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章末复习　知识整合与能力提升
核心 目标 1. 理解简谐运动的特征，能用表达式和图像分析简谐运动，理解单摆的回复力特征，能用周期公式解决相关问题．
2. 理解受迫振动、共振的特点，能用单摆测重力加速度．
考点1　简谐运动的周期性和对称性
1. 简谐运动是一种周而复始的周期性的运动，按其周期性可做出如下判断：
(1) 若t2－t1＝__nT__，则t1、t2两时刻振动物体在同一位置，运动情况相同．
(2) 若t2－t1＝nT＋，则t1、t2两时刻，x、F、a、v均大小相等，方向__相反__．
(3) 若t2－t1＝nT＋或t2－t1＝nT＋，则当t1时刻物体到达最大位移处时，t2时刻物体到达__平衡位置__；当t1时刻物体在平衡位置时，t2时刻到达最大位移处；若t1时刻物体在其他位置，t2时刻物体到达何处就要视具体情况而定．
2. 简谐运动的对称性．
(1) 时间的对称
① 物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB＝__tBD__．
② 物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间__相等__，图中tOB＝tBO＝tOA＝tAO，tOD＝tDO＝tOC＝tCO.
(2) 速度的对称
① 物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向__相反__．
② 物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，速度大小__相等__，方向可能相同，也可能相反．
(3) 加速度的对称
系统在关于平衡位置对称的两位置具有等大反向的加速度和__回复力__．
　(2024·深圳高级中学)(多选)弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当它经过点O时开始计时，经过0.5 s，第一次到达点M，再经过0.2 s第二次到达点M，则弹簧振子的周期可能为(　BD　)
A. 0.6 s B. 0.8 s
C. 1.2 s D. 2.4 s
解析：如图甲所示
甲
若振子从O点开始向右振动，根据简谐振动的对称性可知，振子从M点到最大位移处和从最大位移处到点M 所用时间相等，则可知＝0.5 s＋ s＝0.6 s，故可得T＝4×0.6 s＝2.4 s
如图乙所示
乙
若振子从O点开始向左振动，则振子振动到左边最大位移处后接着振动到右边最大位移处所用时间为T，而根据简谐运动的对称性可知，振子从M点到右端最大位移处和从右端最大位移处到点M 所用时间相等，则可知T＝0.5 s＋ s＝0.6 s，解得T＝0.8 s．故选B、D.
考点2　简谐运动的表达式和图像的应用
简谐运动的位移表达式x＝A sin (ωt＋φ)或x＝A cos (ωt＋φ)，图像是一条正弦或余弦曲线，反映的是位移随时间的变化规律，如图所示．
甲 乙
1. 已知表达式，可以求出振幅、周期、频率、初相位等物理量，可以作出振动图像，推知振子的振动情况．
2. 根据振子的振动情况，可以作出振动图像，可以写出表达式．
3. 根据图像，可以写出表达式，可以推知振子的振动情况．
以位移为“桥梁”分析简谐运动中各物理量的变化情况：
(1) 位移增大时，振动质点的回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化．各矢量均在其值为零时改变方向．
(2) 位移相同时，回复力、加速度、动能、势能可以确定，速度可能有两个方向，由于周期性，运动时间也不确定．
　一水平弹簧振子做简谐运动的位移与时间的关系如图所示．
(1) 该简谐运动的周期和振幅分别是多少？
答案：2×10-2 s　2 cm
解析：由题图知，周期与振幅为T＝2×10-2 s，A＝2 cm
(2) 写出该简谐运动的表达式．
答案：见解析
解析：由ω＝＝100π rad/s，又因为φ＝，或者φ＝－
所以振子做简谐运动的表达式为
x＝2sin cm或x＝2sin cm
(3) 求t＝0.25×10-2 s时振子的位移．
答案：－1.41 cm
解析：当t＝0.25×10-2 s时位移为
x＝2sin cm＝－1.41 cm
考点3　简谐运动的多解问题
做简谐运动的质点其运动具有周期性，如果运动时间与简谐运动的周期之间存在整数倍的关系，则质点的位移、速度、回复力、加速度、动能等物理量均确定；反之将对应时间的不确定性．这种不确定性将带来问题的多解．
　(2024·安徽合肥一中)(多选)一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点，t＝0时振子的位移为－0.1 m，t＝1 s时位移为0.1 m，则(　AD　)
A. 若振幅为0.1 m，振子的周期可能为 s
B. 若振幅为0.1 m，振子的周期可能为 s
C. 若振幅为0.2 m，振子的周期可能为4 s
