资源简介

28.1锐角三角函数
正 弦
练基础
知识点1 锐角的正弦
1(四川成都校级阶段练习)如图，在△ABC中，∠C=90°,则sinA等于 ( )
【变式】 (教材P64第1题改编)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,则 sin B的值为( )
A.
2 如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点A(3,2),则sinα的值是 ( )
A.
3 (教材P61思考改编)Rt△ABC(∠C=90°)的的边长都扩大到原来的2倍，则sinA的值 ( )
A.变小 B.变大
C.不变 D.无法判断
4(易错题)(河南南阳西峡期中)在Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.已知a=6cm,b=8cm,则sinA的值等于 ( )
A.
或
知识点2 |已知锐角的正弦值求边长
5(江苏无锡校级阶段练习)在Rt△ACB中,∠C= 则BC的长为 ( )
A.6 B.7.5 C.8 D.12.5
6在Rt△ABC中, 则AB= ,AC= ,△ABC的面积为 .
7在△ABC中,∠C=90°,ssin A= ,△ABC的周长为60,求△ABC各边的长.
练素养
8如图，PA,PB分别与⊙O相切于点A，B，连接PO并延长与⊙O交于点C,D.若CD=12,PA=8,则sin∠ADB的值为( )
A.
第2课时 余弦与正切
练基础
知识点1 锐角的余弦
1(青海西宁中考)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC= 则cosA= .
2在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=8, cos B=则AC= .
3(上海浦东新区期末)如果在平面直角坐标系xOy中,点P的坐标为(3,4),射线OP与x轴的正半轴所夹的角为α，那么α的余弦值等于 .
【变式】 如图,点A(m,3)在第一象限，若 则m的值为 .
知识点2锐角的正切
4(山东济南长清期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,若AC=3,BC=2,则tanA的值是 ( )
A.
【变式】(浙江杭州钱塘一模)在Rt△ABC中，∠C=90°.若3AB=5AC,则tanA= .
5在Rt△ABC中,∠B=90°,如果 那么BC的长为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.25
6(山东菏泽成武期中)在Rt△ABC中,∠C=90°, 求AB的长.
知识点3 锐角的三角函数及其应用
7(陕西西安校级期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a，b，c，下列等式中成立的是 ( )
8(上海杨浦期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,如果∠A=α,AC=1,那么AB等于 ( )
A.sinα B.cosα
9在△ABC中,∠C=90°,若 则 sin B= .
10(教材P66例4(1)改编)在△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=5,求∠A的三个三角函数值.
练提升
11 (广东汕头金平模拟)如图，直线 与x，y轴分别交于A,B两点,则cos∠BAO的值是 ( )
A.
12(河北邢台校级阶段练习)如图，在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b分别是∠A,∠B的对边.若sin A: cos A=2:3,则 tan B的值是 ( )
A.
13(浙江宁波海曙一模)已知△ABC中,∠B= 则∠C的度数为 .
14 (山东淄博沂源期中)如图，在正方形网格中,△ABC的顶点都在格点上,则cosB+sin B的值为 .
练素养
15 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边的长.
(1)求sinA,cosB.
(2)求tanA,tanB.
(3)观察(1)(2)中的计算结果，你能发现sinA与cosB,tanA与tanB之间有什么关系吗
(4)应用:
①在Rt△ABC中,∠C=90°.若 则cos B= .
②在Rt△ABC中,∠C=90°.若tanA=2,则tan B= .
微专题 在网格中求三角函数
【方法指导】求以格点为顶点的三角形中的三角函数一般有以下两种情况：
(1)当三角形的三边满足勾股定理，特别是有两边在网格线上时，该三角形为直角三角形，直接用相应三角函数的定义求解.
(2)当三角形不是直角三角形时，可通过作垂线构造所求三角函数值的角所在的直角三角形求解.
【针对训练】
1.(福建泉州丰泽期末)如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin∠ABC的值为 ( )
2.(广西贵港中考)如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点,若△ABC的顶点均是格点,则cos∠BAC的值是 ( )
第3课时 30°,45°,60°角的三角函数
练基础
知识点1 特殊角的锐角三角函数值
1(天津中考) tan 45°的值等于 ( )
A.2 B.1
2(湖南株洲渌口期末)下列三角函数的值是- 的是 ( )
A. cos30° B. tan30° C. cos45°D. sin30°
3(山东威海乳山阶段练习)在△ABC中，∠A=105°,∠B=45°,则 sin C的值是 ( )
A. C.1 D.
4(山东泰安新泰期末)计算( tan 45°的值为 .
