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§3　等比数列
3.1　等比数列的概念及其通项公式
第1课时　等比数列的概念及其通项公式
【课前预习】
知识点一
第2项　等比　公比
诊断分析
解:存在这样的数列.根据等差数列、等比数列的定义知,既要是等差数列又要为等比数列,则该数列必为不为0的常数列,比如:1,1,1,….
知识点二
1.an=a1qn-1(a1≠0,q≠0)　2.指数　一群孤立的点
诊断分析
(1)×　(2)×　(3)×
【课中探究】
探究点一
例1　AD　[解析] 对于A,因为===-2,所以该数列一定是等比数列;对于B,因为≠≠,所以该数列一定不是等比数列;对于C,当x=1时,x-1=0,此时该数列不是等比数列;对于D,因为===,所以该数列一定是等比数列.故选AD.
变式　D　[解析] 对于A,=2,=3≠2,故该数列不是等比数列;对于B,该数列前3项构成等比数列,当n>3时,无法判定该数列是否仍为等比数列,故该数列不一定是等比数列;对于C,当a=0时,该数列不是等比数列;对于D,该数列符合等比数列的定义,一定是等比数列.故选D.
探究点二
例2　解:(1)因为a4=a1q3,即8=q3,所以q=2,
所以an=a1qn-1=2n-1.
(2)a1===5,故a1=5.
(3)由题意得由,得q=,可得a1=32.又an=1,所以32×=1,解得n=6.
变式　B　[解析] 设数列{an}的公比为q,则q>1,an>0,∵a1a2a6=64,∴q6=64,∴a1q2=4=a3,又a1+a3+a5=21,∴+4+4q2=21,即 (4q2-1)(q2-4)=0,∴q=2.∴a1==1,∴an=a1qn-1=2n-1.故选B.
例3　C　[解析] {an}的各项均为正数,若q>1,则=q>1,即an+1>an,所以{an}为递增数列,充分性成立;若{an}为递增数列,则an+1>an,因为{an}的各项均为正数,所以q=>1,必要性成立.故选C.
变式　(1)AC　(2)D　[解析] (1)当a1>0时,因为数列{an}为递减数列,所以01,故C正确;an+1-an=a1qn-1(q-1)<0,当a1>0时,01,当a1<0时,q>1,此时<1,故D错误.故选AC.
(2)当a1=-1,q=时,满足0当a1=-1,q=2时,满足{an}是递减数列,但q>1,必要性不成立.
故“0故选D.
探究点三
例4　解:∵nan+1=2(n+1)an,∴=2×,又=1,∴数列是以1为首项,2为公比的等比数列,∴=1×2n-1,得an=n×2n-1,n∈N*.
变式　解:(1)证明:因为an+Sn=n,所以an+1+Sn+1=n+1,
两式相减得an+1-an+an+1=1,整理得an+1-1=(an-1).
又因为cn=an-1,所以cn+1=cn.
因为a1+a1=1,所以a1=,所以c1=a1-1=-1=-,所以数列{cn}是以-为首项,为公比的等比数列.
(2)由(1)可知cn=an-1=-·=-,
所以an=1-.
拓展　解:(1)证明:假设存在实数λ,使得数列{an}是等比数列,
则必有=,即=a1a3.∵a1=λ,an+1=an+n-4,∴a2=λ-3,a3=-2=λ-4,
由=λ,整理得9=0,显然不成立.
故假设错误,因此对于任意实数λ,数列{an}不是等比数列.
(2)数列{bn}可以为等比数列.证明如下:
bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n+1)+21]=(-1)n+1=(-1)n+1(an-3n+21)=-bn,
当an≠3n-21,即λ≠-18时,=-,为常数,此时数列{bn}是等比数列.§3　等比数列
3.1　等比数列的概念及其通项公式
第1课时　等比数列的概念及其通项公式
1.A　[解析] 数列0,0,0,…是无穷数列,从第二项起,每一项与它前一项的差都等于常数0,符合等差数列的定义,所以数列0,0,0,…是等差数列.根据等比数列的定义可知,等比数列中不含有为0的项,所以数列0,0,0,…不是等比数列.故选A.
2.A　[解析] 由题意知a4=a1q3=3×23=24.故选A.
3.A　[解析] 设数列{an}的公差为d,即an+1-an=d,显然≠0,则==2d,所以易知数列{}是等比数列.若数列{an}中的一项为1,则lg an=0,此时数列{lg an}不是等比数列.当d≠0时,数列{},都不可能是等比数列,如an=n,则=n2,=.故选A.
