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课时4　单摆
核心 目标 1. 知道单摆是一种理想化模型，理解单摆模型的条件，能将实际问题中的对象和过程转化为单摆模型．
2. 能判定单摆小角度摆动时的运动特点，能通过实验，探究单摆的周期与摆长的关系．
3. 知道单摆的周期与摆长、重力加速度的关系，能运用其解决相关问题．
要点梳理
要点1　单摆及单摆的回复力
1. 单摆
(1) 组成：__小球__和__细线__．
(2) 单摆是一种理想模型，实际摆可视为单摆的条件
① 细线形变要求：细线的__长度__不可改变．
② 质量要求：细线的质量与小球相比可以__忽略__．
③ 细线长度要求：球的直径与线的长度相比也可以__忽略__．
④ 受力要求：与小球受到的重力及线的拉力相比，空气对它的阻力可以__忽略不计__．
⑤ 摆角要求：单摆在摆动过程中要求摆角__小于__(填“大于”、“小于”或“等于”)5°.
2. 单摆的回复力
(1) 回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的__分力__．
(2) 回复力的特点：在偏角很小时，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－x.
(3) 运动规律：单摆在偏角很小的时候做__简谐__运动．
要点2　单摆的周期
1. 影响单摆周期的因素
(1) 单摆的周期与__摆球质量__、__振幅__无关．
(2) 单摆的周期与__摆长__有关，__摆长__越长，__周期__越大．
2. 周期公式
(1) 公式：T＝__2π__．
(2) 单摆的等时性：单摆的周期与__振幅__无关的性质．
即学即用
1. 易错辨析
(1) 单摆摆球的质量越大，周期越大．(　×　)
(2) 单摆运动的回复力是摆线拉力和重力的合力．(　×　)
(3) 单摆经过平衡位置时受到的合力为零．(　×　)
(4) 将单摆由地球赤道移到地球两极，周期变小．(　√　)
(5) 增大单摆的摆长，单摆振动的频率将变大．(　×　)
2. (2024·梅州期末)我们把从最左侧摆至最右侧的时间为1 s的单摆叫作秒摆．则(取g＝10m/s2，π2＝10)(　B　)
A. 秒摆周期为1 s
B. 秒摆周期为2 s
C. 秒摆周期为4 s
D. 秒摆的摆长为0.5 m
解析：最左侧摆至最右侧的时间为半周期，则秒摆的周期为2 s．根据T＝2π，秒摆的摆长为l＝1 m．故选B.
考向1　单摆的回复力
如图所示，G1＝G sin θ提供摆球以O为中心做往复运动的__回复力__．注意：回复力不是重力G与摆线拉力T的合力．
在θ很小(小于5°)时，因为sin θ≈，G1＝G sin θ＝x，G1方向与摆球位移方向相反，所以有回复力F回＝G1＝__－x__＝－kx.
因此，在摆角θ很小时，单摆做简谐运动，其振动图像遵循正弦函数规律，图像是正弦或余弦曲线．
　(2024·广州第二中学)如图所示，单摆在AB之间做简谐运动，A、B为运动最高点，O为平衡位置．下列关于单摆的说法中，正确的是(　D　)
A. 经过O点时，向心力和回复力均不为零
B. 经过A点时，向心力和回复力均为零
C. 在半个周期内，合外力的冲量一定为零
D. 在半个周期内，合外力做的功一定为零
解析：经过O点时，摆球具有一定速度，由Fn＝可知向心力不为零．摆球在O点时的位移为零，根据F回＝－kx可知回复力为零，A错误；同理可得，经过A点时，摆球速度为零，则向心力为零，摆球位移不为零，则回复力不为零，B错误；根据单摆的振动对称性可知，在任意半个周期内，速度大小不变，除最大位移处，速度方向一定改变，由动量定理I＝Δp可知合外力的冲量可能为零，也可能不为零．摆球的动能不变，根据W合＝ΔEk可知合外力做的功一定为零，C错误，D正确．
考向2　单摆周期与摆长关系的探究
1. 控制变量法探究单摆周期T与摆长l的关系
(1) 改变单摆的摆长，测出不同摆长单摆的周期，自己设计一个表格，把所测数据填入表中．
(2) 根据表中数据，在坐标纸上描点，以T为纵轴，l为横轴，画出T-l图像．
(3) 根据表中数据，在坐标纸上描点，以T的平方为纵轴，l为横轴，画出T2-l图像．
分析T2-l图像，可得周期的平方与摆长成正比．
2. 惠更斯研究了单摆的振动，发现在偏角很小的情况下，单摆做简谐运动的周期T跟摆长l的二次方根成__正比__，跟重力加速度g的二次方根成__反比__，跟振幅、摆球的质量__无关__，并且确定了如下的单摆周期的公式T＝__2π__．
　某同学用实验的方法“探究单摆的周期与摆长的关系”．
(1) 为了测量摆线长度，必须使单摆处于__B__(填字母代码)状态．
A. 水平拉直　　　　
B. 自然悬垂
C. 悬挂拉紧
解析：测量摆线长，必须使单摆处于自然悬垂状态，水平拉直或拉紧都会增大测量的误差，故B正确．
(2) 他用毫米刻度尺从悬点量到摆球的最高端的长度L0＝98.80 cm，然后分别用两种仪器甲、乙来测量摆球直径，操作如图，得到摆球的直径为d＝2.266 cm，此测量数据是选用了仪器__甲__(填“甲”或“乙”)测量得到的．
甲 乙
解析：图甲是50分度的游标卡尺，最小分度是0.02 mm，而螺旋测微器需要估读到0.001 mm，小球的读数是d＝2.266 cm＝22.66 mm；符合游标卡尺的读数，不符合螺旋测微器的读数的精确度，故此测量数据是选用了仪器甲．
(3) 根据上述测量结果，结合误差分析，他得到的摆长l是__99.93__ cm.(结果保留四位有效数字)
解析：摆长l＝l0＋＝cm＝99.93 cm.