D. 若振幅为0.2 m，振子的周期可能为6 s
解析：若振幅为0.1 m，根据题意可知从t＝0到t＝1 s振子经历的周期为(n＋)T，则(n＋)T＝1 s(n＝0，1，2，3，…)，解得T＝ s(n＝0，1，2，3，…)，当n＝1时T＝ s，无论n为何值，T都不会等于 s，A正确，B错误；如果振幅为0.2 m，结合位移时间关系图像，有1 s＝＋nT①，或者1 s＝T＋nT②，或者1 s＝＋nT③，对于①式，只有当n＝0时，T＝2 s，为整数；对于②式，T不为整数；对于③式，当n＝0时，T＝6 s，之后只会大于6 s，故C错误，D正确．
1. (2024·广东卷)如图所示，轻质弹簧竖直放置，下端固定．木块从弹簧正上方H高度处由静止释放．以木块释放点为原点，取竖直向下为正方向．木块的位移为y.所受合外力为F，运动时间为t.忽略空气阻力，弹簧在弹性限度内．关于木块从释放到第一次回到原点的过程中．其F-y图像或y-t图像可能正确的是(　B　)
A B
C D
解析：在木块下落H高度之前，木块所受合外力为木块的重力保持不变，即F＝mg，当木块接触弹簧后到合力为零前，根据牛顿第二定律mg－ky＝F，随着y增大F减小；当弹簧弹力大于木块的重力后到最低点过程中F＝ky－mg，木块所受合外力向上，随着y增大F增大；F-y图像如图所示，B正确，A错误；
同理，在木块下落H高度之前，木块做匀加速直线运动，根据y＝gt2，速度逐渐增大，所以y-t图像斜率逐渐增大，当木块接触弹簧后到合力为零前，根据牛顿第二定律mg－ky＝F，木块的速度继续增大，做加速度减小的加速运动，所以y-t图像斜率继续增大，当弹簧弹力大于木块的重力后到最低点过程中F＝ky－mg，木块所受合外力向上，木块做加速度增大的减速运动，所以y-t图斜率减小，到达最低点后，木块向上运动，经以上分析可知，木块先做匀加速直线运动，再做加速度减小的加速运动，然后做加速度增大的减速运动，再做匀减速直线运动到最高点，y-t图像大致如图所示，C、D错误．
2. (2021·广东卷)如图所示，一个轻质弹簧下端挂一小球，小球静止．现将小球向下拉动距离A后由静止释放，并开始计时，小球在竖直方向做简谐运动，周期为T.经时间，小球从最低点向上运动的距离__小于__(填“大于”、“小于”或“等于”)；在时刻，小球的动能__最大__(填“最大”或“最小”).
解析：根据简谐运动位移公式y＝－A cos ，则t＝时，y＝－A sin ＝－A，所以小球从最低点向上运动的距离为Δy＝A－A＝A3. (2020·浙江卷)某同学用单摆测量重力加速度．
(1) 为了减少测量误差，下列做法中正确的是__BC__(多选)．
A. 摆的振幅越大越好
B. 摆球质量大些、体积小些
C. 摆线尽量细些、长些、伸缩性小些
D. 计时的起、止位置选在摆球达到的最高点处
解析：单摆在摆角很小的情况下才做简谐运动，单摆的摆角不能太大，一般不能超过5°，否则单摆将不做简谐运动，A错误；实验尽量选择质量大的、体积小的小球，减小空气阻力，减小实验误差，B正确；为了减小实验误差，摆线应选轻且不易伸长的细线，实验选择细一些的、长度适当、伸缩性小的绳子，C正确；物体在平衡位置(最低点)速度最大，计时更准确，D错误．
(2) 改变摆长，多次测量，得到周期平方与摆长的关系图像如图所示，所得结果与当地重力加速度值相符，但发现其延长线没有过原点，其原因可能是__C__．
A. 测周期时多数了一个周期
B. 测周期时少数了一个周期
C. 测摆长时直接将摆线的长度作为摆长
D. 测摆长时将摆线的长度加上摆球的直径作为摆长
解析：单摆的周期T＝2π，即T2＝·l，但是实验所得T2-l 没过原点，测得重力加速度与当地结果相符，则斜率仍为，即T2＝·(l＋l0)，故实验可能是测量时直接将摆线的长度作为摆长了．章末复习　知识整合与能力提升
核心 目标 1. 理解简谐运动的特征，能用表达式和图像分析简谐运动，理解单摆的回复力特征，能用周期公式解决相关问题．
2. 理解受迫振动、共振的特点，能用单摆测重力加速度．
考点1　简谐运动的周期性和对称性
1. 简谐运动是一种周而复始的周期性的运动，按其周期性可做出如下判断：
(1) 若t2－t1＝__nT__，则t1、t2两时刻振动物体在同一位置，运动情况相同．
(2) 若t2－t1＝nT＋，则t1、t2两时刻，x、F、a、v均大小相等，方向__相反__．
(3) 若t2－t1＝nT＋或t2－t1＝nT＋，则当t1时刻物体到达最大位移处时，t2时刻物体到达__平衡位置__；当t1时刻物体在平衡位置时，t2时刻到达最大位移处；若t1时刻物体在其他位置，t2时刻物体到达何处就要视具体情况而定．
2. 简谐运动的对称性．
(1) 时间的对称
① 物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB＝__tBD__．
② 物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间__相等__，图中tOB＝tBO＝tOA＝tAO，tOD＝tDO＝tOC＝tCO.
