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第2课时　等比数列的前n项和的性质
1.C　[解析] 设等比数列{an}的公比为q,因为a6,3a4,-a5成等差数列,所以6a4=a6-a5,所以6a4=a4(q2-q),由题意得a4>0,q>0,所以q2-q-6=0,可得q=3,所以==1+q2=10.故选C.
2.A　[解析] 由题意知,S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,因为S3=8,S6=7,所以S6-S3=-1,所以8,-1,S9-S6成等比数列,所以8(S9-S6)=1,即S9-S6=,因为a7+a8+a9=S9-S6,所以a7+a8+a9=.故选A.
3.A　[解析] 因为Sn为等比数列{an}的前n项和且S4≠0,所以S4,S8-S4,S12-S8成等比数列,即3,6,S12-9成等比数列,所以S12-9==12,所以S12=9+12=21.故选A.
4.C　[解析] 因为数列{an}为等比数列,所以S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,设S3=m,则S6=,则S6-S3=-,故==-,所以S9-S6=,得S9=m,所以S9∶S3=3∶4.故选C.
5.C　[解析] 设等比数列{an}的公比为q(q≠0),因为a2=2,a5=,所以q3==,解得q=,则a2=a1=2,解得a1=4,所以a1a2=8.又当n≥2时,=q2,所以数列{an·an+1}是首项为8,公比为的等比数列,所以Tn=a1·a2+a2·a3+…+an·an+1==·.故选C.
6.D　[解析] 设数列{an}共有2m+1项,由题意得S奇=a1+a3+…+a2m+1=,
S偶=a2+a4+…+a2m=,因为项数为奇数时,S奇=a1+S偶q,所以2+q=,解得q=.所以Tn=a1a2…an=q1+2+…+n-1=,故当n=1或2时,Tn取得最大值2.
7.AB　[解析] 由等比数列的定义可知,数列{an}每项乘一个不为0的常数构成的新数列为等比数列,A正确;等比数列中等距离的项构成的数列为等比数列,B正确;因为m,2m,3m,…构成一个等差数列,所以当m≠0时an,an+m,an+2m,an+3m,…不能构成等比数列,C错误;取an=(-1)n,此时S2=0,S4-S2=0,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…不一定能构成等比数列,D错误.故选AB.
8.AD　[解析] 因为a1>1,a7·a8>1,<0,所以a7>1,a8<1,所以01,00,所以Sn无最大值,故C错误;又a7>1,a8<1,所以Tn的最大值为T7,故D正确.故选AD.
9.1533　[解析] 由S3=21,S6=189可知等比数列{an}的公比q≠-1,
所以S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,
所以(S6-S3)2=S3(S9-S6),则(189-21)2=21(S9-189),解得S9=1533.
10.　[解析] 设S3=t,则S6=3t,所以S6-S3=3t-t=2t.因为数列{an}是等比数列,所以S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9成等比数列,且数列S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9的公比为2,所以S9-3t=t×22,即S9=7t,所以S12-S9=t×23,即S12=15t,所以==.
11.　[解析] 由a3,a9,a6成等差数列得a3+a6=2a9,即a3+a3q3=2a3q6,因为a3≠0,
所以1+q3=2q6,解得q3=1(舍去)或q3=-.
易知S9,S18-S9,S27-S18成等比数列,
所以S27=S9+(S18-S9)+(S27-S18)=S9(1+q9+q18)=S9=S9,所以=.
12.　[解析] ∵a4a12=2,∴=2,∴q6=2(q为{an}的公比).∵S6+λS12=S24,∴+λ·=,则1-q6+λ(1-q12)=1-q24,将q6=2代入,可得λ=.
13.解:(1)设数列{an}的公比为q(q≠1),因为a1为a2,a3的等差中项,所以2a1=a2+a3,即2a1=a1q+a1q2,即q2+q-2=0,解得q=-2或q=1(舍去),所以等比数列{an}的公比为-2.
(2)因为a1=1,q=-2,所以an=a1·qn-1=(-2)n-1,Sn===-.
14.解:(1)设等比数列{an}的公比为q,则q≠0,由2S3=S1+S2得2(1+q+q2)=1+1+q,即2q2+q=0,得q=-,故an=a1qn-1=.
(2)Sn==,则≤3,整理得≤-.当n为偶数时,>0,不合乎题意;当n为奇数时,=-,可得≥=,则n≤3.因此,使Sn≤3an成立的n的最大值为3.
15.2　[解析] 依题意知,公比q≠1,所以等比数列{an}的前n项和Sn==-·qn+,又Sn=p·3n-2,所以q=3,a1=4,则p=-=2.