(4) 他改变摆长后，测量6种不同摆长情况下单摆的周期，记录表格如下：
l/cm 40.00 50.00 80.00 90.00 100.00 120.00
T/s 1.26 1.42 1.79 1.90 2.00 2.20
T2/s2 1.59 2.02 3.20 3.61 4.00 4.84
以摆长l为横坐标，T2为纵坐标，作出T2-l图线，并利用此图线求重力加速度值为__9.86__m/s2.(结果保留三位有效数字，取π2＝9.86)
解析：以摆长l为横坐标，T2为纵坐标，作出T2-l图线如图：
根据单摆的周期公式T＝2π得T2＝，所以图线的斜率k＝，由图可得k＝＝4，则g＝＝9.86 m/s2.
1. 周期的测量方法：把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度(在实验中，摆角很小时单摆运动的细节不易观察清楚，带来的测量误差反而会大，一般认为θ角不超过5°)释放，使之做简谐运动．以摆球通过平衡位置时开始计时，用秒表记下摆球通过平衡位置n次所用的时间t，因为单摆完成一个周期的振动，经过平衡位置两次，所以有t＝T，T＝.
2. 摆长的测量方法：用米尺量出悬线长度l′，用游标卡尺量出摆球的直径d，则摆长l＝l′＋.
考向3　单摆周期公式的理解和应用
1. 周期公式的成立条件：T＝2π 必须是在小角度摆动的条件下才成立，理论上一般θ角__不超过5°__．
2. 摆长l是指摆动轨迹圆弧的圆心到摆球重心的距离，而不一定是摆线的长度或摆线长度加小球半径．
　如图所示，房顶上固定一根长2 m的细线沿竖直墙壁垂到窗沿下，细线下端系了一个小球(可视为质点).打开窗子，让小球在垂直于窗子的竖直平面内小幅度摆动，A点是小球摆动的最左端，B点是小球摆动的最右端，O点是小球摆动的平衡位置．不计空气阻力，小球从A点到O点所用的最短时间为tAO，小球从B点到O点所用的最短时间为tBO，tAO＝tBO，窗上沿到房顶的高度为(　B　)
A. 1.6 m　 B. 1.5 m　
C. 1.2 m　 D. 1.4 m
解析：设窗上沿到房顶的高度为L2，小球的摆动可视为单摆运动tBO＝T1＝，tAO＝T2＝，tAO＝tBO，解得L2＝1.5 m，故选B.
　(2024·茂名电白区期末)如图所示，表面光滑的固定圆弧轨道，最低点为P，弧长远小于R，现将可视为质点的两个小球从A、B点同时由静止释放，弧长AP大于BP，则(　A　)
A. 两球在P点相遇
B. 两球在P点右侧相遇
C. 两球在P点左侧相遇
D. 以上情况均有可能
解析：由于弧长远小于R，所以两球的运动都可以看作是单摆，由单摆的等时性可知，两球从释放到最低点的时间都等于单摆周期(单摆周期公式T＝2π)的四分之一，摆长相等，L＝R，所以两球会同时到达P点，A正确．
在实际问题中，g不一定为9.8 m/s2，而要由单摆所处的空间位置和摆球的运动情况、受力情况决定．
如果单摆处在向上加速的系统中，摆球将处于超重状态，设向上的加速度为a，则系统中的等效重力加速度g′＝g＋a，因为系统中重力加速度增大，单摆的周期将变短，如正向上加速运动的航天器中的单摆．单摆如果在轨道上正常运行的航天器内，摆球将完全失重，等效重力加速度g′＝0，单摆的周期无穷大，即单摆不摆动．
1. (2024·广州第二中学)在广州走时准确的摆钟，随考察队带到北极“黄河站”，则这个摆钟(　A　)
A. 变快了，重新校准应增大摆长
B. 变快了，重新校准应减小摆长
C. 变慢了，重新校准应减小摆长
D. 变慢了，重新校准应增大摆长
解析：摆钟从广州到北极，纬度升高，重力加速度g变大，由单摆的周期公式T＝2π可知，摆钟的周期变小，即摆动变快了，则这个摆钟要将周期T调大，重新校准应增大摆长L.故选A.
2. (2025·广州广雅中学)在探究“单摆周期与摆长”的关系实验中，若摆球在垂直纸面的平面内摆动，为了将人工记录振动次数改为自动记录振动次数，在摆球运动最低点的左、右两侧分别放置一激光光源与光敏电阻，如图甲所示．光敏电阻与某一自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t的变化图线如图乙所示，则该单摆的振动周期为__2t0__．若保持悬点到小球顶点的绳长不变，改用直径是原小球直径一半的另一小球进行实验(振幅不变)，则该单摆的周期将__变小__(填“变大”、“不变”或“变小”)，图中的Δt将__变小__(填“变大”、“不变”或“变小”).
