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山东省济南市槐荫区兴济中学2024—2025学年上学期九年级段考数学试卷（10月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024九上·槐荫期中）a， b，c，d 是成比例线段，若 a = 3cm， b = 2cm，c = 6cm，则线段d的长为（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
2．（2024九上·槐荫期中）如果 ，那么 的值为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024九上·槐荫期中）已知点M (－2，6)在双曲线 上，则下列各点一定在该双曲线上的是（　　）
A．(2， 6) B．(－6，－2 ) C．(6，2) D．(2，－6)
4．（2024九上·槐荫期中）已知都在反比例函数的图像上，则、、的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024九上·槐荫期中）如图，已知直线，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，若，，，则的值是（　　）
A.14 B.15 C.16 D.17
6．（2024九上·槐荫期中）如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米，CA=1米，则树的高度为（　　）
A．4.5米 B．6米 C．3米 D．4米
7．（2024九上·槐荫期中）如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（　　）
A．2：5 B．3：5 C．9：25 D．4：25
8．（2024九上·槐荫期中）如图，，请你再添加一个条件，使得．则下列选项不成立的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024九上·槐荫期中）如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S1、S2，那么S1：S2＝（　　）
A．9：8 B．4：3
C．2：1 D．S1、S2的大小关系不确定
10．（2024九上·槐荫期中）如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连结BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连结AF，有以下五个结论；①；②；③；④；⑤若，则；其中正确的结论有（　　）．
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．（2024九上·槐荫期中）若 ，则 　 　．
12．（2024九上·槐荫期中）如图，为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，数学应用实践小组做了如下的探索实践：根据《物理学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图的测量方案：把镜子放在离树（AB）9米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.7米，观察者目高CD=1.8米，则树（AB）的高度为　 　米．
13．（2024九上·槐荫期中）如图，△OAB和△OCD位似，位似中心是原点O，B点坐标是（6，2），△OAB和△OCD的相似比为2：1，则点D的坐标为　 　．
14．（2024九上·槐荫期中）已知反比例函数y＝ 的图象在第二、四象限，则m的取值范围是　 　．
15．（2024九上·槐荫期中）已知：如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，则球拍击球的高度h应为　 　．
16．（2024九上·槐荫期中）如图，在中，，棱长为1的立方体展开图有两边分别在上，有两个顶点在斜边AB上，则的面积为　 　．
三、解答题：本题共7小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（2024九上·槐荫期中）已知，且，求的值．
18．（2024九上·槐荫期中）如图，在△ABC中，点P在AB边上，∠ABC＝∠ACP．若AP＝4，AB＝9，求AC的长．
19．（2024九上·槐荫期中）如图，O为原点，B，C两点坐标分别为．
（1）以O为位似中心在y轴左侧将放大两倍，并画出图形；
（2）已知为内部一点，写出M的对应点的坐标．
20．（2024九上·槐荫期中）已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE=60°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）如果AB=3，EC=，求DC的长．
21．（2024九上·槐荫期中）如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上．
（1）求证：；
（2）若这个矩形的边，则的长度．
22．（2024九上·槐荫期中）在中，，是边上的中线，点D在射线上．
（1）如图1，点D在边上，，与相交于点P，过点A作，交的延长线于点F，易得的值为 ．
（2）如图2，在中，，点D在的延长线上，与边上的中线的延长线交于点P，，求的值：
23．（2024九上·槐荫期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，点D在斜边AB上，且满足BD＝AB，将线段DB绕点D逆时针旋转至DE，记旋转角为α，连接AE，BE，以AE为斜边在其一侧作直角三角形AEF，且∠AFE＝90°，∠EAF＝60°，连接CF．
（1）如图1，当α＝180°时，请直接写出线段BE与线段CF的数量关系；
（2）当0°＜α＜180°时，
①如图2，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？诸说明理由；
②如图3，当B，E，F三点共线时，连接CE，判断△CEF的形状，并证明．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵a、b、c、d是成比例线段，
∴a：b＝c：d，
∵a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，
∴d＝4cm；
故选：B．
【分析】根据比例线段即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】 ，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】利用比例的性质，设a=5k，b=3k，代入计算即可。
3．【答案】D
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】将M（-2，6）代入得：6= ，k=-12，
∴函数解析式为：y=- ．将各点代入得：
A、 ≠6，不符合题意；
B、 ≠-2，不符合题意；
C、 ≠2，不符合题意；
D、 ，符合题意.
