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《三角形的综合》精选压轴题（三）—2025年浙江省八（上）数学期中复习
一、单选题
1．（2024八上·杭州期中）如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成了一个大正方形，连接，交于点，若正方形的面积为30，．则的值是（　　）
A． B． C．7 D．
2．（2024八上·江山期中）如图，在中，，，，点，，分别在边，，上，连结，．已知点和点关于直线对称．若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八上·钱塘期中）如图，中，的角平分线交于点P，延长，，则下列结论中正确的是（　　）
①平分；
②；
③；
④．
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
4．（2024九下·北京市月考）如图，在中，，为斜边的中点，在内绕点转动，分别边、于点、（点不与点、重合），下列说法正确的是（　　）
①；
②；
③．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
5．（2024八上·瑞安期中）如图，正方形中，点，，，分别在边，，，上，且，依次连接，，，，将和分别沿，翻折，使点，分别落在和处，连接和．若，的面积为，则正方形的面积为（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
6．（2023八上·如东期中）如图，已知和都是等腰直角三角形，，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③；④平分；⑤，其中结论正确的序号是（　　）
A．①②③④ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤
7．（2024八上·杭州期中）如图，在中，，D，E分别为线段，上一点，且，连接、交于点G，延长交于点F．以下四个结论正确的是（　　）
①；
②若，则；
③连结，若，则；
④若平分，则
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
8．（2024八上·舟山期中）如图，是的角平分线，，，，，分别是和上的任意一点；连接，，，，给出下列结论：①的面积是12；②；③的最小值是；④若平分，则的面积为9．其中正确的是（　　）
A．①② B．①②④ C．①③ D．②③④
9．（2024八上·上城期中）如图，等腰中，，，于点，的平分线分别交、于、两点，为的中点，的延长线交于点，连接，下列结论：①；②；③；④；⑤平分，其中正确结论有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题
10．（2024八上·杭州期中）如图，在中，，点，分别在，上，且，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，与交于点．下列结论：其中正确的结论有　 　．（填序号）
；
若，则；
若，，则；
若，，则．
11．（2024八上·江山期中）如图，点P是在正内一点．，，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接、，四边形的面积为　 　．
12．（2024八上·金华期中）在中，，，点是边上的点，将沿折叠得到，点是点的对称点．若，则的长是　 　．
13．（2024八上·西湖期中）如图，中，于点平分，交于点E，于点F，且交于点G，若，则　 　，　 　．
14．（2024八上·杭州期中）如图，在中，，，平分，交于，点是上的一点，且，连交于，连，下列结论：，，，，其中正确的有　 　．
15．（2023八下·南宁月考）如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点的运动时间为．过点作于点．在点P的运动过程中，当t为　 　时，能使？
16．（2024八上·杭州期中）如图，在中，，，分别以，为边在外作等边和等边，连结，．
（1），则　 　；
（2）若，则的长为　 　．
17．（2024八上·鄞州期中）一副三角板如图叠放，，，互相平分于点O，点F在边上，边交于点H，边交于点G．
（1）　 　；
（2）若，则　 　（用含a的代数式表示）．
三、综合题
18．（2024八上·西湖期中）如图，在等腰中，，P是线段上的一个动点（与点B，C不重合），连接，延长至点Q，使得，过点Q作于点H，交于点N，交于点M，连结．
（1）若，求的度数．（用含α的式子表示）；
（2）求证：；
（3）在P点运动过程中线段与的比值是否发生变化？若不变请计算它们的比值．
19．（2024八上·上城期中）如图， 在RtABC 中AB=10，BC⊥AC，P为线段AC上一点，点Q，P 关于直线BC对称，QD⊥AB于点D，DQ与BC交于点 E，连结DP， 设AP=m．
（1） 若BC=8，求AC的长，并用含m的代数式表示PQ的长；
（2）在（1）的条件下，若AP=PD．求CP的长：
（3）连结PE， 若∠A=60°，PCE与PDE的画积之比为1：2，求m的值．
20．（2024八上·杭州期中）如图，在等腰直角三角形中，，，点在边上，作于点，连接、．
（1）如图1，若平分，求证：垂直平分．
（2）如图2，点是的中点，直线交于点，连接，
①求证：是等腰直角三角形．
②若，，求的长度．
21．（2024八上·杭州期中）（1）已知点D为等边边所在直线上一点，连，以为边作等边，连．
①如图1，点D在线段上，求证：；
②当点D在的延长线上，①中的结论是否仍然成立，请画出图形判断并说明理由；
（2）如图2，点D为等腰直角直角边所在直线上任意一点，连，以为斜边作等腰直角，连，当的长最小时，直接写出的值，不需要说明理由．
22．（2024八上·瑞安期中）已知在直角三角形中，，D为斜边中点，C为边上一点．
（1）　　　．
（2）如图1，连结交于点E．当时：
①求证：；
②求的面积．
（3）如图2，连结，将沿着折叠得到．当与的一边平行时，求的长度．
23．（2024八上·杭州期中）在中，，，D为边上一点．
（1）如图1，若，，求的面积；
（2）如图2，作，且，连结交边于点F，连结．
①若，求证：；
②若，写出线段，，长度之间的等量关系，并说明理由．
24．（2024八上·象山期中）中，，，是边一点，连接，为射线上一点．
（1）如图1，当点在边上时，连接．交于点，若．
①与相等吗？请判断并说明理由；
②若，，求的长．
（2）如图2，当点在延长线上时，连接，若．
①探究线段，，的数量关系并说明理由；
②连接，求的值．
25．（2024八上·杭州期中）如图，已知等边，点为内的一点，连接、、，，以为边向上方作等边，连接（）.
（1）求证：≌
（2）若，，则的面积为 .
（3）若，，（为大于1的整数）.求证：.
26．（2024八上·拱墅期中）如图1，直线，平分，过点B作交于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以的速度沿射线方向运动，动点D以的速度沿射线方向运动；已知，设动点D，E的运动时间为t．
（1）求的度数；
（2）当点D在射线上运动时满足，求点D，E的运动时间t的值；
（3）当动点D在射线上运动，点E在射线上运动过程中，是否存在某个时间t，使得与全等？若存在，请求出此时的长；若不存在，请说明理由．
27．（2024八上·温州期中）如图1，是等边内一点，连结．将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结．
（1）求证：．
（2）如图2，连结．
①当，且为等腰三角形时，求出的度数．
②当，且时，请直接写出点到点的距离．
28．（2024八上·杭州期中）在中，，点B在边上，且，C是射线上的一个动点（不与点B重合，且），在射线上截取，连接．
（1）当点C在线段上时，
①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段与的数量关系为 ；
②如图2，若点C不与点D重合，请证明；
（2）当点C在线段的延长线上时，用等式表示线段，，之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）．
29．（2024八上·江山期中）在中，，点D是直线上一点（不与B，C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．
（1）如图1，当点D在线段上时，如果，则　　°．
（2）设．
①如图2，当点D在线段上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由．
②当点D在直线上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请你在备用图上画出图形，并直接写出结论．
30．（2024八上·舟山期中）如图，四边形中，，，是的中点．
（1）如图①，连接，，若，求的度数；
（2）如图②，连接交于点，若，，求的长；
（3）如图③，作于点，试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
31．（2024八上·嘉兴期中）根据以下素材，探索解决问题．
如何作出“倍角三角形”？
素材 如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”
问题解决
项目操作 如图，中，，，请将分成两个小三角形，使得其中一个小三角形是“倍角三角形”，并标注该“倍角三角形”三个内角的度数．
项目探索 若是倍角三角形，，，，求面积．
项目拓展 如图，的外角平分线与的延长线相交于点，点在延长线上，若，，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图所示，与交于点M，
正方形的面积为30，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
∴，
，
此图是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，
，
∴，，
，
，
，
，
，
．
故选：A．
【分析】
本题考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识点，首先要求学生正确理解题意，然后会利用勾股定理和三角形全等的性质解题．先证明，则，所以两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，设，则，由于正方形的面积为30，则，根据勾股定理得：，整体代入可得结论．
2．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；轴对称的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作于点，
∵点和点关于直线对称，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，即，
∵，，，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长为．
故答案为：A．
【分析】如图，连接EB，过点C作CJ⊥AB于点J，由轴对称性质及已知可得DB=DE=DC，由等边对等角及三角形内角和定理可推出∠BEC=90°，即，利用等面积法建立方程求出，在Rt△ABE中，利用勾股定理即可求出BE，最后再在Rt△BEC中，利用勾股定理算出CE即可.
