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湖北省武汉市武昌区拼搏联盟2024-2025学年八年级上学期期中数学试题
1．（2024八上·武昌期中）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8 B．5，6，11 C．7，7，14 D．5，6，10
2．（2024八上·武昌期中）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024八上·武昌期中）安装空调一般会采用如图的方法固定，其依据的几何原理是（　　）
A．三角形的稳定性 B．三角形内角和为
C．三角形两边之和大于第三边 D．两点确定一条直线
4．（2024八上·武昌期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图能得出的依据是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八上·武昌期中）点关于y轴的对称点的坐标是（　　）．
A． B． C． D．
6．（2024八上·武昌期中）一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的内角和(　　)
A． B． C． D．
7．（2024八上·武昌期中）如图，，，，，垂足分别为D、E点，，．则的长是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024八上·武昌期中）如图，在中，，垂直平分，垂足为D，交于点E，平分，那么下列关系式中不成立的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024八上·武昌期中）如图，已知，点P是内部一点，点M、N分别是、上的动点．当的周长最小时，的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．（2024八上·武昌期中）已知中，，，，，于点D，的平分线交于点E，则的面积为（　　）
A． B．3 C． D．
11．（2024八上·武昌期中）如图，点E、F在上，，，、相交于点G，要使得，则还需添加的条件为　 　．
12．（2024八上·武昌期中）一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为　 　cm.
13．（2024八上·武昌期中）如图，为了促进当地旅游发展，某地区要修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，这个度假村的选址有　 　处可供选择．
14．（2024八上·武昌期中）已知点，若点M关于x轴对称点在第四象限，则a的取值范围　 　．
15．（2024八上·武昌期中）在四边形中，有下列几个命题：
①若平分，，则；
②若平分，，则；
③若平分，，且，，则；
④若，，则平分．
其中真命题有　 　．
16．（2024八上·武昌期中）如图，在四边形中，，，点E在上，，，，则的长度为　 　．
17．（2024八上·武昌期中）如图，点B、E、C、F在一条直线上，，，．求证：．
18．（2024八上·武昌期中）已知一个多边形的内角和与外角和的差为1080°．
（1）求这个多边形的边数．
（2）求此多边形的对角线条数．
19．（2024八上·武昌期中）如图1，在四边形中，，E为的中点，平分．
（1）求证：平分；
（2）如图2，若将“”改为“”，其他条件不变．，，则________．
20．（2024八上·武昌期中）如图，在等边中，是的平分线，D 为上一点，以为一边且在下方作等边，连接．
（1）求证：；
（2）已知，求点O到之间的距离．
21．（2024八上·武昌期中）如图1，在的长方形网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的每一个顶点叫做格点．线段和的顶点都在格点上．
（1）请仅用无刻度直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
①请画出的中线和高．
②在线段右侧找到点F，使得．
（2）要求在图2中仅用无刻度的直尺作图在x轴上找点F，使平分．
22．（2024八上·武昌期中）如图，小明和小楠两人围绕一个三角形的场地做游戏，开始时小明和小楠分别站在A、B两点，．已知小明的速度是，小楠的速度是，当小楠第一次到达点B时，小明和小楠同时停止运动．
（1）小明和小楠同时运动几秒后，小楠追上小明？
（2）小明和小楠同时运动几秒后，恰好使得两人和点A可得到等边三角形？
（3）当小明和小楠在边上运动时（B、C两点除外），能否使得他们到点A的距离相等？如果能，请求出此时小明和小楠运动的时间；如果不能，请说明理由．
23．（2024八上·武昌期中）学习理解：
（1）如图1，，，点D为的中点，则的取值范围为________；
活学活用：
（2）如图2，，，，点F为的中点．
求证：；
思维拓展：
（3）如图3，在中，，和的角平分线与相交于点F，连接，，，则________．
24．（2024八上·武昌期中）如图，已知交y轴点，交x轴于点，过点A作交x轴于点D，且．
（1）求点C的坐标；
（2）连接，交y轴于点E，连接，试求的值；
（3）若y轴上存在异于点A的一点P，使得，以为边作等腰直角，且点Q在x轴下方，请直接写出点Q的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解： 以3，4，8为边不能组成三角形，故A不符合题意；
以5，6，11为边不能组成三角形，故B不符合题意；
以7，7，14为边不能组成三角形，故C不符合题意；
以5，6，10为边能组成三角形，故D符合题意；
故选D.
