∠BCE＝120°，
又∵∠BEC＝24°，
∴∠CBE＝180° ∠BCE ∠BEC＝180° 120° 24°＝36°，
故答案为：36；
（2）∵△ABD和△ACE是等边三角形，
∴AD＝AB，AE＝AC＝CE＝8，∠DAB＝∠CAE＝60°，
∴∠DAC＝∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD＝BE，
过点E作EF⊥BC于点F，
∵∠BCE＝120°，
∴∠CEF＝∠BCE ∠F＝120° 90°＝30°，
∴CF＝CE＝4，
∴，
BF＝BC＋CF＝6＋4＝10，
∴；
故答案为：.
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠ACE＝60°，然后根据三角形的内角和定理解题即可；（2）根据等边三角形的性质可以证明△DAC≌△BAE，即可得到CD＝BE，过点E作EF⊥BC于点F，然后利用勾股定理计算即可．
三、综合题
21．（2024八上·余杭期中）在中，，于点，点E，F分别在AC，BC上，且与CD交于点.
（1）如图1，当点与点重合时，
①求证：；②直接写出的值.
（2）如图2，当点在AC边上时
①依题意补全图2；②的值是否发生变化，请说明理由.
【答案】（1）解：①∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴∠BAF＝∠BAC＝×45°＝22.5°，∠B＝∠ACB＝（180°－45°）＝67.5°
∵CD⊥AB， ∴∠BDC＝∠NDA＝90°，
∵∠BAC＝45° ∴∠DCA＝∠DAC＝45°
∴DA＝DC，∠BCD＝67.5°－45°＝22.5°
∴∠BCD＝∠DAN
在△ADN和△CDB中
∴△ADN≌△CDB
②∵△ADN≌△CDB，
∴
∴.
（2）解：①如图2：
②值不变，即．
理由如下：
作EG∥AB，交BC，CD分别于G，H
∵∠A＝45°，∠B＝∠ACB＝67.5°，∠BDC＝90°
∴∠EGC＝∠ABC＝∠ACB＝67.5°，∠CEG＝∠BAC＝45°
∠CHG＝∠CHE＝90°
∴EG＝EC
同理（1）①，可得△EHN≌△CHG，
∴EN＝CG
∵EG＝EC，EF⊥CG
∴CF＝CG
∴
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的综合
【解析】【分析】（1）①证明为等腰直角三角形并结合"AAS"证明即可；
②结合①中的全等得到：进而即可求解；
（2）①作EF⊥BC于F，交CD于N即可；
②作EG∥AB，交BC，CD分别于G，H，得到：∠EGC＝∠ABC，∠CEG＝∠BAC，进而证明，则，最后根据垂直平分线的性质即可求解.
22．（2024八上·吴兴期中）在中，，，是的中点．点是上的点，将沿所在的直线对折，记点的对应点为．
（1）当时，求的度数．
（2）当点落在的一边上时，求的度数．
（3）当点落在直线上方，且对折后重叠部分为等腰三角形时，求的度数．
【答案】（1）解：如图，
由折叠得，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：当落在上时，如图，
由折叠得，由折叠得
∴，
∴；
当落在上时，如图，
∵是的中点，
∴，
由折叠得，由折叠得
∴
∴，
∴；
当落在上与点重合时，如图，
∵是的中点，
∴，
由折叠得，由折叠得
∴，
∴，
综上可得，的度数为或或
（3）解：当与相交时，令交点为，当时，设，
由折叠可得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，设，
由折叠可得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当与相交时，，不符合题意，
由（）得当落在上时，，
∴，
此时，重叠部分不是等腰三角形，不符合题意，
当不落在上时，重叠部分不为等腰三角形，不符合题意，
综上可得，的度数为或
【知识点】等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）由折叠得，，，根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得，然后由角的构成求出的度数，再根据用三角形的内角和等于180°即可求解；
（2）由题意分三种情况：落在上时，落在上，落在上时，也与重合，及落在上与点重合，然后由三角形的内角和等于180°以及折叠的性质即可求解；
（3）与相交时，令交点为，由题意分两种情况：当和，结合折叠的性质和三角形的内角和定理计算即可求解．
（1）解：如图，
由折叠得，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：当落在上时，如图，
由折叠得，由折叠得
∴，
∴；
当落在上时，如图，
∵是的中点，
∴，
由折叠得，由折叠得
∴
∴，
∴；
当落在上与点重合时，如图，
∵是的中点，
∴，
由折叠得，由折叠得
∴，
∴，
综上可得，的度数为或或；
（3）解：当与相交时，令交点为，
当时，设，
由折叠可得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，设，
由折叠可得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当与相交时，，不符合题意，
由（）得当落在上时，，
∴，
此时，重叠部分不是等腰三角形，不符合题意，
当不落在上时，重叠部分不为等腰三角形，不符合题意，
综上所述，的度数为或．
23．（2024八上·杭州期中）如图1，已知在中，，已知，．是边上一动点，连接，以为对称轴将翻折至．
（1）若时．
①求证：；
②求折痕的长．
（2）如图2，若时，以为原点，直线为轴，建立平面直角坐标系，求此时的坐标．
【答案】（1）①证明：∵，
∴，
∵以为对称轴将翻折至，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
②解：如图，过点作，垂足为.
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴折痕的长为；
（2）解：如图，延长交轴于点，设交于点.
∵，
∴，
∴
∴
∴的坐标为．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）①由平行线的性质可得，由折叠的性质可得，等量代换得，等角对等边得，再结合折叠的性质等量代换可得；
②作斜边上的高，利用勾股定理先求出，再由等面积法求出高，再由勾股定理求出，再借助结论（1）可得，再利用勾股定理即可；
（2）设于，交于点，则平行线的性质结合折叠的性质可证，则由的坐标可利用勾股定理求得，再利用等面积法可求得，再由色股定理可求得，再由折叠的性质结合角平分线的性质可得，再利用HL可判定，则得，同利用HL判定，则，则坐标可得．
（1）①证明：∵，
∴，
∵以为对称轴将翻折至，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
②解：设交于，如图，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴，
∴折痕的长为；
（2）解：设于，如图，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
设，则，，
∵以为对称轴将翻折至，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
解得（舍去）或，
∴，，
∴的坐标为．
24．（2024八上·长兴期中）如图1，直线AM⊥AN，AB平分∠MAN，过点B作BC⊥BA交AN于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以2cm/s的速度沿射线AN方向运动，动点D以1cm/s的速度沿射线AM方向运动；已知AC=6cm，设动点D，E的运动时间为t.
（1）求∠ACB的度数；
（2）当点D在射线AM上运动时满足AD：CE=2：3，求点D，E的运动时间的值：
（3）当动点D在射线AM上运动，点E在射线AN上运动过程中，是否存在某个时间，使得△ADB与△BEC全等 若存在，请求出此时BD的长：若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：如图 1 中，
∵AM⊥AN，
∴∠MAN＝90°，
∵AB 平分∠MAN，
∴∠BAC＝45°，
∵CB⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝45°．
（2）解：∵AD：CE＝2：3，AD＝t，AE＝2t，
∴t：|6﹣2t|＝2：3，
∴t＝ 或 t＝12 秒．
（3）解：存在．∵BA＝BC，∠BAD＝∠BCE＝45°，
∴当 AD＝EC 时，△ADB≌△CEB，
∴t＝6﹣2t， ∴t＝2s，
∴满足条件的 t 的值为 2s．
此时 AD=2，AE=4， 有勾股定理，得 E2=AD2 + AE2 = 20
∵△ADB≌△CEB
易证，△DBE 是等腰直角三角形
易得，BD=
【知识点】全等三角形的实际应用；勾股定理的应用；角平分线的概念；三角形-动点问题
【解析】【分析】(1)由题意得到∠BAC＝45°，从而在直角三角形中求得∠ACB度数；
(2)根据题意得到AD＝t，AE＝2t，列出关于t的方程求解即可；
（3）由BA＝BC，∠BAD＝∠BCE＝45°得到当 AD＝EC 时，△ADB≌△CEB，列出方程求得t的值，进而求解.
25．（2024八上·永康期中）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边长为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕D旋转，AD=4，DM=3.
（1） 在旋转过程中，
①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长；
②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长；
（2） 当摆动臂AD顺时针旋转，点D的位置由外的点D1转到其内的点D2处，连接D1D2如图2，此时∠AD2C=，CD2=，求BD2的长.
【答案】(1)解：①或
②显然不能为直角，
当为直角时，
当为直角时，
(2))解：连结，如图，由题意得，
又∵
即
又∵
.
【知识点】勾股定理的应用；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)①根据已知条件，分或两种情况讨论，可求得答案；
②由题意分成当A、D、M为直角顶点时三种情况讨论，再分别用直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求得答案；
(2)连结，结合题意可得，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出CD1的值，然后利用两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等证得 △BAD2≌△CAD1，根据全等三角形的对应边相等即可求解.
26．（2024八上·江北期中）如图1，过△ABC的顶点A分别作对边BC上的中线AD和高线AE．
（1）在图1中，若AB=15，AC=13，BC=14，BE=a，分别求出a， 的值；
（2）①如图1，猜想和之间的关系，并证明你的结论；
②如图2，∠MON=45°，点P是边OM上一动点，点Q是边ON上一点，且OQ=8， 则的最小值为 ▲ ．
【答案】（1）解：∵是边上的中线，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
移项合并同类项得
，
解得：，
∴，，
在中，，
∴，
即的值为9，
的值为197
（2）解：①由（1）可知，
∵，
∴
②48.
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；三角形的中线；三角形的高
【解析】【解答】解：（2） ②存在最小值，
若，则
在中，，
∴，
，
∴；
若，则
过点作于点，
当时，
∵，，
∴，，，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，有最小值48；
当时，
∵，，
∴，，，
∴，
∴
，
∵，此时即，
∴此时，，即；
综上所述，的最小值为48.
【分析】（1）根据勾股定理，在和中，确定，求出值，根据为中线，确定值，的值在，利用勾股定理，求出，即可以求出的值.
（2）①根据（1）中已知条件和值，求出值，根据（1）中求出的的值去判断.
②分四种情况分别讨论当，，，时，利用直角三角形的勾股定理求出的值的情况，确定最小值.
27．（2024八上·鹿城期中）如图，于点，连接，，，，点在线段上运动时（不与A，重合），点在线段上，满足，连接．当为中点时，恰好与点重合．
（1）求的长．
（2）若，运动到中点时，求证：直线．
（3）连接，当是等腰三角形时，请写出所有符合条件的的长．
【答案】（1）解：∵于点E，∴，
∵，，
∴，
∵当P为中点时，Q恰好与点E重合，且，
∴，
∴，
∴的长是12．
（2）证明：由已知得，当P为中点时，Q恰好与点E重合，如图，延长交于点F，
∵，P为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：当是等腰三角形，且时，如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
时，如图，
∵，且，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵垂直平分，
∴若点Q与点C重合，则，
∵点P不与B重合，且，
∴点Q不与点C重合，
∴不存在的情况；
综上所述，的长为或．
【知识点】垂线的概念；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）利用勾股定理得到，再根据中点得到，然后利用线段的和差求出；
（2）延长交于点F，即可得到，进而求出，可以证明，即可得到结论；
（3）分，，三种情况，分别利用勾股定理和三线合一解题即可．
（1）解：∵于点E，
∴，
∵，，
∴，
∵当P为中点时，Q恰好与点E重合，且，
∴，
∴，
∴的长是12．
（2）证明：由已知得，当P为中点时，Q恰好与点E重合，
如图，延长交于点F，
∵，P为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：当是等腰三角形，且时，如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
时，如图，
∵，且，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵垂直平分，
∴若点Q与点C重合，则，
∵点P不与B重合，且，
∴点Q不与点C重合，
∴不存在的情况；
综上所述，的长为或．
28．（2024八上·杭州期中）如图，已知等边，点为内的一点，连接.以CD为边向CD上方作等边，连接AE（）.
（1）求证：.
（2）若，则的面积为　 　.
（3）若（为大于1的整数）.求证：.