3．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；角平分线的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：①如图，过点作于，
∵的角平分线交于点，，
∴，
∴，
∴平分，故①正确；
②∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
同理得，
∴，
∴，
∴，故②正确；
③∵的角平分线交于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确；
④由②可知，，
∴，
∴，故④正确；
故答案为：D．
【分析】①过点作于，根据角平分线的性质得，由角平分线的判定推出平分；②根据垂直的定义以及四边形内角和等于360°求出，然后证明，，得，，从而得，进而得；③根据角平分线的定义得，结合三角形外角的性质求出；④结合②中的全等三角形得，即可得.
4．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等的判定；等腰直角三角形；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：①，
∴是等腰直角三角形，
∴，
点为斜边的中点，
，，
∵
∴，
在和中，
，
∴，
，
∴是等腰直角三角形，
∴，故①正确；
②∵，
∴，
在与中，
，
∴，
，
由①得，
∴，
，
，故②正确；
③∵是等腰直角三角形，
，
当时，最短，
，
，
∴，故③错误；
综上所述，说法正确的是①②，
故答案为：A．
【分析】①由是等腰直角三角形得，利用等腰三角形“三线合一”性质得，，求出，则证明，得，于是得是等腰直角三角形，即可得；②同理证明，得，由①中的全等三角形得，然后利用勾股定理，进行等量代换即可得；③当时，最短，从而可得，整理后进行代换即可得.
5．【答案】B
【知识点】正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；四边形的综合
【解析】【解答】解：如图所示，延长交于点，
依题意，由正方形的性质知，，和四个三角形全等，
∴
∴
∴
四边形是正方形
∵
∴
同理：
为等腰直角三角形
∵
∴
∴
∴
故选：B．
【分析】由正方形的性质结合已知可得，，和四个三角形全等，则可证四边形HEFG也是正方形，再延长EB`交HD`于点M，由折叠的性质结合正方形的性质可得，再由已知结合折叠的性质及全等三角形的对应边相等可得B`M等于D`H的一半且平分D`H，则可得是等腰直角三角形，再由三角形面积公式可求得D`H=2，则DH=2，AH=1，即正方形ABCD的边长AD=3，则其面积可求．
6．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的判定；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵和都是等腰三角形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴①②符合题意；
设与交于点G，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴③符合题意；
分别过A作，垂足分别为M、N，如图所示：
∵，
∴，
∴平分，
∴，
若平分，
∴，
∴，而，
∴，
∴，与题干条件互相矛盾，
∴④不符合题意；
∵平分，，
∴，
∴⑤符合题意．
综上，正确的是①②③⑤，
故答案为：D．
【分析】先利用“SAS”证出，再利用全等三角形的性质可得判断①②是否正确；先利用角的运算和等量代换可得，从而可判断③是否正确；再利用全等三角形的性质及角平分线的判定方法可判断④⑤是否正确.
7．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在和中，
，
∴，
，
，
，
，
，
点是的中垂线上，
，
点在的中垂线上，
垂直平分，
，故①正确；
若，则，
∵，
，
，
又，
，故②正确；
如图，连接，
若，则，
∵，
，
，
又，
，
，，
，，
又，
，
，
，
，
，
，
，故③正确，
若平分，
，
，，
，
点是角平分线的交点，
点到三边的距离为的长，
，，，
，
，
，
，故④正确；
故答案为：D．
【分析】利用“”可证，利用全等三角形的性质可证得，由此可推出，可得，则点是的中垂线上，由线段垂直平分线的性质可得，可对①作出判断；由全等三角形的性质可得，由直角三角形的性质可得，可对②作出判断；由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，由，可得，可对③作出判断；由角平分线的性质可证点是角平分线的交点，可得点到三边距离相等，由面积法可求，可对④作出判断；即可求解．
8．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：①，平分，，
，，，，
，
，
∵，
，，
∵，，
，，
，，
，
，故①正确；
②由①知，
，故②正确；
③如图，过点作于点，
由①得，，，
垂直平分，
，
，
当最小时，最小，
∴当点在与交点上时，有，此时最小，且最小值为，
∵，，，，
，
∴的最小值为，故③错误；
④如图，过点作于点，
平分，，
，
，
，
，故④正确；
综上所述，正确的是①②④，
故答案为：B．
【分析】①根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义得，，，，利用勾股定理以及三角形面积公式得，，然后由平行线的性质，进行等量代换得，，根据等腰三角形判定得，最后由三角形中线的性质得的值；②由①知，则；③过点作于点，由①得，，，从而得垂直平分，进而根据线段垂直平分线的性质得，于是得，则当点在与交点上时，有，此时最小，且最小值为，然后利用“等面积法”得到的值；④过点作于点，根据角平分线的性质得出，求出，由，即可求出的结果.
9．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定；旋转全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：等腰中，，，
，
平分，
，
，
故①正确．
，
由①知，
，
，
故②正确；
，，，
，，，
，
平分，
，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
故③正确；
平分
由③知
．
故④正确．
过作，．
在和中，
，
，
平分，
故⑤正确．
故选：．
【分析】
①由等腰直角三角形的性质可得，由角平分线的概念可得，再利用三角形的外角性质即可；
②由等腰三角形的三线合一结合三角形的外角性质可得，即有；
③由等腰三角形三线合一得，由等角对等边得，由垂直的定义得，则依据AAS即可；
④由外角的性质及互为余角可证明，即，则由等腰三角形三线合一知，由于，则；
⑤过作，，则可利用旋转全等模型证明，则，再由角平分线的判定即可证明结论．
10．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；直角三角形斜边上的中线；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故正确；
∵，
∴，，
∴，
则，故正确；
，
∴，
∵，，
∴，
，
∴，故不正确；
，，
则由勾股定理得，
∴，故正确，
综上可知：正确，
故答案为：．
【分析】
由折叠的性质知DE垂直平分CF，则，再由等角的补角相等可得，即CF ＝AF，同理可得，等量代换得；
由折叠的性质结合已知可得，由直角三角形两锐角互余可得，再利用三角形的外角性质即可；
先由勾股定理可得，再利用等面积法求出，再利用勾股定理分别求得，即可判断；
先由勾股定理求得，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CF，最后再由折叠的性质即可求解．
11．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：由旋转的性质可知，，，
是等边三角形，
，，
如图，过点作于点，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
，，，
，
，
，
四边形的面积为，
故答案为：．
【分析】由旋转的性质可得， ，从而根据有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△APP'是等边三角形；过点作于点，由等边三角形的三线合一得AD=DP'=3，然后根据勾股定理算出PD的长，进而根据三角面积公式计算出△APP'得面积；由等边三角形性质得AB=AC，∠BAC=∠PAP'=60°，根据角的构成及等式性质推出∠BAP=∠CAP'，从而由SAS判断出△ABP≌△ACP'，得到PB=CP'=8，利用勾股定理逆定理得出∠CP'P=90°，再根据S四边形APCP'=S△APP'+S△CPP'求解．
12．【答案】12或6
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：作于点，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∴.
当点在直线的下方时，如图，
由折叠的性质得，
∵，
∴，
∴，
∵AB=AC，∠ABC=30°，
∴∠B=∠C=30°，∠BAC=180°－30°×2=120°.
