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课时2　简谐运动的描述
核心 目标 1. 理解振幅、周期和频率，了解相位、相位差，会用数学表达式描述简谐运动，明确图像的物理意义及图像信息．
2. 通过实验过程，掌握测量小球振动周期的方法．
要点梳理
要点1　描述简谐运动的物理量
1. 振幅
(1) 定义：做简谐振动的物体离开平衡位置的__最大距离__，叫作振动的振幅．用A表示，国际单位为米(m).
(2) 振幅是描述振动__范围__的物理量．
2. 周期(T)和频率(f)
内容 周期 频率
定义 做简谐运动的物体完成一次__全振动__所需要的时间 物体完成全振动的次数与所用时间__之比__
单位 秒(s) 赫兹(Hz)
说明 都是表示__振动快慢__的物理量
关系 f＝____
说明 ① 全振动的定义：振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，叫作一次全振动 ② 不管以哪个位置作为研究起点，做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是相同的
3. 相位(ωt＋φ)：在物理学中，周期性运动在各个时刻所处的不同状态用不同的__相位__来描述．
要点2　简谐运动位移的表达式
1. 表达式：x＝__A_sin_(ωt＋φ)__或x＝A sin ，式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移；t表示振动的时间．
2. 表达式中
(1) “A”对应简谐运动的__振幅__．
(2) “ω”是一个与__频率__成正比的物理量，叫简谐运动的__圆频率__，表示简谐运动物体振动的快慢，ω＝2πf＝.
(3) “T”表示简谐运动的__周期__， “T”和“f”之间的关系为T＝____．
即学即用
1. 易错辨析
(1) 周期越大，表示振动越快．(　×　)
(2) 简谐运动的周期与振幅成正比．(　×　)
(3) 振动物体在周期内的路程一定等于振幅A.(　×　)
(4) 做简谐运动的物体经过同一点时，位移相同．(　√　)
(5) 做简谐运动的物体连续两次经过同一点的速度大小相等，方向相反．(　√　)
2. (2024·梅州期末) 一物体做简谐运动，其振幅为24 cm，周期为2 s．当t＝0时，位移为24 cm.物体做简谐运动的振动方程为(　C　)
A. x＝24cos cm
B. x＝24sin cm
C. x＝24cos (πt)cm
D. x＝24sin (πt)cm
解析：简谐运动的振动方程x＝A sin (ωt＋φ)，由题意可知振幅为24 cm，周期为2 s，则有A＝24 cm，ω＝＝π rad/s，则有x＝24sin (πt＋φ)，当t＝0时，位移为24 cm，代入得φ＝，故物体做简谐运动的振动方程为x＝24cos (πt) cm，A、B、D错误，C正确．
考向1　描述简谐运动的物理量
1. 振幅与位移、路程、周期的关系
(1) 振幅与位移：振动中的位移是矢量，振幅是标量．在数值上，振幅与振动物体的最大位移相等，在同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化．
(2) 振幅与路程：振动中的路程是标量，是随时间不断增大的．一个周期内的路程为__4倍__振幅，半个周期内的路程为2倍振幅．
(3) 振幅与周期：实验证明，在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关．
2. 全振动的四个特征
(1) 物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同．
(2) 时间特征：历时一个周期．
(3) 路程特征：振幅的4倍．
(4) 相位特征：增加2π.
　一个做简谐运动的质点，它的振幅是4 cm，频率是2.5 Hz，该质点从平衡位置开始经过2.9 s后，位移的大小和经过的路程分别为　(　D　)
A. 0　10 cm B. 4 cm　100 cm
C. 0　28 cm D. 4 cm　116 cm
解析：质点振动的周期为T＝＝ s＝0.4 s，时间t＝2.9 s＝7.25T，质点从平衡位置开始振动，经过2.9 s到达最大位移处，其位移大小为x＝A＝4 cm，通过的路程为s＝7.25×4A＝7.25×4×4 cm＝116 cm，A、B、C错误，D正确．
　(2024·中山期末)如图所示，弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C 两点间做简谐运动．B、C 相距40 cm，小球经过 B点时开始计时，经过 2 s首次到达O点. 下列说法中正确的是(　B　)
A. 第1 s内小球经过的路程为 10 cm
B. 小球做简谐运动的频率为 0.125 Hz
C. 小球做简谐运动的振幅为40 cm
D. 小球从B点运动到C点的过程中，加速度先变大，后变小
解析：弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点间做简谐运动．小球经过B点时开始计时，经过2 s首次到达O点．则T＝2 s，得T＝8 s，小球做简谐运动的频率f＝＝0.125 Hz，B正确；第1 s内对应时间Δt＝1 s＝T，B到O因为是速度增加且加速度减小的运动，所以第 1 s内小球速度较小，经过的路程s1．若从特殊位置开始计时，如平衡位置或最大位移处，开始计时，周期内的路程等于振幅．
2. 若从一般位置开始计时，周期内的路程与振幅之间没有确定关系，路程可能大于、等于或小于振幅．
考向2　简谐运动的表达式
1. 简谐运动的一般表达式为
2. 应用简谐运动的表达式解决相关问题，首先应明确振幅A、周期T、频率f的对应关系，其中__T＝__，f＝，然后把确定的物理量与所要解决的问题相对应，找到关系．
