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辽宁省葫芦岛市连山区2025-2026学年上学期九年级第一次月考数学试卷
一、单选题
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．用配方法解一元二次方程，配方后的方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．与轴的交点
C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大
4．将抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度得到抛物线，则抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
5．若一元二次方程的两个根分别为，，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
6．点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样的一个问题：“今有开门去阔一尺，不合二寸，问门广几何？”意思是：如图，推开两扇门（和）门边缘、两点到门槛的距离是1尺（即、到线段的距离为1尺），两扇门的间隙为2寸，则门宽是多少寸？（1尺寸）设单门的宽度是尺，则所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图1，在等腰中，，动点从点A出发以的速度沿折线方向运动到点停止，动点以的速度沿方向运动到点停止．设的面积为，运动时间为与之间关系的图象如图2所示，则的长是（ ）

A． B． C． D．
10．如图，已知抛物线（、、为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在之间（不含端点），则下列结论：①；②；③；④若方程两根为，则；正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．若二次函数的图象经过点，则a的值为 ．
12．若m，n是方程的两个实数根，则的值为 ．
13．飞机着陆后滑行的距离（单位：m）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是，飞机着陆后滑行 m才能停下来．
14．二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表所示，根据表格，判断一元二次方程（为常数，且）的解为 ．
… 0 1 3 5 …
… 16 0 0 …
15．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D．若与的面积比为1：4，则k值为 ．
三、解答题
16．解方程：
(1)；
(2)．
17．受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2022年利润为2亿元，2024年利润为亿元．
(1)求该企业从2022年到2024年利润的年平均增长率；
(2)若2025年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2025年的利润能否超过亿元？
18．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根；
(2)若的一条边的长为5，另两边，的长是这个方程的两个实数根，当为何值时，是以为斜边的直角三角形
19．已知二次函数．
(1)将化成的形式（写过程）；
(2)在坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象；
(3)当时，的取值范围是______；
(4)若直线与这条抛物线有且只有一个交点，则______．
20．青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为．如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，对称轴为直线，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为，落地点为．以为原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．如图1，若仿青蛙机器人从点正上方的点处起跳，落地点为，点的坐标为，点在轴的正半轴上．求起跳点与落地点的水平距离的长；
21．如图，直线与二次函数的图象交于点，已知该二次函数图象的对称轴为直线．
(1)求的值及二次函数的解析式；
(2)若直线与二次函数的图象的另一个交点为，求的面积；
22．综合与实践
【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为5.5米－6.5米．
【数据收集】我市某小区地下车库分为等多个区域，其中区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为元．
【建立模型】（1）当车库区域停车位（图中阴影）的占地面积为时，通过计算判断车道宽度是否符合标准
（2）若该小区区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10125元
【拓展应用】
（3）由于租金过高，车位租出个数相应减少，小区物业决定将车位月租金上涨金额控制在不低于5元且不高于15元，则当区域每个停车位月租金上涨多少元时，该区域的月租金收入最大 最大值是多少元
23．定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图①，抛物线与抛物线组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线和抛物线与x轴有相同的交点、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、．
(1)求抛物线的解析式和点G的坐标；
(2)点M是x轴下方抛物线上的点，过点M作轴于点N，交抛物线于点D，求线段与线段的长度的比值；
(3)如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接，在轴上是否存在点F，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；
(4)二次函数与二次函数组成新函数．当时，图象的最高点到x轴的距离为m，最低点到x轴的距离为n，若，求t的值或取值范围．
参考答案
1．B
解：A．不是一元二次方程，不符合题意；
B．是一元二次方程，符合题意；
C．当时，不是一元二次方程，不符合题意；
D．化简整理后为，不是一元二次方程，不符合题意．
故选：B．
2．C
解：，
，
，
，
故选：C．
3．D
解：∵，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
∴当时，随的增大而增大，
当时，，
∴抛物线与轴的交点为；
综上，只有选项D正确，其它选项均错误；
故选D．
4．A
解：将抛物线 向下平移3个单位长度，得到 ，
再向左平移2个单位长度，得到 ．
故选：A．
5．D
解：由一元二次方程根与系数的关系可得：，，
∴．
故选：D．
6．D
解：二次函数的抛物线开口向上，对称轴为直线，
∵，，，，
，
故选：D．
7．B
解∶A、由抛物线可知，，，，则，由直线可知， ，，故本选项不合题意；
B、由抛物线可知， ，， ，则，由直线可知， ，，故本选项符合题意；
C由抛物线可知，， ，，则，由直线可知，，故本选项不合题意；
D、由抛物线可知，， ，，则，由直线可知， ，，故本选项不合题意．
故选∶B．
8．B
解：如图，过点D作于点E．
设尺，
则尺，尺，尺．
在中，，即，
故选：B．
9．C
解：设．
①当点在上运动，即时，由题意知：
，
，
∵在等腰中，，
，
，
∴，
，其函数图象为抛物线对称轴（轴）右侧的一部分；
②当点运动到点时，点恰好运动到点，如图，