故答案为：D．
【分析】将M点的坐标代入 双曲线 ，即可算出k的值，再根据双曲线上点的横纵坐标的乘积是一个常数K即可一一判断。
4．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数y＝中，k＝4＞0，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵-2＜-1＜0，
∴点A（-1，y1），B（-2，y2）位于第三象限，
∴y1＜y2＜0，
∵0＜3，
∴点C（3，y3）位于第一象限，
∴y3＞0．
∴y3＞y2＞y1．
故答案为：C．
【分析】将点A、B、C的坐标代入求出、、，再比较大小即可。
5．【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，即，
解得，
故选：B．
【分析】根据边之间的关系可得AE，再根据平行线分线段成比例定理即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：如图：
∵CD∥BE，
∴△ACD∽△ABE，
∴AC：AB=CD：BE，
∴1：4=1.5：BE，
∴BE=6m．
∴树的高度为6m．
故选B.
【分析】根据相似三角形判定定理可得△ACD∽△ABE，则AC：AB=CD：BE，代值计算即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：因为四边形ABCD为平行四边形，可得CD∥AB，所以△DEF∽△BAF，
又因为DE：EC=3：2，所以，所以．
故选：C．
【分析】由平行四边形的性质得出CD∥AB，进而得出△DEF∽△BAF，再利用相似三角形的性质，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解.
8．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴当添加条件时，则，故选项A不符合题意；
当添加条件时，则，故选项B不符合题意；
当添加条件时，则，故选项C不符合题意；
当添加条件时，则不一定相似，故选项D符合题意；
故选：D．
【分析】根据相似三角形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
9．【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：图形中相关的顶点记作如图所示，
设正方形EFGH的边长为a，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠CAD＝∠ACB＝45°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EF＝EH＝a，∠AEF＝90°，
∴∠AFE＝45°＝∠EAF，
∴AE＝EF＝a，
同理：CH＝a，
∴AC＝3a，
设正方形BMNP的边长为b，
∵四边形BMNP是正方形，
∴BM＝MN，∠CMN＝90°，
∴∠MNC＝45°＝∠MCN，
∴CM＝MN＝b，
根据勾股定理得，CN＝b，
同理：AN＝b，
∴AC＝2b，
∴3a＝2b，
∴，
∴＝＝，
故选：A．
【分析】设正方形EFGH的边长为a，根据正方形性质可得∠CAD＝∠ACB＝45°，EF＝EH＝a，∠AEF＝90°，则AE＝EF＝a，同理：CH＝a，则AC＝3a，设正方形BMNP的边长为b，根据正方形性质可得BM＝MN，∠CMN＝90°，则CM＝MN＝b，根据勾股定理得，CN＝b，同理：AN＝b，则AC＝2b，即3a＝2b，，再根据正方形面积即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】正方形的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：①∵四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，BD，BE是对角线，
∴∠ABD＝∠FBE＝45°，
又∵∠ABF＝45° ∠DBF，∠DBE＝45° ∠DBF，
∴，
∴选项①正确；
②∵四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，
∴AD＝AB，BF＝BE，
∴BD＝AB，BE=BF，
∴，
又∵，
∴，
∴选项②正确；
④∵四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，BD，BE是对角线，
∴∠BEH＝∠BDE＝45°，
又∵∠EBH＝∠DBE，
∴△EBH∽△DBE，
∴，即BE2＝BH BD，
又∵BE＝BG，
∴，
∴选项④正确；
③由②知：，
又∵四边形ABCD为正方形，BD为对角线，
∴∠BAF＝∠BDE＝45°，
∴AF在正方形另外一条对角线上，
∴AF⊥BD，
∴③正确，
⑤∵，
∴设CE=x，DE=3x，则BC=CD=4x，
∴BE=，，
∵BE2＝BH BD，
∴，
∴DH=BD-BH=，
∴，
故⑤错误，
综上所述：①②③④正确，
所以正确的结论有4个，
故选：C．
【分析】（1）根据正方形性质可得∠ABD＝∠FBE＝45°，再根据角之间的关系可判断①；根据正方形性质可得AD＝AB，BF＝BE，则BD＝AB，BE=BF，再根据相似三角形判定定理可判断②；根据正方形性质可得∠BEH＝∠BDE＝45°，根据相似三角形判定定理可得△EBH∽△DBE，则，即BE2＝BH BD，再根据边之间的关系可判断④；根据相似三角形性质可得∠BAF＝∠BDE＝45°，再根据正方形性质可判断③；设CE=x，DE=3x，则BC=CD=4x，根据勾股定理可得BE，BD，根据边之间的关系可判断⑤.