【分析】根据三角形三边关系逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
3．【答案】A
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：根据题意可得，图中的几何原理为：三角形具有稳定性；
故答案为：A
【分析】根据三角形的稳定性即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：由作法得：，
∴，
∴．
故选：C
【分析】根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于y轴的对称点的坐标是，
故选：A．
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：多边形的边数为：，
多边形的内角和是：．
故答案为：B．
【分析】先利用“正多边形的边数=外角和（360°）÷一个外角的度数”列出算式求出边数，再利用多边形的内角和公式求解即可.
7．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵于点D，于点E，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴的长是，
故选：B．
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据边之间的关系即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：A、∵垂直平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴选项正确；
B、∵，
∴，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴选项正确；
C、∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴选项不正确；
D、∵，，
∴，
∴选项正确．
故选：C．
【分析】根据垂直平分线性质可得，根据等边对等角可得，再根据角平分线定义可得，则，可判断A选项；根据角平分线性质可得，再根据全等三角形判定定理及性质可判断B选项；根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可判断C选项；再根据含30°角的直角三角形性质性质可判断D选项.
9．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：分别作点P关于的对称点E，关于的对称点F，连接分别交于点L、I，连接，
∵垂直平分，垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴当点M与点L重合，同时点N与点I重合时，，此时的周长最小，
连接，则，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】分别作点P关于的对称点E，关于的对称点F，连接分别交于点L、I，连接，根据垂直平分线性质可得，根据边之间的关系可得，当点M与点L重合，同时点N与点I重合时，，此时的周长最小，连接，则，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
10．【答案】A
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；等积变换
【解析】【解答】解：过E作于H，
∵平分，
∵，
∴，
∵，于点D，
∴的面积，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵的面积的面积的面积，
∴，
∴，
∴，
∴的面积．
故选：A．
【分析】过E作于H，根据角平分线性质可得，根据三角形面积可得，根据勾股定理可得AD，再根据的面积的面积的面积可得，再根据三角形面积即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：添加，
∵，，根据证明．
添加，
∵，，根据证明．
故答案为：．（答案不唯一）
【分析】根据全等三角形判定定理即可求出答案.
12．【答案】22
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】①当腰是4cm，底边是9cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去.
②当底边是4cm，腰长是9cm时，能构成三角形，则其周长=4+9+9=22cm.
故填22.
【分析】底边可能是4，也可能是9，分类讨论，去掉不合条件的，然后可求周长.
13．【答案】4
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，
三角形内角平分线的交点D，和外角平分线的三个交点A、B、C，共4处可供选择．
故答案为：4．
【分析】根据角平分线性质即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；关于坐标轴对称的点的坐标特征；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点关于x轴的对称点在第四象限，
∴点M在第一象限，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】根据第一象限内点的坐标特征建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
15．【答案】①②③④
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作交延长线于F，于E，
则．
①∵平分，
∴，
∵ ，，
∴，
∴，
∴；
故①正确；
②∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
故②正确；
③∵平分，
∴，
∵ ，，
∴，
∵
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故③正确；
④∵ ，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
故④正确，
故答案为：①②③④．
【分析】过点D作交延长线于F，于E，根据角平分线性质可得，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质可判断①；根据角平分线性质可得，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系可判断③；根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角平分线判定定理可判断④.
16．【答案】7
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：过点C作于点F，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：7．
【分析】过点C作于点F，根据边之间的关系可得AB，再根据全等三角形判定定理及边之间的关系即可求出答案.
17．【答案】证明：∵，
，
又，，
∴在和中，
，
∴，
．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根据直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
18．【答案】解：（1）设这个多边形的边数为，
由题意得，
解得．
答：这个多边形的边数为10．
（2）此多边形的对角线条数．
【知识点】多边形的对角线；多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）设这个多边形的边数为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）根据多边形的对角线即可求出答案.
19．【答案】（1）证明：如图1，作于点F，则，
∵，
∴，，
∵E为的中点，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）2
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】（2）解：如图2，延长交于点H，
∵，
∴，
∴，
∵E为的中点，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：2．
【分析】（1）作于点F，则，根据角平分线性质可得，，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角平分线判定定理即可求出答案.
