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习题课4　波的多解问题
核心 目标 1. 理解波的周期性、双向性、隐含性形成多解的因素．
2. 能综合应用振动和波的相关知识，分析求解多解问题．
类型1　波的周期性形成多解
1. 时间周期性：相隔周期整数倍时间的两个时刻的波形完全相同，时间间隔Δt与__周期T__的关系不明确造成多解．
2. 空间周期性：沿传播方向上，相隔波长整数倍距离的两质点的振动情况完全相同，质点间距离Δx与__波长λ__的关系不明确造成多解．
　(多选)如图甲所示，一列机械波沿直线由a向b传播，a、b为传播直线上两质点，ab＝2 m，a、b两点的振动情况如图乙所示．下列说法中正确的是(　AD　)
甲 乙
A. 波长可能是 m B. 波长可能是8 m
C. 波速可能是0.4 m/s D. 波速可能是 m/s
解析：由图知，周期为T＝4 s，在t＝0时刻，a点位于波谷，b点经过平衡位置向上，结合波形得2m＝λ，得λ＝m，波速v＝＝ m/s(n＝0，1，2，…)，当n＝0时，波长λ＝m，则v＝m/s，当n＝1时，λ＝m，则v＝m/s，当n＝2时，λ＝m，则v＝m/s，A、D正确，B、C错误．
解决周期性多解问题时，往往采用从特殊到一般的方法，即找到一个周期内满足条件的特例，在此基础上再加上时间nT，或找到一个波长内满足条件的特例，在此基础上再加上距离nλ.
类型2　波的双向性形成多解
1. __传播__方向双向性：波的传播方向不确定．
2. __振动__方向双向性：质点振动方向不确定．
　(2025·湛江期末)如图甲所示，图中两小孩各握住轻绳一端，当只有一个小孩上下抖动绳子时，在绳上产生简谐横波，图乙实线和虚线分别表示绳子中间某点在t1＝0和t2＝0.75 s时刻的波形图，已知小孩抖动绳子的周期T满足0.75 s＜T＜2 s.
甲 乙
(1) 判断哪侧(左侧、右侧)小孩在抖动绳子，并写出判断依据．
答案：右侧　见解析
解析：如果左侧小朋友抖动绳子，则波向右传播，在0.75 s内其波向右传播1 m
波速v＝＝ m/s＝ m/s
根据λ＝vT，得周期T＝3 s，不符合题意周期0.75 s若右侧小孩先抖动绳子时，波向左传播0.75 s，又小于一个周期，波向左传播的距离是3 m(小于一个波长4 m)
v＝＝＝4 m/s
根据λ＝vT，周期T＝1 s，符合题意．故右侧小孩在抖动绳子．
(2) 求此列波在绳子中传播的速度．
答案：4 m/s
解析：由以上解析，波速等于4 m/s.
　(2025·深圳高级中学)在一列沿水平直线传播的简谐横波上有相距3 m的A、B两点，如图甲、乙分别是A、B两质点的振动图像．已知该波波长大于2 m，求：
甲 乙
(1) 这列波的周期．
答案：0.4 s
解析：由振动图像可知这列波的周期为T＝0.4 s
(2) 这列波可能的波速．
答案：见解析
解析：若波由A向B传播，B点比A点晚振动的时间为
Δt＝nT＋T(n＝0，1，2，…)
所以A、B间的距离为Δx＝nλ＋λ＝3 m(n＝0，1，2，…)
则波长为λ＝ m(n＝0，1，2，…)
因为λ>2 m，所以n＝0，可得λ1＝4 m，v1＝＝10 m/s
若波由B向A传播，A点比B点晚振动的时间
Δt＝nT＋T(n＝0，1，2，…)
所以A、B间的距离为Δx＝nλ＋λ＝3 m(n＝0，1，2，…)
则波长为λ＝ m(n＝0，1，2，…)
