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《二次函数》精选压轴题（一）—2025年浙江省九（上）数学期中复习
一、选择题
1．（2024·浙江模拟）已知二次函数的图象经过点，点的横坐标为，当时，总有，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵，
，
∴抛物线的开口向上，顶点坐标为，对称轴是直线，
∴当时，取得最小值，
∵当时，总有，
∴，
若，则当时，，
即有，
解得：；
若，则当时，，
即有
解得：，不合题意，
∴这种情况不存在，
综上所述，当时，总有，则．
故答案为：D.
【分析】将二次函数的解析式化为顶点式，然后可以得到二次函数的性质：对称轴是直线，当时，y取得最小值，然后根据二次函数的最值，分为和两种情况分别求出m的值解题．
2．（2024九上·浙江期中）已知，且，，都是大于1的数，若满足，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用；等式的基本性质；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
又∵，，，
∴，，，
∵，，，，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，，都是大于1的数，
∴．
故答案为：D．
【分析】本题主要考查不等式的性质，平方差公式的应用，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据两个正数，较大数的倒数小于较小数的倒数，得出，根据等式两边同时乘或除以同一个不为零的整式，等式仍然成立得出，，，根据不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变得出，即，再根据两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差得出，根据不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变得出，即可得出答案.
3．（2023·宁波模拟）二次函数的图象与轴的两个交点为，，且，点是图象上一点，那么下列判断正确的是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： 二次函数 ，
该函数图象开口向上，
二次函数 的图象与x轴的两个交点为 ， ，且 ，点 是图象上一点，
当 时， 或 ，故选项A、B错误；
当 时， ，选项C错误，选项D正确；
故答案为：D.
【分析】由于二次项的系数是1大于0，故图象开口向上，从而分当n＞0与n＜0两种情况，借助图象可判断出m与x1、x2的大小关系.
4．（2024九上·上城期中）设二次函数（a，c为实数，，）的图象过点，，，，（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵二次函数（a，c为实数，，）的图象过点，，，，
∴，，
A、∵，
∴，，
∴，或，
∴或，故A错误；
B、∵，
∴，，
∴，故B错误；
C、∵，
∴，，
∴且，
∴，故C正确；
D、∵，
∴，，
∴无解，故D错误；
故答案为：C．
【分析】将4个点的坐标代入二次函数解析式中得到的值，然后根据每个选项的条件进行求解即可.
5．（2024·镇海区模拟）已知二次函数的图象上有两点和 (其中)，则(　　)
A．若，当时，
B．若，当时，
C．若，当时，
D．若，当时，
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵与轴的交点为
∴对称轴为直线，
当时，抛物线开口向上，
当时，即
∴
∴
∴，故A选项正确
当时，抛物线开口向下，
，无法判断的大小，
故答案为：A．
【分析】由题可得对称轴是，由抛物线开口向上，利用，即可得到解题即可．
6．（2024九上·余杭期中）已知关于x的二次函数的图象与x轴的交点坐标是和，其中a，b，c，d均为常数，则关于x的二次函数与x轴的交点坐标是（　　）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与x轴的交点坐标是和，
∴方程的两个根分别为c、d，
∴，，
∴
∵，
设方程的两根为，，
∴，，
∴，分别为a、b，
∴该函数与x轴的交点坐标和.
故答案为：A．
【分析】将关于x的二次函数化为一般式为，根据一元二次方程与二次函数的关系可得抛物线与x交点的横坐标就是一元二次方程 的根，从而根据根一元二次方程根与系数的关系可得，，将化为一般式，可得，，即可求解．
7．（2024九上·杭州期中）已知二次函数（为常数）经过点，一元二次方程的两个解为，，当时，则的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数，
∴二次函数经过点，
∵二次函数经过点，
∴二次函数的对称轴为直线，
，
∴二次函数为，
∵一元二次方程的两个解为，，
∴二次函数过点，，
∴，
，
，
∵，
∴，
，
将代入，得，
∵二次函数的对称轴为，
∴当时，，
当时，有，
，
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的对称性得到对称轴，从而得到的值，进而得到二次函数的解析式，然后根据函数与方程的联系，确定二次函数过点，，由二次函数的对称性得出，即可得到，代入得到，最后根据对称性以及二次函数图象上点的坐标特征即可求得的取值范围．
8．（2024九上·杭州期中）已知抛物线开口向下，过，两点，且．甲同学认为：若点，在抛物线上，，且，则．乙同学认为：当时，关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根，以下对两位同学的看法判断正确的是（　　）
A．甲、乙都正确 B．甲、乙都错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，过，两点，
∴，，
∵点，在抛物线上，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，则甲的看法正确；
令，
整理得：，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根，则乙的看法正确；
综上所述，甲、乙的看法都正确，
故答案为：A．
【分析】根据二次函数的开口方向以及图像上的坐标点得到，，将点，的坐标代入解析式中，可得的值，从而得，据此即可判断甲的正误，然后令，整理得：，根据一元二次方程根的判别式得到，据此即可判断乙的正误.
9．（2024九上·诸暨期中）定义符号的含义为：当时；当时．如：．则的最大值是（　　）
A． B． C．1 D．0
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意，在同一坐标系中，画出二次函数与正比例函数的图象，如图所示．
设抛物线于直线相交于点、．
令，即，
解得：或，
把代入，得出，
把代入，得出，
，，
观察图象可知：
①当时，，函数值随的增大而增大，其最大值为；
②当时，，函数值随的增大而减小，其最大值为小于；
③当时，，函数值随的增大而减小，
最大值为．
综上可得，，的最大值是．
故答案为：A．
【分析】的含义就是取两个值中的较小值，根据题意画出函数图象草图，由函数图象的性质分三种情况：①当时，②当时，③当时；分别根据函数的性质可求解．
10．（2024九上·台州期中）抛物线上有，，，四点，若，，，四个数中有且只有一个大于零，则m的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意得，抛物线的对称轴为直线，当时，
，且，，，四个数中有且只有一个大于零，
．
．
当时，抛物线上离对称轴越近的点，其函数值越大，
而点和到直线的距离相等，且距离最近，
此情况下不存在，，，四个数中有且只有一个大于零．
故答案为：D．
【分析】根据所给函数解析式，由对称轴直线公式求出抛物线的对称轴为直线x=-2，当m＞0时，抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴直线距离越大，其对应的函数值就越大；从而结合y1、y2、y3、y4中只有一个数大于零及抛物线上点的坐标特点列出关于字母m的不等式组，求解可得m的取值范围；当m＜0时，抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴直线距离越大，其对应的函数值就越小；由于点和到直线的距离相等，且距离最近，结合题意可得此情况下不存在.