4.B　[解析] 由a2=,a6=4,可得故q4=64,解得q=±2.故选B.
5.B　[解析] 设等比数列{an}的公比为q,因为a1=1,a4=,所以q3==,即q=,所以=q2=(n>1),即数列{anan+1}的公比为.故选B.
6.C　[解析] 由题意知,an=a1qn-1,a1<0,因为{an}为递增数列,所以q>0.当01时,{an}为递减数列,不符合题意;当q=1时,{an}为常数列,不符合题意.故选C.
7.BC　[解析] 因为a1+a3=-1,a4+a6=8,所以a4+a6=q3(a1+a3),所以q3=-8,即q=-2,则a5+a7=q(a4+a6)=-16,故B正确,D错误.因为a1+a3=a1(1+q2)=-1,所以a1=-,则a3=a1q2=-,故A错误,C正确.故选BC.
8.ABC　[解析] 设{an}的公比为q,则有an=a1qn-1.对于A,==q2是常数,故数列{}是等比数列,A符合题意;对于B,因为k∈R且k≠0,所以==q是常数,故数列{k·an}是等比数列,B符合题意;对于C,==是常数,故是等比数列,C符合题意;对于D,显然当an=1时,{an}为等比数列,而ln an=0,数列{ln an}不是等比数列,D不符合题意.故选ABC.
9.2　[解析] 由a1=,an+1=2an可知数列{an}是首项为,公比为2的等比数列,∴an=×2n-1=2n-5,故a6=2.
10.　[解析] 设等比数列{an}的公比为q,由题可知q≠1,∵a1+a2=3,a3=,∴消去a1得q=-或q=1(舍去),∴a5=a3q2=×=.
11.2n-1　[解析] 由an+1=2an+1得an+1+1=2(an+1),∴数列{an+1}是以a1+1=2为首项,2为公比的等比数列,∴an+1=2·2n-1=2n,∴an=2n-1.
12.　[解析] 设等比数列{an}的公比为q,q>0,由=9a1·a9得(a1q5)2=9a1·a1q8,即q2=9,因为q>0,所以q=3,所以===.
13.解:(1)因为2an=3an+1,所以=,所以数列{an}的公比为,又a2·a5=,所以=,由于{an}的各项均为负数,故a1=-,所以an=-.
(2)令an=-,即-=-,即=,解得n=6,所以-是该数列的项,为第6项.
14.解:(1)设数列{an}的公差为d,则由a4=9,S4=24,得解得所以an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1.
(2)证明:由(1)得bn==32n+1,所以==32=9(n∈N*),b1=27,所以数列{bn}是以9为公比,27为首项的等比数列.
15.16　2n+1　[解析] 由题意可知an+1=2bn,bn+1=an,且a2=2b1=2,b2=a1=1,
则an+2=2bn+1=2an,所以a2n=a2·2n-1=2n,b2n+1=a2n=2n,
所以a6+a7=23+23a1=8+8=16,a2n+b2n+1=2n+1.
16.解:(1)由根与系数的关系,得则6α-2αβ+6β=6(α+β)-2αβ=-=3,所以an+1=an+.
(2)证明:因为an+1=an+,所以an+1-=,又-4an>0,所以an≠,所以数列是以为公比的等比数列.§3　等比数列
3.1　等比数列的概念及其通项公式
第1课时　等比数列的概念及其通项公式
【学习目标】
理解等比数列的概念和通项公式的意义.
◆ 知识点一　等比数列的相关概念
等比数列与公比:如果一个数列从　　　　起,每一项与它的前一项的比值都是同一个常数,那么称这样的数列为　　　　数列,称这个常数为等比数列的　　　　,通常用字母q表示(q≠0).
以上定义用符号表示为=q或an+1=qan(q为常数,n∈N*).等比数列的定义用符号语言表示,其本质是等比数列的递推公式.
【诊断分析】 是否存在数列既是等差数列又是等比数列 如果存在,试举出实例;如果不存在,请说明理由.
◆ 知识点二　等比数列的通项公式
1.通项公式:若首项是a1,公比是q,则等比数列{an}的通项公式为　　　　　　　.
2.等比数列的图象
在公比为q的等比数列{an}中,an=a1qn-1可改写成an=qn,当q>0且q≠1时,y=qx是一个　　　　函数,故此时等比数列{an}的图象是函数y=qx的图象上　　　　　　.