因为λ>2 m，所以n＝0或n＝1
当n＝0时，可得λ′1＝12 m，v′1＝＝30 m/s
当n＝1时，可得λ′2＝2.4 m，v′2＝＝6 m/s
解决双向性多解问题时，养成全面思考的习惯，知道波有向正、负(或左、右)两方向传播的可能，质点有向正、负(或向上、向下)两方向振动的可能．
类型3　波形的隐含性形成多解
在波动问题中，往往只给出完整波形的一部分，或给出几个特殊点，而其余信息均处于隐含状态．这样，波形就有多种情况，形成波动问题的多解性．
1. 质点达到最大位移处，则有__正方向和负方向__最大位移两种可能．
2. 质点由平衡位置开始振动，则有起振方向__向上和向下__两种可能．
3. 只告诉波速不指明波的传播方向时，应考虑波沿两个方向传播的可能．如果只知道波沿x轴传播，则有可能沿x轴正方向传播，也可能沿x轴负方向传播，具有双向性．
4. 只给出两时刻的波形，则有多次重复出现的可能．
　(2025·广东省实验中学)如图所示，实线是一列简谐横波在t1＝0时刻的波形图，虚线是在t2＝0.2 s时刻的波形图．
(1) 求此列波传播速度的可能值．
答案：沿x轴正方向v1＝5(4n＋1) m/s(n＝0，1，2，3，…)；沿x轴负方向v2＝5(4n＋3) m/s(n＝0，1，2，3，…)
(2) 若波速为55 m/s，求x＝5 m处的质点M在t1时刻的振动方向．
答案：质点M沿y轴负方向振动
解析：(1)(2) 从波的图像可以看出，波长为λ＝4 m
若波沿x轴正方向传播，波传播的距离为
x1＝λ(n＝0，1，2，3，…)
波传播的速度为v1＝＝5(4n＋1) m/s(n＝0，1，2，3，…)
无论n取值多少不能求出波速55 m/s
若波沿x轴负方向传播，波传播的距离为
x2＝λ(n＝0，1，2，3，…)
波传播的速度为v2＝＝5(4n＋3) m/s(n＝0，1，2，3，…)
当n＝2，解得v2＝55 m/s
则波沿x轴负方向传播，根据波与质点的振动方向的关系，则质点M沿y轴负方向振动．
(3) 在t1到t2时间内，x＝5 m处的质点M通过的路程为1.8 m，求波的传播速度．
答案：45 m/s
解析：从波的图像可以看出振幅为A＝20 cm＝0.2 m
M通过的路程为1.8 m，则经历的时间是两个周期再加四分之一周期，波传播的距离为x3＝2λ＋λ＝9 m
波速大小为v3＝＝45 m/s
解决波的多解问题的一般思路
1. 首先找出造成多解的原因，比如考虑传播方向的双向性，可先假设波向右传播，再假设波向左传播，分别进行分析．
2. 根据周期性列式，若题目给出的是时间条件，则列出t＝nT＋Δt(n＝0，1，2，…)，若给出的是距离条件，则列出x＝nλ＋Δx(n＝0，1，2，…)进行求解．
3. 根据需要求与波速(v＝或v＝＝λf)等有关的量．
1. 如图所示，实线为一列简谐横波在某一时刻的波形曲线，经过0.3 s后，其波形曲线如图中虚线所示．若波是沿x轴正方向传播的(周期大于0.3 s)，则该波的速度大小及周期分别为(　A　)
A. 0.5 m/s　0.4 s　　　　　 B. m/s　0.4 s
C. 0.5 m/s　1.2 s　　　　　 D. m/s　1.2 s
解析：由图可得λ＝20 cm，因为波沿x轴正方向传播，则T＋nT＝0.3 s，即T＝ s(n＝0，1，2…)，又因为周期大于0.3 s，所以T＝0.4 s，所以波速为v＝＝ m/s＝0.5 m/s，故选A.
