资源简介

四川省成都市温江区光华实验中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷
一、选择题（每小题4分，共32分）（其中第5题包含解题视频，可扫描页眉二维码，点击对应试题进行查看）
1．（2024九上·温江期中）下列方程是关于的一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、该方程是一元一次方程，故A不符合题意；
B、该方程是一元三次方程，故B不符合题意；
C、该方程是分式方程，故C不符合题意；
D、该方程是一元二次方程，故D符合题意；
故答案选：D．
【分析】一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）．根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
2．（2024九上·温江期中）下列各组种的四条线段成比例的是（　　）
A．、、、 B．、、、
C．、、、 D．、、、
【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：故A不符合题意；
故B不符合题意；
故C符合题意；
故D不符合题意，
故答案为：C.
【分析】根据成比例线段的定义逐一判断即可得出结论.
3．（2024九上·温江期中）如图，在正方形ABCD外侧作等边，则的度数为（　　）
A．15° B．22.5° C．20° D．10°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD外侧作等边，
∴，
，，
，
故答案为：A
【分析】根据正方形与等边三角形的性质可得，，再根据等边对等角及三角形内角和定理即可求出答案.
4．（2024九上·温江期中）下列语句正确的是（　　）
A．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．平行四边形是轴对称图形
【答案】A
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
5．（2024九上·温江期中）如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即，
、添加，
∴，故A不符合题意；
、添加，
∴，故B不符合题意；
、添加，
∴，故C不符合题意；
、添加，
∴不能判定，故D符合题意；
故答案为：．
【分析】根据相似三角形的判定：如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，可对A、B进行判断，根据相似三角形的判定：如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似，可对C、D进行判断.
6．（2024九上·温江期中）如图，直线，直线和被所截，，则的长为·（　　）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵直线，直线和被所截，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D
【分析】根据“两条直线被一组平行线所截的对应线段成比例”，列出比例式，代入已知数据，求出EF，进而根据DF=DE+EF可算出答案．
7．（2024九上·温江期中）随着疫情影响和消费回顾，年电影市场向好．经统计，万达广场电影院月份客人流量万人次，月份客人流量人数达到万人次．设这两个月的月平均增长率为，根据题意列出方程，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：由题意得，，
故答案为：．
【分析】根据：增长前量增长后量，即可列出方程.
8．（2024九上·温江期中）如图，将一张两边长分别为和的矩形纸片两次对折后展开，得到四个全等的小矩形，若小矩形和原矩形相似，则x的值为（　　）
A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似多边形
【解析】【解答】解：∵大矩形的一条边长为，
∴折叠后小矩形的一条边长为，
∵小矩形和原矩形相似，
∴，
解得（负值已舍去），
故答案为：B．
【分析】由对折性质求出折叠后小矩形得一条边长为6cm，然后根据相似图形对应边成比例建立方程，求解即可.
二、填空题（每小题4分，共20分）（其中第5题包含解题视频，可扫描页眉二维码，点击对应试题进行查看）
9．（2024九上·温江期中）若，它们的面积比为，则它们的对应高的比为 　 　.
【答案】3：2
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，面积比为，
∴对应高的比是，即，
故答案为：.
【分析】根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，相似比等于对应高的比进行解答.
10．（2024九上·温江期中）把方程化成的形式，则的值是　 　．
【答案】5
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：5．
【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，对比求出m、n的值，然后代值计算即可．
11．（2024九上·温江期中）点是线段的黄金分割点，，若，则　 　．
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由题知
故答案为：.
【分析】了解黄金分割，熟记黄金分割比，按比例求解。
12．（2024九上·温江期中）在一个不透明的盒子中，装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为 ，则该盒子中装有黄色乒乓球的个数是　 　.
【答案】6
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为 ，
∴该盒子中装有黄色乒乓球的个数是：16× =6.
故答案为：6.
【分析】利用球的总数×摸到黄色乒乓球的概率即可求出黄色乒乓球的个数.