11．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】 ，
，
故2y=x，
则 ，
故答案为： ．
【分析】 将分式方程根据比例的性质去分母转化为整式方程，然后整理，用含y的代数式表示x，再将x的值代入分式，约分就可得出答案.
12．【答案】6
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵∠CED=∠AEB，CD⊥DB，AB⊥BD，
∴△CDE∽△ABE，
则，
即，
解得：AB=6米．
故答案为：6．
【分析】根据相似三角形判定定理可得△CDE∽△ABE，则，代值计算即可求出答案.
13．【答案】（3，1）
【知识点】点的坐标；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵△OAB和△OCD位似，位似中心是原点O，△OAB和△OCD的相似比为2：1，B点坐标是（6，2），
∴点D的坐标为：（6×，2×）即（3，1）．
故答案为：（3，1）．
【分析】根据位似图形性质即可求出答案.
14．【答案】m<－2
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】∵反比例函数y＝ 的图象在第二、四象限，
∴m+2<0，
解得m< 2，
故答案为m< 2.
【分析】在反比例函数y=（k≠0）中，当k＞0时，双曲线位于一、三象限，在每个象限内，y都随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线位于二、四象限，在每个象限内，y都随x的增大而增大；据此解答即可.
15．【答案】
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：根据题意得：，
∴AB∥CD
∴，
∴，即，
∴，
∴球拍击球的高度h应为，
故答案为：．
【分析】首先可得出，进而根据相似三角形的性质。即可得出，即，解得球拍击球的高度h。
16．【答案】16
【知识点】三角形全等及其性质；相似三角形的判定；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图：
由题意得：、，是直角三角形，四边形是矩形，，，，，，
，，
∴，
，
在和中，
，
∴，
，
，
，
，
故答案为：16．
【分析】根据相似三角形判定定理可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，再代入等式可得AG，再根据，结合三角形，矩形面积即可求出答案.
17．【答案】解：∵，
∴设，，（），
∵，
∴，
解得，
∴，，，
∴．
【知识点】比例的性质；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】设，，（），代入等式坐标，解方程可得a，b，c值，再代入代数式即可求出答案.
18．【答案】解：∵∠ABC＝∠ACP，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ACP，
∴，
即，
∴AC＝6（负值舍去）．
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
19．【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：由图可得，点，即对应点的是原点横、纵坐标的倍．
所以点的对应点的坐标为．
【知识点】作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【分析】（1）根据位似图形性质作图即可.
（2）根据位似图形性质即可求出答案.
（1）解：如图，即为所求．
（2）解：由图可得，点，即对应点的是原点横、纵坐标的倍．
所以点的对应点的坐标为．
20．【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=AC，
∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，∠B=∠ADE=60°，
∴∠BAD=∠CDE
∴△ABD∽△DCE；
（2）解：由（1）证得△ABD∽△DCE，
∴，
设CD=x，则BD=3﹣x，
∴=
∴x=1或x=2，
∴DC=1或DC=2．
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据等边三角形性质可得∠B=∠C=60°，AB=AC，再根据角之间的关系可得∠BAD=∠CDE，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据相似三角形性质可得，设CD=x，则BD=3﹣x，代入等式，解方程即可求出答案.
21．【答案】（1）证明：∵在矩形中，，
即
∴；
（2）解：∵，
∴设，，
设与的交点为点E，
∵，是高，
∴，即是的高，
∵在矩形中，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴
∵，
∴，即，
解得，
∴

【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据矩形性质，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）设，，设与的交点为点E，根据三角形的高定义可得是的高，再根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，根据边之间的关系可得AE，再根据相似三角形性质可得，再代值计算即可求出答案.
