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7.2　实际问题中的最值问题
【课前预习】
知识点一
最优化
知识点二
(1)函数模型　(2)f'(x)=0
【课中探究】
探究点一
例1　解:(1)当a=80时,b=80,纸盒的底面是正方形,其边长为(80-2x)厘米,周长为(320-8x)厘米.
所以纸盒的侧面面积S(x)=(320-8x)x=-8x2+320x(平方厘米),其中x∈(0,40).
S'(x)=-16x+320,
令S'(x)=0,得x=20,
所以当00,可知S(x)在区间(0,20)上单调递增,
当20则S(x)在(0,40)上的最大值为S(20)=3200,
所以纸盒侧面面积的最大值为3200平方厘米.
(2)纸盒的体积V(x)=(a-2x)(b-2x)x(立方厘米),其中x∈,a≥b>0,且ab=6400,则a≥80≥b>0.
因为(a-2x)(b-2x)=ab-2(a+b)x+4x2≤ab-4x+4x2=4(x2-80x+1600),
当且仅当a=b=80时取等号,
所以V(x)≤4(x3-80x2+1600x),x∈,且 (0,40).
记f(x)=4(x3-80x2+1600x),x∈(0,40),
则f'(x)=4(3x-40)(x-40),
令f'(x)=0,得x=,列表如下:
x
f'(x) + 0 -
f(x) 单调递增 极大值 单调递减
由上表可知,f(x)的极大值是f=,也是最大值.
所以V(x)≤f(x)≤,当且仅当a=b=80,且x=时,等号同时成立,故要使纸盒的体积最大,则a=b=80,x=,纸盒的最大体积为立方厘米.
变式　解:(1)连接OB,∵AB=x,∴OA=.设圆柱的底面半径为r,则=2πr,即4π2r2=900-x2,
∴V=πr2x=π··x=,其中0(2)由(1)知V'=,由V'=0,得x=10.
易知V=在(0,10)上单调递增,在(10,30)上单调递减,∴当x=10时,V取得最大值.
探究点二
例2　解:(1)由题意知g(x)=-x3+ax2+x-2-x,x∈(0,8],即g(x)=-x3+ax2-2,x∈(0,8].
当x=2时,g(2)=-1+a-2=1.5,解得a=2,
故g(x)=-x3+x2-2,x∈(0,8].
(2)由(1)知g'(x)=-x2+x=-x(x-6),
则当x∈(0,6)时,g'(x)>0,当x∈(6,8]时,g'(x)<0,
所以函数g(x)在(0,6)上单调递增,在(6,8]上单调递减,
所以当x=6时,利润取得最大值,最大值为g(6)=11.5(万元).所以每年种植6万千克莲藕时,利润最大,最大利润为11.5万元.
变式　解:(1)因为每件产品的售价为40元时,该产品一年的销售量为500万件,
所以=500,解得k=500·e40.
(2)由题意知,L(x)=(x-30-5)×(35≤x≤41),
即L(x)=(35≤x≤41).
(3)L'(x)==,
令L'(x)<0,得360,得35≤x<36,
所以L(x)在区间[35,36]上单调递增,在区间[36,41]上单调递减,
则当x=36时,L(x)取得最大值,最大值为L(36)=500e4,
所以当每件产品的售价为36元时,分公司一年的利润L(x)最大,L(x)的最大值为500e4.
探究点三
例3　D　[解析] 设箱底一边的长度为x m,箱子的总造价为l元,根据题意,得l=15×+12×2=240+72(x>0),可得l'=72.令l'=0,解得x=4或x=-4(舍去),则当04时,l'>0,故当x=4时,l有最小值816.因此,当箱底是边长为4 m的正方形时,箱子的总造价最低,最低总造价为816元.故选D.
例4　C　[解析] 设水箱的底面边长为x m,高为h m,则有x2h=256,所以h=.设所用材料的面积为S m2,则有S=4x·h+x2=4x·+x2=+x2,所以S'=2x-,令S'=0,得x=8,当x∈(0,8)时,S'<0,当x∈(8,+∞)时,S'>0,则当x=8时S取得最小值.因此当h==4,即水箱的高为4 m时,所用材料最省.故选C.
变式　(1)A　(2)A　[解析] (1)设泳池维修的总费用为y元,则由题意得y=1250×150+kx+(0x>25时,y'>0.故当x=25时,y有最小值.因此,当较短池壁的长度为25 m时,泳池的总维修费用最低.故选A.