(2) 速度的对称
① 物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向__相反__．
② 物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，速度大小__相等__，方向可能相同，也可能相反．
(3) 加速度的对称
系统在关于平衡位置对称的两位置具有等大反向的加速度和__回复力__．
　(2024·深圳高级中学)(多选)弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当它经过点O时开始计时，经过0.5 s，第一次到达点M，再经过0.2 s第二次到达点M，则弹簧振子的周期可能为(　 　)
A. 0.6 s B. 0.8 s
C. 1.2 s D. 2.4 s
考点2　简谐运动的表达式和图像的应用
简谐运动的位移表达式x＝A sin (ωt＋φ)或x＝A cos (ωt＋φ)，图像是一条正弦或余弦曲线，反映的是位移随时间的变化规律，如图所示．
甲 乙
1. 已知表达式，可以求出振幅、周期、频率、初相位等物理量，可以作出振动图像，推知振子的振动情况．
2. 根据振子的振动情况，可以作出振动图像，可以写出表达式．
3. 根据图像，可以写出表达式，可以推知振子的振动情况．
以位移为“桥梁”分析简谐运动中各物理量的变化情况：
(1) 位移增大时，振动质点的回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化．各矢量均在其值为零时改变方向．
(2) 位移相同时，回复力、加速度、动能、势能可以确定，速度可能有两个方向，由于周期性，运动时间也不确定．
　一水平弹簧振子做简谐运动的位移与时间的关系如图所示．
(1) 该简谐运动的周期和振幅分别是多少？
(2) 写出该简谐运动的表达式．
(3) 求t＝0.25×10-2 s时振子的位移．
考点3　简谐运动的多解问题
做简谐运动的质点其运动具有周期性，如果运动时间与简谐运动的周期之间存在整数倍的关系，则质点的位移、速度、回复力、加速度、动能等物理量均确定；反之将对应时间的不确定性．这种不确定性将带来问题的多解．
　(2024·安徽合肥一中)(多选)一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点，t＝0时振子的位移为－0.1 m，t＝1 s时位移为0.1 m，则(　　)
A. 若振幅为0.1 m，振子的周期可能为 s
B. 若振幅为0.1 m，振子的周期可能为 s
C. 若振幅为0.2 m，振子的周期可能为4 s
D. 若振幅为0.2 m，振子的周期可能为6 s
1. (2024·广东卷)如图所示，轻质弹簧竖直放置，下端固定．木块从弹簧正上方H高度处由静止释放．以木块释放点为原点，取竖直向下为正方向．木块的位移为y.所受合外力为F，运动时间为t.忽略空气阻力，弹簧在弹性限度内．关于木块从释放到第一次回到原点的过程中．其F-y图像或y-t图像可能正确的是(　　)
A B
C D
2. (2021·广东卷)如图所示，一个轻质弹簧下端挂一小球，小球静止．现将小球向下拉动距离A后由静止释放，并开始计时，小球在竖直方向做简谐运动，周期为T.经时间，小球从最低点向上运动的距离__ __(填“大于”、“小于”或“等于”)；在时刻，小球的动能__ __(填“最大”或“最小”).
3. (2020·浙江卷)某同学用单摆测量重力加速度．
(1) 为了减少测量误差，下列做法中正确的是__ __(多选)．
A. 摆的振幅越大越好
B. 摆球质量大些、体积小些
C. 摆线尽量细些、长些、伸缩性小些
D. 计时的起、止位置选在摆球达到的最高点处
(2) 改变摆长，多次测量，得到周期平方与摆长的关系图像如图所示，所得结果与当地重力加速度值相符，但发现其延长线没有过原点，其原因可能是__ __．
A. 测周期时多数了一个周期
B. 测周期时少数了一个周期
C. 测摆长时直接将摆线的长度作为摆长
D. 测摆长时将摆线的长度加上摆球的直径作为摆长(共27张PPT)
第二章
机械振动
章末复习　知识整合与能力提升
核心 目标 1. 理解简谐运动的特征，能用表达式和图像分析简谐运动，理解单摆的回复力特征，能用周期公式解决相关问题．
2. 理解受迫振动、共振的特点，能用单摆测重力加速度．
核心知识 整合建构
素养生成 综合应用
简谐运动的周期性和对称性
考点
1
2. 简谐运动的对称性．
(1) 时间的对称
① 物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB＝　tBD　．
② 物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间　相等　，图中tOB＝tBO＝tOA＝tAO，tOD＝tDO＝tOC＝tCO.