2. (2024·广州期末联考)在一列沿水平直线传播的简谐横波上有相距4 m的A、B两点，如图甲、乙分别是A、B两质点的振动图像．已知该波波长大于2 m，求这列波可能的波速．
甲 乙
答案：见解析
解析：由振动图像得质点振动周期T＝0.4 s；若波由A向B传播，B点比A点晚振动的时间
Δt＝nT＋T(n＝0，1，2，3，…)
所以A、B间的距离为Δx＝nλ＋λ(n＝0，1，2，3，…)
则波长为λ＝＝ m(n＝0，1，2，3，…)
因为λ>2 m，所以n＝0，1
当n＝0时λ1＝ m，v1＝＝ m/s
当n＝1时λ2＝ m，v2＝＝ m/s
若波由B向A传播，A点比B点晚振动的时间
Δt＝nT＋T(n＝0，1，2，3，…)
所以A、B间的距离为Δx＝nλ＋λ(n＝0，1，2，3，…)
则波长为λ＝＝ m(n＝0，1，2，3，…)
因为λ>2 m，所以n＝0，1
当n＝0时λ1＝16 m，v1＝40 m/s
当n＝1时λ2＝ m，v2＝8 m/s
配套新练案
类型1　波的周期性形成多解
1. (2025·茂名期末)如图所示，海面上两个浮标A、B相距s0＝35 m，一列横波由A向B传播，小米观察到当浮标A处在波谷时，浮标B正在平衡位置向上振动，测得一分钟内浮标A能完成30次全振动，则该横波的波速可能是(　D　)
A. 4 m/s B. 6 m/s
C. 8 m/s D. 10 m/s
解析：一分钟内浮标A能完成30次全振动，可知周期T＝ s＝2 s，当浮标A处在波谷时，浮标B正在平衡位置向上振动，可知s0＝nλ＋λ(n＝0，1，2，3，…)，则波速v＝＝ m/s，当n＝1时v＝10 m/s.故选D.
2. (多选)一列简谐横波沿x轴正方向传播，在xA＝0和xB＝0.6 m处的两个质点A、B的振动图像如图所示，则(　BD　)
A. 波由质点A传到质点B的时间可能是0.1 s
B. 波由质点A传到质点B的时间可能是0.3 s
C. 这列波的波速可能是1 m/s
D. 这列波的波速不可能是3 m/s
解析：由题意可得，波的周期为T＝0.4 s，A、B间的距离为x＝nλ＋λ，波由质点A传到质点B的时间为t＝＝n＋ ＝nT＋T≥0.3 s，A错误，B正确；由上述分析可得，波速为v＝＝＝ m/s(n＝0，1，2，3，…)，当n＝0时，速度最大，为2 m/s，当速度为1 m/s时，n不是整数，C错误，D正确．
类型2　波的双向性形成多解
3. 一列简谐横波在t＝0时刻的波形如图所示中的实线所示，t＝0.02 s时刻的波形如图中虚线所示．若该波的周期T大于0.02 s，则该波的传播速度可能是(　B　)
A. 2 m/s B. 3 m/s
C. 4 m/s D. 5 m/s
解析：因波的周期T大于0.02 s，当简谐波沿x轴正方向传播时，＝t＝0.02 s，T＝0.08 s，λ＝0.08 m，则波速v＝＝1 m/s，当简谐波沿x轴的负方向传播时，T＝t＝0.02 s，T＝ s，λ＝0.08 m，则波速v＝＝3 m/s，故B正确.
4. (2024·广州期末)舞水袖是我国戏剧演员在舞台上表达感情时使用的一种夸张技法．某次表演中，演员抖动长袖一端，随之舞动的长袖上形成的简谐横波如图所示，其中实线为t1＝0时刻的波形图，虚线为t2＝0.3 s时刻的波形图，波的周期T＞0.3 s，关于该列简谐波，下列说法中正确的是(　D　)
A. 周期一定为1.2 s
B. 频率可能为5 Hz
C. 若波沿x轴正方向传播，则波速可能为15 m/s
D. 若波沿x轴负方向传播，则波速一定为5 m/s
解析：由波形图可知，该波的波长为λ＝2 m．若该波沿x轴正方向传播，则其周期满足T＝＝(n＝0，1，2，…)，由于T>0.3 s，则n＝0，即T＝1.2 s，故其频率和波速分别为f＝＝ Hz，v＝＝ m/s.若该波沿x轴负方向传播，则T＝＝(n＝0，1，2，…)，由于T>0.3 s，则n＝0.即T＝0.4 s，故其频率和波速分别为f＝＝2.5 Hz，v＝＝5 m/s.故选D.