（1）证明：∵在矩形中，，
即
∴；
（2）解：∵，
∴设，，
设与的交点为点E，
∵，是高，
∴，即是的高，
∵在矩形中，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴
∵，
∴，即，
解得，
∴
22．【答案】（1）
（2）解：∴．解：如图2：过点A作，交的延长线于点F，
设，由得．
∵E是中点，
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，

【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：如图1中，∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
设，则，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】（1）根据直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则．设，则，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）过点A作，交的延长线于点F，设，则．根据直线平行性质可得，子啊根据全等三角形判定定理可得，则，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
（1）解：如图1中，∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
设，则，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
（2）解：如图2：过点A作，交的延长线于点F，
设，由得．
∵E是中点，
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
23．【答案】（1）BE＝2CF
（2）解：①结论仍然成立，理由如下：
∵∠BAC＝∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，
又∵，
∴△ABE∽△ACF，
∴，
∴BE＝2CF；
②△CEF是等边三角形，理由如下：
∵B，E，F三点共线，
∴∠AEB+∠AEF＝180°，
∴∠AEB＝150°，
∵△ABE∽△ACF，
∴∠AEB＝∠AFC＝150°，
∴∠EFC＝150°﹣90°＝60°，
如图3，过点D作DH⊥BE于H，
∵BD＝DE，DH⊥BE，
∴BH＝HE，
∵BE＝2CF，
∴BH＝HE＝CF，
∵DH⊥BE，AF⊥BE，
∴DHAF，
∴，
∴HF＝2BH，
∴EF＝HE＝BH，
∴EF＝CF，
∴△EFC是等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定；含30°角的直角三角形；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；旋转的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：（1）BE＝2CF，理由如下：
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∴AC＝AB，
∵BD＝AB，将线段DB绕点D逆时针旋转至DE，
∴BD＝DE＝AB，BE＝AB，
∴AE＝AB，
∵∠AFE＝90°，∠EAF＝60°，
∴∠AEF＝30°，
∴AF＝AE＝AB，
∴CF＝AC﹣AF＝AB，
∴BE＝2CF；
【分析】（1）根据含30°角的直角三角形性质可得AC＝AB，再根据旋转性质可得BD＝DE＝AB，BE＝AB，则AE＝AB，再根据含30°角的直角三角形性质可得AF＝AE＝AB，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）①根据角之间的关系可得∠BAE＝∠CAF，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
②根据相似三角形性质可得∠AEB＝∠AFC＝150°，根据角之间的关系可得∠EFC，过点D作DH⊥BE于H，根据边之间的关系可得BH＝HE＝CF，根据平行线分线段成比例定理可得，则HF＝2BH，再根据等边三角形判定定理即可求出答案.
（1）解：（1）BE＝2CF，理由如下：
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∴AC＝AB，
∵BD＝AB，将线段DB绕点D逆时针旋转至DE，
∴BD＝DE＝AB，BE＝AB，
∴AE＝AB，
∵∠AFE＝90°，∠EAF＝60°，
∴∠AEF＝30°，
∴AF＝AE＝AB，
∴CF＝AC﹣AF＝AB，
∴BE＝2CF；
（2）（2）①结论仍然成立，理由如下：
∵∠BAC＝∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，
又∵，
∴△ABE∽△ACF，
∴，
∴BE＝2CF；
②△CEF是等边三角形，理由如下：
∵B，E，F三点共线，
∴∠AEB+∠AEF＝180°，
∴∠AEB＝150°，
∵△ABE∽△ACF，
∴∠AEB＝∠AFC＝150°，
∴∠EFC＝150°﹣90°＝60°，
如图3，过点D作DH⊥BE于H，
∵BD＝DE，DH⊥BE，
∴BH＝HE，
∵BE＝2CF，
∴BH＝HE＝CF，
∵DH⊥BE，AF⊥BE，
∴DHAF，
∴，
∴HF＝2BH，
∴EF＝HE＝BH，
∴EF＝CF，
∴△EFC是等边三角形．
1 / 1山东省济南市槐荫区兴济中学2024—2025学年上学期九年级段考数学试卷（10月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024九上·槐荫期中）a， b，c，d 是成比例线段，若 a = 3cm， b = 2cm，c = 6cm，则线段d的长为（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵a、b、c、d是成比例线段，
∴a：b＝c：d，
∵a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，
∴d＝4cm；
故选：B．
【分析】根据比例线段即可求出答案.