∴，，
∴，，
∴；
当点在直线的上方时，如图，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
综上，的长是12或6．
故答案为：12或6．
【分析】先求得，分点在直线的下方和点在直线的上方两种情况讨论，利用等腰三角形的判定和性质以及含30°角的直角三角形的性质求解即可．
13．【答案】3；
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴∠BAD+∠C=90°，
∵，
∴，
∴∠C=∠AGF，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
故答案为：①，②．
【分析】如图，连接，利用可证，可得，运用勾股定理可得，利用面积法可求的长．
14．【答案】
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图，设与交于点，
∵，，
∴，
又∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故正确；
∵，
∴∠BCE=∠ACB-∠ACO=22.5°，
∴，
∵，，
∴∠ABC=∠ACG，
在和中，
，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故正确；
∵，，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴可知所在直线垂直平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故错误；
∵，
∴，
由上可知：，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故正确；
综上：正确，
故答案为：．
【分析】如图，设与交于点，根据等边对等角可得的度数，根据角平分线的定义可得的度数，再结合垂直的定义，可求出的度数，可判断；先利用ASA证明，可推出，证明，可判断；先证垂直平分，可得，再证所在直线垂直平分，可得，进一步可推出，易证，则，即可得错误；先利用AAS证明，可得，可判断．
15．【答案】5或11
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；角平分线的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：①点在线段上时，过点作于，如图2所示：
则，
，
平分，
，
又，
∴，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
②点在线段的延长线上时，过点作于，如图3所示：
同①得：，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
综上所述，在点的运动过程中，当的值为5或11时，能使．
故答案为：5或11．
【分析】
由于角平分线上的点到角两边距离相等，则有DP平分，因为点P在射线BC上运动，则应分两种情况，即点P在点C左侧或在点C右侧时，再分别证明，则有PE＝PC，此时可用含t的代数式表示出PE，再利用勾股定理求出AE，则AP可得，再在直角三角形APC中应用勾股定理求出PC，则BP分别等于BC－PC或BC+PC，则t的值可求．
16．【答案】；
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【解答】解：（1）∵是等边三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：；
（2）∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
过点E作于点F，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：．
【分析】
（1）由等边三角形的性质得，再根据三角形的内角和定理求解即可；
（2）先利用手拉手全等模型可证，则，再过点E作于点F，则利用等边三角形的性质结合已知可知，再借助直角三角形中30度的性质可得CF，然后利用勾股定理分别求出EF和BE即可．
17．【答案】；
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：（1）连接，
∵，
∴，
∴，
∵互相平分于点O，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】（1）连接，得到，，进而求出，即可得到，然后利用余角求出即可；
（2）根据含30度的直角三角形的性质得到，得到为等腰三角形，进而得到，即可求出的长，然后证明为等腰三角形，推出即可．
18．【答案】（1）解：∵是等腰直角三角形， ，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：作，如图所示：
∵，
∴，
∵由（1）得∠BAC=45°，
∴，
∴，
∴；
（3）解：不发生变化，
理由如下：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∵是等腰直角三角形，
∴，
又∵CQ=CP，
∴，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出和∠B的度数，进一步可用a表示出∠PAB，再利用垂直的定义可得∠AHM的度数，最后利用三角形的内角和即可 用含α的式子表示∠AMQ；
（2）作，先推出AC是线段QP的垂直平分线，可得AQ=AP，且用a表示∠QAC，进一步可表示出∠QAM，可推出，根据等角对等边可得，即可解决问题；
（3）由证明，得出，是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得，可推出 ，即可得出结论．
（1）解：∵，是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：作，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：不发生变化，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
19．【答案】解：（1）∵RtABC 中AB=10，BC⊥AC，BC=8，
∴AC=，
∵AP=m，
∴PC=6-m，
∵点Q，P 关于直线BC对称，
∴PQ= 2PC=12-2m；
（2）∵AP=PD，
∴∠A=∠ADP，
∵QD⊥AB，
∴∠ADP+∠PDQ=∠A+∠AQD=90°，
∴∠PDQ=∠AQD，
∴PD=PQ，
∴AP=PQ=PD，
∴m=12-2m，解得：m=4，
∴CP=6-4=2；
（3）∵PCE与PDE的面积之比为1：2，PCE的面积和DCE的面积相等，
∴PQE和PDE的面积相等，
∴点E是DQ的中点，即：DE=QE，
∵点Q，P 关于直线BC对称，
∴EP=EQ，
∴EP=EQ=ED，
∴∠EDP=∠EPD，∠EPQ=∠EQP，
∴∠EPD+∠EPQ=180°÷2=90°，即：∠DPQ=90°，
∵∠A=60°，QD⊥AB，
∴∠AQD=30°，∠B=30°，
∴AC=AB=5，
∴AD=AQ=（AP+PQ）=（10-2m+m）=5-m，
∵∠APD=90°，
∴∠ADP=30°，
∴AP=AD=-m，
∴-m=m，解得：m=2．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出AC，则PC＝AC－AP＝6-m，再利用轴对称的性质可得PQ＝2PC；
（2）由AP=PD，则∠A=∠ADP，再由等角的补角相等可得∠PDQ=∠AQD，则AP=PQ=PD，可得关于m的一元一次方程并求解即可；
（3）由轴对称的性质可知，又已知，且与共底同高，则点E平分DQ； 再由轴对称的性质知PE＝QE，则，又PA＝PD，则，则由直角三角形两锐角互余可证，因为，则，再利用直角三角形中30度所对的直角边是斜边的一半列方程并求解即可．
20．【答案】（1）证明：∵平分，∴，
∵平分，，，
∴，
∴点P在线段AQ的垂直平分线上，
又∵，
∴（SAS），
∴，
∴点B在线段AQ的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线；
（2）证明：①∵，，
∴，
∵，，点是的中点，
∴，，
，
∴，，，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形．
②如图，过作，且，连接，，
∴，
∵∠BAM=∠QAM-∠BAQ，∠CAQ=∠BAC-∠BAQ，
∴，
又∵，AM=AQ，
∴（SAS），
∴，，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴（SAS)，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质证明，可得点P在线段AQ的垂直平分线上，再利用HL证明，可得，可得点B在线段AQ的垂直平分线上，结合两点确定一条直线可得垂直平分 ；
（2）①先证，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推出，利用四边形的内角和可推出，可得，结合三角形的外角的性质证明，可得结论；
②如图，过作，且，连接，，利用SAS证明，可得，，再利用SAS证明，可得的长度，最后利用勾股定理可得答案．
（1）证明：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的垂直平分线；
（2）证明：①∵，，
∴，
∵，，点是的中点，
∴，，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形．
②如图，过作，且，连接，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．【答案】（1）①证明：，是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
∴，
，
，
；
②解：①中的结论仍然成立，画出的图形及理由如下：
，是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
∴，
，
，，
，
，
，
①中的结论仍然成立；
（2）是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
∴当的长最小时，的长也最小，
点为所在直线上任意一点，
当，即时，的长最小，
又，
点和点重合，
设，则，
是等腰直角三角形，
，，
，
在中，，
．
【知识点】垂线段最短及其应用；平行线的判定；等边三角形的性质；等腰直角三角形；手拉手全等模型
【解析】【分析】（1）①由等边三角形的性质及”手拉手“全等模型推出，得，再利用平行线的判定即可得证结论；
②由①同理可推出，得，再利用三角形外角性质和角度之间的等量代换得到，最后根据平行线的判定即可得出结论；
（2）由等腰直角三角形得，可得当的长最小时的长也最小，结合图形分析当当，即点和点重合时，的长最小，然后设，则，，，从而得，进而利用勾股定理表示出的长，即可得出的值．
22．【答案】（1）5
（2）①证明：∵
∵D为斜边中点，
∴，
∴；
∵，
∴，
即；
②解：由（1）知，；
设，则；
由①知，，
由勾股定理得：，，
∴，
解得：，
∴，
∴
（3）解：当时，如图，则，
由折叠知，，
∴，
∴；
当时，连接，如图，
则；
∵，
∴，
由勾股定理得：；
由折叠知，，，
∴；
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即；
由于点D在上，不可能与平行；
综上，的长度为5或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】（1）解：∵在直角三角形中，，
∴；
∵D为斜边中点，
∴
故答案为：5．
【分析】（1）先由勾股定理求出斜边AB的长，再由直角三角形斜边上中线的性质即可求解；
（2）①由于直角三角形两锐角互余，则，由于斜边上的中线等于斜边的一半，则，则；又，则由三角形的外角性质结合等量代换得，即；
②由于已证，则可设，则，再利用勾股定理建立关于方程并求出的值，则由勾股定理可得，再由三角形面积公式计算即可；
（3）由于点C在OA上运动，因此可分两种情况：当时或时，对于，由折叠的性质结合平行线的性质可得，则；对于，连接，由等腰三角形三线合一知，又，则由勾股定理可得，则，此时可设，则，在中应用勾股定理即可．
（1）解：∵在直角三角形中，，
∴；
∵D为斜边中点，
∴
故答案为：5．
（2）①证明：∵D为斜边中点，
∴，
∴；
∵，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
即；
②解：由（1）知，；
设，则；
由①知，，
由勾股定理得：，，
∴，
解得：，
∴，
∴；
（3）解：当时，如图，
则，
由折叠知，，
∴，
∴；
当时，连接，如图，
则；
∵，
∴，
由勾股定理得：；
由折叠知，，，
∴；
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即；
由于点D在上，不可能与平行；
综上，的长度为5或．
23．【答案】（1）解：∵，，，∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）①证明：过作于，过作于，则，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
②解：，理由如下：
由①可得，
∴，
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定；勾股定理；等腰直角三角形；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】
（1）先利用等腰直角三角形的性质和勾股定理可求得AB的长，又和同高共底，则其面积比等于底边比，此时利用三角形面积公式求出的面积即可；
（2）①证明：由于，则可过作于，过作于，则可利用一线三垂直全等模型证明，则有，，再由等腰直角三角形三线合一可证，等量代换得，则，所以，再由结合三角形的外角性质即可；
②由于，再由勾股定理可得到．
（1）解：∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）①证明：过作于，过作于，则，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
②解：，理由如下：
由①可得，
∴，
∴．
24．【答案】（1）①与相等，
理由如下，作，分别交直线和直线于点和，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴
（2）解：①，理由如下，在上截取，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰三角形，
作于点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②在上截取，连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）①作，分别交直线和直线于点和，利用AAS科鲁兹可证得，利用全等三角形的性质可证得，，再利用HL可证，得到，据此即可得解；
②利用SAS可证得，利用全等三角形的性质可推出，再得到；再证明是等腰直角三角形，再利用直角三角形的性质和勾股定理可求出BM的长，然后求出AD的长.
