资源简介

§4　数列在日常经济生活中的应用
【课前预习】
知识点
(1)本利和　(2)本利和
诊断分析
(1)√　(2)√　(3)×
【课中探究】
探究点一
例1　解:根据题意及零存整取的特点可知,到期一次可支取的本利和为250×=19 971(元).
变式　78ra　[解析] 小王第一个月存入银行a元,存期12个月,到期后的本利和为(a+12ar)元;第二个月存入银行a元,存期11个月,到期后的本利和为(a+11ar)元……第十一个月存入银行a元,存期2个月,到期后的本利和为(a+2ar)元;第十二个月存入银行a元,存期1个月,到期后的本利和为(a+ar)元.因此,小王一年所得利息为12ar+11ar+…+2ar+ar==78ar(元).
探究点二
例2　解:在银行存1万元,经过n(n∈N*)年后本金和利息之和为1.02n万元,
由1.02n≥10,可得n≥log1.0210=≈116.28,即经过117年本金和利息之和可达到10万元.
变式　5.3　[解析] 设每年存入x万元,则2025年年初存入的钱到2031年年底本利和为x(1+2%)7,2026年年初存入的钱到2031年年底本利和为x(1+2%)6……2031年年初存入的钱到2031年年底本利和为x(1+2%),则x(1+2%)+x(1+2%)2+…+x(1+2%)7=40,即=40,解得x≈5.3.
探究点三
例3　解:方法一:设每年应付款x元.第一年付款及所生利息之和为x×1.0759元,第二年付款及所生利息之和为x×1.0758元……第九年付款及其所生利息之和为x×1.075元,第十年付款为x元,而所购房余款的本金及其利息之和为[1 000×92-(28 800+14 400)]×1.07510=48 800×1.07510(元).因此有x(1+1.075+1.0752+…+1.0759)=48 800×1.07510,∴x=48 800×1.07510×≈7109(元).
答:每年应付款7109元.
方法二:假设每次还款x元,则第1次还款后本利欠款数为[1 000×92-(28 800+14 400)]×(1+7.5%)-x=48 800×1.075-x,第2次还款后本利欠款数为(48 800×1.075-x)×1.075-x=48 800×1.0752-1.075x-x,
第3次还款后本利欠款数为(48 800×1.0752-1.075x-x)×1.075-x=48 800×1.0753-1.0752x-1.075x-x
……
第10次还款后本利欠款数为48 800×1.07510-(1.0759+1.0758+…+1)x,由题意知,第10次还款后欠款全部还清.故有48 800×1.07510-(1.0759+1.0758+…+1)x=0,
即x=48 800×1.07510,
∴x=≈7109(元).
答:每年应付款7109元.
变式　　[解析] 由题意得a(1+r)n=x+x(1+r)+…+x(1+r)n-1,
∴a(1+r)n=,∴x=.§4　数列在日常经济生活中的应用
1.C　[解析] 设成本为a,平均每月应降低成本x,所以a(1-x)2=(1-0.64)a,解得x=0.4,所以平均每月应降低成本40%.故选C.
2.D　[解析] 因为是按照单利计算,所以存5年的利息是1000×0.52%×5,则第5年年末的本利和是1000+1000×0.52%×5=1000+26 =1026(元).故选D.
3.C　[解析] 设小方第n天存钱an元,则数列{an}从第4项起成等差数列,且该等差数列的首项为1,公差为1,所以小方存钱203天的储蓄总额为1+1+1+200×1+×1=203+19 900=20 103(元).故选C.
4.C　[解析] 年初存入银行8万元,年利率为2.50%,因为采用1年期自动转存业务,所以第1年年末的本利和为8×1.0251万元,第2年年末的本利和为8×1.0252万元,第3年年末的本利和为8×1.0253万元,第4年年末的本利和为8×1.0254万元,第5年年末的本利和为8×1.0255万元,故选C.
5.B　[解析] 设每月的还款金额都是a元,则++…+=m,即=m,得a=.故选B.
