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6.2　函数的极值
第1课时　导数与函数的极值
【课前预习】
知识点一
1.小于　极大值点　极大值
2.大于　极小值点　极小值　3.极值点　极值
诊断分析
(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√
知识点二
3.(1)极大值点　(2)极小值点　(3)不是　不一定
诊断分析
1.1　2.(1)√　(2)√
【课中探究】
探究点一
例1　(1)AD　(2)D　[解析] (1) 由f'(x)的图象可知,A正确;f'(x)在-1附近的符号相同,所以f(x)在x=-1处无极值,B错误;由题图可知,f'(x)的函数值在上先大于0,后小于0,故f(x)在上不是单调递减的,C错误;在[-2,-1]上f'(x)>0,所以函数f(x)在[-2,-1]上单调递增,D正确.故选AD.
(2)由f(x)的图象知,当10,故A中说法正确;当x<1时,函数f(x)单调递减,当x>4时,f(x)也单调递减,所以当x<1或x>4时,f'(x)<0,故B中说法正确;当x=1或x=4时,函数f(x)分别取得极小值和极大值,此时,f'(x)=0,故C中说法正确;函数f(x)在x=4处取得极大值,故D中说法错误.故选D.
变式　(1)D　(2)B　[解析] (1)对于A,由题图可知x=2是g(x)的零点,不一定是f'(x)的零点,也不一定为f(x)的零点,故A错误;对于B,当10,当x>2时,g(x)=(x-2)f'(x)>0,故f'(x)>0,故x=2不是f(x)的极大值点,故B错误;对于C,易知f'(1)=0,当-20,故f'(x)<0,当10,故x=1是f(x)的极小值点,故C错误;对于D,易知f'(-2)=0,当x<-2时,(x-2)f'(x)<0,故f'(x)>0,当-20,故f'(x)<0,故x=-2是f(x)的极大值点,故D正确.故选D.
(2)由题图可知,当x∈(-∞,-4)时,xf'(x)-1>-1,则f'(x)<0,即f(x)在(-∞,-4)上单调递减;当x∈(-4,0)时,xf'(x)-1<-1,则f'(x)>0,即f(x)在(-4,0)上单调递增;当x∈(0,4)时,xf'(x)-1>-1,则f'(x)>0,即f(x)在(0,4)上单调递增;当x∈(4,+∞)时,xf'(x)-1<-1,则f'(x)<0,即f(x)在(4,+∞)上单调递减.所以f(x)在x=-4处取得极小值,在x=4处取得极大值,故f(x)极值点的个数为2.故选B.
探究点二
例2　B　[解析] 由已知得,f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=3x-=,令f'(x)=0,得x=或x=-(舍去).当x>时,f'(x)>0;当0变式　C　[解析] 函数y=x+2cos x的导数为y'=1-2sin x,令y'=1-2sin x=0得sin x=,因为x∈,所以x=.当x∈时,y'>0,当x∈时,y'<0,所以函数y=x+2cos x在上单调递增,在上单调递减,所以函数y=x+2cos x,x∈的极大值点为.故选C.
探究点三
例3　解:(1)f(x)=x2-4ln x的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x-,令f'(x)=0,解得x=或x=-(舍去),
当x变化时,f(x),f'(x)的变化情况如下表:
x (0,) (,+∞)
f'(x) - 0 +
f(x) ↘ 极小值 ↗
∴函数f(x)的极小值为f()=2-2ln 2,无极大值.
(2)∵f(x)=x3+ax2+bx+4,∴f'(x)=3x2+2ax+b.
依题意可得f'(1)=0,f(1)=,即解得
故f(x)=x3-x2-2x+4,f'(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1).
令f'(x)=0,得x=-或x=1.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x - 1 (1,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴函数f(x)的另一个极值在x=-处取得,是极大值,极大值为f=.
变式　解:(1)由题意可得f'(x)=(x2+2x)ex,由f'(x)>0,得x<-2或x>0,由f'(x)<0,得-2(2)f(x)的定义域是(0,+∞),f'(x)==,令f'(x)=0,解得x=.
所以当x∈(0,)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.所以f(x)的极大值为f()==.6.2　函数的极值
第1课时　导数与函数的极值
1.C　[解析] 由题图得f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,∴x=2是函数f(x)的极小值点.故选C.
