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长乐七中2025-2026学年第一学期10月学情诊断监测
高二数学答题卡
蜘
一.单选题(40分)
1[A][B][C][D]
3[A][B][c][D]5[A][B][C][D]
7[A][B][C][D]
2[AJ[B][C][D]
4[A][B][C][D]6[A][B][C][D]8[A][B][C][D]
■■■■
■■■■■■■■■■
■■
■
■
■
芈
二多选题(18分)
9[AJ[B][C][D]I0[A][B][c][DJI1[A][B][c][D]
■■■■
三填空题(15分)
尽
12
14

四.解答题(77分)
15(13分)
名
聚
一
留
毁
拓
附
靠
回
ID:3816773
第1页共4页
请使用2B铅笔填涂选择题答案等选项及考号
■
16(15分)
贵
生
1
蠕
母
17(15分)
D
E
B
当
赤
1
口
口
ID:3816773
第2页共4页
超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
18(17分)
后
S
2不生
毕
点
架
聚
留
毁
拓
御
靠
童
回
回
ID:3816773
第3页共4页
请按照要求正确填写考号、姓名等信息
■
19(17分)
⊙
贵
二二
生
D
擗
1
渐
当
呐
回

口
ID:3816773
第4页共4页长乐七中2025-2026学年第一学期10月学情诊断监测
高二 数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B C B B D C BD ABC
题号 11
答案 AD
1．B
【分析】利用直线倾斜角的定义得解.
【详解】直线的倾斜角α的取值范围是．
故选：B．
2．B
【分析】根据可判断两平面垂直.
【详解】因为，所以，所以，垂直.
故选：B.
3．B
【分析】易知两直线斜率存在，利用两直线平行斜率相等即可求得的值.
【详解】由可知，其斜率为，
又两直线平行，所以可得，解得.
故选：B
4．C
【解析】由则因为由,根据空间向量的基本定理即可求得.
【详解】
,.
故选:C.
【点睛】本题考查空间向量的基本定理,考查向量的线性运算,考查学生的计算能力,难度较易.
5．B
【解析】计算，根据向量垂直得到答案.
【详解】，，则，
与互相垂直，则，.
故选：B.
【点睛】本题考查了根据向量垂直求参数，属于简单题.
6．B
【解析】根据向量夹角的坐标表示，向量模的坐标表示，先求出，以及向量的模，再得出，根据三角形面积公式，即可得出结果.
【详解】因为向量，，
所以，，
，
因此，
所以，以，为邻边的三角形的面积为.
故选：B.
7．D
【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量求点到平面的距离.
【详解】由题意知，该几何体为长方体，建立空间直角坐标系如下图所示，
则，
可得，
设平面的一个法向量为，则，
设，则，则，
所以点C到平面的距离为.
故选：D．
8．C
【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与的夹角的余弦值，根据夹角最小即可求得结果．
【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
在正方体中, 点E为线段的中点，设正方体棱长为2，
则，,
设，，设异面直线与的夹角为，
则,
异面直线与所成角最小时，则最大，即时，.
故选：C.
【点睛】本题考查异面直线及其所成的角的余弦值，解题方法是建立空间直角坐标系，用空间向量法表示距离、求角，属于中档题.
9．BD
【解析】由M(-1，1，3)，N(-2，-1，4)，得到，然后利用空间向量共线定理逐项验证.
【详解】由M(-1，1，3)，N(-2，-1，4)，
得，
A. ，因为 所以M，N，O三点不共线，故错误；
B. ，因为 所以M，N，O三点共线，故正确；
C. ，因为 所以M，N，O三点不共线，故错误；
D.，因为 所以M，N，O三点共线，故正确；
故选：BD
【点睛】本题主要考查空间向量共线定理的应用，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
10．ABC
【分析】根据向量的坐标进行运算，求向量的模长，判断关系.
【详解】，A项正确；
设，即，解得，，
即，所以，，共面，B项正确；
，所以，C项正确；
，D项错误.
故选：ABC.
11．AD
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量逐项计算后可得正确的选项.
【详解】

根据正方体建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，故.
对于A，，
故到直线的距离为，
故A成立.