5. 一列简谐横波在t＝0时刻的波形如图中实线所示，在t＝1 s 时刻的波形如图中虚线所示，下列关于该波的说法中，错误的是(　B　)
A. 波长一定是4 cm
B. 周期一定是4 s
C. 振幅一定是2 cm
D. 传播速度可能是1 cm/s
解析：由图知，波长一定是4 cm，振幅一定是2 cm，A、C正确；若波向右传播，则有t＝T，得T＝ s(n＝0，1，2，…)，同理若波向左传播，则有T＝ s(n＝0，1，2，…)，可知周期不一定是4 s，B错误；若波向右传播，则波速为v＝＝＝(4n＋1) cm/s，当n＝0时，v＝1 cm/s，故D正确．
类型3　波形的隐含性形成多解
6. (2024·深圳高级中学)一列简谐横波在t＝0时的波形如图实线所示．下列说法中错误的是(　C　)
A. 这列波的波长是8 m
B. 如果波向右传播，平衡位置分别为B、C的2个质点，在此时刻的振动方向相反
C. 若波速为120 m/s，则波的频率为10 Hz
D. 若虚线是简谐横波在t＝ s时的波形图，波的传播速度可能为8(4n＋1) m/s(n＝0，1，2，…)
解析：由图可知这列波的波长是8 m；若波速为120 m/s，则波的周期为T＝ s＝ s，波的频率为f＝＝15 Hz，A正确，不满足题意要求，C错误，满足题意要求；如果波向右传播，根据波形平移法可知此时平衡位置为B的质点沿y轴正方向振动，平衡位置为C的质点沿y轴负方向振动，B正确，不满足题意要求；若虚线是简谐横波在t＝ s时的波形图，若波沿x正向传播，那么波的传播速度为v＝＝ m/s＝8 m/s(n＝0，1，2，…)，若波沿x负向传播，那么波的传播速度v＝＝ m/s＝8 m/s(n＝0，1，2，…)，D正确，不满足题意要求．
7. (2024·深圳宝安中学)(多选)一列简谐横波在某均匀介质中沿直线由质点a向质点b传播，a、b两质点的平衡位置相距0.5 m，如图所示，图中实线表示质点a的振动图像，图中虚线表示b质点的振动图像，则下列说法中正确的是(　AC　)
A. 质点a的振动方程为y＝2sin cm
B. 在0.1～0.15 s，质点b做加速度逐渐变大的加速运动
C. 此波的传播速度可能为30 m/s
D. 此波的传播速度可能为15 m/s
解析：由图可知，振幅为2 cm，周期为0.2 s，t＝0时质点a的位移为1＝2sin θ，得θ＝，则质点a的振动方程为y＝2sin cm＝2sin cm，A正确；在0.1～0.15 s，质点b由平衡位置向波谷运动，则质点b做加速度逐渐变大的减速运动，B错误；经分析可知，a、b两质点间距为λ＝0.5 m (n＝0，1，2，3，…)，波的传播速度为v＝＝ m/s (n＝0，1，2，3，…)，若传播速度为30 m/s和15 m/s时，n＝0和n＝，则此波的传播速度可能为30 m/s，不可能为15 m/s，C正确，D错误．
8. (2024·广东实验中学)一简谐横波在t＝0时的波形如图中的实线所示，t＝0.2 s时刻的波形如图中的虚线所示，P是平衡位置在x＝3 m处的质点．
(1) 若该波沿x轴正方向传播，求该波可能的波速．
答案：(20n＋5) m/s
解析：若该波沿x轴正方向传播，波传播的距离可能为x＝(4n＋1) m(n＝0，1，2，…)
故波速可能为v＝＝ m/s
(2) 若该波的波速大小v＝15 m/s，求质点Р在0～0.2 s内通过的路程L.
