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§5　数学归纳法
【课前预习】
知识点
正整数n　(2)k+1
诊断分析
(1)×　(2)×　(3)√
【课中探究】
探究点一
例1　证明:①当n=1时,a1=1=,等式成立.
②假设当n=k(k≥1)时,等式成立,即ak=成立,
则当n=k+1时,ak+1===,
即当n=k+1时等式也成立.由①②知,an=(n∈N*).
变式　解:(1)由=an+1+3nan-3可得an+1=-3nan+3,又a1=4,
所以a2=-3a1+3=7,a3=-6a2+3=10,
则a2=7,a3=10,猜想an=3n+1.
(2)证明:由(1)得an+1=-3nan+3.
①当n=1时,a1=4=3×1+1,等式成立.
②假设当n=k(k∈N*)时,等式成立,即ak=3k+1成立,
则当n=k+1时,ak+1=-3kak+3=(3k+1)2-3k(3k+1)+3=3k+4=3(k+1)+1,即当n=k+1时等式也成立.
由①②知,an=3n+1对任意正整数n都成立.
探究点二
例2　证明:①当n=1时,左边=1+1=2,右边=2×1=2,
∴左边=右边,故当n=1时,结论成立;
②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时结论成立,即(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)=2k×1×3×5×…×(2k-1),
则当n=k+1时,(k+2)(k+3)…(k+k)(k+1+k)(k+1+k+1)=×(2k+1)×(2k+2)=2k+1×1×3×5×…×(2k-1)×(2k+1),∴当n=k+1时,结论成立.综上,对任意的n∈N*,结论都成立.
变式　解:(1)f(1)=4,f(2)=22,f(3)=70.
(2)假设存在a,b,c,满足题意,
由题意可得解得下面证明f(n)=(3n2+11n+10)对任意的n∈N*恒成立.
当n=1时,f(1)=4=×(3+11+10),等式成立.
假设当n=k(k≥1)时,等式成立,即f(k)=(3k2+11k+10),则当n=k+1时,f(k+1)=f(k)+(k+1)(k+2)2=(3k2+11k+10)+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2=(3k2+5k+12k+24)=[3(k+1)2+11(k+1)+10],
即当n=k+1时,等式也成立.综上所述,当a=3,b=11,c=10时,题设中的等式对一切正整数n都成立.
探究点三
例3　解:(1)观察题中各不等式,可得1++++…+<.
(2)证明:①当n=1时,由题设可知,不等式1<显然成立.
②假设当n=k(k≥1)时,不等式成立,
即1++++…+<,则当n=k+1时,有1++++…++<+.要证+<,即证<-,即证<-=,
即证4(k+1)2>(2k+1)(2k+3),
即证4k2+8k+4>4k2+8k+3,即证4>3,而4>3显然成立,因此1++++…++<成立,所以当n=k+1时,不等式也成立.
根据①②可得,不等式1++++…+<对任意的n∈N*都成立.
变式　证明:①当n=2时,左边=++=>1=右边,不等式成立.
②假设当n=k(k≥2)时,不等式成立,
即+++…+>1,
那么当n=k+1时,左边=+++…+=++++…++->1+++…+->1+(2k+1)·-=1+>1=右边,
∴当n=k+1时不等式也成立.
根据①②可得该不等式对所有大于1的正整数n都成立.§5　数学归纳法
1.D　[解析] 由题知n的最小值为2,当n=2时=,故第一步应验证“当n=2时,1++<2”.故选D.
2.B　[解析] 不等式左边需添加的项是-=++-.故选B.
3.B　[解析] 命题P(n)对n=k成立,则它对n=k+2也成立.由P(1)成立,可得 P(3),P(5),P(7),P(9),P(11),…均成立,即P(n)对于所有的正奇数n都成立.故选B.
4.B　[解析] 由题意得f(k)=1·k+2(k-1)+3(k-2)+4(k-3)+…+k·1,f(k+1)=1·(k+1)+2k+3(k-1)+4(k-2)+…+k·2+(k+1)·1,所以f(k+1)-f(k)=1·[(k+1)-k]+2·[k-(k-1)]+3·[(k-1)-(k-2)]+4·[(k-2)-(k-3)]+…+k·(2-1)+(k+1)·1=1+2+3+4+…+k+(k+1).故选B.
