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第二十八章 锐角三角函数章末复习
体验中考
1如图，某地修建的一座建筑物的截面图的高BC=5m，坡面AB的坡度为 则AB的长度为 ( )
A.10m
C.5m
2如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A，B，C，D都在格点处,AB与CD相交于点P,则cos∠APC的值为 ( )
C.
3如图,在Rt△ABC中,∠C= 点D是AC上一点，连接BD.若 则CD的长为 ( )
A.2 B.3 C. D.2
4计算： = .
5如图，△ABC的顶点B，C的坐标分别是(1,0),(0, ),且∠ABC=90°,∠A=30°，则顶点A的坐标是 .
6如图，我海军舰艇在某海域C岛附近巡航，计划从A岛向北偏东80°方向的B岛直线行驶，测得C岛在A岛的北偏东50°方向，在B岛的北偏西40°方向，A，B之间的距离为80 n mile,则C岛到航线AB的最短距离约是 n mile.(参考数据： 保留整数结果)
7如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E,使CE=AB.
(1)若AE=1,求△ABD的周长;
(2)若 求tan∠ABC的值.
达标训练
一、选择题
1(四川成都青羊模拟)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=2AC,则 sin B= ( )
A. B.2
2(重庆梁平期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,若 则AC的长度为 ( )
A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm
3(山东东营中考)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=42°，BC=8，若用教材中的科学计算器求AC的长，则下列按键顺序正确的是 ( )
4(陕西中考)如图,AD是△ABC的高.若BD=2CD=6,tanC=2,则边AB的长为 ( )
A.3 B.3 C.3 D.6
5(广东深圳中考)如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200m的P，Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽(PT的长)可以表示为 ( )
A.200tan 70°m
C.200sin70°m
6 新情境 生产生活(山东济南历下三模)如图，某学校准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由40°改为35°，已知原来楼梯AB长4m，调整后的楼梯多占用了一段地面，这段 BD 地面的长为(参考数据: sin 40°≈0.643,c os40°≈0.766,sin35°≈0.574,tan35°≈0.700,精确到0.01m) ( )
A.0.48m B.0.61m C.1.10m D.1.42m
7(四川绵阳游仙模拟)如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°,sinA= ,AB=6,D是AB的中点,连接CD,作DE⊥AC,垂足为点E,则△CDE的周长为 ( )
8(安徽芜湖无为二模)如图，四边形ABCD的对角线AC平分∠BAD,ED⊥AD,BC⊥AC,且 则 的值为( )
C.
二、填空题
9(山东泰安泰山阶段练习)锐角三角形ABC中， 则△ABC的形状是
10(福建泉州鲤城阶段练习)如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格上，则cos∠BAC的值为 .
11 (四川内江中考)已知,在△ABC中,∠A= ,则△ABC的面积为
12(四川绵阳中考)如图，测量船以20n mile每小时的速度沿正东方向航行并对某海岛进行测量，测量船在A处测得海岛上观测点D位于北偏东15°方向上，观测点C位于北偏东45°方向上.航行半个小时到达B点，这时测得海岛上观测点C位于北偏西45°方向上,若CD与AB平行,则CD= n mile(计算结果不取近似值).
三、解答题
13(山东烟台龙口期末)计算：
14 如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,若AD=6, 求 cos B的值.
15 随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实.如图1是我国自主研发的某型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一.图2是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾模型的外围测得如下数据：BC=8，CD=2,∠D=135°,∠C=60°,且AB∥CD,求出垂尾模型ABCD的面积.(结果保留整数，参考数据：
章末复习
体验中考
1. A 解析: 解得AC=5 (m),则由勾股定理,得AB=10m.
2. B 解析：把AB向上平移一个单位长度到DE，连接CE，如图.
∵DE∥AB,∴∠APC=∠EDC.
在△DCE中，由勾股定理，得 即
∴△DCE为直角三角形,∠DCE=90°,
解题关键点：通过平移进行等角转化，构造直角三角形，利用三角函数的定义求解.
3. C 解析:如图,过D点作DE⊥AB,垂足为点E.
∴AB=AE+BE=2DE+3DE=5DE.
在Rt△ABC中,
∴CD=AC-AD= 故选C.,i
4.-1 解析:原式
5.(4, )解析:如图,∵B,C的坐标分别是(1,0),(0,
又∵∠ABC=90°,∴∠1=30°,
∴AC∥x轴,∴A点纵坐标为
在Rt△ABC中,∵∠A=30°,BC=2,∴AC=4,
∴顶点A的坐标是(4， ).