6.B　[解析] 2019年1月1日到银行存入a元,则到2020年1月1日存款到期时银行存款共有a(1+r)元,2020年1月1日再存入a元,到2021年1月1日存款到期时银行存款共有[a(1+r)2+a(1+r)]元,2021年1月1日再存入a元,到2022年1月1日存款到期时银行存款共有[a(1+r)3+a(1+r)2+a(1+r)]元,2022年1月1日再存入a元,到2023年1月1日存款到期时银行存款共有[a(1+r)4+a(1+r)3+a(1+r)2+a(1+r)]元,2023年1月1日再存入a元,到2024年1月1日存款到期时银行存款共有[a(1+r)5+a(1+r)4+a(1+r)3+a(1+r)2+a(1+r)]元, 2024年1月1日再存入a元,到2025年1月1日存款到期时银行存款共有[a(1+r)6+a(1+r)5+a(1+r)4+a(1+r)3+a(1+r)2+a(1+r)]元.a(1+r)6+a(1+r)5+a(1+r)4+a(1+r)3+a(1+r)2+a(1+r)=a[(1+r)6+(1+r)5+(1+r)4+(1+r)3+(1+r)2+(1+r)]==[(1+r)7-(1+r)],故选B.
7.BD　[解析] ∵小郭与银行约定,每年还款一次,并且每年还款的钱数都相等,∴小郭选择的还款方式为“等额本息还款法”,故D正确,C错误.∵每年还X万元,还款10次,∴10年还款的金额与利息和为X[1+(1+r)+(1+r)2+…+(1+r)9],向银行贷款A万元,10年后的本利和为A(1+r)10,∴X[1+(1+r)+(1+r)2+…+(1+r)9]=A(1+r)10,∴X·=A(1+r)10,即X=,故A错误,B正确.故选BD.
8.BCD　[解析] 对于A选项,a1=(1+20%)×10 000-1000=11 000,故A错误;对于B选项,第n个月月底小王手中的现款为an元,则第n+1个月月底小王手中的现款为an+1元,由题意得an+1=1.2an-1000,故B正确;对于C选项,由an+1=1.2an-1000,得an+1-5000=1.2(an-5000),所以数列{an-5000}是首项为6000,公比为1.2的等比数列,所以a12-5000=6000×1.211,即a12=6000×1.211+5000≈49 580,所以2024年小王的年利润约为49 580-10 000=39 580(元),故C正确;对于D选项,第24个月月底小王手中的现款为a24=5000+6000×1.223=5000+6000×1.212×1.211≈402 653.6(元),故D正确.故选BCD.
9.　[解析] 设每年应偿还x万元,则a(1+r)6=x+x(1+r)+x(1+r)2+x(1+r)3+x(1+r)4+x(1+r)5,所以a(1+r)6=,故x=.
10.a(1+p)10　[解析] 由题意知,经过1年本利和为a(1+p)元,经过2年本利和为a(1+p)(1+p)=a(1+p)2(元),经过3年本利和为a(1+p)2(1+p)=a(1+p)3(元),以此类推,经过10年本利和为a(1+p)10元.
11.12 370　[解析] 2024年1月15日存入银行的1000元,到2025年1月15日的本金和利息共(1000×1.00312)元,2024年2月15日存入的1000元,到2025年1月15日的本金和利息共(1000×1.00311)元,2024年3月15日存入的1000元,到2025年1月15日的本金和利息共(1000×1.00310)元……2024年12月15日存入的1000元,到2025年1月15日的本金和利息共(1000×1.003)元,因此,一年后他可以从银行取出本金和利息共1000×(1.003+1.0032+…+1.00312)=≈12 370(元).
12.1255　[解析] 购买时付了150元,欠款1000元.每月付50元,分20次付完,设每月付款数顺次组成数列{an},则a1=50+1000×0.01=60,a2=50+(1000-50)×0.01=60-0.5,a3=50+(1000-50×2)×0.01=60-0.5×2,以此类推,得an=60-0.5(n-1)(1≤n≤20),所以{an}为等差数列,公差d=-0.5.设Sn为数列{an}的前n项和,则全部贷款付清后,付款总数为150+S20=150+20a1+×(-0.5)=150+20×60-=1255.