【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，BC＝AC，
∵△CDE是等边三角形，
∴∠DCE＝60°，CD＝CE，
∴∠BCA＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BDC和△AEC中，
∴△BDC≌△AEC（SAS）
（2）
（3）证明：∵△CDE是等边三角形，
∴∠CED＝60°，DE＝DC＝2n
∵△BDC≌△AEC，
∴∠AEC＝∠BDC，AE＝DB，EC＝DC，
∵DB＝，
∴AE＝，
∴，
∴△ADE是以AD为斜边的直角三角形，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEC＝∠AED＋∠CED＝150°，
∴∠BDC＝∠AEC＝150°，
∵∠ADB＝120°，
∴∠ADC＝360° ∠ADB ∠BDC＝90°，
在Rt△ACD中，
【知识点】三角形的综合
【解析】【解答】解：（2）如图，由（1）知，△BDC≌△AEC，
∴∠CBD＝∠CAE，BD＝AE，
∵AE＝AD，
∴BD＝AD，
∴∠ABD＝∠BAD，
∵∠ADB＝120°，
∴∠ABD＝∠BAD＝30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，
∴∠CBD＝∠ABC ∠ABD＝30°，∠CAD＝∠BAC ∠DAB＝30°，
∴∠CAE＝∠CBD＝30°，
∴∠DAE＝∠CAD＋∠CAE＝60°，
∵AD＝AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝DE，∠ADE＝60°，
∵△CDE是等边三角形，
∴DE＝CD＝2n，
∴AD＝2n，
过点E作EF⊥AD于F，
在Rt△DEF中，DF＝DE＝n，
根据勾股定理得，，
∴S△ADE＝AD EF＝
故答案为：；
【分析】（1）先根据等边三角形的性质得出BC＝AC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCE，进而得出∠BCD＝∠ACE，即可得出结论；
（2）先判断出△ADE是等边三角形，再求出它的边，即可得出结论；
（3）先利用勾股定理逆定理判断出∠AED＝90°，进而求出∠ADC＝90°，最后用勾股定理即可得出结论．
29．（2024八上·杭州期中）在 ABC中， ∠ACB=90°，AC=BC， D为边AB上一点.
（1）如图1，若AC=， AD=3， 求 CDB的面积；
（2）如图2， 作DE⊥CD， 且DE=CD， 连结 CE交边AB 于点F， 连结BE.
①若BC=BD，求证： ∠ADC=∠BED；
②若BD>BC， 写出线段 BC， BE， CE 长度之间的等量关系，并说明理由
【答案】（1）解：过点C作CM⊥AB于M， 如图1，
∵∠ACB=90°，
∵CM⊥AB，
∵AD=3，
∴DB = AB﹣AD =12﹣3=9，
∴△CDB的面积
（2）①证明： ∵DE⊥CD，
∴∠CDE=∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠ACD+∠CDB+∠BDE=90°，
∵BC =BD，
，
理由如下：
如图， 过点C作于M， 过E作 于N，
∴∠CMD=∠DNE=90°，
∴∠MCD+∠MDC=90°，
∵DE⊥CD，
∴∠MDC+∠NDE=90°，
∴∠MCD=∠NDE，
∵CD=DE，
∴△CDM≌△DEN(AAS)，
∴CM =DN， DM=EN，
∴DM+MN=CM，
∵∠ACB=90°， AC =BC，
∴∠ABC =45°，
由 (1) 知，
∴BM=MN+BN=CM=DM+MN，
∴DM=BN=EN，
∴△BNE是等腰直角三角形，
∴∠ABE=45°，
∴∠CBE =∠ABC+∠ABE =90°，
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)过点C作CM⊥AB于M，由等腰直角三角形的性质得 求出DB=9， 然后利用三角形的面积公式计算即可；
(2)①根据SAS证明△ACD≌△DBE(SAS)， 即可解题；
②过点C作CM⊥AB于M， 过E作EN⊥AB于N，可以得到△CDM≌△DEN(AAS)，即可得CM = DN，DM=EN， 进而得到DM+MN=CM， 由 (1) 得 推导出DM=BN=EN， 即可解题.
30．（2024八上·钱塘期中）某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出：“锐（钝）角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题．首先定义了一个新的概念：如图（1）中，是的中点，是射线上的点，设．若，则称为勾股比．
（1）如图（1），过、分别作中线的垂线，垂足为、．求证：．
（2）①如图（2），当，且时， （填一个恰当的数）．
②如图（1），当，为锐角三角形，且时，①中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，也请说明理由．
【答案】（1）证明：是的中点，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：①，是的中点，
，，
，
，
，
∴，
，
故答案为：；
②成立，证明如下：
，是的中点，
，
，
，
，
由（1）得，
，，
设，，
∴，，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）先求出，，然后由全等三角形的判定“”证明，即可得；
（2）①根据等腰三角形“三线合一”以及直角三角形斜边上的中线性质得，，由，得，从而得，然后利用勾股定理得，进而得；
②先证明，由（1）的三角形全等可设，，则，，利用勾股定理得到，的值，于是求出，即可证明.
（1）证明：是的中点，
，
于点，交的延长线于点，
，
在和中，
，
，
．
（2）解：①，是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
②成立，
证明：如图（1），，是的中点，
，
，
，
，
，
由（1）得，
，，
设，，
则，，
，
，
，
，
，
，
．
31．（2024八上·瑞安期中）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC， AB=4，点D是射线AB上的一个动点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CD，连结BD.
（1）如图1，若动点D在线段AB上运动时，求证：△ACD≌△CBD.
（2）如图2，若动点D在射线AB上运动时，连结AD，DD.
①当△ADD为等腰三角形时，求线段AD的长.
②当线段AD= 时， △CDB与△DDB的面积存在3倍的关系.
【答案】（1）证明：由旋转可得CD=CD，∠DCD=90°
∵∠ACB=90°
∴∠ACB-∠DCB =∠DCD-∠DCB即
在△ACD和△BCD'中
∴△ACD≌△BCD'(SAS)
（2）解：①当点D在线段AB上运动时
由(1)△ACD≌△BCD可得AD=BD，∠A =∠CBD=45°
∴∠ABD=90°不难发现∠ADD＞90°
所以要使得△ADD为等腰三角形，只有AD=DD
设AD=x，则BD=x，DD=x，BD=4-x
由勾股定理可得DD2=BD2+ BD2
x2=x2+(4-x)2解得x=4即点D与点B重合；
当点D在AB延长线上运动时
由(1)的经验不难发现△ACD≌△BCD可得AD=BD，∠A =∠CBD=45°
∴∠ABD=∠DBD=90°
∴在Rt△ABD和Rt△BDD中斜边AD＞BD，斜边DD＞BD
即AD＞AD，DD＞AD
所以要使得△ADD为等腰三角形，只有AD=DD
根据等腰三角形的三线合一可得AD=2AB=8
综上所述AD=4或8；
②或6
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（2）②过点C作CE⊥AB，
∵AC=BC，AB=4，∠ACB=90°，
∴，
∵CE⊥AB，
∴CE=2，
∵ △CDB与△DD'B的面积存在3倍的关系，
∴或6，
∵△ACD≌△BCD'
∴或6.
故答案为：或6
【分析】（1）由旋转可知CD=CD，∠DCD=90°，得出，再根据SAS可求出△ACD≌△BCD；
（2）由(1)△ACD≌△BCD'可得AD=BD'，∠A =∠CBD=45°，再根据勾股定理和等腰三角形的性质即可求出.
32．（2024八上·拱墅期中）在等腰△ABC中，AB=AC，点D是AC上一动点，点E在BD的延长线上，且AB=AE，AF平分∠CAE交DE于点F，连结FC．
（1）如图1，求证：∠ABE＝∠ACF；
（2）如图2，当∠ABC＝60°时，在BE上取点M，使BM=EF，连结AM．
求证：△AFM是等边三角形；
（3）如图3，当∠ABC＝45°时，且AEBC时，求证：BD=2EF．
【答案】（1）证明：∵平分，，，，
在和中，，，，
，，
（2）证明：如图，在上截取，连结，
∵，∴，
在和中，，∴，
∴，
∵，∴是等边三角形，∴，
∴，
∵，∴为等边三角形；
（3）证明：如图3，延长、交于，
，，，，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
，，即，
，
，
在和中，，
，
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得到：，再根据题意可得到：然后利用"SAS"证明，则，进而即可求证；
（2）在上截取，连结，根据全等三角形的性质得到：，然后利用"SAS"证明则，再由等边三角形的性质即可证明为等边三角形；
（3）延长、交于，利用"ASA"证明，则，再证明，则进而即可求证.
33．（2024八上·义乌期中）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝140°．
（1）如图1，D为BC边上一定点（不与点B，C重合），将△ABD沿AD翻折至△AB'D，连结B'C，求∠BAD与∠DCB'的数量关系．
（2）如图2，当点D在BC边上运动时，仍将△ABD沿AD翻折至△AB'D，连结B'C．
①当AB'⊥BC时，求∠AB'C的度数．
②当△DB'C为等腰三角形时，求∠BAD的度数．
【答案】（1）结论：∠BAD＝∠DCB'
理由：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=（180°-∠BAC）=（180°-140°）=20°，
∵ 将△ABD沿AD翻折至△AB'D，
∴△ABD≌△AB'D，
∴AB=AB'，∠BAD=∠B'AD，
设∠BAD=∠B'AD=x，
∴∠B'AC=∠BAC-2∠BAD=140°-2x，
∴∠AB'C=∠ACB'=（180°-∠B'AC）=（180°-∠BAC+2∠BAD）=（180°-140°+2∠BAD）=20°+x，
∴∠DCB'=∠ACB'-∠ACB=20°+x-20°=x，
∴∠BAD=∠DCB'
（2）55°或35°
解：①当点B'在BC的下方时，
∵AB'⊥BC，AB=AC，
∴∠CAB'=∠BAC=×140°=70°，
∵将△ABD沿AD翻折至△AB'D，
∴AB'=AB=AC，
∴∠AB'C=∠ACB，
∴∠AB'C=（180°-∠CAB'）=（180°-70°）=55°
当点B'在BC的上方时，
∵AB'⊥BC，AB=AC，
∴∠HAC=∠BAC=×140°=70°，
∴∠B'AC=180°-∠HAC=180°-70°=110°，
同理可证AB'=AC，
∴∠AB'C=∠ACB'=（180°-∠B'AC）=（180°-110°）=35°；
∴∠AB'C的度数为55°或35°；
②由（1）可知∠BAD=∠DCB'，
设∠BAD=x，
当点B'在BC的下方时，此时∠DCB=x
∵将△ABD沿AD翻折至△AB'D，
∴∠B=∠AB'D=20°，∠B'AC=140°-2x，AB'=AB=AC，
∴∠ACB'=∠AB'C=（180°-∠B'AC）=（180°-140°+2x）=20°+x，
∴∠DB'C=20°+20°+x=40°+x，∠CDB'=180°-40°-x-x=140°-2x，
∵△DB'C是等腰三角形，
当DC=B'C时，∠CDB'=∠DB'C
∴140°-2x=40°+x
解之：x=；
当CD=DB'时，∠DB'C=∠DCB'
∴40°+x=x，此方程无解，此种情况不符合题意；
当DB'=B'C时，∠CDB'=∠DCB'，
∴140°-2x=x
解之：x=；
当点B'在BC的上方时，
设∠BAD=x，
∠ADC=∠BAD+∠B=x+20°，
∠ADB=∠ADB'=180°-∠B-∠BAD=180°-20°-x=160°-x，
∴∠B'DC=∠ADC-∠ADB'=x+20°-（160°-x）=2x-140°，
∵∠BAD=∠B'AD=x，
∴∠B'AC=∠BAD+∠B'AD-∠BAC=2x-140°，
∴∠AB'C=∠ACB'=（180°-∠B'AC）=（180°-2x+140°）=160°-x，
∵∠DB'C=∠AB'C=∠AB'D
∴∠DB'C=160°-x-20°=140°-x
∵∠DCB'=∠ACB+∠ACB'
∴∠DCB'=20°+160°-x=180°-x，
当DB'=DC时，∠DB'C=∠DCB'
∴140°-x=180°-x，此方程无解，故此种情况不符合题意；
当DB'=B'C时，∠B'DC=∠B'CD，
∴2x-140°=180°-x
解之：x=；
当DC=B'C时，∠B'DC=∠DB'C
∴2x-140°=140°-x
解之：x=，
综上所述，∠BAD的度数为或或或．
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的综合
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠B和∠ACB的度数，再利用折叠的性质可得到AB=AB'，∠BAD=∠B'AD，设∠BAD=∠B'AD=x，可表示出∠B'AC的度数，再利用三角形的内角和定理可表示出∠AB'C和∠ACB'的的数，然后可表示出∠DCB'，据此可得到∠BAD与∠DCB'的数量关系.
（2）①分情况讨论：①当点B'在BC的下方时，利用等腰三角形的性质可求出∠CAB'的度数；利用折叠的性质可推出AB'=AB=AC，利用等边对等角可证得∠AB'C=∠ACB，然后利用三角形的内角和定理求出∠AB'C的度数；当点B'在BC的上方时，利用等腰三角形的性质可求出∠HAC的度数；利用折叠的性质可推出AB'=AB=AC，利用等边对等角可证得∠AB'C=∠ACB，然后利用三角形的内角和定理求出∠AB'C的度数；综上所述可得到符合题意的∠AB'C的度数；②由（1）可知∠BAD=∠DCB'，设∠BAD=x，当点B'在BC的下方时，则∠DCB=x，利用折叠的性质可表示出∠B'AC的度数，同时可证得
AB'=AB=AC，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可表示出∠ACB'和∠AB'C的度数，同时可表示出∠DB'C的度数；再利用等腰三角形的概念，分情况讨论：当DC=B'C时，∠CDB'=∠DB'C；当CD=DB'时，∠DB'C=∠DCB'；当DB'=B'C时，∠CDB'=∠DCB'，分别可得到关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值；当点B'在BC的上方时，设∠BAD=x，利用三角形的外角的性质可表示出∠ADC的度数，利用三角形的内角和定理可表示出∠ADB和∠ADB'的度数，根据∠B'DC=∠ADC-∠ADB'，可表示出∠B'DC的度数，再表示出∠B'AC、∠DB'C、∠DCB'的度数；再分情况讨论：当DB'=DC时，∠DB'C=∠DCB'；当DB'=B'C时，∠B'DC=∠B'CD；当DC=B'C时，∠B'DC=∠DB'C；分别可得到关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值；综上所述，可得到符合题意的∠BAD的度数.