　(2024·肇庆市第一中学)如图所示，半径为R的圆盘边缘有一钉子B，在水平光线下，圆盘的转轴A和钉子B在右侧墙壁上形成影子O和P，以O为原点在竖直方向上建立x坐标系．t＝0时从图示位置沿逆时针方向匀速转动圆盘，角速度为ω，则P做简谐运动的表达式为(　B　)
A. x＝R sin 　 B. x＝R sin
C. x＝2R sin 　 D. x＝2R sin
解析：由图可知，影子P做简谐运动的振幅为R，以向上为正方向，设P的振动方程为x＝R sin (ωt＋φ)，由图可知，当t＝0时，P的位移为R，代入振动方程解得φ＝，则P做简谐运动的表达式为x＝R sin ，B正确．
　一个质点以O点为平衡位置，在A、B间做简谐运动，如图甲所示，它的振动图像如图乙所示，设向右为正方向，下列说法中正确的是(　D　)
甲 乙
A. 质点的振动方程为x＝0.05sin (2.5πt) m
B. 0.2 s末质点的速度方向向右
C. 0.2～0.3 s质点做加速运动
D. 0.7 s时质点的位置在O与B之间
解析：由图乙得质点振动的振幅为0.05 m，周期T＝0.8 s，故ω＝＝ rad/s＝2.5π rad/s，故该质点的振动方程为x＝0.05sin (2.5πt＋θ) m，且当t＝0时，x＝0.05 m，代入可得θ＝，故该质点的振动方程为x＝0.05sin (2.5πt＋) m，A错误；根据振动图像得0.2 s末质点经过平衡位置向负的最大位移振动，所以此时速度方向从O指向A，方向向左，B错误；0.2～0.3 s质点由平衡位置向负的最大位移振动，此过程速度的方向与所受力的方向相反，故质点在做减速运动，C错误；0.7 s质点在平衡位置和正的最大位移处之间，所以在O与B之间，D正确．
1. 表达式中“ωt＋φ”或“t＋φ”或“2πft＋φ”对应简谐运动的相位，是随时间变化的一个变量，相位决定做简谐运动的质点在t时刻处在一个运动周期中的哪个状态．
2. “φ”对应简谐运动的初相位，简称初相，表示t＝0时简谐运动质点所处的状态．
考向3　相位和相位差问题
1. 对于某个振动，相位差Δφ＝2π时，意味着完成了一次全振动．
2. ω相同时，对两个简谐运动
(1) 若相位差Δφ＝0，表示同相，振动步调一致．
(2) 若相位差Δφ＝__π__，表示反相，振动步调总是相反．
(3) 一般情况下，振动2超前1的相位差Δφ＝φ2 －φ1.
3. 图像运用如图：
　(多选)如图所示为两简谐运动的图像，下列说法中正确的是(　AD　)
A. A、B之间的相位差是
B. A、B之间的相位差是π
C. B比A超前
D. A比B超前
解析：t＝0时，A到达平衡位置时，B再经过才达到平衡位置，故A比B超前，相位差为Δφ＝，A、D正确．
由图像确定初相时不能只看一个时刻的位移，应通过两个或两个以上的位置验证，因为质点通过平衡位置时速度可能沿正方向，也可能沿负方向，同时还要注意考虑运动方程的多解性．
1. (2024·深圳龙岗区期末)如图甲所示，弹簧振子(带笔的小球)在水平方向做简谐运动的过程中，摇动把手使纸带运动就在纸带上画出如图乙所示的振动图像．下列说法中正确的是(　A　)
甲 乙
A. 振动的振幅为8 cm
B. 振动的周期为5 s
C. 振动的频率为0.2 Hz
D. 位移－时间的表达式为x＝8sin (0.5πt)cm
解析：振幅是振子离开平衡位置的最大距离，由图可知，弹簧振子的振幅为8 cm，A正确；周期是振子完成一次全振动的时间，由图可知，周期为T＝4 s，B错误；由频率和周期关系可得，频率为f＝＝ Hz，C错误；由图可知，初相位不为零，位移—时间的表达式为x＝8cos (0.5πt) cm，D错误．故选A.
2. 如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在光滑水平面上的A、B两点之间做简谐运动．取水平向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法中正确的是(　A　)
甲 乙
A. t＝0.6 s时，振子在O点右侧6 cm处
B. 振子在t＝0.2 s时和t＝1.0 s时的速度相同
C. t＝6 s时，振子的加速度方向水平向左
D. t＝1.0 s到t＝1.4 s的时间内，振子的位移为12 cm
解析：由图乙知振子的最大位移为12 cm，周期为1.6 s，在t＝0时刻振子从平衡位置开始向右振动，所以振子的振动方程为x＝A sin ωt＝12sin (t) cm，当t＝0.6 s时，x1＝12×sin ＝6 cm，A正确；由图乙知，t＝0.2 s振子从平衡位置向右运动，t＝1.0 s振子从平衡位置向左运动，速度的方向相反，B错误；t＝6 s时，即t＝3T，振子在O点左侧，故加速度方向水平向右，C错误；由图乙可知，t＝1.0 s到t＝1.2 s的时间内振子向最大位移处运动，t＝1.2 s到t＝1.4 s时间内振子从最大位移向平衡位置运动，t＝1.0 s和t＝1.4 s时振子位于同一位置，故t＝1.0 s到t＝1.4 s的时间内，振子的位移为零，D错误．
配套新练案
考向1　描述简谐运动的物理量
1. (2024·福建泉州五中)有一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动，第二次把弹簧压缩3x后释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为(　A　)
A. 1∶1　1∶3 B. 1∶1　1∶1
C. 1∶3　1∶3 D. 1∶3　1∶1
解析：弹簧的压缩量即为振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离，即振幅，故振幅之比为1∶3，而对同一振动系统，其周期由振动系统自身的性质决定，与振幅无关，周期之比为1∶1.故选A.