(2)w'(v)==,当18≤v≤30时,w'(v)>0,所以w(v)在[18,30]上单调递增,
所以当v=18时,w(v)取得最小值,此时燃料费最低.故选A.7.2　实际问题中的最值问题
1.C　[解析] 由题意知y'=-x2+81,所以当x>9时,y'<0;当00.所以函数y=-x3+81x-234在(9,+∞)上单调递减,在(0,9)上单调递增,所以当x=9时,函数取得极大值,也是最大值,所以当年产量为9万件时,该生产厂家获得最大年利润.故选C.
2.A　[解析] 设利润为y,则y=y1-y2=17x2-(2x3-x2)=-2x3+18x2(x>0),所以y'=-6x2+36x=-6x(x-6).令y'=0,解得x=0(舍去)或x=6,经检验知,当x=6时,函数取得极大值,也是最大值,所以该产品应生产6千台,故选A.
3.C　[解析] 设半圆的半径为x,矩形的长为h,则S=x2+2hx,h=-x,∴窗户的周长L(x)=πx+2x+2h=+2x+x,∴L'(x)=2+-.由L'(x)=0,得x=,可得当x∈时,L'(x)<0,L(x)单调递减,当x∈时,L'(x)>0,L(x)单调递增,∴当x=时,L(x)取得最小值,故选C.
4.C　[解析] 设楼房每平方米的平均综合费用为y元,依题意可得y=560+48x+=560+48x+(x≥10,x∈N*).设f(x)=560+48x+(x≥0),则f'(x)=48-.令f'(x)=0,可得x=15,可知当x>15时,f'(x)>0;当10≤x<15时,f'(x)<0.则当x=15时,y取得最小值.故选C.
5.B　[解析] 设对B商品的投资为x千元(0≤x≤5),则对A商品的投资为(5-x)千元,记获得的总收益为S(x)千元.由题意可得,S(x)=2(5-x)+5ln(2x+1)=5ln(2x+1)-2x+10(0≤x≤5),故S'(x)=-2=.则当0≤x<2时,S'(x)>0,函数S(x)在[0,2)上单调递增;当26.C　[解析] 如图所示,设A(x,y),x∈(0,),则y=4-2x2,矩形的面积可表示为S(x)=2xy=2x(4-2x2)=8x-4x3,可得S'(x)=8-12x2.令S'(x)=8-12x2=0,可得x=.易知当00,S(x)单调递增;当7.ABC　[解析] 设圆柱的底面圆的半径为r,圆柱的高为h,则由题意可知2r+h=m(m为定值,m>0),因为h>0,所以00,当8.BC　[解析] 设剪掉的正方形边长为x,则折成的长方体的外接球直径的平方f(x)=(16-2x)2+(t-2x)2+x2,求导得f'(x)=18x-64-4t.令f'(x)=0,可得18x=64+4t,即x=.由16-2x>0,并结合题意可得x∈(0,8),所以0<<8,又t>16,所以169.3　12.5　[解析] 设加工x万千克棉花时的纯利是p(x)万元,则p(x)=g(x)-1-0.8x=-0.1x3+0.625ax2+0.8x-1-0.8x=-0.1x3+0.625ax2-1(x>0).由题意得p(2)=5.7,解得a=3,∴p(x)=-0.1x3+1.875x2-1,p'(x)=-0.3x2+3.75x=x(-0.3x+3.75).由p'(x)=0,得x=12.5或x=0(舍去),则当00,p(x)单调递增;当x>12.5时,p'(x)<0,p(x)单调递减.故当x=12.5时,p(x)取得最大值.
10.6　[解析] 设每瓶饮料获得的利润为f(r)(单位:分),依题意得f(r)=0.4×-1.6πr2=,则当r>3时f(r)>0,结合实际情况可知30,f(r)单调递增,所以当r=6时,f(r)取得最大值.
11.15 000　[解析] 设每次进书x千册(00.故当x=15时,y取得最小值,则该书店分10次进货,每次进15 000册书,可使所付的手续费与库存费之和最少.