甲 乙
解析：单摆在一个周期内两次经过平衡位置，每次经过平衡位置单摆会挡住细激光束，从R-t图线可知周期T＝2t0 .
摆长等于摆线的长度加上摆球的半径，摆球的直径变小，摆线长度不变，则摆长减小，根据T＝2π知周期变小．
摆球的直径减小，则挡光的时间变短，所以Δt将变小．
配套新练案
考向1　单摆的回复力
1. (2024·中山纪念中学)如图所示，轻绳的一端系一质量为m的金属球，另一端悬于O点，悬点O到球上端的绳长为L，球的直径为d.将球拉到A点后由静止释放(摆角小于5°)，经过最低点C后，摆到B点速度减为零．在摆动过程中，设绳子与竖直方向夹角为θ，不计空气阻力．下列说法中正确的是(　A　)
A. 球摆动时的回复力大小为F＝mg sin θ
B. 球摆动的周期为T＝2π
C. 球摆到最高点时速度为零，绳子拉力也为零
D. 增大球的摆角(不超过5°)，球摆动的周期也变大
解析：由受力分析可得，球摆动时的回复力大小为F＝mg sin θ，A正确；球摆动的周期为T＝2π，B错误；球摆到最高点时速度为零，向心力等于零，绳子拉力不等于零，C错误；由单摆周期公式可得，周期与角度无关，D错误．
2. 如图所示，置于地球表面上的一单摆在小振幅条件下摆动的周期为T0，下列说法中正确的是(　D　)
A. 单摆摆动过程，绳子的拉力始终大于摆球的重力
B. 单摆摆动过程，绳子的拉力始终小于摆球的重力
C. 小球所受重力和绳的拉力的合力提供单摆做简谐运动的回复力
D. 将该单摆置于月球表面，其摆动周期为T>T0
解析：在最高点时，绳的拉力等于重力的一个分力，此时绳子的拉力小于重力；在最低点的时候绳的拉力和重力共同提供向心力F－mg＝ma，可得F＝ma＋mg，A、B错误；小球所受重力和绳的拉力的合力的切向分力提供单摆做简谐运动的回复力，径向分力提供向心力，C错误；月球表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，根据单摆周期公式T＝2π可知将该单摆置于月球表面，其摆动周期为T>T0，D正确．
3. 将一个摆长为l的单摆放在一个光滑的倾角为α的斜面上，其摆角为θ，如图所示．下列说法中正确的是(　A　)
A. 摆球做简谐运动的回复力F＝mgsin θsin α
B. 摆球做简谐运动的回复力为mgsin θ
C. 摆球做简谐运动的周期为2π
D. 摆球在运动过程中，经平衡位置时，线的拉力为T＝mgsin α
解析：本题是类似单摆模型，回复力由重力沿斜面方向的分力的切向分量提供，重力沿斜面方向的分力为mg sin α，其切向分力为mg sin αsin θ，故A正确，B错误；等效重力加速度为g sin α，故周期为T＝2π，故C错误；摆球在运动过程中，经平衡位置时，线的拉力和重力沿斜面方向的分力的合力提供向心力，故T－mg sin α＝m，则T＞mg sin α，故D错误．
考向2　单摆周期与摆长关系的探究
4. (2024·华南师范大学附中)某同学在做“探究单摆周期与摆长的关系”的实验中，先用米尺测得摆线长，再用游标卡尺测得摆球直径，之后测周期时，开始计时的位置应在__平衡(或振动的最低点)__位置．他通过多次实验后以摆长L为横坐标，T2为纵坐标，作出T2-L图线，若该同学计算摆长时候加的是小球直径，则所画图线是图中的__A__(填“A”或“B”).
解析：该实验中，为减小实验误差，开始计时的位置应在平衡位置，即振动的最低点．
由单摆周期公式T＝2π 可得T2＝L
若该同学计算摆长时候加的是小球直径，则有
T2＝(L－)，可知图线是A.
考向3　单摆周期公式的理解和应用
5. (2024·广东大湾区期末)如图所示，半径为r的金属球由长为L的轻质细线悬挂于O点，现将球向右拉开一个小角度θ(θ<5°)后由静止释放，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球第一次运动至O点正下方时所用时间为(　A　)
A. B.
C. π D. π
解析：小球做单摆运动，根据单摆周期公式可得T＝2π，小球第一次运动至O点正下方时所用时间为t＝＝，故选A.
6. (多选)固定光滑圆弧面上有一个小球，将其从最低点移开一小段距离，t＝0时刻将小球由静止释放，小球以最低点为平衡位置左右振动．已知圆弧半径R＝1 m，当地的重力加速度g＝9.8 m/s2，π2≈9.8，下列哪些时刻小球运动到最低点(　AC　)
A. 0.5 s B. 1 s　　　　
C. 1.5 s D. 2 s
解析：小球运动与单摆类似，摆动周期T＝2π＝2 s，小球从左侧最大位移处释放，在T(n＝0，1，2，3，…)的时刻经过最低点，所以0.5 s和1.5 s时小球均经过最低点，故选A、C.