2.D　[解析] y=ex与y=ln x都是增函数,均不存在极值;y=在定义域上的图象不是一条连续曲线,且当x>0时,y'=-<0,y=单调递减,当x<0时,y'=-<0,y=单调递减,故不存在极值;由二次函数的图象和性质可知,y=x2-2x存在极值.故选D.
3.A　[解析] 由导函数f'(x)的图象知,导函数f'(x)在(a,b)内的图象与x轴有四个交点,从左到右,设交点依次为x1,x2,x3,x4.在x=x1附近,导数左正右负,是极大值点;在x=x2附近,导数左负右正,是极小值点;在x=x3附近,导数左正右正,没有变号,所以不是极值点;在x=x4附近,导数左正右负,是极大值点.所以函数f(x)在区间(a,b)内的极小值点有1个,故选A.
4.C　[解析] 函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=3x-2-=.令f'(x)>0,得x>1;令f'(x)<0,得05.D　[解析] 由题图可知,当x<-2时,y>0,1-x>0,则f'(x)>0,故f(x)在(-∞,-2)上单调递增;当-20,则f'(x)<0,故f(x)在(-2,1)上单调递减;当10,1-x<0,则f'(x)<0,故f(x)在(1,2)上单调递减;当x>2时,y<0,1-x<0,则f'(x)>0,故f(x)在(2,+∞)上单调递增.故函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值,即函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2).故选D.
6.A　[解析] 由题得f'(x)=-1(x>0),∴f'(1)=2f'(1)-1,即f'(1)=1,∴f(x)=2ln x-x,f'(x)=-1(x>0),易知当x∈(0,2)时,f'(x)>0,当x∈(2,+∞)时,f'(x)<0,∴x=2是f(x)的极大值点,故f(x)极大值=f(2)=2ln 2-2,故选A.
7.BC　[解析] 根据g(x)=xf'(x)的图象可得,当x<-2时,g(x)=xf'(x)>0,可得f'(x)<0,即f(x)单调递减;当-20,即f(x)单调递增;当01时,g(x)=xf'(x)>0,可得f'(x)>0,即f(x)单调递增.因此f(x)在x=-2和x=1处取得极小值,在x=0处取得极大值,f(x)共有3个极值点,故A错误,B,C正确;f(-1)不是函数f(x)的极小值,故D错误.故选BC.
8.BCD　[解析] 函数f(x)=的定义域为(0,+∞),f'(x)=.
令f'(x)=0,解得x=e.当x在(0,+∞)上变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x (0,e) e (e,+∞)
f'(x) + 0 -
f(x) ↗ 极大值 ↘
对于A,f(x)的单调递增区间为(0,e),故A错误;对于B,由上表可知,f(x)的极大值为f(e)=,故B正确;对于C,f(x)的极大值点为x=e,故C正确;对于D,因为f(x)的单调递增区间为(0,e),且0<<<29.1　[解析] 由f(x)=x2-ln x,x∈(0,+∞),得f'(x)=x-=,令f'(x)=0,得x=1.当01时,f'(x)>0,f(x)单调递增.故x=1是f(x)的极小值点.
10.0　[解析] 由f(x)=x3+3x2-4,得f'(x)=3x2+6x=3x(x+2),令f'(x)=0,则x=0或x=-2,
所以f(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上单调递增,在(-2,0)上单调递减,所以f(x)的极大值为f(-2)=-8+12-4=0.
11.π　[解析] 由题意得f'(x)=-sin x,当00,f(x)单调递增;当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增.所以M=f=×+cos=,N=f=×+cos=,则M+N=+=.
12.①③　[解析] ∵函数f(x)=xln x+x2(x>0),∴f'(x)=ln x+x+1,∴f'=>0,当x趋于0时,f'(x)趋于-∞,易得f'(x)=ln x+x+1在(0,+∞)上是增函数,又x0是函数f(x)的极值点,即f'(x0)=0,∴013.解:f'(x)==(0≤x≤2π),令f'(x)=0,得x+=或x+=,解得x=或x=.当0≤x<时,f'(x)>0,f(x)在上单调递增;当0,f(x)在上单调递增.故f(x)的极大值点为x=,极小值点为x=.
14.解:(1)由f(x)=x3+x2+ax可得f'(x)=x2+2x+a,
因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于直线y=0,所以f'(1)=0,
即12+2×1+a=0,解得a=-3.