12.　[解析] 设圆内接等腰三角形的底边长为2x,由题知底边上的高为h,则x2=R2-(h-R)2=h(2R-h).因为△ABC的面积S=xh,所以S2=x2h2=h3(2R-h)=-h4+2Rh3(00,函数f(h)在上单调递增;当13.解:(1)卖出x万个冰淇淋的利润g(x)(单位:万元)满足g(x)=-x3+ax2+x-2-x,x∈(0,8],
即g(x)=-x3+ax2-2,x∈(0,8],令x=2,得g(2)=-4+9a-2=12,解得a=2,
故g(x)=-x3+x2-2,x∈(0,8].
(2)g'(x)=-x2+9x=-x(x-6),
当x∈(0,6)时,g'(x)>0,当x∈(6,8]时,g'(x)<0,
∴函数g(x)在(0,6)上单调递增,在(6,8]上单调递减,
∴当x=6时,g(x)取得最大值g(6)=52,故这笔订单中冰淇淋的数量为6万个时这家工厂获得的利润最大,最大利润为52万元.
14.解:(1)设包装盒的高为h cm,底面边长为a cm,则a=x,h=(60-2x)=(30-x),0(2)由V(x)=2(-x3+30x2),可得V'(x)=6x(20-x).则当x∈(0,20)时,V'(x)>0;当x∈(20,30)时,V'(x)<0.所以V(x)在(0,20)上单调递增,在(20,30)上单调递减,所以当x=20时,V(x)取得极大值,也是最大值,为8000.故当x=20时,包装盒的容积V(x)最大.
15.A　[解析] 依题意知,当变化x秒时,底面半径为(10-x)cm,长度为(d+40x)cm,设体积为f(x) cm3,则f(x)=π(10-x)2(d+40x).由4≤10-x≤10,可得0≤x≤6.f'(x)=2π(x-10)(40x+d)+40π(x-10)2=2π(x-10)(60x+d-200),令f'(x)=0,可得x=10(舍去)或x=.∵“定海神针”的底面半径为7 cm时,其体积最大,∴x=3为f(x)的一个极大值点,也是最大值点,∴=3,∴d=20.故选A.
16.　R　[解析] 设圆柱的高为h.由题意知球的体积V1=πR3.当圆柱的底面半径r=R时,圆柱的高h=2=2=R,∴圆柱的体积V2=πr2h=πR3,则==.由题意可知R2=r2+,则h=2,则圆柱的体积V=πr2h=2πr2.设=t,则r2=R2-t2,V=2πt(R2-t2),可得V'=-6πt2+2πR2=-6π,则当t2=时,V'=0,当t2>时,V'<0,当00,∴当t2=时圆柱的体积取得最大值,此时R2-r2=,即r=R,因此当底面半径r=R时,圆柱的体积取得最大值.7.2　实际问题中的最值问题
【学习目标】
体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系.
◆ 知识点一　生活中的最优化问题的概念
在实际问题中,经常会遇到解决一些如面积最小、体积最大、成本最低、时间最少等问题,这些问题通称为　　　　问题.所谓生活中的最优化问题,其实就是求最值或求取得最值的条件的实际应用问题.导数是求最值的有力工具,因此和函数有关的生活中的最优化问题可以利用导数来求解.
◆ 知识点二　利用导数解决生活中的最优化问
题的一般步骤
利用导数解决最优化问题的基本思路
由此思路可得用导数解决最优化问题的步骤:
(1)分析实际问题中各量之间的关系,构建实际问题的　　　　　　,进而求出函数解析式y=f(x);
(2)求函数f(x)的导数f'(x),解关于导数f'(x)的方程　　　　;
(3)比较函数在区间端点和使f'(x)=0的x的函数值的大小,确定最值或取得最值的条件;
(4)将问题还原到实际问题中作答.
◆ 探究点一　面积、体积最值问题
例1 [2023·广东肇庆加美学校高二期中] 如图,有一个面积为6400平方厘米的矩形纸板ABCD,在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的长方体纸盒.设切去的小正方形的边长为x厘米,矩形纸板ABCD的两边AB,AD的长分别为a厘米和b厘米,其中a≥b.
(1)若a=80,求纸盒侧面面积的最大值;
(2)试确定a,b,x的值,使得纸盒的体积最大,并求出其最大体积.
变式 如图所示,在一个半径为30 cm,圆心角为90°的扇形铝皮上截取一块矩形材料OABC,其中点B在圆弧上,点A,C分别在两半径上,现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),设矩形的边AB的长度为x cm,圆柱的体积为V cm3.