11．（2024九上·柯城期中）如图1是玻璃水杯的截面图，其左右轮廊线，为某抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深．如图2，将盛有部分水的水杯倾斜，水面正好经过点（即）．嘉淇在图1中建立了平面直角坐标系（抛物线的顶点在y轴上），对于下列结论，其中不正确的是（　　）
A．玻璃水杯轮廊线所在拋物线的解析式为
B．直线的解析式为
C．点到杯口的距离为
D．点到点的距离为
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意得，，，，
设轮廓线，所在抛物线的解析式为，记与轴的交点为，
把、代入得
，解得：，
∴，故A说法正确；
∵，
∴，
∴，
∴
设直线的解析式为
把、代入得：
，解得：，
∴直线：，故B说法正确；
由，解得，（舍）
当，，
∴，
此时点P到杯口的距离为，故C说法不正确；
，故D说法正确；
故选：C．
【分析】A、，，，，则可利用待定系数法求得抛物线的解析式为；B、再利用待定系数法求出直线的解析式；C、联立直线与抛物线的解析式即可求出点坐标；D、利用两点距离公式可直接计算出PD的长度．
12．（2024九上·义乌月考）如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①，②，③当时，y随x的增大而增大，④，⑤若m，n（）为方程的两个根，则且．其中正确的结论有（　　）
A．①③ B．①②④ C．②④⑤ D．①④⑤
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：①∵开口向下，对称轴在y轴左边，于y轴交于正半轴，
∴，
∴，故①正确，符合题意；
②∵对称轴为直线，x轴交于点，
∴，与x轴另一个交点为，
∴，当时，，
∴，则，
∴，
∵，
∴，
即，故②不正确，不符合题意；
③由图可知，当时，y随x的增大而增大，故③不正确，不符合题意；
④由图可知，顶点在第二象限，
∴，
∴，故④正确，符合题意；
⑤∵二次函数与x轴交点坐标为，，
∴，
当时，对应x的值在左侧，右侧，
∴的两个根，，．故⑤正确，符合题意；
综上：正确的有①④⑤，
故答案为：D．
【分析】根据图像得到，即可判断①；得到对称轴为，求出与x轴另一个交点坐标为，即可得到，代入可得，即可判断②；根据函数得增减性判断③；根据顶点在第二象限，即可得到判断④；先得到二次函数解析式为，利用函数图象判断⑤．
13．（2024·宁波模拟）已知二次函数，下列说法中正确的个数是（　　）
（1）当时，此抛物线图象关于轴对称；
（2）若点，点在此函数图象上，则；
（3）若此抛物线与直线有且只有一个交点，则；
（4）无论为何值，此抛物线的顶点到直线的距离都等于．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：（1）当时，，
∴抛物线的对称轴为y轴，
此抛物线图象关于y轴对称，故该项正确；
（2）∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∵点，点在此函数图象上，且，
∴，故该项错误；
（3）若此抛物线与直线有且只有一个交点，
则令，
整理得，
∴
解得，故该项错误；
（4）∵
∴顶点为，
∴抛物线的顶点在直线上，
∵直线与直线平行，
∴此抛物线的顶点到直线的距离都相等．
设直线交x轴于A，交y轴于B，点O到的距离为，
则，
∴
∵
∴
∴，
∴两直线间的距离为，故该项正确；
故答案为：B．
【分析】得到抛物线的对称轴判断①；根据两点到对称轴的距离大小判断②；令，即可得到，解得 m的值判断③；得到抛物线的顶点在直线上，即可得到直线与直线平行，得到两直线的距离判断④解题．
14．（2024九上·杭州期中）已知二次函数的图象与轴交于不同两点，与轴的交点在轴正半轴，它的对称轴为直线， 有以下结论： ①，②， ③抛物线上有两点和，若， 且， 则， ④设，是方程． 的两根，若则， 其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①② C．③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，赋值法，二次函数的增减性，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，运用了分类讨论的思想．掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴判断与0的关系，可判断①；根据对称轴公式可判断②；根据抛物线的增减性可判断③；根据抛物线与轴交点情况分三种情况进行讨论，可判断④．
【解答】
解：①∵二次函数的图象与轴的交点在轴正半轴，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，即，
∵，
∴，
∴，故结论①正确；
②由①知：，
∴，故结论②正确；
③∵，
∴二次函数的图象开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越远其函数值就越小，
∵点和在抛物线上，且，，
∴，即到1的距离大于到1的距离，
∴，故结论③正确；
④∵二次函数的图象与轴交于不同两点，设左边交点的横坐标为，右边交点的横坐标为，即，如图所示，
若，则，，，
∴，
若，则，，，
∴，
若，则，，，
∴，
综上所述，故结论④正确，
∴正确的结论是①②③④．
故选：D．
15．（2024九上·沅江开学考）如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1．其中正确结论的个数是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：对于①，由抛物线对称轴为直线，从而，则，故结论①正确；对于②，抛物线开口向下，与轴相交与正半轴，则，而，因而，故结论②错误；
对于③，方程的解，即是与直线的交点的横坐标，
从图象可得，抛物线顶点为，则抛物线与直线有且只有一个交点，
故
对于④，由抛物线对称性，与轴的一个交点，根据对称轴为，可知另一个交点坐标为（ 2，0），故
对于⑤，由图象可知，当1＜x＜4时，y1＞y2，故结论
故正确的有结论①③⑤，共计3个
故答案为：C
【分析】根据二次函数对称轴可得，则，故结论①正确；再根据二次函数图象与系数的关系可得，故结论②错误；根据二次函数与二次方程之间的关系可得方程有两个相等的实数根，故结论③正确；再根据二次函数的性质可得④错误；⑤正确；
二、填空题
16．（2024九下·鼓楼期中）已知二次函数，点，，都在这个二次函数的图象上，且，则的取值范围是　 　．
【答案】或
【知识点】解一元一次不等式；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：，都在二次函数的图象上，
二次函数的对称轴为直线，二次函数开口向上，
，
解得，
，
在对称轴左侧，在对称轴右侧，点A与点C关于对称轴对称.
∵当时，，
二次函数图象与轴交于，关于对称轴对称的坐标为，
，
，解得，
①当，都在对称轴左侧时，
，随的增大而减小，
，解得，
②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时，
，
∴到对称轴距离小于到对称轴距离，
，解得，
即，
故答案为：或．
【分析】先根据，的纵坐标相等得到二次函数对称轴，再根据，结合二次函数的增减性进行分类讨论，建立不等式进行求解，即可解题．
17．（2024九上·杭州期中）已知，是抛物线上的两点，其对称轴是直线，若时，总有，同一坐标系中有，，且抛物线与线段MN有两个不相同的交点，则a的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵，是抛物线上的两点，其对称轴是直线， 且，
∴点与对称轴的距离比点与对称轴的距离更远，
∵此时总有，
∴抛线开口向上，即，可得函数图象如图所示：
∵抛物线与线段有两个不相同的交点，
∴一元二次方程为有两个不同的实数根，
∴，
∴.
要使抛物线与线段有两个不相同的交点，
∴当和时，抛物线上对应的点都应该在线段上方或与M，N重合，
，
解得.
又∵a>0，
∴，
即当时，抛物线与线段有两个不相同的交点，
故答案为：．
【分析】由题意以及，可得抛物线开口向上，且抛物线与线段有两个不相同的交点，即一元二次方程为有两个不同的实数根，可求出.再由抛物线与线段有两个不相同的交点可得当和时，抛物线上对应的点都应该在线段上方或与M，N重合，得到，据此即可求解．
18．（2024九上·浙江期中）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整点”，抛物线（a为常数）与直线交于M、N两点，若线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“整点”，则a的取值范围是　 　．
【答案】或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵抛物线，
∴抛物线的顶点坐标为，
①当时，抛物线过点，，，
当拋物线经过时，有，
解得：，
∴ ， ，，如图，满足题意的“整点”有，，，，共4个，
当抛物线经过时，有，
解得：，
∴，，，如图，满足题意的“整点”有，，，，，，共6个，
的取值范围是；
②当时，抛物线过点，，，，
当拋物线经过时，有，
解得：，
∴ ， ，，如图，满足题意的“整点”有，，，，共4个，
当抛物线经过时，有，
解得：，
∴，，，如图，满足题意的“整点”有，，，，，共5个，
的取值范围是；
综上所述的取值范围是或 ，
故答案为：或 ．
【分析】先将抛物线解析式化成顶点式，得到抛物线的顶点坐标为，然后分两种情况讨论：当或时，结合“整点”的定义，画出符合题意的图像，在图像中找到临界点即可求解.
19．（2024九上·奉化期中）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，设抛物线的顶点为D．坐标轴上有一动点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与相似．则点P的坐标　 　．
【答案】或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰直角三角形；相似三角形的性质-对应边；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【解答】解：过点作轴于点．
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，
将A(1，0)，B(-3，0)，C(0，3)分别代入得
解得
∴该抛物线的解析式为y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4，
∴D(-1，4)，
∴DF=1，OF=4，
∵B(-3，0)，C(0，3)
，
在中，，，
，
，
，
为直角三角形．
①利用的三边，，又，故当是原点时，；
②当是直角边时，若与是对应边，设的坐标是，则，，即，
解得：，则的坐标是，三角形不是直角三角形，则不成立；
③当是直角边，若与是对应边时，设的坐标是，则，则，即，
解得：，故是时，则一定成立；
④当在轴上时，是直角边，一定在的左侧，设的坐标是．
则，当与是对应边时，，即，
解得：，此时，两个三角形不相似；
⑤当在轴上时，是直角边，一定在的左侧，设的坐标是．
则，当与是对应边时，，即，
解得：，符合条件．
总之，符合条件的点的坐标为：或或．
故答案为：或或．
【分析】过点D作DF⊥y轴于点F，先利用待定系数法求出抛物线的解析式，然后将解析式配成顶点式可得点D的坐标；然后根据D、B、C三点坐标可求出BO=CO，DF=CF，则△DCF与△BOC都是等腰直角三角形，进而判断出△BCD是直角三角形；①根据两点间的距离公式算出DC、BC，BD，由两边及夹角对应相等的两个三角形相似得出当点P与点O重合时，△ACP∽△DBC；② 当AC是直角边时，若AC与CD是对应边， ③当AC是直角边，若AC与BC是对应边时， ④当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧， 当AC与CD是对应边时， ④当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧， 当AC与DC是对应边时， 分别根据相似三角形对应边成比例建立方程，求解并判断即可.