7. (2024·梅州期末质检)如图所示为同一实验室中甲、乙两个单摆的振动图像，从图像可知(　B　)
A. 两摆球质量相等
B. 两单摆的摆长相等
C. 两单摆相位相同
D. 在相同时间内，两摆球通过的路程总有s甲＝2s乙
解析：从图像上可得出振幅和单摆周期，与质量无关，所以无法得到两球的质量关系，A错误；从图上知，T甲＝T乙，又由T＝2π ，可得两单摆的摆长相等，B正确；由图像可知x甲＝2sin cm，x乙＝sin (ωt) cm，两单摆相位相差，C错误；由于两个摆的初相位不同，所以只有从平衡位置或最大位移处开始计时，而且末位置也是在平衡位置或最大位移处的特殊情况下，经过相同时间，两摆球通过的路程才一定满足s甲＝2s乙，若不能满足以上的要求，则不一定满足s甲＝2s乙，D错误．
8. (2025·广东实验中学)如图所示，用两条细线悬挂一个除去了柱塞的注射器，当其静止时，针头恰好对准下面木板的中心线(图中虚线).将注射器内装上墨汁，当注射器左右摆动时，垂直于摆动的方向以速度v匀速拖动木板，在木板上留下墨汁图样，A、B两点间距为L.则该注射器在摆动时(　D　)
A. 通过A点正上方时向右摆动
B. 通过B点正上方时加速度为零
C. 通过A点和B点时摆动方向相同
D. 摆动的周期为
解析：由图可知，通过A点正上方后的墨汁留在了A点的左侧，所以通过A点正上方时向左摆动，A错误；通过B点正上方时，加速度为向心加速度，即此时注射器的加速度不为零，B错误；由图可知，注射器通过A点的摆动方向向左，通过B点时摆动方向向右，C错误；该单摆由A到B，恰好摆动了1.5个周期，故满足1.5T＝，解得T＝，D正确．
9. 如图所示，表面光滑、半径为R的圆弧形轨道AP与水平地面平滑连接，AP弧长为s，s R.半径为r的小球从A点静止释放，运动到最低点P时速度大小为v，重力加速度为g，则小球从A运动到P的时间是(　B　)
A. t＝ B. t＝
C. t＝ D. t＝
解析：因为AP弧长为s，且s R，所以小球做类单摆运动，根据单摆的周期公式可得T＝2π ，由题意可知，摆长为L＝R－r，小球从A运动到P的时间为四分之一个周期，即有t＝ ，故选B.
10. 如图甲所示，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间．现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置．图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，图中t＝0为摆球从A点开始运动的时刻，取g＝10 m/s2.求：
甲 乙
(1) 单摆的振动周期和摆长．
答案：0.4 m
解析：小球在一个周期内两次经过最低点，则T＝0.4π s
由单摆的周期公式T＝2π
解得L＝＝ m＝0.4 m
(2) 摆球的质量．
答案：0.05 kg
(3) 摆球运动过程中的最大速度．
答案： m/s
解析：摆球受力分析如图所示：
在最高点A，有Fmin＝mg cos θ＝0.495 N
在最低点B，有Fmax＝mg＋m＝0.510 N
从A到B，机械能守恒，由机械能守恒定律得
mgL(1－cos θ)＝mv2
联立三式并代入数据得m＝0.05 kg，v＝ m/s课时4　单摆
核心 目标 1. 知道单摆是一种理想化模型，理解单摆模型的条件，能将实际问题中的对象和过程转化为单摆模型．
2. 能判定单摆小角度摆动时的运动特点，能通过实验，探究单摆的周期与摆长的关系．
3. 知道单摆的周期与摆长、重力加速度的关系，能运用其解决相关问题．
要点梳理
要点1　单摆及单摆的回复力
1. 单摆
(1) 组成：__ __和__ __．
(2) 单摆是一种理想模型，实际摆可视为单摆的条件
① 细线形变要求：细线的__ __不可改变．
② 质量要求：细线的质量与小球相比可以__ __．
③ 细线长度要求：球的直径与线的长度相比也可以__ __．
④ 受力要求：与小球受到的重力及线的拉力相比，空气对它的阻力可以__ __．
⑤ 摆角要求：单摆在摆动过程中要求摆角__ __(填“大于”、“小于”或“等于”)5°.
2. 单摆的回复力
(1) 回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的__ __．
(2) 回复力的特点：在偏角很小时，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－x.
(3) 运动规律：单摆在偏角很小的时候做__ __运动．
要点2　单摆的周期
1. 影响单摆周期的因素
(1) 单摆的周期与__ __、__ __无关．
(2) 单摆的周期与__ __有关，__ __越长，__ __越大．
2. 周期公式
(1) 公式：T＝__ __．
(2) 单摆的等时性：单摆的周期与__ __无关的性质．
即学即用
1. 易错辨析
(1) 单摆摆球的质量越大，周期越大．(　　)
(2) 单摆运动的回复力是摆线拉力和重力的合力．(　　)
(3) 单摆经过平衡位置时受到的合力为零．(　　)
(4) 将单摆由地球赤道移到地球两极，周期变小．(　　)
(5) 增大单摆的摆长，单摆振动的频率将变大．(　　)
2. (2024·梅州期末)我们把从最左侧摆至最右侧的时间为1 s的单摆叫作秒摆．则(取g＝10m/s2，π2＝10)(　　)
A. 秒摆周期为1 s
B. 秒摆周期为2 s
C. 秒摆周期为4 s
D. 秒摆的摆长为0.5 m
考向1　单摆的回复力
如图所示，G1＝G sin θ提供摆球以O为中心做往复运动的__回复力__．注意：回复力不是重力G与摆线拉力T的合力．
在θ很小(小于5°)时，因为sin θ≈，G1＝G sin θ＝x，G1方向与摆球位移方向相反，所以有回复力F回＝G1＝__－x__＝－kx.