2. (2024·安徽芜湖一中)一弹簧振子经过a、b两点时的速度相同，从a到b所经历的最短时间为0.3 s，接着从b到a经历的最短时间为0.4 s，则振子的周期为(　A　)
A. 0.8 s B. 0.9 s
C. 1.0 s D. 1.2 s
解析：a、b两点速度相同，可知a、b关于平衡位置对称，从a到b所经历的最短时间为0.3 s，接着从b到a经历的最短时间为0.4 s，可知从b点到最大位移所用的时间为(0.4－0.3)× s＝0.05 s，则有＝ s＋0.05 s＝0.2 s，则振子的周期为T＝0.8 s，A正确，B、C、D错误．
3. (2024·广州期末)某质点做简谐振动，其位移x与时间t的关系如图，则该质点(　D　)
A. 振动频率为4 Hz
B. 在A点速度最大
C. 在B点加速度最大
D. 在0～3 s内通过路程为12.0 cm
解析：由位移x与时间t的关系图像可知周期为T＝4 s，振动频率为f＝＝0.25 Hz，A错误；在A点时振幅最大，根据简谐振动规律此时速度最小，B错误；在B点时处于平衡位置，根据简谐振动规律此时回复力为零，得加速度为零，C错误；在0～3 s内质点经历T，由位移x与时间t的关系图可知振幅为A＝3 cm，得通过路程为s＝3A＝12 cm，D正确．
4. 如图所示，一质点做简谐运动，O点为平衡位置，质点先后以相同的速度依次通过M、N两点，历时1 s，质点通过N点后再经过1 s又第2次通过N点，在这2 s内质点通过的总路程为12 cm，则质点的振动周期和振幅分别为(　C　)
A. 3 s，6 cm B. 4 s，9 cm
C. 4 s，6 cm D. 2 s，8 cm
解析：做简谐运动的质点，先后以相同的速度通过M、N两点，可判定M、N两点关于平衡位置O对称，所以质点由M到O所用的时间与由O到N所用的时间相等，则质点由平衡位置O到N点所用的时间t1＝0.5 s；因通过N点后再经过t＝1 s质点以方向相反、大小相等的速度再次通过N点，则知质点从N点到最大位移处所用的时间t2＝0.5 s，因此，质点振动的周期是T＝4×(t1＋t2)＝4 s，题中2 s内质点通过的总路程为振幅的2倍，所以振幅A＝ cm＝6 cm，故选C.
考向2　简谐运动的表达式
5. 做简谐运动的物体的位移x与运动时间的关系是x＝A sin ，那么物体在运动一个周期内的平均速率是(　D　)
A. B.
C. D.
解析：物体在运动一个周期内的路程为4A，周期为T＝，故物体在运动一个周期内的平均速率是v＝＝，故选D.
6. (2024·江门期末)某质点做简谐运动，其位移随时间变化的函数关系式为x＝5sin (t) cm，则下列关于质点运动的说法中，正确的是(　C　)
A. 质点做简谐运动的振幅为10 cm
B. 质点做简谐运动的周期为4 s
C. 在t＝4 s时质点的速度最大
D. 在t＝4 s时质点的加速度最大
解析：由位移的表达式x＝5sin cm可知质点做简谐运动的振幅为5 cm，A错误；由位移的表达式可知圆频率为ω＝ rad/s，则质点做简谐运动的周期为T＝＝8 s，B错误；在t＝4 s时质点的位移x＝5sin cm＝0 cm，说明质点通过平衡位置，速度最大，C正确；在t＝4 s时质点通过平衡位置，加速度最小，D错误．
7. (2024·广州第二中学)如图甲所示，质量为0.5 kg的小球静止在O点，现用手竖直向上托起小球至A点，使弹簧处于原长状态．t＝0时放手，小球在竖直方向上A、B之间运动，其位移x随时间t的变化如图乙所示，则小球(　B　)
甲 乙
A. 在t＝0.5 s时加速度最大
B. 在t＝0.6 s时速度方向向下
C. 在t＝1.2 s时加速度方向向下
D. 做简谐运动的表达式为x＝5cos (2πt) cm
解析：在t＝0.5 s时小球在平衡位置，加速度为零，A错误；小球在0～1 s时间内向下运动，所以t＝0.6 s时速度向下，B正确；小球在1～1.5 s时间内从静止开始向上加速运动，1.5 s末运动到平衡位置时速度最大，加速度向上，所以t＝1.2 s时加速度向上，C错误；由图乙可知小球做简谐运动的振幅为A＝5 cm，周期为T＝2 s，ω＝＝π rad/s，故小球做简谐运动的表达式为x＝5cos cm，D错误．
8. 一弹簧振子的位移y随时间t变化的关系式为y＝0.1sin (2.5πt)，位移y的单位为m，时间t的单位为s.下列说法中正确的是(　C　)
A. 弹簧振子的振幅为0.2 m
B. 弹簧振子的周期为1.25 s