20．（2024九上·诸暨期中）如图，一段抛物线：y=-x(x-3)（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；
将C1绕点A1旋转180°得C2，交x 轴于点A2；
将C2绕点A2旋转180°得C3，交x 轴于点A3；
……
如此进行下去，直至得C13．若P（37，m）
在第13段抛物线C13上，则m =　 　．
【答案】2
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：根据题意，得
C1：y=-x(x-3)（0≤x≤3）；
C2：y=(x-3)(x-6)（3≤x≤6）；
C3：y=-(x-6)(x-9)（6≤x≤9）；
C4：y=(x-9)(x-12)（9≤x≤12）；
……
C13：y=-(x-36)(x-39)（36≤x≤39）．
对于C13有：当x＝37时，y＝2，所以，m＝2，
故答案为：2．
【分析】由题意，分别计算c1、c2、c3、c4的值，观察所得的值，找出规律可得C13的表达式，再把x=37代入计算即可求解.
21．（2024九上·杭州期中）二次函数（，，是常数，）图象的对称轴是直线，其图象一部分如图所示，对于下列说法：
①；②；③方程有两个不相等的实数根；④（为任意实数）．其中正确的是　 　．（填写序号）
【答案】①③④
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①根据题意，得函数图象开口向下，与轴交于正半轴，
∴，
∵函数图象的对称轴是直线，
∴，
∴，故①正确；
②根据函数图象可知：当时，，
∵，
∴，
∴，
整理得：，
∴，故②错误；
③方程中，，
∴，
∵，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，故③正确；
④当时，是二次函数的最大值，
∴（为任意实数），
∴，即，故④正确；
综上所述，正确的有①③④，
故答案为：①③④ ．
【分析】①由函数图象的开口方向以及与轴的交点可得，从而由函数对称轴以及可得，进而得；②根据函数图象可知，结合，可求出；③根据一元二次方程根据与系数的关系可求出，即可得方程有两个不相等的实数根；④根据对称轴为直线得到函数值最大值为，进而求出.
22．（2024九上·鹿城期中）在综合实践“研究轴对称图形”活动中，小明同学发现一个有趣的现象：过抛物线与坐标轴的三个交点的圆的圆心总落在抛物线的对称轴上．小明想：如果知道抛物线的表达式，那就一定能求出过抛物线与坐标轴三个交点的圆的半径．请计算，若已知抛物线，设该抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，那么经过A，B，C三点的圆的半径长是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；垂径定理
【解析】【解答】解：在中，令，则，
解得或，
∴，，
∴，
令，则，
∴，
∴，
设经过A，B，C三点的圆的圆心为M，
过M作于E，于F，则四边形是矩形，
∴，，，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴经过A，B，C三点的圆的半径长是，
故答案为：．
【分析】令抛物线的解析式中的y=0可得关于x的一元二次方程，解方程求得点A、B的坐标，由两点间的距离公式求得AB的值，设经过A，B，C三点的圆的圆心为M，过M作于E，于F，根据垂径定理得到，，，设，在Rt△BME和Rt△CME中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值即可求解．
三、解答题
23．（2024九上·鹿城期中）如图，抛物线与直线相交于两点，与x轴相交于另一点C．
（1）请直接写出 ， ．
（2）点P是直线上方抛物线上的一个动点（不与A，B重合），过点P作直线轴于点D，交直线于点E，当时，求点P的坐标．
（3）抛物线上是否存在点M使的面积等于面积的一半，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）5；2
（2）解：由（1）知抛物线的解析式为，
设，则，，
∵，
∴，
解得或（此时P不在直线上方，舍去）；
∴P的坐标为
（3）解：抛物线上存在点M，使的面积等于面积的一半；
理由如下：
过M作轴交直线于K，过点B作，延长交x轴于点F，如图：
在中，令得：，
解得：或，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵的面积等于面积的一半，
∴，
∴，
∴或，
解得：或，或
∴M的坐标为，或，或，或
【知识点】二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【解答】（1）解：把代入得：，
把代入得：，
解得：，
故答案为：5；2；
【分析】（1）把代入求出，然后用待定系数法可求解；
（2）设，则，由可得关于t的一元二次方程，解方程可求解；
（3）过M作轴交直线于K，令抛物线的解析式中y=0可求出点C的坐标，设，则，将MK用含m的代数式表示出来，根据的面积等于面积的一半可得关于m的方程，解方程可求解．
（1）解：把代入得：，
把代入得：，
解得：，
故答案为：5；2；
（2）解：由（1）知抛物线的解析式为，设，则，，
∵，
∴，
解得或（此时P不在直线上方，舍去）；
∴P的坐标为；
（3）解：抛物线上存在点M，使的面积等于面积的一半；理由如下：
过M作轴交直线于K，过点B作，延长交x轴于点F，如图：
在中，令得，
解得或，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵的面积等于面积的一半，
∴，
∴，
∴或，
解得或，
解得或
∴M的坐标为，或，或，或．
24．（2024九上·瑞安期中）如图，抛物线经过点，对称轴为直线，点G坐标为，点C在边上运动，延长交抛物线于点B，连结，分别记，的面积为，．
（1）求该抛物线表达式．
（2）若点，均在抛物线上，且，，请比较，大小，并说明理由．
（3）记，直线的表达式为，求t关于函数表达式，并求t的最大值．
【答案】（1）解：由题意，得，解得．把点代入，得．
∴抛物线表达式为
（2）解：∵点，均在抛物线上，∴，，
，
又，
∴，
解得，或．
，
，
（3）解：设直线表达式为，把，代入，得：
，
解得，，
所以，直线表达式为，
点C在边上运动，
∴设．
∵点C在直线上，
，化简，得，
．
即．
∵，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
∴当时，
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）利用二次函数的对称轴可求出b的值，再将点A的坐标代入函数解析式，可求出c的值，即可顶点二次函数解析式.
（2）分别把，代入可得到y1、y2的值，根据，可得到关于x1的方程，解方程求出符合题意的x1的值，据此可得到，的大小.
（3）利用待定系数法求出直线的解析式，设点的坐标为，由点在上得，代入可得到t关于xB的函数解析式，利用二次函数的性质可求出t的最大值.
