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2026届棠张中学月考试卷（20261018）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合，，则
A． B． C． D．
2．复数的虚部为
A． B． C． D．
3．已知圆锥的母线长为，侧面积为，则该圆锥的内切球的表面积为
A． B． C． D．
4．等比数列的各项均为正数，若，，则
A． B． C． D．
5．已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为
A． B． C． D．
6．在直角坐标系中，已知直线与圆相交于两点，则的面积的最大值为
A． B． C． D．
7．已知，，则
A． B． C． D．
8．已知定义在上的函数满足，且，则
A． B． C．是增函数 D．是减函数
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知函数，则
A．的图象关于点对称
B．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
C．在区间单调递减 D．当时，的值域为
10．已知正方体的棱长为，点分别是棱，的中点，则
A．直线与直线的夹角为
B．直线与平面所成角的正弦值为
C．点到平面的距离为 D．三棱锥的外接球的半径为
11．已知函数.
A．函数为单调减函数 B．函数的对称中心为
C．若对，恒成立，则
D．函数，与函数的图象所有交点纵坐标之和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知随机变量服从二项分布，若，则__________.
13．在四面体中，是正三角形，是等腰直角三角形，，平面平面，点在棱上，使得四面体与四面体的体积之比为，则二面角的余弦值为__________.
14．设等差数列的前项和为，已知，，设，则______，数列的前项和为_____（用表示）.（第1空2分，第2空3分）
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产能（单位：）与相应的生产能耗（单位：标准煤）的几组对应数据：
标准煤
（1）求关于的经验回归方程；
（2）已知该厂技术改造前产品的生产能耗为标准煤，试根据（1）中求出的经验回归方程，预测该厂技术改造后产品的生产能耗比技术改造前降低了多少标准煤.
参考公式：
16．（15分）已知数列是公差大于的等差数列，，且，，成等比数列，若数列前项和为，并满足，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若，求数列前项的和.
17．（15分）设函数，.
（1）若函数为偶函数，求实数的值；
（2）当且时，解不等式.
18.（17分）如图，在棱长为的正方体中，、、分别为棱、、的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正切值.
19．在凸四边形中，，，，．
(1)若，求；
(2)若的角平分线交对角线于点，求的最大值．
2026届棠张中学月考试卷答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合，，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，选B.
2．复数的虚部为
A． B． C． D．
【答案】A
3．已知圆锥的母线长为，侧面积为，则该圆锥的内切球的表面积为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，，内切球半径
，选C.
4．等比数列的各项均为正数，若，，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，则，，舍或
，选B.
5．已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在上的投影向量，，为外心，
，共线，是以为直角的直角三角形
，，，，选B.
6．在直角坐标系中，已知直线与圆相交于两点，则的面积的最大值为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，
，选D.
7．已知，，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，
，选D.
8．已知定义在上的函数满足，且，则
A． B． C．是增函数 D．是减函数
【答案】B
【解析】，则，，
则，，即，B对.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知函数，则
A．的图象关于点对称
B．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
C．在区间单调递减
D．当时，的值域为
【答案】AC
【解析】，关于对称，A对.
向左平移个单位变为，B错.
，则，的一个单调减区间
而，在单调递减，C对.
，则，，，D错.
选AC.
10．已知正方体的棱长为，点分别是棱，的中点，则
A．直线与直线的夹角为
B．直线与平面所成角的正弦值为
C．点到平面的距离为
D．三棱锥的外接球的半径为
【答案】ABD
【解析】，与的夹角为与的夹角即，为正三角形，，A对.
面，，，
与平面所成角的正弦值为，B对.
设平面的法向量，，
不放设，则，，，，C错.
对于D，的外接圆是以为直径的圆上，设圆心为，
，，，D对.
11．已知函数.
A．函数为单调减函数
B．函数的对称中心为
C．若对，恒成立，则
D．函数，与函数的图象所有交点纵坐标之和为
【答案】BCD
【解析】时，，时，为单减函数，
A错.
，关于对称，B对.
，即，资料分享Q群：742511557即在时恒成立
，，C对.
也关于对称，的周期为，一个周期与有两个交点，
个周期有个交点，与在共个交点
，D对，选BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知随机变量服从二项分布，若，则__________.
【答案】
【解析】，，，.
13．在四面体中，是正三角形，是等腰直角三角形，，平面平面，点在棱上，使得四面体与四面体的体积之比为，则二面角的余弦值为__________.
【答案】
【解析】设，则，取中点
，，，，为中点
平面平面，，，
二面角为，.
14．设等差数列的前项和为，已知，，设，则__________，数列的前项和为__________（用表示）.（第1空2分，第2空3分）
【答案】；
【解析】，，
，
.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产能（单位：）与相应的生产能耗（单位：标准煤）的几组对应数据：
标准煤
（1）求关于的经验回归方程；
（2）已知该厂技术改造前产品的生产能耗为标准煤，试根据（1）中求出的经验回归方程，预测该厂技术改造后产品的生产能耗比技术改造前降低了多少标准煤.
参考公式：
【解析】
（1），，，
，，
.
（2），，即改造后预测生产能耗为
，
预测该厂改造后产品的生产能耗比技术改造前降低了标准煤.
16．（15分）已知数列是公差大于的等差数列，，且，，成等比数列，若数列前项和为，并满足，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若，求数列前项的和.
【解析】
（1）设公差为，由，，成等比数列
，，
又①，②，
②①，
而，，，
综上：，
（2）
①，
②，
①②
，
.
17．（15分）设函数，.
（1）若函数为偶函数，求实数的值；
（2）当且时，解不等式.
【解析】
（1）为偶函数，，经检验符合，故.
（2）时，
，显然
当时，，只需
当时，，只需
综上：不等式解集为.
18.（17分）如图，在棱长为的正方体中，、、分别为棱、、的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正切值.
【解析】
（1）证明：正方体中，分别为棱，的中点，
所以，平面，平面
所以，所以，
正方形中，为的中点，资料分享Q群：742511557为的中点，
所以，所以，设、交点为，
则，所以，即；
又、平面，，
所以平面.
（2）方法一：在中，过点作于，连.
由（1）知平面，故，
又、平面，所以平面，所以，
所以为二面角的平面角.
在中，，所以，
在，，所以，
所以，所以.所以，所以，
在中，，，所以，，
在中，，所以，
在中，
所以二面角的正切值为.
方法二：如图，以点为原点，分别以、、为轴建立空间直角坐标系.
因为正方体棱长为，分别为棱，，的中点.
所以，，，，.
所以，.
由（1）知平面，所以是平面的一个法向量，
设是平面的法向量，
则取，得，
所以，所以二面角的余弦值为，
所以二面角的资料分享Q群：742511557正切值为.
19．(1)；(2)．
【分析】（1）运用差角公式求得，再运用正弦定理求得CD即可.
（2）运用余弦定理及基本不等式求得的范围，由等面积法求得CE，将问题转化为求关于的二次型函数在区间上的最值.
【详解】（1）连接，如图，
中，，，，，
所以，，
所以，
中，；
∴.
（2）中，，
∴，当且仅当时取等号，
∴，即：，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
令，
∴，，
∵在上单调递增，
∴当时，y取得最大值为.
∴的最大值为.

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