34．（2024八上·杭州期中）如图，在中，为锐角，点为射线上一点，连接，以为一边且在的右侧作正方形．
（1）如果，．
①如图，当点在线段上时与点不重合，线段、所在直线的位置关系为 ，线段、的数量关系为 ；
②如图，当点在线段的延长线上时，中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（2）如果，是锐角，点在线段上，当　 　时，点、不重合请直接写出答案，如若需要，自行绘图
【答案】（1）解：①，当点在线段的延长线上时，中的结论仍然成立，理由如下：
由正方形得，，
，
，
，
在和中，
，
，，
，，
，
，
，
即，
综上所述，当点在线段的延长线上时，中的结论仍然成立；
（2）
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）①∵ 四边形ADEF为正方形，
∴ AD=AF，∠DAF=90°，
∴ ∠BAD=∠CAF，
∵ AB=AC，
∴ △DAB≌△FAC（SAS），
∴ BD=CF，∠ABD=∠ACF=45°，
∴ ∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD；
（2）∠ACB=45°，CF⊥BC，如图，
过点A作AG⊥AC交BC于点G，
∴ ∠GAC=90°，
由（1）可知，当AG=AC时，即∠ACB=45°时，CF⊥BD.
故答案为：（1）CF⊥BD；CF=BD；【分析】（1）① 根据正方形的性质可得AD=AF，∠DAF=90°，推出∠BAD=∠CAF，依据SAS判定△DAB≌△FAC得到BD=CF，∠ABD=∠ACF=45°，进而推出∠BCF=90°；
② 同①中的方法，先证明△DAB≌△FAC，进而得到BD=CF，CF⊥BD；
（2）过点A作AG⊥AC交BC于点G，根据（1）中的结论可得AC=AG时满足条件，即可求得.
35．（2024八上·镇海区期中）等边中，点分别在边上，连结，以点为中心将逆时针旋转得到，连结，设．
（1）当时，如图1，点在上．求证：；
（2）当时，如图2，连接，请求出的度数；
（3）当时，如图3，连接，当取得最小值时，_____．
【答案】（1）证明：以点为中心将逆时针旋转得到，
由旋转性质可知，，
，
是等腰三角形，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，且是的一个外角，
，
，
，
在和中，
，
（2）解：过点作交于、交于，如图所示：
是等边三角形，
，，
，
，，
在中，，则是等边三角形，
，
以点为中心将逆时针旋转得到，
由旋转性质可知，，
，
是等腰三角形，
，
是等边三角形，
，，
，，，
，
，
，
，且是的一个外角，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，且是的一个外角，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
，
，
是等腰三角形，即，
，，
（3）
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】（3）解：作于，如图所示：
，
是等边三角形，
，，
在中，，由所对的直角边是斜边的一半可知，
，当时，
，
，
，，，
，
以点为中心将逆时针旋转得到，
由旋转性质可知，，
，
是等腰三角形，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，且是的一个外角，
，
，
，
在和中，
，
，
点在过点垂直于的射线上运动，
是定点、点在射线上运动，求的最小值，
由动点最值问题-将军饮马问题的解法可知，作点关于的对称点，连接交延长线于，如图所示：
是垂直平分线段，
，则，
由两点之间线段最短可知，当三点共线时，有最小值为线段，即有最小值为线段，如图所示：
（图中，线段交射线的交点即为取得最小值时动点的固定位置点）
，，
，
在中，，再由所对的直角边是斜边的一半可知，
，
作点关于的对称点，连接交延长线于，
，
，
，
，即是等腰三角形，
，
，
，
在中，，设，则由所对的直角边是斜边的一半可知，
由勾股定理可得，
，
，
在中，，则，
，设，则由所对的直角边是斜边的一半可知，
由勾股定理可得，即，则，解得，从而得到，，
，
，
．
【分析】（1）由等边三角形性质得到，，，，然后根据AAS得到，即可得到结论；
（2）过点作交于、交于，可以得到，即可得到，同理得到，进而得到是等腰三角形即可解题；
（3）作于，可以得到，即可得到，即可以知道点的运动轨迹，于是作点关于的对称点，交延长线于，根据两点之间线段最短，当三点共线时，取最小值，然后利用勾股定理解题即可．
（1）证明：以点为中心将逆时针旋转得到，
由旋转性质可知，，
，
是等腰三角形，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，且是的一个外角，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：过点作交于、交于，如图所示：
是等边三角形，
，，
，
，，
在中，，则是等边三角形，
，
以点为中心将逆时针旋转得到，
由旋转性质可知，，
，
是等腰三角形，
，
是等边三角形，
，，
，，，
，
，
，
，且是的一个外角，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，且是的一个外角，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
，
，
是等腰三角形，即，
，，
；
（3）解：作于，如图所示：
，
是等边三角形，
，，
在中，，由所对的直角边是斜边的一半可知，
，当时，
，
，
，，，
，
以点为中心将逆时针旋转得到，
由旋转性质可知，，
，
是等腰三角形，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，且是的一个外角，
，
，
，
在和中，
，
，
点在过点垂直于的射线上运动，
是定点、点在射线上运动，求的最小值，
由动点最值问题-将军饮马问题的解法可知，作点关于的对称点，连接交延长线于，如图所示：
是垂直平分线段，
，则，
由两点之间线段最短可知，当三点共线时，有最小值为线段，即有最小值为线段，如图所示：
（图中，线段交射线的交点即为取得最小值时动点的固定位置点）
，，
，
在中，，再由所对的直角边是斜边的一半可知，
，
作点关于的对称点，连接交延长线于，
，
，
，
，即是等腰三角形，
，
，
，
在中，，设，则由所对的直角边是斜边的一半可知，
由勾股定理可得，
，
，
在中，，则，
，设，则由所对的直角边是斜边的一半可知，
由勾股定理可得，即，则，解得，从而得到，，
，
，
．
36．（2024八上·余姚期中）如图1，△ABC和△CDE均为等腰三角形，AC＝BC，CD＝CE，AC＞CD，∠ACB＝∠DCE＝α，且点A、D、E在同一直线上，连接BE．
（1）求证：AD＝BE．
（2）如图2，若α＝90°，CM⊥AE于M．若CM＝7，BE＝10，试求AB的长．
（3）如图3，若α＝120°，CM⊥AE于M，BN⊥AE于N，，CM＝b，直接写出AE的值（用a，b的代数式表示）．
【答案】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE
（2）解：设AE交BC于点H，如图2，
由（1）得：△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE＝10，
∵∠AHC＝∠BHE，
∴∠AEB＝∠ACH＝90°，
∵∠ACB＝∠DCE＝α＝90°，CD＝CE，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∵CM⊥DE，
∴CM＝DM＝ME＝7，
∴DE＝2CM＝14，
∵AE＝AD+DE＝10+14＝24，∠AEB＝90°，
∴AB＝＝26
（3）AE＝2a+2b
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（3）AE＝2a+2b；理由如下：∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝120°，
∴∠CDM＝∠CEM＝×（180°﹣120°）＝30°．
∵CM⊥DE，
∴∠CMD＝90°，DM＝EM．
在Rt△CMD中，∠CMD＝90°，∠CDM＝30°，
∴CD＝2CM＝2b，
∴DM＝＝b，
∴DE＝2DM＝2b．
∵∠BEC＝∠ADC＝180°﹣30°＝150°，∠BEC＝∠CEM+∠AEB，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CEM＝150°﹣30°＝120°，
∴∠BEN＝180°﹣120°＝60°．
在Rt△BNE中，∠BNE＝90°，∠BEN＝60°，
∴∠NBE＝90°﹣∠BEN＝30°，
∴BE＝2NE，
∴BN＝＝NE＝a，
∴NE＝a，
∴BE＝2a．
∵AD＝BE，AE＝AD+DE，
∴AE＝BE+DE＝2a+2b
故答案为：AE＝2a+2b.
【分析】（1）根据三角形全等的边角边判定定理，由已知条件，在△ACD和△BCE中，△ACD≌△BCE（SAS），根据三角形的全等定理可以判断AD＝BE；
（2）根据全等三角形定理，△ACD≌△BCE△CDE是等腰直角三角形，根据勾股定理求出AB的值；
（3）根据等腰三角形的性质，DM＝EM，根据直角三角形勾股定理，分别在在Rt△CMD中和Rt△BNE中，求出.
37．（2024八上·杭州期中）如图，在中，E 是中点，F 是上一动点，连接， 将沿直线折叠得．
（1）如图①，若点D 恰好落在线段上，求证：；
（2）如图②，若为等边三角形，且边长为，当点D 落在线段上时，求的长度：
（3）如图③，若为直角三角形，，．连接，若与面积相等，且，求的面积．
【答案】（1）证明：如图①，连接，
∵是的中点，
∴，
∵将沿直线折叠得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴；
（2）解：如图②，过点作于点，
∵是等边三角形，且边长为，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∵将沿直线折叠得，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
解得：，
∴；
（3）解：∵将沿直线折叠得，是的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴点在的中线上，
设，
∵，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
∴．
【知识点】三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接，结合折叠的性质得，，然后根据等腰三角形”等边对等角“性质以及三角形内角和定理求出，，于是得，根据等腰三角形的判定得，则，即可证明是的中位线，最后根据三角形中位线定理得证结论；
（2）过点作于点，根据等边三角形的性质得，，，由折叠的性质得，利用三角形外角的性质得，于是根据等腰三角形的判定得，然后设，则，利用勾股定理得，即可列出关于的方程，解方程即可求解；
（3）先求出，，根据三角形中线的性质得，从而得点在的中线上，然后设，则，利用勾股定理得关于的方程，解方程得，最后利用三角形面积公式进行求解即可.
（1）证明：如图①中，连接．
∵E是的中点，
∴，
由翻折的性质可知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的中位线，
∴；
（2）解：如图②中，过点D作于点H．
∵是等边三角形，，
∴，，
由翻折的性质可知，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图③中，设，
∵，
∴，
∵，
∴点在的中线上，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
四、实践探究题
38．（2024八上·浙江期中）【问题情境】在数学课上，老师出示了这样一个问题：已知，如图1，中，若，，点D为边中点，求边上的中线的取值范围．
经过小组合作交流，找到了解决方法：“倍长中线法”．
（1）请按照上面的思维框图，完成证明．
【探究应用】
（2）已知：如图2，中，是边上的中线，E在边上，连接交于F，且．求证：；
【拓展延伸】
（3）如图3，若，，，是边上的中线，E是上一点，连接交于点F，且，求的长．
【答案】（1）解：如图1，延长至点，使，连接，
点为边中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
在中，，
∵，
，
，
；
（2）证明：如图2，延长到点，使，连接，
是边的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
；
（3）
解：如图3，延长至点，使，连接，
由（1）同理得，
，，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴．
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型
【解析】【分析】（1）延长至点，使，连接，利用“倍长中线”全等模型推出，得，，从而得，然后利用三角形的三边关系得到，进而求出的取值范围，于是求得的取值范围；
（2）延长到点，使，连接，由（1）同理可证明， 得到，，从而得，进而根据等腰三角形“等边对等角”性质得到，最后进行等量代换即可得证结论；
（3）延长至点，使，连接，同理得证，得到，，进行等量代换得，然后根据等腰三角形“等边对等角”性质以及对顶角相等的性质得到，由等腰三角形的判定得到，接下来设，利用勾股定理列方程求出，即可的长．
39．（2024八上·拱墅期中）综合实践
在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组称此图形为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题．
【探究发现】
（1）如图1，在和中，，，，点在上，连接、，且、、三点共线，则图中与线段相等的线段是 ， ．
【初步运用】
（2）如图2，在和中，，，，连接、交于点．找出图中与相等的线段，并证明；
【迁移应用】
（3）如图3，在四边形中，点是四边形内一点，且，，，请计算的值．
【答案】（1）和，
（2），
证明：在和中，，，，
，
即：，
在和中，
，
，
；
（3）解：如图，连接，交于，设、交于，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：在和中，，，，、、三点共线，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
图中与线段相等的线段是和，，
故答案为：和，.