6.34 解析:如图,过点C作CF⊥AB,垂足为F,设CF=x.
由题意,得∠DAC=50°,∠DAB=80°,∠CBE=40°,AD∥BE,则∠CAB=∠DAB-∠DAC=30°.
∵AD∥BE,∴∠DAB+∠ABE=180°,
∴∠ABE=180°-∠DAB=180°-80°=100°,
∴∠ABC=∠ABE-∠CBE=100°-40°=60°.
在Rt△ACF中,
在Rt△CFB中,∵
解得
即C岛到航线AB的最短距离约是34 n mile.
7.解：(1)由题意作图，连接BD，设BC的垂直平分线交BC于点F,则BD=CD,△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC.∵AB=CE,∴△ABD的周长=AC+CE=AE=1.
(2)设AD=x,则BD=CD=3x,
∴AC=AD+CD=4x.
在Rt△ABD中,
达标训练
1. C 解析:∵BC=2AC,∴设AC=a,则BC=2a, 故选C.
2. C 解析:在Rt△ABC中,∠C=90°,则 ∴设AC=5x,则AB=13x,由勾股定理,得( 解得x=1(负值舍去),∴AC=5cm.
3. D 解析:在△ABC中, ∵∠B=42°,BC=8,∴AC=BC· tan B=8×tan42°.故选D.
4. D 解析:由tanC=2,得AD=2CD.又BD=2CD,∴AD=BD=
5. B 解析:在Rt△PQT中,∵∠QPT=90°,∠PQT=90°-70°=20°, ∴∠PTQ=70°. ∵ tan∠PTQ=P0PT, ∴ PT=P070°= 即河宽为 故选B.
6. B 解析:在Rt△ABC中, 0.643 解得AC≈2.572(m),BC≈3.064(m).在Rt△ACD中, 0.700,解得CD≈3.674m,∴BD=CD-BC=0.61m.故选B.
7. A 解析:在Rt△ABC中,∠BCA=90°,∵D是AB的中点,∴CD= AB=AD=BD=3.∵DE⊥AC,∴∠CED=∠AED=90°,CE=EA.在Rt△ADE中, E=1.由勾股定理可知AE=2 ,∴CE=EA=2
∴△CDE的周长= ,故选A.
8. D 解析:如图,过点E作EF⊥AB,垂足为F.
∵AC平分∠BAD,ED⊥AD,∴∠DAE=∠CAB,EF=ED.
∵∠EFB=90°,∠ABE=30°,∴BE=2EF=2ED.
∵BC⊥AC,∴∠BCA=90°,
∵∠EAD=∠BAC,∠ADE=∠ACB,
故选D.
9.等边三角形 解析：
∵∠A与∠C都是锐角,∴∠A=60°,∠C=60°,
∴∠B=60°,∴△ABC是等边三角形.
解析：解法一：由勾股定理，得
解法二：由勾股定理，得
又∵AC=BC,∴∠BAC=45°,∴ccos∠BAC= cos 45°=
11.2或14 解析:如图,过点B作AC边的高BD.在Rt△ABD中,∠A=45°,AB=4
∵BC=5,由勾股定理,得(
①当△ABC 是钝角三角形时，
②当△ABC 是锐角三角形时，
故△ABC的面积为2或14.
易错点 本题易因忽视△ABC为钝角三角形的情况而导致漏解.
解析：如图，过点D作DE⊥AC，垂足为E，由题意得 15°,∠FAC=45°,∠FAB=90°,∠CBA=90°-45°=45°,∴∠DAC=∠FAC-∠FAD=30°,∠CAB=∠FAB-∠FAC=45°,∴∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=90°.
在Rt△ACB中,
设DE= x n mile,在Rt△ADE中
∵DC∥AB,∴∠DCA=∠CAB=45°.在Rt△DEC中,
解得
13.解:原式
14.解:在Rt△ACD中,
∴CD=4,∴BD=BC-CD=12-4=8.
在Rt△ABD中,
15.解:如图,过点A作AF⊥CD,交CD的延长线于F;过点C作CE⊥AB,交AB的延长线于E.
∵AB∥CD,∴∠FCE=90°
∴四边形AECF是矩形，
∵∠BCD=60°,
在Rt△BCE中,∠BCE=30°,BC=8,
∵∠ADC=135°,
∴△ADF是等腰直角三角形，
∵FC=AE,即
即垂尾模型ABCD的面积为24.
解题关键点：利用三角函数解决四边形问题，思路是作辅助线，转化为矩形与直角三角形.

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