答案：6 cm
解析：若波速大小v＝15 m/s，则波的周期T＝＝ s，由t＝0.2 s＝T，则波向左传播，t＝0时刻P质点经过平衡位置向＋y方向运动．质点Р在0～0.2 s内通过的路程L＝3A＝6 cm
9. (2024·深圳高级中学)如图所示，实线是一列简谐横波在t1＝0时刻的波形图，虚线是在t2＝0.2 s时刻的波形图．
(1) 求此列波传播速度的可能值．
答案：见解析
(2) 若波速为55 m/s，求x＝5 m处的质点M在t1时刻的振动方向．
答案：y轴负方向
解析：(1)(2)从波的图像可以看出，波长为λ＝4 m
若波沿x轴正方向传播，波传播的距离为
x1＝λ(n＝0，1，2，3，…)
波传播的速度为v1＝＝5(4n＋1) m/s(n＝0，1，2，3，…)
无论n取值多少不能求出波速55 m/s
若波沿x轴负方向传播，波传播的距离为
x2＝λ(n＝0，1，2，3，…)
波传播的速度为v2＝＝5(4n＋3) m/s(n＝0，1，2，3，…)
当n＝2，解得v2＝55 m/s
则波沿x轴负方向传播，根据波与质点的振动方向的关系，则质点M沿y轴负方向振动．
(3) 在t1到t2时间内，x＝5 m处的质点M通过的路程为1.8 m，求波的传播速度．
答案：45 m/s
解析：从波的图像可以看出振幅为A＝20 cm＝0.2 m
M通过的路程为1.8 m，则经历的时间是两个周期再加四分之一周期，波传播的距离为x3＝2λ＋λ＝9 m
波速大小为v3＝＝45 m/s习题课4　波的多解问题
核心 目标 1. 理解波的周期性、双向性、隐含性形成多解的因素．
2. 能综合应用振动和波的相关知识，分析求解多解问题．
类型1　波的周期性形成多解
1. 时间周期性：相隔周期整数倍时间的两个时刻的波形完全相同，时间间隔Δt与__周期T__的关系不明确造成多解．
2. 空间周期性：沿传播方向上，相隔波长整数倍距离的两质点的振动情况完全相同，质点间距离Δx与__波长λ__的关系不明确造成多解．
　(多选)如图甲所示，一列机械波沿直线由a向b传播，a、b为传播直线上两质点，ab＝2 m，a、b两点的振动情况如图乙所示．下列说法中正确的是(　 　)
甲 乙
A. 波长可能是 m B. 波长可能是8 m
C. 波速可能是0.4 m/s D. 波速可能是 m/s
解决周期性多解问题时，往往采用从特殊到一般的方法，即找到一个周期内满足条件的特例，在此基础上再加上时间nT，或找到一个波长内满足条件的特例，在此基础上再加上距离nλ.
类型2　波的双向性形成多解
1. __传播__方向双向性：波的传播方向不确定．
2. __振动__方向双向性：质点振动方向不确定．
　(2025·湛江期末)如图甲所示，图中两小孩各握住轻绳一端，当只有一个小孩上下抖动绳子时，在绳上产生简谐横波，图乙实线和虚线分别表示绳子中间某点在t1＝0和t2＝0.75 s时刻的波形图，已知小孩抖动绳子的周期T满足0.75 s＜T＜2 s.
甲 乙
(1) 判断哪侧(左侧、右侧)小孩在抖动绳子，并写出判断依据．
(2) 求此列波在绳子中传播的速度．
　(2025·深圳高级中学)在一列沿水平直线传播的简谐横波上有相距3 m的A、B两点，如图甲、乙分别是A、B两质点的振动图像．已知该波波长大于2 m，求：
甲 乙
(1) 这列波的周期．
(2) 这列波可能的波速．
解决双向性多解问题时，养成全面思考的习惯，知道波有向正、负(或左、右)两方向传播的可能，质点有向正、负(或向上、向下)两方向振动的可能．
类型3　波形的隐含性形成多解
在波动问题中，往往只给出完整波形的一部分，或给出几个特殊点，而其余信息均处于隐含状态．这样，波形就有多种情况，形成波动问题的多解性．
1. 质点达到最大位移处，则有__正方向和负方向__最大位移两种可能．
2. 质点由平衡位置开始振动，则有起振方向__向上和向下__两种可能．
3. 只告诉波速不指明波的传播方向时，应考虑波沿两个方向传播的可能．如果只知道波沿x轴传播，则有可能沿x轴正方向传播，也可能沿x轴负方向传播，具有双向性．
4. 只给出两时刻的波形，则有多次重复出现的可能．
　(2025·广东省实验中学)如图所示，实线是一列简谐横波在t1＝0时刻的波形图，虚线是在t2＝0.2 s时刻的波形图．
(1) 求此列波传播速度的可能值．
(2) 若波速为55 m/s，求x＝5 m处的质点M在t1时刻的振动方向．