【分析】(1)利用已知可证得点B、D、E三点共线，同时可求出∠ADB、∠CBD的度数；利用SAS可证得△ABD≌△ACE，利用全等三角形的性质可得到BD=CE，∠AEC=∠ADB=105°，再证明∠CBE=∠BEC，利用等角对等边可证得CE=BC，据此可证得结论.
(2)利用已知可证得∠BAD=∠CAE，利用可证，然后根据全等三角形的性质可证得结论.
(3)连接，交于，设、交于，易证，利用SAS可证得△AEC≌△BED，利用全等三角形的性质可得，根据三角形的内角和定理可得，然后利用勾股定理可求出的值.
40．（2024八上·温州期中）【方法探索】
（1）如图，已知平分，点分别在边上，，．小明为了证明，用了如下两种方法：
构图方法 小明得到下列结论 你认为正确的结论是（写序号）
如图，在上取点，使，连接． ①； ②； ③． Ⅰ．______
如图，过点分别作边的垂线，垂足分别记为 ①平分； ②； ③． Ⅱ．______
【类比探究】
（2）如图，已知，平分．
①当点分别在边上时，请你证明：．
②当点分别在所在的直线上，，且，时，请你画出图形并求出的长．
【答案】解：（1）Ⅰ．∵，平分，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∴∠OCE+∠ECF=∠OCF=60°，
∵∠DCE=∠OCE+∠DCO=60°，
∴∠ECF=∠DCO，
在和中，
，
∴，
∴①②正确，
故答案为：①②；
Ⅱ．∵平分，，，
∴，∠CMD=∠CNE=90°，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴②③正确，
故答案为：②③；
（2）①证明：如图1，作交于点，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由勾股定理可得：，即，
∴；
②如图2，过点C作CM⊥OD于M，CN⊥OB于N，
∴∠CMD=∠CNE=∠OMC=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠MCN=∠MCE+∠ECN=90°，
∵∠DCE=∠MCE+∠DCM=90°，
∴∠DCM=∠ECN，
∵AC平分∠AOB，CM⊥OD，CN⊥OB，
∴CM=CN，
在和中，
，
∴，
设，则，
∴，
∴，
解得，
即，．
在中，由勾股定理得．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；三角形的综合
【解析】【分析】（1）Ⅰ．根据角平分线的定义得，从而证明为等边三角形，进而可得，，然后根据角的和差关系得∠ECF=∠DCO，即可证出；
Ⅱ．利用角平分线性质定理可得，根据角的和差可得出，即可证明，从而证明；
（2）①作交于点，根据角的和差可得出，由平分，可得，等角对等边可得，即可证明，，由勾股定理可得：，即可得出．
②过点C作CM⊥OD于M，CN⊥OB于N，易证，设，则，从而得，，解方程即可得，，最后利用勾股定理得的值．
1 / 1《三角形的综合》精选压轴题（二）—2025年浙江省八（上）数学期中复习
一、单选题
1．（2021八上·下城期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，点P在边AB上.BC=6， AC=8， （　　）
A．若∠ACP=45°， 则CP=5 B．若∠ACP=∠B，则CP=5
C．若∠ACP=45°，则CP= D．若∠ACP=∠B，则CP=
2．（2024八上·温州期中）如图，在锐角三角形中，，边上的中线．过点A作于点E，记的长为a，的长为b．当a，b的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023八下·海淀期末）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（　　）
A．140° B．100° C．50° D．40°
4．（2024八上·拱墅期中）如图，四边形中，，的角平分线与点D，E为的中点，则与面积之差的最大值为（　　）
A．9 B．4.5 C．3 D．1.5
5．（2024八上·永康期中）如图，和均为等边三角形，且点B，C，D在同一直线上，交于点G，交于点H，连结．则下列结论中正确的有（　　）
（1）；（2）；（3）；（4）平分；（5）是等边三角形．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．（2022八上·杭州期中）如图，是的角平分线，，，，P，Q分别是和上的任意一点，连接，，，，给出下列结论：
①；
②；
③的最小值是；
④若平分，则的面积为9．
其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
7．（2024八上·义乌期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AG平分∠BAC交BC与点G，BD平分∠ABC交AC于点D，AG、BD相交于点F，BE⊥AG交AG的延长线于点E，连接CE，下列结论中正确的是（　　）
①若∠BAD＝70°，则∠EBC＝5°；②BF＝2EF；③BE＝CE；④AB＝BG+AD．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．（2024八上·吴兴期中）如图，在和中，，，，过作，垂足为，交的延长线于点，连接．四边形的面积为64，．则的长是（　　）
A．8 B． C． D．6
9．（2024八上·安吉期中）如图，点是正方形的对角线上一点，于点，于点，连接，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2024八上·浙江期中）如图，在中，，，的平分线分别交、于点D、E，、相交于点F，连接．下列结论：①；②；③；④点F到三边的距离相等；⑤．其中错误的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2024八上·吴兴期中）如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点的运动时间为．过点作于点．在点的运动过程中，当为　 　时，能使？
12．（2024八上·拱墅期中）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于点G，且．若，则的度数是　 　．
13．（2024八上·余杭期中）在中，，将一块足够大的直角三角尺按如图所示放置，顶点在线段AB上滑动，PM始终经过点，斜边PN交AC于点.在点滑动过程中，为等腰三角形时，则点与点的距离BP为　 　.
14．（2024八上·杭州期中）如图所示，在等腰中，，点为射线上的动点，，且，与所在的直线交于点，若，则　 　．
15．（2024·凉州模拟）如图，在中，，点D，E，F分别是线段的中点，下列结论：①为等边三角形．②．③．④．其中正确的是　 　．
16．（2024八上·嘉兴期末）如图，中，，点D是上一动点，将沿折叠得到，当与重叠部分是直角三角形时，的度数为　 　．
17．（2024八上·杭州期中）如图，在中，，点在内，平分，连接，把沿折叠，落在处交于，恰有若，，则　 　．
18．（2024八上·镇海区期中）如图，在等腰中，于点，点和分别在线段和线段上，连结，则平分，且满足，若，则的面积为　 　．
19．（2024八上·杭州期中）如图，已知和均为等边三角形，点O是的中点，点D在射线上，连结，则　 　，若，则的最小值=　 　．
20．（2024八上·杭州期中）如图，在中，，分别以AB，AC为边在外作等边和等边，连结BE，CD.
（1），则　 　；
（2）若，则CD的长为　 　.
三、综合题
21．（2024八上·余杭期中）在中，，于点，点E，F分别在AC，BC上，且与CD交于点.
（1）如图1，当点与点重合时，
①求证：；②直接写出的值.
（2）如图2，当点在AC边上时
①依题意补全图2；②的值是否发生变化，请说明理由.
22．（2024八上·吴兴期中）在中，，，是的中点．点是上的点，将沿所在的直线对折，记点的对应点为．
（1）当时，求的度数．
（2）当点落在的一边上时，求的度数．
（3）当点落在直线上方，且对折后重叠部分为等腰三角形时，求的度数．
23．（2024八上·杭州期中）如图1，已知在中，，已知，．是边上一动点，连接，以为对称轴将翻折至．
（1）若时．
①求证：；
②求折痕的长．
（2）如图2，若时，以为原点，直线为轴，建立平面直角坐标系，求此时的坐标．
24．（2024八上·长兴期中）如图1，直线AM⊥AN，AB平分∠MAN，过点B作BC⊥BA交AN于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以2cm/s的速度沿射线AN方向运动，动点D以1cm/s的速度沿射线AM方向运动；已知AC=6cm，设动点D，E的运动时间为t.
（1）求∠ACB的度数；
（2）当点D在射线AM上运动时满足AD：CE=2：3，求点D，E的运动时间的值：
（3）当动点D在射线AM上运动，点E在射线AN上运动过程中，是否存在某个时间，使得△ADB与△BEC全等 若存在，请求出此时BD的长：若不存在，请说明理由.
25．（2024八上·永康期中）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边长为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕D旋转，AD=4，DM=3.
（1） 在旋转过程中，
①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长；
②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长；
（2） 当摆动臂AD顺时针旋转，点D的位置由外的点D1转到其内的点D2处，连接D1D2如图2，此时∠AD2C=，CD2=，求BD2的长.
26．（2024八上·江北期中）如图1，过△ABC的顶点A分别作对边BC上的中线AD和高线AE．
（1）在图1中，若AB=15，AC=13，BC=14，BE=a，分别求出a， 的值；
（2）①如图1，猜想和之间的关系，并证明你的结论；
②如图2，∠MON=45°，点P是边OM上一动点，点Q是边ON上一点，且OQ=8， 则的最小值为 ▲ ．
27．（2024八上·鹿城期中）如图，于点，连接，，，，点在线段上运动时（不与A，重合），点在线段上，满足，连接．当为中点时，恰好与点重合．
（1）求的长．
（2）若，运动到中点时，求证：直线．
（3）连接，当是等腰三角形时，请写出所有符合条件的的长．
28．（2024八上·杭州期中）如图，已知等边，点为内的一点，连接.以CD为边向CD上方作等边，连接AE（）.
（1）求证：.
（2）若，则的面积为　 　.
（3）若（为大于1的整数）.求证：.
29．（2024八上·杭州期中）在 ABC中， ∠ACB=90°，AC=BC， D为边AB上一点.
（1）如图1，若AC=， AD=3， 求 CDB的面积；
（2）如图2， 作DE⊥CD， 且DE=CD， 连结 CE交边AB 于点F， 连结BE.
①若BC=BD，求证： ∠ADC=∠BED；
②若BD>BC， 写出线段 BC， BE， CE 长度之间的等量关系，并说明理由
30．（2024八上·钱塘期中）某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出：“锐（钝）角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题．首先定义了一个新的概念：如图（1）中，是的中点，是射线上的点，设．若，则称为勾股比．
（1）如图（1），过、分别作中线的垂线，垂足为、．求证：．
（2）①如图（2），当，且时， （填一个恰当的数）．
②如图（1），当，为锐角三角形，且时，①中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，也请说明理由．
31．（2024八上·瑞安期中）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC， AB=4，点D是射线AB上的一个动点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CD，连结BD.
（1）如图1，若动点D在线段AB上运动时，求证：△ACD≌△CBD.
（2）如图2，若动点D在射线AB上运动时，连结AD，DD.
①当△ADD为等腰三角形时，求线段AD的长.
②当线段AD= 时， △CDB与△DDB的面积存在3倍的关系.
32．（2024八上·拱墅期中）在等腰△ABC中，AB=AC，点D是AC上一动点，点E在BD的延长线上，且AB=AE，AF平分∠CAE交DE于点F，连结FC．
（1）如图1，求证：∠ABE＝∠ACF；
（2）如图2，当∠ABC＝60°时，在BE上取点M，使BM=EF，连结AM．
求证：△AFM是等边三角形；
（3）如图3，当∠ABC＝45°时，且AEBC时，求证：BD=2EF．
33．（2024八上·义乌期中）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝140°．
（1）如图1，D为BC边上一定点（不与点B，C重合），将△ABD沿AD翻折至△AB'D，连结B'C，求∠BAD与∠DCB'的数量关系．
（2）如图2，当点D在BC边上运动时，仍将△ABD沿AD翻折至△AB'D，连结B'C．
①当AB'⊥BC时，求∠AB'C的度数．
②当△DB'C为等腰三角形时，求∠BAD的度数．
34．（2024八上·杭州期中）如图，在中，为锐角，点为射线上一点，连接，以为一边且在的右侧作正方形．
（1）如果，．
①如图，当点在线段上时与点不重合，线段、所在直线的位置关系为 ，线段、的数量关系为 ；
②如图，当点在线段的延长线上时，中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（2）如果，是锐角，点在线段上，当　 　时，点、不重合请直接写出答案，如若需要，自行绘图
35．（2024八上·镇海区期中）等边中，点分别在边上，连结，以点为中心将逆时针旋转得到，连结，设．
（1）当时，如图1，点在上．求证：；
（2）当时，如图2，连接，请求出的度数；
（3）当时，如图3，连接，当取得最小值时，_____．
36．（2024八上·余姚期中）如图1，△ABC和△CDE均为等腰三角形，AC＝BC，CD＝CE，AC＞CD，∠ACB＝∠DCE＝α，且点A、D、E在同一直线上，连接BE．
（1）求证：AD＝BE．
（2）如图2，若α＝90°，CM⊥AE于M．若CM＝7，BE＝10，试求AB的长．
（3）如图3，若α＝120°，CM⊥AE于M，BN⊥AE于N，，CM＝b，直接写出AE的值（用a，b的代数式表示）．
37．（2024八上·杭州期中）如图，在中，E 是中点，F 是上一动点，连接， 将沿直线折叠得．
（1）如图①，若点D 恰好落在线段上，求证：；
（2）如图②，若为等边三角形，且边长为，当点D 落在线段上时，求的长度：
（3）如图③，若为直角三角形，，．连接，若与面积相等，且，求的面积．
四、实践探究题
38．（2024八上·浙江期中）【问题情境】在数学课上，老师出示了这样一个问题：已知，如图1，中，若，，点D为边中点，求边上的中线的取值范围．
经过小组合作交流，找到了解决方法：“倍长中线法”．
（1）请按照上面的思维框图，完成证明．
【探究应用】
（2）已知：如图2，中，是边上的中线，E在边上，连接交于F，且．求证：；
【拓展延伸】
（3）如图3，若，，，是边上的中线，E是上一点，连接交于点F，且，求的长．
39．（2024八上·拱墅期中）综合实践
在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组称此图形为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题．
【探究发现】
（1）如图1，在和中，，，，点在上，连接、，且、、三点共线，则图中与线段相等的线段是 ， ．
【初步运用】
（2）如图2，在和中，，，，连接、交于点．找出图中与相等的线段，并证明；
【迁移应用】
（3）如图3，在四边形中，点是四边形内一点，且，，，请计算的值．
40．（2024八上·温州期中）【方法探索】
（1）如图，已知平分，点分别在边上，，．小明为了证明，用了如下两种方法：
构图方法 小明得到下列结论 你认为正确的结论是（写序号）
如图，在上取点，使，连接． ①； ②； ③． Ⅰ．______
如图，过点分别作边的垂线，垂足分别记为 ①平分； ②； ③． Ⅱ．______
【类比探究】
（2）如图，已知，平分．
①当点分别在边上时，请你证明：．
②当点分别在所在的直线上，，且，时，请你画出图形并求出的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，点P在边AB上.BC=6， AC=8，
∴ ，
当CP为AB的中线时， ，
若∠ACP=45°，如图1，则CP为直角∠ACB的平分线，
∵BC≠AC，
∴CP与中线、高线不重合，不等于5，故A选项错误；
若∠ACP=∠B，如图2
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠A+∠ACP =90°，
∴∠APC=90°，即CP为AB的高线，
∵BC≠AC，
∴CP与中线不重合，不等于5，故B选项错误；
当CP为AB的高线时， ，
即 ，解得 ，
故D选项正确，C选项错误.