因此，在摆角θ很小时，单摆做简谐运动，其振动图像遵循正弦函数规律，图像是正弦或余弦曲线．
　(2024·广州第二中学)如图所示，单摆在AB之间做简谐运动，A、B为运动最高点，O为平衡位置．下列关于单摆的说法中，正确的是(　　)
A. 经过O点时，向心力和回复力均不为零
B. 经过A点时，向心力和回复力均为零
C. 在半个周期内，合外力的冲量一定为零
D. 在半个周期内，合外力做的功一定为零
考向2　单摆周期与摆长关系的探究
1. 控制变量法探究单摆周期T与摆长l的关系
(1) 改变单摆的摆长，测出不同摆长单摆的周期，自己设计一个表格，把所测数据填入表中．
(2) 根据表中数据，在坐标纸上描点，以T为纵轴，l为横轴，画出T-l图像．
(3) 根据表中数据，在坐标纸上描点，以T的平方为纵轴，l为横轴，画出T2-l图像．
分析T2-l图像，可得周期的平方与摆长成正比．
2. 惠更斯研究了单摆的振动，发现在偏角很小的情况下，单摆做简谐运动的周期T跟摆长l的二次方根成__正比__，跟重力加速度g的二次方根成__反比__，跟振幅、摆球的质量__无关__，并且确定了如下的单摆周期的公式T＝__2π__．
　某同学用实验的方法“探究单摆的周期与摆长的关系”．
(1) 为了测量摆线长度，必须使单摆处于____(填字母代码)状态．
A. 水平拉直　　　　
B. 自然悬垂
C. 悬挂拉紧
(2) 他用毫米刻度尺从悬点量到摆球的最高端的长度L0＝98.80 cm，然后分别用两种仪器甲、乙来测量摆球直径，操作如图，得到摆球的直径为d＝2.266 cm，此测量数据是选用了仪器____(填“甲”或“乙”)测量得到的．
甲 乙
(3) 根据上述测量结果，结合误差分析，他得到的摆长l是__ __ cm.(结果保留四位有效数字)
(4) 他改变摆长后，测量6种不同摆长情况下单摆的周期，记录表格如下：
l/cm 40.00 50.00 80.00 90.00 100.00 120.00
T/s 1.26 1.42 1.79 1.90 2.00 2.20
T2/s2 1.59 2.02 3.20 3.61 4.00 4.84
以摆长l为横坐标，T2为纵坐标，作出T2-l图线，并利用此图线求重力加速度值为__ __m/s2.(结果保留三位有效数字，取π2＝9.86)
1. 周期的测量方法：把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度(在实验中，摆角很小时单摆运动的细节不易观察清楚，带来的测量误差反而会大，一般认为θ角不超过5°)释放，使之做简谐运动．以摆球通过平衡位置时开始计时，用秒表记下摆球通过平衡位置n次所用的时间t，因为单摆完成一个周期的振动，经过平衡位置两次，所以有t＝T，T＝.
2. 摆长的测量方法：用米尺量出悬线长度l′，用游标卡尺量出摆球的直径d，则摆长l＝l′＋.
考向3　单摆周期公式的理解和应用
1. 周期公式的成立条件：T＝2π 必须是在小角度摆动的条件下才成立，理论上一般θ角__不超过5°__．
2. 摆长l是指摆动轨迹圆弧的圆心到摆球重心的距离，而不一定是摆线的长度或摆线长度加小球半径．
　如图所示，房顶上固定一根长2 m的细线沿竖直墙壁垂到窗沿下，细线下端系了一个小球(可视为质点).打开窗子，让小球在垂直于窗子的竖直平面内小幅度摆动，A点是小球摆动的最左端，B点是小球摆动的最右端，O点是小球摆动的平衡位置．不计空气阻力，小球从A点到O点所用的最短时间为tAO，小球从B点到O点所用的最短时间为tBO，tAO＝tBO，窗上沿到房顶的高度为(　　)
A. 1.6 m　 B. 1.5 m　
C. 1.2 m　 D. 1.4 m
　(2024·茂名电白区期末)如图所示，表面光滑的固定圆弧轨道，最低点为P，弧长远小于R，现将可视为质点的两个小球从A、B点同时由静止释放，弧长AP大于BP，则(　　)
A. 两球在P点相遇
B. 两球在P点右侧相遇
C. 两球在P点左侧相遇
D. 以上情况均有可能
在实际问题中，g不一定为9.8 m/s2，而要由单摆所处的空间位置和摆球的运动情况、受力情况决定．
如果单摆处在向上加速的系统中，摆球将处于超重状态，设向上的加速度为a，则系统中的等效重力加速度g′＝g＋a，因为系统中重力加速度增大，单摆的周期将变短，如正向上加速运动的航天器中的单摆．单摆如果在轨道上正常运行的航天器内，摆球将完全失重，等效重力加速度g′＝0，单摆的周期无穷大，即单摆不摆动．
1. (2024·广州第二中学)在广州走时准确的摆钟，随考察队带到北极“黄河站”，则这个摆钟(　　)
A. 变快了，重新校准应增大摆长
B. 变快了，重新校准应减小摆长
C. 变慢了，重新校准应减小摆长
D. 变慢了，重新校准应增大摆长
2. (2025·广州广雅中学)在探究“单摆周期与摆长”的关系实验中，若摆球在垂直纸面的平面内摆动，为了将人工记录振动次数改为自动记录振动次数，在摆球运动最低点的左、右两侧分别放置一激光光源与光敏电阻，如图甲所示．光敏电阻与某一自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t的变化图线如图乙所示，则该单摆的振动周期为__ __．若保持悬点到小球顶点的绳长不变，改用直径是原小球直径一半的另一小球进行实验(振幅不变)，则该单摆的周期将__ __(填“变大”、“不变”或“变小”)，图中的Δt将__ __(填“变大”、“不变”或“变小”).