(2)由(1)知f(x)=x3+x2-3x,f'(x)=x2+2x-3=(x+3)(x-1).
令f'(x)=(x+3)(x-1)>0,解得x>1或x<-3,
令f'(x)=(x+3)(x-1)<0,解得-3故f(x)的单调递增区间是(-∞,-3)和(1,+∞),单调递减区间是(-3,1).
则f(x)的极大值为f(-3)=×(-3)3+(-3)2-3×(-3)=9,
极小值为f(1)=+1-3=-.
15.①②　[解析]①当x∈(-1,0)时,cos x<1,>1,所以f(x)=cos x-<0,故①正确.②由题意得f'(x)=-sin x+,令p(x)=-sin x+,x≠-1,则p'(x)=-cos x-,当x∈时,p'(x)<0,所以f'(x)单调递减.因为f'(0)=1>0,f'=-1+<0,所以存在x∈,使得f'(x)=0成立,所以函数f'(x)在上只有一个零点,故②正确.
③由②知函数f'(x)在上单调递减,且只有一个零点,设该零点为x0,则x0∈,所以当x∈(-1,x0)时,f'(x)>0,当x∈时,f'(x)<0,所以f(x)在(-1,x0)上单调递增,在上单调递减,所以x0为f(x)在上的唯一极值点,且为极大值点,故③错误.故填①②.
16.解:(1)由题可知f'(x)=ex+xex-1=ex(x+1)-1,令f'(x)=0,即ex(x+1)=1,得x=0.当x<0时,00时,ex>1,x+1>1,∴ex(x+1)-1>0,即f'(x)>0,
∴函数f(x)的单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,+∞).
(2)函数g(x)=f(x)-x2=xex-x-x2,∴g'(x)=ex+xex-1-x=(ex-1)(x+1),令g'(x)=0,即(ex-1)(x+1)=0,解得x=0或x=-1,当x∈(-∞,-1)时,g'(x)>0;当x∈(-1,0)时,g'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0.故g(x)在(-∞,-1),(0,+∞)上单调递增,在(-1,0)上单调递减,∴g(x)的极大值为g(-1)=-,极小值为g(0)=0.6.2　函数的极值
第1课时　导数与函数的极值
【学习目标】
1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值.
◆ 知识点一　函数极值的定义
1.如图(1),在包含x0的一个区间(a,b)上,函数y=f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都
　　　　点x0处的函数值,称点x0为函数y=f(x)的　　　　　　,其函数值f(x0)为函数的　　　　.
2.如图(2),在包含x0的一个区间(a,b)上,函数y=f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都
　　　　点x0处的函数值,称点x0为函数y=f(x)的　　　　　　,其函数值f(x0)为函数的　　　　.
3.函数的极大值点与极小值点统称为　　　,极大值与极小值统称为　　　　.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的极小值点就是函数图象上相对最低的点. (　 )
(2)一个函数的极大值一定大于极小值. (　 )
(3)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点. (　 )
(4)函数的极小值和极大值各只有一个. (　 )
(5)若函数f(x)在(a,b)上有极值,则f(x)在(a,b)上不是单调函数. (　 )
◆ 知识点二　求函数极值点的步骤
一般地,可以通过如下步骤求出函数y=f(x)的极值点:
1.求出导数f'(x).
2.解方程f'(x)=0.
3.对于方程f'(x)=0的每一个实数根x0,分析f'(x)在x0附近的符号(即f(x)的单调性),确定极值点:
(1)若f'(x)在x0附近的符号“左正右负”,则x0为　　　　　　;
(2)若f'(x)在x0附近的符号“左负右正”,则x0为　　　　　　;
(3)若f'(x)在x0附近的符号相同,则x0　　　　极值点.
设x0是f(x)的一个极值点,并求出了f(x)的导数f'(x0),则f'(x0)=0.反之　　　　成立.
【诊断分析】 1.若函数f(x)的定义域为(a,b),f(x)的导函数f'(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在(a,b)内有　　　　个极小值点.