（1）解：由题意，得，解得．
把点代入，得．
∴抛物线表达式为．
（2）解：∵点，均在抛物线上，
∴，，
，
又，
∴，
解得，或．
，
，
．
（3）解：设直线表达式为，
把，代入，得：
，
解得，，
所以，直线表达式为，
点C在边上运动，
∴设．
∵点C在直线上，
，化简，得，
．
即．
∵，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
∴当时，．
25．（2024九上·诸暨期中）如图，已知抛物线与x轴正半轴交于点，与y轴交于点，点P是x轴上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点C，交直线于点D，设．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当时，求线段的最大值；
（3）在和中，当其中一个三角形的面积是另一个三角形面积的2倍时，求相应x的值；
【答案】（1）解：抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点，
，
，
抛物线解析式为；

（2）解：设直线的解析式为，
，，
，
解得，
直线解析式为，
，
，，
，
，
当时，的最大值为；
（3）解：由（2）知，，
∵，
∴
∵点P是x轴上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点C，交直线于点D，
∴①当时，
，
即：，
∴或，
或（舍），
∴②当时，
，
即：，
∴或
或（舍），
综上可得，或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）由题意，用待定系数法可求解；
（2）由题意，用待定系数法求出直线解析式，然后用含x的代数式可表示出点，的坐标，根据两点间的距离可得CD与x之间的函数关系式，并将函数关系式配成顶点式，再结合二次函数的性质即可求解；
（3）由题意，先将CD、DP用含x的代数式表示出来，再分两种情况：①当时，②当时，解含绝对值的方程即可求解．
（1）解：抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点，
，
，
抛物线解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
，，
，
解得，
直线解析式为，
，
，，
，
，
当时，的最大值为；
（3）解：由（2）知，，
∵，
∴
∵点P是x轴上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点C，交直线于点D，
∴①当时，
，
即：，
∴或，
或（舍），
∴②当时，
，
即：，
∴或
或（舍），
综上所述，或．
26．（2024九上·奉化期中）如图，顶点为C的抛物线与x轴交于A、B两点，连结，直线，垂足为E交y轴于点D，且．
（1）求A、B两点的坐标及a的值；
（2）过点B作x轴的垂线与直线交于点F，把（1）中的抛物线向右平移K个单位，使抛物线与线段有交点，试求K的取值范围；
（3）与关于x轴成轴对称，如图2，把沿y轴以每秒1个单位向上平移，当Q点与D点重合时，停止运动，记运动时间为t，设与重叠部分的面积为S，求S与运动时间t的函数关系式．问S是否有最大值，若有，求出S的最大值；若没有，请说明理由．
【答案】（1）解：对于，当时，，令，则，
则点A、B的坐标分别为：，点，
则，
∵，
∴∠AEB=90°，
∴∠DAO+∠CBO=∠CBO+∠BCO=90°，
∴t，
∴，
∴，
解得：（经检验是方程的根）；
（2）解：由（1）知，抛物线的表达式为：，
∴平移后的抛物线表达式为：，
∴点，
∴，
∴，
∴，即点，
将点F的坐标代入平移后得抛物线表达式得：，
解得：，
而，
则或；
（3）解：连接，设平移后交于点N，交x轴于点T，交于点M，过点N作，
由（2）知，则，
则为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
由题意得：，则，
则，，
则
，
∴S的最大值为．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；等边三角形的判定与性质；互余两角三角函数的关系；解直角三角形—边角关系；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线与坐标轴交点的坐标特点，令y=ax2-2a中的x=0算出对应的函数值可得点C的坐标，令y=ax2-2a中y=0算出对应的自变量x的值可得点A、B的坐标；由互余两角三角函数关系及正切函数定义得出，然后由CO=OD+CD建立方程，求解即可；
（2）由（1）知，抛物线的表达式为：，平移后的抛物线表达式为：，根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值得出，然后得出点，代入函数解析式求解即可；
（3）连接BH，设平移后QH交BC于点N，交x轴于点T，GH交BC于点M，过点N作NP⊥TB，由（2）可得△NTB是等边三角形，根据等边三角形性质及三角形面积公式得，由题意得：，则，再结合图形求面积确定函数解析式即可得出结果．
（1）解：对于，当时，，
令，则，
则点A、B的坐标分别为：，点，
则，
∵，则t，
则，
则，
解得：（经检验是方程的根）；
（2）由（1）知，抛物线的表达式为：，
则平移后的抛物线表达式为：，
则点，则，
则，
则，即点，
将点F的坐标代入平移后得抛物线表达式得：，
解得：，
而，
则或；
（3）连接，设平移后交于点N，交x轴于点T，交于点M，过点N作，
由（2）知，则，
则为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
由题意得：，则，
则，，
则
，
∴S的最大值为．
27．（2024九上·台州期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数的解析式：
（2）如图甲，连接，若，求点P的坐标；
（3）如图乙，过A，B，P三点作，过点P作轴，垂足为D，交于点E．点P在运动过程中线段的长是否变化，若有变化，求出的取值范围；若不变，求的长．
【答案】（1）解：∵二次函数的图像经过点，
∴，
解得，
所以这个二次函数的关系式为；
（2）解：如图所示，连接，
当时，，
∴点，
∴．
设点，
则，
即，
解得（舍），
则
∴点；
（3）解：不变，DE=1，理由如下：
抛物线的对称轴为，
∵，
∴点M在线段的垂直平分线上，
即点M在对称轴上，
则设点，点，，
∵点，
∴，．
∵，
∴，
解得.
∵，
∴点M在的垂直平分线上，
∴，
∴，
即，
∴.
所以点P运动过程中线段的长不变，．
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求二次函数解析式；圆的相关概念；坐标系中的两点距离公式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）将点A、B得坐标分别代入y=x2+bx+c可得关于字母b、c的二元一次方程组，求解得出b、c的值，即可得到抛物线的解析式；
（2）连接，令抛物线解析式中的x=0算出对应的函数值，求出点C的坐标，根据点的坐标与图形性质设点， 再根据三角形面积公式，由得出关于m的方程，求出解，即可得出答案；
（3）由抛物线的对称轴直线公式求出对称轴为，根据抛物线与圆的轴对称性可得点M在线段的垂直平分线上，由点的坐标与图形性质设点，点，，根据结合两点的距离公式建立出一个方程，求解用含m的式子表示出t，易得点M在的垂直平分线上，由中点坐标公式及点的坐标与图形性质得，则可得关于n的式子，求解即可.
（1）∵二次函数的图像经过点，
∴，
解得，
所以这个二次函数的关系式为；
（2）如图所示，连接，
当时，，
∴点，
∴．
设点，
则，
即，
解得（舍），
则
∴点；
（3）抛物线的对称轴为，
∵，
∴点M在线段的垂直平分线上，
即点M在对称轴上，
则设点，点，，
∵点，
∴，．
∵，
∴，
解得.
∵，
∴点M在的垂直平分线上，
∴，
∴，
即，
∴.
所以点P运动过程中线段的长不变，．
28．（2022九上·上虞期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，将线段绕点O按顺时针方向旋转90°，使点A落在边上的点E处，抛物线过A，E，B三点．
（1）填空： ； ．
（2）若点M是抛物线对称轴上的一动点，当的周长最小时：
①求点M的坐标；
②求外接圆圆心F的坐标．
（3）在（2）的条件下，点P是轴上一动点，当时，求点P的坐标．
【答案】（1）1，
（2）解：①由（1）得抛物线解析式为，∴抛物线对称轴为直线，
如图所示，连接交对称轴于点M，设抛物线对称轴与x轴交于T，
∵，，
∴A、B关于直线对称，
∴，
∵B、E都是定点，即是定值，
∴的周长的最小值，
设直线AE的表达式为，则可联立方程组
解得：
直线AE的表达式为
当时
∴；
②∵，，，
∴，，，
∴，
∴时直角三角形，即，
∴外接圆圆心F即为的中点，
∴外接圆圆心F的坐标为．
（3）解：由（2）得，
∵点P在x轴上，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴．
∵，
∴或．
【知识点】三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-线段周长问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【解答】（1）解：当时，，
∴，
∴，
由旋转的性质可得，
∴；
∵四边形是矩形，，
∴，
∴，
把，代入到抛物线解析式中得：，
解得，
故答案为：1，；
【分析】
（1）由于抛物线交轴于点，则点A，再由旋转的性质知点C，再利用待定系数法求解即可；
（2）①先利用抛物线解析式求出对称轴为直线，由于B、E是定点，即BE是定值，则当BE+ME最小时的周长最小，则连接交对称轴于点，由抛物线的轴对称性质可得，此时取最小值，再利用待定系数法求出直线AE的解析式，则可利用直线上点的坐标特征求得；
②先由两点距离公式可分别求出的值，再利用勾股定理的逆定理可证明是直角三角形，即，则外接圆圆心F即为的中点，再中点坐标公式直接计算即可；
（3）先由两点距离公式可分别求得，又，则时，可由AA证明，则由相似比可得，再由坐标轴上两点距离公式计算即可．
（1）解：当时，，
∴，
∴，
由旋转的性质可得，
∴；
∵四边形是矩形，，
∴，
∴，
把，代入到抛物线解析式中得：，
解得，
故答案为：1，；
（2）解：①由（1）得抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
如图所示，连接交对称轴于点M，设抛物线对称轴与x轴交于T，
∵，，
∴A、B关于直线对称，
∴，
∴的周长，
∵B、E都是定点，即是定值，
∴当三点共线时，最小，即此时的周长最小，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵，，，
∴，，，
∴，
∴时直角三角形，即，
∴外接圆圆心F即为的中点，
∴外接圆圆心F的坐标为．
（3）解：由（2）得，
∵点P在x轴上，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴．
∵，
∴或．
