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九年级上期第一次水平测试
数学试卷
（全卷共三个大题，满分 150 分，考试时间 120 分钟）
注意事项：
试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答
2. 作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3. 作图（包括作辅助线）请一律用黑色 2B 铅笔完成；
参考公式：抛物线 ： 的顶点坐标为：，对称轴为：
选择题：（本大题 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分）在每个小题的下面，都给出了代号 为 A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对 应的方框涂黑．
1．下列方程为一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线的开口方向和顶点坐标是（ ）
A．开口向上， B．开口向下，
C．开口向上， D．开口向下，
3. 一元二次方程的根的情况是（　　）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
4.已知抛物线，下列结论错误的是（ ）
抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴为直线
C.当时，y随x的增大而减少 D.抛物线的顶点坐标为（-2，-11）
5．一元二次方程配方后，可化为（　　）
A． B．
C． D．
6．在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx的图象可能为（ ）
A．B．C．D．
7.如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为x cm，根据题意可列方程（　　）
A．（30+x）（20+x）＝600 B．（30+2x）（20+2x）＝600
C．（30﹣2x）（20﹣2x）＝1200 D．（30+2x）（20+2x）＝1200
8.关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）．
A. B. 且 C. 且 D.
9．如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论　；；；；的实数其中正确结论的有　　
A. B. C. D.
10. 对于代数式M、N定义一种新运算：．
①若，则；
②若，是一元二次方程的两个根，则；
③若的函数图象与直线（b为常数）有三个交点时，则或．
其中正确的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
填空题：（本大题 6个小题，每小题 4 分，共 24 分）请将每小题的答案直接填在答题卡 中对应的横线上．
11．方程的解为______________．
12．将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得到的抛物线的解析式为（写顶点式） 。
13．已知，是抛物线上的两点，则的大小关系是 .（用“”、“”或“”填空）
14．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为25万元，4月份售价为20.25万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，则所列方程是 。
15．如图，在正方形中，点为边的中点，将沿折叠，使点落在正方形的内部一点处，则的度数为 .
16．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“差中数”.例如：四位数4129，，是“差中数”；又如：四位数，，不是“差中数”.若一个“差中数”为，则这个数为 ；如果一个“差中数”能被11整除，则满足条件的数的最大值是 .
三、解答题：（本大题 2个小题，第 17 题 8 分，第18题8分共 16分）解答时每小题 必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在 答题卡中对应的位置上．
17．解下列方程：
(1) ； (2)
18、解下列方程：
(1) ； (2) ．
四、解答题：（本大题 7个大题，每题 10 分，共 70分）解答时每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. . 如图，四边形平行四边形，且．
（1）请用尺规完成基本作图：作出角平分线交于点E；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）某数学学习小组在（1）所作的图形中，连接，发现了是一个直角三角形，并给出来如下证明，请你填空完成证明．
证明：∵是的角平分线，
∴______．
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴______．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴______．
∴．
∵，
∴______．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴为直角三角形．
20．已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
21. 如图，对称轴为的抛物线与轴相交于、两点，
其中点的坐标为．(1) 求抛物线的解析式；
(2)求直线的解析式； （3）求出△ABC的面积
22． 在矩形中，，点是边的中点．动点以每秒1个单位的速度从出发，按的顺序在边上运动．设运动时间为秒，的面积为．
(1)请直接写出关于的函数表达式；
(2)在给定的直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)在图中已经画出了直线的图象，结合两函数图象，直接写出时自变量的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过）
23． 重庆市某景区是级旅游景点，国庆黄金周期间，景区内游客如潮． 景区内部旅游纪念币是热销文创工艺品，每一枚纪念币的成本为元，景区内某商店国庆期间推出了优惠活动，根据销售经验，当定价为元时，平均每天可售出枚． 若每一枚纪念币的售价每降低元，平均每天可多售出枚．
（1）设每一枚纪念币降价元，则每天可销售 枚（用含的代数式表示出来）；
（2）若该商店想通过售出这批纪念币每天获得元的利润，又想尽可能地减少库存，每一枚纪念币应降价多少元
（3）当纪念币销售单价定为多少元时，该景区一天内销售这种纪念币获得的利润最大？最大利润是多少元？
24． 阅读下面的材料：
解方程这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，则，∴原方程可化为，解得，当时， ，当时，．∴原方程有四个根是： ， ，，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题．
(1)解方程：．
(2)已知实数a，b满足，试求的值．
25．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的与y轴交
于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为，直线BC的解析式为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P为线段上方抛物线上的任意一点，过点P作交于点D，求的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，将原抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线恰好经过原点，则抛物线与原抛物线交于点K，连接，过B作直线交y轴于点E，设F是直线上一点，点K关于直线的对称点为，试探究，是否存在满足条件的点F，使得点恰好落在直线上，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

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