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第2课时　等比数列的性质及实际应用
【学习目标】
体会等比数列与指数函数的关系.
◆ 知识点一　等比中项
如果在a与b之间插入一个数G,使得a,G,b成等比数列,那么根据等比数列的定义,=,G2=ab,G=±.我们称G为a,b的　　　　.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)任意两个非零常数a,b都有等比中项. (　 )
(2)“G2=ab”是“a,G,b成等比数列”的充要条件.(　 )
◆ 知识点二　等比数列的性质
1.等比数列任意两项间的关系:在等比数列{an}中,an=　　　　.
2.在等比数列{an}中,若m+n=p+s(m,n,p,s∈N*),则　　　　　　　.特别地,若m+n=2p,则　　　　.
3.(1)在公比为q的等比数列{an}中,am,am+k,am+2k,…,am+(n-1)k,…仍成等比数列,公比为　　　　;
(2)若数列{an}是公比为q的等比数列,则数列{kan}(k≠0)也是等比数列,公比为　　　　;
(3)若数列{an}是公比为q的等比数列,则数列{}也是等比数列,公比为　　　　;
(4)若数列{an},{bn}是项数相同的等比数列,则{an·bn}是　　　　数列,是　　　　数列.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若数列{an}是等比数列,则是等比数列. (　 )
(2)若数列{an}是公比为q的等比数列,则{an·an+1}仍是等比数列,且公比为2q. (　 )
(3)已知等比数列{an},取其奇数项组成一个新数列,则此数列是等比数列. (　 )
(4)若数列{an}是等比数列,则{an+an+1}一定是等比数列. (　 )
(5)若{an}为等比数列,且m+n=p(m,n,p∈N*),则am·an=ap. (　 )
◆ 探究点一　等比中项
例1 在等比数列{an}中,若a2,a4的等比中项为1,a6,a8的等比中项为4,则a5= (　 )
A.-2 B.2
C.±2 D.±
变式 在等差数列{an}中,a4=9,且a2,a4,a10构成等比数列,则{an}的公差d等于　　　　.
[素养小结]
(1)由等比中项的定义可知= G2=ab G=±,所以只有当a,b同号时,a,b的等比中项有两个,当a,b异号时,a,b没有等比中项.
(2)在一个等比数列中,从第二项起,每一项(有穷等比数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项.
(3)a,G,b成等比数列等价于G2=ab(ab>0).
◆ 探究点二　等比数列的性质
例2 (1)[2024·湖南郴州高二期末] 已知等比数列{an}中,a2,a3是方程x2-6x+8=0的两根,求a1a2a3a4的值.
(2)在等比数列{an}中,an>0,若a3·a5=4,求a1a2a3a4a5a6a7.
变式 已知等比数列{an}的各项均为正数,且a3a7=81,则log3a1+log3a5+log3a9= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.3 B.4 C.5 D.6
[素养小结]
(1)应用等比数列的性质可以简化运算,当性质不能应用时,可以通过基本量法求解.
(2)等比数列中的设元技巧:当三个数成等比数列时,可设为,a,aq;当四个数成公比为正数的等比数列时,可设为,,aq,aq3.
拓展 在各项均为正数的等比数列{an}中,a1a5+2a4a6+a5a9=8,则a3+a7= (　 )
A.1 B. C.4 D.2
◆ 探究点三　等比数列的实际应用
例3 某人买了一辆价值为13.5万元的新车,专家预测这种车每年按10%的速度贬值.
(1)用一个式子表示第n(n∈N*)年这辆车的价值;
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车,他大概能得到多少钱 (0.94≈0.66,结果保留一位小数)
变式 (1)在我国古代春节期间,“剪窗花,贴对联”几乎是每家每户都会进行的迎新活动,而窗花(俗称剪纸)蕴含着辞旧迎新、接福纳祥的美好寓意.如图是一幅剪纸作品.一位艺术家把一张厚度为0.012 5 cm的纸对折了三次,开始了该作品的创作,若不计纸与纸之间的间隙,则对折后的半成品的厚度是　　　　mm.