1 / 1《二次函数》精选压轴题（一）—2025年浙江省九（上）数学期中复习
一、选择题
1．（2024·浙江模拟）已知二次函数的图象经过点，点的横坐标为，当时，总有，则的值为（　　）
A． B． C． D．
2．（2024九上·浙江期中）已知，且，，都是大于1的数，若满足，，，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2023·宁波模拟）二次函数的图象与轴的两个交点为，，且，点是图象上一点，那么下列判断正确的是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
4．（2024九上·上城期中）设二次函数（a，c为实数，，）的图象过点，，，，（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．（2024·镇海区模拟）已知二次函数的图象上有两点和 (其中)，则(　　)
A．若，当时，
B．若，当时，
C．若，当时，
D．若，当时，
6．（2024九上·余杭期中）已知关于x的二次函数的图象与x轴的交点坐标是和，其中a，b，c，d均为常数，则关于x的二次函数与x轴的交点坐标是（　　）
A．和 B．和 C．和 D．和
7．（2024九上·杭州期中）已知二次函数（为常数）经过点，一元二次方程的两个解为，，当时，则的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024九上·杭州期中）已知抛物线开口向下，过，两点，且．甲同学认为：若点，在抛物线上，，且，则．乙同学认为：当时，关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根，以下对两位同学的看法判断正确的是（　　）
A．甲、乙都正确 B．甲、乙都错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
9．（2024九上·诸暨期中）定义符号的含义为：当时；当时．如：．则的最大值是（　　）
A． B． C．1 D．0
10．（2024九上·台州期中）抛物线上有，，，四点，若，，，四个数中有且只有一个大于零，则m的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
11．（2024九上·柯城期中）如图1是玻璃水杯的截面图，其左右轮廊线，为某抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深．如图2，将盛有部分水的水杯倾斜，水面正好经过点（即）．嘉淇在图1中建立了平面直角坐标系（抛物线的顶点在y轴上），对于下列结论，其中不正确的是（　　）
A．玻璃水杯轮廊线所在拋物线的解析式为
B．直线的解析式为
C．点到杯口的距离为
D．点到点的距离为
12．（2024九上·义乌月考）如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①，②，③当时，y随x的增大而增大，④，⑤若m，n（）为方程的两个根，则且．其中正确的结论有（　　）
A．①③ B．①②④ C．②④⑤ D．①④⑤
13．（2024·宁波模拟）已知二次函数，下列说法中正确的个数是（　　）
（1）当时，此抛物线图象关于轴对称；
（2）若点，点在此函数图象上，则；
（3）若此抛物线与直线有且只有一个交点，则；
（4）无论为何值，此抛物线的顶点到直线的距离都等于．
A．1 B．2 C．3 D．4
14．（2024九上·杭州期中）已知二次函数的图象与轴交于不同两点，与轴的交点在轴正半轴，它的对称轴为直线， 有以下结论： ①，②， ③抛物线上有两点和，若， 且， 则， ④设，是方程． 的两根，若则， 其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①② C．③④ D．①②③④
15．（2024九上·沅江开学考）如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1．其中正确结论的个数是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题
16．（2024九下·鼓楼期中）已知二次函数，点，，都在这个二次函数的图象上，且，则的取值范围是　 　．
17．（2024九上·杭州期中）已知，是抛物线上的两点，其对称轴是直线，若时，总有，同一坐标系中有，，且抛物线与线段MN有两个不相同的交点，则a的取值范围是　 　．
18．（2024九上·浙江期中）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整点”，抛物线（a为常数）与直线交于M、N两点，若线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“整点”，则a的取值范围是　 　．
19．（2024九上·奉化期中）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，设抛物线的顶点为D．坐标轴上有一动点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与相似．则点P的坐标　 　．
20．（2024九上·诸暨期中）如图，一段抛物线：y=-x(x-3)（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；
将C1绕点A1旋转180°得C2，交x 轴于点A2；
将C2绕点A2旋转180°得C3，交x 轴于点A3；
……
如此进行下去，直至得C13．若P（37，m）
在第13段抛物线C13上，则m =　 　．
21．（2024九上·杭州期中）二次函数（，，是常数，）图象的对称轴是直线，其图象一部分如图所示，对于下列说法：
①；②；③方程有两个不相等的实数根；④（为任意实数）．其中正确的是　 　．（填写序号）
22．（2024九上·鹿城期中）在综合实践“研究轴对称图形”活动中，小明同学发现一个有趣的现象：过抛物线与坐标轴的三个交点的圆的圆心总落在抛物线的对称轴上．小明想：如果知道抛物线的表达式，那就一定能求出过抛物线与坐标轴三个交点的圆的半径．请计算，若已知抛物线，设该抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，那么经过A，B，C三点的圆的半径长是　 　．
三、解答题
23．（2024九上·鹿城期中）如图，抛物线与直线相交于两点，与x轴相交于另一点C．
（1）请直接写出 ， ．
（2）点P是直线上方抛物线上的一个动点（不与A，B重合），过点P作直线轴于点D，交直线于点E，当时，求点P的坐标．
（3）抛物线上是否存在点M使的面积等于面积的一半，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（2024九上·瑞安期中）如图，抛物线经过点，对称轴为直线，点G坐标为，点C在边上运动，延长交抛物线于点B，连结，分别记，的面积为，．
（1）求该抛物线表达式．
（2）若点，均在抛物线上，且，，请比较，大小，并说明理由．
（3）记，直线的表达式为，求t关于函数表达式，并求t的最大值．
25．（2024九上·诸暨期中）如图，已知抛物线与x轴正半轴交于点，与y轴交于点，点P是x轴上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点C，交直线于点D，设．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当时，求线段的最大值；
（3）在和中，当其中一个三角形的面积是另一个三角形面积的2倍时，求相应x的值；
26．（2024九上·奉化期中）如图，顶点为C的抛物线与x轴交于A、B两点，连结，直线，垂足为E交y轴于点D，且．
（1）求A、B两点的坐标及a的值；
（2）过点B作x轴的垂线与直线交于点F，把（1）中的抛物线向右平移K个单位，使抛物线与线段有交点，试求K的取值范围；
（3）与关于x轴成轴对称，如图2，把沿y轴以每秒1个单位向上平移，当Q点与D点重合时，停止运动，记运动时间为t，设与重叠部分的面积为S，求S与运动时间t的函数关系式．问S是否有最大值，若有，求出S的最大值；若没有，请说明理由．
27．（2024九上·台州期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数的解析式：
（2）如图甲，连接，若，求点P的坐标；
（3）如图乙，过A，B，P三点作，过点P作轴，垂足为D，交于点E．点P在运动过程中线段的长是否变化，若有变化，求出的取值范围；若不变，求的长．
28．（2022九上·上虞期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，将线段绕点O按顺时针方向旋转90°，使点A落在边上的点E处，抛物线过A，E，B三点．
（1）填空： ； ．
（2）若点M是抛物线对称轴上的一动点，当的周长最小时：
①求点M的坐标；
②求外接圆圆心F的坐标．
（3）在（2）的条件下，点P是轴上一动点，当时，求点P的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵，
，
∴抛物线的开口向上，顶点坐标为，对称轴是直线，
∴当时，取得最小值，
∵当时，总有，
∴，
若，则当时，，
即有，
解得：；
若，则当时，，
即有
解得：，不合题意，
∴这种情况不存在，
综上所述，当时，总有，则．
故答案为：D.
【分析】将二次函数的解析式化为顶点式，然后可以得到二次函数的性质：对称轴是直线，当时，y取得最小值，然后根据二次函数的最值，分为和两种情况分别求出m的值解题．
2．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用；等式的基本性质；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
又∵，，，
∴，，，
∵，，，，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，，都是大于1的数，
∴．
故答案为：D．
【分析】本题主要考查不等式的性质，平方差公式的应用，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据两个正数，较大数的倒数小于较小数的倒数，得出，根据等式两边同时乘或除以同一个不为零的整式，等式仍然成立得出，，，根据不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变得出，即，再根据两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差得出，根据不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变得出，即可得出答案.
3．【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： 二次函数 ，
该函数图象开口向上，
二次函数 的图象与x轴的两个交点为 ， ，且 ，点 是图象上一点，
当 时， 或 ，故选项A、B错误；
当 时， ，选项C错误，选项D正确；
故答案为：D.
【分析】由于二次项的系数是1大于0，故图象开口向上，从而分当n＞0与n＜0两种情况，借助图象可判断出m与x1、x2的大小关系.