(1)写出体积V关于x的函数关系式;
(2)当x为何值时,才能使做出的圆柱形罐子的体积V取得最大值
[素养小结]
在求面积或体积的最值问题时,一般先根据题意,求出面积或体积的函数解析式,再利用导数,求该函数在定义域内的最值即可.
◆ 探究点二　利润最大问题
例2 某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元,每年最大规模的种植量是8万千克,每种植1万千克莲藕,成本增加0.5万元.种植x万千克莲藕的销售额(单位:万元)为f(x)=-x3+ax2+x(a是常数),已知种植2万千克莲藕,利润是1.5万元.
(1)设种植x万千克莲藕的利润(单位:万元)为g(x),求g(x)的解析式.
(2)要使利润最大,每年需种植多少万千克莲藕 并求出利润的最大值.
变式 某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为30元,并且每件产品需向总公司缴纳5元的管理费.根据多年的经验得知,当每件产品的售价为x元时,产品一年的销售量为(e为自然对数的底数)万件.已知每件产品的售价为40元时,该产品一年的销售量为500万件,经物价部门核定每件产品的售价x不低于35元,且不超过41元.
(1)求k的值.
(2)求分公司经营该产品一年的利润L(x)(单位:万元)与每件产品的售价x的函数关系式.
(3)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L(x)最大 并求出L(x)的最大值.
[素养小结]
在求实际问题的最大值或最小值时,一般先找出函数关系式,并确定其定义域,再利用求函数最值的方法求解,注意结果应与实际情况相符合.如果函数在区间内只有一个极值点,那么根据实际意义该极值点就是最值点.
◆ 探究点三　费用最低、用料最省问题
例3 某工厂要建造一个长方体形状且无盖的箱子,其容积为48 m3,高为3 m,如果箱底每平方米的造价为15元,箱侧面每平方米的造价为12元,则箱子的最低总造价为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.900元 B.840元
C.818元 D.816元
例4 现要用某种材料做一个容积为256 m3的方底无盖水箱,当所用材料最省时,水箱的高为(　 )
A.6 m B.8 m
C.4 m D.2 m
变式 (1)某运动会开幕之前,组委会要对某泳池进行检修,已知泳池的深度为2 m,容积为2500 m3,池底每平方米的维修费用为150元,设入水处的较短池壁的长度为x m,且较短池壁的维修费用与池壁长度成正比,比例系数为k(k>0),较长池壁的维修费用满足代数式,则当泳池的总维修费用最低时,x的值为 (　 )
A.25 B.30
C.35 D.40
(2)一艘船从A地到B地,其燃料费w与船速v的关系式为w(v)=(18≤v≤30),要使燃料费最低,则v= (　 )
A.18 B.20
C.25 D.30
[素养小结]
实际生活中的用料最省、费用最低、损耗最小等问题可以利用导数求解相应函数的最小值.根据f'(x)=0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后,若函数f(x)只有一个满足题意的极值点,且在该极值点附近满足“左减右增”,则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值.7.2　实际问题中的最值问题
一、选择题
1.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-x3+81x-234(x>0),则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.13万件 B.11万件
C.9万件 D.7万件
2.某产品的销售收入y1(单位:万元)是产量x(单位:千台)的函数,且函数解析式为y1=17x2(x>0),生产成本y2(单位:万元)是产量x的函数,且函数解析式为y2=2x3-x2(x>0),要使利润最大,则该产品应生产 (　 )
A.6千台 B.7千台
C.8千台 D.9千台
3.如图所示是一个窗户的简易图,简易图是由半圆和矩形组成的,如果窗户的面积为S,为使窗户周长最小,半圆的半径应为 (　 )
