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深圳实验学校高中部2025-2026学年度第一学期第一阶段考试
高一数学 答案
一+二、单选+多选：
单选 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D C C B C A C
多选 9 10 11
答案 BCD AC ACD
三、填空：12. 13. 14.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）
【详解】（1），或，
因，故，
即实数的取值范围为. ………………5
（2）由于是的必要条件，所以，
因，
① 当时，，此时，符合题意；
② 当时，，由，可得，解得，
③ 当时，，由，可得，解得，
综上所述：，
即实数的取值范围为. ………………13
16. （15分）
【详解】（1）解：因为函数，且，可得，
解得； ………………3
（2）解：由（1）知，
任取且，
则，
因为且，可得，则，
所以，即，
所以函数在上为单调递增函数. ………………11
（3）解：由（2）知，函数在上为单调递增函数，
所以，，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为.………………15
17. （15分）
【详解】（1）由关于的不等式的解集为，得，
且2和是方程的两个实数根，即，解得，
所以的另一实数根为，即，所以，.………………3
（2）由，得，又，所以恒成立.
当时，，当且仅当时取等号，
所以，即实数的取值范围为.………………9
（3）当时，不等式为，其解集为；
当时，不等式可化为，其方程对应的两根分别为，.
若，不等式解集为；
若，不等式可化为，此时不等式解集为；
若，不等式解集为；
若，不等式解集为.
综上可知，
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为.………………15
18.（17分）
【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均投入为万元，
则，
即，解得，
又且，所以调整后的技术人员的人数最多75人. ………………7
（2）由①，即技术人员的年均投入始终不减少，则有，解得，
由②，即研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，
则有，两边同除以，得到，整理得到，
故有，
又，当且仅当，即时取等号，
所以，
又因为，当时，取得最大值7，所以，
即存在这样的满足条件，使得其范围为. ………………17
19. （17分）
【详解】（1）当时，，
①由，得，
当时，，解得，
当时，恒成立，得，
综上，
所以不等式的解集为，………………4
②因为，
所以在上为增函数，
当时，不恒成立，
当时，由，得，
所以，所以恒成立，
所以，此时不存在，
当时，由，得，
所以，所以恒成立，
所以，得，
综上，，即实数取值范围为，………………10
（2）由，得，
当时，恒成立，
当时，恒成立，所以，
所以，得，
由，得，得，
当时，，，
所以，
所以存在满足以上不等式，则，得，此时，
当时，，，
所以有解，
所以，解得，
综上可得，即实数的取值范围为 ………………17深圳实验学校高中部2025-2026学年度第一学期第一阶段考试
高一数学
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2. 已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3. 下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．与
A. 若，则 B. 若，则且
C. D．“”是“”的充分条件
5. 若，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6. 设函数，若实数满足，则（ ）
A．或 B．或 C． D．
7. 已知命题：；命题：．若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8. 已知函数是定义在的单调函数，且对于任意的，都有，若关于的方程恰有两个实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知全集，集合，，，若，则（ ）
A．的取值有个 B．
C． D．的子集个数为
10. 已知，，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
11. 已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为 B．在上单调递减
C．的最大值为 D．的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，，则的取值范围是 .
13. 全集是不大于的素数，若，，，则集合 .
14. 若对任意实数，不等式恒成立，则实数的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）
已知集合或，，.
(1)已知，求实数的取值范围；
(2)已知命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围.
（15分）
已知函数，且．
(1)求a；
(2)用定义证明函数在上是增函数；
(3)求函数在区间上的最大值和最小值．
（15分）
已知函数.
(1)若关于的不等式的解集为，求实数的值；
(2)若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)求关于的不等式的解集.
（17分）
据了解，某企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名（N且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元．
(1)要使这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多为多少人？
(2)是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入．
（17分）
已知函数．
(1)时，
①求不等式的解集；
②若对任意的，，求实数取值范围；
(2)若存在实数，对任意的都有恒成立，求实数的取值范围．

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