5.A　[解析] 假设当n=k时命题成立,即5k-2k能被3整除,则当n=k+1时,5k+1-2k+1=5×5k-2×2k=5(5k-2k)+5×2k-2×2k=5(5k-2k)+3×2k.故选A.
6.D　[解析] 根据数学归纳法的步骤,首先要验证当n取第一个值时命题成立.现将2n看成函数y=2x(x∈N*)上的点,将n2看成函数y=x2(x∈N*)上的点,由n2=2n,可得n=2或n=4,结合两函数的图象可知,当n≥5时,2n>n2恒成立,所以正整数n的第一个取值应为5.故选D.
7.BD　[解析] 对于不等式8.CD　[解析] 令n=1,则=,=,>不成立;令n=2,则=,=,>不成立;令n=3,则=,=,>成立;令n=4,则=,=,>成立.猜想当n≥3时,>成立.现用数学归纳法证明:当n=3时,=,=,>成立;假设当n=k(k≥3)时,>成立,则当n=k+1时,有=,令t=,则==3-,因为t>,所以>3-=,因为-=>0,所以>=,所以当n=k+1时,不等式也成立.由数学归纳法可知,>对任意的n≥3都成立.故选CD.
9.1++<2-　[解析] 用数学归纳法证明“1+++…+<2-(n≥2,n∈N*)”时,第一步需要验证,当n=2时,不等式1++<2-成立,即1++<2-成立.
10.3·22k　[解析] 当n=k时,左边=1+++…+,当n=k+1时,左边=1+++…+++++…+,故由n=k到n=k+1,不等式左边增加了+++…+,共有[22(k+1)-1]-(22k-1)=3·22k(项).
11.1+++…++++…+>　[解析] 当n=k+1时,不等式左侧为1+++…++++…+,右侧为,∴需验证的式子为1+++…++++…+>.
12.2k2+2k+1　[解析] 当n=k时,左边=12+22+…+(k-1)2+k2+(k-1)2+…+22+12;当n=k+1时,左边=12+22+…+(k-1)2+k2+(k+1)2+k2+(k-1)2+…+22+12.则从n=k到n=k+1时等式左边应添加的项为(k+1)2+k2=2k2+2k+1.
13.解:(1)f(1)=,f(2)=,f(3)=.
(2)猜测f(n)=,现用数学归纳法证明如下:①当n=1时,结论显然成立;②假设当n=k(k≥1)时,结论成立,即f(k)=,则当n=k+1时,f(k+1)=(1-a1)(1-a2)…(1-ak)(1-ak+1)=·=,∴当n=k+1时,结论成立.由①②可得f(n)=对一切正整数n都成立.
14.解:(1)a2=a1+=1+=2,a3=a2+=2+=3,猜想an=n.
当n=1时,a1=1,猜想成立.
假设当n=k(k∈N*)时,猜想成立,即ak=k,
则当n=k+1时,ak+1=ak+=k+1,所以当n=k+1时猜想也成立,
综上可知,猜想成立,即an=n.
(2)由(1)可知Sn=,则=2,
所以Tn=2=2=,
所以T2023==.
15.BD　[解析] 由4an+1+2an-9=anan+1,得an+1=,又a1=1,所以a2==,a3==,a4==,所以选项A错误.猜想an=(n∈N+),证明:当n=1时,a1=1,等式成立;假设当n=k时等式成立,即ak=,则当n=k+1时,ak+1=====,即当n=k+1时等式也成立,所以选项B正确.易知a2>a1,所以选项C错误.因为an===3-<3(n∈N+),所以选项D正确.故选BD.
16.8　[解析] 不等号左边的值为=2-21-n,当n=7时,2-2-6=,当n=8时,2-2-7>,所以起始值k至少应取8.§5　数学归纳法
【学习目标】
1.了解数学归纳法的原理.
2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题.
◆ 知识点　数学归纳法
数学归纳法是用来证明某些与　　　　有关的数学命题的一种方法.它的基本步骤是:
(1)证明:当n取第一个值n0(n0是一个确定的正整数,如n0=1或2等)时,命题成立;
(2)假设当n=k(k∈N+,k≥n0)时命题成立,证明当n=　　　　时,命题也成立.
根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)与正整数n有关的数学命题只能用数学归纳法证明. (　 )
(2)数学归纳法证明的第一步中n的初始值n0只能是1. (　 )
(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可. (　 )
◆ 探究点一　用数学归纳法证明数列问题
例1 对于数列{an},若a1=1,an+1=,用数学归纳法证明:an=(n∈N*).
