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乾县第二中学2025-2026学年高三第二次阶段性检测
数学试题
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数满足，则的虚部为（ ）
A．1 B． C． D．
3．已知函数y=f(x)的图象是连续不间断的，有如下对应表：
x 1 2 3 4 5 6
y 122.5 21.4 -7.4 4.5 -53.1 -125.5
那函数f(x)在区间[1，6]上的零点个数是（ ）
A．只有2个 B．至多3个 C．只有3个 D．至少3个
4．已知向量满足，则（ ）
A． B． C．0 D．1
5．化简（ ）
A．1 B． C．2 D．
6．已知函数满足对任意实数都有，且当时，则（ ）
A． B． C．-1 D．1
7．已知定义在R上的函数满足则等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．已知函数，若与的图像上分别存在点，使得关于直线对称，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知复数，则（ ）
A． B．的共轭复数为
C． D．
10．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
11．函数是定义在上不恒为零的可导函数，对任意的x，均满足：，，则（ ）
A． B．
C． D．
三 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．已知，则 ．
13．已知函数对定义域内的任意实数满足，则 .
14．意大利画家列奥纳多达芬奇的画作抱银貂的女人中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数解析式：，其中a为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地双曲正弦函数的函数表达式为若直线与双曲余弦函数与双曲正弦函数分别相交于点，曲线在点A处的切线，曲线在点B处的切线相交于点P，且为钝角三角形，则实数m的取值范围为 .
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．如图，在平面直角坐标系中，角，的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边，分别与单位圆交于点A，B，已知，，，且点A的纵坐标为．
(1)求的值；
(2)求点B的坐标．
16．已知正项数列满足：．
(1)证明是等比数列，并求通项；
(2)若，求数列的前项和的表达式．
17．现有一张长为40，宽为30的长方形铁皮ABCD，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求铁皮材料的利用率为（剪切与焊接不可避免），不考虑剪切与焊接处的损耗与增加，如图，在长方形ABCD的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面.设做成后的长方体铁皮盒的底面是边长为x的正方形，高为y，体积为V.

(1)求无盖长方体铁皮盒的表面积（用x，y表示）；
(2)写出y关于x的函数关系式，并写出x的范围；
(3)要使得无盖长方体铁盒的容积最大、对应的x为多少？并求出V的最大值.
18．设数列的前n项和为．已知，．
(1)求的值；
(2)求证：为等差数列；
(3)证明：对一切正整数n，有．
19．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求的取值范围；
(3)若对任意恒成立，求的取值范围.
参考答案
1．A
由，，
则.
2．A
因为，可得，
所以，所以的虚部为.
3．D
因为函数的图象是连续不间断的,且
所以根据零点存在性定理,函数在区间上至少存在一个零点；
同理，由,得函数在区间上至少存在一个零点；
由,得函数在区间上至少存在一个零点.
但不能判断函数在其它区间上是否有零点.
因此，函数在区间上至少存在3个零点.
4．B
向量满足，
所以.
5．C
原式
，
6．A
由可得：，
又因为，所以，
则有，即函数的周期为2，
则，
7．C
由题设，当时，，
即当时，3是函数的一个周期，
则．
8．D
因为与的图像上分别存在点，使得关于直线对称，
令
则
即在上有解，
即在上有解
即在上有解，
设，，
则，
当时，，故在为增函数，
当时，，故在为减函数，
而，
故在上的值域为，
故
即，
9．AC
，故A正确；
的共轭复数为，故B错误；
，故C正确；
虚数无法比大小，故D错误.
10．BC
A：若，则，故A错；
B：由，则，故B对；
C：，
由，，故，则，故C对；
D：若，则，故D错.
11．ABD
令，得，代入，得，
令，可得，故A正确；
当为正整数时，，
所以，
所以，代入，得，
所以，又当时，也符合题意，
所以.
，故B正确；
所以，
令，
则，
所以，
所以，所以，故D正确.
因为当不为正整数时，也满足，
所以可取
此时，，即不成立，故C不正确；
12．/
因为，
所以，
所以．
13．
由，得，即①，将换为，得②，由①+2②，得，故.
14．
由题可知：，，
，则，，
则：，
同理：，故，
所以，
于是，
因为，所以，
所以，均为锐角，从而为钝角.
由得：，
故实数m的取值范围为.
15．（1）由题意可知：，则，，，
所以
（2）由题意可知，
∴，
，
∴.
16．（1）证明：由，得，
因为是正项数列，所以，即，
所以是公比为的等比数列，又，得，
所以.故
（2）由（1）知，所以.
所以，
即，
，
所以 ，
所以.
故.
17．（1）设无盖长方体铁皮盒的表面积为，则
（2）因为材料利用率为,所以，即；
因为长方形铁皮长为40，宽为30，故，综上，.
（3）铁皮盒体积，
其中，，令，得，列表如下：
+ 0
单调递增 极大值 单调递减
所以，函数在区间上为增函数，在上为减函数，
则当时，取最大值，且最大值为
18．（1）数列中，，
当时，，而，则，
当时，，所以.
（2）由，得，
当时，，
两式相减得，即，
整理得，而，
故数列是首项为，公差为1的等差数列.
（3）由（2）知，则，
当时，，原不等式成立；
当时，，原不等式成立；
当时，由，得，
因此
，
所以对一切正整数，有.
19．（1）的定义域为，
当时，时，时，；
当时，时，；
当时，时，；时；
当时，时；时；
综上，时，的递减区间是，递增区间是；
时，的递增区间是，无递减区间；
时，的递增区间是和，递减区间是；
时，的递增区间是和，递减区间是.
（2）令得，
设，则，
当时，在上递减；当时，在上递增，
则.
又因时，时，作出函数的图象，
由图可得，要使直线与函数的图象有两个交点，须使，
即，故的取值范围是.
（3）由得，
因，即得，（*），
易得时，不等式成立，
设，，
则，
当时，，函数在上单调递增，故，（*）恒成立；
当时，设，
则方程有两根，，可得
当时，，则，在上单调递减；
又，所以当时，，不满足条件，
综上，的取值范围是.

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