(3) 在t1到t2时间内，x＝5 m处的质点M通过的路程为1.8 m，求波的传播速度．
解决波的多解问题的一般思路
1. 首先找出造成多解的原因，比如考虑传播方向的双向性，可先假设波向右传播，再假设波向左传播，分别进行分析．
2. 根据周期性列式，若题目给出的是时间条件，则列出t＝nT＋Δt(n＝0，1，2，…)，若给出的是距离条件，则列出x＝nλ＋Δx(n＝0，1，2，…)进行求解．
3. 根据需要求与波速(v＝或v＝＝λf)等有关的量．
1. 如图所示，实线为一列简谐横波在某一时刻的波形曲线，经过0.3 s后，其波形曲线如图中虚线所示．若波是沿x轴正方向传播的(周期大于0.3 s)，则该波的速度大小及周期分别为(　　)
A. 0.5 m/s　0.4 s　　　　　 B. m/s　0.4 s
C. 0.5 m/s　1.2 s　　　　　 D. m/s　1.2 s
2. (2024·广州期末联考)在一列沿水平直线传播的简谐横波上有相距4 m的A、B两点，如图甲、乙分别是A、B两质点的振动图像．已知该波波长大于2 m，求这列波可能的波速．
甲 乙
配套新练案
类型1　波的周期性形成多解
1. (2025·茂名期末)如图所示，海面上两个浮标A、B相距s0＝35 m，一列横波由A向B传播，小米观察到当浮标A处在波谷时，浮标B正在平衡位置向上振动，测得一分钟内浮标A能完成30次全振动，则该横波的波速可能是(　　)
A. 4 m/s B. 6 m/s
C. 8 m/s D. 10 m/s
2. (多选)一列简谐横波沿x轴正方向传播，在xA＝0和xB＝0.6 m处的两个质点A、B的振动图像如图所示，则(　　)
A. 波由质点A传到质点B的时间可能是0.1 s
B. 波由质点A传到质点B的时间可能是0.3 s
C. 这列波的波速可能是1 m/s
D. 这列波的波速不可能是3 m/s
类型2　波的双向性形成多解
3. 一列简谐横波在t＝0时刻的波形如图所示中的实线所示，t＝0.02 s时刻的波形如图中虚线所示．若该波的周期T大于0.02 s，则该波的传播速度可能是(　　)
A. 2 m/s B. 3 m/s
C. 4 m/s D. 5 m/s
4. (2024·广州期末)舞水袖是我国戏剧演员在舞台上表达感情时使用的一种夸张技法．某次表演中，演员抖动长袖一端，随之舞动的长袖上形成的简谐横波如图所示，其中实线为t1＝0时刻的波形图，虚线为t2＝0.3 s时刻的波形图，波的周期T＞0.3 s，关于该列简谐波，下列说法中正确的是(　　)
A. 周期一定为1.2 s
B. 频率可能为5 Hz
C. 若波沿x轴正方向传播，则波速可能为15 m/s
D. 若波沿x轴负方向传播，则波速一定为5 m/s
5. 一列简谐横波在t＝0时刻的波形如图中实线所示，在t＝1 s 时刻的波形如图中虚线所示，下列关于该波的说法中，错误的是(　　)
A. 波长一定是4 cm
B. 周期一定是4 s
C. 振幅一定是2 cm
D. 传播速度可能是1 cm/s
类型3　波形的隐含性形成多解
6. (2024·深圳高级中学)一列简谐横波在t＝0时的波形如图实线所示．下列说法中错误的是(　　)
A. 这列波的波长是8 m
B. 如果波向右传播，平衡位置分别为B、C的2个质点，在此时刻的振动方向相反
C. 若波速为120 m/s，则波的频率为10 Hz
D. 若虚线是简谐横波在t＝ s时的波形图，波的传播速度可能为8(4n＋1) m/s(n＝0，1，2，…)
7. (2024·深圳宝安中学)(多选)一列简谐横波在某均匀介质中沿直线由质点a向质点b传播，a、b两质点的平衡位置相距0.5 m，如图所示，图中实线表示质点a的振动图像，图中虚线表示b质点的振动图像，则下列说法中正确的是(　　)
A. 质点a的振动方程为y＝2sin cm
B. 在0.1～0.15 s，质点b做加速度逐渐变大的加速运动
C. 此波的传播速度可能为30 m/s
D. 此波的传播速度可能为15 m/s
8. (2024·广东实验中学)一简谐横波在t＝0时的波形如图中的实线所示，t＝0.2 s时刻的波形如图中的虚线所示，P是平衡位置在x＝3 m处的质点．
(1) 若该波沿x轴正方向传播，求该波可能的波速．
(2) 若该波的波速大小v＝15 m/s，求质点Р在0～0.2 s内通过的路程L.