13.解:设经过n天此人体内有微量元素an mg,则经过1天此人身体内的微量元素为a1=10×(1-10%)(mg);经过2天此人身体内的微量元素为a2=(a1+10)(1-10%)=10×(1-10%)+10×(1-10%)2(mg);经过3天此人身体内的微量元素为a3=(a2+10)(1-10%)=10×(1-10%)+10×(1-10%)2+10×(1-10%)3(mg)……经过30天此人身体内的微量元素为a30=(a29+10)(1-10%)=10×(1-10%)+10×(1-10%)2+…+10×(1-10%)30=≈86.2(mg),即经过30天在此人身体中积累了约86.2 mg的该微量元素.
14.解:设小华每期付款x元,第k个月的月末付款后的欠款本利和为Ak元,则A2=5000×(1+0.008)2-x=5000×1.0082-x,A4=A2(1+0.008)2-x=5000×1.0084-1.0082x-x,…,A12=5000×1.00812-(1.00810+1.0088+…+1.0082+1)x,由题意可知,A12=0,解得x==≈880.故小华每期付款金额约为880元.
15.解:(1)由题意得,投入生产的启动资金共有50×4=200(万元),则a1=200×(1+50%)-60=200×-60=240,a2=a1(1+50%)-60=a1-60=300,an+1=an(1+50%)-60=an-60.
(2)由(1)知,当n≥2时,an=an-1-60=-60=an-2-×60-60=an-3-×60-×60-60=…=a1-×60-×60-…-×60-×60-60=240×-60=120×+120, 而a1=240也满足上式,故an=120×+120.令120×+120≥1200,得≥9,因为n∈N*,1.55≈7.59,1.56≈11.39,所以n-1≥6,即n≥7.所以至少经过7年,公司分红后的剩余资金不低于1200万元.§4　数列在日常经济生活中的应用
【学习目标】
数列在日常经济生活中的应用.
◆ 知识点　三种常见的应用模型
(1)零存整取模型:每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部　　　　,这是整取.规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税).
(2)定期自动转存模型:例如,储户某日存入一笔1年期定期存款,1年后,如果储户不取出本利和,则银行按存款到期时的1年期定期存款利率自动办理转存业务,第2年的本金就是第1年的　　　　.
(3)分期付款模型:分期付款是购物的一种付款方式,即将所购物的款数在规定的期限内按照一定的要求,分期付清.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)银行的定期自动转存是复利计息方式. (　 )
(2)企业对某一项目投资,每年比上一年多投50万元,则各年的投资额构成等差数列. (　 )
(3)企业对某一项目投资,每年比上一年多投10%,则各年的投资额构成等差数列. (　 )
◆ 探究点一　零存整取模型
例1 某同学依零存整取的方式从2023年11月1日开始,每月按时存入250元,连续存6年,月利率为0.3%.求到期一次可支取本利和共多少元
变式 小王每月除去所有日常开支,大约结余a元.小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来,每月初存入银行a元.存期1年(存12次),年底到期取出本金和利息.假设一年期零存整取的月利率为r,每期存款按单利计息.那么小王存款到期时利息为
　　　　元.
[素养小结]
应了解和经历解决实际问题的全过程,即实际情境→提出问题→数学模型→数学结果→检验→问题结果.体验数学与日常生活及其他学科的联系,感受数学的实用价值,增强应用意识,提高实践能力,并学会通过查询资料等手段获取信息.
◆ 探究点二　定期自动转存模型
例2 假设在银行存1万元,年利率保持2%不变,每年结算自动转存,经过多少年本金和利息之和可达到10万元 (附:lg 1.02≈0.008 6)
变式 某家庭打算为子女储备“教育基金”,计划从2025年开始,每年年初存入一笔专用存款,使这笔存款到2031年年底连本带利共有40万元收益.如果每年的存款数额相同,依年利率为2%并按复利计算,则每年约存入　　　　万元.(参考数据:1.027≈1.149,1.028≈1.172,答案保留1位小数)
[素养小结]
把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的.复利的计算公式是S=P(1+r)n,其中P表示本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金与利息和.