变式 已知各项均为正数的数列{an}的首项为4,=an+1+3nan-3.
(1)求a2,a3,并根据前3项的规律猜想该数列的通项公式;
(2)用数学归纳法证明你的猜想.
[素养小结]
数学归纳法证明数列问题主要证明一个与正整数有关的结论,它的步骤如下:
1.证明当n取第一个值n0时结论正确:
2.假设当n=k(k∈N*,k≥n0)时结论正确,证明当n=k+1时结论也正确.
在完成了这两个步骤以后,就可以断定结论对于从n0开始的所有正整数n都正确.
◆ 探究点二　用数学归纳法证明等式问题
例2 用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×5×…×(2n-1)(n∈N*).
变式 设关于正整数n的函数f(n)=1×22+2×32+…+n(n+1)2.
(1)求f(1),f(2),f(3).
(2)是否存在常数a,b,c,使得f(n)=·(an2+bn+c)对一切正整数n都成立 并用数学归纳法证明你的结论.
[素养小结]
用数学归纳法证明恒等式时,应关注以下三点:
(1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况;
(2)弄清从n=k到n=k+1时,等式两端增加了哪些项,减少了哪些项;
(3)证明当n=k+1时结论也成立的过程中,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝要证明的表达式变形.
◆ 探究点三　用数学归纳法证明不等式问题
例3 观察下列不等式:
1<;
1+<;
1++<;
1+++<;
……
(1)由上述不等式,归纳出与正整数n有关的一个一般性结论;
(2)用数学归纳法证明你得到的结论.
变式 用数学归纳法证明不等式:++…+>1(n∈N*,n>1).
[素养小结]
(1)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式:一是直接给出不等式,按要求进行证明;二是给出两个式子,按要求比较它们的大小.对第二种形式往往要先对n取前k个值的情况分别验证比较,以免出现判断失误,猜出从某个k值开始不等式都成立的结论,然后用数学归纳法证明.
(2)用数学归纳法证明不等式要注意以下两点:
①验证第一个n的值时,要注意n0不一定为1,若n>k(k为正整数),则n0=k+1;
②证明不等式的第二步中,从n=k到n=k+1的推导过程中,一定要用归纳假设,不应用归纳假设的证明不是数学归纳法.
(3)用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k时成立,得n=k+1时成立,主要方法有比较法、放缩法等.§5　数学归纳法
一、选择题
1.已知n∈N,n>1,用数学归纳法证明不等式1+++…+A.当n=1时,1+<1
B.当n=2时,1+<2
C.当n=1时,<1
D.当n=2时,1++<2
2.[2024·宁夏平罗中学高二期末] 用数学归纳法证明++…+≥时,从n=k到n=k+1,不等式左边需添加的项是 (　 )
A.++
B.++-
C.-
D.
3.如果命题P(n)对于n=1成立,对于n=k(k∈N*)成立,那么对于n=k+2也成立.则下述结论中正确的是 (　 )
A.P(n)对于所有的自然数n成立
B.P(n)对于所有的正奇数n成立
C.P(n)对于所有的正偶数n成立
D.P(n)对于所有大于3的自然数n成立
4.用数学归纳法证明:1×n+2×(n-1)+3×(n-2)+…+n×1=n(n+1)(n+2).当n=k时,等式左边为f(k),当n=k+1时,等式左边为f(k+1),则f(k+1)-f(k)= (　 )
A.1×(k+1)
B.1+2+3+…+(k+1)
C.1+2+3+…+k
D.k×(k-2)
5.在用数学归纳法证明“5n-2n能被3整除”的第二步中,当n=k+1时,为了使用假设,应将5k+1-2k+1变形为 (　 )
A.5(5k-2k)+3×2k
B.(5k-2k)+4×5k-2k
C.(5-2)(5k-2k)
D.2(5k-2k)-3×5k
6.用数学归纳法推断2n>n2时,正整数n的第一个取值应为 (　 )
A.1 B.3 C.4 D.5
7.(多选题)对于不等式①当n=1时,<1+1,不等式成立;
②假设当n=k(k≥1)时,不等式成立,即k2+k关于上述证明过程,下列说法正确的是 (　 )
A.证明过程全都正确
B.当n=1时的验证正确
C.归纳假设正确
D.从n=k到n=k+1的推理不正确
8.(多选题)用数学归纳法证明“>对任意的n≥k(n,k∈N*)都成立”,则满足条件的k的值可以为 (　 )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
9.用数学归纳法证明“1+++…+<2-(n≥2,n∈N*)”时,第一步需要验证的不等式为　　　　　　　　　　.