（2）延长交于点H，根据直线平行判定定理可得，则，再根据角平分线性质可得，，则，根据全等三角形判定定理可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：如图1，作于点F，则，
∵，
∴，，
∵E为的中点，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：如图2，延长交于点H，
∵，
∴，
∴，
∵E为的中点，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：2．
20．【答案】（1）证明：∵和为等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中．
，
∴，
∴；
（2）解：∵是的平分线，是等边三角形，，
∴，，
由（1）可知，
∴，
设 O到的距离为h，
则，
∵，
∴，
∴，即点O到的距离为．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据等边三角形性质可得，，，则， 再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据角平分线定义及等边三角形性质可得，，再根据全等三角形性质可得，设 O到的距离为h，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：∵和为等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中．
，
∴，
∴；
（2）解：∵是的平分线，是等边三角形，，
∴，，
由（1）可知，
∴，
设 O到的距离为h，
则，
∵，
∴，
∴，即点O到的距离为．
21．【答案】（1）解：①的中线和高如图1.1，
则线段，线段即为所求；
②如图，即为所求；
（2）解：平分，如图2所示，
则点F为所求．
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图﹣旋转；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作高；尺规作图-中线
【解析】【分析】（1）①根据三角形中线，高的定义作图即可.
②根据全等三角形性质作图即可.
（2）根据角平分线性质作图即可.
（1）解：①的中线和高如图1.1，
则线段，线段即为所求；
②如图1.2，即为所求；
；
（2）解：平分，如图2所示，
则点F为所求．
22．【答案】（1）解：由题意得：，
∴，
答：小明和小楠同时运动10秒后，小楠追上小明；
（2）解：∵是等边三角形，
∴，
当时，是等边三角形，
∴，
∴，
答：小明和小楠同时运动秒后，恰好使得两人和点A可得到等边三角形；
（3）解：如图1，当小明和小楠在边上运动时（B、C两点除外），能使得他们到点A的距离相等，即，
由（1）知：当时，小明和小楠在点C处相遇，
∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴当小明和小楠在边上运动时（B、C两点除外），能使得他们到点A的距离相等，此时小明和小楠运动的时间是秒．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；三角形全等的判定-AAS；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）根据等边三角形性质可得，再根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）当小明和小楠在边上运动时（B、C两点除外），能使得他们到点A的距离相等，即，由（1）知：当时，小明和小楠在点C处相遇，根据等边对等角可得，再根据等边三角形性质可得，根据全等三角形判定定理可得，则，建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：由题意得：，
∴，
答：小明和小楠同时运动10秒后，小楠追上小明；
（2）解：∵是等边三角形，
∴，
当时，是等边三角形，
∴，
∴，
答：小明和小楠同时运动秒后，恰好使得两人和点A可得到等边三角形；
（3）解：如图1，当小明和小楠在边上运动时（B、C两点除外），能使得他们到点A的距离相等，即，
由（1）知：当时，小明和小楠在点C处相遇，
∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴当小明和小楠在边上运动时（B、C两点除外），能使得他们到点A的距离相等，此时小明和小楠运动的时间是秒．
23．【答案】（1）；
（2）证明：如图2，延长至点G，使，连接，
∵，
∴，
∴，
∵点F为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）13
【知识点】三角形的面积；三角形三边关系；角平分线的性质；角平分线的概念；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解：（1）如图1，延长至点E，使，连接，
∵点D为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：∵分别平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图3，在上截取，，连接，
在和中，
，
∴，
同理可得：，
∴，，，，
过点N作于点P，过点E作于点Q，
则，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵
，
∴，
故答案为：13．
【分析】（1）延长至点E，使，连接，根据线段中点可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据三角形三边关系即可求出答案.
（2）延长至点G，使，连接，根据角之间的关系可得，再根据线段中点可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）根据角平分线定义可得，，根据角之间的关系可得，在上截取，，连接，根据全等三角形判定定理可得，，则，，，，过点N作于点P，过点E作于点Q，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据三角形面积即可求出答案.