◆ 探究点三　分期付款模型
例3 陈老师购买了92平方米的安居工程集资房,单价为1000元/平方米,一次性国家财政补贴28 800元,学校补贴14 400元,余款由个人负担.房地产开发公司对教师实行分期付款,每期为一年,等额付款,签订购房合同一年后付款一次,再经过一年又付款一次,…,共付10次,10年后付清,如果按年利率7.5%,每年利息按复利计算,那么每年应付款多少元 (计算结果精确到1元)
变式 某商场为了满足广大数码爱好者的需求,开展数码商品分期付款活动.已知某数码商品一次性付清的金额为a元,以分期付款的形式等额分成n期付清,每期期末所付款是x元,每期利率为r,每期利息按复利计算,则x=　　　　.
[素养小结]
分期付款这类问题就是根据贷款还清之前产生的本利和与每期所还款额的本利和相等列方程求解.§4　数列在日常经济生活中的应用
一、选择题
1.某种疫苗计划投产两个月后,使成本降低64%,那么平均每月应降低成本 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.20% B.32%
C.40% D.50%
2.存入银行1000元,年利率是0.52%,那么按照单利,第5年年末的本利和是 (　 )
A.1036元 B.1028元
C.1043元 D.1026元
3.[2023·江西萍乡高二期中] 小方计划从4月1日开始存储零钱,4月1日到4月4日每天都存储1元,从4月5日开始,每天存储的零钱比昨天多1元,则小方存钱203天(4月1日为第1天)的储蓄总额为(　 )
A.19 903元 B.19 913元
C.20 103元 D.20 113元
4.某年年初存入银行8万元,年利率为2.50%,若采用1年期自动转存业务,则第5年年末的本利和为 (　 )
A.8×1.0253万元 B.8×1.0254万元
C.8×1.0255万元 D.8×1.0256万元
5.某高一年级学生家长于3月5日在某购物平台上采用分期付款的形式购买了一台价值m元的平板电脑给学生学习使用,该平台规定:分12个月将款全部还清,从下个月5日,即4月5日开始偿还,每月5日还款,且每个月还款钱数都相等.若月利率为p,则该家长每月的还款金额是(　 )
A. 元 B. 元
C. 元 D. 元
6.某人从2019年1月1日起,每年1月1日到银行存入a元(一年定期).若年利率r保持不变,且每年到期后将本金和利息均转为新一年定期,到2025年1月1日不再存钱,将所有本金和利息全部取回,则他可取回(　 )
A.a(1+r)7元
B.[(1+r)7-(1+r)]元
C.a(1+r)8元
D.a(1+r)8-(1+r)元
7.(多选题)参加工作5年的小郭,因工作需要向银行贷款A万元购买一台小汽车,与银行约定:这A万元贷款分10年还清,每年还款一次,年利率为r,每年还款金额为X万元,则 (　 )
A.X=
B.X=
C.小郭选择的还款方式为“等额本金还款法”
D.小郭选择的还款方式为“等额本息还款法”
8.(多选题)小王2024年1月初向银行借了某项免息贷款10 000元,全部作为投入资金用于自己开设的农产品加工厂的原材料进货,因产品质优价廉,上市后供不应求,据测算每月销售农产品获得的利润是该月月初投入资金的20%,每月月底需缴纳房租600元和水电费400元,余款作为资金全部用于再进货,如此继续.设第n个月月底小王手中的现款为an元,则下列说法正确的有(参考数据:1.211≈7.43,1.212≈8.92) (　 )
A.a1=12 000
B.an+1=1.2an-1000
C.2024年小王的年利润约为39 580元
D.第24个月月底小王手中的现款约为402 653.6元
二、填空题
9.某企业在今年年初贷款a万元,年利率为r,从今年年末开始每年偿还相同的金额,预计6年还清,每年利息按复利计算,则每年应偿还　　　　万元.
10.假设银行一年定期存款的年利率为p且保持不变,将a元存入银行一年定期,到期后将本金和利息再存一年定期,以此类推,则经过10年到期时本利和为　　　　元.