9. (2024·深圳高级中学)如图所示，实线是一列简谐横波在t1＝0时刻的波形图，虚线是在t2＝0.2 s时刻的波形图．
(1) 求此列波传播速度的可能值．
(2) 若波速为55 m/s，求x＝5 m处的质点M在t1时刻的振动方向．
(3) 在t1到t2时间内，x＝5 m处的质点M通过的路程为1.8 m，求波的传播速度．(共50张PPT)
第三章
机械波
习题课4　波的多解问题
核心 目标 1. 理解波的周期性、双向性、隐含性形成多解的因素．
2. 能综合应用振动和波的相关知识，分析求解多解问题．
能力提升 典题固法
波的周期性形成多解
1. 时间周期性：相隔周期整数倍时间的两个时刻的波形完全相同，时间间隔Δt与　周期T　的关系不明确造成多解．
2. 空间周期性：沿传播方向上，相隔波长整数倍距离的两质点的振动情况完全相同，质点间距离Δx与　波长λ　的关系不明确造成多解．
类型
1
　　　(多选)如图甲所示，一列机械波沿直线由a向b传播，a、b为传播直线上两质点，ab＝2 m，a、b两点的振动情况如图乙所示．下列说法中正确的是 (　　)
1
AD
解决周期性多解问题时，往往采用从特殊到一般的方法，即找到一个周期内满足条件的特例，在此基础上再加上时间nT，或找到一个波长内满足条件的特例，在此基础上再加上距离nλ.
波的双向性形成多解
1. 　传播　方向双向性：波的传播方向不确定．
2. 　振动　方向双向性：质点振动方向不确定．
类型
2
　　　(2025·湛江期末)如图甲所示，图中两小孩各握住轻绳一端，当只有一个小孩上下抖动绳子时，在绳上产生简谐横波，图乙实线和虚线分别表示绳子中间某点在t1＝0和t2＝0.75 s时刻的波形图，已知小孩抖动绳子的周期T满足0.75 s＜T＜2 s.
2
(1) 判断哪侧(左侧、右侧)小孩在抖动绳子，并写出判断依据．
答案：右侧　见解析
解析：由以上解析，波速等于4 m/s.
(2) 求此列波在绳子中传播的速度．
答案：4 m/s
　　　(2025·深圳高级中学)在一列沿水平直线传播的简谐横波上有相距3 m的A、B两点，如图甲、乙分别是A、B两质点的振动图像．已知该波波长大于2 m，求：
(1) 这列波的周期．
答案：0.4 s
3
解析：由振动图像可知这列波的周期为T＝0.4 s
(2) 这列波可能的波速．
答案：见解析
解决双向性多解问题时，养成全面思考的习惯，知道波有向正、负(或左、右)两方向传播的可能，质点有向正、负(或向上、向下)两方向振动的可能．
波形的隐含性形成多解
在波动问题中，往往只给出完整波形的一部分，或给出几个特殊点，而其余信息均处于隐含状态．这样，波形就有多种情况，形成波动问题的多解性．
1. 质点达到最大位移处，则有　正方向和负方向　最大位移两种可能．
2. 质点由平衡位置开始振动，则有起振方向　向上和向下　两种可能．
3. 只告诉波速不指明波的传播方向时，应考虑波沿两个方向传播的可能．如果只知道波沿x轴传播，则有可能沿x轴正方向传播，也可能沿x轴负方向传播，具有双向性．
4. 只给出两时刻的波形，则有多次重复出现的可能．
类型
3
　　　(2025·广东省实验中学)如图所示，实线是一列简谐横波在t1＝0时刻的波形图，虚线是在t2＝0.2 s时刻的波形图．
(1) 求此列波传播速度的可能值．
答案：沿x轴正方向v1＝5(4n＋1) m/s(n＝0，1，2，3，…)；沿x轴负方向v2＝5(4n＋3) m/s(n＝0，1，2，3，…)
4
(2) 若波速为55 m/s，求x＝5 m处的质点M在t1时刻的振动方向．
答案：质点M沿y轴负方向振动
(3) 在t1到t2时间内，x＝5 m处的质点M通过的路程为1.8 m，求波的传播速度．
答案：45 m/s
解决波的多解问题的一般思路