16.解:(1)设数列{Sn+3}的公比为q(q≠0).由a1=3,得S1+3=6,所以Sn+3=6×qn-1,即Sn=6×qn-1-3.因为S1,S3,S4-2S1成等差数列,所以2S3=S1+S4-2S1,可得12×q2-6=6×q3-6,解得q=2或q=0(舍去),所以Sn=6×2n-1-3.
(2)由(1)知Sn=6×2n-1-3,当n≥2时,Sn-1=6×2n-2-3,两式相减得an=3×2n-1(n≥2),又a1=3也满足上式,所以an=3×2n-1.设bn===(-1)n·.当n为奇数时,bn=-2+,{bn}为递减数列,所以-2【学习目标】
能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题.
◆ 知识点　等比数列的前n项和的性质
1.若数列{an}是等比数列,Sn是其前n项的和,k∈N*,则　　　　,　　　　,　　　　成等比数列(注意:这连续k项的和必须非零才能成立).如图所示.
2.奇数项和与偶数项和的关系:设数列{an}是公比为q的等比数列,S奇是奇数项的和,S偶是偶数项的和,则数列{an}的前n项和Sn=S奇+S偶,且有如下性质:
(1)当n为偶数时,=　　　　;
(2)当n为奇数时,=　　　　.
3.Sm+n=Sm+　　　　(q为数列{an}的公比).
4.等比数列前n项和公式的函数特征
(1)当q>0且q≠1时,数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图象是函数　　　　　　　　　　　的图象上的一群孤立的点.
(2)当q=1时,数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图象是正比例函数　　　　　　的图象上的一群孤立的点.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在等比数列{an}中,Sn是其前n项的和,则S2n,S4n,S6n成等比数列. (　 )
(2)在等比数列{an}中,Sn是其前n项的和,则S2n,S4n-S2n,S6n-S4n成等比数列. (　 )
◆ 探究点一　等比数列前n项和的性质
例1 (1)在各项均为正数的等比数列{an}中,若S10=10,S20=30,则S30=　　　　.
(2)已知等比数列{an}共有32项,其公比q=3,且奇数项之和比偶数项之和少60,则数列{an}的所有项之和是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.30 B.60 C.90 D.120
变式 (1)已知一个项数为偶数的等比数列{an},该数列的所有项之和为所有偶数项之和的4倍,前3项之积为64,则a1= (　 )
A.1 B.4 C.12 D.36
(2)在各项都为正数的等比数列{an}中,Sn为其前n项和,若Sn=2,S3n=14,求S4n的值.
[素养小结]
(1)等比数列{an}的前n项和Sn满足Sn,-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…成等比数列(其中Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…均不为0),这一性质可直接应用.
(2)在与等比数列的前n项和Sn有关的运算中,常用到两种方法:①两式相除法,即通过两式相除,构造方程(组),进而求得数列的基本量,然后再代入求解;②整体代入法,即设而不求,整体代换的方法.两种方法中都不要忽略对公比q的讨论.
◆ 探究点二　等比数列前n项和的函数性质
例2 已知数列{an}的通项公式为an=3·,其前n项和为Sn,不等式q≤Sn≤p对任意的n∈N*恒成立,则p-q的最小值为　　　　　　.
变式 已知等比数列{an}的首项a1=3,公比q=3,其前n项和为Sn,若对任意的n∈N*,Sn+≥3k-6恒成立,求实数k的取值范围.
◆ 探究点三　等差数列与等比数列综合问题
例3 已知等比数列{an}的首项为2,等差数列{bn}的前n项和为Sn,且a1+a2=6,2b1+a3=b4,S3=3a2.
(1)求{an},{bn}的通项公式;
(2)设cn=,求数列{cn}的前n项和.
变式 已知集合A={x|x=2n,n∈N*},B={x|x=3n,n∈N*},将A∪B中所有元素按从小到大的顺序排列构成数列{an},设数列{an}的前n项和为Sn.
(1)若am=27,求m的值;
(2)求S50的值.
例4 已知数列{an}的首项a1=1.
(1)若数列{an}满足an+1-an=1(n∈N*),证明:数列{}是等比数列;
(2)若数列{an}是以3为公比的等比数列,证明:数列{log3an}是等差数列.
变式 已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数,数列{bn}满足bn=lg an,b3=18,
b6=12,则数列{bn}的前n项和的最大值等于 (　 )
A.126 B.130
C.132 D.134
[素养小结]
等差数列、等比数列的综合问题的解题技巧:
(1)将已知条件化为等差数列与等比数列的基本量之间的关系,利用通项公式和前n项和公式建立方程(组)求解.