C. 在t＝0.2 s时刻，振子的加速度最大
D. 在任意0.2 s内，振子的路程均为0.1 m
解析：从位移y随时间t变化的关系式为y＝0.1sin (2.5πt)，可知振子离开平衡位置的最大距离为0.1 m，其振幅为0.1 m，A错误；从关系式可知其振动周期为T＝＝ s＝0.8 s，B错误；从位移y随时间t变化的关系式为y＝0.1sin (2.5πt)，在0.2 s时振子位移为y＝0.1sin (2.5π×0.2) m＝0.1 m，可知此时振子位移最大，回复力最大，加速度最大，C正确；弹簧振子的运动是变加速运动，并不是任意相等时间路程就相等，不能保证在任意0.2 s内，振子的路程均为0.1 m，D错误．
考向3　相位和相位差问题
9. (多选)有两个弹簧振子1和2做简谐运动，x1＝3a sin (10πbt)，x2＝9a sin ，下列说法中正确的是(　BD　)
A. 两个弹簧振子1和2的振幅不同，频率不同
B. 两个弹簧振子1和2的振幅不同，频率相同
C. 弹簧振子1超前于弹簧振子2的相位是
D. 弹簧振子1落后于弹簧振子2的相位是
解析：1的振幅为3a，2的振幅为9a，所以两个弹簧振子1和2的振幅不同，1的频率为f1＝＝5b，2的频率为f2＝＝5b，所以两个弹簧振子的频率相同，A错误，B正确；从公式可知弹簧振子1落后于弹簧振子2的相位是，C错误，D正确．
10. (2024·安徽合肥一中)某弹簧振子做简谐运动，振幅为6 cm，周期为0.5 s，t＝0开始计时，t＝0.25 s时振子具有负向最大加速度，则振子简谐运动的位移公式是(　B　)
A. x＝6sin (4πt) cm
B. x＝6sin cm
C. x＝6sin cm
D. x＝6sin cm
解析：t＝0.25 s时振子具有负向最大加速度，说明此时振子的位移是正向最大，表明t＝0时振子的位移为负向最大，根据位移公式有x＝A sin ，其中φ＝－，圆频率为ω＝＝4π rad/s，解得x＝6sin cm.故选B.
11. (2024·安徽安庆一中)(多选)如图所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动．以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y＝0.1sin (2.5πt) m．t＝0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t＝0.6 s时， 小球恰好与物块处于同一高度．取g＝10 m/s2.下列说法中正确的有(　AB　)
A. h＝1.7 m
B. 简谐运动的周期是0.8 s
C. 0.6 s内物块运动的路程是0.2 m
D. t＝0.4 s时，物块与小球运动方向相反
解析：t＝0.6 s时，物块的位移为y＝0.1sin (2.5π×0.6) m＝－0.1 m，对小球，h＋|y|＝gt2，解得h＝1.7 m，A正确；简谐运动的周期是T＝＝0.8 s，B正确；0.6 s内物块运动的路程是3A＝0.3 m，C错误；t＝0.4 s＝，此时物块在平衡位置向下振动，则此时物块与小球运动方向相同，D错误．
12. (2024·广州期末)如图甲所示，水平弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动，规定水平向右为正方向．图乙是弹簧振子做简谐运动的x-t图像，则(　D　)
甲 乙
A. 弹簧振子从B点经过O点再运动到C点为一次全振动
B. 弹簧振子的振动方程为x＝0.1 sin m
C. 图乙中的P点时刻振子的速度方向与加速度方向都沿正方向
D. 弹簧振子在前2.5 s内的路程为1 m
解析：弹簧振子从B点经过O点再运动到C点为次全振动，A错误；根据题图乙可知，弹簧振子的振幅是A＝0.1 m，周期为T＝1 s，则角速度为ω＝＝2π rad/s，规定向右为正方向，t＝0时刻位移为0.1 m，表示振子从B点开始运动，初相为φ0＝，则振子的振动方程为x＝A sin (ωt＋φ0)＝0.1sin m，B错误；题图乙中的P点时刻振子的速度方向为负，此时刻振子正在沿负方向做减速运动，加速度方向为正，C错误；因周期T＝1 s，则2.5 s＝2T＋，则振子在前2.5 s内的路程为s＝2×4A＋2A＝10×0.1 m＝1 m，D正确．
13. (2024·中山纪念中学)如图所示为一质点做简谐运动的x-t图像．在t＝0时，质点的位移等于2 cm.