1. 首先找出造成多解的原因，比如考虑传播方向的双向性，可先假设波向右传播，再假设波向左传播，分别进行分析．
2. 根据周期性列式，若题目给出的是时间条件，则列出t＝nT＋Δt(n＝0，1，2，…)，若给出的是距离条件，则列出x＝nλ＋Δx(n＝0，1，2，…)进行求解．
随堂内化 即时巩固
A
2. (2024·广州期末联考)在一列沿水平直线传播的简谐横波上有相距4 m的A、B两点，如图甲、乙分别是A、B两质点的振动图像．已知该波波长大于2 m，求这列波可能的波速．
答案：见解析
配套新练案
类型1　波的周期性形成多解
1. (2025·茂名期末)如图所示，海面上两个浮标A、B相距s0＝35 m，一列横波由A向B传播，小米观察到当浮标A处在波谷时，浮标B正在平衡位置向上振动，测得一分钟内浮标A能完成30次全振动，则该横波的波速可能是 (　　)
A. 4 m/s
B. 6 m/s
C. 8 m/s
D. 10 m/s
D
2. (多选)一列简谐横波沿x轴正方向传播，在xA＝0和xB＝0.6 m处的两个质点A、B的振动图像如图所示，则 (　　)
A. 波由质点A传到质点B的时间可能是0.1 s
B. 波由质点A传到质点B的时间可能是0.3 s
C. 这列波的波速可能是1 m/s
D. 这列波的波速不可能是3 m/s
BD
类型2　波的双向性形成多解
3. 一列简谐横波在t＝0时刻的波形如图所示中的实线所示，t＝0.02 s时刻的波形如图中虚线所示．若该波的周期T大于0.02 s，则该波的传播速度可能是 (　　)
A. 2 m/s
B. 3 m/s
C. 4 m/s
D. 5 m/s
B
4. (2024·广州期末)舞水袖是我国戏剧演员在舞台上表达感情时使用的一种夸张技法．某次表演中，演员抖动长袖一端，随之舞动的长袖上形成的简谐横波如图所示，其中实线为t1＝0时刻的波形图，虚线为t2＝0.3 s时刻的波形图，波的周期T＞0.3 s，关于该列简谐波，下列说法中正确的是 (　　)
A. 周期一定为1.2 s
B. 频率可能为5 Hz
C. 若波沿x轴正方向传播，则波速可能为15 m/s
D. 若波沿x轴负方向传播，则波速一定为5 m/s
D
5. 一列简谐横波在t＝0时刻的波形如图中实线所示，在t＝1 s 时刻的波形如图中虚线所示，下列关于该波的说法中，错误的是 (　　)
A. 波长一定是4 cm
B. 周期一定是4 s
C. 振幅一定是2 cm
D. 传播速度可能是1 cm/s
B
类型3　波形的隐含性形成多解
6. (2024·深圳高级中学)一列简谐横波在t＝0时的波形如图实线所示．下列说法中错误的是 (　　)
A. 这列波的波长是8 m
B. 如果波向右传播，平衡位置分别
为B、C的2个质点，在此时刻的振动方向
相反
C. 若波速为120 m/s，则波的频率为
10 Hz
C
AC
8. (2024·广东实验中学)一简谐横波在t＝0时的波形如图中的实线所示，t＝0.2 s时刻的波形如图中的虚线所示，P是平衡位置在x＝3 m处的质点．
(1) 若该波沿x轴正方向传播，求该波可能的波速．
答案：(20n＋5) m/s(n＝0，1，2，…)
(2) 若该波的波速大小v＝15 m/s，求质点Р在0～0.2 s内通过的路程L.
答案：6 cm
9. (2024·深圳高级中学)如图所示，实线是一列简谐横波在t1＝0时刻的波形图，虚线是在t2＝0.2 s时刻的波形图．
(1) 求此列波传播速度的可能值．
答案：见解析
(2) 若波速为55 m/s，求x＝5 m处的质点M在t1时刻的振动方向．
答案：y轴负方向
(3) 在t1到t2时间内，x＝5 m处的质点M通过的路程为1.8 m，求波的传播速度．
答案：45 m/s
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