（2）①在上截取，连接，利用SAS可证得，得到是等腰三角形，作于点，再利用直角三角形的性质即可求解；
②在上截取，连接，得到是等边三角形，利用SAS可证得，推出，据此即可求解．
（1）解：①与相等，理由如下，
作，分别交直线和直线于点和，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴；
（2）解：①，理由如下，
在上截取，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰三角形，
作于点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②在上截取，连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
25．【答案】（1）证明：在等边中，，，即在等边中，，，即
∴
∴
在和中
∴≌（）
（2）由（1）得，
∵
∴
∴
则，
∴
∵
∴是等边三角形
∴
（3）证明：∵是等边三角形
∴，
由（1）得≌
∴，
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
在中，由勾股定理得.
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）利用手拉手全等模型证明即可；
（2）由可得，又，则可得，又，则是等边三角形，则，再由三角形面积公式可求得答案；
（3）由可得，由等边三角形的概念可得，则由勾股定理的逆定理可判定为直角三角形，且，则，又，则由周角的概念可得即可.
26．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：根据题意，得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：或秒；
（3）解：存在，理由如下：
当时，此时点在线段上，如图，连接，
由（1）得，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
根据题意，得，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据垂直以及角平分线的定义得，，最后由直角三角形的两锐角互余即可求出的度数；
（2）根据题意得到，，则，由列出关于的方程，解方程即可求解；
（3）当时，此时点在线段上，连接，先证明，得，，然后根据题意得，，据此可列方程求出的值，利用勾股定理得，接下来推出是等腰直角三角形，据此即可求出的值.
（1）解：如图1中，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：根据题意：，，
∴，
∵，
∴，
解得：或秒；
（3）存在．∵，，
∴当时，此时，点E在线段上，
∴，
，
∴，
∴，
∴满足条件的的值为．
此时，，，
如图，连接，
∴
∵
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
27．【答案】（1）由题意可得：，
是等边三角形，
，
，
，
在和中，
，
，
（2）①，
是等边三角形，
，
由（1）知：，
，
，
为等腰三角形，
或或，
当时，，
，
；
当时，，
；
当时，
；
综上，当为等腰三角形时，的度数为或或；
②
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（2）②如图3，过点作于，则，
，
，
由（1）知：，
，
，
，
三点共线，
中，，
，
由勾股定理得：
【分析】（1）先根据等边三角形的性质得到再根据全等三角形的判定证明即可.
（2）①根据 当时， 当时， 当时， 三种情况讨论即可.
②过点作于，根据平行线和全等三角形的性质证出三点共线，再利用所对的直角边等于斜边的一半得到，最后根据勾股定理计算即可.
28．【答案】（1）解：①
②证明：在上截取，连接，
，，
是等边三角形，
，，
，
同理可得，也是等边三角形，
，
，
即，
，
，
在和中，
，
，
，
．
（2）解：或
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】（1）①解：补全图1如下：
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
．
故答案为：；
（2）解：若点在线段上，如图3，作同（1）中的辅助线，
由（1）中的结论得，，，
；
若点在延长线上，如图4，作同（1）中的辅助线，
由（1）中的结论得，，，
；
综上所述，数量关系为或．
【分析】（1）①补全图1，由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△BAC是等边三角形，由等边三角形的三边相等，三个内角都等于60°得出AC=BC，，由邻补角及等角的补角相等得，由等边对等角得，从而利用“AAS”判定推出，由全等三角形的对应边相等即可得出结论；
②在BE上截取BG=BD，连接DG， 由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△BDG和△BAC都是等边三角形，由等边三角形性质DG=DB=BG，∠DGB=∠DBG=60°，由线段构成及等式性质推出AG=CD， 由邻补角及等角的补角相等得∠DGE=∠DBF，由等边对等角得，从而利用“AAS”判定推出△DGE≌△DBF，由全等三角形的对应边相等得GE=BF，最后根据线段和差及等量代换可得结论；
（2）分两类情况：点A在线段BE、BE延长线上，作出同（1）中的辅助线，由（1）中的结论得，，，再根据线段的和差进行等量代换即可解答．
（1）①解：补全图1如下：
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
．
故答案为：．
②证明：在上截取，连接，
，，
是等边三角形，
，，
，
同理可得，也是等边三角形，
，
，
即，
，
，
在和中，
，
，
，
．
（2）解：若点在线段上，如图3，作同（1）中的辅助线，
由（1）中的结论得，，，
；
若点在延长线上，如图4，作同（1）中的辅助线，
由（1）中的结论得，，，
；
综上所述，数量关系为或．
29．【答案】（1）
（2）解：①；理由：
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②或.
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SAS；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）②或；
当点D在线段上移动时，，证明见小问①；
当点 D在线段线的延长线上时，如图1，，
证明：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点D在射线的反向延长线上时，如图2，，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【分析】（1）由角的构成及等式性质推出， 从而用“SAS”证明，由全等三角形的对应角相等得到，再利用角的构成、等量代换及三角形内角和定理即可得出结论；
（2）①证明，得到，再进行等量代换，最后利用三角形内角和定理即可求证；
②分别讨论当点D在线段上移动时， 证明见小问①； 当点D在线段的延长线上移动时，由角的构成及等式性质推出， 从而用“SAS”证明，由全等三角形的对应角相等得到，再利用角的构成、等量代换及三角形内角和定理即可得出结论；当点D在线段的反向延长线上移动时， 由角的构成及等式性质推出， 从而用“SAS”证明，由全等三角形的对应角相等得到，再利用角的构成、等量代换及三角形内角和定理即可得出结论，综上可得结论.
（1）；
理由：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）①；
理由：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②或；
当点D在线段上移动时，，证明见小问①；
当点 D在线段线的延长线上时，如图1，，
证明：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点D在射线的反向延长线上时，如图2，，
证明：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
30．【答案】（1）解：，，为的中点，
∴，
，
，，
，
为的中点，，
，
是等边三角形，
，
；
（2）解：，，是的中点．
，，
设，
，
，
，
，
，
，
解得：，
；
（3）解：，理由如下：
如图，过点作，交延长线于，
，
，，
，
，
∵，
，
，
在和中，
，
，
，，
∴平分，
，
∴，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；角平分线的判定；三角形的综合；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形“三线合一”性质得，求出，由直角三角形斜边上的中线性质得，从而可得是等边三角形，进而得，于是得的度数；
（2）根据等腰三角形“三线合一”以及直角三角形斜边上的中线性质得，，然后设，则，，最后利用勾股定理得关于的方程并解之即可求解；
（3）过点作，交延长线于，则，，可推出，得，，根据角平分线的判定得平分，于是得，结合等腰三角形的判定得到，最后即可得．
（1）解：，，为的中点，
，
，，
，
为的中点，，
，
是等边三角形，
，
；
的度数为；
（2）解：，，是的中点．
，，
设，
，
，
，
，
，
，
解得，
，
的长为13；
（3）解：，理由如下：
过作交延长线于，如图：
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，，
∴平分，
，
∴，
，
．
31．【答案】解：项目操作：如图所示，为“倍角三角形”；
项目探索：
∵，，
①当，，
过作的延长线于点，则，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当或时，与三角形内角和为矛盾，该种情形不存在；
∴面积为；
项目拓展：
和是倍角三角形．
证明：∵平分，
∴，
∵，，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴是倍角三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是倍角三角形
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】项目操作：由等腰三角形的性质可得，则可作的角平分线交于点，则，由三角形内角和可得，则为“倍角三角形”；
项目探索：由于，则由“倍角三角形”的概念可分、或三种情况解答即可求解，如图对于，由三角形的内角和可得，
因此可作AB上的高CH，则为等腰直角三角形，由勾股定理求出CH即可；对于，则可得，由三角形内角和得，则与已知矛盾；对于，则由内角和定理可得，则与已知矛盾；
项目拓展：由角平分线的概念可得又已知是公共边相等，则可证明，则、，则等量代换可得，则，即是倍角三角形；再由可得，由内角和定理可得，则，即是倍角三角形．
1 / 1《三角形的综合》精选压轴题（三）—2025年浙江省八（上）数学期中复习
一、单选题
1．（2024八上·杭州期中）如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成了一个大正方形，连接，交于点，若正方形的面积为30，．则的值是（　　）
A． B． C．7 D．
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图所示，与交于点M，
正方形的面积为30，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
∴，
，
此图是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，
，
∴，，
，
，
，
，
，
．
故选：A．
【分析】
本题考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识点，首先要求学生正确理解题意，然后会利用勾股定理和三角形全等的性质解题．先证明，则，所以两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，设，则，由于正方形的面积为30，则，根据勾股定理得：，整体代入可得结论．
2．（2024八上·江山期中）如图，在中，，，，点，，分别在边，，上，连结，．已知点和点关于直线对称．若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；轴对称的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作于点，
∵点和点关于直线对称，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，即，
∵，，，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长为．
故答案为：A．
【分析】如图，连接EB，过点C作CJ⊥AB于点J，由轴对称性质及已知可得DB=DE=DC，由等边对等角及三角形内角和定理可推出∠BEC=90°，即，利用等面积法建立方程求出，在Rt△ABE中，利用勾股定理即可求出BE，最后再在Rt△BEC中，利用勾股定理算出CE即可.