3.等比数列的单调性:由指数函数的性质可知
当a1>0,q>1时,等比数列{an}是递增数列;
当a1<0,0当a1>0,0当a1<0,q>1时,等比数列{an}是递减数列;
当q<0时,等比数列{an}是摆动数列;
当q=1时,等比数列{an}是常数列.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若数列{an}为等比数列,a1=2,a5=8,则a3=±4. (　 )
(2)在等比数列{an}中,如果公比为q,且q<1,那么等比数列{an}是递减数列. (　 )
(3)若{an}为等比数列,则{}为等比数列. (　 )
◆ 探究点一　等比数列的概念
例1 (多选题)下列各数列一定是等比数列的是　(　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.-1, 2,-4, 8
B.1,2,3,4
C.x-1,x-1,x-1,x-1
D.,,,(a≠0)
变式 下列数列一定是等比数列的是 (　 )
A.数列1,2,6,18,…
B.在数列{an}中,=2,=2
C.常数列a,a,…,a,…
D.在数列{an}中,=q(q≠0,n>1)
[素养小结]
对于等比数列的概念题,一定要紧扣它的定义来处理.
◆ 探究点二　等比数列的通项公式
例2 已知等比数列{an}的公比为q.
(1)若a1=1,a4=8,求数列{an}的通项公式;
(2)若an=625,n=4,q=5,求a1;
(3)若a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.
变式 已知递增等比数列{an}的各项均为正数,且a1a2a6=64,a1+a3+a5=21,则an= (　 )
A.2n+1 B.2n-1
C.3×2n-1 D.2×3n-1
[素养小结]
等比数列的通项公式涉及a1,an,n,q四个量,只要知道其中任意三个就能求出另外一个,在这四个量中,a1和q是等比数列的基本量,只要求出这两个基本量,问题便迎刃而解.
例3 已知各项均为正数的等比数列{an}的公比为q,则“q>1”是“{an}为递增数列”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
变式 (1)(多选题)已知等比数列{an}为递减数列,则下列说法正确的是 (　 )
A.当a1>0时,0B.当a1>0时,q<0
C.当a1<0时,q>1
D.<1
(2)设数列{an}是公比为q的等比数列,则“0A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
◆ 探究点三　等比数列的证明
例4 [2024·山东泰安一中高二期末] 已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an,试证明数列是等比数列,并求{an}的通项公式.
变式 已知数列{an}的前n项和为Sn,且an+Sn=n.
(1)设cn=an-1,求证:数列{cn}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
[素养小结]
证明等比数列的常用方法:定义法、通项公式法、构造法.
在条件中出现an+1=kan+b(k≠0,b≠0,k≠1)关系时,往往构造新数列,方法是把an+1+x=k(an+x)与an+1=kan+b对照,求出x即可.
拓展 已知数列{an}和{bn}满足:a1=λ,an+1=an+n-4,bn=(-1)n(an-3n+21),其中λ为实数,n为正整数.
(1)证明:对于任意实数λ,数列{an}不是等比数列;
(2)试判断数列{bn}是否可以为等比数列,并证明你的结论.§3　等比数列
3.1　等比数列的概念及其通项公式
第1课时　等比数列的概念及其通项公式
一、选择题
1.已知数列0,0,0,…,下列说法正确的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.该数列为等差数列
B.该数列为等比数列
C.该数列既不是等差数列也不是等比数列
D.该数列既是等差数列又是等比数列
2.在等比数列{an}中,a1=3,公比q=2,则a4=(　 )
A.24 B.48
C.54 D.66
3.已知数列{an}为等差数列,则下列数列一定为等比数列的是 (　 )
A.{} B.{lg an}
C.{} D.
4.已知等比数列{an}中,a2=,a6=4,则公比q= (　 )
A.±4 B.±2
C.2 D.4
5.在等比数列{an}中,若a1=1,a4=,则数列{anan+1}的公比为 (　 )
A. B.
C. D.
6.已知等比数列{an}的公比为q,若{an}为递增数列且a1<0,则 (　 )
A.q<-1 B.-1C.01
7.(多选题)已知等比数列{an}的公比为q,且a1+a3=-1,a4+a6=8,则 (　 )
A.a1=-
B.q=-2
C.a3=-
D.a5+a7=16
8.(多选题)若{an}为等比数列,则下列数列中是等比数列的是 (　 )
A.{}
B.{k·an}(其中k∈R且k≠0)
C.