5(教材P67第1题改编)计算：
知识点2 由特殊角的三角函数值求角的度数
6(四川乐山市中模拟)已知∠α为锐角，且cosα 则∠α= ( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
7(宁夏中卫中宁模拟)已知在Rt△ABC中，∠C 则∠B的度数是 ( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
8(福建泉州校级阶段练习)在△ABC中，若sinA= , cos B= ,∠A,∠B都是锐角，则∠C的度数是 ( )
A.105° B.90° C.75° D.120°
9 新趋势 多模块综合(湖南株洲攸县期末)在△ABC中,∠A,∠B均为锐角,且有|tanB- 则△ABC是 ( )
A.直角(不等腰)三角形
B.等边三角形
C.等腰(不等边)三角形
D.等腰直角三角形
10 (1)已知2sin(A+13°)=1,∠A+13°为锐角,求∠A的度数.
(2)已知 求锐角α的度数.
练素养
11同学们，在我们进入高中以后，将会学到下面的三角函数公式：
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ,
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.
例： 已知 试求 (结果保留根号).
第4课时 用计算器求锐角的三角函数值
练基础
知识点1 用计算器求锐角的三角函数值
1 利用科学计算器计算 tan 50°，下列按键顺序正确的是 ( )
2用计算器求 sin 24°37'的值，以下按键顺序正确的是 ( )
3 原创题 传统文化醒狮是融武术、舞蹈、音乐等为一体的文化活动，广东醒狮被列入首批国家级非物质文化遗产名录.醒狮表演中，“狮子”在梅花桩上跳跃飞腾，从桩A上跳到桩B上,若两桩相距2m,且∠A=32°,则“狮子”至少要跳多少米(结果保留小数点后两位)
知识点2 用计算器求锐角的度数
4 为了方便行人推车过某天桥，市政府在10m高的天桥一侧修建了40m长的斜道(如图所示).我们可以借助科学计算器求这条坡道倾斜角的度数，具体按键顺序是 ( )
5 (教材P69第5题改编)利用计算器求各角的度数(结果精确到1')：
(1)已知sinA=0.75,则∠A≈ ;
(2)已知 cos B=0.889,则∠B≈ ;
(3)已知tanC=45.43,则∠C≈ .
练素养
6 新趋势 探究性问题 用计算器计算后填表格(精确到0.01).
锐角α 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80°
sinα
cosα
(1)观察上表,你发现sinα,cosα的值随锐角α怎样变化.
(2)根据你探索到的规律，比较下列各组数的大小：
①sin16°, sin 28°, sin 56°, sin 78°;
②cos 16°,cos28°,cos56°,cos78°.
(3)比较大小：
当0°<α<45°时,sinα cosα;当α=45°时,sinα cosα;当45°<α<90°时,sinα cosα.
28.1 锐角三角函数
第1课时 正 弦
1. B 解析:根据正弦的定义,在△ABC中,∠C=90°,sinA= 故选B.
【变式】C解析：由勾股定理，得
2. B 解析:如图,过点A作AB⊥x轴,垂足为点B,则OB=3,AB=2.根据勾股定理，知( 所以
3. C 解析:在Rt△ABC中,∠C=90°,设AC=b,BC=a,AB=c,
则 若△ABC的三边都扩大到原来的2倍，则sinA ∴sin A的值不变.
解题关键点：若角的度数不变，则角的正弦值不会改变，与角的位置无关，与角所在三角形的边长无关.
4. D解析：分两种情况考虑.(1)b是直角边，如图1.在Rt△ABC中,∠C=90°,a=6 cm,b=8cm ,则 10(cm),则
(2)b是斜边,如图2.在Rt△ABC中,∠B=90°,a=6cm,b=8cm,则 故选D.
易错点 因忽略8可能是直角三角形的斜边长而漏解.
5. A 解析:如图,∵∠C=90°,AB=8,
解得BC=6.故选A.
6.25 15 150 解析:在Rt△ABC中,∵∠C=90°, sin A=
则△ABC的面积为
7.解:·
∴可设BC=5k,AB=13k,则
∵△ABC的周长为60,
∴5k+12k+13k=60,解得k=2.
∴BC=10,AC=24,AB=26.
8. A 解析:∵PA,PB分别与⊙O相切于点A,B,∴∠PAO=∠PBO=90°.∵DC=12,∴AO=6,∴(OP=√AO +PA =10.
在 Rt△PAO 和 Rt△PBO 中, ∴Rt△PAO≌Rt△PBO(HL), ∴∠AOP=∠BOP= ∠AOB,又∵∠ADB= ∠AOB,∴∠ADB=∠AOP,∴sin∠ADB=sin∠AOP=AP/OP=
故选A.