10.利用数学归纳法证明不等式1+++…+11.用数学归纳法证明“1+++…+>(n≥2,n∈N+)”,需验证当n=k+1时的式子为
　　　　　　　　　　　.
12.用数学归纳法证明等式12+22+…+(n-1)2+n2+(n-1)2+…+22+12=的过程中,第二步从n=k到n=k+1时等式左边应添加的项是　　　　.
三、解答题
13.已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N*),记f(n)=(1-a1)(1-a2)…(1-an).
(1)计算f(1),f(2),f(3)的值;
(2)猜测f(n)的表达式,并用数学归纳法进行证明.
14.[2024·上海七宝中学高二月考] 已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+,Sn是其前n项和.
(1)计算a2,a3,猜想{an}的通项公式,并用数学归纳法证明;
(2)记Tn=
15.(多选题)已知a1=1,且4an+1+2an-9=anan+1,则下列结论正确的是 (　 )
A.a4= B.an=
C.an+116.用数学归纳法证明不等式1+++…+>(n≥k)成立,起始值k至少应取　　　　. (共28张PPT)
5 数学归纳法
探究点一 用数学归纳法证明数列问题
探究点二 用数学归纳法证明等式问题
探究点三 用数学归纳法证明不等式问题
【学习目标】
1.了解数学归纳法的原理.
2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题.
知识点 数学归纳法
数学归纳法是用来证明某些与_________有关的数学命题的一种方法.它的基本
步骤是：
（1）证明：当取第一个值是一个确定的正整数，如或2等 时，命
题成立；
（2）假设当时命题成立，证明当 ______时，命题也
成立.
根据可以断定命题对一切从开始的正整数 都成立.
正整数
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）与正整数 有关的数学命题只能用数学归纳法证明.( )
×
（2）数学归纳法证明的第一步中的初始值 只能是1.( )
×
（3）数学归纳法的两个步骤缺一不可.( )
√
探究点一 用数学归纳法证明数列问题
例1 对于数列,若,,用数学归纳法证明: .
证明：①当时, ,等式成立.
②假设当时,等式成立,即 成立,
则当时, ,
即当时等式也成立.由①②知, .
变式 已知各项均为正数的数列的首项为4， .
（1）求， ，并根据前3项的规律猜想该数列的通项公式；
解：由可得，
又 ，所以， ，
则,，猜想 .
（2）用数学归纳法证明你的猜想.
证明：由（1）得 .
①当时， ，等式成立.
②假设当时，等式成立，即 成立，
则当 时，
，
即当 时等式也成立.
由①②知,对任意正整数 都成立.
［素养小结］
数学归纳法证明数列问题主要证明一个与正整数有关的结论，它的步骤如下:
1.证明当取第一个值 时结论正确:
2.假设当时结论正确，证明当 时结论也正确.
在完成了这两个步骤以后，就可以断定结论对于从开始的所有正整数 都正确.
探究点二 用数学归纳法证明等式问题
例2 用数学归纳法证明:
.
证明：①当时,左边,右边 ,
左边右边,故当 时,结论成立;
②假设当， 时结论成立,
即 ,
则当 时,
,
时,结论成立.
综上,对任意的 ,结论都成立.
变式 设关于正整数的函数 .
（1）求,, .
解：,, .
（2）是否存在常数,,,使得对一切正整数 都成
立 并用数学归纳法证明你的结论.
解：假设存在,, ,满足题意,
由题意可得解得
下面证明对任意的 恒成立.
当时, ,等式成立.
假设当时,等式成立,即 ,
时, ,
即当时,等式也成立.综上所述,当,, 时,题设中的等式
对一切正整数 都成立.
［素养小结］
用数学归纳法证明恒等式时,应关注以下三点:
（1）弄清取第一个值 时等式两端项的情况;
（2）弄清从到 时,等式两端增加了哪些项,减少了哪些项;
（3）证明当 时结论也成立的过程中,要设法将待证式与归纳假设建立
联系,并朝要证明的表达式变形.