故答案为：D.
【分析】由选项知，A、C选项CP为顶角平分线，B、D选项为CP为底边上的高线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得斜边中线等于5，利用等面积法可求出斜边上的高线为，由于三角形不是等腰三角形，可知斜边上的高线、中线和直角的角平分线不是同一条，据此可得D正确.
2．【答案】D
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作于，
∴，
∵是的中线，，，
∴，
∵，
∴，
∵的长为a，的长为b，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
在中，，
∴，
整理得：，
故答案为：D．
【分析】连接，过点作于，根据直角三角形斜边上的中线性质得，然后由等腰三角形“三线合一”性质得，从而求出，接下来在、中，利用勾股定理分别表示出是值，最后进行整理即可得到答案.
3．【答案】B
【知识点】两点之间线段最短；等腰三角形的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解∶如图，分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，此时△PMN周长取最小值．
∴OC=OP=OD，∠CON=∠PON，∠POM=∠DOM；
∵∠AOB=∠MOP+∠PON＝40°，
∴∠COD=2∠AOB=80°，
在△COD中，OC=OD，∠AOB＝40°，
∴∠OCD=∠ODC=50°；
在△CON和△PON中，OC=OP，∠CON=∠PON，ON=ON，
∴△CON≌△PON，
∴∠OCN=∠NPO=50°，
同理∠OPM=∠ODM=50°，
∴∠MPN=∠NPO+∠OPM=50°+50°=100°．
故选：B．
【分析】
先分别过点P作OA、OB的对应点D和C，再连接CD分别交OA和OB于点M和N，由轴对称的性质知PM=DM、PN=CN，则△PMN的周长等于线段CD的长，即此时△PMN的周长最小，再根据轴对称的性质可得∠COD等于∠AOB的2倍即80°，OC=OP=OD，则由等腰三角形的内角和得∠OCD等于∠ODC等于50°，再由轴对称的性质可证△CON≌△PON，△ODM≌△OPM，则由全等三角形的对应角相等可得∠OCN等于∠NPO等于50°，∠OPM等于∠ODM等于50°，再由∠MPN=∠NPO+∠OPM即可求解．
4．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：延长交的延长线于H，过点D作于T，
设的面积为S，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
又∵
∴当为最大时，S为最大，则为最大，
根据“垂线段”最短得：，
∴时，为最大，最大值为3，
∴S的最大值为：，
∴的最大值是4.5．
故答案为：B．
【分析】延长交的延长线于H，过点D作于T，设△ACD的面积为s，利用角平分线的定义可证得∠1=∠2，利用垂直的概念可知∠ADB=∠ADH，利用ASA可证得△ABD≌△AHD，利用全等三角形的性质可推出两个三角形的面积相等，利用等边对等角及余角的性质可推出∠H=∠CDH，利用等边对等角可求出AC、CH的长，同时可证得，由此可推出，利用AC=CH，可表示出△HBC，△ABC的面积；由此可推出， 利用三角形的面积公式可得到，利用垂线段最短可知当为最大时，S为最大，则为最大，即，可得到DT的最大值为3，据此可求出与面积之差的最大值 .
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵和均是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，故（1）正确，
∵，
∴，故（2）正确，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故（3）错误，
∵，
∴是等边三角形，故（5）正确；
如图，过点作于于，
∵，
∴，
又∵于于，
∴平分，故（4）正确；
故选：C．
【分析】根据等边三角形的三条边都相等，三个角都是直角得出，然后由两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可证，根据全等三角形的对应边相等得出，可判断（1）；由全等三角形的对应角相等可得，结合三角形内角和是180°可判断（2）；由两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等可证，根据全等三角形的对应边相等推得，即可判断（3）；根据有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形的判定可证是等边三角形，可判断（5），由全等三角形的对应边相等可得，可证平分，可判断（4）.
6．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形三边关系；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：①∵，是的角平分线，
∴，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
在 APQ中，，
∴，
∴原结论正确；
②∵，
∴，，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴原结论正确；
③由①可得，，
∴当最小时，最小，
过点A作于点M，如图所示：
当点P在与交点上时，，且最小值为，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
即的最小值是，
∴原结论错误；
④过点P作于点N，如图所示：
∵平分，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴原结论正确；
综上可得，正确的有①②④．
故答案为：B.
【分析】
①根据等腰三角形的性质“等腰三角形的三线合一”可得垂直平分，由线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得，再根据三角形三边关系“三角形的任意两边之和大于第三边”即可求解；
②根据角平分线的定义，平行线的性质、等腰三角形的性质，证明，，得出，，即可得出结论；
③过点A作于点M，当点P在与交点上时，，此时最小，且最小值为，根据等积法求出即可；
④过点P作于点N，得出，求出，即可求出结果．
7．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC，
∴∠ABC=180°-70°-60°=50°，
∵AG平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=∠BAC=×70°=35°，
∵BE⊥AG，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE=90°-∠BAE=90°-35°=55°，
∴∠EBC=∠ABE-∠ABC=55°-50°=5°，故①正确；
∵BD平分∠ABC，
∴∠FBG=∠ABC=×50°=25°，
∴∠EBF=∠FBG+∠EBC=25°+5°=30°，
∴BF=2EF，故②正确；
延长BE，AC交于点H，
在△ABE和△AHE中
∴△ABE≌△AHE（ASA）
∴BE=HE，
∴点E是BH的中点，
只有当∠BCH=90°时，CE=BE，故③错误；
在AB上截取AM=AD，
在△AMF和△AFD中
∴△AMF≌△AFD（SAS）
∴∠AFM=∠AFD=∠BFE=90°-30°=60°，
∴∠BFM=180°-∠AFM-∠BFE=180°-60°-60°=60°，
∴∠BFM=∠BFG，
在△BFM和△BFG中
∴△BFM≌△BFG（ASA）
∴BM=BG，
∴AB=AM+BM=AD+BG，故④正确；
∴正确结论有3个.
故答案为：B.
【分析】利用三角形的内角和定理求出∠ABC的度数，再利用角平分线的概念可求出∠BAE=∠CAE=35°，利用垂直的定义可求出∠AEB的度数，即可求出∠ABE的度数，根据∠EBC=∠ABE-∠ABC，代入计算可对①作出判断；利用角平分线的概念可求出∠FBG的度数，可求出∠EBF的度数，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可对②作出判断；延长BE，AC交于点H，利用ASA可证得△ABE≌△AHE，利用全等三角形的性质可证得BE=HE，只有当∠BCH=90°时，CE=BE，可对③作出判断；在AB上截取AM=AD，利用SAS可证得△AMF≌△AFD，利用全等三角形的性质可推出∠BFM=∠BFG，利用ASA可证得△BFM≌△BFG，利用全等三角形的性质可推出BM=BG，然后根据AB=AM+BM，代入可对④作出判断；综上所述，可得到正确结论的个数.
8．【答案】A
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
在和中，
，
，
，
又，
，
，
，，
∴∠AFG=∠AHG=90°，
在和中，
，
∴S△AFG=S△AHG，
同理：，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】过点作于点，用边角边可证得，由全等三角形的对应边相等可得，由三角形的面积公式可得，结合已知，用可证得，于是可得这两个三角形的面积相等，同理可证得，于是可得，然后根据四边形DGBA的面积的和差得S四边形DGBA=2S△AFG可求得△AFG的面积，根据 可得关于FG的方程，解方程即可求解．
9．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：①过作于点，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴四边是矩形，四边形是矩形，
∴，
∴
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在△AGP和△FAE中
∴（SAS），
∴，
∴此结论符合题意；
②，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，即，
，
，
，即，
∴此结论符合题意；
③由①得：，
∴，
即，
∴此结论符合题意；
④∵在中，，
在中，，
在中，，
∴，
∴此结论符合题意.
故答案为：D．
【分析】①过作于点，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，用边角边可证明，根据全等三角形的对应边相等可求解；
②由平行线的性质易得是等腰直角三角形，然后用勾股定理可求解；
③由①中的全等三角形可求解；
④根据正方形的对角线平分对角的性质，在、、中，用勾股定理可求解.
10．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：①，只有在是等边三角形时才成立，现有条件无法证明是等边三角形，所以①错误；
②，
，
平分，平分，
，，
，
，所以②正确；
③平分
当时，
而原不确定，所以③错误；
④，的平分线分别交、于点，，、相交于点，
为三角形的内心，
点到三边的距离相等正确．所以④正确；
⑤如图，在上截取，
平分，
，
，
．
由②知，
，
，
又平分，
，
．
，
，
，所以⑤正确．
故答案为：B．
【分析】①当是等边三角形时才成立；
②利用三角形的内角和，角平分线的性质以及三角形的外角求出即可；
③当时，，所以③错误；
④根据角平分线上的点到角两边的距离相等可作判断；
⑤作辅助线，证明两对三角形全等：，，可得结论．
11．【答案】3或9
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；三角形-动点问题；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：①当点P在点C左侧时，如图，
，
在Rt△PED和Rt△PCD中
∴Rt△PED≌Rt△PCD（HL），
∴．
中，，．
中，，，
∵PC2+AC2=PA2，
∴，
解得：；
②当点P在点C右侧时，如图，
连接，同理可得：，
中，，，
∵PC2+AC2=PA2，
∴（2t-12）2+82=(2t-8)2，
解得：t=9；
综上可得，或9时，．
故答案为：3或9．
【分析】由题意可分两种情况：①当点P在点C左侧时，如图，用HL定理可证Rt△PED≌Rt△PCD，由全等三角形的对应边相等可得PC=PE，在Rt△ADE中，用勾股定理可求出AE的值；在中，用勾股定理可得关于t的方程，解方程求出t的值；②当点P在点C右侧时，如图，连接，同理可求解．
12．【答案】36°
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接，
，，
∴垂直平分，
，
，
∵是边上的高线，是边上的中线，
，
，
∵，
，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
，
故答案为：36°．
【分析】连接，根据垂直平分线的性质得到，由等腰三角形“等边对等角”性质有，再根据直角三角形斜边上中线性质得到，从而得，进而结合三角形外角性质有，最后根据三角形内角和定理得到，解方程求出，于是得到的度数．
13．【答案】0或或 （不化简也对）
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形；分类讨论
【解析】【解答】解：在点P滑动过程中，为等腰三角形，共三种情况，
①当时，则
∴
过点P作于D，如图，
则为等腰直角三角形，
∴
∵
∴
在中，
∴
∵
∴
∴
∴
②当时，则
∴如图，
在中，
∴
∴
∴
∴
③当时，则
此时点B与点P重合，点D与点A重合，过点C作于E，如图，
∴
综上所述，点与点的距离BP为：0或或
故答案为：0或或.
【分析】在点P滑动过程中，为等腰三角形，需分三种情况讨论，①当时，则进而得到过点P作于D，则为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理求出BP即可；②当时，则进而得到然后在中根据含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理求出BP即可；③当时，则此时点B与点P重合，点D与点A重合，过点C作于E，由此可得到BP的长度，综上所述即可求解.