4．【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵二次函数（a，c为实数，，）的图象过点，，，，
∴，，
A、∵，
∴，，
∴，或，
∴或，故A错误；
B、∵，
∴，，
∴，故B错误；
C、∵，
∴，，
∴且，
∴，故C正确；
D、∵，
∴，，
∴无解，故D错误；
故答案为：C．
【分析】将4个点的坐标代入二次函数解析式中得到的值，然后根据每个选项的条件进行求解即可.
5．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵与轴的交点为
∴对称轴为直线，
当时，抛物线开口向上，
当时，即
∴
∴
∴，故A选项正确
当时，抛物线开口向下，
，无法判断的大小，
故答案为：A．
【分析】由题可得对称轴是，由抛物线开口向上，利用，即可得到解题即可．
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与x轴的交点坐标是和，
∴方程的两个根分别为c、d，
∴，，
∴
∵，
设方程的两根为，，
∴，，
∴，分别为a、b，
∴该函数与x轴的交点坐标和.
故答案为：A．
【分析】将关于x的二次函数化为一般式为，根据一元二次方程与二次函数的关系可得抛物线与x交点的横坐标就是一元二次方程 的根，从而根据根一元二次方程根与系数的关系可得，，将化为一般式，可得，，即可求解．
7．【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数，
∴二次函数经过点，
∵二次函数经过点，
∴二次函数的对称轴为直线，
，
∴二次函数为，
∵一元二次方程的两个解为，，
∴二次函数过点，，
∴，
，
，
∵，
∴，
，
将代入，得，
∵二次函数的对称轴为，
∴当时，，
当时，有，
，
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的对称性得到对称轴，从而得到的值，进而得到二次函数的解析式，然后根据函数与方程的联系，确定二次函数过点，，由二次函数的对称性得出，即可得到，代入得到，最后根据对称性以及二次函数图象上点的坐标特征即可求得的取值范围．
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，过，两点，
∴，，
∵点，在抛物线上，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，则甲的看法正确；
令，
整理得：，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根，则乙的看法正确；
综上所述，甲、乙的看法都正确，
故答案为：A．
【分析】根据二次函数的开口方向以及图像上的坐标点得到，，将点，的坐标代入解析式中，可得的值，从而得，据此即可判断甲的正误，然后令，整理得：，根据一元二次方程根的判别式得到，据此即可判断乙的正误.
9．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意，在同一坐标系中，画出二次函数与正比例函数的图象，如图所示．
设抛物线于直线相交于点、．
令，即，
解得：或，
把代入，得出，
把代入，得出，
，，
观察图象可知：
①当时，，函数值随的增大而增大，其最大值为；
②当时，，函数值随的增大而减小，其最大值为小于；
③当时，，函数值随的增大而减小，
最大值为．
综上可得，，的最大值是．
故答案为：A．
【分析】的含义就是取两个值中的较小值，根据题意画出函数图象草图，由函数图象的性质分三种情况：①当时，②当时，③当时；分别根据函数的性质可求解．
10．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意得，抛物线的对称轴为直线，当时，
，且，，，四个数中有且只有一个大于零，
．
．
当时，抛物线上离对称轴越近的点，其函数值越大，
而点和到直线的距离相等，且距离最近，
此情况下不存在，，，四个数中有且只有一个大于零．
故答案为：D．
【分析】根据所给函数解析式，由对称轴直线公式求出抛物线的对称轴为直线x=-2，当m＞0时，抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴直线距离越大，其对应的函数值就越大；从而结合y1、y2、y3、y4中只有一个数大于零及抛物线上点的坐标特点列出关于字母m的不等式组，求解可得m的取值范围；当m＜0时，抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴直线距离越大，其对应的函数值就越小；由于点和到直线的距离相等，且距离最近，结合题意可得此情况下不存在.
11．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意得，，，，
设轮廓线，所在抛物线的解析式为，记与轴的交点为，
把、代入得
，解得：，
∴，故A说法正确；
∵，
∴，
∴，
∴
设直线的解析式为
把、代入得：
，解得：，
∴直线：，故B说法正确；
由，解得，（舍）
当，，
∴，
此时点P到杯口的距离为，故C说法不正确；
，故D说法正确；
故选：C．
【分析】A、，，，，则可利用待定系数法求得抛物线的解析式为；B、再利用待定系数法求出直线的解析式；C、联立直线与抛物线的解析式即可求出点坐标；D、利用两点距离公式可直接计算出PD的长度．
12．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：①∵开口向下，对称轴在y轴左边，于y轴交于正半轴，
∴，
∴，故①正确，符合题意；
②∵对称轴为直线，x轴交于点，
∴，与x轴另一个交点为，
∴，当时，，
∴，则，
∴，
∵，
∴，
即，故②不正确，不符合题意；
③由图可知，当时，y随x的增大而增大，故③不正确，不符合题意；
④由图可知，顶点在第二象限，
∴，
∴，故④正确，符合题意；
⑤∵二次函数与x轴交点坐标为，，
∴，
当时，对应x的值在左侧，右侧，
∴的两个根，，．故⑤正确，符合题意；
综上：正确的有①④⑤，
故答案为：D．
【分析】根据图像得到，即可判断①；得到对称轴为，求出与x轴另一个交点坐标为，即可得到，代入可得，即可判断②；根据函数得增减性判断③；根据顶点在第二象限，即可得到判断④；先得到二次函数解析式为，利用函数图象判断⑤．
13．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：（1）当时，，
∴抛物线的对称轴为y轴，
此抛物线图象关于y轴对称，故该项正确；
（2）∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∵点，点在此函数图象上，且，
∴，故该项错误；
（3）若此抛物线与直线有且只有一个交点，
则令，
整理得，
∴
解得，故该项错误；
（4）∵
∴顶点为，
∴抛物线的顶点在直线上，
∵直线与直线平行，
∴此抛物线的顶点到直线的距离都相等．
设直线交x轴于A，交y轴于B，点O到的距离为，
则，
∴
∵
∴
∴，
∴两直线间的距离为，故该项正确；
故答案为：B．
【分析】得到抛物线的对称轴判断①；根据两点到对称轴的距离大小判断②；令，即可得到，解得 m的值判断③；得到抛物线的顶点在直线上，即可得到直线与直线平行，得到两直线的距离判断④解题．
14．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，赋值法，二次函数的增减性，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，运用了分类讨论的思想．掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴判断与0的关系，可判断①；根据对称轴公式可判断②；根据抛物线的增减性可判断③；根据抛物线与轴交点情况分三种情况进行讨论，可判断④．
【解答】
解：①∵二次函数的图象与轴的交点在轴正半轴，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，即，
∵，
∴，
∴，故结论①正确；
②由①知：，
∴，故结论②正确；
③∵，
∴二次函数的图象开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越远其函数值就越小，
∵点和在抛物线上，且，，
∴，即到1的距离大于到1的距离，
∴，故结论③正确；
④∵二次函数的图象与轴交于不同两点，设左边交点的横坐标为，右边交点的横坐标为，即，如图所示，
若，则，，，
∴，
若，则，，，
∴，
若，则，，，
∴，
综上所述，故结论④正确，
∴正确的结论是①②③④．
故选：D．
15．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：对于①，由抛物线对称轴为直线，从而，则，故结论①正确；对于②，抛物线开口向下，与轴相交与正半轴，则，而，因而，故结论②错误；
对于③，方程的解，即是与直线的交点的横坐标，
从图象可得，抛物线顶点为，则抛物线与直线有且只有一个交点，
故
对于④，由抛物线对称性，与轴的一个交点，根据对称轴为，可知另一个交点坐标为（ 2，0），故
对于⑤，由图象可知，当1＜x＜4时，y1＞y2，故结论
故正确的有结论①③⑤，共计3个
故答案为：C
【分析】根据二次函数对称轴可得，则，故结论①正确；再根据二次函数图象与系数的关系可得，故结论②错误；根据二次函数与二次方程之间的关系可得方程有两个相等的实数根，故结论③正确；再根据二次函数的性质可得④错误；⑤正确；
16．【答案】或
【知识点】解一元一次不等式；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：，都在二次函数的图象上，
二次函数的对称轴为直线，二次函数开口向上，
，
解得，
，
在对称轴左侧，在对称轴右侧，点A与点C关于对称轴对称.