甲 乙
配套新练案
考向1　单摆的回复力
1. (2024·中山纪念中学)如图所示，轻绳的一端系一质量为m的金属球，另一端悬于O点，悬点O到球上端的绳长为L，球的直径为d.将球拉到A点后由静止释放(摆角小于5°)，经过最低点C后，摆到B点速度减为零．在摆动过程中，设绳子与竖直方向夹角为θ，不计空气阻力．下列说法中正确的是(　　)
A. 球摆动时的回复力大小为F＝mg sin θ
B. 球摆动的周期为T＝2π
C. 球摆到最高点时速度为零，绳子拉力也为零
D. 增大球的摆角(不超过5°)，球摆动的周期也变大
2. 如图所示，置于地球表面上的一单摆在小振幅条件下摆动的周期为T0，下列说法中正确的是(　　)
A. 单摆摆动过程，绳子的拉力始终大于摆球的重力
B. 单摆摆动过程，绳子的拉力始终小于摆球的重力
C. 小球所受重力和绳的拉力的合力提供单摆做简谐运动的回复力
D. 将该单摆置于月球表面，其摆动周期为T>T0
3. 将一个摆长为l的单摆放在一个光滑的倾角为α的斜面上，其摆角为θ，如图所示．下列说法中正确的是(　　)
A. 摆球做简谐运动的回复力F＝mgsin θsin α
B. 摆球做简谐运动的回复力为mgsin θ
C. 摆球做简谐运动的周期为2π
D. 摆球在运动过程中，经平衡位置时，线的拉力为T＝mgsin α
考向2　单摆周期与摆长关系的探究
4. (2024·华南师范大学附中)某同学在做“探究单摆周期与摆长的关系”的实验中，先用米尺测得摆线长，再用游标卡尺测得摆球直径，之后测周期时，开始计时的位置应在__ _ _位置．他通过多次实验后以摆长L为横坐标，T2为纵坐标，作出T2-L图线，若该同学计算摆长时候加的是小球直径，则所画图线是图中的__ __(填“A”或“B”).
考向3　单摆周期公式的理解和应用
5. (2024·广东大湾区期末)如图所示，半径为r的金属球由长为L的轻质细线悬挂于O点，现将球向右拉开一个小角度θ(θ<5°)后由静止释放，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球第一次运动至O点正下方时所用时间为(　　)
A. B.
C. π D. π
6. (多选)固定光滑圆弧面上有一个小球，将其从最低点移开一小段距离，t＝0时刻将小球由静止释放，小球以最低点为平衡位置左右振动．已知圆弧半径R＝1 m，当地的重力加速度g＝9.8 m/s2，π2≈9.8，下列哪些时刻小球运动到最低点(　　)
A. 0.5 s B. 1 s　　　　
C. 1.5 s D. 2 s
7. (2024·梅州期末质检)如图所示为同一实验室中甲、乙两个单摆的振动图像，从图像可知(　　)
A. 两摆球质量相等
B. 两单摆的摆长相等
C. 两单摆相位相同
D. 在相同时间内，两摆球通过的路程总有s甲＝2s乙
8. (2025·广东实验中学)如图所示，用两条细线悬挂一个除去了柱塞的注射器，当其静止时，针头恰好对准下面木板的中心线(图中虚线).将注射器内装上墨汁，当注射器左右摆动时，垂直于摆动的方向以速度v匀速拖动木板，在木板上留下墨汁图样，A、B两点间距为L.则该注射器在摆动时(　　)
A. 通过A点正上方时向右摆动
B. 通过B点正上方时加速度为零
C. 通过A点和B点时摆动方向相同
D. 摆动的周期为
9. 如图所示，表面光滑、半径为R的圆弧形轨道AP与水平地面平滑连接，AP弧长为s，s R.半径为r的小球从A点静止释放，运动到最低点P时速度大小为v，重力加速度为g，则小球从A运动到P的时间是(　　)
A. t＝ B. t＝
C. t＝ D. t＝
10. 如图甲所示，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间．现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置．图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，图中t＝0为摆球从A点开始运动的时刻，取g＝10 m/s2.求：
甲 乙
(1) 单摆的振动周期和摆长．
(2) 摆球的质量．
(3) 摆球运动过程中的最大速度．(共48张PPT)
第二章
机械振动
课时4　单摆
核心 目标 1. 知道单摆是一种理想化模型，理解单摆模型的条件，能将实际问题中的对象和过程转化为单摆模型．
2. 能判定单摆小角度摆动时的运动特点，能通过实验，探究单摆的周期与摆长的关系．
3. 知道单摆的周期与摆长、重力加速度的关系，能运用其解决相关问题．
必备知识 记忆理解
1. 单摆
(1) 组成：_______和_______．
(2) 单摆是一种理想模型，实际摆可视为单摆的条件
① 细线形变要求：细线的_______不可改变．
② 质量要求：细线的质量与小球相比可以_______．
③ 细线长度要求：球的直径与线的长度相比也可以_______．
④ 受力要求：与小球受到的重力及线的拉力相比，空气对它的阻力可以___________．
⑤ 摆角要求：单摆在摆动过程中要求摆角_______(填“大于”、“小于”或“等于”)5°.