14．【答案】或
【知识点】三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：①点在点左侧，
作，交的延长线于，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
根据题意知，，
设，则，
，
，
∴；
②如图，点在点右侧，作于，
用①中同样的解法可以得到，，
设，，，
，
∴．
故答案为：或．
【分析】
由于点D在射线CB上运动，当点D在点B左侧时，过点E作AC的垂线段交AC的延长线于点H，则可利用一线三等角全等模型证明，则由全等的性质结合已知可继续证明，则可得，再借助已知条件即可计算；当点D在点B右侧时，同理过点E作AC的垂线段EM，则可先证，再证，则、，再借助已知条件计算即可．
15．【答案】①②④
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；角平分线的概念；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：①，D为的中点，
，，
是等边三角形，是等腰三角形，
，，
是线段的中点，
，，
，
E分别是线段的中点，
，，
设，则，
，，
，
，
，
是等边三角形，①正确；
②分别为的中点，
∴，
∴，
∴，
，
，
，故②正确；
③，
，故③错误；
④是等边三角形，，
∴，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
，故④正确；
综上所述，①②④都正确；
故答案为：①②④．
【分析】根据等边三角形和等腰三角形的判定与性质结合题意得到，，，，再根据直角三角形斜边上的中线的性质结合题意得到，，设，则，根据勾股定理结合题意得到，，再根据等边三角形的判定即可判断①；根据三角形中位线定理结合题意得到，进而根据平行线的性质得到，根据勾股定理表示出DE，再根据三角形的面积结合题意等量代换即可判断②；根据题意等量代换即可判断③；根据等边三角形的性质结合题意得到，，再根据含30°角的直角三角形的性质结合勾股定理即可判断④.
16．【答案】或或
【知识点】等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠B=40°，
∴∠C=∠B=40°，∠BAC=100°.
∵ △ABD沿AD折叠得到△ADE，
∴∠BAD=∠EAD，∠B=∠E.
当与重叠部分是直角三角形时，有三种情况：
（1）AE⊥BC.
∴∠BAE=∠CAE=50°.
∴∠BAD=∠EAD=25°；
（2）AD⊥BC，
则BD=CD，∠BAD=∠CAD，C和E两点重合.
∴∠BAD=∠CAD=50°；
（3）DE⊥AC，如图：
∵∠E=40°，
∴∠EAF=50°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAF=150°.
∵∠BAD=∠EAD，
∴∠BAD=75°.
故答案为：25°或50°或75°.
【分析】根据折叠得到∠BAD=∠EAD，∠B=∠E，根据重叠部分是直角三角形分为3种情况进行讨论：（1）AE⊥BC；（2）AD⊥BC，（3）DE⊥AC，每种情况结合∠BAD=∠EAD再利用等腰三角形“三线合一”的性质即可计算出结果.
17．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：延长AD交BC于点G，如图，
∵ AB=AC，AD平分∠BAC，
∴ AG⊥BC，
∵ CE⊥AB，
∴ ∠BFC=90°，
∴ ∠B+∠BCF=90°，
∵ △ADC翻折后得到△DCE，
∴ ∠ACD=∠DCE，
∵ ∠B=∠C，
∴ ∠C+∠BCF=90°，
即2∠DCE+2∠BCF=90°，
∴ ∠DCB=45°，
∴ △DCG为等腰直角三角形，
∴ DG=CG=BC=5，
∴ AG=AD+DG=12，
∴ AC=AB=13，
∵ S△ABC=BC·AG=AB·CF，
∴ CF=，
∴ EF=EC-CF=AC-CF=13-=；
故答案为：.
【分析】延长AD交BC于点G，根据等腰直角三角形的性质可得AG⊥BC，根据翻折的性质可得∠ACD=∠DCE，推出 ∠DCB=45°进而可得△DCG为等腰直角三角形，根据勾股定理可得AB=AC=13，再根据等面积法求得CF的长，根据EF=AC-CF即可求得.
18．【答案】6
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
设，
∴，
∵，
∴在中，，
在中，，
∴，
∴，则，即，
如图所示，过点作，交与点，
∵，，
∴，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
如图连接，交于点，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
延长交于点，
∴，，
∴是等腰直角三角形，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
解得，，
∴，
在等腰直角中，，
∴，
故答案为： ．
【分析】设，则可得，过点作，交与点，得到，即可得到，连接，交于点，然后证明，即可得到，延长交于点，则是等腰直角三角形，得到，设，则，求出，再运用勾股定理可得，然后根据三角形的面积公式计算即可求解．
19．【答案】；．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵的等边三角形，点O是的中点，
∴，
∵和均为等边三角形，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
当时，的长度最小，
∵，
∴最小值．
故答案为：．
【分析】根据等边三角形的性质可得，AB=AC，AD=AE，可推出∠BAD=∠CAE，同时可求出∠ABD的度数，利用SAS证明，利用全等三角形的性质可求出∠ABD的度数，同时可证得∠AEC=∠ADB，结合垂线段最短性质，可知当时，的长度最小，然后求出OE的最小值.
20．【答案】（1）
（2）
【知识点】三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）∵△ACE是等边三角形，
∴∠ACE＝60°＝∠ACB，
∴∠BCE＝120°，
又∵∠BEC＝24°，
∴∠CBE＝180° ∠BCE ∠BEC＝180° 120° 24°＝36°，
故答案为：36；
（2）∵△ABD和△ACE是等边三角形，
∴AD＝AB，AE＝AC＝CE＝8，∠DAB＝∠CAE＝60°，
∴∠DAC＝∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD＝BE，
过点E作EF⊥BC于点F，
∵∠BCE＝120°，
∴∠CEF＝∠BCE ∠F＝120° 90°＝30°，
∴CF＝CE＝4，
∴，
BF＝BC＋CF＝6＋4＝10，
∴；
故答案为：.
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠ACE＝60°，然后根据三角形的内角和定理解题即可；（2）根据等边三角形的性质可以证明△DAC≌△BAE，即可得到CD＝BE，过点E作EF⊥BC于点F，然后利用勾股定理计算即可．
21．【答案】（1）解：①∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴∠BAF＝∠BAC＝×45°＝22.5°，∠B＝∠ACB＝（180°－45°）＝67.5°
∵CD⊥AB， ∴∠BDC＝∠NDA＝90°，
∵∠BAC＝45° ∴∠DCA＝∠DAC＝45°
∴DA＝DC，∠BCD＝67.5°－45°＝22.5°
∴∠BCD＝∠DAN
在△ADN和△CDB中
∴△ADN≌△CDB
②∵△ADN≌△CDB，
∴
∴.
（2）解：①如图2：
②值不变，即．
理由如下：
作EG∥AB，交BC，CD分别于G，H
∵∠A＝45°，∠B＝∠ACB＝67.5°，∠BDC＝90°
∴∠EGC＝∠ABC＝∠ACB＝67.5°，∠CEG＝∠BAC＝45°
∠CHG＝∠CHE＝90°
∴EG＝EC
同理（1）①，可得△EHN≌△CHG，
∴EN＝CG
∵EG＝EC，EF⊥CG
∴CF＝CG
∴
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的综合
【解析】【分析】（1）①证明为等腰直角三角形并结合"AAS"证明即可；
②结合①中的全等得到：进而即可求解；
（2）①作EF⊥BC于F，交CD于N即可；
②作EG∥AB，交BC，CD分别于G，H，得到：∠EGC＝∠ABC，∠CEG＝∠BAC，进而证明，则，最后根据垂直平分线的性质即可求解.
22．【答案】（1）解：如图，
由折叠得，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：当落在上时，如图，
由折叠得，由折叠得
∴，
∴；
当落在上时，如图，
∵是的中点，
∴，
由折叠得，由折叠得
∴
∴，
∴；
当落在上与点重合时，如图，
∵是的中点，
∴，
由折叠得，由折叠得
∴，
∴，
综上可得，的度数为或或
（3）解：当与相交时，令交点为，当时，设，
由折叠可得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，设，
由折叠可得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当与相交时，，不符合题意，
由（）得当落在上时，，
∴，
此时，重叠部分不是等腰三角形，不符合题意，
当不落在上时，重叠部分不为等腰三角形，不符合题意，
综上可得，的度数为或
【知识点】等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）由折叠得，，，根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得，然后由角的构成求出的度数，再根据用三角形的内角和等于180°即可求解；
（2）由题意分三种情况：落在上时，落在上，落在上时，也与重合，及落在上与点重合，然后由三角形的内角和等于180°以及折叠的性质即可求解；
（3）与相交时，令交点为，由题意分两种情况：当和，结合折叠的性质和三角形的内角和定理计算即可求解．
（1）解：如图，
由折叠得，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：当落在上时，如图，
由折叠得，由折叠得
∴，
∴；
当落在上时，如图，
∵是的中点，
∴，
由折叠得，由折叠得
∴
∴，
∴；
当落在上与点重合时，如图，
∵是的中点，
∴，
由折叠得，由折叠得
∴，
∴，
综上可得，的度数为或或；
（3）解：当与相交时，令交点为，
当时，设，
由折叠可得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，设，
由折叠可得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当与相交时，，不符合题意，
由（）得当落在上时，，
∴，
此时，重叠部分不是等腰三角形，不符合题意，
当不落在上时，重叠部分不为等腰三角形，不符合题意，
综上所述，的度数为或．
23．【答案】（1）①证明：∵，
∴，
∵以为对称轴将翻折至，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
②解：如图，过点作，垂足为.
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴折痕的长为；
（2）解：如图，延长交轴于点，设交于点.
∵，
∴，
∴
∴
∴的坐标为．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）①由平行线的性质可得，由折叠的性质可得，等量代换得，等角对等边得，再结合折叠的性质等量代换可得；
②作斜边上的高，利用勾股定理先求出，再由等面积法求出高，再由勾股定理求出，再借助结论（1）可得，再利用勾股定理即可；
（2）设于，交于点，则平行线的性质结合折叠的性质可证，则由的坐标可利用勾股定理求得，再利用等面积法可求得，再由色股定理可求得，再由折叠的性质结合角平分线的性质可得，再利用HL可判定，则得，同利用HL判定，则，则坐标可得．
（1）①证明：∵，
∴，
∵以为对称轴将翻折至，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
②解：设交于，如图，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴，
∴折痕的长为；
（2）解：设于，如图，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
设，则，，
∵以为对称轴将翻折至，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
解得（舍去）或，
∴，，
∴的坐标为．
24．【答案】（1）解：如图 1 中，
∵AM⊥AN，
∴∠MAN＝90°，
∵AB 平分∠MAN，
∴∠BAC＝45°，
∵CB⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝45°．
（2）解：∵AD：CE＝2：3，AD＝t，AE＝2t，
∴t：|6﹣2t|＝2：3，
∴t＝ 或 t＝12 秒．
（3）解：存在．∵BA＝BC，∠BAD＝∠BCE＝45°，
∴当 AD＝EC 时，△ADB≌△CEB，
∴t＝6﹣2t， ∴t＝2s，
∴满足条件的 t 的值为 2s．
此时 AD=2，AE=4， 有勾股定理，得 E2=AD2 + AE2 = 20
∵△ADB≌△CEB
易证，△DBE 是等腰直角三角形
易得，BD=
【知识点】全等三角形的实际应用；勾股定理的应用；角平分线的概念；三角形-动点问题
【解析】【分析】(1)由题意得到∠BAC＝45°，从而在直角三角形中求得∠ACB度数；
(2)根据题意得到AD＝t，AE＝2t，列出关于t的方程求解即可；
（3）由BA＝BC，∠BAD＝∠BCE＝45°得到当 AD＝EC 时，△ADB≌△CEB，列出方程求得t的值，进而求解.
25．【答案】(1)解：①或
②显然不能为直角，
当为直角时，
当为直角时，
(2))解：连结，如图，由题意得，
又∵
即
又∵
.
【知识点】勾股定理的应用；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)①根据已知条件，分或两种情况讨论，可求得答案；
②由题意分成当A、D、M为直角顶点时三种情况讨论，再分别用直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求得答案；
(2)连结，结合题意可得，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出CD1的值，然后利用两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等证得 △BAD2≌△CAD1，根据全等三角形的对应边相等即可求解.
26．【答案】（1）解：∵是边上的中线，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
移项合并同类项得
，
解得：，
∴，，
在中，，
∴，
即的值为9，
的值为197
（2）解：①由（1）可知，
∵，
∴
②48.
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；三角形的中线；三角形的高
【解析】【解答】解：（2） ②存在最小值，
若，则
在中，，
∴，
，
∴；
若，则
过点作于点，
当时，
∵，，
∴，，，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，有最小值48；
当时，
∵，，
∴，，，
∴，
∴
，
∵，此时即，
∴此时，，即；
综上所述，的最小值为48.