2．（2024九上·槐荫期中）如果 ，那么 的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】 ，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】利用比例的性质，设a=5k，b=3k，代入计算即可。
3．（2024九上·槐荫期中）已知点M (－2，6)在双曲线 上，则下列各点一定在该双曲线上的是（　　）
A．(2， 6) B．(－6，－2 ) C．(6，2) D．(2，－6)
【答案】D
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】将M（-2，6）代入得：6= ，k=-12，
∴函数解析式为：y=- ．将各点代入得：
A、 ≠6，不符合题意；
B、 ≠-2，不符合题意；
C、 ≠2，不符合题意；
D、 ，符合题意.
故答案为：D．
【分析】将M点的坐标代入 双曲线 ，即可算出k的值，再根据双曲线上点的横纵坐标的乘积是一个常数K即可一一判断。
4．（2024九上·槐荫期中）已知都在反比例函数的图像上，则、、的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数y＝中，k＝4＞0，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵-2＜-1＜0，
∴点A（-1，y1），B（-2，y2）位于第三象限，
∴y1＜y2＜0，
∵0＜3，
∴点C（3，y3）位于第一象限，
∴y3＞0．
∴y3＞y2＞y1．
故答案为：C．
【分析】将点A、B、C的坐标代入求出、、，再比较大小即可。
5．（2024九上·槐荫期中）如图，已知直线，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，若，，，则的值是（　　）
A.14 B.15 C.16 D.17
【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，即，
解得，
故选：B．
【分析】根据边之间的关系可得AE，再根据平行线分线段成比例定理即可求出答案.
6．（2024九上·槐荫期中）如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米，CA=1米，则树的高度为（　　）
A．4.5米 B．6米 C．3米 D．4米
【答案】B
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：如图：
∵CD∥BE，
∴△ACD∽△ABE，
∴AC：AB=CD：BE，
∴1：4=1.5：BE，
∴BE=6m．
∴树的高度为6m．
故选B.
【分析】根据相似三角形判定定理可得△ACD∽△ABE，则AC：AB=CD：BE，代值计算即可求出答案.
7．（2024九上·槐荫期中）如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（　　）
A．2：5 B．3：5 C．9：25 D．4：25
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：因为四边形ABCD为平行四边形，可得CD∥AB，所以△DEF∽△BAF，
又因为DE：EC=3：2，所以，所以．
故选：C．
【分析】由平行四边形的性质得出CD∥AB，进而得出△DEF∽△BAF，再利用相似三角形的性质，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解.
8．（2024九上·槐荫期中）如图，，请你再添加一个条件，使得．则下列选项不成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴当添加条件时，则，故选项A不符合题意；
当添加条件时，则，故选项B不符合题意；
当添加条件时，则，故选项C不符合题意；
当添加条件时，则不一定相似，故选项D符合题意；
故选：D．
【分析】根据相似三角形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
9．（2024九上·槐荫期中）如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S1、S2，那么S1：S2＝（　　）
A．9：8 B．4：3
C．2：1 D．S1、S2的大小关系不确定
【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：图形中相关的顶点记作如图所示，
设正方形EFGH的边长为a，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠CAD＝∠ACB＝45°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EF＝EH＝a，∠AEF＝90°，
∴∠AFE＝45°＝∠EAF，
∴AE＝EF＝a，
同理：CH＝a，
∴AC＝3a，
设正方形BMNP的边长为b，
∵四边形BMNP是正方形，
∴BM＝MN，∠CMN＝90°，
∴∠MNC＝45°＝∠MCN，
∴CM＝MN＝b，
根据勾股定理得，CN＝b，
同理：AN＝b，
∴AC＝2b，
∴3a＝2b，
∴，
∴＝＝，
故选：A．
【分析】设正方形EFGH的边长为a，根据正方形性质可得∠CAD＝∠ACB＝45°，EF＝EH＝a，∠AEF＝90°，则AE＝EF＝a，同理：CH＝a，则AC＝3a，设正方形BMNP的边长为b，根据正方形性质可得BM＝MN，∠CMN＝90°，则CM＝MN＝b，根据勾股定理得，CN＝b，同理：AN＝b，则AC＝2b，即3a＝2b，，再根据正方形面积即可求出答案.