13．（2024九上·温江期中）如图，中，，两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．设点的对应点的横坐标是2，则点的横坐标是　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；坐标与图形变化﹣位似；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】如图，过点B， 分别作轴于D，轴于E，
∴．
∵的位似图形是，
∴点B， C， 在一条直线上，
∴，
∴，
，
又，
．
又∵点的横坐标是2，点C的坐标是，
∴，
，
，
∴点B的横坐标为：．
故答案为：．
【分析】过B和B'向x轴引垂线，根据位似图形性质“对应点连线经过位似中心”得点B、C、B'在同一条直线上，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似得△BCD∽△B'CE，根据相似三角形对应边的比等于相似比可得，那么利用相似比和所给B'的横坐标即可求得点B的横坐标．
三、解答题（共48分）
14．（2024九上·温江期中）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
，
，
，
，
，
（2）解： ．
．
，
∴或，
，
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法解方程即可；
（2）移项后，用提公因式法进行因式分解，求解即可.
（1），
，
，
，
∴，
，；
（2）．
，
∴或，
，．
15．（2024九上·温江期中）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知三个顶点分别为、、．
（1）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出，使与位似，且位似比为2；
（2）求的坐标；
（3）求的面积．
【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图所示，
（3）解：S△A2B2C2 =
【知识点】作图﹣位似变换；几何图形的面积计算-割补法；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【分析】（1）根据位似图形的性质，作图即可；
（2）根据点的位置，直接写出点的坐标即可；
（3）利用分割法求出三角形的面积即可．
（1）解：如图，即为所求．
（2）如图所示，的坐标为；
（3）的面积为：．
16．（2024九上·温江期中）2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“节”．我区某校在今年的“数学节”活动中开展了如下四项活动：A．趣味魔方；B．折纸活动；C．数独比赛；D．唱响数学．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有_______人；
（2）请补全条形统计图；
（3）在数独比赛项目中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中随机选取两名参加数独决赛，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
【答案】（1）200人
（2）解：喜欢C的人数为：（人），
补全条形统计图为：
（3）解：列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙）
总共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两位同学的结果有2种，
.
【知识点】条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1） 这次被调查的学生共有 ：（人），
故答案为：200.
【分析】（1）用喜欢D的人数除以其所占百分比，即可求这次被调查的学生共有多少人 ；
（2）用这次被调查总人数减去喜欢A、B、D的人数，即可求出喜欢C的人数，再补全条形统计图即可；
（3）根据题意，列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可．
17．（2024九上·温江期中）如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点、、、在同一水平面上．求灯泡到地面的高度．
【答案】解：由题意得CF∥ED，
∴，∴，
∵， ，
∴，
解得（m），
，
，
光在镜面反射中的入射角等于反射角，
，
又，
，
，
∵，，m
，
解得：，
灯泡到地面的高度为．
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【分析】先证，根据对应边成比例可推出BC的长，进一步可推出AB的长，再证，根据对应边成比例即可得AG的长度.
18．（2024九上·温江期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DEAC交AB于点E，点M是线段AD上的动点，连结BM并延长分别交线段DE，AC于点F、G．
（1）求CD的长；
（2）若点M是线段AD的中点，求的值；
（3）点M在移动过程中，当△CGE为直角三角形时，求DM的长．
【答案】解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝∠BAC＝30°，
在Rt△ADC中，CD＝AC tan30°＝3×＝．
（2）∵BC=AC÷tan30°＝3
∴BD＝3-=2，
∵DEAC，
∴∠FDM＝∠GAM，
∵点M是线段AD的中点，
∴AM=DM
在△DFM和△AGM中，
∴△DFM≌△AGM（ASA），
∴DF＝AG，
∴，
∵DEAC，
∴，
∴＝．
（3）如图，
∵ DEAC ，∠ACB=90°，
∴∠EDC=180°-∠ACB=90°，
又∵∠CGE=90°，
∴∠EDC=∠ACB=∠CGE=90°，
∴四边形CDEG是矩形，
∵DEAC
由（2）得，AC=3，
∴DE==2，
∴在矩形CDEG中，CG=DE=2
∴AG=AC-CG=3-2=1
∵DEAC
∴△BFE∽△BGA
∴
∵DEAC，
∴，
∴EF=AG=，
∴DF=DE-EF=，
∵DFAG
∴△DFM∽△AGM
∴
∵AD=
∴
解得DM=，
∴DM的长为
【知识点】三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质推出∠DAC的度数，再利用tan30°即可求出CD的长.