A. 　　　B.
C. 　　　D.2
4.某单位用2160万元购得一块空地,计划在该空地上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,那么每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为 (　 )
A.13层 B.14层 C.15层 D.16层
5.某个体户计划同时销售A,B两种小商品.当对A,B小商品均投资x(x≥0)千元时,可获得的收益分别为f(x)千元与g(x)千元,其中f(x)=2x,g(x)=5ln(2x+1),如果该个体户共投资5千元,为使总收益最大,则对A商品需投资(　 )
A.4千元 B.3千元
C.2千元 D.1千元
6.已知矩形的两个顶点位于x轴上,另两个顶点位于抛物线y=4-2x2在x轴上方的曲线上,则当矩形的面积最大时,矩形相邻两边的长分别为(　 )
A.2, B.,
C., D.,
7.(多选题)如图所示,圆柱的轴截面ABCD的周长为定值,则下列说法中不正确的是 (　 )
A.圆柱的体积有最小值,此时高与底面圆的直径之比为1
B.圆柱的体积有最小值,此时高与底面圆的半径之比为1
C.圆柱的体积有最大值,此时高与底面圆的直径之比为1
D.圆柱的体积有最大值,此时高与底面圆的半径之比为1
8.(多选题)将一个长、宽分别是t,16(t>16)的矩形纸板的四角剪掉四个相同的正方形,然后折成一个无盖的长方体形状的盒子,若这个长方体的外接球的体积存在最小值,则t可取的值为(　 )
A.16 B.17 C.18 D.20
二、填空题
9.某棉花加工厂的年毛利(总收入中只除去成本,而没有除去其他费用的利润,单位:万元)函数为g(x)=-0.1x3+0.625ax2+0.8x(x是棉花年加工量,单位:万千克,a是常数).该工厂每年的固定爱心捐款支出是1万元,每加工1万千克棉花,其他支出费用增加0.8万元.当棉花年加工量为2万千克时,纯利是5.7万元,则a的值是　　　　;棉花年加工量为　　　　万千克时,纯利最多.
10.某企业制造并出售某种球形瓶装饮料,每个瓶子的制造成本是1.6πr2分,其中r(单位:cm)是瓶子的半径,已知每出售1 mL饮料,可获利0.4分(未减去包装瓶的成本),且能制作的瓶子的最大半径为6 cm,则当每瓶饮料的利润最大时,瓶子的半径为　　　　 cm.
11.某书店预计一年内要销售某种书15万册,欲分几次订货,如果每次订货要付手续费30元,每千册书存放一年要耗库存费40元,并假设该书均匀投放市场(即年平均库存量为每次进书量的一半),则此书店每次进　　　　册书,可使所付的手续费与库存费之和最少.
12.在半径为R的圆内,作内接等腰三角形ABC,当底边上的高h∈(0,t]时,△ABC的面积有最大值,则t的取值范围是　　　　.
三、解答题
13.[2023·江西景德镇高二期末] 某品牌汽车准备在一次车展过程中给顾客免费发放冰淇淋,现欲从一家源头工厂批发购进冰淇淋.已知该工厂在这笔订单中的固定成本为2万元,生产的最大上限是8万个,另外,每生产1万个冰淇淋成本会增加0.5万元,x万个冰淇淋的销售额f(x)(单位:万元)满足f(x)=-+ax2+(a是常数).该工厂卖出2万个冰淇淋的利润是12万元.
(1)设卖出x万个冰淇淋的利润为g(x)(单位:万元),求g(x)的解析式.
(2)这笔订单中冰淇淋的数量为多少时这家工厂获得的利润最大 并求出最大利润.
14.如图所示,ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E,F在AB上,是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x cm.
(1)求包装盒的容积V(x)关于x的函数表达式,并求出函数的定义域;
(2)当x为多少时,包装盒的容积V(x)最大
15.《西游记》中孙悟空的“如意金箍棒”原本是东海海底的一枚“定海神针”,只有孙悟空能让其大小随意变化.若某时“定海神针”(本题看作圆柱)的底面半径为10 cm,长度(即圆柱的高)为d cm,此时孙悟空使“定海神针”的底面半径以每秒1 cm匀速缩短,同时长度以每秒40 cm匀速增长,并满足底面半径(单位:cm)在[4,10]内,已知在这一变化过程中,当“定海神针”的底面半径为7 cm时,体积最大,则“定海神针”最初的长度d的值为 (　 )
A.20 B.40 C.60 D.80
16.半径为R的球内有一个内接圆柱,则当圆柱的底面半径r=R时,圆柱的体积与球的体积的比值是　　　　;当圆柱的底面半径r=　　　　时,圆柱的体积最大. (共34张PPT)
7.2 实际问题中的最值问题
探究点一 面积、体积最值问题
探究点二 利润最大问题
探究点三 费用最低、用料最省问题
【学习目标】
体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系.
知识点一 生活中的最优化问题的概念
在实际问题中，经常会遇到解决一些如面积最小、体积最大、成本最低、时间
最少等问题,这些问题通称为________问题.所谓生活中的最优化问题,其实就是
求最值或求取得最值的条件的实际应用问题.导数是求最值的有力工具,因此和函
数有关的生活中的最优化问题可以利用导数来求解.