要点
1
单摆及单摆的回复力
小球
细线
长度
忽略
忽略
忽略不计
小于
2. 单摆的回复力
(1) 回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的_______．
(3) 运动规律：单摆在偏角很小的时候做_______运动．
分力
简谐
1. 影响单摆周期的因素
(1) 单摆的周期与___________、_______无关．
(2) 单摆的周期与_______有关，_______越长，_______越大．
2. 周期公式
(1) 公式：T＝_______．
(2) 单摆的等时性：单摆的周期与_______无关的性质．
要点
2
单摆的周期
摆球质量
振幅
摆长
摆长
周期
振幅
1. 易错辨析
(1) 单摆摆球的质量越大，周期越大． (　　)
(2) 单摆运动的回复力是摆线拉力和重力的合力． (　　)
(3) 单摆经过平衡位置时受到的合力为零． (　　)
(4) 将单摆由地球赤道移到地球两极，周期变小． (　　)
(5) 增大单摆的摆长，单摆振动的频率将变大． (　　)
×
×
×
√
×
2. (2024·梅州期末)我们把从最左侧摆至最右侧的时间为1 s的单摆叫作秒摆．则(取g＝10m/s2，π2＝10) (　　)
A. 秒摆周期为1 s B. 秒摆周期为2 s
C. 秒摆周期为4 s D. 秒摆的摆长为0.5 m
B
把握考向 各个击破
单摆的回复力
如图所示，G1＝G sin θ提供摆球以O为中心做往复运动的　回复力　．注意：回复力不是重力G与摆线拉力T的合力．
考向
1
因此，在摆角θ很小时，单摆做简谐运动，其振动图像遵循正弦函数规律，图像是正弦或余弦曲线．
　　　(2024·广州第二中学)如图所示，单摆在AB之间做简谐运动，A、B为运动最高点，O为平衡位置．下列关于单摆的说法中，正确的是 (　　)
A. 经过O点时，向心力和回复力均不为零
B. 经过A点时，向心力和回复力均为零
C. 在半个周期内，合外力的冲量一定为零
D. 在半个周期内，合外力做的功一定为零
1
D
单摆周期与摆长关系的探究
1. 控制变量法探究单摆周期T与摆长l的关系
(1) 改变单摆的摆长，测出不同摆长单摆的周期，自己设计一个表格，把所测数据填入表中．
(2) 根据表中数据，在坐标纸上描点，以T为纵轴，l为横轴，画出T-l图像．
(3) 根据表中数据，在坐标纸上描点，以T的平方为纵轴，l为横轴，画出T2-l图像．
分析T2-l图像，可得周期的平方与摆长成正比．
考向
2
　　　某同学用实验的方法“探究单摆的周期与摆长的关系”．
(1) 为了测量摆线长度，必须使单摆处于____(填字母代码)状态．
A. 水平拉直　　　　
B. 自然悬垂
C. 悬挂拉紧
2
解析：测量摆线长，必须使单摆处于自然悬垂状态，水平拉直或拉紧都会增大测量的误差，故B正确．
B
(2) 他用毫米刻度尺从悬点量到摆球的最高端的长度L0＝98.80 cm，然后分别用两种仪器甲、乙来测量摆球直径，操作如图，得到摆球的直径为d＝2.266 cm，此测量数据是选用了仪器_____(填“甲”或“乙”)测量得到的．
解析：图甲是50分度的游标卡尺，最小分度是0.02 mm，而螺旋测微器需要估读到0.001 mm，小球的读数是d＝2.266 cm＝22.66 mm；符合游标卡尺的读数，不符合螺旋测微器的读数的精确度，故此测量数据是选用了仪器甲．
甲
(3) 根据上述测量结果，结合误差分析，他得到的摆长l是________ cm.(结果保留四位有效数字)
99.93
(4) 他改变摆长后，测量6种不同摆长情况下单摆的周期，记录表格如下：
l/cm 40.00 50.00 80.00 90.00 100.00 120.00
T/s 1.26 1.42 1.79 1.90 2.00 2.20
T2/s2 1.59 2.02 3.20 3.61 4.00 4.84
以摆长l为横坐标，T2为纵坐标，作出T2-l图线，并利用此图线求重力加速度值为_______m/s2.(结果保留三位有效数字，取π2＝9.86)
9.86
解析：以摆长l为横坐标，T2为纵坐标，作出T2-l图线如图：
单摆周期公式的理解和应用
2. 摆长l是指摆动轨迹圆弧的圆心到摆球重心的距离，而不一定是摆线的长度或摆线长度加小球半径．
考向
3
3
B
　　　(2024·茂名电白区期末)如图所示，表面光滑的固定圆弧轨道，最低点为P，弧长远小于R，现将可视为质点的两个小球从A、B点同时由静止释放，弧长AP大于BP，则 (　　)
A. 两球在P点相遇
B. 两球在P点右侧相遇
C. 两球在P点左侧相遇
D. 以上情况均有可能
4
A
在实际问题中，g不一定为9.8 m/s2，而要由单摆所处的空间位置和摆球的运动情况、受力情况决定．