（2）先证△DFM≌△AGM（ASA），可得DF＝AG，再由DEAC，可得，即可解决问题．
（3）先证四边形CDEG是矩形，再求出DE、AG，根据DEAC，得到相似三角形求出EF、DF，再得到△DFM∽△AGM，列出，代入即可求解．
四、填空题（每小题4分，共20分）
19．（2024九上·温江期中）已知，且，那么　 　．
【答案】5
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
设，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：5．
【分析】据题意，设，由，可得关于k方程，可求得的值，由此即可计算出b的值．
20．（2024九上·温江期中）若是关于x的一元二次方程的解，则的值是　 　．
【答案】2025
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵是关于x的一元二次方程的解 ，
∴1+a+2b=0
∴a+2b=-1，
-2a-4b=2，
∴2023-2a-4b=2023+2=2025.
故答案为：2025.
【分析】将x=1代入方程可得到a+2b的值，再求出-2a-4b的值，然后整体代入求值.
21．（2024九上·温江期中）有一块直角边，的的铁片，现要将它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为　 　．
【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形内接矩形相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：，，，
，
如图，过点B作，垂足为P，交于Q．
，
，
，
∵在正方形，，，，
，，
，
，
∵，
∴∠QPG=90°
又∵，
∴四边形为矩形，
∴，
设，则，
∴，
∵，
解得，
∴正方形的边长为：；
故答案为：．
【分析】如图，过点B作，垂足为P，交于Q，等积法求出的长，再证明，再证四边形为矩形，可推出，设DE=x，根据相似三角形对应边上的高线比等于相似比，列出比例式，进行求解即可．
22．（2024九上·温江期中）如图，在菱形中，对角线交于点，点为的中点，点在上，，连接交于点，若，连接，则线段的长为　 　．
【答案】
【知识点】菱形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：取的中点为，连接，
四边形为菱形，
，
为的中点，为的中点，
为的中位线，OB=2OM，
，
同理，，
∵，
∴
∵，
∴，
又∵OB=2OM，
∴，
又∵OF=MF-OM，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，，
∵点E是的中点，，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】取的中点为，连接 ，由菱形的性质可得，由三角形的中位线定理可得，同理可得，，由，推出，证明，依次求出、、的长，根据三角形中线的性质得到，则可求出，最后由勾股定理可得的长
23．（2024九上·温江期中）如图，在正方形中，点是边延长线上一动点，连接、．则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆-动点问题
【解析】【解答】解：如图，以为直径作圆，在圆上找一点，使得，连接，，
∵AD是圆O的直径，
∴∠AFD=90°，
四边形是正方形，
，AB=AD，
∴
，
又∵
，
，
，
，即，
，
，
，
当取最大值时，的值最小，
当经过圆心时，最大，
令正方形的边长为，则，
又∵∠BAD=90°，
，
，
为最小值，
故答案为：．
【分析】如图，以为直径作圆，在圆上找一点，使得，连接，，先证明，得到，再证明，得到，由此可得当最大时，的值最小，观察图形可得当经过圆心时，可取得最大值，此时，利用勾股定理求出的值即可求出的值，进而求出答案．
五、解答题（共30分）
24．（2024九上·温江期中）某连锁超市以每支3元的价格购进某品牌牙膏，规定牙膏销售单价不低于进价又不高于5.5元，经市场调研发现，牙膏的日均销售量y（万支）与销售单价x（元）之间存在着如图所示关系．
（1）求牙膏的日均销售量y（万支）关于销售单价x（元）的函数表达式（写出x的取值范围）；
（2）该超市日均销售利润达到9万元时，请求出销售单价．
【答案】（1）解：设，
将，代入得，
解得：，
牙膏的日均销售量y（万支）关于销售单价x（元）的函数表达式为：
（2）解：由题意得：，
解得：，，
∵6＞5.5，
∴，不合题意，舍去，
销售单价为4元
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据图中给定的数据，利用待定系数法即可求出y关于的函数表达式；
（2）利用总利润等于每支的销售利润乘以日销售量，可得出关于的一元二次方程，解方程求出x的值，再找出满足题意的解即可．
（1）解：设牙膏的日均销售量y（万支）关于销售单价x（元）的函数表达式为：，
将，代入得，
解得：，
牙膏的日均销售量y（万支）关于销售单价x（元）的函数表达式为：；
（2）由题意得：，整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
销售单价为4元．
25．（2024九上·温江期中）已知关于x的方程x2-（3k+1）x+2k2+2k=0，
（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根．