对于B，,
故，故，
故直线到直线的距离为，
故B错误.
对于C，，设平面的法向量为，
则，取，则，故，
而，故到平面的距离为，故C错误.
对于D，由A中分析可得，而平面，平面，
故平面，直线到平面的距离即为到平面的距离，
且该距离为，故D正确.
故选：AD.

12．3
【解析】根据向量的坐标表示，表示出向量，再计算其模.
【详解】解：，
故答案为：
【点睛】本题考查向量的坐标表示，以及向量的模的计算，属于基础题.
13．
14．12
【分析】利用，两边平方计算，可得线段的长．
【详解】因为，所以．又因为二面角的平面角为120°，所以．所以，所以．
故答案为：12
【点睛】本题考查空间距离的计算，考查向量知识的运用，属于中档题．
15．（1） （2）.
【分析】（1）求出向量的坐标，由坐标计算模长.
（2）分别用坐标表示出两个向量，由向量垂直则数量积为0建立等量关系，从而求出参数的值.
【详解】（1）， -------------2分
所以 -------------5分（公式代对了，答案错扣1分）
（2）∵，
∴， -------------8分
∵，
∴， -------------10分
即， -------------12分
解得. -------------13分
16.【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求得的坐标，进而求得直线的方程并转化为一般式方程．
（2）求得垂直平分线的斜率，进而求得其一般式方程．
【详解】（1）如图，
由于分别是的中点，
所以， -------------2分
所以， -------------4分
直线的方程为， -------------6分
即． -------------7分（没化一般式扣1分）
（2）因为， -------------9分
所以边的垂直平分线的斜率为2， -------------11分
又，所以的垂直平分线的方程为， -------------13分
所以边的垂直平分线的一般式方程为． -------------15分
（没化一般式扣1分，没答扣一分，两个都没有统一扣一分）
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用向量的加减数乘运算，结合题设条件即可求得；
（2）先求出平面的基底两两之间的数量积，再根据（1）中的表示式，两边取平方，利用向量数量积的运算律计算即得.
【详解】（1）由图可得，;---------6分
（根据学生答题情况酌情给）
（2）由题意，，
则，-----------------------------------------9分
于是，由两边取平方，--------------------------------11分
，------------------------------------14分
故.------------------------------------------------------------------------15分
18．(1)见解析；(2)
【解析】（1）连接OP，可得，利用线面平行的判定定理即可证出.
（2）以O为坐标原点，以OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，OS所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，设，求出平面PAC的一个法向量，利用向量的数量积结合图形即可求解.
【详解】(1)证明:连接OP，-----------------------------------------------------1分
因为O，P分别为BD和SD的中点，所以，-------------------------3分
又平面PAC，平面PAC，
所以平面PAC.-------------------------5分（面内面外条件没写不管少几个都扣1分）
(2)解:如图，以O为坐标原点，以OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，
OS所在直线为z轴，建立空间直角坐标系.------------------------7分
（没说明两两垂直扣1分）
设，
则，，，，------------------------9分
则，，.------------------------11分
设平面PAC的一个法向量为，
则，，
所以，令，得，------------------------13分
所以------------------------15分
所以------------------------16分
故直线BC与平面PAC的夹角为. ------------------------17分
【点睛】本题考查了线面平行的判定定理以及利用空间向量的数量积求线面角，是立体几何中的基本知识，属于基础题.
19．(1)证明见解析
(2)1
【分析】（1）取的中点，根据平面，得到，根据菱形得几何性质有，证明平面，所以.
（2）建立空间直角坐标系，设，通过计算法向量来表示二面角的余弦值，计算求得的值即可得出结果.