(2)某养猪场2021年年初猪的存栏数(饲养头数)为1500,预计以后每年存栏数的增长率为8%,且在每年年底卖出100头,则2036年年初猪的存栏数约为(参考数据:1.0814≈2.9,1.0815≈3.2,1.0816≈3.4)(　 )
A.2050 B.2150
C.2250 D.2350
[素养小结]
解决等比数列实际应用问题的关键是:建立数学模型,即将实际问题转化成等比数列的问题,解数学模型即解等比数列问题.第2课时　等比数列的性质及实际应用
一、选择题
1.设m=-8,n=-2,则m与n的等比中项为(　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.4 B.-4
C.±4 D.-5
2.[2024·四川凉山州西昌高二期末] 已知{an}为等比数列,若a5a7=2,则a2a4a8a10的值为(　 )
A.2 B.4
C.8 D.16
3.在各项均为正数的等比数列{an}中,a1a7=16,a3=2,则数列{an}的公比为 (　 )
A.1 B.2
C.4 D.-2
4.[2024·内蒙古巴彦淖尔高二期末] 已知{an}为等比数列,a1=9,a4a6=6a5-9,则a3= (　 )
A.3 B.4
C.5 D.6
5.我国古代有这样一句话:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”用现代语言叙述为:一尺长的木棒,每天取其一半,永远也取不完.这样,每日剩下的部分长都是前一日的一半.如果把“一尺之棰”中的“一尺”看成单位“1”,那么每日剩下的部分长依次所构成的数列{an}的通项公式为 (　 )
A.an=n
B.an=
C.an=
D.an=2n
6.已知等比数列{an}的各项均为正数,且a1·a6=9,则log3a1+log3a2+…+log3a6= (　 )
A.6 B.9
C.27 D.81
7.(多选题)在等比数列{an}中,a6·a12=6,a4+a14=5,则的值可能为 (　 )
A. B. C. D.
8.(多选题)已知等比数列{an}中,a4=8,a5=2,则(　 )
A.a8=4a9
B.a1=2048
C.当n≥6时,an<1
D.{an}的前10项积为1
二、填空题
9.在等比数列{an}中,已知a3·a5=2,则a2·a6=　　　　.
10.在各项均为正数的等比数列{an}中,a4a8a12=8,则log2a2+log2a14=　　　　.
11.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,若a3+a4+a6+a8+a9=2,++++=18,则a6=　　　　.
12.[2024·天津南开区高二期中] 已知数列{an}是等差数列,数列{bn}是等比数列,若a3+a6+a9=6,b2b5b8=8,则的值是　　　　.
三、解答题
13.已知数列{an}为等比数列.
(1)若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5的值;
(2)若a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求数列{an}的通项公式.
14.我国某西部地区进行沙漠治理,该地区有土地1万平方千米,其中70%是沙漠,从今年起,该地区进行绿化改造,每年把原有沙漠的16%改造为绿洲,同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠.设该地区从今年起第n年年初的绿洲面积为an万平方千米,则第n(n≥2)年年初的绿洲面积与上一年年初的绿洲面积的关系为an =an-1+.
(1)证明是等比数列并求{an}的通项公式;
(2)最早要到第几年年初,该地区的绿洲面积可超过万平方千米 (lg 2≈0.301)
15.在等比数列{an}中,a1,a13是方程x2-13x+16=0的两根,则 的值为 (　 )
A. B.±
C.4 D.±4
16.从盛满a(a>1)升纯酒精的容器里倒出1升酒精然后添满水并摇匀(假设酒精不挥发),再倒出1升混合溶液后又用水添满并摇匀,如此继续下去.问:第n次操作后溶液的浓度是多少 当a=2时,至少应倒几次后才能使溶液的浓度低于10% (共26张PPT)
3.1 等比数列的概念及其通项公式
第2课时 等比数列的性质及实际应用
探究点一 等比中项
探究点二 等比数列的性质
探究点三 等比数列的实际应用
【学习目标】
体会等比数列与指数函数的关系.
知识点一 等比中项
如果在与之间插入一个数,使得,, 成等比数列,那么根据等比数列的定义，
,,.我们称为， 的__________.
等比中项
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）任意两个非零常数, 都有等比中项.( )
×
（2）“”是“,, 成等比数列”的充要条件.( )
×
知识点二 等比数列的性质
1.等比数列任意两项间的关系:在等比数列中, __________.