（2）若等腰△ABC的一边长为a=6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长．
【答案】（1）见解析；（2）16或22
（1）证明：△=[-(3k+1)]2-4×1×(2k2+2k)=k2-2k+1=( k-1)2≥0，
∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；
（2）解：当a=6为腰时，
由题意，6是方程x2-(3k+1)x+2k2+2k=0的一个根，
代入得36-6（3k+1）+2k2+2k=0，化简得k2-8k+15=0，k=3或k=5，
若k=3，原方程x2-10x+24=0，两根为x1=4，x2=6，此时周长为4+6+6=16；
若k=5，原方程x2-16x+60=0，两根为x1=6，x2=10，此时周长为6+6+10=22；
当a=6为底时，
由题意，方程x2-(3k+1)x+2k2+2k=0有两个相同实数根，
△=( k-1)2=0，k=1，
原方程x2-4x+4=0，x1=x2=2，此时三边6，2，2无法构成三角形，舍去；
综上，等腰三角形的周长为16或22．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）化简判别式后，利用判别式△≥0即可得出结论．
（2）把a作为腰或底进行分类讨论，a为腰时，a也是方程的根；a为底时，方程有两个相同实数根；由此得到k的值，代回原方程得到两根，进而求出周长．
26．（2024九上·温江期中）在平面直角坐标系中，如图1，已知点，点在线段上，且，若点在轴的正半轴上，连接，过点作，点是射线上一点，过点作轴，垂足为点．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，若与相似，请直接写出点的坐标；
（3）如图3，若点坐标为．过点作轴，且和的延长线交于点，若点关于直线的对称点正好落在线段上．求点的坐标．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：点E的坐标为：或
（3）解：如图2中， 过点作于， 延长交的延长线于F，
∵，
∴，
设， 则，
∵轴，
∴，
∴，
，
∴，
由折叠的性质可得，，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得或，
或．
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，，
，
，
，
；
当时，，
∴，
，
，
∴；
综上所述，满足条件的点E的坐标为或；
【分析】（1）先由垂直的定义得到，再根据直角三角形两锐角互余、平角定义及同角的余角相等得到，从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可证明；
（2）先求出，进而根据含30°角直角三角形性质求出OP、BP的长，再求出，再分当时，， 当时，，两种情况求出的长，进而求出的长即可得到答案；
（3）如图中， 过点作于， 延长交的延长线于，设，则，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得AD∥x轴，由平行于三角形一边得直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△FBA∽△PBO，由相似三角形对应边成比例推出，由折叠的性质可得，，再证明，由等角对等边推出 进而推出， 在中，根据勾股定理建立方程，求解即可．
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，，
，
，
，
；
当时，，
∴，
，
，
∴；
综上所述，满足条件的点E的坐标为或；
（3）解：如图2中， 过点作于， 延长交的延长线于F，
∵，
∴，
设， 则，
∵轴，
∴，
∴，，
∴，
，
∴，
由折叠的性质可得，，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得或，
或．
1 / 1四川省成都市温江区光华实验中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷
一、选择题（每小题4分，共32分）（其中第5题包含解题视频，可扫描页眉二维码，点击对应试题进行查看）
1．（2024九上·温江期中）下列方程是关于的一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024九上·温江期中）下列各组种的四条线段成比例的是（　　）
A．、、、 B．、、、
C．、、、 D．、、、
3．（2024九上·温江期中）如图，在正方形ABCD外侧作等边，则的度数为（　　）
A．15° B．22.5° C．20° D．10°
4．（2024九上·温江期中）下列语句正确的是（　　）
A．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．平行四边形是轴对称图形
5．（2024九上·温江期中）如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024九上·温江期中）如图，直线，直线和被所截，，则的长为·（　　）
A．2 B．3 C． D．
7．（2024九上·温江期中）随着疫情影响和消费回顾，年电影市场向好．经统计，万达广场电影院月份客人流量万人次，月份客人流量人数达到万人次．设这两个月的月平均增长率为，根据题意列出方程，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024九上·温江期中）如图，将一张两边长分别为和的矩形纸片两次对折后展开，得到四个全等的小矩形，若小矩形和原矩形相似，则x的值为（　　）