2.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)可导函数在极值点处的导数必为0.(　 )
(2)图象是一条连续曲线的函数的极大值点与极小值点交替出现,间隔排列. (　 )
◆ 探究点一　函数极值点和极值的概念
例1 (1)(多选题)已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则下列说法正确的是(　 )
A.导函数f'(x)在x=处有极小值
B.函数f(x)在x=-1处有极大值
C.函数f(x)在上单调递减
D.函数f(x)在[-2,-1]上单调递增　
(2)设f'(x)是函数f(x)的导函数,若函数f(x)的图象如图所示,则下列说法错误的是(　 )
A.当10
B.当x<1或x>4时,f'(x)<0
C.当x=1或x=4时,f'(x)=0
D.函数f(x)在x=4处取得极小值
变式 (1)函数f(x)的导函数为f'(x),函数g(x)=(x-2)f'(x)的图象如图所示,则下列说法正确的是 (　 )
A.x=2是f(x)的零点
B.x=2是f(x)的极大值点
C.x=1是f(x)的极大值点
D.x=-2是f(x)的极大值点
(2)[2023·河北秦皇岛高二期末] 已知f'(x)是函数f(x)的导函数,若函数y=xf'(x)-1的大致图象如图所示(x,y轴比例不相同),则f(x)极值点的个数为 (　 )
A.1　　 　B.2　　　 C.3　　　D.4
[素养小结]
1.极大值不一定大于极小值,极小值不一定小于极大值;
2.一个函数在一个区间上可以有多个极值点.
◆ 探究点二　求函数的极值点
例2 函数f(x)=x2-ln x的极值点为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C.- D.,-
变式 函数y=x+2cos x,x∈的极大值点为 (　 )
A.0 B. C. D.
[素养小结]
在求函数的极值点时,一定要注意检查极值点是否在函数的定义域内或者在给定的区间内.
◆ 探究点三　求函数的极值
例3 (1)求函数f(x)=x2-4ln x的极值.
(2)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+4在x=1处取得极值,求函数f(x)的另一个极值.
变式 (1)求f(x)=x2ex+2的极小值.
(2)求函数f(x)=的极大值.
[素养小结]
求函数f(x)的极值的步骤:
(1)求导数f'(x),令f'(x)=0,求方程的根;
(2)列表,判断极大值点和极小值点;
(3)求极值.6.2　函数的极值
第1课时　导数与函数的极值
一、选择题　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.若函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则关于函数f(x)的说法正确的是(　 )
A.x=1是f(x)的极小值点
B.x=0是f(x)的极小值点
C.x=2是f(x)的极小值点
D.f(x)在(1,2)上单调递增
2.下列函数中存在极值的为 (　 )
A.y=ex B.y=ln x
C.y= D.y=x2-2x
3.[2023·江西宜春东煌中学高二月考] 函数f(x)的定义域为(a,b),导函数f'(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在(a,b)内极小值点的个数是 (　 )
A.1 B.2
C.3 D.4
4.已知函数f(x)=x2-2x-ln x,则f(x)的极小值为 (　 )
A. B.1
C.- D.-2
5.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(1-x)f'(x)的图象如图所示,则下列结论中正确的是 (　 )
A.函数f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递减
B.函数f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)
D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
6.已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x)=2f'(1)·ln x-x,则f(x)的极大值为 (　 )
A.2ln 2-2 B.2ln 2+2
C.ln 2-2 D.ln 2+2
7.(多选题)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数g(x)=xf'(x)的图象如图所示,则下列结论中正确的是 (　 )
A.f(x)有两个极值点
B.f(0)是函数f(x)的极大值
C.f(x)有两个极小值
D.f(-1)是f(x)的极小值
8.(多选题)已知函数f(x)=,则 (　 )
A.f(x)的单调递增区间为(-∞,e)
B.f(x)的极大值为
C.f(x)的极大值点为x=e
D.f()二、填空题
9.函数f(x)=x2-ln x的极值点是　　　　.
10.[2023·江西赣州全南中学高二期末] 函数f(x)=x3+3x2-4的极大值为　　　　　　.
11.函数f(x)=x+cos x在(0,π)上的极大值为M,极小值为N,则M+N=　　　　.
12.已知函数f(x)=xln x+x2,且x0是函数f(x)的极值点.给出以下结论:
①0;
③f(x0)+x0<0;④f(x0)+x0>0.
其中正确的结论是　　　　.(填出所有正确结论的序号)
三、解答题
13.求函数f(x)=(x∈[0,2π])的极值点.
14.[2023·江西彭泽二中高二期末] 已知函数f(x)=x3+x2+ax(a∈R),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于直线y=0.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的极值.