【分析】（1）根据勾股定理，在和中，确定，求出值，根据为中线，确定值，的值在，利用勾股定理，求出，即可以求出的值.
（2）①根据（1）中已知条件和值，求出值，根据（1）中求出的的值去判断.
②分四种情况分别讨论当，，，时，利用直角三角形的勾股定理求出的值的情况，确定最小值.
27．【答案】（1）解：∵于点E，∴，
∵，，
∴，
∵当P为中点时，Q恰好与点E重合，且，
∴，
∴，
∴的长是12．
（2）证明：由已知得，当P为中点时，Q恰好与点E重合，如图，延长交于点F，
∵，P为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：当是等腰三角形，且时，如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
时，如图，
∵，且，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵垂直平分，
∴若点Q与点C重合，则，
∵点P不与B重合，且，
∴点Q不与点C重合，
∴不存在的情况；
综上所述，的长为或．
【知识点】垂线的概念；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）利用勾股定理得到，再根据中点得到，然后利用线段的和差求出；
（2）延长交于点F，即可得到，进而求出，可以证明，即可得到结论；
（3）分，，三种情况，分别利用勾股定理和三线合一解题即可．
（1）解：∵于点E，
∴，
∵，，
∴，
∵当P为中点时，Q恰好与点E重合，且，
∴，
∴，
∴的长是12．
（2）证明：由已知得，当P为中点时，Q恰好与点E重合，
如图，延长交于点F，
∵，P为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：当是等腰三角形，且时，如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
时，如图，
∵，且，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵垂直平分，
∴若点Q与点C重合，则，
∵点P不与B重合，且，
∴点Q不与点C重合，
∴不存在的情况；
综上所述，的长为或．
28．【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，BC＝AC，
∵△CDE是等边三角形，
∴∠DCE＝60°，CD＝CE，
∴∠BCA＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BDC和△AEC中，
∴△BDC≌△AEC（SAS）
（2）
（3）证明：∵△CDE是等边三角形，
∴∠CED＝60°，DE＝DC＝2n
∵△BDC≌△AEC，
∴∠AEC＝∠BDC，AE＝DB，EC＝DC，
∵DB＝，
∴AE＝，
∴，
∴△ADE是以AD为斜边的直角三角形，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEC＝∠AED＋∠CED＝150°，
∴∠BDC＝∠AEC＝150°，
∵∠ADB＝120°，
∴∠ADC＝360° ∠ADB ∠BDC＝90°，
在Rt△ACD中，
【知识点】三角形的综合
【解析】【解答】解：（2）如图，由（1）知，△BDC≌△AEC，
∴∠CBD＝∠CAE，BD＝AE，
∵AE＝AD，
∴BD＝AD，
∴∠ABD＝∠BAD，
∵∠ADB＝120°，
∴∠ABD＝∠BAD＝30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，
∴∠CBD＝∠ABC ∠ABD＝30°，∠CAD＝∠BAC ∠DAB＝30°，
∴∠CAE＝∠CBD＝30°，
∴∠DAE＝∠CAD＋∠CAE＝60°，
∵AD＝AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝DE，∠ADE＝60°，
∵△CDE是等边三角形，
∴DE＝CD＝2n，
∴AD＝2n，
过点E作EF⊥AD于F，
在Rt△DEF中，DF＝DE＝n，
根据勾股定理得，，
∴S△ADE＝AD EF＝
故答案为：；
【分析】（1）先根据等边三角形的性质得出BC＝AC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCE，进而得出∠BCD＝∠ACE，即可得出结论；
（2）先判断出△ADE是等边三角形，再求出它的边，即可得出结论；
（3）先利用勾股定理逆定理判断出∠AED＝90°，进而求出∠ADC＝90°，最后用勾股定理即可得出结论．
29．【答案】（1）解：过点C作CM⊥AB于M， 如图1，
∵∠ACB=90°，
∵CM⊥AB，
∵AD=3，
∴DB = AB﹣AD =12﹣3=9，
∴△CDB的面积
（2）①证明： ∵DE⊥CD，
∴∠CDE=∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠ACD+∠CDB+∠BDE=90°，
∵BC =BD，
，
理由如下：
如图， 过点C作于M， 过E作 于N，
∴∠CMD=∠DNE=90°，
∴∠MCD+∠MDC=90°，
∵DE⊥CD，
∴∠MDC+∠NDE=90°，
∴∠MCD=∠NDE，
∵CD=DE，
∴△CDM≌△DEN(AAS)，
∴CM =DN， DM=EN，
∴DM+MN=CM，
∵∠ACB=90°， AC =BC，
∴∠ABC =45°，
由 (1) 知，
∴BM=MN+BN=CM=DM+MN，
∴DM=BN=EN，
∴△BNE是等腰直角三角形，
∴∠ABE=45°，
∴∠CBE =∠ABC+∠ABE =90°，
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)过点C作CM⊥AB于M，由等腰直角三角形的性质得 求出DB=9， 然后利用三角形的面积公式计算即可；
(2)①根据SAS证明△ACD≌△DBE(SAS)， 即可解题；
②过点C作CM⊥AB于M， 过E作EN⊥AB于N，可以得到△CDM≌△DEN(AAS)，即可得CM = DN，DM=EN， 进而得到DM+MN=CM， 由 (1) 得 推导出DM=BN=EN， 即可解题.
30．【答案】（1）证明：是的中点，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：①，是的中点，
，，
，
，
，
∴，
，
故答案为：；
②成立，证明如下：
，是的中点，
，
，
，
，
由（1）得，
，，
设，，
∴，，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）先求出，，然后由全等三角形的判定“”证明，即可得；
（2）①根据等腰三角形“三线合一”以及直角三角形斜边上的中线性质得，，由，得，从而得，然后利用勾股定理得，进而得；
②先证明，由（1）的三角形全等可设，，则，，利用勾股定理得到，的值，于是求出，即可证明.
（1）证明：是的中点，
，
于点，交的延长线于点，
，
在和中，
，
，
．
（2）解：①，是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
②成立，
证明：如图（1），，是的中点，
，
，
，
，
，
由（1）得，
，，
设，，
则，，
，
，
，
，
，
，
．
31．【答案】（1）证明：由旋转可得CD=CD，∠DCD=90°
∵∠ACB=90°
∴∠ACB-∠DCB =∠DCD-∠DCB即
在△ACD和△BCD'中
∴△ACD≌△BCD'(SAS)
（2）解：①当点D在线段AB上运动时
由(1)△ACD≌△BCD可得AD=BD，∠A =∠CBD=45°
∴∠ABD=90°不难发现∠ADD＞90°
所以要使得△ADD为等腰三角形，只有AD=DD
设AD=x，则BD=x，DD=x，BD=4-x
由勾股定理可得DD2=BD2+ BD2
x2=x2+(4-x)2解得x=4即点D与点B重合；
当点D在AB延长线上运动时
由(1)的经验不难发现△ACD≌△BCD可得AD=BD，∠A =∠CBD=45°
∴∠ABD=∠DBD=90°
∴在Rt△ABD和Rt△BDD中斜边AD＞BD，斜边DD＞BD
即AD＞AD，DD＞AD
所以要使得△ADD为等腰三角形，只有AD=DD
根据等腰三角形的三线合一可得AD=2AB=8
综上所述AD=4或8；
②或6
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（2）②过点C作CE⊥AB，
∵AC=BC，AB=4，∠ACB=90°，
∴，
∵CE⊥AB，
∴CE=2，
∵ △CDB与△DD'B的面积存在3倍的关系，
∴或6，
∵△ACD≌△BCD'
∴或6.
故答案为：或6
【分析】（1）由旋转可知CD=CD，∠DCD=90°，得出，再根据SAS可求出△ACD≌△BCD；
（2）由(1)△ACD≌△BCD'可得AD=BD'，∠A =∠CBD=45°，再根据勾股定理和等腰三角形的性质即可求出.
32．【答案】（1）证明：∵平分，，，，
在和中，，，，
，，
（2）证明：如图，在上截取，连结，
∵，∴，
在和中，，∴，
∴，
∵，∴是等边三角形，∴，
∴，
∵，∴为等边三角形；
（3）证明：如图3，延长、交于，
，，，，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
，，即，
，
，
在和中，，
，
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得到：，再根据题意可得到：然后利用"SAS"证明，则，进而即可求证；
（2）在上截取，连结，根据全等三角形的性质得到：，然后利用"SAS"证明则，再由等边三角形的性质即可证明为等边三角形；
（3）延长、交于，利用"ASA"证明，则，再证明，则进而即可求证.
33．【答案】（1）结论：∠BAD＝∠DCB'
理由：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=（180°-∠BAC）=（180°-140°）=20°，
∵ 将△ABD沿AD翻折至△AB'D，
∴△ABD≌△AB'D，
∴AB=AB'，∠BAD=∠B'AD，
设∠BAD=∠B'AD=x，
∴∠B'AC=∠BAC-2∠BAD=140°-2x，
∴∠AB'C=∠ACB'=（180°-∠B'AC）=（180°-∠BAC+2∠BAD）=（180°-140°+2∠BAD）=20°+x，
∴∠DCB'=∠ACB'-∠ACB=20°+x-20°=x，
∴∠BAD=∠DCB'
（2）55°或35°
解：①当点B'在BC的下方时，
∵AB'⊥BC，AB=AC，
∴∠CAB'=∠BAC=×140°=70°，
∵将△ABD沿AD翻折至△AB'D，
∴AB'=AB=AC，
∴∠AB'C=∠ACB，
∴∠AB'C=（180°-∠CAB'）=（180°-70°）=55°
当点B'在BC的上方时，
∵AB'⊥BC，AB=AC，
∴∠HAC=∠BAC=×140°=70°，
∴∠B'AC=180°-∠HAC=180°-70°=110°，
同理可证AB'=AC，
∴∠AB'C=∠ACB'=（180°-∠B'AC）=（180°-110°）=35°；
∴∠AB'C的度数为55°或35°；
②由（1）可知∠BAD=∠DCB'，
设∠BAD=x，
当点B'在BC的下方时，此时∠DCB=x
∵将△ABD沿AD翻折至△AB'D，
∴∠B=∠AB'D=20°，∠B'AC=140°-2x，AB'=AB=AC，
∴∠ACB'=∠AB'C=（180°-∠B'AC）=（180°-140°+2x）=20°+x，
∴∠DB'C=20°+20°+x=40°+x，∠CDB'=180°-40°-x-x=140°-2x，
∵△DB'C是等腰三角形，
当DC=B'C时，∠CDB'=∠DB'C
∴140°-2x=40°+x
解之：x=；
当CD=DB'时，∠DB'C=∠DCB'
∴40°+x=x，此方程无解，此种情况不符合题意；
当DB'=B'C时，∠CDB'=∠DCB'，
∴140°-2x=x
解之：x=；
当点B'在BC的上方时，
设∠BAD=x，
∠ADC=∠BAD+∠B=x+20°，
∠ADB=∠ADB'=180°-∠B-∠BAD=180°-20°-x=160°-x，
∴∠B'DC=∠ADC-∠ADB'=x+20°-（160°-x）=2x-140°，
∵∠BAD=∠B'AD=x，
∴∠B'AC=∠BAD+∠B'AD-∠BAC=2x-140°，
∴∠AB'C=∠ACB'=（180°-∠B'AC）=（180°-2x+140°）=160°-x，
∵∠DB'C=∠AB'C=∠AB'D
∴∠DB'C=160°-x-20°=140°-x
∵∠DCB'=∠ACB+∠ACB'
∴∠DCB'=20°+160°-x=180°-x，
当DB'=DC时，∠DB'C=∠DCB'
∴140°-x=180°-x，此方程无解，故此种情况不符合题意；
当DB'=B'C时，∠B'DC=∠B'CD，
∴2x-140°=180°-x
解之：x=；
当DC=B'C时，∠B'DC=∠DB'C
∴2x-140°=140°-x
解之：x=，
综上所述，∠BAD的度数为或或或．
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的综合
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠B和∠ACB的度数，再利用折叠的性质可得到AB=AB'，∠BAD=∠B'AD，设∠BAD=∠B'AD=x，可表示出∠B'AC的度数，再利用三角形的内角和定理可表示出∠AB'C和∠ACB'的的数，然后可表示出∠DCB'，据此可得到∠BAD与∠DCB'的数量关系.