10．（2024九上·槐荫期中）如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连结BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连结AF，有以下五个结论；①；②；③；④；⑤若，则；其中正确的结论有（　　）．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】正方形的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：①∵四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，BD，BE是对角线，
∴∠ABD＝∠FBE＝45°，
又∵∠ABF＝45° ∠DBF，∠DBE＝45° ∠DBF，
∴，
∴选项①正确；
②∵四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，
∴AD＝AB，BF＝BE，
∴BD＝AB，BE=BF，
∴，
又∵，
∴，
∴选项②正确；
④∵四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，BD，BE是对角线，
∴∠BEH＝∠BDE＝45°，
又∵∠EBH＝∠DBE，
∴△EBH∽△DBE，
∴，即BE2＝BH BD，
又∵BE＝BG，
∴，
∴选项④正确；
③由②知：，
又∵四边形ABCD为正方形，BD为对角线，
∴∠BAF＝∠BDE＝45°，
∴AF在正方形另外一条对角线上，
∴AF⊥BD，
∴③正确，
⑤∵，
∴设CE=x，DE=3x，则BC=CD=4x，
∴BE=，，
∵BE2＝BH BD，
∴，
∴DH=BD-BH=，
∴，
故⑤错误，
综上所述：①②③④正确，
所以正确的结论有4个，
故选：C．
【分析】（1）根据正方形性质可得∠ABD＝∠FBE＝45°，再根据角之间的关系可判断①；根据正方形性质可得AD＝AB，BF＝BE，则BD＝AB，BE=BF，再根据相似三角形判定定理可判断②；根据正方形性质可得∠BEH＝∠BDE＝45°，根据相似三角形判定定理可得△EBH∽△DBE，则，即BE2＝BH BD，再根据边之间的关系可判断④；根据相似三角形性质可得∠BAF＝∠BDE＝45°，再根据正方形性质可判断③；设CE=x，DE=3x，则BC=CD=4x，根据勾股定理可得BE，BD，根据边之间的关系可判断⑤.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．（2024九上·槐荫期中）若 ，则 　 　．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】 ，
，
故2y=x，
则 ，
故答案为： ．
【分析】 将分式方程根据比例的性质去分母转化为整式方程，然后整理，用含y的代数式表示x，再将x的值代入分式，约分就可得出答案.
12．（2024九上·槐荫期中）如图，为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，数学应用实践小组做了如下的探索实践：根据《物理学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图的测量方案：把镜子放在离树（AB）9米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.7米，观察者目高CD=1.8米，则树（AB）的高度为　 　米．
【答案】6
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵∠CED=∠AEB，CD⊥DB，AB⊥BD，
∴△CDE∽△ABE，
则，
即，
解得：AB=6米．
故答案为：6．
【分析】根据相似三角形判定定理可得△CDE∽△ABE，则，代值计算即可求出答案.
13．（2024九上·槐荫期中）如图，△OAB和△OCD位似，位似中心是原点O，B点坐标是（6，2），△OAB和△OCD的相似比为2：1，则点D的坐标为　 　．
【答案】（3，1）
【知识点】点的坐标；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵△OAB和△OCD位似，位似中心是原点O，△OAB和△OCD的相似比为2：1，B点坐标是（6，2），
∴点D的坐标为：（6×，2×）即（3，1）．
故答案为：（3，1）．
【分析】根据位似图形性质即可求出答案.
14．（2024九上·槐荫期中）已知反比例函数y＝ 的图象在第二、四象限，则m的取值范围是　 　．
【答案】m<－2
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】∵反比例函数y＝ 的图象在第二、四象限，
∴m+2<0，
解得m< 2，
故答案为m< 2.