(2)在一定条件下,等差数列与等比数列之间可以相互转化,即{an}为等差数列 {}(a>0且a≠1)为等比数列;{an}为各项都是正数的等比数列 {logaan}(a>0且a≠1)为等差数列.第2课时　等比数列的前n项和的性质
一、选择题
1.已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足a6,3a4,-a5成等差数列,则= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.3 B.9
C.10 D.13
2.设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9等于 (　 )
A. B.-
C. D.
3.记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S4=3,S8=9,则S12= (　 )
A.21 B.18
C.15 D.12
4.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S6∶S3=1∶2,则S9∶S3= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.1∶2 B.2∶3
C.3∶4 D.1∶3
5.已知数列{an}是等比数列,a2=2,a5=,令Tn=a1·a2+a2·a3+…+an·an+1,则Tn=(　 )
A.16·
B.16·
C.·
D.·
6.[2024·山东单县一中高二期末] 已知等比数列{an}的首项为2,项数为奇数,其奇数项之和为,偶数项之和为,这个等比数列前n项的积为Tn(n≥1),则Tn的最大值为 (　 )
A. B.
C.1 D.2
7.(多选题)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,则下列说法正确的是 (　 )
A.数列{kan}(k≠0)为等比数列
B.数列an,an+m,an+2m,…为等比数列
C.数列an,an+m,an+2m,an+3m,…一定为等比数列
D.数列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…一定为等比数列
8.(多选题)设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn,前n项积为Tn,并且满足条件a1>1,a7·a8>1,<0,则下列结论正确的是 (　 )
A.0B.a7·a9>1
C.Sn的最大值为S9
D.Tn的最大值为T7
二、填空题
9.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且S3=21,S6=189,则S9=　　　　　　.
10.设Sn是等比数列{an}的前n项和,若=,则=　　　　.
11.已知公比q≠1的等比数列{an}满足a3,a9,a6成等差数列,设{an}的前n项和为Sn,则=　　　　　　.
12.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a4a12=2,且S6+λS12=S24,则实数λ=　　　　.
三、解答题
13.已知{an}是公比不为1的等比数列,a1=1,且a1为a2,a3的等差中项.
(1)求{an}的公比;
(2)求{an}的通项公式及前n项和Sn.
14.设Sn是等比数列{an}的前n项和,a1=1,且S1,S3,S2成等差数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求使Sn≤3an成立的n的最大值.
15.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=p·3n-2,则p等于　　　　.
16.设数列{an}的前n项和为Sn,a1=3,数列{Sn+3}为等比数列,且S1,S3,S4-2S1成等差数列.
(1)求数列{Sn}的通项公式;
(2)若N≤≤M恒成立,求M-N的最小值.(共27张PPT)
3.2 等比数列的前项和
第2课时 等比数列的前 项和的性质
探究点一 等比数列前项和的性质
探究点二 等比数列前项和的函数性质
探究点三 等差数列与等比数列综合问题
【学习目标】
能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题.
知识点 等比数列的前 项和的性质
1.若数列是等比数列,是其前项的和, ,则___,_________,__________
成等比数列（注意:这连续 项的和必须非零才能成立）.如图所示.
2.奇数项和与偶数项和的关系:设数列是公比为的等比数列, 是奇数项的
和,是偶数项的和,则数列的前项和 ,且有如下性质:
（1）当为偶数时, ___;
（2）当为奇数时, ___.
3.______（为数列 的公比）.
4.等比数列前 项和公式的函数特征
（1）当且时,数列,,, ,, 的图象是函数
___________________________的图象上的一群孤立的点.
（2）当时,数列,,, ,, 的图象是正比例函数_______________
的图象上的一群孤立的点.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）在等比数列中,是其前项的和,则,, 成等比数列.( )
×
（2）在等比数列中,是其前项的和,则,, 成等比数
列.( )
×
探究点一 等比数列前 项和的性质
例1（1） 在各项均为正数的等比数列中，若， ，则
____.
70
[解析] 设等比数列的公比为，由题可知 .
方法一：由已知条件可列出方程组
两式作商得， ，
.
方法二：由性质，得 ，即
， ，
.
方法三：由性质 ，
得，即， .
由，解得 .
方法四：由题意知，， 成等比数列，
，
又， ，
， .
（2）已知等比数列共有32项,其公比 ,且奇数项之和比偶数项之和少60,
则数列 的所有项之和是( )
D
A.30 B.60 C.90 D.120
[解析] 设等比数列的奇数项之和为,偶数项之和为 ,
则 ,
,
又,所以,可得,,
故数列 的所有项之和是 .