2.在等比数列中,若 ,则________________.特别
地,若 ,则____________.
3.（1）在公比为的等比数列中,,,, ,, 仍成
等比数列,公比为____;
（2）若数列是公比为的等比数列,则数列 也是等比数列,公
比为___;
（3）若数列是公比为的等比数列,则数列 也是等比数列,公比为____;
（4）若数列,是项数相同的等比数列,则是______数列, 是
______数列.
等比
等比
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若数列是等比数列,则 是等比数列.( )
√
（2）若数列是公比为的等比数列,则 仍是等比数列,且公比为
.( )
×
（3）已知等比数列 ,取其奇数项组成一个新数列,则此数列是等比数列.( )
√
（4）若数列是等比数列,则 一定是等比数列.( )
×
（5）若为等比数列，且，则 .( )
×
探究点一 等比中项
例1 在等比数列中，若，的等比中项为1，， 的等比中项为4，
则 ( )
C
A. B.2 C. D.
[解析] 设的公比为 ，
因为，的等比中项为1，所以,得.
同理 ，又,所以与 同号，
所以,所以 ，故选C.
变式 在等差数列中，，且,,构成等比数列，则 的公差
等于______.
0或
[解析] ，,,构成等比数列，
即消去得或 .
［素养小结］
（1）由等比中项的定义可知，所以只有当，
同号时，，的等比中项有两个，当，异号时，， 没有等比中项.
（2）在一个等比数列中，从第二项起，每一项（有穷等比数列的末项除外）都
是它的前一项和后一项的等比中项.
（3），，成等比数列等价于 .
探究点二 等比数列的性质
例2（1） [2024·湖南郴州高二期末] 已知等比数列中，, 是方程
的两根，求 的值.
解: ,是方程的两根，则，因为 是等比数列，所
以，所以 .
（2）在等比数列中,,若,求 .
解:因为,且,所以 ,所以
.
变式 已知等比数列的各项均为正数，且 ，则
( )
D
A.3 B.4 C.5 D.6
[解析] 根据等比数列的性质可得 ，
又，所以 ，
所以 .故选D.
［素养小结］
（1）应用等比数列的性质可以简化运算,当性质不能应用时,可以通过基本量法求解.
（2）等比数列中的设元技巧:当三个数成等比数列时,可设为,, ;当四个数成
公比为正数的等比数列时,可设为,,, .
拓展 在各项均为正数的等比数列中， ，则
( )
D
A.1 B. C.4 D.
[解析] 因为 ，所以，
又等比数列 的各项均为正数，所以 .故选D.
探究点三 等比数列的实际应用
例3 某人买了一辆价值为13.5万元的新车，专家预测这种车每年按 的速度
贬值.
（1）用一个式子表示第 年这辆车的价值；
解:设从第一年起，每年该车的价值（单位：万元）依次为，，， ，
，则，，， ，构成数列 .
由题意得，，， .
由等比数列的定义知数列 是等比数列，其首项为，公比为 ，
， .
（2）如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？（ ，
结果保留一位小数）
解:由（1）得 ，
用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元.
变式（1） 在我国古代春节期间，“剪窗花，贴对联”
几乎是每家每户都会进行的迎新活动，而窗花
（俗称剪纸）蕴含着辞旧迎新、接福纳祥的美好寓意.如
图是一幅剪纸作品.一位艺术家把一张厚度为
的纸对折了三次，开始了该作品的创作，若不计纸与纸
之间的间隙，则对折后的半成品的厚度是___ .
1
[解析] 由题意知对折了三次后的半成品的厚度为 ，即
.
（2）某养猪场2021年年初猪的存栏数（饲养头数）为1500,预计以后每年存栏
数的增长率为 ,且在每年年底卖出100头,则2036年年初猪的存栏数约为
（参考数据:,, ）( )
A
A.2050 B.2150 C.2250 D.2350
[解析] 设该养猪场从2021年起每年年初猪的存栏数依次为,,, ,
由题意可得,,即 ,
故数列是首项为 ,公比为1.08的等比数列,
，即 年年初,
即,年年初猪的存栏数为 .故选A.
［素养小结］
解决等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型，即将实际问题转化成等
比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题.