当点在上运动，即时，点与点重合，且停止运动，，
，
由图2知，当时，，
，
解得，（舍去），
的长是．
故选：C．
10．B
解：由图可知抛物线开口向上，，对称轴为直线，即，
∴，
∵与y轴的交点B在之间（不含端点），
∴，
∴，故①不正确；
对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，
∴与x轴交于另一点为，
∴当时，，故②不正确；
由题意可得方程的两个根为，
∴根据一元二次方程根与系数的关系可知：，
∴，
∵，
∴，解得：，故③正确；
由方程的两个根，可看作直线与函数的交点，如图，
由图象可知：若方程两根为，则，故④正确；
综上所述，正确的结论是③④，有2个，
故答案为：B．
11．/
解：将点代入得：，
解得：，
故答案为：．
12．0
解：∵m，n是方程的两个实数根，
∴，，
则原式==1﹣1=0，
故答案为0．
13．
解：，
因为，
所以s的最大值为，
故答案为：．
14．
解：二次函数的图象过点，，
对称轴为直线，
根据二次函数的对称性可知：
关于对称轴的对称点为，
一元二次方程变形为，
根据表格可得当或时，二次函数值为，
故一元二次方程的解为，
故答案为：
15．/0.8
解：∵，
∴顶点，
∴，
∵的面积，的面积，
与的面积比为1：4，
∴，
解得：；
故答案为：．
16．(1)
(2)方程无实数根
（1）解：，
，
或，
解得；
（2），
，
，
，
故方程无实数根．
17．(1)年平均增长率为
(2)能超过
（1）解：设企业从2022年到2024年利润的年平均增长率为，由题意得
，
解得：，（舍去），
答：企业从2022年到2024年利润的年平均增长率为；
（2）解：由题意得
（亿元），
，
企业2025年的利润能超过亿元．
18．(1)见详解
(2)当时，是以为斜边的直角三角形
（1）解：∵，
∴，
∴无论为何值，方程总有两个实数根；
（2）解：令分别为方程的两个根，则根据根与系数的关系可得：，
设，
∵是以为斜边的直角三角形，且，
∴，
∴，即，
解得：，
当时，（不符合题意，舍去），
当时，方程为，解得：，，
此时三边均为正数，且满足三角形的三边关系，符合题意；
∴当时，是以为斜边的直角三角形．
19．(1)将化成的形式为；
(2)见解析；
(3)；
(4)．
（1）解：
，
∴将化成的形式为．
（2）解：在中，取点列表如下：
二次函数的图象如下：
（3）解：由图象可得，当时，的取值范围是．
故答案为：．
（4）解：由得，
，
∵直线与抛物线有且只有一个交点，
∴，
∴．
故答案为：．
20．(1)
(2)长为200厘米
（1）解：由题意，得：抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为，
∴顶点坐标为，
设抛物线的函数解析式为：，
∵图象过原点，
∴，解：，
∴；
（2）∵抛物线的形状不变，点，
故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度，得到的，
∴新的抛物线的解析式为：，
当时，，
解得：，（舍去）；
故起跳点P与落地点Q的水平距离的长为．
21．(1)，
(2)，
（1）解：将分别代入、得，，
，，
二次函数图象的对称轴为直线，
，
解得，
二次函数的解析式为，；
（2）解：联立，
解得或，
，
，
，
．
22．（1）车道宽度符合标准（2）每个车位月租金上涨25元（3）每个车位月租金上涨15元时，收入最大，最大值是10105元
解：（1）先将图形平移，如图，
因为停车位占地面积为，则
，
解得或（不符合实际，舍去），
因为，所以车道宽度符合标准；
（2）设每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数量为个，根据题意得，
整理得，
解得，
所以，每个车位月租金上涨25元；
（3）设月租金收入为元，根据题意得，
，
∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为（元）
所以，每个车位月租金上涨15元时，月租金收入最大，最大值是10105元．
23．(1)，
(2)比值为2
(3)，
(4)或
（1）解：将点，的坐标分别代入中，
得，解得，
∴抛物线的解析式为，
在中，令，则，
∴．
（2）解：设，则，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（3）解：存在点F，使得是以为腰的等腰三角形，
理由：由（1）知，的对称轴为直线，
∵E点与H点关于对称轴对称，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
①当时，
，
解得：，，
∴点F的坐标为或，
②当时，
，此时方程无解，
综上所述，点F的坐标为或．
（4）解：由题意知，新函数由二次函数与二次函数组成，
由（1）知，二次函数解析式为，
如图，新函数的图象如图所示，其中当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
∴当时，此时图象最低点为二次函数的顶点，其顶点为，
∴最低点到x轴的距离，则，
①当时，
∵，图象最高点与x轴的距离为m，
∴，即图象最高点到x轴的距离为8，
∴当时，，此时最高点在二次函数上，
将代入二次函数中，
得，解得，，
∵，
∴，即，
∴t的值为，
②当时，
∴，
当时，此时图象最高点到x轴的距离为0，说明该点在x轴上，即，
最低点仍为二次函数的顶点，
∴结合图象可得出当时，满足，
综上所述，或．

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