核心素养本题利用圆的切线的性质、圆周角定理和全等三角形的判定与性质，计算锐角的正弦值，体现了推理能力的核心素养.
第2课时 余弦与正切
解析：由勾股定理，得
所以
2.6解析：根据余弦定义，得 又BC=8,∴AB=10.根据勾股定理,得AC=6.
3. 解析：如图，过点P作PM⊥x轴，垂足为M,则OM=3,PM=4.根据勾股定理，得
【变式】 解析：如图，过点A作AB⊥x轴,垂足为点B.由题意可得OB=m,AB=3.由 得OA=2m.根据勾股定理，得 解得
4. B解析：根据正切定义，
【变式】 解析：
∴设AC=3k,则AB=5k,由勾股定理,得
解题关键点：已知条件中有比例式时，引入参数，便于计算.
5. B解析：由题意，得
6.解:在Rt△ABC中,
解得AC=3.
由勾股定理，得
7. B解析：由锐角三角函数的定义可得， 故选B.
解题关键点：严格按照正弦、余弦、正切的定义求解.
8. D 解析:在Rt△ABC中,∠C=90°,∵∠A=α,AC=1,
故选D.
解析:如图所示,∵tan A= 设BC=x,则AC=2x,∴AB=
解题关键点：设而不求是用参数法求锐角三角函数的常用方法，解决本题的关键是用含参数的式子表示出∠A所在的直角三角形的三边长.
10.解:∵∠C=90°,AB=13,BC=5,
11. A 解析:把x=0代入 解得y=3,把y=0代入y= 解得x=-4,∴直线 与x轴的交点A(-4,0),与y轴的交点B(0,3),∴OA=4,OB=3.由勾股定理,得AB=5,则 故选A.
解题关键点：求出直线与x轴、y轴的交点坐标.
12. B 解析:在Rt△ABC中,∠C=90°,
整理得
故选B.
13.58°解析:△ABC中,∵tanB=ACB,∴∠A=90°.∵∠B=32°,∴∠C=90°-32°=58°.
14. 解析:如图,作AE⊥BC,垂足为E.在Rt△ABE中,∠E=90°,AE=3,BE=4,∴AB=√AE +BE =
15.解:(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,
(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,
(3)由(1)知 sin A=cosB,由(2)知tanA·tanB=1.
(4)① ②
微专题9
1. B 解析:如图,作AD⊥BC,垂足为点D.
由图可得AD=BD=3,∠ADB=90°,
2. C 解析:延长AC到D,连接BD,如图.
由勾股定理，得
第3课时 30°,45°,60°角的三角函数值
1. B
2. A 解析: 故选A.
3. A 解析:∵∠A=105°,∠B=45°,∴∠C=180°-∠A-∠B=30°,
4.1 解析:
5.解:(1)原式
(2)原式
解题关键点：一般先代入特殊角的三角函数值，再按照实数的运算法则进行运算.
6. C
7. C 解析:由题意可知,∠A=30°,故∠B=60°.
8. C 解析: 都是锐角，∴∠A=45°,∠B=60°.∴∠C=180°-(∠A+∠B)=75°.
9. B 解析:· 2cosA=1,即(cos A= . ∵∠A,∠B均为锐角,∴∠B=60°,∠A=60°,∴△ABC是等边三角形.
10.解:(1)∵2sin(A+13°)=1,
∵∠A+13°为锐角,∴∠A+13°=30°,∴∠A=17°.
∵α为锐角,∴α=45°.
解析：
第4课时 用计算器求锐角的三角函数值
1. B 2. A
3.解：设“狮子”至少跳的距离为 xm，
由题意，得
即“狮子”至少要跳2.36m.
4. A解析：由题意，知 根据计算器的使用介绍可知选A.
5.(1)48°35′ (2)27°15′(3)88°44′
6.解：填表如下：
锐角α 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80°
sinα 0.17 0.34 0.50 0.64 0.77 0.87 0.94 0.98
cosα 0.98 0.94 0.87 0.77 0.64 0.50 0.34 0.17
(1)正弦值随锐角α的增大而增大，余弦值随锐角α的增大而减小.
(3)< = >
核心素养 本题依托“利用计算器计算锐角三角函数值”来探索规律，解决问题，体现了推理能力的核心素养.

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