3．（2024八上·钱塘期中）如图，中，的角平分线交于点P，延长，，则下列结论中正确的是（　　）
①平分；
②；
③；
④．
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；角平分线的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：①如图，过点作于，
∵的角平分线交于点，，
∴，
∴，
∴平分，故①正确；
②∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
同理得，
∴，
∴，
∴，故②正确；
③∵的角平分线交于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确；
④由②可知，，
∴，
∴，故④正确；
故答案为：D．
【分析】①过点作于，根据角平分线的性质得，由角平分线的判定推出平分；②根据垂直的定义以及四边形内角和等于360°求出，然后证明，，得，，从而得，进而得；③根据角平分线的定义得，结合三角形外角的性质求出；④结合②中的全等三角形得，即可得.
4．（2024九下·北京市月考）如图，在中，，为斜边的中点，在内绕点转动，分别边、于点、（点不与点、重合），下列说法正确的是（　　）
①；
②；
③．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等的判定；等腰直角三角形；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：①，
∴是等腰直角三角形，
∴，
点为斜边的中点，
，，
∵
∴，
在和中，
，
∴，
，
∴是等腰直角三角形，
∴，故①正确；
②∵，
∴，
在与中，
，
∴，
，
由①得，
∴，
，
，故②正确；
③∵是等腰直角三角形，
，
当时，最短，
，
，
∴，故③错误；
综上所述，说法正确的是①②，
故答案为：A．
【分析】①由是等腰直角三角形得，利用等腰三角形“三线合一”性质得，，求出，则证明，得，于是得是等腰直角三角形，即可得；②同理证明，得，由①中的全等三角形得，然后利用勾股定理，进行等量代换即可得；③当时，最短，从而可得，整理后进行代换即可得.
5．（2024八上·瑞安期中）如图，正方形中，点，，，分别在边，，，上，且，依次连接，，，，将和分别沿，翻折，使点，分别落在和处，连接和．若，的面积为，则正方形的面积为（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】B
【知识点】正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；四边形的综合
【解析】【解答】解：如图所示，延长交于点，
依题意，由正方形的性质知，，和四个三角形全等，
∴
∴
∴
四边形是正方形
∵
∴
同理：
为等腰直角三角形
∵
∴
∴
∴
故选：B．
【分析】由正方形的性质结合已知可得，，和四个三角形全等，则可证四边形HEFG也是正方形，再延长EB`交HD`于点M，由折叠的性质结合正方形的性质可得，再由已知结合折叠的性质及全等三角形的对应边相等可得B`M等于D`H的一半且平分D`H，则可得是等腰直角三角形，再由三角形面积公式可求得D`H=2，则DH=2，AH=1，即正方形ABCD的边长AD=3，则其面积可求．
6．（2023八上·如东期中）如图，已知和都是等腰直角三角形，，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③；④平分；⑤，其中结论正确的序号是（　　）
A．①②③④ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的判定；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵和都是等腰三角形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴①②符合题意；
设与交于点G，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴③符合题意；
分别过A作，垂足分别为M、N，如图所示：
∵，
∴，
∴平分，
∴，
若平分，
∴，
∴，而，
∴，
∴，与题干条件互相矛盾，
∴④不符合题意；
∵平分，，
∴，
∴⑤符合题意．
综上，正确的是①②③⑤，
故答案为：D．
【分析】先利用“SAS”证出，再利用全等三角形的性质可得判断①②是否正确；先利用角的运算和等量代换可得，从而可判断③是否正确；再利用全等三角形的性质及角平分线的判定方法可判断④⑤是否正确.
7．（2024八上·杭州期中）如图，在中，，D，E分别为线段，上一点，且，连接、交于点G，延长交于点F．以下四个结论正确的是（　　）
①；
②若，则；
③连结，若，则；
④若平分，则
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在和中，
，
∴，
，
，
，
，
，
点是的中垂线上，
，
点在的中垂线上，
垂直平分，
，故①正确；
若，则，
∵，
，
，
又，
，故②正确；
如图，连接，
若，则，
∵，
，
，
又，
，
，，
，，
又，
，
，
，
，
，
，
，故③正确，
若平分，
，
，，
，
点是角平分线的交点，
点到三边的距离为的长，
，，，
，
，
，
，故④正确；
故答案为：D．
【分析】利用“”可证，利用全等三角形的性质可证得，由此可推出，可得，则点是的中垂线上，由线段垂直平分线的性质可得，可对①作出判断；由全等三角形的性质可得，由直角三角形的性质可得，可对②作出判断；由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，由，可得，可对③作出判断；由角平分线的性质可证点是角平分线的交点，可得点到三边距离相等，由面积法可求，可对④作出判断；即可求解．
8．（2024八上·舟山期中）如图，是的角平分线，，，，，分别是和上的任意一点；连接，，，，给出下列结论：①的面积是12；②；③的最小值是；④若平分，则的面积为9．其中正确的是（　　）
A．①② B．①②④ C．①③ D．②③④
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：①，平分，，
，，，，
，
，
∵，
，，
∵，，
，，
，，
，
，故①正确；
②由①知，
，故②正确；
③如图，过点作于点，
由①得，，，
垂直平分，
，
，
当最小时，最小，
∴当点在与交点上时，有，此时最小，且最小值为，
∵，，，，
，
∴的最小值为，故③错误；
④如图，过点作于点，
平分，，
，
，
，
，故④正确；
综上所述，正确的是①②④，
故答案为：B．
【分析】①根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义得，，，，利用勾股定理以及三角形面积公式得，，然后由平行线的性质，进行等量代换得，，根据等腰三角形判定得，最后由三角形中线的性质得的值；②由①知，则；③过点作于点，由①得，，，从而得垂直平分，进而根据线段垂直平分线的性质得，于是得，则当点在与交点上时，有，此时最小，且最小值为，然后利用“等面积法”得到的值；④过点作于点，根据角平分线的性质得出，求出，由，即可求出的结果.