探究点三 用数学归纳法证明不等式问题
例3 观察下列不等式:
;
;
;
;
……
（1）由上述不等式,归纳出与正整数 有关的一个一般性结论;
解:观察题中各不等式,可得 .
（2）用数学归纳法证明你得到的结论.
证明：①当时,由题设可知,不等式 显然成立.
②假设当 时,不等式成立,即,
则当 时,有.
要证 ,即证,
即证 ,即证 ,
即证,即证,而 显然成立,
因此成立,
所以当 时,不等式也成立.
根据①②可得,不等式对任意的 都成立.
变式 用数学归纳法证明不等式： .
证明:①当时，左边 右边，不等式成立.
②假设当 时，不等式成立，即 ，
那么当 时，左边
右边，
当 时不等式也成立.
根据①②可得该不等式对所有大于1的正整数 都成立.
［素养小结］
（1）用数学归纳法证明与 有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出
不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小.对第二
种形式往往要先对取前 个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，猜出
从某个 值开始不等式都成立的结论，然后用数学归纳法证明.
（2）用数学归纳法证明不等式要注意以下两点：
①验证第一个的值时，要注意不一定为1，若为正整数 ，则
；
②证明不等式的第二步中，从到 的推导过程中，一定要用归纳假
设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法.
（3）用数学归纳法证明不等式的关键是由时成立，得 时成立，
主要方法有比较法、放缩法等.
1.归纳推理:归纳推理分为完全归纳推理和不完全归纳推理.完全归纳推理考查了
某类事物的全部对象,结论一定正确;不完全归纳推理则仅仅考查了某类事物的部
分对象,结论不一定正确.
2.多米诺骨牌
多米诺骨牌是一种用木制、骨制或塑料制成的长方体骨牌,起源于中国北宋时期,
由意大利传教士带往欧洲.多米诺骨牌的游戏规则非常简单，将骨牌按一定间距
排列,轻轻碰倒第一枚骨牌,其余的骨牌就会产生连锁反应,依次倒下.
多米诺是一种游戏,多米诺是一种运动,多米诺还是一种文化.多米诺游戏的关键
步骤是码放,骨牌准确摆放不仅是对自己负责,更是对别人负责,对全局负责,只要
有一张牌摆放的不到位就可能产生“不倒牌”而影响全局.
3.数学归纳法中的归纳奠基和归纳递推缺一不可,归纳奠基是递推的基础,归纳递
推是递推的依据,二者是一个整体,不能割裂开来.就像多米诺骨牌游戏,第一块不
倒,后面的牌肯定不倒,中间的任意一块不倒,游戏也不能继续,游戏是环环相扣的.
除了用归纳递推外,还要注意第一步是起始值的确定,最后要归纳结论,所以一定
要牢记“两个步骤一个结论”.
4.用数学归纳法证明时有一个技巧,即当 时,代入假设后再写出结论,然
后往中间“凑”.但中间的计算过程必须有,不能省略也不能含糊不清.这一步是数学
归纳法的精华所在,是阅卷老师关注的重要环节.
5.数学归纳法的实质是建立一个无穷递推机制,从而间接地验证了命题对从 开
始的所有正整数 都成立,它能证明许多与正整数有关的命题,但与正整数有关的
命题不一定要用数学归纳法证明,有些命题用数学归纳法也难以证明.
归纳推理能发现结论,数学归纳法能证明结论,二者强强联合,优势互补,能很好地
解决与正整数有关的一些问题.
例1 已知数列满足,其前项和为,且 ,求数列
的通项公式.
解:,,由,得 .
由及,得 .
同理可求得,由此猜想 .
用数学归纳法证明如下:
（1）当时,由 ,可知猜想成立.
（2）假设当时,猜想成立,即 ,
则当 时,
,
整理得,则 ,
故当 时,猜想也成立.
由（1）（2）知,对一切, 都成立.
例2 用数学归纳法证明
．
证明：（1）当时，左边，右边 ，命题成立．
（2）假设当 时，命题成立，即
，
则当 时，
左边 .
上式表明当 时，命题也成立．
由（1）（2）知，命题对一切正整数 均成立．
例3 求证： ．
证明：（1）当时，左边 右边， 不等式成立．
（2）假设当 时，不等式成立．
即 成立．
则当 时，
，
当 时，不等式成立．
由（1）（2）可知，不等式对一切且 成立.

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