变式（1） 已知一个项数为偶数的等比数列 ，该数列的所有项之和为所有
偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则 ( )
C
A.1 B.4 C.12 D.36
[解析] 设等比数列的公比为，该等比数列共有 项，所有奇数项
之和为，所有偶数项之和为，
因为的所有项之和 是所有偶数项之和的4倍，所以，
故 .
可得 ，
所以 .由，可得，因此 .故选C.
（2）在各项都为正数的等比数列中,为其前项和,若, ,求
的值.
解:设,,则2,,, 成等比数列,
所以
解得或（舍去）,所以 .
［素养小结］
（1）等比数列的前项和满足,,,, 成等比
数列（其中,,, 均不为0）,这一性质可直接应用.
（2）在与等比数列的前项和 有关的运算中,常用到两种方法:①两式相除法,
即通过两式相除,构造方程（组）,进而求得数列的基本量,然后再代入求解;②整
体代入法,即设而不求,整体代换的方法.两种方法中都不要忽略对公比 的讨论.
探究点二 等比数列前 项和的函数性质
例2 已知数列的通项公式为，其前项和为 ，不等式
对任意的恒成立，则 的最小值为__.
[解析] 由题意得，则当 为奇数时， ，
则随着的增大而减小，所以；
当 为偶数时，，则随着的增大而增大，
所以.
所以 的最小值为3，的最大值为，则的最小值为 .
变式 已知等比数列的首项,公比，其前项和为 ,若对任意的
,恒成立,求实数 的取值范围.
解:因为, ，
所以,则随着 的增大而增大.
因为对任意的 恒成立，
所以对任意的恒成立.
易知的最小值为3，所以，即 的取值范围为 .
探究点三 等差数列与等比数列综合问题
例3 已知等比数列的首项为2，等差数列的前项和为 ，且
，， .
（1）求， 的通项公式；
解:设数列的公比为，数列的公差为 .
由，，得，, .
由得解得
.
（2）设，求数列的前 项和.
解:由（1）知， ，
，
数列的前项和 .
变式 已知集合,，,，将 中所
有元素按从小到大的顺序排列构成数列，设数列的前项和为 ．
（1）若，求 的值；
解:因为 ，
所以数列的前项中来自集合中的元素为2，4，6， ，26，共有13项，
数列的前项中来自集合 中的元素为3，9，27，共有3项，
所以 .
（2）求 的值．
解:因为，， ，
所以数列的前50项中来自集合 中的元素为3，9，27，81，共有4项，
则数列的前50项中来自集合中的元素为,,, , ，共有
46项，
所以 .
例4 已知数列的首项 .
（1）若数列满足，证明：数列 是等比数列；
证明:因为，为常数，所以数列 是等比数列.
（2）若数列是以3为公比的等比数列，证明：数列{ 是等差数列.
证明: 因为数列是以3为公比的等比数列，所以 ，
则 ，为常数，
所以数列{ 是等差数列.
变式 已知等比数列的各项均为不等于1的正数，数列 满足
，，，则数列的前 项和的最大值等于( )
C
A.126 B.130 C.132 D.134
[解析] 由题意知，.设等比数列的公比为 ，
因为，，所以， ，
所以，则，可得 .
因为 为各项都是正数的等比数列，所以 为等差数列，
可得公差，则 .
则 .
所以数列的前 项和
，
又 ，所以当或12时， 取得最大值，最大值为132.故选C.
［素养小结］
等差数列、等比数列的综合问题的解题技巧:
（1）将已知条件化为等差数列与等比数列的基本量之间的关系,利用通项公式
和前 项和公式建立方程（组）求解.
（2）在一定条件下,等差数列与等比数列之间可以相互转化,即 为等差数列
且为等比数列； 为各项都是正数的等比数列
且 为等差数列.
例1 已知等差数列的前项和为,等比数列的前项和为 ,且
,,则 ( )
C
A.22 B.34 C.46 D.50
[解析] 设等差数列的公差为,等比数列的公比为.
由 , ,可得,解得, ,
则 .故选C.
例2 等比数列共有项,其和 ,且奇数项的和比偶数项的和大80,
则公比 ___.
2
[解析] 由题意知
公比 .
例3 设等比数列的公比为，其前项和为 ，前项积为 ，并满足条
件 ， ， ，则下列结论正确的是( )
A
A. B.
C.是数列的最大项 D.数列 无最大项
[解析] 在等比数列中，因为 ，
所以，所以 ，
又，，即 ，
所以， .