24．【答案】（1）解：过点A作x轴的平行线交过点B与y轴的平行线于点M，交过点C和y轴的平行线于点N，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
则，
即点；
（2）解：∵点、，
∴设直线的表达式为：，
∴，
解得，
∴直线的表达式为：，
令，则，即点，
同理可得，直线的表达式为：，则点，
则，
而，
即；
（3）点Q的坐标为：或或或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等的判定；勾股定理；一次函数的实际应用-几何问题；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】（3）解：设点，
由点B、C、P的坐标得，，，，
∵，
则，
解得：（舍去）或，
即点；
当为直角时，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
则，，
即点；
当为直角时，如下图，
同理可得：，
则，
则点，
当点Q在左侧时，
由中点坐标公式得：；
当时，如下图，
设，
同理可得：，
则，，
则且，
解得：，，
则点，
当点Q（）在左侧时，
则、Q的中点即为的中点，
由中点坐标公式得：点，
即点Q的坐标为：或，
综上，点Q的坐标为：或或或或．
【分析】（1）过点A作x轴的平行线交过点B与y轴的平行线于点M，交过点C和y轴的平行线于点N，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据点的坐标即可求出答案.
（2）设直线的表达式为：，根据待定系数法将点C坐标代入解析式可得直线的表达式为：，根据x轴上点的坐标特征可得，同理可得，直线的表达式为：，则点，根据两点间距离可得DE，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）设点，根据两点间距离可得，，，根据勾股定理建立方程，解方程可得点，分情况讨论：当为直角时，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，根据点的坐标即可求出答案；当为直角时，同理可得：，则，根据点的坐标即可求出答案；当时，设，同理可得：，则，，根据边之间的关系建立方程，解方程可得点，当点Q（）在左侧时，则、Q的中点即为的中点，根据线段中点即可求出答案.
（1）解：过点A作x轴的平行线交过点B与y轴的平行线于点M，交过点C和y轴的平行线于点N，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
则，
即点；
（2）解：∵点、，
∴设直线的表达式为：，
∴，
解得，
∴直线的表达式为：，
令，则，即点，
同理可得，直线的表达式为：，则点，
则，
而，
即；
（3）解：设点，
由点B、C、P的坐标得，，，，
∵，
则，
解得：（舍去）或，
即点；
当为直角时，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
则，，
即点；
当为直角时，如下图，
同理可得：，
则，
则点，
当点Q在左侧时，
由中点坐标公式得：；
当时，如下图，
设，
同理可得：，
则，，
则且，
解得：，，
则点，
当点Q（）在左侧时，
则、Q的中点即为的中点，
由中点坐标公式得：点，
即点Q的坐标为：或，
综上，点Q的坐标为：或或或或．
1 / 1湖北省武汉市武昌区拼搏联盟2024-2025学年八年级上学期期中数学试题
1．（2024八上·武昌期中）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8 B．5，6，11 C．7，7，14 D．5，6，10
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解： 以3，4，8为边不能组成三角形，故A不符合题意；
以5，6，11为边不能组成三角形，故B不符合题意；
以7，7，14为边不能组成三角形，故C不符合题意；
以5，6，10为边能组成三角形，故D符合题意；
故选D.
【分析】根据三角形三边关系逐项进行判断即可求出答案.
2．（2024八上·武昌期中）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
3．（2024八上·武昌期中）安装空调一般会采用如图的方法固定，其依据的几何原理是（　　）
A．三角形的稳定性 B．三角形内角和为
C．三角形两边之和大于第三边 D．两点确定一条直线
【答案】A
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：根据题意可得，图中的几何原理为：三角形具有稳定性；
故答案为：A
【分析】根据三角形的稳定性即可求出答案.
4．（2024八上·武昌期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图能得出的依据是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：由作法得：，
∴，
∴．
故选：C
【分析】根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
5．（2024八上·武昌期中）点关于y轴的对称点的坐标是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于y轴的对称点的坐标是，
故选：A．
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征即可求出答案.
6．（2024八上·武昌期中）一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的内角和(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：多边形的边数为：，
多边形的内角和是：．
故答案为：B．
【分析】先利用“正多边形的边数=外角和（360°）÷一个外角的度数”列出算式求出边数，再利用多边形的内角和公式求解即可.
7．（2024八上·武昌期中）如图，，，，，垂足分别为D、E点，，．则的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵于点D，于点E，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴的长是，
故选：B．
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据边之间的关系即可求出答案.
8．（2024八上·武昌期中）如图，在中，，垂直平分，垂足为D，交于点E，平分，那么下列关系式中不成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：A、∵垂直平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴选项正确；
B、∵，
∴，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴选项正确；
C、∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴选项不正确；
D、∵，，
∴，
∴选项正确．
故选：C．
【分析】根据垂直平分线性质可得，根据等边对等角可得，再根据角平分线定义可得，则，可判断A选项；根据角平分线性质可得，再根据全等三角形判定定理及性质可判断B选项；根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可判断C选项；再根据含30°角的直角三角形性质性质可判断D选项.