∵当时，，
二次函数图象与轴交于，关于对称轴对称的坐标为，
，
，解得，
①当，都在对称轴左侧时，
，随的增大而减小，
，解得，
②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时，
，
∴到对称轴距离小于到对称轴距离，
，解得，
即，
故答案为：或．
【分析】先根据，的纵坐标相等得到二次函数对称轴，再根据，结合二次函数的增减性进行分类讨论，建立不等式进行求解，即可解题．
17．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵，是抛物线上的两点，其对称轴是直线， 且，
∴点与对称轴的距离比点与对称轴的距离更远，
∵此时总有，
∴抛线开口向上，即，可得函数图象如图所示：
∵抛物线与线段有两个不相同的交点，
∴一元二次方程为有两个不同的实数根，
∴，
∴.
要使抛物线与线段有两个不相同的交点，
∴当和时，抛物线上对应的点都应该在线段上方或与M，N重合，
，
解得.
又∵a>0，
∴，
即当时，抛物线与线段有两个不相同的交点，
故答案为：．
【分析】由题意以及，可得抛物线开口向上，且抛物线与线段有两个不相同的交点，即一元二次方程为有两个不同的实数根，可求出.再由抛物线与线段有两个不相同的交点可得当和时，抛物线上对应的点都应该在线段上方或与M，N重合，得到，据此即可求解．
18．【答案】或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵抛物线，
∴抛物线的顶点坐标为，
①当时，抛物线过点，，，
当拋物线经过时，有，
解得：，
∴ ， ，，如图，满足题意的“整点”有，，，，共4个，
当抛物线经过时，有，
解得：，
∴，，，如图，满足题意的“整点”有，，，，，，共6个，
的取值范围是；
②当时，抛物线过点，，，，
当拋物线经过时，有，
解得：，
∴ ， ，，如图，满足题意的“整点”有，，，，共4个，
当抛物线经过时，有，
解得：，
∴，，，如图，满足题意的“整点”有，，，，，共5个，
的取值范围是；
综上所述的取值范围是或 ，
故答案为：或 ．
【分析】先将抛物线解析式化成顶点式，得到抛物线的顶点坐标为，然后分两种情况讨论：当或时，结合“整点”的定义，画出符合题意的图像，在图像中找到临界点即可求解.
19．【答案】或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰直角三角形；相似三角形的性质-对应边；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【解答】解：过点作轴于点．
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，
将A(1，0)，B(-3，0)，C(0，3)分别代入得
解得
∴该抛物线的解析式为y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4，
∴D(-1，4)，
∴DF=1，OF=4，
∵B(-3，0)，C(0，3)
，
在中，，，
，
，
，
为直角三角形．
①利用的三边，，又，故当是原点时，；
②当是直角边时，若与是对应边，设的坐标是，则，，即，
解得：，则的坐标是，三角形不是直角三角形，则不成立；
③当是直角边，若与是对应边时，设的坐标是，则，则，即，
解得：，故是时，则一定成立；
④当在轴上时，是直角边，一定在的左侧，设的坐标是．
则，当与是对应边时，，即，
解得：，此时，两个三角形不相似；
⑤当在轴上时，是直角边，一定在的左侧，设的坐标是．
则，当与是对应边时，，即，
解得：，符合条件．
总之，符合条件的点的坐标为：或或．
故答案为：或或．
【分析】过点D作DF⊥y轴于点F，先利用待定系数法求出抛物线的解析式，然后将解析式配成顶点式可得点D的坐标；然后根据D、B、C三点坐标可求出BO=CO，DF=CF，则△DCF与△BOC都是等腰直角三角形，进而判断出△BCD是直角三角形；①根据两点间的距离公式算出DC、BC，BD，由两边及夹角对应相等的两个三角形相似得出当点P与点O重合时，△ACP∽△DBC；② 当AC是直角边时，若AC与CD是对应边， ③当AC是直角边，若AC与BC是对应边时， ④当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧， 当AC与CD是对应边时， ④当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧， 当AC与DC是对应边时， 分别根据相似三角形对应边成比例建立方程，求解并判断即可.
20．【答案】2
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：根据题意，得
C1：y=-x(x-3)（0≤x≤3）；
C2：y=(x-3)(x-6)（3≤x≤6）；
C3：y=-(x-6)(x-9)（6≤x≤9）；
C4：y=(x-9)(x-12)（9≤x≤12）；
……
C13：y=-(x-36)(x-39)（36≤x≤39）．
对于C13有：当x＝37时，y＝2，所以，m＝2，
故答案为：2．
【分析】由题意，分别计算c1、c2、c3、c4的值，观察所得的值，找出规律可得C13的表达式，再把x=37代入计算即可求解.
21．【答案】①③④
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①根据题意，得函数图象开口向下，与轴交于正半轴，
∴，
∵函数图象的对称轴是直线，
∴，
∴，故①正确；
②根据函数图象可知：当时，，
∵，
∴，
∴，
整理得：，
∴，故②错误；
③方程中，，
∴，
∵，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，故③正确；
④当时，是二次函数的最大值，
∴（为任意实数），
∴，即，故④正确；
综上所述，正确的有①③④，
故答案为：①③④ ．
【分析】①由函数图象的开口方向以及与轴的交点可得，从而由函数对称轴以及可得，进而得；②根据函数图象可知，结合，可求出；③根据一元二次方程根据与系数的关系可求出，即可得方程有两个不相等的实数根；④根据对称轴为直线得到函数值最大值为，进而求出.
22．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；垂径定理
【解析】【解答】解：在中，令，则，
解得或，
∴，，
∴，
令，则，
∴，
∴，
设经过A，B，C三点的圆的圆心为M，
过M作于E，于F，则四边形是矩形，
∴，，，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴经过A，B，C三点的圆的半径长是，
故答案为：．
【分析】令抛物线的解析式中的y=0可得关于x的一元二次方程，解方程求得点A、B的坐标，由两点间的距离公式求得AB的值，设经过A，B，C三点的圆的圆心为M，过M作于E，于F，根据垂径定理得到，，，设，在Rt△BME和Rt△CME中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值即可求解．
23．【答案】（1）5；2
（2）解：由（1）知抛物线的解析式为，
设，则，，
∵，
∴，
解得或（此时P不在直线上方，舍去）；
∴P的坐标为
（3）解：抛物线上存在点M，使的面积等于面积的一半；
理由如下：
过M作轴交直线于K，过点B作，延长交x轴于点F，如图：
在中，令得：，
解得：或，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵的面积等于面积的一半，
∴，
∴，
∴或，
解得：或，或
∴M的坐标为，或，或，或
【知识点】二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【解答】（1）解：把代入得：，
把代入得：，
解得：，
故答案为：5；2；
【分析】（1）把代入求出，然后用待定系数法可求解；
（2）设，则，由可得关于t的一元二次方程，解方程可求解；
（3）过M作轴交直线于K，令抛物线的解析式中y=0可求出点C的坐标，设，则，将MK用含m的代数式表示出来，根据的面积等于面积的一半可得关于m的方程，解方程可求解．
（1）解：把代入得：，
把代入得：，
解得：，
故答案为：5；2；
（2）解：由（1）知抛物线的解析式为，设，则，，
∵，
∴，
解得或（此时P不在直线上方，舍去）；
∴P的坐标为；
（3）解：抛物线上存在点M，使的面积等于面积的一半；理由如下：
过M作轴交直线于K，过点B作，延长交x轴于点F，如图：
在中，令得，
解得或，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵的面积等于面积的一半，
∴，
∴，
∴或，
解得或，
解得或
∴M的坐标为，或，或，或．
24．【答案】（1）解：由题意，得，解得．把点代入，得．
∴抛物线表达式为
（2）解：∵点，均在抛物线上，∴，，
，
又，
∴，
解得，或．
，
，
（3）解：设直线表达式为，把，代入，得：
，
解得，，
所以，直线表达式为，
点C在边上运动，
∴设．
∵点C在直线上，
，化简，得，
．
即．
∵，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
∴当时，
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）利用二次函数的对称轴可求出b的值，再将点A的坐标代入函数解析式，可求出c的值，即可顶点二次函数解析式.
（2）分别把，代入可得到y1、y2的值，根据，可得到关于x1的方程，解方程求出符合题意的x1的值，据此可得到，的大小.