(2) 速度的对称
① 物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向　相反　．
② 物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，速度大小　相等　，方向可能相同，也可能相反．
(3) 加速度的对称
系统在关于平衡位置对称的两位置具有等大反向的加速度和　回复力　．
解析：如图甲所示
　　　(2024·深圳高级中学)(多选)弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当它经过点O时开始计时，经过0.5 s，第一次到达点M，再经过0.2 s第二次到达点M，则弹簧振子的周期可能为 (　　)
A. 0.6 s B. 0.8 s
C. 1.2 s D. 2.4 s
1
BD
如图乙所示
简谐运动的表达式和图像的应用
考点
2
简谐运动的位移表达式x＝A sin (ωt＋φ)或x＝A cos (ωt＋φ)，图像是一条正弦或余弦曲线，反映的是位移随时间的变化规律，如图所示．
1. 已知表达式，可以求出振幅、周期、频率、初相位等物理量，可以作出振动图像，推知振子的振动情况．
2. 根据振子的振动情况，可以作出振动图像，可以写出表达式．
3. 根据图像，可以写出表达式，可以推知振子的振动情况．
以位移为“桥梁”分析简谐运动中各物理量的变化情况：
(1) 位移增大时，振动质点的回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化．各矢量均在其值为零时改变方向．
(2) 位移相同时，回复力、加速度、动能、势能可以确定，速度可能有两个方向，由于周期性，运动时间也不确定．
解析：由题图知，周期与振幅为T＝2×10-2 s，A＝2 cm
　　　一水平弹簧振子做简谐运动的位移与时间的关系如图所示．
(1) 该简谐运动的周期和振幅分别是多少？
答案：2×10-2 s　2 cm
2
(2) 写出该简谐运动的表达式．
答案：见解析
(3) 求t＝0.25×10-2 s时振子的位移．
答案：－1.41 cm
简谐运动的多解问题
考点
3
做简谐运动的质点其运动具有周期性，如果运动时间与简谐运动的周期之间存在整数倍的关系，则质点的位移、速度、回复力、加速度、动能等物理量均确定；反之将对应时间的不确定性．这种不确定性将带来问题的多解．
　　　(2024·安徽合肥一中)(多选)一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点，t＝0时振子的位移为－0.1 m，t＝1 s时位移为0.1 m，则 (　　)
3
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链接高考 真题体验
1. (2024·广东卷)如图所示，轻质弹簧竖直放置，下端固定．木块从弹簧正上方H高度处由静止释放．以木块释放点为原点，取竖直向下为正方向．木块的位移为y.所受合外力为F，运动时间为t.忽略空气阻力，弹簧在弹性限度内．关于木块从释放到第一次回到原点的过程中．其F-y图像或y-t图像可能正确的是 (　　)
B
解析：在木块下落H高度之前，木块所受合外力为木块的重力保持不变，即F＝mg，当木块接触弹簧后到合力为零前，根据牛顿第二定律mg－ky＝F，随着y增大F减小；当弹簧弹力大于木块的重力后到最低点过程中F＝ky－mg，木块所受合外力向上，随着y增大F增大；F-y图像如图所示，B正确，A错误；
小于
最大
3. (2020·浙江卷)某同学用单摆测量重力加速度．
(1) 为了减少测量误差，下列做法中正确的是_____(多选)．
A. 摆的振幅越大越好
B. 摆球质量大些、体积小些
C. 摆线尽量细些、长些、伸缩性小些
D. 计时的起、止位置选在摆球达到的最高点处
解析：单摆在摆角很小的情况下才做简谐运动，单摆的摆角不能太大，一般不能超过5°，否则单摆将不做简谐运动，A错误；实验尽量选择质量大的、体积小的小球，减小空气阻力，减小实验误差，B正确；为了减小实验误差，摆线应选轻且不易伸长的细线，实验选择细一些的、长度适当、伸缩性小的绳子，C正确；物体在平衡位置(最低点)速度最大，计时更准确，D错误．
BC
(2) 改变摆长，多次测量，得到周期平方与摆长的关系图像如图所示，所得结果与当地重力加速度值相符，但发现其延长线没有过原点，其原因可能是____．
A. 测周期时多数了一个周期
B. 测周期时少数了一个周期
C. 测摆长时直接将摆线的长度作为摆长
D. 测摆长时将摆线的长度加上摆球的直径作为摆长
C
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