最优化
知识点二 利用导数解决生活中的最优化问题的一般步骤
利用导数解决最优化问题的基本思路
由此思路可得用导数解决最优化问题的步骤:
（1）分析实际问题中各量之间的关系,构建实际问题的__________,进而求出
函数解析式 ;
（2）求函数的导数,解关于导数 的方程__________;
函数模型
（3）比较函数在区间端点和使的 的函数值的大小,确定最值或取得最
值的条件;
（4）将问题还原到实际问题中作答.
探究点一 面积、体积最值问题
例1 [2023·广东肇庆加美学校高二期中] 如图，有一个面积为6400平方厘米的
矩形纸板 ，在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边
沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒．设切去的小正方形的边长为 厘米，
矩形纸板的两边,的长分别为厘米和厘米，其中 .
（1）若 ，求纸盒侧面面积的最大值；
解：当时，，纸盒的底面是正方形，其边长为 厘米，
周长为 厘米.
所以纸盒的侧面面积 （平方厘米），
其中 .
，令，得 ，
所以当时，，可知在区间 上单调递增，
当时，，可知在区间 上单调递减，
则在上的最大值为 ，
所以纸盒侧面面积的最大值为3200平方厘米.
（2）试确定,, 的值，使得纸盒的体积最大，并求出其最大体积．
解：纸盒的体积（立方厘米），其中 ,
，且，则 .
因为 ，
当且仅当 时取等号，
所以,，且 .
记, ，
则 ，
令,得 ，列表如下：
0 -
单调递增 极大值 单调递减
由上表可知，的极大值是 ，也是最大值.
所以，当且仅当，且 时，等号同时成立，
故要使纸盒的体积最大，则，，纸盒的最大体积为 立
方厘米.
变式 如图所示，在一个半径为，圆心角为
的扇形铝皮上截取一块矩形材料，其中点 在圆弧
上，点,分别在两半径上，现将此矩形铝皮 卷成
一个以 为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接
损耗），设矩形的边的长度为 ，圆柱的体积为
.
（1）写出体积关于 的函数关系式；
解：连接，，.设圆柱的底面半径为 ，
则，即 ，
，其中 .
（2）当为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积 取得最大值？
解：由（1）知，由，得 .
易知在上单调递增，在上单调递减，
当时， 取得最大值.
［素养小结］
在求面积或体积的最值问题时，一般先根据题意，求出面积或体积的函数解析
式，再利用导数，求该函数在定义域内的最值即可.
探究点二 利润最大问题
例2 某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是8万千克，
每种植1万千克莲藕，成本增加0.5万元.种植 万千克莲藕的销售额（单位：万元）
为是常数 ，已知种植2万千克莲藕，利润是1.5万元.
（1）设种植万千克莲藕的利润（单位：万元）为，求 的解析式.
解：由题意知， ，
即， .
当时，，解得 ，
故， .
（2）要使利润最大，每年需种植多少万千克莲藕？并求出利润的最大值.
解：由（1）知 ，
则当时，，当时， ，
所以函数在上单调递增，在 上单调递减，
所以当时，利润取得最大值，最大值为 （万元）.
所以每年种植6万千克莲藕时，利润最大，最大利润为11.5万元.
变式 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需
向总公司缴纳5元的管理费.根据多年的经验得知，当每件产品的售价为 元时，
产品一年的销售量为为自然对数的底数 万件.已知每件产品的售价为40元时，
该产品一年的销售量为500万件，经物价部门核定每件产品的售价 不低于35元，
且不超过41元.
（1）求 的值.
解：因为每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件，
所以，解得 .
（2）求分公司经营该产品一年的利润（单位：万元）与每件产品的售价
的函数关系式.
解：由题意知， ，
即 .
（3）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大？并求出
的最大值.
解： ，
令，得，令，得 ，
所以在区间上单调递增，在区间 上单调递减，
则当时，取得最大值，最大值为 ，
所以当每件产品的售价为36元时，分公司一年的利润最大， 的最大值
为 .
［素养小结］
在求实际问题的最大值或最小值时,一般先找出函数关系式,并确定其定义域,再
利用求函数最值的方法求解,注意结果应与实际情况相符合.如果函数在区间内只
有一个极值点,那么根据实际意义该极值点就是最值点.