9．（2024八上·上城期中）如图，等腰中，，，于点，的平分线分别交、于、两点，为的中点，的延长线交于点，连接，下列结论：①；②；③；④；⑤平分，其中正确结论有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定；旋转全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：等腰中，，，
，
平分，
，
，
故①正确．
，
由①知，
，
，
故②正确；
，，，
，，，
，
平分，
，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
故③正确；
平分
由③知
．
故④正确．
过作，．
在和中，
，
，
平分，
故⑤正确．
故选：．
【分析】
①由等腰直角三角形的性质可得，由角平分线的概念可得，再利用三角形的外角性质即可；
②由等腰三角形的三线合一结合三角形的外角性质可得，即有；
③由等腰三角形三线合一得，由等角对等边得，由垂直的定义得，则依据AAS即可；
④由外角的性质及互为余角可证明，即，则由等腰三角形三线合一知，由于，则；
⑤过作，，则可利用旋转全等模型证明，则，再由角平分线的判定即可证明结论．
二、填空题
10．（2024八上·杭州期中）如图，在中，，点，分别在，上，且，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，与交于点．下列结论：其中正确的结论有　 　．（填序号）
；
若，则；
若，，则；
若，，则．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；直角三角形斜边上的中线；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故正确；
∵，
∴，，
∴，
则，故正确；
，
∴，
∵，，
∴，
，
∴，故不正确；
，，
则由勾股定理得，
∴，故正确，
综上可知：正确，
故答案为：．
【分析】
由折叠的性质知DE垂直平分CF，则，再由等角的补角相等可得，即CF ＝AF，同理可得，等量代换得；
由折叠的性质结合已知可得，由直角三角形两锐角互余可得，再利用三角形的外角性质即可；
先由勾股定理可得，再利用等面积法求出，再利用勾股定理分别求得，即可判断；
先由勾股定理求得，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CF，最后再由折叠的性质即可求解．
11．（2024八上·江山期中）如图，点P是在正内一点．，，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接、，四边形的面积为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：由旋转的性质可知，，，
是等边三角形，
，，
如图，过点作于点，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
，，，
，
，
，
四边形的面积为，
故答案为：．
【分析】由旋转的性质可得， ，从而根据有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△APP'是等边三角形；过点作于点，由等边三角形的三线合一得AD=DP'=3，然后根据勾股定理算出PD的长，进而根据三角面积公式计算出△APP'得面积；由等边三角形性质得AB=AC，∠BAC=∠PAP'=60°，根据角的构成及等式性质推出∠BAP=∠CAP'，从而由SAS判断出△ABP≌△ACP'，得到PB=CP'=8，利用勾股定理逆定理得出∠CP'P=90°，再根据S四边形APCP'=S△APP'+S△CPP'求解．
12．（2024八上·金华期中）在中，，，点是边上的点，将沿折叠得到，点是点的对称点．若，则的长是　 　．
【答案】12或6
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：作于点，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∴.
当点在直线的下方时，如图，
由折叠的性质得，
∵，
∴，
∴，
∵AB=AC，∠ABC=30°，
∴∠B=∠C=30°，∠BAC=180°－30°×2=120°.
∴，，
∴，，
∴；
当点在直线的上方时，如图，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
综上，的长是12或6．
故答案为：12或6．
【分析】先求得，分点在直线的下方和点在直线的上方两种情况讨论，利用等腰三角形的判定和性质以及含30°角的直角三角形的性质求解即可．
13．（2024八上·西湖期中）如图，中，于点平分，交于点E，于点F，且交于点G，若，则　 　，　 　．
【答案】3；
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴∠BAD+∠C=90°，
∵，
∴，
∴∠C=∠AGF，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
故答案为：①，②．
【分析】如图，连接，利用可证，可得，运用勾股定理可得，利用面积法可求的长．
14．（2024八上·杭州期中）如图，在中，，，平分，交于，点是上的一点，且，连交于，连，下列结论：，，，，其中正确的有　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图，设与交于点，
∵，，
∴，
又∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故正确；
∵，
∴∠BCE=∠ACB-∠ACO=22.5°，
∴，
∵，，
∴∠ABC=∠ACG，
在和中，
，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故正确；
∵，，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴可知所在直线垂直平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故错误；
∵，
∴，
由上可知：，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故正确；
综上：正确，
故答案为：．
【分析】如图，设与交于点，根据等边对等角可得的度数，根据角平分线的定义可得的度数，再结合垂直的定义，可求出的度数，可判断；先利用ASA证明，可推出，证明，可判断；先证垂直平分，可得，再证所在直线垂直平分，可得，进一步可推出，易证，则，即可得错误；先利用AAS证明，可得，可判断．
15．（2023八下·南宁月考）如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点的运动时间为．过点作于点．在点P的运动过程中，当t为　 　时，能使？
【答案】5或11
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；角平分线的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：①点在线段上时，过点作于，如图2所示：
则，
，
平分，
，
又，
∴，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
②点在线段的延长线上时，过点作于，如图3所示：
同①得：，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
综上所述，在点的运动过程中，当的值为5或11时，能使．
故答案为：5或11．
【分析】
由于角平分线上的点到角两边距离相等，则有DP平分，因为点P在射线BC上运动，则应分两种情况，即点P在点C左侧或在点C右侧时，再分别证明，则有PE＝PC，此时可用含t的代数式表示出PE，再利用勾股定理求出AE，则AP可得，再在直角三角形APC中应用勾股定理求出PC，则BP分别等于BC－PC或BC+PC，则t的值可求．
16．（2024八上·杭州期中）如图，在中，，，分别以，为边在外作等边和等边，连结，．
（1），则　 　；
（2）若，则的长为　 　．
【答案】；
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【解答】解：（1）∵是等边三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：；
（2）∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
过点E作于点F，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：．
【分析】
（1）由等边三角形的性质得，再根据三角形的内角和定理求解即可；
（2）先利用手拉手全等模型可证，则，再过点E作于点F，则利用等边三角形的性质结合已知可知，再借助直角三角形中30度的性质可得CF，然后利用勾股定理分别求出EF和BE即可．
17．（2024八上·鄞州期中）一副三角板如图叠放，，，互相平分于点O，点F在边上，边交于点H，边交于点G．
（1）　 　；
（2）若，则　 　（用含a的代数式表示）．
【答案】；
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：（1）连接，
∵，
∴，
∴，
∵互相平分于点O，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】（1）连接，得到，，进而求出，即可得到，然后利用余角求出即可；
（2）根据含30度的直角三角形的性质得到，得到为等腰三角形，进而得到，即可求出的长，然后证明为等腰三角形，推出即可．
三、综合题
18．（2024八上·西湖期中）如图，在等腰中，，P是线段上的一个动点（与点B，C不重合），连接，延长至点Q，使得，过点Q作于点H，交于点N，交于点M，连结．
（1）若，求的度数．（用含α的式子表示）；
（2）求证：；
（3）在P点运动过程中线段与的比值是否发生变化？若不变请计算它们的比值．
【答案】（1）解：∵是等腰直角三角形， ，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：作，如图所示：
∵，
∴，
∵由（1）得∠BAC=45°，
∴，
∴，
∴；
（3）解：不发生变化，
理由如下：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∵是等腰直角三角形，
∴，
又∵CQ=CP，
∴，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出和∠B的度数，进一步可用a表示出∠PAB，再利用垂直的定义可得∠AHM的度数，最后利用三角形的内角和即可 用含α的式子表示∠AMQ；
（2）作，先推出AC是线段QP的垂直平分线，可得AQ=AP，且用a表示∠QAC，进一步可表示出∠QAM，可推出，根据等角对等边可得，即可解决问题；
（3）由证明，得出，是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得，可推出 ，即可得出结论．
（1）解：∵，是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：作，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：不发生变化，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
19．（2024八上·上城期中）如图， 在RtABC 中AB=10，BC⊥AC，P为线段AC上一点，点Q，P 关于直线BC对称，QD⊥AB于点D，DQ与BC交于点 E，连结DP， 设AP=m．
（1） 若BC=8，求AC的长，并用含m的代数式表示PQ的长；
（2）在（1）的条件下，若AP=PD．求CP的长：
（3）连结PE， 若∠A=60°，PCE与PDE的画积之比为1：2，求m的值．
【答案】解：（1）∵RtABC 中AB=10，BC⊥AC，BC=8，
∴AC=，
∵AP=m，
∴PC=6-m，
∵点Q，P 关于直线BC对称，
∴PQ= 2PC=12-2m；