9．（2024八上·武昌期中）如图，已知，点P是内部一点，点M、N分别是、上的动点．当的周长最小时，的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：分别作点P关于的对称点E，关于的对称点F，连接分别交于点L、I，连接，
∵垂直平分，垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴当点M与点L重合，同时点N与点I重合时，，此时的周长最小，
连接，则，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】分别作点P关于的对称点E，关于的对称点F，连接分别交于点L、I，连接，根据垂直平分线性质可得，根据边之间的关系可得，当点M与点L重合，同时点N与点I重合时，，此时的周长最小，连接，则，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
10．（2024八上·武昌期中）已知中，，，，，于点D，的平分线交于点E，则的面积为（　　）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；等积变换
【解析】【解答】解：过E作于H，
∵平分，
∵，
∴，
∵，于点D，
∴的面积，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵的面积的面积的面积，
∴，
∴，
∴，
∴的面积．
故选：A．
【分析】过E作于H，根据角平分线性质可得，根据三角形面积可得，根据勾股定理可得AD，再根据的面积的面积的面积可得，再根据三角形面积即可求出答案.
11．（2024八上·武昌期中）如图，点E、F在上，，，、相交于点G，要使得，则还需添加的条件为　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：添加，
∵，，根据证明．
添加，
∵，，根据证明．
故答案为：．（答案不唯一）
【分析】根据全等三角形判定定理即可求出答案.
12．（2024八上·武昌期中）一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为　 　cm.
【答案】22
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】①当腰是4cm，底边是9cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去.
②当底边是4cm，腰长是9cm时，能构成三角形，则其周长=4+9+9=22cm.
故填22.
【分析】底边可能是4，也可能是9，分类讨论，去掉不合条件的，然后可求周长.
13．（2024八上·武昌期中）如图，为了促进当地旅游发展，某地区要修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，这个度假村的选址有　 　处可供选择．
【答案】4
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，
三角形内角平分线的交点D，和外角平分线的三个交点A、B、C，共4处可供选择．
故答案为：4．
【分析】根据角平分线性质即可求出答案.
14．（2024八上·武昌期中）已知点，若点M关于x轴对称点在第四象限，则a的取值范围　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；关于坐标轴对称的点的坐标特征；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点关于x轴的对称点在第四象限，
∴点M在第一象限，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】根据第一象限内点的坐标特征建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
15．（2024八上·武昌期中）在四边形中，有下列几个命题：
①若平分，，则；
②若平分，，则；
③若平分，，且，，则；
④若，，则平分．
其中真命题有　 　．
【答案】①②③④
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作交延长线于F，于E，
则．
①∵平分，
∴，
∵ ，，
∴，
∴，
∴；
故①正确；
②∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
故②正确；
③∵平分，
∴，
∵ ，，
∴，
∵
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故③正确；
④∵ ，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
故④正确，
故答案为：①②③④．
【分析】过点D作交延长线于F，于E，根据角平分线性质可得，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质可判断①；根据角平分线性质可得，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系可判断③；根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角平分线判定定理可判断④.
16．（2024八上·武昌期中）如图，在四边形中，，，点E在上，，，，则的长度为　 　．
【答案】7
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：过点C作于点F，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：7．
【分析】过点C作于点F，根据边之间的关系可得AB，再根据全等三角形判定定理及边之间的关系即可求出答案.
17．（2024八上·武昌期中）如图，点B、E、C、F在一条直线上，，，．求证：．
【答案】证明：∵，
，
又，，
∴在和中，
，
∴，
．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根据直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
18．（2024八上·武昌期中）已知一个多边形的内角和与外角和的差为1080°．
（1）求这个多边形的边数．
（2）求此多边形的对角线条数．
【答案】解：（1）设这个多边形的边数为，
由题意得，
解得．
答：这个多边形的边数为10．
（2）此多边形的对角线条数．
【知识点】多边形的对角线；多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）设这个多边形的边数为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）根据多边形的对角线即可求出答案.