（2）①分情况讨论：①当点B'在BC的下方时，利用等腰三角形的性质可求出∠CAB'的度数；利用折叠的性质可推出AB'=AB=AC，利用等边对等角可证得∠AB'C=∠ACB，然后利用三角形的内角和定理求出∠AB'C的度数；当点B'在BC的上方时，利用等腰三角形的性质可求出∠HAC的度数；利用折叠的性质可推出AB'=AB=AC，利用等边对等角可证得∠AB'C=∠ACB，然后利用三角形的内角和定理求出∠AB'C的度数；综上所述可得到符合题意的∠AB'C的度数；②由（1）可知∠BAD=∠DCB'，设∠BAD=x，当点B'在BC的下方时，则∠DCB=x，利用折叠的性质可表示出∠B'AC的度数，同时可证得
AB'=AB=AC，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可表示出∠ACB'和∠AB'C的度数，同时可表示出∠DB'C的度数；再利用等腰三角形的概念，分情况讨论：当DC=B'C时，∠CDB'=∠DB'C；当CD=DB'时，∠DB'C=∠DCB'；当DB'=B'C时，∠CDB'=∠DCB'，分别可得到关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值；当点B'在BC的上方时，设∠BAD=x，利用三角形的外角的性质可表示出∠ADC的度数，利用三角形的内角和定理可表示出∠ADB和∠ADB'的度数，根据∠B'DC=∠ADC-∠ADB'，可表示出∠B'DC的度数，再表示出∠B'AC、∠DB'C、∠DCB'的度数；再分情况讨论：当DB'=DC时，∠DB'C=∠DCB'；当DB'=B'C时，∠B'DC=∠B'CD；当DC=B'C时，∠B'DC=∠DB'C；分别可得到关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值；综上所述，可得到符合题意的∠BAD的度数.
34．【答案】（1）解：①，当点在线段的延长线上时，中的结论仍然成立，理由如下：
由正方形得，，
，
，
，
在和中，
，
，，
，，
，
，
，
即，
综上所述，当点在线段的延长线上时，中的结论仍然成立；
（2）
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）①∵ 四边形ADEF为正方形，
∴ AD=AF，∠DAF=90°，
∴ ∠BAD=∠CAF，
∵ AB=AC，
∴ △DAB≌△FAC（SAS），
∴ BD=CF，∠ABD=∠ACF=45°，
∴ ∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD；
（2）∠ACB=45°，CF⊥BC，如图，
过点A作AG⊥AC交BC于点G，
∴ ∠GAC=90°，
由（1）可知，当AG=AC时，即∠ACB=45°时，CF⊥BD.
故答案为：（1）CF⊥BD；CF=BD；【分析】（1）① 根据正方形的性质可得AD=AF，∠DAF=90°，推出∠BAD=∠CAF，依据SAS判定△DAB≌△FAC得到BD=CF，∠ABD=∠ACF=45°，进而推出∠BCF=90°；
② 同①中的方法，先证明△DAB≌△FAC，进而得到BD=CF，CF⊥BD；
（2）过点A作AG⊥AC交BC于点G，根据（1）中的结论可得AC=AG时满足条件，即可求得.
35．【答案】（1）证明：以点为中心将逆时针旋转得到，
由旋转性质可知，，
，
是等腰三角形，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，且是的一个外角，
，
，
，
在和中，
，
（2）解：过点作交于、交于，如图所示：
是等边三角形，
，，
，
，，
在中，，则是等边三角形，
，
以点为中心将逆时针旋转得到，
由旋转性质可知，，
，
是等腰三角形，
，
是等边三角形，
，，
，，，
，
，
，
，且是的一个外角，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，且是的一个外角，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
，
，
是等腰三角形，即，
，，
（3）
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】（3）解：作于，如图所示：
，
是等边三角形，
，，
在中，，由所对的直角边是斜边的一半可知，
，当时，
，
，
，，，
，
以点为中心将逆时针旋转得到，
由旋转性质可知，，
，
是等腰三角形，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，且是的一个外角，
，
，
，
在和中，
，
，
点在过点垂直于的射线上运动，
是定点、点在射线上运动，求的最小值，
由动点最值问题-将军饮马问题的解法可知，作点关于的对称点，连接交延长线于，如图所示：
是垂直平分线段，
，则，
由两点之间线段最短可知，当三点共线时，有最小值为线段，即有最小值为线段，如图所示：
（图中，线段交射线的交点即为取得最小值时动点的固定位置点）
，，
，
在中，，再由所对的直角边是斜边的一半可知，
，
作点关于的对称点，连接交延长线于，
，
，
，
，即是等腰三角形，
，
，
，
在中，，设，则由所对的直角边是斜边的一半可知，
由勾股定理可得，
，
，
在中，，则，
，设，则由所对的直角边是斜边的一半可知，
由勾股定理可得，即，则，解得，从而得到，，
，
，
．
【分析】（1）由等边三角形性质得到，，，，然后根据AAS得到，即可得到结论；
（2）过点作交于、交于，可以得到，即可得到，同理得到，进而得到是等腰三角形即可解题；
（3）作于，可以得到，即可得到，即可以知道点的运动轨迹，于是作点关于的对称点，交延长线于，根据两点之间线段最短，当三点共线时，取最小值，然后利用勾股定理解题即可．
（1）证明：以点为中心将逆时针旋转得到，
由旋转性质可知，，
，
是等腰三角形，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，且是的一个外角，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：过点作交于、交于，如图所示：
是等边三角形，
，，
，
，，
在中，，则是等边三角形，
，
以点为中心将逆时针旋转得到，
由旋转性质可知，，
，
是等腰三角形，
，
是等边三角形，
，，
，，，
，
，
，
，且是的一个外角，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，且是的一个外角，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
，
，
是等腰三角形，即，
，，
；
（3）解：作于，如图所示：
，
是等边三角形，
，，
在中，，由所对的直角边是斜边的一半可知，
，当时，
，
，
，，，
，
以点为中心将逆时针旋转得到，
由旋转性质可知，，
，
是等腰三角形，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，且是的一个外角，
，
，
，
在和中，
，
，
点在过点垂直于的射线上运动，
是定点、点在射线上运动，求的最小值，
由动点最值问题-将军饮马问题的解法可知，作点关于的对称点，连接交延长线于，如图所示：
是垂直平分线段，
，则，
由两点之间线段最短可知，当三点共线时，有最小值为线段，即有最小值为线段，如图所示：
（图中，线段交射线的交点即为取得最小值时动点的固定位置点）
，，
，
在中，，再由所对的直角边是斜边的一半可知，
，
作点关于的对称点，连接交延长线于，
，
，
，
，即是等腰三角形，
，
，
，
在中，，设，则由所对的直角边是斜边的一半可知，
由勾股定理可得，
，
，
在中，，则，
，设，则由所对的直角边是斜边的一半可知，
由勾股定理可得，即，则，解得，从而得到，，
，
，
．
36．【答案】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE
（2）解：设AE交BC于点H，如图2，
由（1）得：△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE＝10，
∵∠AHC＝∠BHE，
∴∠AEB＝∠ACH＝90°，
∵∠ACB＝∠DCE＝α＝90°，CD＝CE，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∵CM⊥DE，
∴CM＝DM＝ME＝7，
∴DE＝2CM＝14，
∵AE＝AD+DE＝10+14＝24，∠AEB＝90°，
∴AB＝＝26
（3）AE＝2a+2b
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（3）AE＝2a+2b；理由如下：∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝120°，
∴∠CDM＝∠CEM＝×（180°﹣120°）＝30°．
∵CM⊥DE，
∴∠CMD＝90°，DM＝EM．
在Rt△CMD中，∠CMD＝90°，∠CDM＝30°，
∴CD＝2CM＝2b，
∴DM＝＝b，
∴DE＝2DM＝2b．
∵∠BEC＝∠ADC＝180°﹣30°＝150°，∠BEC＝∠CEM+∠AEB，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CEM＝150°﹣30°＝120°，
∴∠BEN＝180°﹣120°＝60°．
在Rt△BNE中，∠BNE＝90°，∠BEN＝60°，
∴∠NBE＝90°﹣∠BEN＝30°，
∴BE＝2NE，
∴BN＝＝NE＝a，
∴NE＝a，
∴BE＝2a．
∵AD＝BE，AE＝AD+DE，
∴AE＝BE+DE＝2a+2b
故答案为：AE＝2a+2b.
【分析】（1）根据三角形全等的边角边判定定理，由已知条件，在△ACD和△BCE中，△ACD≌△BCE（SAS），根据三角形的全等定理可以判断AD＝BE；
（2）根据全等三角形定理，△ACD≌△BCE△CDE是等腰直角三角形，根据勾股定理求出AB的值；
（3）根据等腰三角形的性质，DM＝EM，根据直角三角形勾股定理，分别在在Rt△CMD中和Rt△BNE中，求出.
37．【答案】（1）证明：如图①，连接，
∵是的中点，
∴，
∵将沿直线折叠得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴；
（2）解：如图②，过点作于点，
∵是等边三角形，且边长为，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∵将沿直线折叠得，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
解得：，
∴；
（3）解：∵将沿直线折叠得，是的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴点在的中线上，
设，
∵，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
∴．
【知识点】三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接，结合折叠的性质得，，然后根据等腰三角形”等边对等角“性质以及三角形内角和定理求出，，于是得，根据等腰三角形的判定得，则，即可证明是的中位线，最后根据三角形中位线定理得证结论；
（2）过点作于点，根据等边三角形的性质得，，，由折叠的性质得，利用三角形外角的性质得，于是根据等腰三角形的判定得，然后设，则，利用勾股定理得，即可列出关于的方程，解方程即可求解；
（3）先求出，，根据三角形中线的性质得，从而得点在的中线上，然后设，则，利用勾股定理得关于的方程，解方程得，最后利用三角形面积公式进行求解即可.
（1）证明：如图①中，连接．
∵E是的中点，
∴，
由翻折的性质可知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的中位线，
∴；
（2）解：如图②中，过点D作于点H．
∵是等边三角形，，
∴，，
由翻折的性质可知，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图③中，设，
∵，
∴，
∵，
∴点在的中线上，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
38．【答案】（1）解：如图1，延长至点，使，连接，
点为边中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
在中，，
∵，
，
，
；
（2）证明：如图2，延长到点，使，连接，
是边的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
；
（3）
解：如图3，延长至点，使，连接，
由（1）同理得，
，，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴．
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型
【解析】【分析】（1）延长至点，使，连接，利用“倍长中线”全等模型推出，得，，从而得，然后利用三角形的三边关系得到，进而求出的取值范围，于是求得的取值范围；
（2）延长到点，使，连接，由（1）同理可证明， 得到，，从而得，进而根据等腰三角形“等边对等角”性质得到，最后进行等量代换即可得证结论；
（3）延长至点，使，连接，同理得证，得到，，进行等量代换得，然后根据等腰三角形“等边对等角”性质以及对顶角相等的性质得到，由等腰三角形的判定得到，接下来设，利用勾股定理列方程求出，即可的长．
39．【答案】（1）和，
（2），
证明：在和中，，，，
，
即：，
在和中，
，
，
；
（3）解：如图，连接，交于，设、交于，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：在和中，，，，、、三点共线，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
图中与线段相等的线段是和，，
故答案为：和，.
【分析】(1)利用已知可证得点B、D、E三点共线，同时可求出∠ADB、∠CBD的度数；利用SAS可证得△ABD≌△ACE，利用全等三角形的性质可得到BD=CE，∠AEC=∠ADB=105°，再证明∠CBE=∠BEC，利用等角对等边可证得CE=BC，据此可证得结论.
(2)利用已知可证得∠BAD=∠CAE，利用可证，然后根据全等三角形的性质可证得结论.
(3)连接，交于，设、交于，易证，利用SAS可证得△AEC≌△BED，利用全等三角形的性质可得，根据三角形的内角和定理可得，然后利用勾股定理可求出的值.
40．【答案】解：（1）Ⅰ．∵，平分，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∴∠OCE+∠ECF=∠OCF=60°，
∵∠DCE=∠OCE+∠DCO=60°，
∴∠ECF=∠DCO，
在和中，
，
∴，
∴①②正确，
故答案为：①②；
Ⅱ．∵平分，，，
∴，∠CMD=∠CNE=90°，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴②③正确，
故答案为：②③；
（2）①证明：如图1，作交于点，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由勾股定理可得：，即，
∴；
②如图2，过点C作CM⊥OD于M，CN⊥OB于N，
∴∠CMD=∠CNE=∠OMC=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠MCN=∠MCE+∠ECN=90°，
∵∠DCE=∠MCE+∠DCM=90°，
∴∠DCM=∠ECN，
∵AC平分∠AOB，CM⊥OD，CN⊥OB，
∴CM=CN，
在和中，
，
∴，
设，则，
∴，
∴，
解得，
即，．
在中，由勾股定理得．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；三角形的综合
【解析】【分析】（1）Ⅰ．根据角平分线的定义得，从而证明为等边三角形，进而可得，，然后根据角的和差关系得∠ECF=∠DCO，即可证出；
Ⅱ．利用角平分线性质定理可得，根据角的和差可得出，即可证明，从而证明；
（2）①作交于点，根据角的和差可得出，由平分，可得，等角对等边可得，即可证明，，由勾股定理可得：，即可得出．
②过点C作CM⊥OD于M，CN⊥OB于N，易证，设，则，从而得，，解方程即可得，，最后利用勾股定理得的值．
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