11.某人每月15日发工资,2024年1月15日发工资后,他随即从工资中拿出1000元存入银行,以后每月领工资后,都于当天在工资中拿出1000元存入银行.若银行存款月利率为0.3%,则按照复利,一年后他(当天不再存款)可以从银行取出本金和利息共　　　　元.(参考数据:1.00311≈1.033,1.00312≈1.037.答案精确到1元)
12.用分期付款的方式购买家用电器一件,价格为1150元,购买当天先付150元,以后每月这一天都交付50元,并加付欠款利息,月利率为1%.若交付150元后的第一个月算分期付款的第一个月,则全部欠款付清后,买这件家电实际付款　　　　元.
三、解答题
13.有些食物中含有一定量的微量元素,当人体摄入微量元素之后,微量元素会随着尿液、汗液等排出一部分.假设某人每天吃进某微量元素10 mg,该微量元素每天以10%的比例排出,则经过30天在此人身体中积累了多少该微量元素 (设开始时此人体内该微量元素为0,0.930≈0.042,计算结果精确到0.1 mg)
14.小华准备购买一部售价为5000元的手机,采用分期付款方式,并在一年内将欠款全部付清.商家提出的付款方式为:购买2个月的月末第1次付款,再过2个月的月末第2次付款……购买12个月的月末第6次付款,每次付款金额相同,约定月利率为0.8%,每月利息按复利计算.求小华每期付款金额是多少.(参考数据:1.00812≈1.100,1.0082≈1.016.结果取整数)
15.甲、乙、丙、丁四人合资注册一家公司,每人出资50万元作为启动资金投入生产,到当年年底,资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年相同.四人决定公司从第一年开始,每年年底拿出60万元分红,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n(n∈N*)年年底公司分红后的剩余资金为an万元.
(1)求a1,a2,并写出an+1与an的关系式;
(2)至少经过多少年,公司分红后的剩余资金不低于1200万元 (参考数据:1.55≈7.59,1.56≈11.39)(共20张PPT)
§4 数列在日常经济生活中的应用
探究点一 零存整取模型
探究点二 定期自动转存模型
探究点三 分期付款模型
【学习目标】
数列在日常经济生活中的应用.
知识点 三种常见的应用模型
（1）零存整取模型:每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可
以取出全部________,这是整取.规定每次存入的钱不计复利（暂不考虑利息税）.
本利和
（2）定期自动转存模型:例如,储户某日存入一笔1年期定期存款,1年后,如果储
户不取出本利和,则银行按存款到期时的1年期定期存款利率自动办理转存业务,
第2年的本金就是第1年的________.
本利和
（3）分期付款模型:分期付款是购物的一种付款方式，即将所购物的款数在规
定的期限内按照一定的要求,分期付清.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）银行的定期自动转存是复利计息方式.( )
√
（2）企业对某一项目投资,每年比上一年多投50万元,则各年的投资额构成等
差数列.( )
√
（3）企业对某一项目投资,每年比上一年多投 ,则各年的投资额构成等差
数列.( )
×
探究点一 零存整取模型
例1 某同学依零存整取的方式从2023年11月1日开始，每月按时存入250元，连
续存6年，月利率为 .求到期一次可支取本利和共多少元？
解：根据题意及零存整取的特点可知，到期一次可支取的本利和为
（元）.
变式 小王每月除去所有日常开支，大约结余 元.小王决定采用零存整取的方
式把余钱积蓄起来，每月初存入银行 元.存期1年（存12次），年底到期取出本
金和利息.假设一年期零存整取的月利率为 ，每期存款按单利计息.那么小王存
款到期时利息为______元.
[解析] 小王第一个月存入银行元，存期12个月，到期后的本利和为 元；
第二个月存入银行元，存期11个月，到期后的本利和为 元……
第十一个月存入银行元，存期2个月，到期后的本利和为 元；
第十二个月存入银行元，存期1个月，到期后的本利和为 元.因此，
小王一年所得利息为 （元）.