19．（2024八上·武昌期中）如图1，在四边形中，，E为的中点，平分．
（1）求证：平分；
（2）如图2，若将“”改为“”，其他条件不变．，，则________．
【答案】（1）证明：如图1，作于点F，则，
∵，
∴，，
∵E为的中点，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）2
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】（2）解：如图2，延长交于点H，
∵，
∴，
∴，
∵E为的中点，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：2．
【分析】（1）作于点F，则，根据角平分线性质可得，，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角平分线判定定理即可求出答案.
（2）延长交于点H，根据直线平行判定定理可得，则，再根据角平分线性质可得，，则，根据全等三角形判定定理可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：如图1，作于点F，则，
∵，
∴，，
∵E为的中点，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：如图2，延长交于点H，
∵，
∴，
∴，
∵E为的中点，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：2．
20．（2024八上·武昌期中）如图，在等边中，是的平分线，D 为上一点，以为一边且在下方作等边，连接．
（1）求证：；
（2）已知，求点O到之间的距离．
【答案】（1）证明：∵和为等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中．
，
∴，
∴；
（2）解：∵是的平分线，是等边三角形，，
∴，，
由（1）可知，
∴，
设 O到的距离为h，
则，
∵，
∴，
∴，即点O到的距离为．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据等边三角形性质可得，，，则， 再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据角平分线定义及等边三角形性质可得，，再根据全等三角形性质可得，设 O到的距离为h，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：∵和为等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中．
，
∴，
∴；
（2）解：∵是的平分线，是等边三角形，，
∴，，
由（1）可知，
∴，
设 O到的距离为h，
则，
∵，
∴，
∴，即点O到的距离为．
21．（2024八上·武昌期中）如图1，在的长方形网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的每一个顶点叫做格点．线段和的顶点都在格点上．
（1）请仅用无刻度直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
①请画出的中线和高．
②在线段右侧找到点F，使得．
（2）要求在图2中仅用无刻度的直尺作图在x轴上找点F，使平分．
【答案】（1）解：①的中线和高如图1.1，
则线段，线段即为所求；
②如图，即为所求；
（2）解：平分，如图2所示，
则点F为所求．
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图﹣旋转；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作高；尺规作图-中线
【解析】【分析】（1）①根据三角形中线，高的定义作图即可.
②根据全等三角形性质作图即可.
（2）根据角平分线性质作图即可.
（1）解：①的中线和高如图1.1，
则线段，线段即为所求；
②如图1.2，即为所求；
；
（2）解：平分，如图2所示，
则点F为所求．
22．（2024八上·武昌期中）如图，小明和小楠两人围绕一个三角形的场地做游戏，开始时小明和小楠分别站在A、B两点，．已知小明的速度是，小楠的速度是，当小楠第一次到达点B时，小明和小楠同时停止运动．
（1）小明和小楠同时运动几秒后，小楠追上小明？
（2）小明和小楠同时运动几秒后，恰好使得两人和点A可得到等边三角形？
（3）当小明和小楠在边上运动时（B、C两点除外），能否使得他们到点A的距离相等？如果能，请求出此时小明和小楠运动的时间；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意得：，
∴，
答：小明和小楠同时运动10秒后，小楠追上小明；
（2）解：∵是等边三角形，
∴，
当时，是等边三角形，
∴，
∴，
答：小明和小楠同时运动秒后，恰好使得两人和点A可得到等边三角形；
（3）解：如图1，当小明和小楠在边上运动时（B、C两点除外），能使得他们到点A的距离相等，即，
由（1）知：当时，小明和小楠在点C处相遇，
∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴当小明和小楠在边上运动时（B、C两点除外），能使得他们到点A的距离相等，此时小明和小楠运动的时间是秒．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；三角形全等的判定-AAS；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）根据等边三角形性质可得，再根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）当小明和小楠在边上运动时（B、C两点除外），能使得他们到点A的距离相等，即，由（1）知：当时，小明和小楠在点C处相遇，根据等边对等角可得，再根据等边三角形性质可得，根据全等三角形判定定理可得，则，建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：由题意得：，
∴，
答：小明和小楠同时运动10秒后，小楠追上小明；
（2）解：∵是等边三角形，
∴，
当时，是等边三角形，
∴，
∴，
答：小明和小楠同时运动秒后，恰好使得两人和点A可得到等边三角形；
（3）解：如图1，当小明和小楠在边上运动时（B、C两点除外），能使得他们到点A的距离相等，即，
由（1）知：当时，小明和小楠在点C处相遇，
∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴当小明和小楠在边上运动时（B、C两点除外），能使得他们到点A的距离相等，此时小明和小楠运动的时间是秒．
23．（2024八上·武昌期中）学习理解：
（1）如图1，，，点D为的中点，则的取值范围为________；
活学活用：
（2）如图2，，，，点F为的中点．
求证：；
思维拓展：
（3）如图3，在中，，和的角平分线与相交于点F，连接，，，则________．
【答案】（1）；
（2）证明：如图2，延长至点G，使，连接，
∵，
∴，
∴，
∵点F为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）13
【知识点】三角形的面积；三角形三边关系；角平分线的性质；角平分线的概念；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解：（1）如图1，延长至点E，使，连接，
∵点D为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：∵分别平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图3，在上截取，，连接，
在和中，
，
∴，
同理可得：，
∴，，，，
过点N作于点P，过点E作于点Q，
则，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵
，
∴，
故答案为：13．
【分析】（1）延长至点E，使，连接，根据线段中点可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据三角形三边关系即可求出答案.