A．9 B．12 C．15 D．18
二、填空题（每小题4分，共20分）（其中第5题包含解题视频，可扫描页眉二维码，点击对应试题进行查看）
9．（2024九上·温江期中）若，它们的面积比为，则它们的对应高的比为 　 　.
10．（2024九上·温江期中）把方程化成的形式，则的值是　 　．
11．（2024九上·温江期中）点是线段的黄金分割点，，若，则　 　．
12．（2024九上·温江期中）在一个不透明的盒子中，装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为 ，则该盒子中装有黄色乒乓球的个数是　 　.
13．（2024九上·温江期中）如图，中，，两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．设点的对应点的横坐标是2，则点的横坐标是　 　．
三、解答题（共48分）
14．（2024九上·温江期中）解方程：
（1）；
（2）．
15．（2024九上·温江期中）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知三个顶点分别为、、．
（1）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出，使与位似，且位似比为2；
（2）求的坐标；
（3）求的面积．
16．（2024九上·温江期中）2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“节”．我区某校在今年的“数学节”活动中开展了如下四项活动：A．趣味魔方；B．折纸活动；C．数独比赛；D．唱响数学．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有_______人；
（2）请补全条形统计图；
（3）在数独比赛项目中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中随机选取两名参加数独决赛，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
17．（2024九上·温江期中）如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点、、、在同一水平面上．求灯泡到地面的高度．
18．（2024九上·温江期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DEAC交AB于点E，点M是线段AD上的动点，连结BM并延长分别交线段DE，AC于点F、G．
（1）求CD的长；
（2）若点M是线段AD的中点，求的值；
（3）点M在移动过程中，当△CGE为直角三角形时，求DM的长．
四、填空题（每小题4分，共20分）
19．（2024九上·温江期中）已知，且，那么　 　．
20．（2024九上·温江期中）若是关于x的一元二次方程的解，则的值是　 　．
21．（2024九上·温江期中）有一块直角边，的的铁片，现要将它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为　 　．
22．（2024九上·温江期中）如图，在菱形中，对角线交于点，点为的中点，点在上，，连接交于点，若，连接，则线段的长为　 　．
23．（2024九上·温江期中）如图，在正方形中，点是边延长线上一动点，连接、．则的最小值为　 　．
五、解答题（共30分）
24．（2024九上·温江期中）某连锁超市以每支3元的价格购进某品牌牙膏，规定牙膏销售单价不低于进价又不高于5.5元，经市场调研发现，牙膏的日均销售量y（万支）与销售单价x（元）之间存在着如图所示关系．
（1）求牙膏的日均销售量y（万支）关于销售单价x（元）的函数表达式（写出x的取值范围）；
（2）该超市日均销售利润达到9万元时，请求出销售单价．
25．（2024九上·温江期中）已知关于x的方程x2-（3k+1）x+2k2+2k=0，
（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根．
（2）若等腰△ABC的一边长为a=6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长．
26．（2024九上·温江期中）在平面直角坐标系中，如图1，已知点，点在线段上，且，若点在轴的正半轴上，连接，过点作，点是射线上一点，过点作轴，垂足为点．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，若与相似，请直接写出点的坐标；
（3）如图3，若点坐标为．过点作轴，且和的延长线交于点，若点关于直线的对称点正好落在线段上．求点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、该方程是一元一次方程，故A不符合题意；
B、该方程是一元三次方程，故B不符合题意；
C、该方程是分式方程，故C不符合题意；
D、该方程是一元二次方程，故D符合题意；
故答案选：D．
【分析】一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）．根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
2．【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：故A不符合题意；
故B不符合题意；
故C符合题意；
故D不符合题意，
故答案为：C.