(1) 求该质点的振幅、周期和频率．
答案：4 cm
解析：由图可知，该质点的振幅为4 cm，周期为2 s，由f＝＝0.5 Hz 可知频率为0.5 Hz
(2) 写出该质点的振动方程．
答案：2 s
解析：质点的振动方程为x＝A sin (ωt＋φ)
其中ω＝＝π rad/s，A＝4 cm
依题意，在t＝0 时，质点的位移等于2 cm，
可知2 cm＝4 cm·sin φ
解得φ＝ (或，舍去)
即x＝4sin (πt＋)cm
(3) t＝1.25 s时，速度方向如何．
答案：0.5 Hz
解析：由图可知，t＝1.25 s 时，x＞0，质点位于平衡位置上方，向正向最大位移运动，所以速度方向沿x轴正方向．课时2　简谐运动的描述
核心 目标 1. 理解振幅、周期和频率，了解相位、相位差，会用数学表达式描述简谐运动，明确图像的物理意义及图像信息．
2. 通过实验过程，掌握测量小球振动周期的方法．
要点梳理
要点1　描述简谐运动的物理量
1. 振幅
(1) 定义：做简谐振动的物体离开平衡位置的__ __，叫作振动的振幅．用A表示，国际单位为米(m).
(2) 振幅是描述振动__ __的物理量．
2. 周期(T)和频率(f)
内容 周期 频率
定义 做简谐运动的物体完成一次__ __所需要的时间 物体完成全振动的次数与所用时间__ __
单位 秒(s) 赫兹(Hz)
说明 都是表示__ __的物理量
关系 f＝__ __
说明 ① 全振动的定义：振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，叫作一次全振动 ② 不管以哪个位置作为研究起点，做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是相同的
相位(ωt＋φ)：在物理学中，周期性运动在各个时刻所处的不同状态用不同的__ __来描述．
要点2　简谐运动位移的表达式
1. 表达式：x＝__ __或x＝A sin ，式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移；t表示振动的时间．
2. 表达式中
(1) “A”对应简谐运动的__ __．
(2) “ω”是一个与__ __成正比的物理量，叫简谐运动的__ __，表示简谐运动物体振动的快慢，ω＝2πf＝.
(3) “T”表示简谐运动的__ __， “T”和“f”之间的关系为T＝__ __．
即学即用
1. 易错辨析
(1) 周期越大，表示振动越快．(　　)
(2) 简谐运动的周期与振幅成正比．(　　)
(3) 振动物体在周期内的路程一定等于振幅A.(　　)
(4) 做简谐运动的物体经过同一点时，位移相同．(　　)
(5) 做简谐运动的物体连续两次经过同一点的速度大小相等，方向相反．(　　)
2. (2024·梅州期末) 一物体做简谐运动，其振幅为24 cm，周期为2 s．当t＝0时，位移为24 cm.物体做简谐运动的振动方程为(　　)
A. x＝24cos cm
B. x＝24sin cm
C. x＝24cos (πt)cm
D. x＝24sin (πt)cm
考向1　描述简谐运动的物理量
1. 振幅与位移、路程、周期的关系
(1) 振幅与位移：振动中的位移是矢量，振幅是标量．在数值上，振幅与振动物体的最大位移相等，在同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化．
(2) 振幅与路程：振动中的路程是标量，是随时间不断增大的．一个周期内的路程为__4倍__振幅，半个周期内的路程为2倍振幅．
(3) 振幅与周期：实验证明，在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关．
2. 全振动的四个特征
(1) 物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同．
(2) 时间特征：历时一个周期．
(3) 路程特征：振幅的4倍．
(4) 相位特征：增加2π.
　一个做简谐运动的质点，它的振幅是4 cm，频率是2.5 Hz，该质点从平衡位置开始经过2.9 s后，位移的大小和经过的路程分别为　(　　)
A. 0　10 cm B. 4 cm　100 cm
C. 0　28 cm D. 4 cm　116 cm
　(2024·中山期末)如图所示，弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C 两点间做简谐运动．B、C 相距40 cm，小球经过 B点时开始计时，经过 2 s首次到达O点. 下列说法中正确的是(　　)
A. 第1 s内小球经过的路程为 10 cm
B. 小球做简谐运动的频率为 0.125 Hz
C. 小球做简谐运动的振幅为40 cm
D. 小球从B点运动到C点的过程中，加速度先变大，后变小
1．若从特殊位置开始计时，如平衡位置或最大位移处，开始计时，周期内的路程等于振幅．
2. 若从一般位置开始计时，周期内的路程与振幅之间没有确定关系，路程可能大于、等于或小于振幅．
考向2　简谐运动的表达式
1. 简谐运动的一般表达式为
2. 应用简谐运动的表达式解决相关问题，首先应明确振幅A、周期T、频率f的对应关系，其中__T＝__，f＝，然后把确定的物理量与所要解决的问题相对应，找到关系．
　(2024·肇庆市第一中学)如图所示，半径为R的圆盘边缘有一钉子B，在水平光线下，圆盘的转轴A和钉子B在右侧墙壁上形成影子O和P，以O为原点在竖直方向上建立x坐标系．t＝0时从图示位置沿逆时针方向匀速转动圆盘，角速度为ω，则P做简谐运动的表达式为(　　)
A. x＝R sin 　 B. x＝R sin
C. x＝2R sin 　 D. x＝2R sin
　一个质点以O点为平衡位置，在A、B间做简谐运动，如图甲所示，它的振动图像如图乙所示，设向右为正方向，下列说法中正确的是(　　)
甲 乙
A. 质点的振动方程为x＝0.05sin (2.5πt) m
B. 0.2 s末质点的速度方向向右
C. 0.2～0.3 s质点做加速运动
D. 0.7 s时质点的位置在O与B之间
1. 表达式中“ωt＋φ”或“t＋φ”或“2πft＋φ”对应简谐运动的相位，是随时间变化的一个变量，相位决定做简谐运动的质点在t时刻处在一个运动周期中的哪个状态．
2. “φ”对应简谐运动的初相位，简称初相，表示t＝0时简谐运动质点所处的状态．
考向3　相位和相位差问题
1. 对于某个振动，相位差Δφ＝2π时，意味着完成了一次全振动．
2. ω相同时，对两个简谐运动
(1) 若相位差Δφ＝0，表示同相，振动步调一致．
(2) 若相位差Δφ＝__π__，表示反相，振动步调总是相反．
(3) 一般情况下，振动2超前1的相位差Δφ＝φ2 －φ1.