【详解】（1）证明：取的中点，连结，.----------------------------1分
平面，，----------------------------2分
是等边三角形，，----------------------------3分
平面平面，平面平面，平面
平面，----------------------------5分
，，，，共面，
平行四边形中，，
平行四边形为边长为2的菱形，且
在等边中，，，----------------------------6分
四边形为菱形，，，
，而平面，平面，
而平面，.-----------------------------------------------------8分
（2）由（1）得，，
平面，直线和平面所成角为，即，
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------9分
在中，，，
以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，-----------------------------------10分
设，-----------------------------------------------------11分
则， -----------------------------------------------------12分
设是平面的一个法向量，而，
则，
取，则，，-----------------------------------------------------14分
设是平面的一个法向量，而，
则，，
取，则，，，---------------------------------------------------16分
平面和平面所成角的余弦值为，
，
或（舍去），.-----------------------------------------------------17分
答案第1页，共2页长乐七中2025-2026学年第一学期10月学情诊断监测
高二
数学参考答案
题号
1
2
6
7
P
9
10
答案
B
B
B
B
B
D
C
BD
ABC
题号
11
答案
AD
1.B
【分析】利用直线倾斜角的定义得解，
【详解】直线的倾斜角a的取值范围是[0，π).
故选：B.
2.B
【分析】根据”=0可判断两平面垂直.
【详解】因为iv=2×1+(-2)×2+2×1=0,所以H⊥V,所以a,B垂直.
故选：B
3.B
【分析】易知两直线斜率存在，利用两直线平行斜率相等即可求得m的值.
【详解】由x+2y-1=0可知，其斜率为弓
又两直线平行，所以可得空，解得m=-1
故选：B
4.C
【解析】由4M=2MC,则4M=4C,因为4C=AC-AA=(AB+D)-4,由
3
AM=AA+AM,根据空间向量的基本定理即可求得。
答案第1页，共12页
D
B
【详解】
、M
D
A
B
.AM=2MC.
÷4M=名4C
3
AC=AC-AA=(AB +AD-4,
4-号衣-号西+号0-号孤。
而=瓜+=号亚+号而+石景y系有
2
3
3
3
故选：C
【点晴】本题考查空间向量的基本定理，考查向量的线性运算，考查学生的计算能力，难度较易.
5.B
【解析】计算kā+b=(k-1,k,1),根据向量垂直得到答案
【详解】a=(1,1,0),b=(-1,0,1),则ka+b=(k-1,k,1),
a+6与ā互相垂直，则(a+列a=k-1+k=0,k=
21
故选：B.
【点睛】本题考查了根据向量垂直求参数，属于简单题.
6.B
【解析】根据向量夹角的坐标表示，向量模的坐标表示，先求出cos∠AOB=cos,
以及向量的模，再得出si∠AOB,根据三角形面积公式，即可得出结果.
【详解】因为向量0A=(2,-1,2),OB=(2,2,1),
所以OA=V22+(-1)+2=3,0B=22+22+1P=3,
答案第2页，共12页
cos∠AOB=cos
OA,0B2×2-1×2+2×14
OA OB
3×3
9,
因此sin∠AOB
4)
V65
9
9
所以，以OA,
O5为邻边的三角形0AB的面积为)o4oBsin∠AOB=√
2
故选：B
7.D
【分析】建立空间直角坐标系，求平面AMN的法向量，利用空间向量求点C到平面AMN的
距离.
【详解】由题意知，该几何体为长方体，建立空间直角坐标系如下图所示，
ZA
D
B
则A(2,0,0),C(0,2,0),M(1,2,0),N(0,2,2),
可得AM=(-1,2,0),MN=（-1,0,2)CN=0,0,2),
i·AM=-x+2y=0
设平面AMN的一个法向量为n=(x,y,z),则
i.MN=-x+2z=0
设y=1,则x=2,z=2,则n=(2,1,1),
所以点C到平面AMN的距离为
CN 26
同6=3
故选：D.
8.C
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD为z轴，建立空间直角坐标系，利用
向量法能求出异面直线B,C与EF的夹角的余弦值，根据夹角最小即可求得结果，
【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD为z轴，建立空间直角坐标系，
答案第3页，共12页长乐七中2025-2026学年第一学期10月学情诊断监测
高二数学试卷
【完卷时间：120分钟；满分：150分】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角a的取值范围是()
A.(0,π)
B.[0,π)
C.(0,π]
D.[0,
阁

2.平面α的法向量为u=(2,-2,2),平面B的法向量为v=(1,2,1),则下列命题正确的是
)
A.a,B平行
B.a,B垂直
篇
r
C.a,B重合
D.a,B相交不垂直
3.若直线x+2y-1=0与x-2y+2=0平行，则实数m的值为（
)
A.-3
B.-1
C.1
D.2
4.平行六面体ABCD-ABGD中，AM=2MC,AM=xAB+yAD+zAA,则实数x,y,
4帐
年
z的值分别为
D
212
A子导着
B.333
A
221
c.333
212
0.323
5.已知向量a=(1,1,0),b=（-1,0,1),且ka+b与ā互相垂直，则k-(
A.