对于A，，故 ，A正确；
对于B，在等比数列中，，，则 ，
则，即 ，B错误；
对于C，D，因为，所以是数列 的最大项，C错误，D
错误.故选A.第2课时　等比数列的前n项和的性质
【课前预习】
知识点
1.Sk　S2k-Sk　S3k-S2k　2.(1)q　(2)q　3.qmSn
4.(1)y=Aqx-A　(2)y=a1x(x>0)
诊断分析
(1)×　(2)×
【课中探究】
探究点一
例1　(1)70　(2)D　[解析] (1)设等比数列{an}的公比为q,由题可知q≠±1.
方法一:由已知条件可列出方程组
两式作商得1+q10=3,∴q10=2,
∴S30==(1+q10+q20)=10×(1+2+4)=70.
方法二:由性质Sm+n=Sn+qn·Sm,得S20=S10+q10S10,即30=10+10q10,∴q10=2,
∴S30=S20+q20S10=30+40=70.
方法三:由性质=(q≠±1),
得=,即=,∴q10=2.
由=,解得S30=70.
方法四:由题意知S10,S20-S10,S30-S20成等比数列,=S10·(S30-S20),
又S10=10,S20=30,
∴(30-10)2=10×(S30-30),∴S30=70.
(2)设等比数列{an}的奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则S奇=a1+a3+a5+…+a31,S偶=a2+a4+a6+…+a32=q(a1+a3+a5+…+a31)=3S奇,又S奇+60=S偶,所以S奇+60=3S奇,可得S奇=30,S偶=90,故数列{an}的所有项之和是30+90=120.
变式　(1)C　[解析] 设等比数列{an}的公比为q,该等比数列共有2k(k∈N*)项,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,因为{an}的所有项之和S奇+S偶是所有偶数项之和S偶的4倍,所以S奇+S偶=4S偶,故S偶=S奇.
可得S偶=a2+a4+…+a2k=q(a1+a3+…+a2k-1)=qS奇=S奇,所以q=.
由=a1a2a3=64,可得a2=4,因此a1==12.故选C.
(2)解:设S2n=x,S4n=y,则2,x-2,14-x,y-14成等比数列,所以
解得或(舍去),所以S4n=30.
探究点二
例2　　[解析] 由题意得Sn==2-2,则当n为奇数时,Sn=2+2,
则Sn随着n的增大而减小,所以Sn=2+2∈(2,3];当n为偶数时,Sn=2-2,则Sn随着n的增大而增大,所以Sn=2-2∈.所以p的最小值为3,q的最大值为,则p-q的最小值为 .
变式　解:因为a1=3,q=3,
所以Sn===,则Sn随着n的增大而增大.
因为Sn+≥3k-6对任意的n∈N*恒成立,
所以k≤+对任意的n∈N*恒成立.易知Sn的最小值为3,所以k≤,即k的取值范围为.
探究点三
例3　解:(1)设数列{an}的公比为q,数列{bn}的公差为d.
由a1=2,a1+a2=6,得a2=4,∴q==2,∴an=a1qn-1=2n.由得解得
∴bn=b1+(n-1)d=3n-2.
(2)由(1)知an=2n,bn=3n-2,
∴cn==a3n-2=23n-2=·8n,
∴数列{cn}的前n项和Tn=·=(8n-1).
变式　解:(1)因为am=27,
所以数列{an}的前m项中来自集合A中的元素为2,4,6,…,26,共有13项,
数列{an}的前m项中来自集合B中的元素为3,9,27,共有3项,
所以m=16.
(2)因为2×50=100,34=81<100,35=243>100,
所以数列{an}的前50项中来自集合B中的元素为3,9,27,81,共有4项,
则数列{an}的前50项中来自集合A中的元素为2×1,2×2,2×3,…,2×46,共有46项,
所以S50=(3+9+27+81)+(2×1+2×2+2×3+…+2×46)=2282.
例4　证明:(1)因为==21=2,为常数,所以数列{}是等比数列.
(2)因为数列{an}是以3为公比的等比数列,所以=3,
则log3an+1-log3an=log3=log33=1,为常数,
所以数列{log3an}是等差数列.
变式　C　[解析] 由题意知lg a3=b3,lg a6=b6.设等比数列{an}的公比为q,
因为b3=18,b6=12,所以a1q2=1018,a1q5=1012,
所以q3=10-6,则q=10-2,可得a1=1022.
因为{an}为各项都是正数的等比数列,
所以{bn}为等差数列,
可得公差d==-2,则b1=b3-2d=18-2×(-2)=22.
则bn=22+(n-1)×(-2)=-2n+24.
所以数列{bn}的前n项和Sn=22n+×(-2)=-n2+23n=-+,又n∈N*,所以当n=11或12时,Sn取得最大值,最大值为132.故选C.

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