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四川省内江市第一中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题
一、单选题
1．下列说法正确的是（　　）
A．我校高个子的同学能组成一个集合
B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合
C．数组成的集合中有7个元素
D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为1，2，3，4
2．命题，的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知集合，则集合的子集个数是（ ）
A．3 B．4 C．8 D．无数个
4．若用列举法表示集合，则下列表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知集合，，若，则等于（ ）
A．2 B．1或2 C．1或2或 D．
6．集合，若，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．对任意的集合A、B，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则； B．若，则；
C．若，则A、B至少有一个为空集； D．若，则A、B至多有一个为空集.
8．若，下列不等式：①；②；③；④.成立的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
9．已知集合，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
10．下列结论正确的是（ ）
A．命题“若，则”为真命题.
B．“”是“”的充分不必要条件
C．已知命题“若，则方程有实数根”，则命题的否定为真命题
D．命题“若，则且”的为真命题
11．已知，，，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
三、填空题
12．已知集合，，则
13．如果，，则的取值范围是 .
14．已知命题，命题，若命题、一真一假，则实数的取值范围为 ．
四、解答题
15．（1）比较大小：与；
（2）解不等式；
（3）解不等式.
16．已知集合
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围．
17．设全集为实数集，集合，
(1)当时，求；
(2)若命题，命题，且是的充分且不必要条件，求实数的取值范围．
18．已知关于的不等式的解集为或.
(1)求的值；
(2)当且满足时，有恒成立，求实数的取值范围.
19．如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为（单位：）、宽为（单位：）（都为正数）．
(1)现有长的钢筋网材料可供使用，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？
(3)若使用的钢筋网材料总长为，求的最小值．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C B C A B C AD ABD
题号 11
答案 AC
1．B
根据集合概念逐一判断即可.
【详解】对于A，高个子缺少判断的明确标准，不能构成集合，错误；
对于B，联合国安理会常任理事国指的是中、法、俄、英、美五国，能构成集合，正确；
对于C，因为，故数组成的集合中只有5个元素，错误；
对于D，由不大于4的自然数组成的集合的元素有0，1，2，3，4，错误.
故选：B
2．A
由全称命题的否定，将任意改为存在并否定原结论，即可得.
【详解】由全称命题的否定是特称命题，则原命题的否定为，.
故选：A
3．C
解不等式得到集合A，由集合中元素个数判断子集个数.
【详解】解不等式，得，所以，
则集合的子集个数是.
故选：C.
4．B
【详解】由解得所以.
故选：B
5．C
【详解】解：，由，可得且，
集合，
当时，，
当时，则或2，
经检验均符合要求，
故或2或，
故选：C
6．A
【详解】集合，
若，如图，有下面两种情形，
或 ，
由图可得.
故选：A.
7．B
利用为任何集合的子集，为任何非空集合的真子集，判断选项A，B，利用特殊值法结合交集定义判断选项C，利用并集定义结合含义判断选项D.
【详解】若，则是任何非空集合的真子集，当时，不是的真子集，故A错误；
因为为任何集合的子集，所以当，成立，故B正确；
当，时，，但均为非空集合，故C错误；
若，则必须且，故原表述错误，D错误.
故选：B.
8．C
对于①②③：根据不等式的性质分析判断即可；对于④：由③可知，结合不等式性质分析判断.
【详解】对于①：因为，则，所以，故①正确；
对于②：因为，则，所以，故②错误；
对于③：因为，则，
所以，故③正确；
对于④：因为，则，可得，
即，所以，故④正确；
综上所述：成立的有3个.
故选：C.
9．AD
由集合与元素的关系可判断ABD，举反例可得C.
【详解】对于A，，，故A正确；
对于B、D，，，故B错误，D正确；
对于C，当， ，，故C错误.
故选：AD.
10．ABD
对于A：把代入,即可判断；对于B：利用集合法判断； 对于C：先判断出命题为真命题，可以得到命题的否定为假命题；对于D：直接判断.
【详解】对于A：把代入成立，
所以命题“若，则”为真命题.故A正确；
对于B：由解得：.而是的真子集,
所以“”是“”的充分不必要条件.故B正确；
对于C：因为，所以，所以方程有实数根.
故命题为真命题，所以命题的否定为假命题.故C错误；
对于D：因为，所以且.故D正确.
故选：ABD
11．AC
根据题意，由基本不等式即可判断选项A；结合“1”的妙用及基本不等式即可判断选项B；由，结合B选项的结论即可判断选项C；先部分通分，结合“1”的妙用，再用基本不等式，且注意等号是否可以取到，进而即可判断选项D．
【详解】由，，，
对于选项A，由，即，
所以，当且仅当，即，时等号成立，即的最大值为，故A正确；
对于选项B，由，
当且仅当，即，时等号成立，即的最小值为9，故B错误；
对于选项C，由B选项可知，，所以，
当且仅当，时等号成立，即的最大值为，故C正确；
对于选项D，由，
则，当且仅当，即且时等号成立，
联立，整理得到，由，则，无实数解，
所以等号取不到，即，即的最小值不是2，故D错误．
故选：AC．
12．
根据交集的定义求解即可.
【详解】因为，，
所以.
故答案为：.
13．
根据同向不等式的运算规则，计算不等式的范围.
【详解】,
,
又,
,
两式相加得,
故答案为:.
14．或
先求出命题、分别为真命题时实数的取值范围，然后分真假，或假真两种情况可求得结果.
【详解】由命题为真命题，得，解得，
由命题为真命题，得，解得，
因为命题、一真一假，所以真假，或假真，
当真假时，，得，
当假真时，，得，
综上，或.
故答案为：或.
15．
（1）（2）或（3）
（1）利用作差法即可比较大小；
（2）直接因式分解法解一元二次不等式即可；
（3）移项通分，然后转化为一元二次不等式即可.
【详解】（1）， 所以；
（2）或；
所以不等式的解集为或；
（3）,
所以不等式的解集为
16．(1)
(2)
（1）根据集合的补集定义进行求解即可；
（2）根据交集的定义，子集的性质进行求解即可.
【详解】（1）因为，则，
所以；
（2）因为，则，
所以，
所以实数的取值范围为
17．(1)
(2)
（1）首先解一元二次不等式求出集合，再根据并集的定义计算可得；
（2）依题意可得集合是集合的真子集，即可得到不等式组，解得即可.
【详解】（1）由可得，解得，
所以，
当时，，
所以；
（2）由（1）知，而必为非空集合，
因为是的充分不必要条件，则集合是集合的真子集，
所以（等号不同时成立），解得．
18．(1)
(2)
（1）得到为方程的两个根，由韦达定理求出答案；
（2）在（1）的基础上，利用基本不等式“1”的妙用得到，只需，求出答案.
【详解】（1）由题意得为方程的两个根，
则，解得；
（2）由（1）得，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
要想恒成立，只需，解得，
故实数的取值范围是.
19．(1)长为，宽为
(2)每间虎笼的长设计为、宽设计为时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小，最小值为．
(3)．
【详解】（1）由题得，即，，，
设每间虎笼的面积为，则，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，即，
所以每间虎笼的长为，宽为时，可使每间虎笼面积最大，最大为．
（2）由题意可得，，，设钢筋网总长为，则，
因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以每间虎笼的长设计为、宽设计为时，
可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小，最小值为．
（3）依题意，得．
方法一： ，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．
方法二：，则，，
当且仅当时等号成立．
故，当且仅当时等号成立．
所以的最小值为．

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