D.{ln an}
二、填空题
9.在数列{an}中,若a1=,an+1=2an,则a6=　　　　.
10.已知等比数列{an}不是常数列,且a1+a2=3,a3=,则a5=　　　　.
11.若an+1=2an+1(n=1,2,3,…)且a1=1,则an=　　　　.
12.已知数列{an}为各项都是正数的等比数列,且=9a1·a9,则=　　　　.
三、解答题
13.在各项均为负数的等比数列{an}中,2an=3an+1,且a2·a5=.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)-是否为该数列的项 若是,为第几项
14.已知数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和,且a4=9,S4=24.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=,求证:数列{bn}为等比数列.
15.[2024·广东部分名校高二期末] 如图所示的数阵由数字1和2构成,将上一行的数字1变成1个2,数字2变成2个1,得到下一行的数据,形成数阵.设an是第n行数字1的个数,bn是第n行数字2的个数,则a6+a7=　　　　,a2n+b2n+1=　　　　.
16.设关于x的二次方程anx2-an+1x+1=0(n=1,2,3,…)的两根分别为α和β,且6α-2αβ+6β=3.
(1)试用an表示an+1;
(2)求证:数列是等比数列.(共29张PPT)
3.1 等比数列的概念及其通项公式
第1课时 等比数列的概念及其通项公式
探究点一 等比数列的概念
探究点二 等比数列的通项公式
探究点三 等比数列的证明
【学习目标】
理解等比数列的概念和通项公式的意义.
知识点一 等比数列的相关概念
等比数列与公比:如果一个数列从_______起,每一项与它的前一项的比值都是同
一个常数,那么称这样的数列为______数列，称这个常数为等比数列的______,通
常用字母表示 .
以上定义用符号表示为或为常数, .等比数列的定义
用符号语言表示,其本质是等比数列的递推公式.
第2项
等比
公比
【诊断分析】
是否存在数列既是等差数列又是等比数列？如果存在，试举出实例；如果不存
在，请说明理由.
解：存在这样的数列.根据等差数列、等比数列的定义知，既要是等差数列又要
为等比数列，则该数列必为不为0的常数列，比如：1，1，1， .
知识点二 等比数列的通项公式
1.通项公式:若首项是,公比是，则等比数列 的通项公式为_____________
____________________.
2.等比数列的图象
在公比为的等比数列中,可改写成,当且
时,是一个______函数,故此时等比数列的图象是函数 的图象
上______________.
指数
一群孤立的点
3.等比数列的单调性:由指数函数的性质可知
当,时,等比数列 是递增数列;
当,时,等比数列 是递增数列;
当,时,等比数列 是递减数列;
当,时,等比数列 是递减数列;
当时,等比数列 是摆动数列;
当时,等比数列 是常数列.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若数列为等比数列,,,则 .( )
×
（2）在等比数列中,如果公比为,且,那么等比数列 是递减数列. ( )
×
（3）若为等比数列,则 为等比数列. ( )
×
探究点一 等比数列的概念
例1 （多选题）下列各数列一定是等比数列的是 ( )
AD
A.,,, B.1,2,3,4
C.,,, D.,,,
[解析] 对于A,因为 ,所以该数列一定是等比数列;
对于B,因为,所以该数列一定不是等比数列;
对于C,当时, ,此时该数列不是等比数列;
对于D,因为,所以该数列一定是等比数列.故选 .
变式 下列数列一定是等比数列的是( )
D
A.数列1，2，6，18，
B.在数列中，，
C.常数列，， ，，
D.在数列中，
[解析] 对于A，， ，故该数列不是等比数列；
对于B，该数列前3项构成等比数列，
当 时，无法判定该数列是否仍为等比数列，故该数列不一定是等比数列；
对于C，当 时，该数列不是等比数列；
对于D，该数列符合等比数列的定义，一定是等比数列.故选D.
［素养小结］
对于等比数列的概念题，一定要紧扣它的定义来处理.
探究点二 等比数列的通项公式
例2 已知等比数列的公比为 .
（1）若，，求数列 的通项公式；
解:因为，即，所以 ，
所以 .
（2）若，，，求 ；
解:，故 .
（3）若，，，求 .
解:由题意得由，得，可得 .
又，所以，解得 .
变式 已知递增等比数列的各项均为正数，且 ，
，则 ( )
B
A. B. C. D.
[解析] 设数列的公比为，则，， ，
，，又， ，
即，
， .故选B.