B.3
c号.月
6.已知向量OA=(2,-1,2),OB=(2,2,1),则以OA,OB为邻边的三角形OAB的面积
)
A.65
B.V65
C.2D.4
4
高二数学一第1页一（共4页)
D
7.如图所示，直四棱柱ABCD-ABCD底面ABCD是正方形，
B
AB=2,AA,=4,M,N分别是BC,CC的中点，则点C到平面AMN
的距离为(
)
Di,--1
A.1
B.
C.6
2
D.v6
8.如图所示，在正方体ABCD-ABCD中，点E为线段AB的中点，点F在线段AD上
移动，异面直线BC与EF所成角最小时，其余弦值为(
Di
A.0
B.
C.v10
11
D.
A
5
16
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知M(-1,1,3),N(-2,-1,4),若M,N,0三点共线，则0点坐标可能为(
A6,5,-2》B.(4,5,6)C.(-3,,-2》D.0,3,2)
10.已知空间向量a=(1,2,1),b=(3,-2,1),c(-4,4,-),则（)
A.d=V6B.a,b,c是共面向量
C.a1B D.a+b)c=10
11.正方体ABCD-AB'CD'的棱长为3，E,F分别为线段DD和BB中点，则(
)
A.A到直线BE的距离为3
B.直线AE到直线FC的距离为3
C.点B到平面ABE的距离为3V2
2
D.直线FC到平面AB'E的距离为1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
高二数学一第2页一（共4页）长乐七中2025-2026学年第一学期10月学情诊断监测
高二 数学试卷
【完卷时间：120分钟； 满分：150分】
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角α的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
A．，平行 B．，垂直
C．，重合 D．，相交不垂直
3．若直线与平行，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
4．平行六面体中，，则实数x，y，z的值分别为
A． B．
C． D．
5．已知向量，，且与互相垂直，则（ ）．
A． B． C． D．
6．已知向量，，则以，为邻边的三角形的面积（ ）
A． B． C．2 D．4
7．如图所示，直四棱柱底面是正方形，分别是的中点，则点到平面的距离为（ ）
A．1 B． C． D．
8．如图所示，在正方体中，点E为线段的中点，点F在线段上移动，异面直线与所成角最小时，其余弦值为（ ）
A．0 B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知M(-1，1，3)，N(-2，-1，4)，若M，N，O三点共线，则O点坐标可能为（ ）
A．(3，5，-2) B．(-4，-5，6) C．(，，) D．(0，3，2)
10．已知空间向量，则（ ）
A． B．是共面向量
C． D．
11．正方体的棱长为分别为线段和中点，则（ ）
A．到直线的距离为3
B．直线到直线的距离为3
C．点到平面的距离为
D．直线到平面的距离为1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知在空间直角坐标系中，点，，则 .
13．过点P，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 .
14．如图，在120°的二面角中，且，垂足分别为A，B，已知，则线段的长为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（1）已知空间向量，求；
（2）已知，若，求实数的值.
16.已知的三个顶点分别是的中点.
（1）求直线的一般式方程;
（2）求边的垂直平分线的一般式方程.
17．如图，四面体中，，分别为，上的点，且，，设，，.
(1)以为基底表示；
(2)若，且，，，求.
18．如图，在正四棱锥中，O为顶点S在底面ABCD内的投影，P为侧棱SD的中点，且.
(1)证明:平面PAC.
(2)求直线BC与平面PAC的所成角的大小.
19．如图，平行四边形中，，平面，是等边三角形，平面平面.
(1)求证：；
(2)若直线和平面所成角为，为线段上一点，当平面和平面所成角的余弦值为时，求的长.

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