【分析】根据成比例线段的定义逐一判断即可得出结论.
3．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD外侧作等边，
∴，
，，
，
故答案为：A
【分析】根据正方形与等边三角形的性质可得，，再根据等边对等角及三角形内角和定理即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
5．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即，
、添加，
∴，故A不符合题意；
、添加，
∴，故B不符合题意；
、添加，
∴，故C不符合题意；
、添加，
∴不能判定，故D符合题意；
故答案为：．
【分析】根据相似三角形的判定：如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，可对A、B进行判断，根据相似三角形的判定：如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似，可对C、D进行判断.
6．【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵直线，直线和被所截，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D
【分析】根据“两条直线被一组平行线所截的对应线段成比例”，列出比例式，代入已知数据，求出EF，进而根据DF=DE+EF可算出答案．
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：由题意得，，
故答案为：．
【分析】根据：增长前量增长后量，即可列出方程.
8．【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似多边形
【解析】【解答】解：∵大矩形的一条边长为，
∴折叠后小矩形的一条边长为，
∵小矩形和原矩形相似，
∴，
解得（负值已舍去），
故答案为：B．
【分析】由对折性质求出折叠后小矩形得一条边长为6cm，然后根据相似图形对应边成比例建立方程，求解即可.
9．【答案】3：2
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，面积比为，
∴对应高的比是，即，
故答案为：.
【分析】根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，相似比等于对应高的比进行解答.
10．【答案】5
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：5．
【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，对比求出m、n的值，然后代值计算即可．
11．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由题知
故答案为：.
【分析】了解黄金分割，熟记黄金分割比，按比例求解。
12．【答案】6
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为 ，
∴该盒子中装有黄色乒乓球的个数是：16× =6.
故答案为：6.
【分析】利用球的总数×摸到黄色乒乓球的概率即可求出黄色乒乓球的个数.
13．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；坐标与图形变化﹣位似；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】如图，过点B， 分别作轴于D，轴于E，
∴．
∵的位似图形是，
∴点B， C， 在一条直线上，
∴，
∴，
，
又，
．
又∵点的横坐标是2，点C的坐标是，
∴，
，
，
∴点B的横坐标为：．
故答案为：．
【分析】过B和B'向x轴引垂线，根据位似图形性质“对应点连线经过位似中心”得点B、C、B'在同一条直线上，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似得△BCD∽△B'CE，根据相似三角形对应边的比等于相似比可得，那么利用相似比和所给B'的横坐标即可求得点B的横坐标．
14．【答案】（1）解：，
，
，
，
，
，
（2）解： ．
．
，
∴或，
，
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法解方程即可；
（2）移项后，用提公因式法进行因式分解，求解即可.
（1），
，
，
，
∴，
，；
（2）．
，
∴或，
，．
15．【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图所示，
（3）解：S△A2B2C2 =
【知识点】作图﹣位似变换；几何图形的面积计算-割补法；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【分析】（1）根据位似图形的性质，作图即可；
（2）根据点的位置，直接写出点的坐标即可；
（3）利用分割法求出三角形的面积即可．
（1）解：如图，即为所求．
（2）如图所示，的坐标为；
（3）的面积为：．
16．【答案】（1）200人
（2）解：喜欢C的人数为：（人），
补全条形统计图为：
（3）解：列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙）
总共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两位同学的结果有2种，
.