（2）∵AP=PD，
∴∠A=∠ADP，
∵QD⊥AB，
∴∠ADP+∠PDQ=∠A+∠AQD=90°，
∴∠PDQ=∠AQD，
∴PD=PQ，
∴AP=PQ=PD，
∴m=12-2m，解得：m=4，
∴CP=6-4=2；
（3）∵PCE与PDE的面积之比为1：2，PCE的面积和DCE的面积相等，
∴PQE和PDE的面积相等，
∴点E是DQ的中点，即：DE=QE，
∵点Q，P 关于直线BC对称，
∴EP=EQ，
∴EP=EQ=ED，
∴∠EDP=∠EPD，∠EPQ=∠EQP，
∴∠EPD+∠EPQ=180°÷2=90°，即：∠DPQ=90°，
∵∠A=60°，QD⊥AB，
∴∠AQD=30°，∠B=30°，
∴AC=AB=5，
∴AD=AQ=（AP+PQ）=（10-2m+m）=5-m，
∵∠APD=90°，
∴∠ADP=30°，
∴AP=AD=-m，
∴-m=m，解得：m=2．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出AC，则PC＝AC－AP＝6-m，再利用轴对称的性质可得PQ＝2PC；
（2）由AP=PD，则∠A=∠ADP，再由等角的补角相等可得∠PDQ=∠AQD，则AP=PQ=PD，可得关于m的一元一次方程并求解即可；
（3）由轴对称的性质可知，又已知，且与共底同高，则点E平分DQ； 再由轴对称的性质知PE＝QE，则，又PA＝PD，则，则由直角三角形两锐角互余可证，因为，则，再利用直角三角形中30度所对的直角边是斜边的一半列方程并求解即可．
20．（2024八上·杭州期中）如图，在等腰直角三角形中，，，点在边上，作于点，连接、．
（1）如图1，若平分，求证：垂直平分．
（2）如图2，点是的中点，直线交于点，连接，
①求证：是等腰直角三角形．
②若，，求的长度．
【答案】（1）证明：∵平分，∴，
∵平分，，，
∴，
∴点P在线段AQ的垂直平分线上，
又∵，
∴（SAS），
∴，
∴点B在线段AQ的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线；
（2）证明：①∵，，
∴，
∵，，点是的中点，
∴，，
，
∴，，，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形．
②如图，过作，且，连接，，
∴，
∵∠BAM=∠QAM-∠BAQ，∠CAQ=∠BAC-∠BAQ，
∴，
又∵，AM=AQ，
∴（SAS），
∴，，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴（SAS)，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质证明，可得点P在线段AQ的垂直平分线上，再利用HL证明，可得，可得点B在线段AQ的垂直平分线上，结合两点确定一条直线可得垂直平分 ；
（2）①先证，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推出，利用四边形的内角和可推出，可得，结合三角形的外角的性质证明，可得结论；
②如图，过作，且，连接，，利用SAS证明，可得，，再利用SAS证明，可得的长度，最后利用勾股定理可得答案．
（1）证明：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的垂直平分线；
（2）证明：①∵，，
∴，
∵，，点是的中点，
∴，，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形．
②如图，过作，且，连接，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．（2024八上·杭州期中）（1）已知点D为等边边所在直线上一点，连，以为边作等边，连．
①如图1，点D在线段上，求证：；
②当点D在的延长线上，①中的结论是否仍然成立，请画出图形判断并说明理由；
（2）如图2，点D为等腰直角直角边所在直线上任意一点，连，以为斜边作等腰直角，连，当的长最小时，直接写出的值，不需要说明理由．
【答案】（1）①证明：，是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
∴，
，
，
；
②解：①中的结论仍然成立，画出的图形及理由如下：
，是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
∴，
，
，，
，
，
，
①中的结论仍然成立；
（2）是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
∴当的长最小时，的长也最小，
点为所在直线上任意一点，
当，即时，的长最小，
又，
点和点重合，
设，则，
是等腰直角三角形，
，，
，
在中，，
．
【知识点】垂线段最短及其应用；平行线的判定；等边三角形的性质；等腰直角三角形；手拉手全等模型
【解析】【分析】（1）①由等边三角形的性质及”手拉手“全等模型推出，得，再利用平行线的判定即可得证结论；
②由①同理可推出，得，再利用三角形外角性质和角度之间的等量代换得到，最后根据平行线的判定即可得出结论；
（2）由等腰直角三角形得，可得当的长最小时的长也最小，结合图形分析当当，即点和点重合时，的长最小，然后设，则，，，从而得，进而利用勾股定理表示出的长，即可得出的值．
22．（2024八上·瑞安期中）已知在直角三角形中，，D为斜边中点，C为边上一点．
（1）　　　．
（2）如图1，连结交于点E．当时：
①求证：；
②求的面积．
（3）如图2，连结，将沿着折叠得到．当与的一边平行时，求的长度．
【答案】（1）5
（2）①证明：∵
∵D为斜边中点，
∴，
∴；
∵，
∴，
即；
②解：由（1）知，；
设，则；
由①知，，
由勾股定理得：，，
∴，
解得：，
∴，
∴
（3）解：当时，如图，则，
由折叠知，，
∴，
∴；
当时，连接，如图，
则；
∵，
∴，
由勾股定理得：；
由折叠知，，，
∴；
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即；
由于点D在上，不可能与平行；
综上，的长度为5或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】（1）解：∵在直角三角形中，，
∴；
∵D为斜边中点，
∴
故答案为：5．
【分析】（1）先由勾股定理求出斜边AB的长，再由直角三角形斜边上中线的性质即可求解；
（2）①由于直角三角形两锐角互余，则，由于斜边上的中线等于斜边的一半，则，则；又，则由三角形的外角性质结合等量代换得，即；
②由于已证，则可设，则，再利用勾股定理建立关于方程并求出的值，则由勾股定理可得，再由三角形面积公式计算即可；
（3）由于点C在OA上运动，因此可分两种情况：当时或时，对于，由折叠的性质结合平行线的性质可得，则；对于，连接，由等腰三角形三线合一知，又，则由勾股定理可得，则，此时可设，则，在中应用勾股定理即可．
（1）解：∵在直角三角形中，，
∴；
∵D为斜边中点，
∴
故答案为：5．
（2）①证明：∵D为斜边中点，
∴，
∴；
∵，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
即；
②解：由（1）知，；
设，则；
由①知，，
由勾股定理得：，，
∴，
解得：，
∴，
∴；
（3）解：当时，如图，
则，
由折叠知，，
∴，
∴；
当时，连接，如图，
则；
∵，
∴，
由勾股定理得：；
由折叠知，，，
∴；
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即；
由于点D在上，不可能与平行；
综上，的长度为5或．
23．（2024八上·杭州期中）在中，，，D为边上一点．
（1）如图1，若，，求的面积；
（2）如图2，作，且，连结交边于点F，连结．
①若，求证：；
②若，写出线段，，长度之间的等量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∵，，，∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）①证明：过作于，过作于，则，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
②解：，理由如下：
由①可得，
∴，
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定；勾股定理；等腰直角三角形；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】
（1）先利用等腰直角三角形的性质和勾股定理可求得AB的长，又和同高共底，则其面积比等于底边比，此时利用三角形面积公式求出的面积即可；
（2）①证明：由于，则可过作于，过作于，则可利用一线三垂直全等模型证明，则有，，再由等腰直角三角形三线合一可证，等量代换得，则，所以，再由结合三角形的外角性质即可；
②由于，再由勾股定理可得到．
（1）解：∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）①证明：过作于，过作于，则，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
②解：，理由如下：
由①可得，
∴，
∴．
24．（2024八上·象山期中）中，，，是边一点，连接，为射线上一点．
（1）如图1，当点在边上时，连接．交于点，若．
①与相等吗？请判断并说明理由；
②若，，求的长．
（2）如图2，当点在延长线上时，连接，若．
①探究线段，，的数量关系并说明理由；
②连接，求的值．
【答案】（1）①与相等，
理由如下，作，分别交直线和直线于点和，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴
（2）解：①，理由如下，在上截取，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰三角形，
作于点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②在上截取，连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）①作，分别交直线和直线于点和，利用AAS科鲁兹可证得，利用全等三角形的性质可证得，，再利用HL可证，得到，据此即可得解；
②利用SAS可证得，利用全等三角形的性质可推出，再得到；再证明是等腰直角三角形，再利用直角三角形的性质和勾股定理可求出BM的长，然后求出AD的长.
（2）①在上截取，连接，利用SAS可证得，得到是等腰三角形，作于点，再利用直角三角形的性质即可求解；
②在上截取，连接，得到是等边三角形，利用SAS可证得，推出，据此即可求解．
（1）解：①与相等，理由如下，
作，分别交直线和直线于点和，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴；
（2）解：①，理由如下，
在上截取，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰三角形，
作于点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②在上截取，连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
25．（2024八上·杭州期中）如图，已知等边，点为内的一点，连接、、，，以为边向上方作等边，连接（）.
（1）求证：≌
（2）若，，则的面积为 .
（3）若，，（为大于1的整数）.求证：.
【答案】（1）证明：在等边中，，，即在等边中，，，即
∴
∴
在和中
∴≌（）
（2）由（1）得，
∵
∴
∴
则，
∴
∵
∴是等边三角形
∴
（3）证明：∵是等边三角形
∴，
由（1）得≌
∴，
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
在中，由勾股定理得.
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）利用手拉手全等模型证明即可；
（2）由可得，又，则可得，又，则是等边三角形，则，再由三角形面积公式可求得答案；
（3）由可得，由等边三角形的概念可得，则由勾股定理的逆定理可判定为直角三角形，且，则，又，则由周角的概念可得即可.