15.已知函数f(x)=cos x-,f'(x)为f(x)的导函数,则下列结论正确的是　　　　. (填序号)
①当x∈(-1,0)时,f(x)<0;
②函数f'(x)在上只有一个零点;
③函数f(x)在上存在极小值点.
16.已知函数f(x)=xex-x.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数g(x)=f(x)-x2,求函数g(x)的极值.(共32张PPT)
6.2 函数的极值
第1课时 导数与函数的极值
探究点一 函数极值点和极值的概念
探究点二 求函数的极值点
探究点三 求函数的极值
【学习目标】
1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值.
知识点一 函数极值的定义
1.如图（1），在包含的一个区间上，函数在任何不为 的一点
处的函数值都______点处的函数值，称点为函数 的__________，
其函数值 为函数的________.
小于
极大值点
极大值
2.如图（2），在包含的一个区间上，函数在任何不为 的一点
处的函数值都______点处的函数值，称点为函数 的__________，
其函数值 为函数的________.
大于
极小值点
极小值
3.函数的极大值点与极小值点统称为________，极大值与极小值统称为______.
极值点
极值
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数的极小值点就是函数图象上相对最低的点.( )
×
（2）一个函数的极大值一定大于极小值.( )
×
（3）函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.( )
√
（4）函数的极小值和极大值各只有一个.( )
×
（5）若函数在上有极值,则在 上不是单调函数.( )
√
知识点二 求函数极值点的步骤
一般地,可以通过如下步骤求出函数 的极值点:
1.求出导数 .
2.解方程 .
3.对于方程的每一个实数根，分析在 附近的符号
（即 的单调性），确定极值点：
（1）若在附近的符号“左正右负”，则 为__________；
（2）若在附近的符号“左负右正”，则 为__________；
极大值点
极小值点
（3）若在附近的符号相同，则 ______极值点.
设是的一个极值点，并求出了的导数，则 .反之
_________成立.
不是
不一定
【诊断分析】
1.若函数的定义域为,的导函数在 内的图象如图所示,则
函数在 内有___个极小值点.
1
2.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）可导函数在极值点处的导数必为0.( )
√
（2）图象是一条连续曲线的函数的极大值点与极小值点交替出现,间隔排列. ( )
√
探究点一 函数极值点和极值的概念
例（1）图
例1（1） （多选题）已知函数的导函数
的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
AD
A.导函数在 处有极小值
B.函数在 处有极大值
C.函数在上单调递减
D.函数在 上单调递增
[解析] 由的图象可知，A正确；
在附近的符号相同，所以 在处无极值，B错误；
由题图可知，的函数值在 上先大于0，后小于0，
故在上不是单调递减的，C错误；
在上 ，所以函数在上单调递增，D正确.故选 .
例（2）图
（2）设是函数的导函数，若函数 的图象如
图所示，则下列说法错误的是( )
D
A.当时，
B.当或时，
C.当或时，
D.函数在 处取得极小值
[解析] 由的图象知，当时，函数单调递增，所以 ，
故A中说法正确；
当时，函数单调递减，当时， 也单调递减，
所以当或时，，故B中说法正确；
当或 时，函数分别取得极小值和极大值，此时，，
故C中说法正确；
函数 在 处取得极大值，故D中说法错误.故选D.
变式（1） 函数的导函数为 ，函数
的图象如图所示，则下列说法正确
的是( )
D
A.是 的零点
B.是 的极大值点
C.是 的极大值点
D.是 的极大值点
[解析] 对于A，由题图可知是的零点，不一定是 的零点，也不一
定为的零点，故A错误；
对于B，当时， ,故,
当时，，故，
故 不是的极大值点，故B错误；
对于C，易知，当 时，，故，
当时， ，故，故是的极小值点，
故C错误；
对于D，易知 ，当时，，故，
当 时，，故，故是 的极大值点，
故D正确.故选D.
（2）[2023·河北秦皇岛高二期末]已知 是函数
的导函数，若函数 的大致图象如图
所示，轴比例不相同，则 极值点的个数为
( )
B
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 由题图可知，当时，,则，即
在上单调递减；
当时，,则 ，即在上单调递增；
当时，,则 ，即在上单调递增；
当时，,则 ，即在上单调递减.