3. 图像运用如图：
　(多选)如图所示为两简谐运动的图像，下列说法中正确的是(　　)
A. A、B之间的相位差是
B. A、B之间的相位差是π
C. B比A超前
D. A比B超前
由图像确定初相时不能只看一个时刻的位移，应通过两个或两个以上的位置验证，因为质点通过平衡位置时速度可能沿正方向，也可能沿负方向，同时还要注意考虑运动方程的多解性．
1. (2024·深圳龙岗区期末)如图甲所示，弹簧振子(带笔的小球)在水平方向做简谐运动的过程中，摇动把手使纸带运动就在纸带上画出如图乙所示的振动图像．下列说法中正确的是(　　)
甲 乙
A. 振动的振幅为8 cm
B. 振动的周期为5 s
C. 振动的频率为0.2 Hz
D. 位移－时间的表达式为x＝8sin (0.5πt)cm
2. 如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在光滑水平面上的A、B两点之间做简谐运动．取水平向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法中正确的是(　　)
甲 乙
A. t＝0.6 s时，振子在O点右侧6 cm处
B. 振子在t＝0.2 s时和t＝1.0 s时的速度相同
C. t＝6 s时，振子的加速度方向水平向左
D. t＝1.0 s到t＝1.4 s的时间内，振子的位移为12 cm
配套新练案
考向1　描述简谐运动的物理量
1. (2024·福建泉州五中)有一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动，第二次把弹簧压缩3x后释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为(　　)
A. 1∶1　1∶3 B. 1∶1　1∶1
C. 1∶3　1∶3 D. 1∶3　1∶1
2. (2024·安徽芜湖一中)一弹簧振子经过a、b两点时的速度相同，从a到b所经历的最短时间为0.3 s，接着从b到a经历的最短时间为0.4 s，则振子的周期为(　　)
A. 0.8 s B. 0.9 s
C. 1.0 s D. 1.2 s
3. (2024·广州期末)某质点做简谐振动，其位移x与时间t的关系如图，则该质点(　　)
A. 振动频率为4 Hz
B. 在A点速度最大
C. 在B点加速度最大
D. 在0～3 s内通过路程为12.0 cm
4. 如图所示，一质点做简谐运动，O点为平衡位置，质点先后以相同的速度依次通过M、N两点，历时1 s，质点通过N点后再经过1 s又第2次通过N点，在这2 s内质点通过的总路程为12 cm，则质点的振动周期和振幅分别为(　　)
A. 3 s，6 cm B. 4 s，9 cm
C. 4 s，6 cm D. 2 s，8 cm
考向2　简谐运动的表达式
5. 做简谐运动的物体的位移x与运动时间的关系是x＝A sin ，那么物体在运动一个周期内的平均速率是(　　)
A. B.
C. D.
6. (2024·江门期末)某质点做简谐运动，其位移随时间变化的函数关系式为x＝5sin (t) cm，则下列关于质点运动的说法中，正确的是(　　)
A. 质点做简谐运动的振幅为10 cm
B. 质点做简谐运动的周期为4 s
C. 在t＝4 s时质点的速度最大
D. 在t＝4 s时质点的加速度最大
7. (2024·广州第二中学)如图甲所示，质量为0.5 kg的小球静止在O点，现用手竖直向上托起小球至A点，使弹簧处于原长状态．t＝0时放手，小球在竖直方向上A、B之间运动，其位移x随时间t的变化如图乙所示，则小球(　　)
甲 乙
A. 在t＝0.5 s时加速度最大
B. 在t＝0.6 s时速度方向向下
C. 在t＝1.2 s时加速度方向向下
D. 做简谐运动的表达式为x＝5cos (2πt) cm
8. 一弹簧振子的位移y随时间t变化的关系式为y＝0.1sin (2.5πt)，位移y的单位为m，时间t的单位为s.下列说法中正确的是(　　)
A. 弹簧振子的振幅为0.2 m
B. 弹簧振子的周期为1.25 s
C. 在t＝0.2 s时刻，振子的加速度最大
D. 在任意0.2 s内，振子的路程均为0.1 m
考向3　相位和相位差问题
9. (多选)有两个弹簧振子1和2做简谐运动，x1＝3a sin (10πbt)，x2＝9a sin ，下列说法中正确的是(　　)
A. 两个弹簧振子1和2的振幅不同，频率不同
B. 两个弹簧振子1和2的振幅不同，频率相同
C. 弹簧振子1超前于弹簧振子2的相位是
D. 弹簧振子1落后于弹簧振子2的相位是
10. (2024·安徽合肥一中)某弹簧振子做简谐运动，振幅为6 cm，周期为0.5 s，t＝0开始计时，t＝0.25 s时振子具有负向最大加速度，则振子简谐运动的位移公式是(　　)
A. x＝6sin (4πt) cm
B. x＝6sin cm
C. x＝6sin cm
D. x＝6sin cm
11. (2024·安徽安庆一中)(多选)如图所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动．以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y＝0.1sin (2.5πt) m．t＝0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t＝0.6 s时， 小球恰好与物块处于同一高度．取g＝10 m/s2.下列说法中正确的有(　　)
A. h＝1.7 m
B. 简谐运动的周期是0.8 s
C. 0.6 s内物块运动的路程是0.2 m
D. t＝0.4 s时，物块与小球运动方向相反
12. (2024·广州期末)如图甲所示，水平弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动，规定水平向右为正方向．图乙是弹簧振子做简谐运动的x-t图像，则(　　)
甲 乙
A. 弹簧振子从B点经过O点再运动到C点为一次全振动
B. 弹簧振子的振动方程为x＝0.1 sin m
C. 图乙中的P点时刻振子的速度方向与加速度方向都沿正方向
D. 弹簧振子在前2.5 s内的路程为1 m
13. (2024·中山纪念中学)如图所示为一质点做简谐运动的x-t图像．在t＝0时，质点的位移等于2 cm.