1.在等比数列的性质中,尤其以“下标和”性质应用最多,最灵活,但使用时一定要注
意其与等差数列“下标和”性质的区别,如下表:
等差数列 等比数列
条件
结论
2.等比中项的注意点
（1）是与的等比中项,则与 的符号相同,符号相反的两个实数不存在等比
中项.,即与 的等比中项有两个,且它们互为相反数.
（2）当时,不一定是与的等比中项.例如 ,但0,0,5不是等比数列.
3.等比数列与等差数列的区别与联系
等差数列 等比数列
不同点
相同点
联系
例1 若不相等的三个正数,,成等差数列,并且是,的等比中项,是, 的等
比中项,则,, 三数( )
B
A.成等比数列而不成等差数列 B.成等差数列而不成等比数列
C.既成等差数列又成等比数列 D.既不成等差数列又不成等比数列
[解析] 由已知条件,可得由②③得代入①得 ,
即，故,,成等差数列.
由得,即 , 所以,
故,, 不成等比数列.故选B.
例2 （多选题）已知等差数列的公差和首项都不等于0，且，，
成等比数列，则下列结论正确的是( )
AD
A. B.
C. D.
[解析] ，，整理得 ，
又数列的公差和首项都不等于0， ，故D正确，C错误；
， ，故A正确，B错误.
故选 .
例3 已知方程 的四个根组成以1为首项的等比
数列，则 ( )
D
A. B.或 C. D.
[解析] 设方程的四个根分别为，，， ，
且数列，，，是首项为1的等比数列，则 .
若，是方程的两根，则，是方程 的两
根，由， ，得 ，
则等比数列，，，的公比， ，
，，， .
若，是方程的两根，则，是方程 的两
根，同理可得，，.综上可得， .故选D.第2课时　等比数列的性质及实际应用
【课前预习】
知识点一
等比中项
诊断分析
(1)×　(2)×
知识点二
1.am·qn-m　2.am·an=ap·as　am·an=
3.(1)qk　(2)q　(3)q2　(4)等比　等比
诊断分析
(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×
【课中探究】
探究点一
例1　C　[解析] 设{an}的公比为q,
因为a2,a4的等比中项为1,所以a2a4=1=,得a3=±1.同理a7=±4,又a7=a3·q4,所以a3与a7同号,
所以=a3a7=4,所以a5=±2,故选C.
变式　0或3　[解析] ∵a4=9,a2,a4,a10构成等比数列,∴即消去a1得d=0或d=3.
探究点二
例2　解:(1)a2,a3是方程x2-6x+8=0的两根,则a2a3=8,因为{an}是等比数列,所以a1a4=a2a3=8,所以a1a2a3a4=64.
(2)因为a3·a5==4,且an>0,所以a4=2,所以a1a2a3a4a5a6a7=(a1·a7)·(a2·a6)·(a3·a5)·a4=···a4==27=128.
变式　D　[解析] 根据等比数列的性质可得a1a9=a2a8=a3a7=a4a6==81,又an>0,所以a5=9,所以log3a1+log3a5+log3a9=log3(a1a5a9)=log3=log393=6.故选D.
拓展　D　[解析] 因为a1a5+2a4a6+a5a9=8,
所以+2a3a7+==8,又等比数列{an}的各项均为正数,所以a3+a7=2.故选D.
探究点三
例3　解:(1)设从第一年起,每年该车的价值(单位:万元)依次为a1,a2,a3,…,an,则a1,a2,a3,…,an构成数列{an}.
由题意得a1=13.5,a2=13.5×(1-10%),a3=13.5×(1-10%)2,….由等比数列的定义知数列{an}是等比数列,
其首项为13.5,公比为1-10%=0.9,
∴an=13.5×0.9n-1,n∈N*.
(2)由(1)得a5=13.5×0.94≈8.9,
∴用满4年时卖掉这辆车,大概能得到8.9万元.
变式 (1)1　(2)A　[解析] (1)由题意知对折了三次后的半成品的厚度为0.012 5×23=0.1(cm),即1 mm.