26．（2024八上·拱墅期中）如图1，直线，平分，过点B作交于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以的速度沿射线方向运动，动点D以的速度沿射线方向运动；已知，设动点D，E的运动时间为t．
（1）求的度数；
（2）当点D在射线上运动时满足，求点D，E的运动时间t的值；
（3）当动点D在射线上运动，点E在射线上运动过程中，是否存在某个时间t，使得与全等？若存在，请求出此时的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：根据题意，得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：或秒；
（3）解：存在，理由如下：
当时，此时点在线段上，如图，连接，
由（1）得，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
根据题意，得，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据垂直以及角平分线的定义得，，最后由直角三角形的两锐角互余即可求出的度数；
（2）根据题意得到，，则，由列出关于的方程，解方程即可求解；
（3）当时，此时点在线段上，连接，先证明，得，，然后根据题意得，，据此可列方程求出的值，利用勾股定理得，接下来推出是等腰直角三角形，据此即可求出的值.
（1）解：如图1中，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：根据题意：，，
∴，
∵，
∴，
解得：或秒；
（3）存在．∵，，
∴当时，此时，点E在线段上，
∴，
，
∴，
∴，
∴满足条件的的值为．
此时，，，
如图，连接，
∴
∵
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
27．（2024八上·温州期中）如图1，是等边内一点，连结．将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结．
（1）求证：．
（2）如图2，连结．
①当，且为等腰三角形时，求出的度数．
②当，且时，请直接写出点到点的距离．
【答案】（1）由题意可得：，
是等边三角形，
，
，
，
在和中，
，
，
（2）①，
是等边三角形，
，
由（1）知：，
，
，
为等腰三角形，
或或，
当时，，
，
；
当时，，
；
当时，
；
综上，当为等腰三角形时，的度数为或或；
②
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（2）②如图3，过点作于，则，
，
，
由（1）知：，
，
，
，
三点共线，
中，，
，
由勾股定理得：
【分析】（1）先根据等边三角形的性质得到再根据全等三角形的判定证明即可.
（2）①根据 当时， 当时， 当时， 三种情况讨论即可.
②过点作于，根据平行线和全等三角形的性质证出三点共线，再利用所对的直角边等于斜边的一半得到，最后根据勾股定理计算即可.
28．（2024八上·杭州期中）在中，，点B在边上，且，C是射线上的一个动点（不与点B重合，且），在射线上截取，连接．
（1）当点C在线段上时，
①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段与的数量关系为 ；
②如图2，若点C不与点D重合，请证明；
（2）当点C在线段的延长线上时，用等式表示线段，，之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）．
【答案】（1）解：①
②证明：在上截取，连接，
，，
是等边三角形，
，，
，
同理可得，也是等边三角形，
，
，
即，
，
，
在和中，
，
，
，
．
（2）解：或
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】（1）①解：补全图1如下：
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
．
故答案为：；
（2）解：若点在线段上，如图3，作同（1）中的辅助线，
由（1）中的结论得，，，
；
若点在延长线上，如图4，作同（1）中的辅助线，
由（1）中的结论得，，，
；
综上所述，数量关系为或．
【分析】（1）①补全图1，由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△BAC是等边三角形，由等边三角形的三边相等，三个内角都等于60°得出AC=BC，，由邻补角及等角的补角相等得，由等边对等角得，从而利用“AAS”判定推出，由全等三角形的对应边相等即可得出结论；
②在BE上截取BG=BD，连接DG， 由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△BDG和△BAC都是等边三角形，由等边三角形性质DG=DB=BG，∠DGB=∠DBG=60°，由线段构成及等式性质推出AG=CD， 由邻补角及等角的补角相等得∠DGE=∠DBF，由等边对等角得，从而利用“AAS”判定推出△DGE≌△DBF，由全等三角形的对应边相等得GE=BF，最后根据线段和差及等量代换可得结论；
（2）分两类情况：点A在线段BE、BE延长线上，作出同（1）中的辅助线，由（1）中的结论得，，，再根据线段的和差进行等量代换即可解答．
（1）①解：补全图1如下：
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
．
故答案为：．
②证明：在上截取，连接，
，，
是等边三角形，
，，
，
同理可得，也是等边三角形，
，
，
即，
，
，
在和中，
，
，
，
．
（2）解：若点在线段上，如图3，作同（1）中的辅助线，
由（1）中的结论得，，，
；
若点在延长线上，如图4，作同（1）中的辅助线，
由（1）中的结论得，，，
；
综上所述，数量关系为或．
29．（2024八上·江山期中）在中，，点D是直线上一点（不与B，C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．
（1）如图1，当点D在线段上时，如果，则　　°．
（2）设．
①如图2，当点D在线段上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由．
②当点D在直线上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请你在备用图上画出图形，并直接写出结论．
【答案】（1）
（2）解：①；理由：
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②或.
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SAS；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）②或；
当点D在线段上移动时，，证明见小问①；
当点 D在线段线的延长线上时，如图1，，
证明：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点D在射线的反向延长线上时，如图2，，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【分析】（1）由角的构成及等式性质推出， 从而用“SAS”证明，由全等三角形的对应角相等得到，再利用角的构成、等量代换及三角形内角和定理即可得出结论；
（2）①证明，得到，再进行等量代换，最后利用三角形内角和定理即可求证；
②分别讨论当点D在线段上移动时， 证明见小问①； 当点D在线段的延长线上移动时，由角的构成及等式性质推出， 从而用“SAS”证明，由全等三角形的对应角相等得到，再利用角的构成、等量代换及三角形内角和定理即可得出结论；当点D在线段的反向延长线上移动时， 由角的构成及等式性质推出， 从而用“SAS”证明，由全等三角形的对应角相等得到，再利用角的构成、等量代换及三角形内角和定理即可得出结论，综上可得结论.
（1）；
理由：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）①；
理由：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②或；
当点D在线段上移动时，，证明见小问①；
当点 D在线段线的延长线上时，如图1，，
证明：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点D在射线的反向延长线上时，如图2，，
证明：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
30．（2024八上·舟山期中）如图，四边形中，，，是的中点．
（1）如图①，连接，，若，求的度数；
（2）如图②，连接交于点，若，，求的长；
（3）如图③，作于点，试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：，，为的中点，
∴，
，
，，
，
为的中点，，
，
是等边三角形，
，
；
（2）解：，，是的中点．
，，
设，
，
，
，
，
，
，
解得：，
；
（3）解：，理由如下：
如图，过点作，交延长线于，
，
，，
，
，
∵，
，
，
在和中，
，
，
，，
∴平分，
，
∴，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；角平分线的判定；三角形的综合；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形“三线合一”性质得，求出，由直角三角形斜边上的中线性质得，从而可得是等边三角形，进而得，于是得的度数；
（2）根据等腰三角形“三线合一”以及直角三角形斜边上的中线性质得，，然后设，则，，最后利用勾股定理得关于的方程并解之即可求解；
（3）过点作，交延长线于，则，，可推出，得，，根据角平分线的判定得平分，于是得，结合等腰三角形的判定得到，最后即可得．
（1）解：，，为的中点，
，
，，
，
为的中点，，
，
是等边三角形，
，
；
的度数为；
（2）解：，，是的中点．
，，
设，
，
，
，
，
，
，
解得，
，
的长为13；
（3）解：，理由如下：
过作交延长线于，如图：
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，，
∴平分，
，
∴，
，
．
31．（2024八上·嘉兴期中）根据以下素材，探索解决问题．
如何作出“倍角三角形”？
素材 如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”
问题解决
项目操作 如图，中，，，请将分成两个小三角形，使得其中一个小三角形是“倍角三角形”，并标注该“倍角三角形”三个内角的度数．
项目探索 若是倍角三角形，，，，求面积．
项目拓展 如图，的外角平分线与的延长线相交于点，点在延长线上，若，，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明．
【答案】解：项目操作：如图所示，为“倍角三角形”；
项目探索：
∵，，
①当，，
过作的延长线于点，则，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当或时，与三角形内角和为矛盾，该种情形不存在；
∴面积为；
项目拓展：
和是倍角三角形．
证明：∵平分，
∴，
∵，，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴是倍角三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是倍角三角形
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】项目操作：由等腰三角形的性质可得，则可作的角平分线交于点，则，由三角形内角和可得，则为“倍角三角形”；
项目探索：由于，则由“倍角三角形”的概念可分、或三种情况解答即可求解，如图对于，由三角形的内角和可得，
因此可作AB上的高CH，则为等腰直角三角形，由勾股定理求出CH即可；对于，则可得，由三角形内角和得，则与已知矛盾；对于，则由内角和定理可得，则与已知矛盾；
项目拓展：由角平分线的概念可得又已知是公共边相等，则可证明，则、，则等量代换可得，则，即是倍角三角形；再由可得，由内角和定理可得，则，即是倍角三角形．
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