(1) 求该质点的振幅、周期和频率．
(2) 写出该质点的振动方程．
(3) t＝1.25 s时，速度方向如何．(共53张PPT)
第二章
机械振动
课时2　简谐运动的描述
核心 目标 1. 理解振幅、周期和频率，了解相位、相位差，会用数学表达式描述简谐运动，明确图像的物理意义及图像信息．
2. 通过实验过程，掌握测量小球振动周期的方法．
必备知识 记忆理解
1. 振幅
(1) 定义：做简谐振动的物体离开平衡位置的___________，叫作振动的振幅．用A表示，国际单位为米(m).
(2) 振幅是描述振动_______的物理量．
要点
1
描述简谐运动的物理量
最大距离
范围
2. 周期(T)和频率(f)
内容 周期 频率
定义 做简谐运动的物体完成一次_________所需要的时间 物体完成全振动的次数与所用时间_______
单位 秒(s) 赫兹(Hz)
说明 都是表示___________的物理量
关系 \ f＝_____
说明 ① 全振动的定义：振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，叫作一次全振动 ② 不管以哪个位置作为研究起点，做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是相同的
3. 相位(ωt＋φ)：在物理学中，周期性运动在各个时刻所处的不同状态用不同的_______来描述．
全振动
之比
振动快慢
相位
要点
2
简谐运动位移的表达式
A sin (ωt＋φ)
振幅
频率
圆频率
周期
×
×
×
√
√
2. (2024·梅州期末) 一物体做简谐运动，其振幅为24 cm，周期为2 s．当t＝0时，位移为24 cm.物体做简谐运动的振动方程为 (　　)
C
把握考向 各个击破
描述简谐运动的物理量
1. 振幅与位移、路程、周期的关系
(1) 振幅与位移：振动中的位移是矢量，振幅是标量．在数值上，振幅与振动物体的最大位移相等，在同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化．
(2) 振幅与路程：振动中的路程是标量，是随时间不断增大的．一个周期内的路程为　4倍　振幅，半个周期内的路程为2倍振幅．
(3) 振幅与周期：实验证明，在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关．
考向
1
2. 全振动的四个特征
(1) 物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同．
(2) 时间特征：历时一个周期．
(3) 路程特征：振幅的4倍．
(4) 相位特征：增加2π.
　　　一个做简谐运动的质点，它的振幅是4 cm，频率是2.5 Hz，该质点从平衡位置开始经过2.9 s后，位移的大小和经过的路程分别为　 (　　)
A. 0　10 cm B. 4 cm　100 cm
C. 0　28 cm D. 4 cm　116 cm
1
D
　　　(2024·中山期末)如图所示，弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C 两点间做简谐运动．B、C 相距40 cm，小球经过 B点时开始计时，经过 2 s首次到达O点. 下列说法中正确的是 (　　)
A. 第1 s内小球经过的路程为 10 cm
B. 小球做简谐运动的频率为 0.125 Hz
C. 小球做简谐运动的振幅为40 cm
D. 小球从B点运动到C点的过程中，加速度先变大，后变小
2
B
简谐运动的表达式
1. 简谐运动的一般表达式为
考向
2
　　　(2024·肇庆市第一中学)如图所示，半径为R的圆盘边缘有一钉子B，在水平光线下，圆盘的转轴A和钉子B在右侧墙壁上形成影子O和P，以O为原点在竖直方向上建立x坐标系．t＝0时从图示位置沿逆时针方向匀速转动圆盘，角速度为ω，则P做简谐运动的表达式为 (　　)
3
B
　　　一个质点以O点为平衡位置，在A、B间做简谐运动，如图甲所示，它的振动图像如图乙所示，设向右为正方向，下列说法中正确的是 (　　)

A. 质点的振动方程为x＝0.05sin (2.5πt) m
B. 0.2 s末质点的速度方向向右
C. 0.2～0.3 s质点做加速运动
D. 0.7 s时质点的位置在O与B之间
4
D
相位和相位差问题
1. 对于某个振动，相位差Δφ＝2π时，意味着完成了一次全振动．
2. ω相同时，对两个简谐运动
(1) 若相位差Δφ＝0，表示同相，振动步调一致．
(2) 若相位差Δφ＝　π　，表示反相，振动步调总是相反．
(3) 一般情况下，振动2超前1的相位差Δφ＝φ2 －φ1.