［素养小结］
应了解和经历解决实际问题的全过程，即实际情境 提出问题 数学模型
数学结果 检验 问题结果.体验数学与日常生活及其他学科的联系，感受数
学的实用价值，增强应用意识，提高实践能力，并学会通过查询资料等手段获
取信息.
探究点二 定期自动转存模型
例2 假设在银行存1万元，年利率保持 不变，每年结算自动转存，经过多少
年本金和利息之和可达到10万元？（附： ）
解：在银行存1万元，经过年后本金和利息之和为 万元，
由，可得 ，即经过117年本金和利息
之和可达到10万元.
变式 某家庭打算为子女储备“教育基金”，计划从2025年开始，每年年初存入
一笔专用存款，使这笔存款到2031年年底连本带利共有40万元收益.如果每年的
存款数额相同，依年利率为 并按复利计算，则每年约存入____万元.
（参考数据：, ，答案保留1位小数）
5.3
[解析] 设每年存入 万元，则2025年年初存入的钱到2031年年底本利和为
，
2026年年初存入的钱到2031年年底本利和为
年年初存入的钱到2031年年底本利和为 ，
则，即 ，
解得 .
［素养小结］
把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期本金的数额是不同的.复
利的计算公式是，其中表示本金，代表存期，代表利率， 代
表本金与利息和.
探究点三 分期付款模型
例3 陈老师购买了92平方米的安居工程集资房，单价为1000元/平方米，一次
性国家财政补贴28 800元，学校补贴14 400元，余款由个人负担.房地产开发公
司对教师实行分期付款，每期为一年，等额付款，签订购房合同一年后付款一
次，再经过一年又付款一次， ，共付10次，10年后付清，如果按年利率
，每年利息按复利计算，那么每年应付款多少元？（计算结果精确到1元）
解:方法一：设每年应付款元.第一年付款及所生利息之和为 元，
第二年付款及所生利息之和为 元……
第九年付款及其所生利息之和为元，
第十年付款为 元，而所购房余款的本金及其利息之和为
（元）.
因此有 ，
（元）.
答：每年应付款7109元.
方法二：假设每次还款 元，则第1次还款后本利欠款数为
，
第2次还款后本利欠款数为
，
第3次还款后本利欠款数为
……
第10次还款后本利欠款数为 ，
由题意知，第10次还款后欠款全部还清.
故有 ，
即 ，
（元）.
答：每年应付款7109元.
变式 某商场为了满足广大数码爱好者的需求，开展数码商品分期付款活动.已
知某数码商品一次性付清的金额为元，以分期付款的形式等额分成 期付清，
每期期末所付款是元，每期利率为，每期利息按复利计算，则 _ _______.
[解析] 由题意得 ，
， .
［素养小结］
分期付款这类问题就是根据贷款还清之前产生的本利和与每期所还款额的本利
和相等列方程求解.
1.数列知识有着广泛的应用，特别是等差数列和等比数列．例如银行中的利息
计算，计算单利时用等差数列，计算复利时用等比数列，分期付款要综合运用
等差、等比数列的知识.
2.数列应用题的常见模型
（1）等差模型：一般地，当增加（或减少）的量是一个固定的具体量时，该模
型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差，其一般形式是
（常数）．
（2）等比模型：一般地，当增加（或减少）的量是一个固定的百分数时，该模
型是等比模型，增加（或减少）的百分数就是公比，其一般形式是
（常数）．
3.混合模型：在一个问题中，同时涉及等差数列和等比数列的模型．
4.生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加（或减少），同
时又以一个固定的具体量增加（或减少）时，我们称该模型为生长模型．如分
期付款问题，树木的生长与砍伐问题等．
5.递推模型：如果容易找到该数列任意一项 与它的前一项（或前几项）之间
的递推关系式，那么我们就可以用递推数列的知识求解问题．
例 现有一根4米长的木头，第一天截掉它的 ，以后每一天都截掉它前一天留
下的木头的，到第天时，共截掉了米，则 ( )
B
A.5 B.6 C.7 D.8
[解析] 设第天截掉的木头的长度为，则是首项为2，公比为 的等比数列，
则该等比数列的前项和.由 ，得
，可得 .故选B.

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