如果单摆处在向上加速的系统中，摆球将处于超重状态，设向上的加速度为a，则系统中的等效重力加速度g′＝g＋a，因为系统中重力加速度增大，单摆的周期将变短，如正向上加速运动的航天器中的单摆．单摆如果在轨道上正常运行的航天器内，摆球将完全失重，等效重力加速度g′＝0，单摆的周期无穷大，即单摆不摆动．
随堂内化 即时巩固
1. (2024·广州第二中学)在广州走时准确的摆钟，随考察队带到北极“黄河站”，则这个摆钟 (　　)
A. 变快了，重新校准应增大摆长
B. 变快了，重新校准应减小摆长
C. 变慢了，重新校准应减小摆长
D. 变慢了，重新校准应增大摆长
A
2. (2025·广州广雅中学)在探究“单摆周期与摆长”的关系实验中，若摆球在垂直纸面的平面内摆动，为了将人工记录振动次数改为自动记录振动次数，在摆球运动最低点的左、右两侧分别放置一激光光源与光敏电阻，如图甲所示．光敏电阻与某一自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t的变化图线如图乙所示，则该单摆的振动周期为______．若保持悬点到小球顶点的绳长不变，改用直径是原小球直径一半的另一小球进行实验(振幅不变)，则该单摆的周期将_______(填“变大”、“不变”或“变小”)，图中的Δt将_______(填“变大”、“不变”或“变小”).
2t0
变小
变小
配套新练案
A
2. 如图所示，置于地球表面上的一单摆在小振幅条件下摆动的周期为T0，下列说法中正确的是 (　　)
A. 单摆摆动过程，绳子的拉力始终大于摆球的重力
B. 单摆摆动过程，绳子的拉力始终小于摆球的重力
C. 小球所受重力和绳的拉力的合力提供单摆做简谐运动的回复力
D. 将该单摆置于月球表面，其摆动周期为T>T0
D
A
考向2　单摆周期与摆长关系的探究
4. (2024·华南师范大学附中)某同学在做“探究单摆周期与摆长的关系”的实验中，先用米尺测得摆线长，再用游标卡尺测得摆球直径，之后测周期时，开始计时的位置应在_______________________位置．他通过多次实验后以摆长L为横坐标，T2为纵坐标，作出T2-L图线，若该同学计算摆长时候加的是小球直径，则所画图线是图中的____(填“A”或“B”).
平衡(或振动的最低点)
A
考向3　单摆周期公式的理解和应用
5. (2024·广东大湾区期末)如图所示，半径为r的金属球由长为L的轻质细线悬挂于O点，现将球向右拉开一个小角度θ(θ<5°)后由静止释放，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球第一次运动至O点正下方时所用时间为 (　　)
A
6. (多选)固定光滑圆弧面上有一个小球，将其从最低点移开一小段距离，t＝0时刻将小球由静止释放，小球以最低点为平衡位置左右振动．已知圆弧半径R＝1 m，当地的重力加速度g＝9.8 m/s2，π2≈9.8，下列哪些时刻小球运动到最低点
(　　)
A. 0.5 s B. 1 s　　　　 C. 1.5 s D. 2 s
AC
7. (2024·梅州期末质检)如图所示为同一实验室中甲、乙两个单摆的振动图像，从图像可知 (　　)
A. 两摆球质量相等
B. 两单摆的摆长相等
C. 两单摆相位相同
D. 在相同时间内，两摆球通过的
路程总有s甲＝2s乙
B
8. (2025·广东实验中学)如图所示，用两条细线悬挂一个除去了柱塞的注射器，当其静止时，针头恰好对准下面木板的中心线(图中虚线).将注射器内装上墨汁，当注射器左右摆动时，垂直于摆动的方向以速度v匀速拖动木板，在木板上留下墨汁图样，A、B两点间距为L.则该注射器在摆动时 (　　)
A. 通过A点正上方时向右摆动
B. 通过B点正上方时加速度为零
C. 通过A点和B点时摆动方向相同
D
9. 如图所示，表面光滑、半径为R的圆弧形轨道AP与水平地面平滑连接，AP弧长为s，s R.半径为r的小球从A点静止释放，运动到最低点P时速度大小为v，重力加速度为g，则小球从A运动到P的时间是 (　　)
B
10. 如图甲所示，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间．现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置．图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，图中t＝0为摆球从A点开始运动的时刻，取g＝10 m/s2.求：
(1) 单摆的振动周期和摆长．
答案：0.4 m
(2) 摆球的质量．
答案：0.05 kg
(3) 摆球运动过程中的最大速度．
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