(2)设该养猪场从2021年起每年年初猪的存栏数依次为a1,a2,a3,…,由题意可得,an+1=an×(1+8%)-100,即an+1-1250=1.08(an-1250),故数列{an-1250}是首项为a1-1250=250,公比为1.08的等比数列,∴an-1250=250×1.08n-1,即an=250×1.08n-1+1250.2036年年初,即n=16,∴2036年年初猪的存栏数为a16=250×1.0815+1250≈2050.故选A.第2课时　等比数列的性质及实际应用
1.C　[解析] 由题意可知,m与n的等比中项为±=±4.故选C.
2.B　[解析] 因为a5a7=2,所以a2a4a8a10=a2a10a4a8==4,故选B.
3.B　[解析] 根据等比中项的性质,得=a1a7=16,∵数列{an}的各项均为正数,∴a4=4,∴数列{an}的公比为=2.故选B.
4.A　[解析] 设等比数列{an}的公比为q,因为a4a6=6a5-9,所以-6a5+9==0,所以a5=3,因为a1=9,所以q4==,所以q2=,则a3=a1q2=3.故选A.
5.C　[解析] 由题知,第n日剩下的部分长为an,显然有a1=,an=an-1(n>1),即数列{an}是等比数列,且其首项为,公比为,所以an=×=.故选C.
6.A　[解析] ∵等比数列{an}的各项均为正数,且a1·a6=9, ∴log3a1+log3a2+…+log3a6=log3(a1·a2·…·a6)=log3(a1·a6)3=log393=6.故选A.
7.AB　[解析] 设数列{an}的公比为q,根据等比数列的性质可得a6a12=a4a14=6,
又a4+a14=5,所以或若则q10==,此时=q20==;若则q10==,此时=q20==.故选AB.
8.ACD　[解析] A选项,由a4=8,a5=2得等比数列{an}的公比q==,所以a8=4a9,A正确;B选项,a1==8×43=512,B错误;C选项,an=a1qn-1=211-2n,当n≥6时,an≤2-1<1,C正确;D选项,由a5a6=2×=1,可得{an}的前10项积为(a5a6)5=1,D正确.故选ACD.
9.2　[解析] 由等比数列的相关性质得a2·a6=a3·a5=2.
10.2　[解析] 在各项均为正数的等比数列{an}中,a4a8a12=8,所以=8,所以a8=2,a4a12==4,所以log2a2+log2a14=log2(a2a14)=log2(a4a12)=log24=2.
11.　[解析] ++++=++=++,
由等比数列的性质可得a3a9=a4a8=,∴++++==18,
∴=,又a6>0,∴a6=.
12.1　[解析] 由等差中项的性质可得a3+a6+a9=3a6=6,∴a6=2,由等比中项的性质可得b2b5b8==8,∴b5=2,因此,===1.
13.解:(1)根据等比数列的性质得a2a4=,a4a6=,则a2a4+2a3a5+a4a6=+2a3a5+=(a3+a5)2=25.∵an>0,∴a3+a5>0,∴a3+a5=5.
(2)∵=a1a3,且a1a2a3=8,∴=8,∴a2=2.设等比数列{an}的公比为q,则+2+2q=7,整理得2q2-5q+2=0,∴q=2或q=,∴或∴an=2n-1或an=23-n.
14.解:(1)∵an=an-1+(n≥2),∴an-=(n≥2),由题可知a1=,∴a1-=-,∴是以-为首项,为公比的等比数列,∴an-=-·,∴an=-·+.
(2)令an=-·+>,∴<,两边取常用对数得(n-1)lg=≈=≈4.1,∴n>5.1.又n∈N*,∴n≥6,∴最早要到第6年年初,该地区的绿洲面积可超过万平方千米.
15.C　[解析] ∵a1,a13是方程x2-13x+16=0的两根,∴a1+a13=13,a1·a13=16,∴a1>0,a13>0,a1·a13=a2·a12==16.又等比数列{an}中奇数项的符号相同,∴a7=4,∴==4.故选C.
16.解:设开始的酒精浓度为1,操作1次后溶液的浓度为a1=1-,操作n次后溶液的浓度为an,则an+1=an,∴数列{an}是以1-为首项,1-为公比的等比数列,∴an=,即第n次操作后溶液的浓度为.当a=2时,an==,由an=<,n∈N*,解得n≥4,∴至少应倒4次后才能使溶液的浓度低于10%.

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