（2）延长至点G，使，连接，根据角之间的关系可得，再根据线段中点可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）根据角平分线定义可得，，根据角之间的关系可得，在上截取，，连接，根据全等三角形判定定理可得，，则，，，，过点N作于点P，过点E作于点Q，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据三角形面积即可求出答案.
24．（2024八上·武昌期中）如图，已知交y轴点，交x轴于点，过点A作交x轴于点D，且．
（1）求点C的坐标；
（2）连接，交y轴于点E，连接，试求的值；
（3）若y轴上存在异于点A的一点P，使得，以为边作等腰直角，且点Q在x轴下方，请直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）解：过点A作x轴的平行线交过点B与y轴的平行线于点M，交过点C和y轴的平行线于点N，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
则，
即点；
（2）解：∵点、，
∴设直线的表达式为：，
∴，
解得，
∴直线的表达式为：，
令，则，即点，
同理可得，直线的表达式为：，则点，
则，
而，
即；
（3）点Q的坐标为：或或或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等的判定；勾股定理；一次函数的实际应用-几何问题；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】（3）解：设点，
由点B、C、P的坐标得，，，，
∵，
则，
解得：（舍去）或，
即点；
当为直角时，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
则，，
即点；
当为直角时，如下图，
同理可得：，
则，
则点，
当点Q在左侧时，
由中点坐标公式得：；
当时，如下图，
设，
同理可得：，
则，，
则且，
解得：，，
则点，
当点Q（）在左侧时，
则、Q的中点即为的中点，
由中点坐标公式得：点，
即点Q的坐标为：或，
综上，点Q的坐标为：或或或或．
【分析】（1）过点A作x轴的平行线交过点B与y轴的平行线于点M，交过点C和y轴的平行线于点N，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据点的坐标即可求出答案.
（2）设直线的表达式为：，根据待定系数法将点C坐标代入解析式可得直线的表达式为：，根据x轴上点的坐标特征可得，同理可得，直线的表达式为：，则点，根据两点间距离可得DE，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）设点，根据两点间距离可得，，，根据勾股定理建立方程，解方程可得点，分情况讨论：当为直角时，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，根据点的坐标即可求出答案；当为直角时，同理可得：，则，根据点的坐标即可求出答案；当时，设，同理可得：，则，，根据边之间的关系建立方程，解方程可得点，当点Q（）在左侧时，则、Q的中点即为的中点，根据线段中点即可求出答案.
（1）解：过点A作x轴的平行线交过点B与y轴的平行线于点M，交过点C和y轴的平行线于点N，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
则，
即点；
（2）解：∵点、，
∴设直线的表达式为：，
∴，
解得，
∴直线的表达式为：，
令，则，即点，
同理可得，直线的表达式为：，则点，
则，
而，
即；
（3）解：设点，
由点B、C、P的坐标得，，，，
∵，
则，
解得：（舍去）或，
即点；
当为直角时，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
则，，
即点；
当为直角时，如下图，
同理可得：，
则，
则点，
当点Q在左侧时，
由中点坐标公式得：；
当时，如下图，
设，
同理可得：，
则，，
则且，
解得：，，
则点，
当点Q（）在左侧时，
则、Q的中点即为的中点，
由中点坐标公式得：点，
即点Q的坐标为：或，
综上，点Q的坐标为：或或或或．
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