【分析】在反比例函数y=（k≠0）中，当k＞0时，双曲线位于一、三象限，在每个象限内，y都随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线位于二、四象限，在每个象限内，y都随x的增大而增大；据此解答即可.
15．（2024九上·槐荫期中）已知：如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，则球拍击球的高度h应为　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：根据题意得：，
∴AB∥CD
∴，
∴，即，
∴，
∴球拍击球的高度h应为，
故答案为：．
【分析】首先可得出，进而根据相似三角形的性质。即可得出，即，解得球拍击球的高度h。
16．（2024九上·槐荫期中）如图，在中，，棱长为1的立方体展开图有两边分别在上，有两个顶点在斜边AB上，则的面积为　 　．
【答案】16
【知识点】三角形全等及其性质；相似三角形的判定；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图：
由题意得：、，是直角三角形，四边形是矩形，，，，，，
，，
∴，
，
在和中，
，
∴，
，
，
，
，
故答案为：16．
【分析】根据相似三角形判定定理可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，再代入等式可得AG，再根据，结合三角形，矩形面积即可求出答案.
三、解答题：本题共7小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（2024九上·槐荫期中）已知，且，求的值．
【答案】解：∵，
∴设，，（），
∵，
∴，
解得，
∴，，，
∴．
【知识点】比例的性质；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】设，，（），代入等式坐标，解方程可得a，b，c值，再代入代数式即可求出答案.
18．（2024九上·槐荫期中）如图，在△ABC中，点P在AB边上，∠ABC＝∠ACP．若AP＝4，AB＝9，求AC的长．
【答案】解：∵∠ABC＝∠ACP，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ACP，
∴，
即，
∴AC＝6（负值舍去）．
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
19．（2024九上·槐荫期中）如图，O为原点，B，C两点坐标分别为．
（1）以O为位似中心在y轴左侧将放大两倍，并画出图形；
（2）已知为内部一点，写出M的对应点的坐标．
【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：由图可得，点，即对应点的是原点横、纵坐标的倍．
所以点的对应点的坐标为．
【知识点】作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【分析】（1）根据位似图形性质作图即可.
（2）根据位似图形性质即可求出答案.
（1）解：如图，即为所求．
（2）解：由图可得，点，即对应点的是原点横、纵坐标的倍．
所以点的对应点的坐标为．
20．（2024九上·槐荫期中）已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE=60°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）如果AB=3，EC=，求DC的长．
【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=AC，
∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，∠B=∠ADE=60°，
∴∠BAD=∠CDE
∴△ABD∽△DCE；
（2）解：由（1）证得△ABD∽△DCE，
∴，
设CD=x，则BD=3﹣x，
∴=
∴x=1或x=2，
∴DC=1或DC=2．
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据等边三角形性质可得∠B=∠C=60°，AB=AC，再根据角之间的关系可得∠BAD=∠CDE，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据相似三角形性质可得，设CD=x，则BD=3﹣x，代入等式，解方程即可求出答案.
21．（2024九上·槐荫期中）如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上．
（1）求证：；
（2）若这个矩形的边，则的长度．
【答案】（1）证明：∵在矩形中，，
即
∴；
（2）解：∵，
∴设，，
设与的交点为点E，
∵，是高，
∴，即是的高，
∵在矩形中，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴
∵，
∴，即，
解得，
∴

【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据矩形性质，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）设，，设与的交点为点E，根据三角形的高定义可得是的高，再根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，根据边之间的关系可得AE，再根据相似三角形性质可得，再代值计算即可求出答案.