所以在处取得极小值，在 处取得极大值，
故 极值点的个数为2.故选B.
［素养小结］
1.极大值不一定大于极小值，极小值不一定小于极大值；
2.一个函数在一个区间上可以有多个极值点.
探究点二 求函数的极值点
例2 函数 的极值点为( )
B
A. B. C. D.，
[解析] 由已知得，的定义域为，且 ，令
，得或（舍去）.
当时，；当 时，
当时，取得极小值，故的极小值点为 ，
无极大值点，故选B.
变式 函数，的极大值点为( )
C
A.0 B. C. D.
[解析] 函数的导数为，令 得
，因为，所以.
当时，，当 时，，
所以函数在上单调递增，在 上单调递减，
所以函数，的极大值点为 .故选C.
［素养小结］
在求函数的极值点时,一定要注意检查极值点是否在函数的定义域内或者在给定
的区间内.
探究点三 求函数的极值
例3（1） 求函数 的极值.
解：的定义域为，，令 ，解得
或 （舍去），
当变化时，， 的变化情况如下表：
- 0
极小值
函数的极小值为 ，无极大值.
（2）已知函数在处取得极值,求函数 的另
一个极值.
解：, .
依题意可得,,即解得
故, .
令，得或 .
当变化时,, 的变化情况如下表:
1
0 - 0
极大值 极小值
函数的另一个极值在处取得,是极大值,极大值为 .
变式（1） 求 的极小值.
解:由题意可得，由，得或 ，
由，得，则函数在和 上单调递增，
在上单调递减，则函数的极小值是 .
（2）求函数 的极大值.
解:的定义域是，，令 ，解得 .
所以当时,,单调递增；
当时,, 单调递减.
所以的极大值为 .
［素养小结］
求函数 的极值的步骤:
（1）求导数,令 ,求方程的根;
（2）列表,判断极大值点和极小值点;
（3）求极值.
1.在函数的极值的定义中,一定要明确函数在 及其附近有定义.
2.函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的,是一个局部概念,在函数的
整个定义域内可能有多个极值,也可能无极值，而且极小值未必小于极大值.
仅是函数在处有极值的必要条件,当且仅当在 附近的
左、右两侧的符号产生变化时，是 的极值点.
3.由极值的定义可知,极值只是某个点处的函数值与它附近点的函数值相比较,该
点处的函数值是最大的或最小的,并不意味着在函数的整个定义域内,该点处的函
数值是最大的或最小的.
例1 已知函数的导函数 的图象如图所示，则( )
A
A.函数 有1个极大值点，1个极小值点
B.函数 有2个极大值点，2个极小值点
C.函数 有2个极大值点，3个极小值点
D.函数 有1个极大值点，3个极小值点
[解析] 由极值点的定义及题图可知，是函数的极大值点，是函数
的极小值点，， 不是极值点.故选A.
例2 如图，已知直线 与曲线
相切于，两点，设， 两点的横
坐标分别为，，函数 ，则下列
说法中错误的是( )
C
A.有极大值，也有极小值 B.是 的极小值点
C.是的极大值点 D.是 的极大值点
[解析] 由题可得 .
由题图可知，当时，，故，在 上单
调递减；
当时，，故，在 上单调递增；
当时，，故，在 上单调递减；
当时，，故，在 上单调递增.
故在处取得极小值，在处取得极大值，在 处取得极小值.
故A,B,D中说法正确，C中说法错误.故选C.
例3 已知函数为自然对数的底数 ，则下列说法正确的
是( )
C
A.在上只有一个极值点 B.在 上没有极值点
C.在处取得极值 D.在 处取得极值
[解析] 由函数 ，得
，
令，则 ，
所以当时，，单调递减，
当 时，， 单调递增，
所以 ，
由于，所以，所以在 上存在一个零点，
设为，所以函数至少存在和 两个极值点，故A，B错误，C正
确;
由知,不是 的极值点，故D错误.故选C.
例4 已知函数 ．
（1）求曲线在点 处的切线方程；
解：由，得 ，
则， ，
所以切线方程为，即 .
（2）求函数 在定义域内的极值．
解：由题意可知，的定义域为.由 ，
得，令,解得或.
当 变化时，, 的变化情况如下表：
1
0 - 0
极大值 极小值
因此，当时，有极大值，极大值为；当 时，
有极小值，极小值为 .

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