探究点三 费用最低、用料最省问题
例3 某工厂要建造一个长方体形状且无盖的箱子，其容积为，高为 ，
如果箱底每平方米的造价为15元，箱侧面每平方米的造价为12元，则箱子的最
低总造价为( )
D
A.900元 B.840元 C.818元 D.816元
[解析] 设箱底一边的长度为，箱子的总造价为 元，
根据题意，得 ，
可得.令，解得或（舍去），
则当 时，，当时，，故当时， 有最小值816.
因此，当箱底是边长为 的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元.
故选D.
例4 现要用某种材料做一个容积为 的方底无盖水箱，当所用材料最省
时，水箱的高为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 设水箱的底面边长为，高为，则有，所以 .
设所用材料的面积为，则有 ，
所以，令，得，当时，，
当 时，，则当时取得最小值.
因此当，即水箱的高为 时，所用材料最省.故选C.
变式（1） 某运动会开幕之前，组委会要对某泳池进行检修，已知泳池的深度
为，容积为 ，池底每平方米的维修费用为150元，设入水处的较短
池壁的长度为 ，且较短池壁的维修费用与池壁长度成正比，比例系数为
，较长池壁的维修费用满足代数式 ，则当泳池的总维修费用最
低时， 的值为( )
A
A.25 B.30 C.35 D.40
[解析] 设泳池维修的总费用为 元，则由题意得
，则.
令 ，解得.则当时，；
当时， .故当时，有最小值.
因此，当较短池壁的长度为 时，泳池的总维修费用最低.故选A.
（2）一艘船从地到地，其燃料费与船速 的关系式为
，要使燃料费最低，则 ( )
A
A.18 B.20 C.25 D.30
[解析] ，当时， ，
所以在 上单调递增，
所以当时， 取得最小值，此时燃料费最低.故选A.
［素养小结］
实际生活中的用料最省、费用最低、损耗最小等问题可以利用导数求解相应函
数的最小值.根据 求出极值点（注意根据实际意义舍去不合适的极值点）
后,若函数 只有一个满足题意的极值点，且在该极值点附近满足“左减右增”,
则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值.
1.在实际问题中,要由实际问题的背景构造出相应的函数关系式 ,并注明
其定义域,当在定义域内的图象是连续的曲线且 在定义域内只有一
个解时,最值一定存在.
2.解决最优化问题的实质是将实际问题化归为函数的最值问题来处理,其探究过
程是一个典型的数学建模过程.对目标函数的最值,要根据解析式的特点,用适当
的方法求解,有时用基本不等式或二次函数求最值比用导数更方便.
例1 甲、乙两地相距 ，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过
.已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，
可变成本是速度平方的，固定成本为 元.
（1）将全程的运输成本（单位：元）表示为速度（单位： ）的函数，
并指出这个函数的定义域；
解：由题意知，货车每小时的可变成本为，固定成本为 元，所用时间为
， ，即，定义域为 .
（2）为了使全程的运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？
解： ，
令，得 .
,
当，即时，恒成立， 为减函数，
则当时， 取得最小值.
当，即 时，
当变化时，与 的变化情况如下表.
- 0
极小值
则当时， 取得极小值，也是最小值.
综上可知，当时，货车以 的速度行驶，全程的运输成本
最小；
当时，货车以 的速度行驶，全程的运输成本最小.
例2 如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去
一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正
六棱柱容器.当其容积最大时，这个正六棱柱容器的底面
边长为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 设被切去的全等四边形的一边长为 ，如图所示，
则正六棱柱的底面边长为，高为 ，所以正六棱柱的体积
,则.令，得 （舍去）或，
则当,时，；当时，.
故当时， 取得极大值，也是最大值，此时正六棱柱的底面边长为 .故选B.
例3 [2024·广东清远高二期中] 已知一企业生产某产品的年固定成本为10万元，
每生产1千件需另投入2.7万元，若该企业一年内共生产此种产品 千件，并且全
部销售完，每千件的销售收入为万元，且
（1）写出年利润（万元）关于年产量 （千件）的函数解析式.
解：由题意知，当 时，
，
当时， ，
所以
（2）年产量为多少千件时，该企业生产此种产品所获年利润最大 最大年利润
是多少
（注：年利润 年销售收入-年总成本）
解：①当时， ，
则 .
所以当时，，则在 上单调递增；
当时，，则在 上单调递减.
所以当时， .
②当时， ，
当且仅当，即 时等号成立.
因为 ，所以当年产量为9千件时，该企业生产此种产品所获年利润最
大，最大年利润为38.6万元.

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