［素养小结］
等比数列的通项公式涉及，，， 四个量，只要知道其中任意三个就能求
出另外一个，在这四个量中，和 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本
量，问题便迎刃而解.
例3 已知各项均为正数的等比数列的公比为，则“”是“ 为递增数
列”的( )
C
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 的各项均为正数，若，则，即 ，
所以为递增数列，充分性成立；
若为递增数列，则，
因为 的各项均为正数，所以 ，必要性成立.故选C.
变式（1） （多选题）已知等比数列 为递减数列，则下列说法正确的是
( )
AC
A.当时， B.当时，
C.当时， D.
[解析] 当时，因为数列为递减数列，所以 ，故A正确，B错
误；
当时，因为数列为递减数列，所以 ,故C正确；
，当时，，此时 ，
当时，，此时，故D错误.故选 .
（2）设数列是公比为的等比数列，则“”是“ 为递减数列”的
( )
D
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 当，时，满足,但 是递增数列，充分性不成立.
当，时，满足是递减数列，但 ,必要性不成立.
故“”是“ 为递减数列”的既不充分也不必要条件.
故选D.
探究点三 等比数列的证明
例4 [2024·山东泰安一中高二期末] 已知数列满足 ，
，试证明数列是等比数列，并求 的通项公式.
解:，，又， 数列 是以1为首项，
2为公比的等比数列，，得， .
变式 已知数列的前项和为,且 .
（1）设,求证:数列 是等比数列;
证明:因为,所以 ,
两式相减得,整理得 .
又因为,所以 .因为,所以,
所以,所以数列是以 为首项, 为公比的等比数列.
（2）求数列 的通项公式.
解:由（1）可知 ,所以 .
［素养小结］
证明等比数列的常用方法：定义法、通项公式法、构造法.
在条件中出现 关系时，往往构造新数列，方
法是把与对照，求出 即可.
拓展 已知数列和满足: ， ，
，其中 为实数， 为正整数.
（1）证明：对于任意实数 ，数列 不是等比数列；
证明：假设存在实数 ，使得数列 是等比数列，
则必有，即
，, ， ，
由，整理得 ，显然不成立.
故假设错误，因此对于任意实数 ，数列 不是等比数列.
（2）试判断数列 是否可以为等比数列，并证明你的结论.
解：数列 可以为等比数列.
证明如下：
，
当，即时，，为常数，此时数列 是等比数列.
1.斐波那契数列与等比数列:意大利数学家斐波那契（约 约1250）以兔子
繁殖的数量为例,引入数列:1,1,2,3,5,8, ,该数列从第三项起,每一项都等于前两
项之和.在数学上,斐波那契数列的定义如下: ,
,随着的增大, 越来越逼近黄金比
,故此数列也称黄金比数列,其通项公式为
.
2.等比数列定义的注意点
（1）对给定的等比数列,其公比 一定是后一项与前一项的比,防止把相邻两项的
比的次序颠倒;
（2）定义中“从第2项起”是说必须从第2项起才能保证数列中各项均与其前面一
项作比,如若不然,从第3项（或第4项…）起作比,则势必遗漏前面的若干项;
（3）定义中“每一项与它的前一项的比”的含义有两个,其一是强调作比的顺序,
即后面的项比前面的项,其二是强调这两项必须相邻.
3.等比数列通项公式的特点
（1）不要把数列的通项公式错误地写成 ;
（2）公比 是任意非零常数,可正可负;
（3）隐含条件:且 ,即任意一项和公比均不为0;
（4）当时,数列 为常数列.
例1 已知数列的通项公式为,证明:数列 是等比数列.
证明： 当时, ,
数列 是公比为3的等比数列.
例2 [2024·广东广州铁一中学、广州外国语学校、广大附中高二期末]设 是
等比数列，且，，则 ( )
D
A.12 B.24 C.30 D.32
[解析] 设等比数列的公比为，则 ，
，因此，
.故选D.
例3 已知等比数列为递增数列,且, ,则数列
的通项公式为________.
[解析] 设数列的公比为,由 ,得
,整理得,解得或 .
由,得,又数列为递增数列,所以.
由 , 得,可得,
所以数列的通项公式为 .
例4 在数列中,,在数列中,,且数列, 满足
,.求证:数列 是等比数列.
证明:依题意得 ,
,
数列是以为首项, 为公比的等比数列.

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