（3）利用待定系数法求出直线的解析式，设点的坐标为，由点在上得，代入可得到t关于xB的函数解析式，利用二次函数的性质可求出t的最大值.
（1）解：由题意，得，解得．
把点代入，得．
∴抛物线表达式为．
（2）解：∵点，均在抛物线上，
∴，，
，
又，
∴，
解得，或．
，
，
．
（3）解：设直线表达式为，
把，代入，得：
，
解得，，
所以，直线表达式为，
点C在边上运动，
∴设．
∵点C在直线上，
，化简，得，
．
即．
∵，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
∴当时，．
25．【答案】（1）解：抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点，
，
，
抛物线解析式为；

（2）解：设直线的解析式为，
，，
，
解得，
直线解析式为，
，
，，
，
，
当时，的最大值为；
（3）解：由（2）知，，
∵，
∴
∵点P是x轴上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点C，交直线于点D，
∴①当时，
，
即：，
∴或，
或（舍），
∴②当时，
，
即：，
∴或
或（舍），
综上可得，或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）由题意，用待定系数法可求解；
（2）由题意，用待定系数法求出直线解析式，然后用含x的代数式可表示出点，的坐标，根据两点间的距离可得CD与x之间的函数关系式，并将函数关系式配成顶点式，再结合二次函数的性质即可求解；
（3）由题意，先将CD、DP用含x的代数式表示出来，再分两种情况：①当时，②当时，解含绝对值的方程即可求解．
（1）解：抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点，
，
，
抛物线解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
，，
，
解得，
直线解析式为，
，
，，
，
，
当时，的最大值为；
（3）解：由（2）知，，
∵，
∴
∵点P是x轴上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点C，交直线于点D，
∴①当时，
，
即：，
∴或，
或（舍），
∴②当时，
，
即：，
∴或
或（舍），
综上所述，或．
26．【答案】（1）解：对于，当时，，令，则，
则点A、B的坐标分别为：，点，
则，
∵，
∴∠AEB=90°，
∴∠DAO+∠CBO=∠CBO+∠BCO=90°，
∴t，
∴，
∴，
解得：（经检验是方程的根）；
（2）解：由（1）知，抛物线的表达式为：，
∴平移后的抛物线表达式为：，
∴点，
∴，
∴，
∴，即点，
将点F的坐标代入平移后得抛物线表达式得：，
解得：，
而，
则或；
（3）解：连接，设平移后交于点N，交x轴于点T，交于点M，过点N作，
由（2）知，则，
则为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
由题意得：，则，
则，，
则
，
∴S的最大值为．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；等边三角形的判定与性质；互余两角三角函数的关系；解直角三角形—边角关系；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线与坐标轴交点的坐标特点，令y=ax2-2a中的x=0算出对应的函数值可得点C的坐标，令y=ax2-2a中y=0算出对应的自变量x的值可得点A、B的坐标；由互余两角三角函数关系及正切函数定义得出，然后由CO=OD+CD建立方程，求解即可；
（2）由（1）知，抛物线的表达式为：，平移后的抛物线表达式为：，根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值得出，然后得出点，代入函数解析式求解即可；
（3）连接BH，设平移后QH交BC于点N，交x轴于点T，GH交BC于点M，过点N作NP⊥TB，由（2）可得△NTB是等边三角形，根据等边三角形性质及三角形面积公式得，由题意得：，则，再结合图形求面积确定函数解析式即可得出结果．
（1）解：对于，当时，，
令，则，
则点A、B的坐标分别为：，点，
则，
∵，则t，
则，
则，
解得：（经检验是方程的根）；
（2）由（1）知，抛物线的表达式为：，
则平移后的抛物线表达式为：，
则点，则，
则，
则，即点，
将点F的坐标代入平移后得抛物线表达式得：，
解得：，
而，
则或；
（3）连接，设平移后交于点N，交x轴于点T，交于点M，过点N作，
由（2）知，则，
则为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
由题意得：，则，
则，，
则
，
∴S的最大值为．
27．【答案】（1）解：∵二次函数的图像经过点，
∴，
解得，
所以这个二次函数的关系式为；
（2）解：如图所示，连接，
当时，，
∴点，
∴．
设点，
则，
即，
解得（舍），
则
∴点；
（3）解：不变，DE=1，理由如下：
抛物线的对称轴为，
∵，
∴点M在线段的垂直平分线上，
即点M在对称轴上，
则设点，点，，
∵点，
∴，．
∵，
∴，
解得.
∵，
∴点M在的垂直平分线上，
∴，
∴，
即，
∴.
所以点P运动过程中线段的长不变，．
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求二次函数解析式；圆的相关概念；坐标系中的两点距离公式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）将点A、B得坐标分别代入y=x2+bx+c可得关于字母b、c的二元一次方程组，求解得出b、c的值，即可得到抛物线的解析式；
（2）连接，令抛物线解析式中的x=0算出对应的函数值，求出点C的坐标，根据点的坐标与图形性质设点， 再根据三角形面积公式，由得出关于m的方程，求出解，即可得出答案；
（3）由抛物线的对称轴直线公式求出对称轴为，根据抛物线与圆的轴对称性可得点M在线段的垂直平分线上，由点的坐标与图形性质设点，点，，根据结合两点的距离公式建立出一个方程，求解用含m的式子表示出t，易得点M在的垂直平分线上，由中点坐标公式及点的坐标与图形性质得，则可得关于n的式子，求解即可.
（1）∵二次函数的图像经过点，
∴，
解得，
所以这个二次函数的关系式为；
（2）如图所示，连接，
当时，，
∴点，
∴．
设点，
则，
即，
解得（舍），
则
∴点；
（3）抛物线的对称轴为，
∵，
∴点M在线段的垂直平分线上，
即点M在对称轴上，
则设点，点，，
∵点，
∴，．
∵，
∴，
解得.
∵，
∴点M在的垂直平分线上，
∴，
∴，
即，
∴.
所以点P运动过程中线段的长不变，．
28．【答案】（1）1，
（2）解：①由（1）得抛物线解析式为，∴抛物线对称轴为直线，
如图所示，连接交对称轴于点M，设抛物线对称轴与x轴交于T，
∵，，
∴A、B关于直线对称，
∴，
∵B、E都是定点，即是定值，
∴的周长的最小值，
设直线AE的表达式为，则可联立方程组
解得：
直线AE的表达式为
当时
∴；
②∵，，，
∴，，，
∴，
∴时直角三角形，即，
∴外接圆圆心F即为的中点，
∴外接圆圆心F的坐标为．
（3）解：由（2）得，
∵点P在x轴上，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴．
∵，
∴或．
【知识点】三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-线段周长问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【解答】（1）解：当时，，
∴，
∴，
由旋转的性质可得，
∴；
∵四边形是矩形，，
∴，
∴，
把，代入到抛物线解析式中得：，
解得，
故答案为：1，；
【分析】
（1）由于抛物线交轴于点，则点A，再由旋转的性质知点C，再利用待定系数法求解即可；
（2）①先利用抛物线解析式求出对称轴为直线，由于B、E是定点，即BE是定值，则当BE+ME最小时的周长最小，则连接交对称轴于点，由抛物线的轴对称性质可得，此时取最小值，再利用待定系数法求出直线AE的解析式，则可利用直线上点的坐标特征求得；
②先由两点距离公式可分别求出的值，再利用勾股定理的逆定理可证明是直角三角形，即，则外接圆圆心F即为的中点，再中点坐标公式直接计算即可；
（3）先由两点距离公式可分别求得，又，则时，可由AA证明，则由相似比可得，再由坐标轴上两点距离公式计算即可．
（1）解：当时，，
∴，
∴，
由旋转的性质可得，
∴；
∵四边形是矩形，，
∴，
∴，
把，代入到抛物线解析式中得：，
解得，
故答案为：1，；
（2）解：①由（1）得抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
如图所示，连接交对称轴于点M，设抛物线对称轴与x轴交于T，
∵，，
∴A、B关于直线对称，
∴，
∴的周长，
∵B、E都是定点，即是定值，
∴当三点共线时，最小，即此时的周长最小，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵，，，
∴，，，
∴，
∴时直角三角形，即，
∴外接圆圆心F即为的中点，
∴外接圆圆心F的坐标为．
（3）解：由（2）得，
∵点P在x轴上，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴．
∵，
∴或．
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