【知识点】条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1） 这次被调查的学生共有 ：（人），
故答案为：200.
【分析】（1）用喜欢D的人数除以其所占百分比，即可求这次被调查的学生共有多少人 ；
（2）用这次被调查总人数减去喜欢A、B、D的人数，即可求出喜欢C的人数，再补全条形统计图即可；
（3）根据题意，列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可．
17．【答案】解：由题意得CF∥ED，
∴，∴，
∵， ，
∴，
解得（m），
，
，
光在镜面反射中的入射角等于反射角，
，
又，
，
，
∵，，m
，
解得：，
灯泡到地面的高度为．
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【分析】先证，根据对应边成比例可推出BC的长，进一步可推出AB的长，再证，根据对应边成比例即可得AG的长度.
18．【答案】解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝∠BAC＝30°，
在Rt△ADC中，CD＝AC tan30°＝3×＝．
（2）∵BC=AC÷tan30°＝3
∴BD＝3-=2，
∵DEAC，
∴∠FDM＝∠GAM，
∵点M是线段AD的中点，
∴AM=DM
在△DFM和△AGM中，
∴△DFM≌△AGM（ASA），
∴DF＝AG，
∴，
∵DEAC，
∴，
∴＝．
（3）如图，
∵ DEAC ，∠ACB=90°，
∴∠EDC=180°-∠ACB=90°，
又∵∠CGE=90°，
∴∠EDC=∠ACB=∠CGE=90°，
∴四边形CDEG是矩形，
∵DEAC
由（2）得，AC=3，
∴DE==2，
∴在矩形CDEG中，CG=DE=2
∴AG=AC-CG=3-2=1
∵DEAC
∴△BFE∽△BGA
∴
∵DEAC，
∴，
∴EF=AG=，
∴DF=DE-EF=，
∵DFAG
∴△DFM∽△AGM
∴
∵AD=
∴
解得DM=，
∴DM的长为
【知识点】三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质推出∠DAC的度数，再利用tan30°即可求出CD的长.
（2）先证△DFM≌△AGM（ASA），可得DF＝AG，再由DEAC，可得，即可解决问题．
（3）先证四边形CDEG是矩形，再求出DE、AG，根据DEAC，得到相似三角形求出EF、DF，再得到△DFM∽△AGM，列出，代入即可求解．
19．【答案】5
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
设，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：5．
【分析】据题意，设，由，可得关于k方程，可求得的值，由此即可计算出b的值．
20．【答案】2025
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵是关于x的一元二次方程的解 ，
∴1+a+2b=0
∴a+2b=-1，
-2a-4b=2，
∴2023-2a-4b=2023+2=2025.
故答案为：2025.
【分析】将x=1代入方程可得到a+2b的值，再求出-2a-4b的值，然后整体代入求值.