3. 图像运用如图：
考向
3
　　　(多选)如图所示为两简谐运动的图像，下列说法中正确的是 (　　)
5
AD
由图像确定初相时不能只看一个时刻的位移，应通过两个或两个以上的位置验证，因为质点通过平衡位置时速度可能沿正方向，也可能沿负方向，同时还要注意考虑运动方程的多解性．
随堂内化 即时巩固
1. (2024·深圳龙岗区期末)如图甲所示，弹簧振子(带笔的小球)在水平方向做简谐运动的过程中，摇动把手使纸带运动就在纸带上画出如图乙所示的振动图像．下列说法中正确的是 (　　)
A. 振动的振幅为8 cm
B. 振动的周期为5 s
C. 振动的频率为0.2 Hz
D. 位移－时间的表达式为x＝8sin (0.5πt)cm
A
2. 如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在光滑水平面上的A、B两点之间做简谐运动．取水平向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法中正确的是 (　　)
A
配套新练案
解析：弹簧的压缩量即为振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离，即振幅，故振幅之比为1∶3，而对同一振动系统，其周期由振动系统自身的性质决定，与振幅无关，周期之比为1∶1.故选A.
考向1　描述简谐运动的物理量
1. (2024·福建泉州五中)有一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动，第二次把弹簧压缩3x后释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为 (　　)
A. 1∶1　1∶3 B. 1∶1　1∶1
C. 1∶3　1∶3 D. 1∶3　1∶1
A
2. (2024·安徽芜湖一中)一弹簧振子经过a、b两点时的速度相同，从a到b所经历的最短时间为0.3 s，接着从b到a经历的最短时间为0.4 s，则振子的周期为 (　　)
A. 0.8 s B. 0.9 s
C. 1.0 s D. 1.2 s
A
3. (2024·广州期末)某质点做简谐振动，其位移x与时间t的关系如图，则该质点
(　　)
A. 振动频率为4 Hz
B. 在A点速度最大
C. 在B点加速度最大
D. 在0～3 s内通过路程为12.0 cm
D
4. 如图所示，一质点做简谐运动，O点为平衡位置，质点先后以相同的速度依次通过M、N两点，历时1 s，质点通过N点后再经过1 s又第2次通过N点，在这2 s内质点通过的总路程为12 cm，则质点的振动周期和振幅分别为 (　　)
A. 3 s，6 cm B. 4 s，9 cm
C. 4 s，6 cm D. 2 s，8 cm
C
D
A. 质点做简谐运动的振幅为10 cm
B. 质点做简谐运动的周期为4 s
C. 在t＝4 s时质点的速度最大
D. 在t＝4 s时质点的加速度最大
C
7. (2024·广州第二中学)如图甲所示，质量为0.5 kg的小球静止在O点，现用手竖直向上托起小球至A点，使弹簧处于原长状态．t＝0时放手，小球在竖直方向上A、B之间运动，其位移x随时间t的变化如图乙所示，则小球 (　　)
A. 在t＝0.5 s时加速度最大
B. 在t＝0.6 s时速度方向向下
C. 在t＝1.2 s时加速度方向向下
D. 做简谐运动的表达式为
x＝5cos (2πt) cm
B
8. 一弹簧振子的位移y随时间t变化的关系式为y＝0.1sin (2.5πt)，位移y的单位为m，时间t的单位为s.下列说法中正确的是 (　　)
A. 弹簧振子的振幅为0.2 m
B. 弹簧振子的周期为1.25 s
C. 在t＝0.2 s时刻，振子的加速度最大
D. 在任意0.2 s内，振子的路程均为0.1 m
C
BD
10. (2024·安徽合肥一中)某弹簧振子做简谐运动，振幅为6 cm，周期为0.5 s，t＝0开始计时，t＝0.25 s时振子具有负向最大加速度，则振子简谐运动的位移公式是
(　　)
B
11. (2024·安徽安庆一中)(多选)如图所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动．以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y＝0.1sin (2.5πt) m．t＝0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t＝0.6 s时， 小球恰好与物块处于同一高度．取g＝10 m/s2.下列说法中正确的有 (　　)
A. h＝1.7 m
B. 简谐运动的周期是0.8 s
C. 0.6 s内物块运动的路程是0.2 m
D. t＝0.4 s时，物块与小球运动方向相反
AB
12. (2024·广州期末)如图甲所示，水平弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动，规定水平向右为正方向．图乙是弹簧振子做简谐运动的x-t图像，则 (　　)
D
13. (2024·中山纪念中学)如图所示为一质点做简谐运动的x-t图像．在t＝0时，质点的位移等于2 cm.
(1) 求该质点的振幅、周期和频率．
答案：4 cm
(2) 写出该质点的振动方程．
答案：2 s
(3) t＝1.25 s时，速度方向如何．
答案：0.5 Hz
解析：由图可知，t＝1.25 s 时，x＞0，质点位于平衡位置上方，向正向最大位移运动，所以速度方向沿x轴正方向．
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