（1）证明：∵在矩形中，，
即
∴；
（2）解：∵，
∴设，，
设与的交点为点E，
∵，是高，
∴，即是的高，
∵在矩形中，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴
∵，
∴，即，
解得，
∴
22．（2024九上·槐荫期中）在中，，是边上的中线，点D在射线上．
（1）如图1，点D在边上，，与相交于点P，过点A作，交的延长线于点F，易得的值为 ．
（2）如图2，在中，，点D在的延长线上，与边上的中线的延长线交于点P，，求的值：
【答案】（1）
（2）解：∴．解：如图2：过点A作，交的延长线于点F，
设，由得．
∵E是中点，
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，

【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：如图1中，∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
设，则，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】（1）根据直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则．设，则，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）过点A作，交的延长线于点F，设，则．根据直线平行性质可得，子啊根据全等三角形判定定理可得，则，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
（1）解：如图1中，∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
设，则，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
（2）解：如图2：过点A作，交的延长线于点F，
设，由得．
∵E是中点，
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
23．（2024九上·槐荫期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，点D在斜边AB上，且满足BD＝AB，将线段DB绕点D逆时针旋转至DE，记旋转角为α，连接AE，BE，以AE为斜边在其一侧作直角三角形AEF，且∠AFE＝90°，∠EAF＝60°，连接CF．
（1）如图1，当α＝180°时，请直接写出线段BE与线段CF的数量关系；
（2）当0°＜α＜180°时，
①如图2，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？诸说明理由；
②如图3，当B，E，F三点共线时，连接CE，判断△CEF的形状，并证明．
【答案】（1）BE＝2CF
（2）解：①结论仍然成立，理由如下：
∵∠BAC＝∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，
又∵，
∴△ABE∽△ACF，
∴，
∴BE＝2CF；
②△CEF是等边三角形，理由如下：
∵B，E，F三点共线，
∴∠AEB+∠AEF＝180°，
∴∠AEB＝150°，
∵△ABE∽△ACF，
∴∠AEB＝∠AFC＝150°，
∴∠EFC＝150°﹣90°＝60°，
如图3，过点D作DH⊥BE于H，
∵BD＝DE，DH⊥BE，
∴BH＝HE，
∵BE＝2CF，
∴BH＝HE＝CF，
∵DH⊥BE，AF⊥BE，
∴DHAF，
∴，
∴HF＝2BH，
∴EF＝HE＝BH，
∴EF＝CF，
∴△EFC是等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定；含30°角的直角三角形；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；旋转的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：（1）BE＝2CF，理由如下：
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∴AC＝AB，
∵BD＝AB，将线段DB绕点D逆时针旋转至DE，
∴BD＝DE＝AB，BE＝AB，
∴AE＝AB，
∵∠AFE＝90°，∠EAF＝60°，
∴∠AEF＝30°，
∴AF＝AE＝AB，
∴CF＝AC﹣AF＝AB，
∴BE＝2CF；
【分析】（1）根据含30°角的直角三角形性质可得AC＝AB，再根据旋转性质可得BD＝DE＝AB，BE＝AB，则AE＝AB，再根据含30°角的直角三角形性质可得AF＝AE＝AB，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）①根据角之间的关系可得∠BAE＝∠CAF，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
②根据相似三角形性质可得∠AEB＝∠AFC＝150°，根据角之间的关系可得∠EFC，过点D作DH⊥BE于H，根据边之间的关系可得BH＝HE＝CF，根据平行线分线段成比例定理可得，则HF＝2BH，再根据等边三角形判定定理即可求出答案.
（1）解：（1）BE＝2CF，理由如下：
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∴AC＝AB，
∵BD＝AB，将线段DB绕点D逆时针旋转至DE，
∴BD＝DE＝AB，BE＝AB，
∴AE＝AB，
∵∠AFE＝90°，∠EAF＝60°，
∴∠AEF＝30°，
∴AF＝AE＝AB，
∴CF＝AC﹣AF＝AB，
∴BE＝2CF；
（2）（2）①结论仍然成立，理由如下：
∵∠BAC＝∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，
又∵，
∴△ABE∽△ACF，
∴，
∴BE＝2CF；
②△CEF是等边三角形，理由如下：
∵B，E，F三点共线，
∴∠AEB+∠AEF＝180°，
∴∠AEB＝150°，
∵△ABE∽△ACF，
∴∠AEB＝∠AFC＝150°，
∴∠EFC＝150°﹣90°＝60°，
如图3，过点D作DH⊥BE于H，
∵BD＝DE，DH⊥BE，
∴BH＝HE，
∵BE＝2CF，
∴BH＝HE＝CF，
∵DH⊥BE，AF⊥BE，
∴DHAF，
∴，
∴HF＝2BH，
∴EF＝HE＝BH，
∴EF＝CF，
∴△EFC是等边三角形．
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