21．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形内接矩形相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：，，，
，
如图，过点B作，垂足为P，交于Q．
，
，
，
∵在正方形，，，，
，，
，
，
∵，
∴∠QPG=90°
又∵，
∴四边形为矩形，
∴，
设，则，
∴，
∵，
解得，
∴正方形的边长为：；
故答案为：．
【分析】如图，过点B作，垂足为P，交于Q，等积法求出的长，再证明，再证四边形为矩形，可推出，设DE=x，根据相似三角形对应边上的高线比等于相似比，列出比例式，进行求解即可．
22．【答案】
【知识点】菱形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：取的中点为，连接，
四边形为菱形，
，
为的中点，为的中点，
为的中位线，OB=2OM，
，
同理，，
∵，
∴
∵，
∴，
又∵OB=2OM，
∴，
又∵OF=MF-OM，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，，
∵点E是的中点，，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】取的中点为，连接 ，由菱形的性质可得，由三角形的中位线定理可得，同理可得，，由，推出，证明，依次求出、、的长，根据三角形中线的性质得到，则可求出，最后由勾股定理可得的长
23．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆-动点问题
【解析】【解答】解：如图，以为直径作圆，在圆上找一点，使得，连接，，
∵AD是圆O的直径，
∴∠AFD=90°，
四边形是正方形，
，AB=AD，
∴
，
又∵
，
，
，
，即，
，
，
，
当取最大值时，的值最小，
当经过圆心时，最大，
令正方形的边长为，则，
又∵∠BAD=90°，
，
，
为最小值，
故答案为：．
【分析】如图，以为直径作圆，在圆上找一点，使得，连接，，先证明，得到，再证明，得到，由此可得当最大时，的值最小，观察图形可得当经过圆心时，可取得最大值，此时，利用勾股定理求出的值即可求出的值，进而求出答案．
24．【答案】（1）解：设，
将，代入得，
解得：，
牙膏的日均销售量y（万支）关于销售单价x（元）的函数表达式为：
（2）解：由题意得：，
解得：，，
∵6＞5.5，
∴，不合题意，舍去，
销售单价为4元
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据图中给定的数据，利用待定系数法即可求出y关于的函数表达式；
（2）利用总利润等于每支的销售利润乘以日销售量，可得出关于的一元二次方程，解方程求出x的值，再找出满足题意的解即可．
（1）解：设牙膏的日均销售量y（万支）关于销售单价x（元）的函数表达式为：，
将，代入得，
解得：，
牙膏的日均销售量y（万支）关于销售单价x（元）的函数表达式为：；
（2）由题意得：，整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
销售单价为4元．
25．【答案】（1）见解析；（2）16或22
（1）证明：△=[-(3k+1)]2-4×1×(2k2+2k)=k2-2k+1=( k-1)2≥0，
∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；
（2）解：当a=6为腰时，
由题意，6是方程x2-(3k+1)x+2k2+2k=0的一个根，
代入得36-6（3k+1）+2k2+2k=0，化简得k2-8k+15=0，k=3或k=5，
若k=3，原方程x2-10x+24=0，两根为x1=4，x2=6，此时周长为4+6+6=16；
若k=5，原方程x2-16x+60=0，两根为x1=6，x2=10，此时周长为6+6+10=22；
当a=6为底时，
由题意，方程x2-(3k+1)x+2k2+2k=0有两个相同实数根，
△=( k-1)2=0，k=1，
原方程x2-4x+4=0，x1=x2=2，此时三边6，2，2无法构成三角形，舍去；
综上，等腰三角形的周长为16或22．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）化简判别式后，利用判别式△≥0即可得出结论．
（2）把a作为腰或底进行分类讨论，a为腰时，a也是方程的根；a为底时，方程有两个相同实数根；由此得到k的值，代回原方程得到两根，进而求出周长．
26．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：点E的坐标为：或
（3）解：如图2中， 过点作于， 延长交的延长线于F，
∵，
∴，
设， 则，
∵轴，
∴，
∴，
，
∴，
由折叠的性质可得，，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得或，
或．
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，，
，
，
，
；
当时，，
∴，
，
，
∴；
综上所述，满足条件的点E的坐标为或；
【分析】（1）先由垂直的定义得到，再根据直角三角形两锐角互余、平角定义及同角的余角相等得到，从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可证明；
（2）先求出，进而根据含30°角直角三角形性质求出OP、BP的长，再求出，再分当时，， 当时，，两种情况求出的长，进而求出的长即可得到答案；
（3）如图中， 过点作于， 延长交的延长线于，设，则，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得AD∥x轴，由平行于三角形一边得直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△FBA∽△PBO，由相似三角形对应边成比例推出，由折叠的性质可得，，再证明，由等角对等边推出 进而推出， 在中，根据勾股定理建立方程，求解即可．
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，，
，
，
，
；
当时，，
∴，
，
，
∴；
综上所述，满足条件的点E的坐标为或；
（3）解：如图2中， 过点作于， 延长交的延长线于F，
∵，
∴，
设， 则，
∵轴，
∴，
∴，，
∴，
，
∴，
由折叠的性质可得，，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得或，
或．
1 / 1

展开更多......

收起↑